T. C.

İstanbul Üniversitesi

Sosyal Bilimler Enstitüsü

İşletme Anabilim Dalı

Üretim Bilim Dalı

DOKTORA TEZİ

AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMLERİNİN

SEZGİSEL YÖNTEMLERLE OPTİMİZASYONU

SÜNDÜZ DAĞ

2502060208

TEZ DANIŞMANI

PROF. DR. NECDET ÖZÇAKAR

İSTANBUL, 2012

Bu Doktora Tezi, İstanbul Üniversitesi Bilimsel Araştırmalar Proje Birimi (BAP) tarafından

desteklenmiştir. Proje No:4192

iii

ÖZ

AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMLERİNİN SEZGİSEL

YÖNTEMLERLE OPTİMİZASYONU

SÜNDÜZ DAĞ

Bu çalışmada, NP-zor sınıfı çok amaçlı permütasyon akış tipi çizelgeleme

problemleri detaylı olarak incelenmiş ve problemin çözümü için bir karınca koloni

algoritması geliştirilmiştir. Ayrıca çok kriterli akış tipi çizelgeleme problemleri için

geliştirilmiş bir sezgisel algoritma olan HAMC (Heuristic Algorithm for

Multicriterion) bu çalışmada ele alınan problemlere uyarlanmıştır. Çalışmanın amacı,

işlerin makinelerde maksimum tamamlanma zamanını, toplam akış zamanını ve

makinelerin toplam boş bekleme zamanını en küçükleyecek şekilde sıralanmasıdır.

Kablo üretimi yapan bir fabrikadan alınan veriler ve literatürden elde edilen standart

test problemleri ile çalışılmıştır. Problemler karınca koloni algoritması ve HAMC

algoritmaları ile çözülerek, elde edilen sonuçlar farklı metasezgisel algoritmalarla

kıyaslanmıştır.

ABSTRACT

OPTIMIZATION OF FLOWSHOP SCHEDULING PROBLEMS

USING HEURISTIC TECHNIQUES

SÜNDÜZ DAĞ

In this research, a detailed study of multicriteria permutation flowshop scheduling

problem known as NP-hard has been offered and ant colony algorithm has been

developed to solve this problem. Furthermore, HAMC algorithm developed for

multicriteria flowshop scheduling problems has been adapted to the problem dealt

with this study. The aim of the study is to sequence the jobs to minimize maximum

completion time of all jobs, total flow time, and total idle time of the machines. The

data in this research is taken from a cable production company. In addition to this

data, the standart test problems from literature were used. All problems have been

iv

solved using the ant colony algorithm and HAMC algorithm methods. The results

have been compared with other metaheuristics.

v

ÖNSÖZ

Üretim sistemlerinde çizelgeleme problemi, belli bir performans ölçütünü

eniyileyecek optimum iş akış sırasını (işlerin yapılma sırasını) belirlemek olarak

bilinir. Bu optimum sıra belirlenirken tamamlanma zamanı, toplam akış zamanı,

makinelerin boş bekleme zamanı minimizasyonu gibi birden fazla amacın göz

önünde bulundurulması gerekmektedir. Çok amaçlı akış tipi çizelgeleme üzerine

yapılan çalışmalar oldukça sınırlıdır. Literatürdeki çalışmaların büyük kısmında tek

veya iki kriterin en küçüklenmesi amaçlanmıştır. Bu çalışmada, üç kriter dikkate

alınarak iş sıraları oluşturulmuştur. Uygulamada ele alınan problemlerin çözümünde

karınca koloni algoritması kullanılmıştır. Yapılan uygulama çalışması, gerçek bir

üretim tesisinde zaman ve maliyetten kazanç sağlayacak şekilde çizelge oluşturmayı

hedeflemiştir.

Doktora tez çalışmamdaki yardımlarından dolayı sayın hocalarım; Prof. Dr. Necdet

Özçakar, Doç. Dr. Ş.Alp Baray ve Yrd. Doç. Dr. Faik Başaran' a teşekkür ederim.

Uygulama çalışmasının yapılacağı üretim tesisinin belirlenmesinde ve çalışmada

kullanılacak verilerin elde edilmesinde bana yardımcı olan, çalışmam boyunca

desteğini hissettiğim sevgili babam Zekeriya Kumpas' a sonsuz teşekkürlerimi

sunarım.

Ayrıca, çalışmada kullanılan yönteme ilişkin kodların yazılma sürecinde verdiği

destekten dolayı Dr. Timur Keskintürk' e ve yardımlarından dolayı Dr. Ebru Demirci'

ye teşekkür ederim.

Manevi destekleri ve sağladıkları huzurlu çalışma ortamı için sevgili anneme,

kardeşime ve eşime teşekkürü bir borç bilirim.

Son teşekkür de, çalışmam boyunca neşe kaynağım olan kızım Defne' yedir.

İ.Ü. Bilimsel Ararştırma Projeleri Birimine Doktora tez çalışmamı

destekledikleri için teşekkür ederim.

vi

İÇİNDEKİLER

ÖZ.. …………………………………………………………………………………..iii

ABSTRACT ................................................................................................................ iii

ÖNSÖZ ........................................................................................................................ v

İÇİNDEKİLER ........................................................................................................... vi

TABLOLAR LİSTESİ ................................................................................................ ix

ŞEKİLLER LİSTESİ .................................................................................................. xi

KISALTMALAR LİSTESİ ........................................................................................ xii

SEMBOLLER LİSTESİ ........................................................................................... xiv

GİRİŞ ........................................................................................................................... 1

BÖLÜM 1: ÜRETİM ÇİZELGELEME ...................................................................... 3

1.1. Çizelgeleme Kavramı ............................................................................................ 3

1.2. Çizelgeleme Problemleri ....................................................................................... 5

1.3. Çizelgeleme Modelleri .......................................................................................... 9

1.3.1. Tek Makine Modeli...................................................................................... 11

1.3.2. Paralel Makine Modeli ................................................................................. 14

1.3.3. Akış Tipi Atölye, İş Atölyesi Ve Açık Atölye Modelleri ............................ 16

BÖLÜM 2: AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME .................................................................. 21

2.1. Akış Tipi Çizelgeleme Problemleri ve Kabuller ................................................. 21

2.2. Akış Tipi Çizelgeleme Modelleri ........................................................................ 22

2.2.1. Basit Akış Tipi Çizelgeleme (İki-Üç Makineli Durum ve Johnson

Algoritması) ................................................................................................. 23

2.2.2. Permütasyon Akış Tipi Çizelgeleme ........................................................... 26

2.2.2.1.Permütasyon Akış Tipi Çizelgeleme Problemlerinin Notasyonu ........... 28

2.2.2.2. Fm/prmu/Cmax, ΣF, ΣI Probleminin Formülasyonu ............................... 29

2.2.2.3. Fm/prmu/Cmax, ΣF, ΣI Probleminin Sınıfı .............................................. 30

2.3. Literatür Taraması ............................................................................................... 33

2.3.1. Kesin Yöntemler .......................................................................................... 33

2.3.2. Sezgisel Yöntemler ...................................................................................... 36

2.3.2.1. Çözüm Kurucu Sezgiseller .................................................................... 37

vii

2.3.2.2. Çözüm Geliştirici Sezgiseller ................................................................ 39

2.3.3. Metasezgisel Yöntemler............................................................................... 45

BÖLÜM 3: PERMÜTASYON AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME

PROBLEMLERİNDE KULLANILAN OPTİMİZASYON YÖNTEMLERİ ........... 54

3.1. Sezgisel Yöntemler ............................................................................................. 54

3.1.1. Palmer Algoritması ...................................................................................... 55

3.1.2. Gupta algoritması ......................................................................................... 55

3.1.3. CDS Algoritması .......................................................................................... 56

3.1.4. NEH Algoritması ......................................................................................... 56

3.2. Metasezgisel Yöntemler ...................................................................................... 57

3.2.1. Tavlama Benzetimi Algoritması .................................................................. 57

3.2.2. Tabu Arama Algoritması ............................................................................. 60

3.2.3. Parçacık Sürü Optimizasyon Algoritması .................................................... 64

3.2.4. Genetik Algoritma ....................................................................................... 67

3.2.4.1 Genetik Operatörler ................................................................................ 71

3.2.4.2 Genetik Algoritma Parametreleri ............................................................ 75

3.2.5. Karınca Kolonisi Optimizasyonu ................................................................. 75

3.2.5.1 Doğal Hayatta Karıncalar ....................................................................... 77

3.2.5.2 Karınca Koloni Algoritmasının Genel Yapısı ........................................ 79

3.2.5.3.Karınca Sistemi ....................................................................................... 82

3.2.5.4 Elitist Karınca Sistemi ............................................................................ 88

3.2.5.5 Max-Min Karınca Sistemi ...................................................................... 88

3.2.5.6 Mertebe Temelli Karınca Sistemi .......................................................... 90

3.2.5.7 Karınca Koloni Sistemi ........................................................................... 91

BÖLÜM 4: UYGULAMADA KULLANILACAK SEZGİSEL VE

METASEZGİSEL ALGORİTMALARIN YAPISI ................................................... 95

4.1. HAMC Algoritması Ve Üç Kriterli PFSP' ye Uyarlanması ................................ 95

4.1.1. HAMC Algoritması ..................................................................................... 95

4.1.2. HAMC Algoritmasının Üç Kriterli Duruma Uyarlanması ........................ 101

4.2. Çok Amaçlı Karınca Koloni Sistemi Algoritması ............................................ 102

viii

BÖLÜM 5: UYGULAMA ....................................................................................... 113

5.1. Uygulamanın Amacı ve Kapsamı ..................................................................... 113

5.2. Ele Alınan Üretim Hattının Özellikleri ............................................................. 114

5.3. Ele Alınan Çok Amaçlı Permütasyon Akış Tipi Çizelgeleme Probleminin

Çözümü ............................................................................................................. 118

5.4. Standart Problemler İle Geliştirilen Algoritmanın Test Edilmesi ve

Karşılaştırılması ................................................................................................ 123

5.4.1. Carlier'in Test Problemleri İle Yapılan Çalışma ........................................ 124

5.4.2. Taillard'ın Test Problemleri İle Yapılan Çalışma ...................................... 127

SONUÇ VE ÖNERİLER ......................................................................................... 132

KAYNAKÇA ........................................................................................................... 135

Ek-1: HAMC Algoritmalarının Çözüm Sonuçlarına Ait ÇizelgelerHata! Yer işareti tanımlanmamış.

Ek-2: MACS(API) Algoritmasının Çözüm Sonuçlarına Ait ÇizelgelerHata! Yer işareti tanımlanmamış.

Ek-3: Z1, Z2, Z3 ve Z4 Amaç Fonksiyonları İçin En iyi Sonucu Veren ÇizelgelerHata! Yer işareti tanımlanmamış.

Ek-4: Carlier'in Test Problemleri İçin En iyi Sonucu Veren ÇizelgelerHata! Yer işareti tanımlanmamış.

Ek-5: Taillard'ın Test Problemleri İçin En iyi Sonucu Veren ÇizelgelerHata! Yer işareti tanımlanmamış.

ÖZGEÇMİŞ .......................................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.

ix

TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 1-1 Örnek Problem İçin İşlerin İşlem Zamanları ve Teslim Tarihleri ............. 12

Tablo 1-2 FCFS Kuralına Göre İşlerin Sıralanması ................................................... 13

Tablo 1-3 SPT Kuralına Göre İşlerin Sıralanması ..................................................... 13

Tablo 1-4 EDD Kuralına Göre İşlerin Sıralanması .................................................... 14

Tablo 2-1: Johson Algoritması İçin Örnek................................................................. 24

Tablo 2-2: Üç Makineli Durum Örneği ..................................................................... 26

Tablo 2-3: Hayali Makineler ...................................................................................... 26

Tablo 2-4:Permütasyon Akış Tipi Problemler için Kurucu ve Geliştirici Sezgiseller 43

Tablo 2-5: Permütasyon Akış tipi Çizelgeleme Problemleri İçin Metasezgiseller .... 52

Tablo 3-1 Fiziksel Tavlama İle Kombinatoryal Optimizasyon Arasındaki İlişki ...... 58

Tablo 4-1 5 iş ve 5 Makineden Oluşan Problemin İşlem Zamanları ....................... 100

Tablo 4-2 HAMC Algoritmasıyla Çözülmüş İlk İterasyon ..................................... 101

Tablo 4-3 Farklı q0 Değerleri İçin Yapılan Deneme Sonuçları................................ 105

Tablo 4-4 Farklı f Değerleri İçin Yapılan Deneme Sonuçları.................................. 105

Tablo 4-5 Farklı tmax Değerleri İçin Yapılan Deneme Sonuçları ............................. 106

Tablo 4-6 Deneme Yapılacak Parametre Setleri ...................................................... 106

Tablo 4-7 Parametre Setlerinin Verdiği En İyi Değerler ......................................... 107

Tablo 4-8 Parametre Setlerinin Verdiği Ortalama Değerler .................................... 108

Tablo 4-9 Parametre Setlerinin Verdiği En Kötü Değerler ...................................... 109

Tablo 5-1 Kablo Çeşidi Ve Özellikleri .................................................................... 115

Tablo 5-2 İşlem Süreleri........................................................................................... 117

Tablo 5-3 HAMC Algoritması ile Çözüm Sonuçları ............................................... 118

Tablo 5-4 MACS İle Çözüm Sonuçları .................................................................... 119

Tablo 5-5 Algoritmaların Performans Değerleri ...................................................... 119

Tablo 5-6 Farklı Amaç Fonksiyonları İçin Algoritmaların Çözüm Sonuçları ......... 121

Tablo 5-7 Faklı Amaç Fonksiyonları İçin Algoritmaların Performans Değerleri.... 121

Tablo 5-8 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Çözüm Sonuçları124

Tablo 5-9 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Performans

Değerleri .................................................................................................. 125

x

Tablo 5-10 Toplam Akış Zamanı İçin Algoritmaların Çözüm Sonuçları ................ 126

Tablo 5-11 Toplam Akış Zamanı İçin Algoritmaların Performans Değerleri ......... 127

Tablo 5-12 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Çözüm

Sonuçları………………………………………………………………...128

Tablo 5-13 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Performans

Değerleri (20x5) ...................................................................................... 128

Tablo 5-14 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Performans

Değerleri (20x10) .................................................................................... 129

Tablo 5-15 Toplam Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Çözüm Sonuçları.. 130

Tablo 5-16 Toplam Akış Zamanı İçin Algoritmaların Performans Değerleri

(20x5)…………………………………………………………………...131

Tablo 5-17: Toplam Akış Zamanı İçin Algoritmaların Performans Değerleri

(20x10)…. ............................................................................................... 131

xi

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 1-1: Çizelgeleme Modelleri…………………………………………………... 10

Şekil 1-1: Paralel Makine Modeli………………………………………………....... 15

Şekil 1-3: Akış Atölyesi Yerleşimi…………………………………………………. 17

Şekil 1-4: Bir İş Atölyesinde İş Akışı………………………………………………. 18

Şekil 1-5: Açık Atölye Modeli……………………………………………………… 19

Şekil 2-1: Akış Tipi Çizelgelemede Doğrusal Öncelik Yapısı……………………... 21

Şekil 2-2: Johnson Algoritmasına Göre Sıralanan İşlerin Gantt Şeması…………… 25

Şekil 3-1: TS Algoritmasının Genel Akış Şeması…………………………………. 62

Şekil 3-2: PSO Algoritmasının Genel Akış Şeması………………………………… 67

Şekil 3-3: GA'nın Akış Diyagramı…………………………………………………. 70

Şekil 3-4: GA Operatörleri…………………………………………………………. 71

Şekil 3-5: Karınca Davranışları…………………………………………………….. 78

Şekil 3-6: Karıncaların Feromon Biriktirme Mekanizmaları………………………. 79

Şekil 3-7: Karınca Koloni Algoritmaları…………………………………………… 82

Şekil 3-8: Ele Alınan Problemin Başlangıç Konumu………………………………. 85

Şekil 3-9: Karıncanın Seçtiği İlk Düğüm Noktası…………………………………. 85

Şekil 3-10: Problemin Son Hali……………………………………………………. 86

Şekil 3-11: Karınca Sistem Algoritması……………………………………………. 87

Şekil 3-12: Karınca Koloni Sistemi Algoritmasının Genel Yapısı ………………… 94

Şekil 4-1: CR Algoritması………………………………………………………….. 98

Şekil 5-1 Fabrikadaki Üretim Sırasının Excel Tablosunda Modellenmesi………...123

xii

KISALTMALAR LİSTESİ

abs Mutlak Değer (Absolute)

ACA Karınca Koloni Algoritması (Ant Colony Algorithm)

ACS Karınca Koloni Sistemi (Ant Colony System)

API Komşu İş Çiftlerinin Yer Değiştirmesi (Adjacent Pairwaise Interchange)

AS Karınca Sistemi (Ant System)

CDS Campbell, Dudek ve Smith

CR Rajendran ve Chaudhuri

CR (MC) Rajendran’ın Çok kriterli Algoritması

EAS Elitist Karınca Sistemi (Elitist Ant System)

EDD En Erken Teslim Zamanı (Earliest Due Date)

FCFS İlk Gelen İlk Hizmet Görür (First Come First Serve)

FCLS İlk Gelen Son Hizmet Görür (First Come Last Serve)

GA Genetik Algoritma (Genetic Algorithm)

HAMC Çok Kriterli Problemler İçin Hibrit Algoritma (Heuristic Algorithm for

Multicriteria)

HAMCM Maksimum Tamamlanma Zamanını Kriter Alan HAMC Yöntemi

HAMCF Toplam Akış Zamanını Kriter Alan HAMC Yöntemi

HAMCI Makinelerin Toplam Boş Bekleme Zamanını Kriter Alan HAMC

Yöntemi

LPT En Uzun İşlem Zamanlı Sıralama (Longest Processing Time)

LPTtj1 Birinci Makine İşlem Zamanları Esaslı İşlerin Büyükten Küçüğe Doğru

Sıralanması

LPTΣt Toplam İşlem Zamanları Esaslı İşlerin Büyükten Küçüğe Doğru

Sıralanması

MACS Çok Amaçlı Karınca Koloni Sistemi (Multicriteria Ant Colony System)

MMAS Max-Min Karınca Sistemi (Max-Min Ant System)

NEH Nawaz, Enscore, Ham

NP-Hard Polinom Zamanda Çözülemeyen Problemler (Non-Deterministic

Polinomial - Hard)

xiii

PFSP Permütasyon Akış Tipi Çizelgeleme Problemi (Permutation Flowshop

Scheduling Problem)

PSO Parçacık Sürü Optimizasyonu (Partical Swarm Optimization)

RBAS Mertebe Temelli Karınca Sistemi (Rank Based Ant System)

RE Bağıl Hata (Relative Error)

SA Tavlama Benzetimi (Simulated Annealing)

SPT En Kısa İşlem Zamanlı Sıralama (Shortest Processing Time)

SPTtj1 Birinci Makine İşlem Zamanları Esaslı İşlerin Küçükten Büyüğe Doğru

Sıralanması

SPTΣt Toplam İşlem Zamanları Esaslı İşlerin Küçükten Büyüğe Doğru

Sıralanması

TS Tabu Arama (Tabu Search)

TSP Gezgin Satıcı Problemi (Travelling Salesman Problem)

xiv

SEMBOLLER LİSTESİ

a π İçindeki İşler

b Kısmi Çizelgedeki Son İş

B Problemin Önerilen Algoritma Tarafından Bulunan En İyi Değeri

batch Yığın İşleme

block Bloklama

brkdwn Arızalanma

c1 , c2 Öğrenme Faktörleri

Ci İşlerin Tamamlanma Zamanı

Cmax Maksimum Tamamlanma Zamanı (Son İşin Tamamlanma Zamanı)

Cmax(S) S Çizelgesine Ait Maksimum Tamamlanma Zamanı

Cmax(SS) SS Çizelgesine Ait Maksimum Tamamlanma Zamanı

C(σ, j) Kısmi Çizelgenin j Makinesindeki Tamamlanma Zamanını

C(σa, j) a İşi Kısmi Çizelgeye Eklendiğinde σa Kısmi Çizelgesinin j

Makinesindeki Tamamlanma Zamanı

C(πi, j) Çizelgedeki π (i) İşinin j Makinesindeki Tamamlanma Zamanı

ç Elitist Karınca Sayısı

d (i,u) i İşi ile u İşi Arasındaki Uzaklık

Emax Maksimum erken bitirme

e Makinelerin Diziliş Sırası

f Karınca Sayısı

fmls İş Aileleri

F İşlerin Akış Zamanı

Fmax Maksimum Akış Zamanı

ΣF Toplam Akış Zamanı

FFs Esnek Akış Tipi Atölye

Fm Akış Tipi Atölye

Fσ Kısmi Çizelgedeki İşlerin Toplam Akış Zamanı

gbest Global Eniyi

xv

Imax Maksimum Boş Makine Zamanı

Ik Bir Makinedeki Boş Zamanların Toplamı

ΣI Toplam Boş Makine Zamanı

ΣI (S) S çizelgesine ait makinelerin toplam boş bekleme zamanı

ΣI (SS) SS çizelgesine ait makinelerin toplam boş bekleme zamanı

i, u İşler

[i] Çizelgedeki i. Pozisyondaki İşi

j Makine Numarası

Jm Atölye Tipi

k Karınca Numarası

Lmax Maksimum Gecikme

Lbest

En İyi Tura Ait Çözüm Değer

Lopt

Optimum Sonuç Değeri

Lk k karıncası tarafından oluşturulan tur uzunluğu

Lnn

En Yakın komşu tur uzunluğudur

Lbs

En İyi Turun Uzunluğu

Lib

İterasyonun En iyi Turu

μL μ. Karıncaya Ait Tur Uzunluğu

L* En İyi Çözümün Tur Uzunluğu

Lb, O Anki İterasyon İçin En İyi Çizelgenin Amaç Fonksiyonu Değeri

m Makine Sayısı

n İş Sayısı

n' Kısmi Çizelgedeki İşlerin Sayısı

nwt Beklemesiz

O Problemin Optimum Çözüm Değeri

Om Açık Tip Atölye

Pk(i,j) k Karncasının i Düğümünden j Düğümüne Geçiş Olasılığı

prmu Permütasyon

prec Öncelik Kısıtları

Pk Karıncanın Geçiş Kuralı Uygularken Kullandığı Olasılık

xvi

Pmin Karıncanın feromon miktarı için alt sınırı

Pmax Karıncanın feromon miktarı için üst sınırı

Pm Özdeş Paralel Makineler

prmp Bölünebilme

pbest Yerel Eniyi Değer

Qm Farklı Hızlara Sahip Paralel Makineler

q0 Araştırmaya Karşılık Devamlılığın Göreceli Önemini Gösteren Parametre

q [0,1] Aralığında Düzgün Dağılan Rastgele Bir Sayı

rand1,2 Düzgün dağılım gösteren rasgele sayılar

Rm İlişkisiz Paralel Makineler

rcrc Yeniden Dolaşım

ri Geliş Zamanı

Rm İlişkisiz Paralel Makineler

R' Elde Edilen Yeni Çizelgenin Maksimum Tamamlanma Zamanı ve Toplam

Akış Zamanını Göz Önüne Alarak Hesaplanan Etkinlik Değeri

S Yeni Çizelge

SS Başlangıç Çizelgesi

SIi Her İşe Ait Eğim İndeksi

Sik Sıra Bağımlı Hazırlık Zamanları

Sk(i) Henüz k Karıncası Tarafından Ziyaret Edilmemiş i’den Sonraki

Gidilebilecek Noktalar Kümesi

t Zaman

tmax Maksimum İterasyon Sayısı

tij i İşinin j Makinesindeki İşlem Zamanı

Tmax Maksimum pozitif gecikme

Tbs

En İyi Tur

u Karıncanın bulunduğu konumdan sonra seçebileceği işlerin her biri

ΣF(S) S Çizelgesine Ait Toplam Akış Zamanı

ΣF(SS) SS Çizelgesine Ait Toplam Akış Zamanı

ΣT Toplam Geçlik

xvii

ΣU Toplam Geciken İş Sayısı

v Parçacık Hızı

w Engellenen Karınca Sayısı

w1 Maksimum tamamlanma zamanına ait ağırlık

w2 Toplam Akış Zamanına Ait Ağırlık

w3 Makinelerin Toplam Boş Bekleme Zamanına Ait Ağırlık

Wba Kısmi Çizelgede a İşinin b İşini Takip Ettiğinde Toplam Bekleme Zamanı

y Parçacık Sayısı

Z Amaç Fonksiyonu Değeri

α Problemde Feromen İzine Verilen Bağıl Önemi Gösteren Bir Parametre

β Problemde Sezgisel Bilginin Önemini Gösteren Bir Parametre

γ İndirim Faktörü

π Çizelgelenmemiş İş Setini

τ ij (i,j) Köşelerindeki Feromon İz Miktarı

τ(i,u) (i,u) Üzerindeki Feromon İzi

τ0 Başlangıç Feromon Düzeyi

τmin Feromon Güncelleştirilmesine Dair Alt Limit

τmax Feromon Güncelleştirilmesine Dair Üst Limit

η ij (i,j) Köşeleri Arasındaki Görünülürlük Değeri

η(i,u) i İşi ile u işi Arasındaki Uzaklığın Tersi

Δ τij Karıncanın Bir Turu Boyunca (i, j) Köşesini Seçmesinden Dolayı Bu

Köşedeki Feromon İz Miktarı

k.Karıncanın i,j Yoluna Bıraktığı Feromon Miktarı

: μ. Karıncanın i,j Yoluna Bıraktığı Feromon Miktarı

En İyi Turun i,j Yoluna Ait Feromon Artış Miktarı

ρ Buharlaşan Feromon İz Oranı

ρl Yerel Feromon Buharlaştırma Parametresi

ρg Global Feromon Buharlaştırma Parametresi

σ Mevcut Kısmi Çizelge

xviii

μ Her Karıncanın Feromon Güncellemesine Yaptığı Katkıya Göre Sıra

Numarası

Başlangıç Sıfır Çizelgesi

1

GİRİŞ

Bilimin ve teknolojinin sürekli ilerlemesi insanlara konfor ve refah sağlarken,

ekonomik rekabeti de firmalar açısından değişik boyutlara taşımıştır. Rekabetin

sürdürülebilmesi için firmalar; ticari anlamda kazanılmış olan pazar ve müşteri

portföylerini korumaya çalışmakta, yeni pazarlar aramakta, yeni müşteriler

oluşturulması için çalışmalar yapmaktadır, fakat rekabet üstünlüğü için mükemmel

bir ürün tasarlama ve pazarlamaya yoğunlaşma yetmemektedir. Mükemmel müşteri

hizmetini sağlamak ve teslimat tarihi için verilen sözleri yerine getirmek bunlar

kadar önemlidir. Bunun için yapılması gerekenler, kapasiteyi talebe yanıt verebilecek

düzeyde ve beklenmedik durumlara çabuk tepki gösterecek şekilde tutmaktır. Böyle

bir üretim sisteminde yapılması gereken ilk çalışmalardan biri de çizelgeleme (iş

sıralama) dir.

Üretim hatları için çizelgeleme yapılması üretim planlamacılar için son derece önem

arz eden bir işlevdir. Çizelgeleme faaliyetleri sonucunda elde edilen üretim

programları sayesinde üretimin düzeni sağlanmakta ve özellikle üretime yük getiren

faaliyetler ayıklanarak maliyet kalemleri azaltılmaktatır. Yapılan çalışmada kablo

imalatı, çimento imalatı ve kağıt imalatı gibi sektörlerde rastlanan permütasyon akış

tipi çizelgeleme problemi üzerinde durulacaktır.

Bu çalışma, bir akış tipi üretim sisteminde maksimum tamamlanma zamanını, toplam

akış zamanını ve makinelerin toplam boş bekleme zamanını en küçükleyecek şekilde

işlerin sıralanmasını amaçlar.

Tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde üretim çizelgeleme

kavramı ele alınış ve çizelgeleme modelleri hakkında ayrıntılı bilgi verilerek

çizelgeleme problemleri ve genel özellikleri açıklanmıştır. Çizelgeleme

problemlerinin sınıflandırılması ve problemlerin yapısı hakkında bilgiler verilmiştir.

Çalışmanın ikinci bölümünde ilk olarak, akış tipi çizelgeleme hakkında bilgiler

verilerek, akış tipi çizelgelemenin modelleri üzerinde durulmuş ve çalışmada ele

alınacak olan problemin notasyonu ve matematiksel modeli tanıtılmıştır. Daha sonra,

permütasyon akış tipi çizelgeleme problemleri için bir literatür araştırması yapılmış

2

ve yapılan çalışmalarda kullanılan kesin yöntemler, sezgisel ve meta-sezgisel

yöntemler incelenmiştir.

Akış tipi çizelgeleme problemleri için şimdiye kadar kullanılmış olan sezgisel ve

metasezgisel yöntemlere yer verilen üçüncü bölümde, ayrıntılı olarak söz konusu

yöntemlerin çalışma prensipleri açıklanmıştır.

Dördüncü bölüm, uygulamada kullanılacak olan karınca koloni algoritmalarıyla ve

çok kriterli akış tipi çizelgeleme problemleri için geliştirilmiş HAMC sezgiseliyle

ilgili bilgileri kapsamaktadır.

Son bölümde, çalışmanın uygulaması yer almaktadır. Akış tipi üretim yapan bir

firmadan alınan problem, karınca koloni algortimaları ve HAMC algoritmaları ile

çözülmüş ve sonuçlar kıyaslanmıştır. Ayrıca geliştirilen algoritmaların test edilmesi

amacıyla, literatürden elde edilen standart test problemleri üzerinde diğer

yöntemlerle kıyaslama yapılmış ve bulunan en iyi değerlerden sapmalar

hesaplanmıştır.

Sonuç kısmında ise, yapılan çalışmada elde edilen sonuçlar tartışılmış ve çalışma ile

bağlantılı yapılabilecek çalışmalar konusunda öneride bulunulmuştur.

3

BÖLÜM 1: ÜRETİM ÇİZELGELEME

Bu bölümde çizelgeleme ile ilgili temel bilgiler üzerinde durulmuş, çizelgeleme

problemlerinin yapısı açıklanmış ve çizelgeleme modelleri ayrıntılı bir şekilde

incelenmiştir.

1.1. Çizelgeleme Kavramı

Üretim çizelgeleme, üretim planlama ile beraber, bir imalat sisteminin etkinlik ve

verimliliğini belirleyen önemli bir karar verme sürecidir. Çizelgeleme, çeşitli

matematiksel ve sezgisel yöntemler kullanarak, kıt kaynakların belirlenen zaman

periyodunda ve belirlenen amaç fonksiyonuna uygun olarak ilgili görevlere tahsisi

olarak tanımlanır. Kaynakların uygun olarak atanması, firmanın amaçlarına en iyi

şekilde ulaşmasını mümkün kılar. Çizelgeleme, üretim ve servis endüstrisinde önemli

rol oynayan bir karar verme süreci olup, tedarikte, üretimde, taşıma ve dağıtımda

kullanılır (Pinedo, 2008: 1).

Genel anlamda çizelgeleme, bir üretim sisteminde gerçekleşen tüm aktivitelerin

başlangıç ve bitiş zamanlarının belirlenmesi olarak tanımlanır. Çizelgeleme

sayesinde, mevcut durum analiz edilerek insangücü, makine kapasite, teçhizat vs.gibi

faktörlerde yapılacak değişiklikler göz önüne serilir.

Üretimdeki çizelgeleme çalışmaları aşağıda belirtilen amaçlara ulaşmak için

gerçekleştirilir (Çörekcioğlu, 2006: 14):

a) Kaynakların etkin biçimde kullanılması,

b) Müşteri taleplerinin zamanında cevaplanması,

c) İşlerin, teslim tarihlerinde gecikmeye neden olunmadan tamamlanması,

d) Stok seviyelerinin azaltılması,

e) Fazla mesai çalışmalarının azaltılması,

f) Ortalama akış süresinin azaltılması,

g) Hazırlık sürelerinin azaltılması,

h) Üretim ve işçilik maliyetlerinin azaltılmasıdır.

4

Üretim çizelgeleme çalışmalarında iki ayrı uygunluk kısıtı karşımıza çıkmaktadır.

Bunlardan birincisi makina kapasitelerine ait sınırlamalar, ikincisi ise bir takım

işlerin işlem sırasıyla alakalı teknolojik kısıtlamalarıdır. Çizelgeleme problemlerine

uygun çözümler bulabilmek, bu iki kısıt ile ilgilidir. Bu kısıtları sağlayan herhangi

bir uygun sonuç, çizelgeleme probleminin çözümüdür. Sonuç olarak çizelgeleme

problemlerini çözmek aşağıdaki iki sorunun kapsamındadır (Baker ve Trietsch, 2009:

4):

a) İşler hangi makineye atanacak?

b) İşler ne zaman yapılacak?

Çizelgelemenin başarılı olabilmesi için dikkat edilmesi gereken noktalar: kapasite,

yeterlilik, işin gereksinimleri ve ölçüm standartlarıdır (Boray, 2007: 4).

a) Kapasite: Çizelgeleme çalışmalarının yapılacağı üretim sisteminde öncelikle

kapasite bilinmelidir. Sistemi maliyet açısından zorlayacak üretim

programlarının herhangi bir faydası yoktur. Ayrıca kapasite değişen bir

kavramdır ve üretilen ürünün miktarına göre değişir.

b) Yeterlilik: Makinelerin ve işçilerin istenen özelliklere uygunluğu önemlidir.

c) İşin Gereksinimleri: İşe dair istenilen kalite ve maliyet standartları

bilinmelidir.

d) Ölçüm Standartları: Çizelgeleme çalışmasını etkileyecek faktörlerin (zaman,

maliyet, kalite ve kapasite) tahsisi ile ilgili standartlar oluşturulmalıdır.

Tipik bir üretim çizelgesinin özelliklerinin neler olduğu sıralanmalıdır. Radommer ve

White (1988)'e göre bu özellikler şöyledir: Bir çizelge 1) Belirli bir zaman içinde

çalıştırılabilmeli, 2) Parti büyüklüğünü belirlemeli, sıraya-bağlı hazırlık zamanları

ile maliyetlerini hesaba katmalı, 3) Proses rotalamada hayli esnek olmalı, 4)

Olasılıklı çizelgeleme ortamını temsil edebilme; yani rassal olayları ve rahatsızlıkları

içerme yeteneğine sahip olmalı ve 5) Çeşitli performans kriterlerini en iyiliyebilmeli

ve bünyesinde tutmalıdır (Radommer ve White, 1988: 843).

5

1.2. Çizelgeleme Problemleri

Maliyet kalemlerinde artışa sebep olan, üretim sistemi içindeki tüm faaliyetler iyi bir

çizelgeleme çalışmasının yapılması gerektiğini ifade eder. Bir atölyede çizelgeleme

problemlerinin ortaya çıkışı şu belirtilerle anlaşılmaktadır: makine ve işlerin

beklemesi, makineler arasında fazla sayıda ara stok birikimi, fazla mesai çalışmaları,

işlem sürelerinin uzaması. Bunun yanında, işlerin istenilen zamanda müşteriye teslim

edilememesi, makina kullanımının azlığını gösteren oranlar ya da işgücü kullanım

oranları gibi ibarelerde üretim sistemindeki çizelgeleme problemlerinin

mevcudiyetinin göstergesidir.

Çizelgeleme probleminde makine kapasitesi kısıtları, teknolojik kısıtlar olmak üzere

iki tür kısıt vardır. Çizelgeleme probleminin çözümü, bu iki kısıtın birbirine uygun

çözümüdür. Eğer çalışma sonucunda elde edilen netice, bize yapılması gereken her

bir iş için hangi kaynağın atanacağını ve her bir işin ne zaman yapılacağını

gösteriyorsa faydalı olacaktır. Dolayısıyla, geleneksel olarak, çoğu çizelgeleme

problemi kısıtlara bağlı optimizasyon problemi olarak görülmektedir (Aysal ve

Gündoğdu, 2010: 3).

Çizelgeleme problemleri α/β/γ şeklinde üçlü parametre yapısı ile gösterilir. α

parametresi, atölyenin konfigürasyonunu (makine ortamını) gösterir ve tek bir

girdiye sahiptir. β parametresi, işleme özellikleri ve kısıtlarıyla ilgili bilgi verir ve

bir veya birden fazla girdiye sahip olabilir. γ parametresi ise tek girdiye sahip olup

problemdeki optimize edilecek (en küçüklenecek) performans ölçütünü diğer bir

deyişle amaç fonksiyonunu ifade eder (Pinedo, 2008: 14 ve Graham v.d., 1979: 288).

α parametresinin alabileceği değerler aşağıdaki gibidir (Pinedo, 2008: 15 ve Rola,

2011: 6):

a) Tek makina (1): Tüm işler bir makine üzerinde işlem görür. Makine

ortamları içinde en basit ve spesifik olandır.

6

b) Özdeş paralel makineler (Pm): Benzer özelliğe sahip m adet paralel makina

söz konusudur. i işine ait tek bir operasyon bulunur ve bu operasyon m adet

makineden her hangi birisinde yapılabilir.

c) Farklı hızlara sahip paralel makineler (Qm): Çalışma hızları farklı olan m

adet paralel makine söz konusu olup, j makinesinin hızı vj notasyonuyla

ifade edilir. Pi işlem zamanına sahip i işi j makinesinde Pij = Pi / vj süresini

harcar.

d) İlişkisiz paralel makineler (Rm): Birbiriyle bağlantısı olmayan farklı hızlara

sahip m adet paralel makine söz konusudur. j makinesi i işini vij hızıyla

yapabilmekte olup, i işinin j makinesinde harcadığı Pij zamanı Pij= Pi / vij ‘ye

eşittir.

e) Akış tipi (Fm): Bir akış oluşturacak şekilde seri sıralanmış m adet makine

söz konusudur. Her bir işin makinelerden geçiş sırası aynı olmak

zorundadır.

f) Esnek akış tipi (FFs): Toplam s adet seri aşama bulunmakta olup, her bir

aşamada benzer özellikli m adet paralel makina vardır. Her bir iş aynı rotayı

izleyecek şekilde s adet aşamanın her birinde bulunan m adet makinanın

sadece birinde işlem görür.

g) Açık tip (Om): Modelde m adet makina söz konusu olup, her bir iş her bir

makinede işlem görür. Bazı işlerin bazı makinelerdeki işlem süreleri sıfır

olabileceği gibi, farklı işler farklı rotalara da sahip olabilir.

h) Atölye tipi (Jm): Modelde m adet makina söz konusu olup her bir işin her

bir makinada işlem görme zorunluluğu yoktur. Yani her bir iş kendine ait bir

rotayı takip eder ve her hangi bir makinede yapılması gereken birden fazla

operasyona sahip olabilir.

β parametresinin alabileceği bazı değerler aşağıdaki gibidir (Ruiz ve Rodriguez,

2010: 5):

7

a) Geliş zamanı (ri): i işnin işlenmesine ri çıkış (serbest kalış) zamanından önce

başlanamaz.

b) Permütasyon (prmu): Akış tipi makine ortamında karşımıza çıkan bu

parametre, makineler arasındaki kuyruk disiplininin FCFS (ilk gelen ilk

hizmet görür) olduğunu gösterir. Yani İşlerin makinelerden geçiş sırası

aynıdır.

c) Öncelik kısıtları (prec): Bazı işlerin işlenmesine başlanmadan önce diğer bazı

işlerin tamamlanması gerektiğiyle ilgili kısıtlamaları ifade eder.

d) Sıra bağımlı hazırlık zamanları (Sik): Çizelgede i işi k işinden önce geliyorsa

Sik, k işine başlanabilmesi için gereken hazırlık zamanını gösterir.

e) İş aileleri (fmls): n adet işin F farklı iş ailesine ait olduğunu ifade eder.

f) Yığın işleme (batch): Bir makinenin aynı anda birkaç işi işleyebileceğini

gösterir.

g) Bölünebilme (prmp): İşin tamamlanana kadar makinede kalması zorunlu

değildir. Bir işlem durdurularak makineye farklı bir iş yerleştirilebilir. İşlemi

yarıda kesilen iş ilgili makineye tekrar yerleştirildiğinde, o makinedeki işlem

süresi toplam işlem süresinden geriye kalan kadardır. Kısaca prmp ifadesi işin

bölünmesine izni ifade eder.

h) Arızalanma (brkdwn): Makinelerin, arızalanmalar nedeniyle sürekli olarak

işlem yapmaya uygun olmadığını ifade eder.

i) Bloklanma (block): Akış tipi çevrelerde rastlanan bu parametre, ardışık iki

makine arasındaki kuyruğun sınırlı bir kapasiteye sahip ve dolu olduğu zaman

önceki makinenin işlemini bitirdiği işi sonraki makineye gönderemeyeceğini

ifade eder. Buna bloklanma denir.

j) Beklemesiz (nwt): Akış tipi makine ortamında karşılaşılan bu parametre, işlerin

birbirini takip eden iki makine arasında beklemeyeceğini ifade eder. Bu

kısıtlamanın olduğu modelde de kuyruk disiplini FCFS ’dur.

k) Yeniden dolaşım (rcrc): Atölye tipi veya esnek atölye tipi makine ortamında

karşılaşılan bu parametre, herhangi bir işin bir makinede birden fazla gelişini

8

ifade eder.

Çizelgelerin değerlendirilmesi için gerçek bir kriterin kullanılması gerekir, optimallik

kriteri de denilen bu kriterler, amaç fonksiyonunu oluşturur ve γ alanında gösterilir.

Optimallik kriterleri (performans kriterleri) iki büyük sınıfa ayrılır (Shahzad,

22.11.2011: 14):

a) Minimax: Maksimum değerin minimizasyonunu gösterir.

b) Minisum: Bir toplam değerin minimizayonunu gösterir.

Literatürde en sık rastlanan ‘Minimax’ kriteri en son çizelgelenen işin tamamlanma

zamanı ya da maksimum tamalanma zamanıdır, Cmax sembolü ile gösterilir ve

literatürde ‘makespan’ olarak belirtilir. Cmax=max(Ci) ile formüle edilir ve Ci işlerin

tamamlanma zamanını gösterir. Tamamlanma zamanına bağlı diğer minimax

kriterleri aşağıda kısaca açıklanmıştır (T’kindt ve Billaut, 2006: 13):

a) Maksimum akış zamanı (Fmax): Sistemde geçirilen en büyük zamanı belirtir,

Fmax= max(Fi) ve Fi= Ci-ri ’dir. ri işlerin geliş zamanını gösterir.

b) Maksimum boş makine zamanı (Imax): En çok boş bekleyen makinenin boş

bekleme zamanını ifade eder. Imax= max(Ik) ile formüle edilir, Ik bir

makinedeki boş zamanların toplamını gösterir.

c) Maksimum gecikme (Lmax): Teslim zamanından sapmaların en kötüsünü ifade

eder. Lmax =max(Li) ve Li=Ci –di şeklinde ifade edilir. di işlerin teslim

zamanlarını gösterir.

d) Maksimum pozitif gecikme (Tmax): Pozitif değer alan gecikmelerin en

büyüğünü ifade eder. Tmax=max(Ti) ve Ti=max(0, Ci –di) şeklinde gösterilir.

e) Maksimum erken bitirme (Emax): Teslim tarihinden önce biten işlerin en

büyüğünü ifade eder. Emax=max(Ei) ve Ei=max(0, di –Ci) şeklinde gösterilir.

Literatürde en sık rastlanan ‘Minisum’ kriterleri aşağıda kısaca açıklanmıştır (T’kindt

ve Billaut, 2006: 13 ve Andresen v.d., 20.09.2010: 11):

a) Toplam akış zamanı (ΣF): Toplam akış zamanını ifade eder.

b) Toplam geçlik (ΣT) : n adet işin toplam gecikmesini gösterir.

9

c) Toplam Makinelerin Boş bekleme zamanı (ΣI) : m adet makinedeki boş

bekleme zamanlarının toplamıdır.

d) Toplam geciken iş sayısı (ΣU) : Teslim tarihinden sonra tamamlanan işlerin

toplam sayısını verir.

1.3. Çizelgeleme Modelleri

Çizelgeleme modellerinin sınıflandırılmasında şimdiye kadar birkaç farklı durum

ortaya konmuştur. En eski yaklaşımlardan bir tanesi Graves tarafından yapılan

ayrımdır. Graves kaynak düzenini ve görev yapısını dikkate alarak, açık atölye (open

shop) ve kapalı atölye (closed shop) şeklinde bir ayrım yapmıştır. Açık atölyede,

müşteri talepleri stok yapmadan direkt üretimden karşılanırken, kapalı atölyelerde

talepler stoklardan karşılanır. Kapalı atölyeler, akış tipi atölyeleri ve iş atölyelerini

içerir (Graves, 1981: 647).

Daha sonraki yıllarda yapılan ayrımlarda işlerin sisteme giriş şekli, parametrelerin

belirliliği ve iş akışı göz önünde bulundurularak sınıflandırma yapılmıştır. Temel

sınıflandırmada önce işlerin sisteme giriş şekline göre statik ve dinamik olmak üzere

iki ayrım yapılır. Eğer çizelgeleme çalışmasına alınacak işler sisteme aynı anda giriş

yapıyorsa ve zamanla değişiklik göstermiyorsa sistem statik, işler sisteme aralıklı

olarak girilş yapıyorsa ve zamanla yeni işler ortaya çıkıyorsa sistem dinamiktir

(Conway, Maxwell ve Miller, 2003: 7). Diğer bir deyişle, çizelgelenecek tüm işlerin

çizelgeleme işlemi başında elde bulunmasına statik çizelgeleme, işlerin zaman

içerisinde sürekli değiştiği çizelgelemeye ise dinamik çizelgeleme denir.

Temel alınan kıstaslardan biri de parametrelerin belirliliğidir. Buna göre stokastik ve

deterministik modeller olarak ikiye ayrılan çizelgeleme problemlerinde kaynakların

ve diğer kısıtların önceden bilindiği ve belirli bir olasılık dağılımına göre belirlendiği

kabul edilir. Bu ayrımdan sonra çizelgeleme problemleri temelde üç ayrı sınıfta

incelenir (Artiba ve Elmaghraby, 1997: 274).

a) Tek makine problemleri,

10

b) Paralel makine problemleri,

c) Atölye çizelgeleme problemleri (akış tipi atölye, iş atölyesi ve açık atölye).

Dolaylı olarak göz önüne alınan bir diger ölçüt de problemin çözülebilirliğidir.

Deterministik çizelgeleme problemleriyle ilgili araştırmaların büyük bir bölümü

etkili (polinom zamanlı) çözüm algoritmalarına bağlıdır. Buna karşın birçok

çizelgeleme problemi ise, polinom zamanlı algoritmalara sahip değildir. Bu tür

problemler NP-Zor (Non-deterministic Polinomial Hard) olarak tanımlanırlar

(Pinedo, 2008: 26).

Sonuç olarak, çizelgeleme literatürü; parametrelerin belirgin (deterministik) olduğu

durumdan belirsiz (stokastik) olduğu duruma, tek makineliden çok makineli geliş

sürecinin durağandan (statikten) dinamiğe değiştiği çesitli problem yapılarını kapsar.

(Eren ve Güner, 2002: 37) Klasik çizelgeme modelleri ve sistemleri hiyerarşik olarak

Şekil 1-1’ de görüldüğü gibi sınıflandırılır.

Çizelgeleme

Statik Dinamik

Deterministik

Modeller

Paralel Makine Akış Atölyesi İş Atölyesi Açık Atölye

Stokastik

Modeller

Tek Makine

Şekil 1-1 Çizelgeleme Modelleri

11

1.3.1. Tek Makine Modeli

Çizelgeleme problemlerinin en basit modeli, tek makine modelleridir. Tek makine

modellerinde amaç doğrultusunda iş sıralarının bulunması söz konusudur. Diğer

çizelgeleme modellerine temel oluşturduğu için tek makine problemlerinin

anlaşılması oldukça önemlidir. Tek makine problemleri çok basit göründüğü halde n!

tane alternatif sıralama mümkündür.

Problemler ilgili sektörün özelliklerine bağlı olarak stokastik veya deterministik

olabilir. Gerçek hayatta rastlanan, makine bozulmaları, beklenmeyen siparişler ve

düzensiz işlem zamanlarını içeren problemler stokastik problemlerdir. Stokastik ve

deterministik modellerin çözümünde benzer çözüm metotları kullanılır. Çizelgeleme

problemlerinin çözümüne ilişkin geliştirilmiş bir takım yöntemler vardır. Örneğin

dal-sınır algoritmaları, dinamik programlama ve ödünleşim eğrileri gibi yöntemler

tek makine problemlerinin çözümünde kullanılan yöntemlerdir. Meta sezgisel

yöntemlere örnek olarak tavlama benzetimi, tabu arama, karınca koloni

optimizasyonu, genetik algoritma ve parçaçık sürü optimizasyonu gibi teknikler

verilebilir. Bu problemlerde işler hangi sırada yapılırsa yapılsın tüm işleri bitirmek

için tamamlanma süresi (makespan) değişmez.

Polinomsal zamanda, diğer bir deyişle makul zaman dilimlerinde çözülebilir olan tek

makine problemlerinde performans göstergelerinin belirlenmesi çok önemlidir.

Farklı performans göstergelerini için geliştirilmiş farklı çözüm yöntemleri mevcuttur.

En sık kullanılan performans göstergelerine bağlı sıralama yöntemleri aşağıdaki gibi

açıklanmıştır (Nahmias, 2009: 425 ve Heizer ve Render, 2008: 612):

İlk Gelen İlk Hizmet Görür (First Come First Serve-FCFS): İşlerin verilen

sıralamada, ilk işin önce işlem görmesi esasına dayanır.

İlk Giren Son Hizmet Görür (First Come Last Serve-FCLS): İşlerin verilen

sıralamasında ilk işin son olarak işlem görmesini sağlar.

12

En Kısa İşlem Süresi (Shortest Processing Time-SPT): İşler işlem zamanlarına göre

küçükten büyüğe sıralanır. SPT kuralı işlem zamanına bağlı performans

ölçütlerinden toplam akış zamanını en küçüklemektedir.

En uzun İşlem Zamanlı Sıralama (Longest Processing Time-LPT): İşler en uzun

işlem zamanlıdan en küçük işlem zamanlıya doğru sıralanır.

En Erken Teslim Zamanlı Sıralama (Earliest Due Date-EDD): İşler teslim

zamanlarına göre küçükten büyüğe sıralanır. EDD kuralı maksimum gecikmeyi

(Lmax) ve maksimum geçligi (Tmax) en küçüklemektedir.

Kritik Orana Göre Sıralama (Critic Ratio): Kritik oran göstergesi; işler arasındaki

operasyon sırasına ek olarak atölyede bekleyen işleri de göz önünde

bulundurmaktadır. Bu oran, işlerin çizelgelenen günler içerisinde ilerlemesi için iş

sıralarının belirlenmesine yardımcı olur. Kritik oran; bugünden teslim tarihine kadar

olan zaman farkının, işin yapılması için kalan zamana oranıdır. Kritik oranı en küçük

olan işten başlayarak en büyük olana doğru sıralama yapılır.

Yukarıda açıklanan sıralama kurallarının daha iyi anlaşılabilmesi amacıyla en çok

kullanılan FCFS, SPT ve EDD kuralları kullanılarak tamamlanma zamanı, ortalama

akış zamanı, ortalama gecikme, toplam geçlik ve toplam geciken iş sayısı gibi bazı

performans ölçütleri bir örnek üzerinde hesaplanmıştır.

Dört işe ait işlem zamanları ve teslim tarihleri Tablo 1-1’de verilmiştir.

Tablo 1-1 Örnek Problem İçin İşlerin İşlem Zamanları ve Teslim Tarihleri

İş 1 2 3 4

İşlem zamanı 5 12 7 3

Teslim tarihi 14 10 6 27

İlk gelen ilk hizmet görür (FCFS) kuralına göre,

13

Tablo 1-2 FCFS Kuralına Göre İşlerin Sıralanması

Sıralama İşlem

zamanı

Tamamlanma

zamanı

Teslim

zamanı

Akış

zamanı Gecikme Geçlik

1 5 5 14 5 9 0

2 12 17 10 22 7 7

3 7 24 6 46 18 18

4 3 27 27 73 0 0

Toplam 27 73 - 146 34 25

Maksimum tamamlanma zamanı (makespan): 73

Toplam akış zamanı: 146

Ortalama akış zamanı: 146/4=36,5

Ortalama gecikme: 34/4=8,50

Toplam geçlik: 25

Toplam geciken iş sayısı: 2

En kısa işlem süresi (SPT) kuralına göre,

Tablo 1-3 SPT Kuralına Göre İşlerin Sıralanması

Sıralama İşlem

zamanı Tamamlanma

zamanı

Teslim

zamanı

Akış

zamanı Gecikme Geçlik

4 3 3 27 3 24 0

1 5 8 14 11 6 0

3 7 15 6 26 9 9

2 12 27 10 53 17 17

Toplam 27 53 - 93 56 26

Maksimum tamamlanma zamanı: 53

14

Toplam akış zamanı: 93

Ortlama akış zamanı: 93/4=23,25

Ortalama gecikme: 56/4=14

Toplam geçlik: 26

Toplam geçiken iş sayısı: 2

En Erken Teslim Zamanlı Sıralama (EDD) kuralına göre,

Tablo 1-4 EDD Kuralına Göre İşlerin Sıralanması

Sıralama İşlem

zamanı Tamamlanma

zamanı

Teslim

zamanı

Akış

zamanı Gecikme Geçlik

3 7 7 6 7 1 1

2 12 19 10 28 9 9

1 5 24 14 52 10 10

4 3 27 27 79 0 0

Toplam 27 77 - 94 20 20

Maksimum tamamlanma zamanı: 77

Toplam akış zamanı: 94

Ortlama akış zamanı: 94/4=23,5

Ortalama gecikme: 20/4=5

Toplam geçlik: 20

Toplam geçiken iş sayısı: 3

1.3.2. Paralel Makine Modeli

Klasik paralel makine çizelgeleme modelinde, n adet iş ve m adet paralel durumda

makine bulunmaktadır. Her makinenin özelliği aynıdır ve her iş herhangi bir

makinede işlenebilir özelliktedir. Paralel makine modeline örnek, Şekil 1-2’de

gösterilmiştir.

15

Paralel makine problemlerinde en sık rastlanan amaç fonksiyonu maksimum

tamamlanma zamanı ve toplam tamamlanma zamanı minimizasyonudur. Paralel

makine modellerinde çözümün iki temel aşaması vardır (Lopez ve Roubellat, 2008:

22):

a) Hangi ürün hangi makinede üretileceği belirlenir.

b) Her makinedeki işlemlerin sırasına karar verilir.

Paralel makine problemleri, makine yapısına bağlı olarak üç sınıfa ayrılır. Bunlar,

a) Özdeş: Tüm makinelerin işlem zamanları aynıdır.

b) Benzer: İşlem zamanları makine performansına göre benzer bir şekilde

değişir.

c) Bağımsız: İşlem süreleri farklı makineler arasında değişkenlik gösterir.

Genel paralel makine çizelgeleme problemlerinde, bağımsız bir iş grubu amaç

fonksiyonunu (tamamlanma zamanı) yerine getirecek şekilde de paralel makineler

üzerinde çizelgelenir.

Makine 1

Makine 2

Makine 3

İş 1 İş 3

İş 4

İş 5

İş 2

Şekil 1-2 Paralel Makine Modeli (Ceran, 2006)

16

1.3.3. Akış Tipi Atölye, İş Atölyesi Ve Açık Atölye Modelleri

Literatürde ‘Shop Scheduling’ olarak geçen atölye çizelgelemenin üç farklı sınıfı

bulunmaktadır. Bunlar akış tipi atölye (flow shop), iş atölyesi (job shop) ve açık

atölye (open shop) olarak ayrılmaktadır. Bu bölümde akış atölyesine kısaca

değinilecek, daha geniş olarak 2. bölümde anlatılacaktır.

Makinelerin seri olarak birbiri ardına sıralandığı yerleşim düzenlerine akış tipi (flow

shop) yerleşim denilmektedir (İşler, Toklu ve Çelik, 2009: 230). Akış tipi atölyelerde

işler; her bir operasyonunun farklı bir makinede gerçekleştirileceği, öncelik ilişkisine

sahip, operasyon adı verilen iş emirlerine bölünürler. Akış atölyelerinde bütün işler

atölyenin aşamalarını aynı sıra ile geçerler (Weng, 2000: 1359).

Birçok üretim ortamında bütün işler üzerinde bir dizi operasyon yapılması gerekir.

Bu, bütün işlerin aynı sırada aynı operasyonlardan geçmesini gerektirir. Bu

durumdan doğan akış tipi çizelgeleme kavramı temelde, m makina ve n işin

bulunduğu bir ortamda, her iş için m operasyonun bulunması ve bu operasyonların

farklı makinelerde ve aynı sıra ile yapılmasıdır.

Akış tipi atölyelerde aynı ürünün farklı boyutları üretilir. Atölyelerdeki makine

konfigürasyonu ürünlerin operasyon sırasına göre yapılır. Makineler özel amaçlı

olduğu için ve hızları yüksek olduğu için ürün akışı doğrusaldır. Bu nedenle üretim

planlama faaliyetleri, üretim kontrolü ve çizelgeleme çalışmaları atölye tipi ortama

göre daha kolaydır.

Akış tipi atölye yerleşimi Şekil 1-3’ de gösterilmiştir.

17

Atölye çizelgeleme modellerinden bir diğeri de iş atölyesidir (job shop). İş

atölyelerinde her iş tüm makinelerde veya bazı makinelerde işlenecek bir kaç

operasyondan oluşur ve her işin takip ettiği kendine ait bir işlem rotası mevcuttur.

Akış tipi atölyelerden farklı olarak iş rotalarının her iş için aynı olma zorunluluğu

yoktur. Bu nedenle, bir iş atölyesinde çizelgeleme yapabilmek için, her makinede

işlem görecek işlerin sıralamasına karar vermek gerekir. Bazı modellerde bir iş bir

makineyi birkez ziyaret ederken, bazılarında ise birden fazla ziyaret söz konusudur.

(Cheng, Gen ve Tsujimura, 1999: 344, Pinedo 2008: 179, Pinedo 2009: 83).

Atölye tipi çizelgeleme problemi, m tane makinede işlenmek üzere n tane işi, daha

önceden tayin edilmiş bir geçiş sırası ve kapasite sınırlamalarını göz önüne alarak,

amaç fonksiyonunu eniyileyecek şekilde her bir işlemin başlama zamanını

belirlemek olarak ifade edilir. Bu tip problemlerde her bir işin rotası yani

makinelerden geçiş sıraları farklı olacağı için iki tip kısıtlama sözkonusudur. İlk kısıt,

bir işe ait operasyon tamamlanmadan o işin diğer operasyonunun başlayamamasıdır.

Bununla birlikte bir iş bir anda sadece tek bir makine tarafından işlenebilir. İkinci

kısıt ise, bir makine üzerinde aynı anda sadece bir iş işlenebilir (Şevkli ve Yenisey,

2006: 59).

Şekil 1-3 Akış Atölyesi Yerleşimi

1m 12 11

22 21 2m

n1 n2 nm

18

Bu kısıtlara ek olarak klasik atölye tipi çizelgeleme problemlerinde bazı varsayımlar

bulunmaktadır (Carlier ve Pinson, 1989: 164, Sule, 2008: 327):

a) Bir operasyon işlem anında kesilemez, bölünemez.

b) Bir makine belirli bir anda sadece bir işi işleyebilir.

c) Bütün siparişler, işlem süreleri ve iş istasyonları bilgileri tam olarak bilinmeli

ve sıfır anından çalışmaya hazır olmalıdır.

d) Hazırlık ve taşıma süreleri işlem sürelerine dahil edilmiştir.

e) İş istasyonları çizelgeleme faaliyeti başlarken boştur, asla bozulmazlar, bakım

istemezler ve personel yokluğu çekmezler.

f) Her iş istasyonu tipinden sadece bir tane vardır.

g) Bütün işler eşit öneme sahiptir, öncelik sırası yoktur.

Makineler genel amaçlı olup, malzemelerin geçişleri ağırdır. Proses içi stoklar söz

konusu olabilir. Rotalar değişken ve işlenecek yeni işler süreklidir. Bu nedenle atölye

tipi üretim sistemlerinde çizelgeleme ve üretim kontrolü oldukça maliyetli ve zordur.

En basit iş atölyesi modelinde bir iş bir makineyi en fazla bir kez ziyaret edebilir.

Diğer modellerde, bir iş bir makineyi birkaç kez ziyaret edebilir, bu resirkülasyon

(recirculation) olarak ifade edilir. Bir iş atölyesindeki iş akışı Şekil 1-4’ de

gösterilmiştir.

Şekil 1-4 Bir İş Atölyesinde İş Akışı

(Pinedo, 2009: 24)

19

Atölye tipi çizelgeleme problemlerinde n iş m makine olmak üzere tüm çizelgelerin

sayısı (n!)m

’dir. Makine ve iş sayısı artıkça çizelge sayısı artacaktır. Bu yüzden

atölye çizelgeleme problemleri zor problemler olarak kabul edilirler ve optimal

çözümleri bulmak zor olduğundan genellikle çözüme yönelik bir takım sezgisel

algoritmalar geliştirilmiştir (Şevkli ve Yenisey, 2006: 59).

Bir diğer atölye modeli açık atölyedir (openshop). Açık atölyelerde, bir işi oluşturan

operasyonların farklı makinelerde işlenme sıralarının önemi yoktur. Başka bir

deyişle, operasyonların işlenmesi herhangi bir sırada olabilir, sıralamada bir kısıt

mevcut değildir. Açık atölyelere örnek olarak öğretmen-sınıf atamaları ve sınav

çizelgelemeleri verilebilir (Liaw, 2003: 2082).

Açık atölyeler atölye tipi çizelgelemenin özel bir sınıfını oluşturur ve açık atölyede

a) Her bir i işi m operasyon içerir Oij (j=1,…,m) ve Oij makine Mj üzerinde

işlenmek zorundadır.

b) Bir işin operasyonları arasında öncelik ilişkisi yoktur (Brucker, 2007: 158).

Açık atölye sistemi Şekil 1-5’de gösterilmiştir.

21 22

13 11

32

23

31

42 43

Şekil 1-5 Açık Atölye Modeli

(Sule, 2008: 367)

20

Literatürde yapılmış açık atölye ile ilgili olan araştırmaların çoğunda tamamlanma

zamanı minimizasyonu ele alınmıştır. Gonzalez ve Sahni (1976), iki makineli açık

atölyelerde tamamlanma zamanını enküçükleyen bir O(n) algoritması geliştirmiştir.

Gueret and Prins (1999), açık atölyelerde tamamlanma zamanını minimize eden bir

algoritma geliştirerek, farklı test problemleri üzerinde deneme yapmışlardır. Alcaide

v.d. (1997), açık atölyelerde tamamlanma zamanını minimize etmeyi amaçlamış ve

bunun için bir tabu arama (TS) algoritması geliştirmiştir. Son olarak Kyparisis ve

Koulamas (2000) iki kriterli açık atölye problemleri ile ilgili bir çalışma

sunmuşlardır.

21

BÖLÜM 2: AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME

İkinci bölümde akış tipi çizelgeleme problemlerinin yapısı ve varsayımları

incelenmiş, akış tipi çizelgeleme problemlerinin sınıflandırılması hakkında bilgi

verilmiş ve çalışmada ele alınan problemin formülasyonu açıklanmıştır. Son olarak

akış tipi çizelgeleme problemleri ile ilgili literatür çalışmasına yer verilmiştir.

2.1. Akış Tipi Çizelgeleme Problemleri ve Kabuller

Akış tipi çizelgeleme problemleri araştırmacıların yoğun olarak çalıştığı

optimizasyon problemlerinden birisidir. Şimdiye kadar farklı amaç fonksiyonuna

sahip, bir çok akış tipi çizelgeleme problemi çeşitli optimizasyon teknikleri

uygulanarak çözülmüştür. Düzenli akış tipi çizelgeleme problemleri; bir makine

grubu (M) ve bu makinelerde işlenecek bir iş seti (N) olmak üzere iki ana elemandan

oluşur. (Hejazi ve Saghafian, 2005: 2895).

Akış tipi çizelgeleme problemlerinde iş üzerinde yapılması gereken işlemler, her biri

ayrı makineler gerektiren ve operasyon olarak isimlendirilen bağımsız görevlere

ayrılmıştır. Bu nedenle iş, özel bir öncelik yapısına sahip operasyonlar topluluğunu

ifade eder. Şekil 2-1’de gösterildiği gibi, ilk operasyondan sonraki her bir operasyon

bir öncüle ve son operasyondan önceki her bir operasyon da bir ardıla sahiptir. Bu

nedenle her bir iş, tamamlanabilmesi için operasyonlarının belirli bir sırada

yapılmasına ihtiyaç duyar. Bu yapı, Doğrusal Öncelik Yapısı olarak adlandırılır

(Baker ve Trietsch, 2009: 225). Akış tipi çizelgeleme problemlerinde makineler seri

olarak dizilmiştir ve bir makinede operasyonu tamamlanan iş bir sonraki makinenin

sırasına katılır.

Şekil 2-1 Akış tipi Çizelgelemede Doğrusal Öncelik Yapısı

(Baker ve Trietsch, 2009: 226)

22

Akış tipi atölyelerde çizelgeleme çalışmaları, amaç fonksiyonunda yer alan kriterlere

göre tüm makinelerdeki iş geçiş sıralarını belriler. Akış tipinde çizelgeleme

yapılırken dikkate alınan amaçlar arasında, tamamlanma zamanının (Cmax)

minimizasyonu, iş akışının ve kaynakların kullanımının maksimizasyonu ile direkt

ilişkili olarak görülmektedir. Bu nedenle, yapılan çalışmaların bir çoğunda ele alınan

kriter tamamlanma zamanı minimizasyonudur. Tamamlanma zamanı kriterli akış tipi

çizelgeleme problemleri F Cmaxnotasyonuyla gösterilir. Bu tip bu problemler

daha sonraki bölümde anlatılacak olan NP-zor sınıfına girmektedir.

Akış tipi çizelgeleme problemlerinin temel varsayımları aşağıdaki gibidir (Ruiz ve

Maroto, 2005: 479-480):

a) i işi birim zamanda tek bir j makinesinde işlem görebilir.

b) j makinesi birim zamanda tek bir i işini yapabilir.

c) İşin bölünmesine izin verilmez, öyle ki j makinesi i işini yapmaya başladığı

zaman kesintiye uğratmaksızın tamamlaması gerekir.

d) Bütün işler birbirinden bağımsız ve sıfır zamanında hazırdır.

e) İşlerin makinelerdeki hazırlık zamanları önemsizdir ve çizelgeleme sırasında

göz ardı edilebilir.

f) Makineler çizelgeleme boyunca çalışır durumdadır.

g) Süreç içi stoğa izin verilir. Herhangi bir iş, çizelgenin bir sonraki adımında

ihtiyaç duyduğu makine meşgulse, ilgili makinenin kuyruğuna girerek

bekleyebilir.

2.2. Akış Tipi Çizelgeleme Modelleri

Bu bölümde, akış tipi çizelgeleme modelleri basit akış tipi (İki-üç makine ve Johnson

Algoritması) çizelgeleme, permütasyon akış tipi çizelgeleme ve olarak iki başlık

altında incelenecektir.

23

2.2.1. Basit Akış Tipi Çizelgeleme (İki-Üç Makineli Durum ve

Johnson Algoritması)

İki makineli akış tipi çizelgeleme problemleri, akış tipi çizelgeleme problemlerinin

en sık rastlanan tipidir. 1954 yılında Johnson, iki makineli sistemlerde işlerin

tamamlanma zamanının en küçüklenmesini sağlayarak, optimum sonucu veren

algoritmayı göstermiştir. Johnson kuralı 3 adımda gerçekleşmektedir (Baker ve

Trietsch, 2009: 230):

Adım 1: İşler arasından en küçük işlem süreli iş bulunur.

Adım 2: Birinci adımda bulunan en küçük süreli iş, birinci makinede ise, sıralamanın

başındaki ilk uygun sıraya yerleştirilir. Eğer birinci adımda bulunan en

küçük süreli iş ikinci makinede ise, sıralamanın sonundaki ilk uygun sıraya

yerleştirilir. İki makinede de eşit süreye sahip (minimum) iş varsa keyfe

göre sıralanabilir.

Adım 3: Çizelgelenmemiş işler arasından, ataması yapılan iş çıkarılır ve kalan işler

için 1. adıma dönülür. Bütün işler çizelgeye yerleşene kadar bu süreç

tekrarlanır.

Johnson Kuralı bir örnek ile sunulmuştur.

Örnek: İki makine ve beş işten oluşan bir sistemde işlerin makinelerde geçirdikleri

süre dakika olarak Tablo 2-1’de verilmiştir.

24

Tablo 2-1: Johson Algoritması İçin Örnek

(Heizer ve Render, 2008: 616)

İş Makine 1 Makine 2

A 5 2

B 3 6

C 8 4

D 10 7

E 7 12

Kurala göre önce en küçük işlenme zamanına sahip iş bulunur. A işi, işlem süresi (2)

en küçük zamanlı iştir ve 2. makinedeki operasyonu en küçük işlem zamanına

sahiptir. En küçük işlem zamanı 2. makinede olduğu için sıralamanın en sonuna A

işini atanır.

A işini çizelgelenecek işler arasından çıkarıp, kalan işlem zamanları arasından en

küçük zamanlı işi (B) tekrar seçeriz. B işi işlem zamanı (3) mevcut durumdaki en

küçük işlem zamanına sahiptir ve 1. makinede olduğu için çizelgenin en başına B işi

yerleştirilir.

A ve B işleri çizelgelenmemiş işler arasından çıkarıldıktan sonra kalan üç iş

arasından en küçük işlem zamanına (4) sahip olan C işini seçeriz. Operasyon 2.

makinede olduğu için C işi çizelgenin sonundaki 2. sıraya atanır.

Geriye kalan D ve E işleri arasından en küçük işlem zamanlı iş olan E işini seçeriz ve

E işi 1. makinede olduğu için baştan 2. sıraya atanır.

Son olarak D işi de, kalan tek pozisyon olan 3. sıraya atanır. Sonuç olarak işler B-E-

D-C-A şeklinde sıralanır.

25

Örneğe ait çizelge Gantt şeması vasıtasıyla yapılmış ve Şekil 2-2’de gösterilmiştir.

Şemaya göre işlerin tamamlanma zamanı (Cmax) 35 dakikadır ve 2. makinenin toplam

boş bekleme süresi 4 dakikadır.

Şekil 2-2: Johnson Algoritmasına Göre Sıralanan İşlerin Gantt Şeması

Üç makineli durumda tamamlanma süresini minimize eden etkin bir teknik yoktur.

Bazı koşullar altında en iyi çözüm bulunabilir. Bu koşullar sağlanmadığı takdirde

analitik yöntemlerle işlerin en kısa zamanda bitirilmesini sağlayacak iş sırasının

bulunması zordur. Johnson algoritmasının n iş 3 makineye uyarlanabilmesi için

aşagıdaki şartların yerine getirilmesi gerekir (Radeleckzi, Toth ve Nagy, 2003: 60-

61):

a) Ai: i. işinin A tezgâhındaki işlem süresi,

b) Bi: i. işinin B tezgâhındaki işlem süresi,

c) Ci: i. işinin C tezgâhındaki işlem süresi olmak üzere,

En küçük Ai ≥ En büyük Bi veya En küçük Ci ≥ En büyük Bi.

Bu durumda hayali makineler yaratılır ve problem iki makineye indirgenir. Birinci

ve ikinci makinenin süreleri toplanır, tek makine haline dönüşür; ikinci ve üçüncü

makinenin süreleri toplanarak ikinci makinenin süreleri elde edilir ve Johson kuralı

uygulanır.

Örnek: Üç makine ve beş işten oluşan bir sistemde işlerin makinelerde geçirdikleri

süre dakika olarak Tablo 2-2’de verilmiştir.

26

Tablo 2-2: Üç Makineli Durum Örneği

İş

Makine

Ai Bi Ci

1 6 5 5

2 8 3 7

3 4 2 8

4 3 2 11

5 5 5 9

Problem iki makineye indirgenir. Hayali Ai+Bi ve Bi+Ci makineleri yaratılır. Ai ve

Bi makinelerinin süreleri toplanır, tek makine haline dönüşür; Bi ve Ci makinelerinin

süreleri toplanarak ikinci makinenin süreleri elde edilir ve Johson kuralı uygulanır.

Yaratılan hayali makineler Tablo 2-3’ de gösterilmiştir.

Tablo 2-3: Hayali Makineler

İş

Makine

Ai + Bi Bi + Ci

1 11 10

2 11 10

3 6 10

4 5 13

5 10 14

En küçük Ci ≥ En büyük Bi koşulu sağlanmaktadır. Johnson kuralı uygulandıktan

sonra elde edilen sıralama, 4-3-5-2-1 şeklindedir.

2.2.2. Permütasyon Akış Tipi Çizelgeleme

Akış tipi çizelgeleme problemlerinin özel bir sınıfını oluşturan permütasyon akış tipi

çizelgeleme problemlerinde (PFSP), n adet işin m adet makine üzerindeki işlem

sırası aynıdır. Klasik akış tipi çizelgeleme problemlerinde iş sıraları her makinede

27

farklı olduğu için mümkün olan çizelge sayısı (n!)m

iken, permütasyon akış tipi

çizelgelerde bu sayı (n!)’dir (Hejazi ve Saghafian, 2005: 2896).

Farklı makinelerde işlem sıralarının değişimine izin vermeyen permütasyon akış tipi

çizelgeler, genel akış tipi çizelgeleme problemlerinden daha basit bir yapıya sahiptir.

Akış tipi çizelgeleme problemlerinin bu basitleştirilmiş yapısı, genel akış tipi

problemlerin bir optimal çizelgesinin araştırılmasında kullanılır.

Bir optimum çözüm bulabilmek için (n!)m

adet çizelgenin araştırılması yerine, bütün

bu olası çizelgelerden bazıları Conway’in önerdiği iki teoremle elenir ve bu

teoremlerle ilk ve son iki makinelerde aynı iş sırasına sahip optimal bir çizelge elde

edilir (Ying, 2008: 349).

Teorem1: Tüm işlerin aynı anda hazır olduğu m makineli akış tipi çizelgeleme

problemlerinde, tamamlanma zamanının artan fonksiyonunu enküçüklemek amacına

bağlı kalarak, ilk iki makinede aynı iş sırasına sahip çizelgeleri dikkate almak

yeterlidir.

Teorem 2: İşlerin maksimum tamamlanma zamanının en küçüklenmesi hedefli ve m

makineli akış tipi çizelgeleme problemlerinde son iki makinede aynı iş sırasına sahip

çizelgeleri dikkate almak yeterlidir (Gupta ve Stafford, 2006: 701).

Bu teoremler yardımıyla eniyi iş sıralaması araştırılırken farklı makinelerdeki farklı

iş sıralarının göz önüne alınması gerekmektedir. Teorem 1’den (n!)m-1

adet

çizelgenin araştırılmasının yeterli olacağı görülmektedir. Teorem 2’de dikkate

alındığında (n!)m-2

adet çizelgenin araştırılmasının yeterli olacağı anlaşılır (Baker ve

Trietsch, 2009:229). Anlatılan teoremlerden yola çıkarak, permütasyon çizelgelerle

optimal çözümün elde edileceği iki durum söz konusudur (Gupta ve Stafford, 2006:

701):

a) İki makineli (m=2) ve düzenli bir performans ölçütünün en küçüklendiği

durumlar,

b) İki veya üç (m 3) makineli durumlar ve maksimum tamamlanma süresinin

(Cmax) en küçüklendiği durumlardır.

28

Permütasyon akış tipi çizelgelemede amaç, bir ya da daha fazla performans ölçütünü

en küçükleyecek bir permütasyon iş setinin bulunmasıdır. İki makineli akış tipi

sistemlerde optimal çözümler etkin çözüm zamanlarında bulunabilirken, makine

sayısı üç olduğunda ve üçü aştığında (m≥3) optimal çözümler etkin zamanlarda

bulunamamaktadır (Lomnicki, 1965: 89). Bu durumda, sezgisel ve metasezgisel

yöntemlerle yaklaşık (optimuma yakın) sonuçlar elde edilmeye çalışılmaktadır.

2.2.2.1.Permütasyon Akış Tipi Çizelgeleme Problemlerinin

Notasyonu

Permütasyon akış tipi çizelgeleme problemlerinin (PFSP) notasyonu, makine

sayısına ve amaç fonksiyonunu oluşturan kriter ya da kriterlere bağlı olarak

değişmektedir.

İki makine problemleri için gösterim F2/prmu ve m makineli durumlar için ise,

Fm/prmu şeklindedir. İki makineli duruma örnek olarak, F2/prmu/Cmax: iki makineli

permütasyon akış tipi ortamda maksimum tamamlanma zamanı kriterli problem,

F2/prmu/Fmax: iki makineli permütasyon akış tipi ortamda maksimum akış zamanı

kriterli problem, F2/prmu/ΣF: iki makineli permütasyon akış tipi ortamda toplam

akış zamanı kriterli problem, F2/prmu/ΣI: iki makineli permütasyon akış tipi ortamda

toplam boş makine zamanı kriterli problem verilebilir. m makineli durumlar için ise,

Fm/prmu/Fmax: m makineli-permütasyon akış tipi-maksimum akış zamanı kriterli

problem, Fm/prmu/ΣT: m makineli-permütasyon akış tipi-toplam geç bitirme zamanı

kriterli problem, F2/prmu/ΣI: m makineli permütasyon akış tipi-toplam boş makine

zamanı kriterli problem gibi örnekler verilebilir. Çok kriterli durumlara örnek olarak,

F2/prmu/Cmax, ΣF: iki makineli- permütasyon akış tipi-maksimum tamamlanma

zamanı ve toplam akış zamanı kriterli problem, Fm/prmu/Cmax, ΣT: m makineli-

permütasyon akış tipi-maksimum tamamlanma zamanı ve toplam geç bitirme zamanı

kriterli problem, Fm/prmu/Cmax, ΣF, ΣT: m makineli-permütasyon akış tipi-

maksimum tamamlanma zamanı, toplam akış zamanı ve toplam geç bitirme zamanı

kriterli problem verilebilir.

29

Bu tez çalışmasında, Fm/prmu/Cmax, ΣF, ΣI ile gösterilen m makineli-permütasyon

akış tipi-maksimum tamamlanma zamanı, toplam akış zamanı ve toplam boş makine

zamanı kriterli problem ele alınacaktır. Problemin amacı maksimum tamamlanma

zamanı, toplam akış zamanı ve toplam boş makine zamanının birlikte ve ayrı ayrı en

küçüklenmesidir.

2.2.2.2. Fm/prmu/Cmax, ΣF, ΣI Probleminin Formülasyonu

Permütasyon akış tipi çizelgeleme problemlerinde, i=1,2,…..,n iş setindeki her iş,

j=1,2,…..,m makine setindeki her makinede makinelerin diziliş sırasına göre işlenir.

İşlerin makinelerden geçiş sırası aynıdır ve tek yönlüdür. Bu çalışmada ele alınan

problem, çok amaçlı permütasyon tipi akış problemidir ve temel amacı, her bir

makinedeki iş sırasının aynı olduğu maksimum tamamlanma zamanını, toplam akış

zamanını ve toplam boş makine zamanını küçükleyen çizelgenin sezgisel

algoritmalarla bulunmasıdır.

tij i işinin j makinesi üzerindeki işlem süresini, n çizelgelenecek iş sayısını, m akış

atölyesindeki makine sayısını ve π ={π1 π2,..…..,πn} permütasyon iş setini gösterir.

π (i), π çizelgesindeki i. pozisyonda yer alan işi ifade eder.

C(πi, j), çizelgedeki π (i) işinin j makinesindaki tamamlanma zamanı gösterir ve

aşağıdaki eşitliklerle hesaplanır (Zobolas, Trantilis ve Ioannou, 2009:1250, Sridhar

ve Rajendran, 1996: 375):

C(π1, 1)= t(π1, 1) (2.1)

C(πi, 1)= C(πi-1, 1) + t(πi, 1) i=2,…..,n (2.2)

C(π1, j)= C(π1, j-1) + t(π1, j) j=2,...,m (2.3)

C(πi, j)= max{C(πi-1, j), C(πi, j-1)} + t(πi, j) i=2,...,n; j=2,…,m (2.4)

30

Maksimum tamamlanma zamanı (Cmax), toplam akış zamanı ( F) ve makinelerin

toplam boş bekleme zamanı ( I) aşağıdaki formüllerle ifade edilir (Yağmahan ve

Yenisey, 2008: 413):

Maksimum tamamlanma zamanı:

Cmax= C(πn, m) (2.5)

Toplam akış zamanı:

n

i

i 1

F C( ,m) (2.6)

Toplam boş makine zamanı:

1 i i-1

i=2

n= C(π , j-1)+ max C(π , j-1)I -C(π , j),0 j=2,...,m (2.7)

Modelde kullanılan varsayımlar şu şekilde sıralanmıştır:

a) Hazırlık zamanları işlem zamanına dahil edilir.

b) Başlanan bir iş o makinede bitirilir.

c) Bir makinede aynı anda birden fazla iş yapılamaz.

d) Makinelerin çizelgeleme periyodu boyunca arızalanmaz.

e) İşlerin hepsi sıfırıncı zamanda hazır durumdadır.

2.2.2.3. Fm/prmu/Cmax, ΣF, ΣI Probleminin Sınıfı

Optimizasyon problemleri, karar değişkenlerinin tamsayılı değerler alması ve reel

değerler alması durumuna göre sınıflandırılır. Değişkenler tam sayılı değerler

alıyorsa kesikli optimizasyon problemi; reel değerler alıyorsa sürekli optimizasyon

problemi olarak ifade edilir. (Engin ve Döyen, 2004: 71). Karar değişkenlerinin

kesikli değerler aldığı problemleri ifade etmek için kombinatoryal terimi kullanılır.

Bu problemlerde çözüm, tamsayıların veya bazı diğer kesikli unsurların sırası veya

setidir. Bu tip problemlerin optimum çözümünü bulma problemi kombinatoryal

optimizasyon olarak adlandırılır. Bu tür problemlere örnek olarak aşağıda sıralanan

problemler verilebilir (Rayward-Smith v.d., 1996: 2, Aydemir, 22.01.2010: 2):

31

a) Enkısa yol problemleri

b) Gezgin satıcı problemleri

c) Atama problemleri

d) Çizelgeleme problemleri

e) Araç rotalama problemleri

Tüm kombinatoryal eniyileme problemleri iki sınıf altında toplanmaktadır (Aydemir,

22.01.2010: 7):

a) P (Deterministically Polynomial-Deterministik Polinomsal)

b) NP(Non-deterministically Polynomial-Deterministik Olmayan Polinomsal)

P tipi problemler için geliştirilmiş algoritmalar, bir bilgisayar üzerinde

çalıştırıldığında makul zaman dilimi içinde bir çözüm üretebilmektedir. Diğer bir

deyişle, P tipi problemler polinomsal zamanda çözülebilmektedir. NP tipi

problemlere polinomsal zamanda bir çözüm bulunamamakta, ancak üstel zamanda

etkin olarak çözülebilmektedir (Eren ve Güner, 2002: 41).

P sınıfındaki bir problemlemin en iyi çözümü elde edilebilirken, NP sınıfı

problemlerin en iyi çözümlerine makul zamanlarda ulaşılamaz.

Başka bir ifade ile, ele alınan problemin çözümüne ulaşmak için geçirilen basamak

sayısı problem boyutunun bir kuvveti ile kısıtlanıyorsa bu tür problemler P

(polynomial time) sınıfına dahil edilirler. Problem belirsiz bir çözüme imkan sağlıyor

ve çözümü kanıtlamak için ihtiyaç duyulan basamaklar sayısı problem boyutunun

üstel bir değeri olarak kısıtlanabiliyorsa bu tür problemler de NP-problem sınıfına

dahil edilirler (Weisstein, 31.07.2010: 1).

Bir problemin çözümünde kullanılan algoritma, başka bir NP problemini çözen

algoritmaya dönüştürülebiliyorsa, böyle problemlere NP-zor (NP-hard) problemler

denir. NP sınıfı problemlerde, optimum çözüme ulaşma zamanında problem

boyutuna bağlı polinomiyal olmayan artış hızları söz konusudur. Eğer P probleminin

kendisi de NP sınıfında bir problemse ve NP sınıfındaki diğer problemler polinomial

olarak P problemine dönüştürülebiliyorsa, bu durumda P problemine NP-tam (NP-

32

Complete) problemler denir (Bülbül, 2011: 49-50). NP-tam hem NP olup, hem NP-

zor olan problemlerin sınıfıdır. Dolayısıyla bu sınıftaki problemler NP sınıfının en

zor problemleridir. NP-tam problemlerinin iki önemli özelliği vardır (Sen, Sulek ve

Dileepan, 2003: 9)

1. NP-tam problemlerinin hiçbiri işlem zamanı problem büyüklüğünün

polinomiyal fonksiyonu olan bir çözüm algoritmasına sahip değildir.

2. Eğer NP-tam sınıfındaki iki problemden biri için polinomiyal zamanlı çözüm

algoritması bulunabilmişse, diğer problem ve bu sınıftaki tüm problemler için

de polinomiyal zamanlı bir algoritma bulunabilir.

Akış tipi çizelgeleme problemlerinin tek veya iki makineli olması durumunda, bu

problemler kolay sınıfına girmektedir. Tezgâh ve iş sayısının büyümesi durumunda,

mümkün çizelgelerin sayısı da büyüyeceği için en iyi çizelgenin tespiti için

harcanacak zaman aşırı fazladır. Bu problemlerin çözümü için bir polinomiyal zaman

algoritması olmadığından, böyle problemler NP-zor olarak nitelendirilirler.

Bu çalışmada ele alınan, çok sayıda iş ve çok sayıda makine içeren, maksimum

tamamlanma zamanı, toplam akış zamanı ve toplam boş makine zamanının birlikte

en küçüklenmesi performans ölçütlü permütasyon akış tipi çizelgeleme problemleri

NP-zor sınıfına girmektedir.

Kombinatoryal problemlerin çoğunluğu NP sınıfına girmektedir ve bu problemler

kesin çözüme ulaşmak zordur. Bu nedenle, optimum çözüme ulaşmak yerine,

yaklaşık çözümler araştırılır. Bu problemlerin kesin çözüme ulaştırılması çok uzun

zaman alacağından yerel arama teknikleri ile yaklaşık çözümler elde edilmeye

çalışılır. Temelde NP problemlerin çözümünde kullanılan yöntemler şu şekilde

sıralanabilir:

a) Yapay sinir ağları

b) Yerel arama yöntemleri

c) Genetik algoritma

d) Tabu arama

33

e) Tavlama benzetimi

f) Karınca koloni optimizasyonu

g) Yapay bağışıklık sistemi

h) Parçacık sürü optimizasyonu

2.3. Literatür Taraması

Çizelgeleme problemleriyle ilgili ilk çalışma 20. yüzyıl başlarında Henry Gantt ile

başlamıştır. Akış tipi çizelgeleme ile ilgili ilk çalışmayı ise, 1954 yılında S. M.

Johson yapmış ve iki makineli sistemlerde tamamlanma zamanının en küçüklenmesi

için bir algoritma sunmuştur (Yağmahan ve Yenisey, 2008: 412)

Johnson’un öncü çalışması sonrasında, PFSP araştırmacıların ilgisini çekmiş ve bu

problemlerin çözümü için gerek kesin metotlar gerekse sezgisel metotlar üzerinde

çok sayıda çalışmalar yapılmıştır. PFSP’nin NP-Tam sınıfında olmasından dolayı,

araştırmacıların çoğu etkin sezgisel ve metasezgisel yöntemler elde etme üzerine

odaklanmışlardır (Ruiz, Maroto ve Alcaraz, 2006: 462).

Çizelgeleme araştırmaların çoğunluğu tek kriter üzerine yapılmış olsa da son yıllarda

yapılan çalışmalarda araştırmacılar iki yada daha fazla kriter üzerine çalışmaya

başlamışlardır. Çünkü, gerçek yaşam problemleri karar vericilerin birden fazla kriteri

göz önüne almaları gerektiğini göstermektedir.

2.3.1. Kesin Yöntemler

Literatürdeki çizelgeleme problemlerinin çözümü için geliştirilmiş metotlar iki

sınıfta kategorize edilir. Bunlar: kesin yöntemler (exact algorithm) ve sezgisel

yöntemlerdir (heuristic algorithm). Kesin yöntemler problemlerin çözümü için

optimum sonuçları garanti ederken, sezgisel yöntemler optimuma yakın sonuçlar

verir.

Daha öncede belirtildiği gibi, akış tipi çizelgeleme problemleri NP sınıfından olduğu

için, kesin metotlar sadece küçük boyutlu problemlerin çözümünde kullanılır. Dal

sınır ve dinamik programlama gibi kesin yöntemler daha çok küçük boyutlu

34

problemlerde etkin zamanlı çözümler sunmaktadırlar. Hesaplama zamanının üstel

olarak artması sebebiyle bu yöntemler büyük boyutlu problemlerde etkin çözümler

sağlayamamaktadır.

Ignall ve Schrage (1965), ilk olarak dal-sınır tekniğini akış tipi çizelgeleme

problemlerine uygulamaya çalışmışlardır. İki makineli bir üretim ortamında, 9 işe

kadar olan problemlere dal-sınır tekniğini uygulayarak, en küçük ortalama

tamamlanma zamanını veren iş sırasını bulmayı hedeflemişlerdir. Ayrıca, üç

makineli 10 işe kadar olan problemlerde de maksimum tamamlanma zamanının

enküçüklenmesi üzerine çalışmışlardır.

Lageweg ve arkadaşları (1978), m makineli bir akış ortamında maksimum

tamamlanma zamanını enküçükleyen permütasyon çizelgeleri bulabilmek için bir

dal-sınır algoritması önermişlerdir. Yaptıkları çalışmada, algoritmanın ulaştığı bir alt

sınır sınıflandırması yapmışlardır. Aynı zamanda algoritmalarının yeni bir sınıra

ulaştığını göstermişlerdir.

Potts (1980), PFSP’de tamamlanma zamanının enküçüklenmesi için adapte edici

dallar oluşturan bir algoritma geliştirmiş ve sayısal sonuçlar üzerinde önerilen

algoritmanın daha önceki çalışmalara göre daha iyi sonuç verdiğini göstermiştir.

Selen ve Hott (1986), maksimum tamamlanma zamanı ve ortalama akış zamanının

enküçükleme problemini karışık tamsayılı hedef programlama ile ilk defa formüle

etmişlerdir. Modelleri mn + n + m kısıttan oluşmaktadır ve örnekleri 4 iş 6 makineyi

içerir. Wilson (1989), Selen ve Hott (1986)’ın modelini daha az değişken kullanarak

karışık tamsayılı programlama ile çözmüşlerdir. Model, 2mn + n – m kısıttan

oluşmaktadır. Modeli kullanarak 7 makina 20 işe kadar çözmüşlerdir.

Rajendran (1992), iki makineli akış tipi çizelgeleme problemlerinde, toplam akış

zamanını ve maksimum tamamlanma zamanını en küçüklemek için bir dal-sınır

algoritması ve iki sezgisel algoritma önermiştir. Dal-sınır algoritmasını 10 işe kadar

olan problemler üzerinde, sezgisel algoritmaları ise 24 işe kadar olan problemler

üzerinde denemiş ve optimale yakın sonuçlar elde etmiştir.

35

Nagar ve arkadaşları (1995), iki makinalı akış tipi çizelgelemede ağırlıklı toplam akış

zamanı ve ağırlıklı maksimum tamamlanma zamanını enküçükleme problemini

incelemişlerdir. Problem için dal-sınır yöntemi geliştirmişleridir. Problemi 10 ve 14

iş için çeşitli ağırlık değerleri vererek çözmüşlerdir.

Sivrikaya, Şerifoğlu ve Ulusoy (1998), iki makinalı permütasyon akış tipi

probleminde ağırlıklı maksimum tamamlanma zamanı ve ağırlıklı ortalama akış

zamanı ve minimize etmek için Rajendran (1992) ve Nagar ve arkadaşlarının (1995)

dalsınır yaklaşımını genişleterek 18 işe kadar çözmüşlerdir. Geliştirdikleri dal-sınır

yaklaşımının alt sınırlarının Ignall and Schrege (1965)’e göre daha iyi sonuç

verdiğini göstermişlerdir

Sayın ve Karabatı (1999), iki kriterli ve iki makineli akış problemlerini iteratif olarak

çözen ve küçük boyutlu problemlerde etkili sonuç veren dal-sınır yöntemi sunmuştur.

Su ve Chou (2000), toplam akış zamanı ve maksimum tamamlanma zamanını

enküçükleme problemini hazırlık ve işlem zamanları ayrılmış dinamik akış tipi

çizelgeleme problemi için karışık tamsayılı programlama modeli sunmuşlardır.

Croce ve arkadaşları (2002), iki makineli permütasyon akış tipi çizelgeleme

problemlerinde toplam akış zamanının enküçüklenmesi için, Lagrangean

gevşetmesine bağlı bir alt sınır geliştirmişler ve aynı zamanda iki yeni üstünlük

kriteri önermişlerdir.

Balasubramanian ve Grossmann (2002), bulanık işlem zamanlı akış tipi çizelgeleme

problemi için karışık tamsayılı doğrusal programlama modeli önermişlerdir.

Çalışmada, zamanları kesin olarak bilinmeyen akış tipi çizelgeleme problemlerinde

kesikli olasılık dağılım fonksiyonunu kullanmışlar ve maksimum tamamlanma

zamanını enküçüklemeyi amaçlanmışlardır.

Akkan ve Karabatı (2004), iki makineli permütasyon akış tipi çizelgeleme

problemlerinde toplam akış zamanının eniyilenmesi için bir dal-sınır algoritması

geliştirmişlerdir. Algoritmanın ana özelliği, problemin formülasyonuna bağlı olarak

36

bir alt sınır şeması oluşturmaktır. Geliştirilen algoritma 60 işe kadar olan problem

örnekleri üzerinde denenmiştir.

Ladhari ve Haouari (2005), permütasyon akış tipi çizelgeleme problemleri için

geliştirilmiş mevcut algoritmaları incelemişler ve çeşitli alt sınır hesaplamaları

yapmışlardır. Carlier ve arkadaşları (1996)’nın dallandırma ve düğüm seçim

kurallarını kullanarak daha dar alt sınırlar içeren yeni bir dal-sınır algoritması

geliştirmişlerdir. Rastgele saylarla üretilmiş 8000 operasyonlu promlemlere kadar ve

Taillard’ın 2000 operasyonlu test problemlerine kadar deneme yapmışlar ve optimal

sonuçları elde etmişlerdir.

Chen (2006), tekrar girişli PFSP’de tamamlanma zamanını en küçükleyen bir dal

sınır algoritması geliştirmiştir. Rastgele sayılarla üretilmiş test problemleri ile

algoritmayı denemiş ve sonuçlar geliştirilen algoritmanın verimli olduğunu

göstermiştir.

Ng v.d. (2010), iki makineli, işlem zamanları sabit olmayan PFSP’nin, toplam akış

zamanının en küçüklenmesi amaçlı dal sınır algoritması önermişlerdir. Bu çalışmada,

bir sezgisel algoritma kullanarak birkaç baskın özellik, bir alt sınır ve bir başlangıç

üst sınırı elde etmişler, bunları dal-sınır algoritmasının eliminasyon prosesini

hızlandırmak için kullanmışlardır.

Kouki ve arkadaşları (2011), permütasyon akış tipi üretim sisteminde maksimum

tamamlanma zamanını enküçüklemek amacıyla paralel dal-sınır algoritması

geliştirmişlerdir. Aynı zamanda üst sınır değerini güncellemek için makineler

arasındaki iletişimi sağlamak için bir takım talimatlar içeren yeni parallelik stratejisi

sunmuşlardır. Algoritmalarını Taillard’ın test problemlerinde denemişler ve

Taillard’ın 043 ve 050 numaralı, henüz çözülmemiş test problemleri için çözüm elde

etmişlerdir.

2.3.2. Sezgisel Yöntemler

Akış tipi çizelgeleme problemlerinin karmaşık yapısı ve optimum çözümlere ulaşma

güçlüğü, uygun sürelerde büyük boyutlu problemler için optimuma yakın çözümler

37

üreten sezgisel yöntemlerin gelişmesine neden olmuştur. Genel olarak sezgisel

yöntemler iki grupta sınıflandırılır: Çözüm kurucu sezgiseller (constructive

algorithm) ve çözüm geliştirici sezgiseller (improvement algorithm) (Ruiz ve

Maroto, 2005).

2.3.2.1. Çözüm Kurucu Sezgiseller

Çözüm kurucu Sezgisellerin özellikleri aşağıda verilmiştir (Aydemir, 22.01.2010: 1):

a) İyi bir çözüm elde etmek için tekrarlı bir şekilde araştırma yapar.

b) Çözüm kurucu yöntemler, ilk olarak küçük bir başlangıç çözümü seçer ve tam

bir çözümü yakalayana kadar adım adım ilerleyerek çözüm parçalarını kısmi

çözüme katar.

c) Kısmi çözüme hangi çözümün ekleyeceğini rastgele ya da sezgisel olarak

belirler.

d) Her aşamada sezgisel olarak bulunan ve amaç fonksiyonu doğrultusunda en

iyi sonucun olduğu çözüm parçası kısmi çözüme ilave edilir.

Permütasyon akış tipi çizelgeleme için geliştirilen ilk sezgisel algoritma Johson

algoritmasıdır. Diğer yazarlar Johson algoritmasını temel alarak yeni algoritmalar

geliştirmişlerdir. Page (1961), Dudek ve Teuton (1964) Johson yaklaşımını

kullanarak, permütasyon akış tipi problemler için m aşamalı bir kural geliştirerek

toplam boş makine süresini minimize etmeyi amaçlamışlardır.

Palmer (1965), permütasyon akış tipi m iş n makineden oluşan sistemlerde

tamamlanma zamanını enküçüklemeyi amaçlamıştır. Her işe ağırlık veya alan

indeksi atayarak, işleri ağırlık ya da indekslerine göre sıralamıştır.

Campbell, Dudek ve Smith (1970), CDS olarak bilinen ve Johnson algoritmasını

temel alan bir sezgisel algoritma geliştirmişlerdir. Bu yönteme göre, makineler iki

farklı makine grubunda toplanır ve iki makineli problemler gibi kabul edilerek, m-1

çizelge oluşturulur. Bu algoritmayı, Palmer’in algoritmasıyla karşılaştırmışlar ve

daha iyi sonuçlar elde etmişlerdir.

38

Gupta (1971), Palmer’in indeks yöntemini değiştirerek, mevcut tekniklerle

çözülemeyen m makineli akış tipi çizelgeleme problemleri için pratik çözümler

üreten sezgisel algoritma geliştirmiştir.

Gupta (1972), n iş m makineli akış ortamları için üç farklı sezgisel algoritma

önermiştir. Bu üç algoritma tamamlanma zamanı ve ortalama akış zamanı kriterleri

açısından CDS ile karşılaştırılmış ve sadece ortalama akış zamanı açısından en iyi

sonucu vermiştir.

CDS algoritmasından daha iyi sonuçlar veren bir algoritma, Dannenbring tarafından

1977’de geliştirilmiştir. Dannenbring akış tipi çizelgeleme problemi 11 farklı

algoritma geliştirmiş ve tamamlanma zamanının en küçüklenmesi amacı altında daha

iyi sonuçlar elde edilebileceğini göstermiştir.

Johnson ve Palmer algoritmalarına dayanmayan algoritmalar da geliştirilmiştir.

Bunlardan ilki King ve Spachis tarafından 1980 yılında yapılmıştır. King ve Spachis,

beklemesiz PFSP için dağıtım kuralına bağlı beş farklı sezgisel algoritma

geliştirmiştir. Farklı bir yaklaşım da 1982 yılında Stinson ve Smith tarafından

sunulmuştur. Tamamlanma zamanını enküçüklemek amacıyla gezgin satıcı

probleminden yola çıkarak PFSP için altı farklı algoritma geliştirmişler ve 50 iş 50

makineye kadar olan problemlerde yöntemleri test etmişlerdir.

1983 yılında Nawaz, Enscore ve Ham, işleri makinelerde geçirdikleri sürelerin

toplamına bağlı olarak büyükten küçüğe doğru sıralayan bir algoritma önermişlerdir.

Geliştirdikleri algoritmayı mevcut sezgisellerle karşılaştırdıklarında daha iyi sonuçlar

elde etmişlerdir.

1988 yılında Hundol ve Rajgopal, Palmer’in sezgiselinden yola çıkarak CDS

algoritmasının hızını örnek alan yeni bir algoritma geliştirmişlerdir. Geliştirilen

algoritmanın hesaplama süresi oldukça küçük olmasına rağmen, CDS algoritması ile

karşılaştırıldığında daha iyi sonuçlar elde etmişlerdir. Denemelerini 150 iş 20

makineye kadar olan örneklerde gerçekleştrimişlerdir.

39

Rajendran ve Chaudhuri 1991 yılında, toplam akış zamanının en küçüklenmesi

amacıyla akış tipi üretim çizelgeleme problemini üç farklı sezgisel ile çözerek, etkin

hesaplama zamanlarında optimale yakın sonuçlar elde edilebileceğini

göstermişlerdir.

Sarin ve Lefoka (1993), PFSP’de, işlerin toplam tamamlanma zamanını

enküçüklemeyi hedef alan bir algoritma geliştirmişlerdir. Önerilen algortitma son

makinedeki boş zamanı enküçüklemeye dayanmaktadır ve büyük boyutlu

problemlerde iyi performans gösterdiği belirlenmiştir.

Rajendran (1995), PFSP’de toplam akış zamanı, tamamlanma zamanı ve toplam

makine boş zamanını enküçüklemeyi hedefleyen bir algoritma önermiş ve

algoritmanın Ho ve Chang’ın önerdiği algoritmadan daha iyi sonuç verdiğini 50 iş 30

makineye kadar olan problemler üzerinde deneysel olarak göstermiştir.

Pour (2001), maksimum akış zamanını enküçükleyen bir algoritma önermiştir. Farklı

büyüklüklerdeki 2000 problem üzerinde yaptığı çalışmada, elde ettiği sonuçları üç

farklı sezgisel yöntemle karşılaştırmış ve büyük boyutlu problemlerde önerdiği

algoritmanın üstünlüğünü kanıtlamıştır.

Laha ve Chakraborty (2011), PFSP’de işlerin toplam tamamlanma zamanını

enküçüklemek amacıyla çözüm kurucu bir sezgisel algoritma önermişlerdir.

Algoritma popülasyon temelli algoritmalara dayanmakla birlikte, NEH

algoritmasındaki eklenti kuralı kullanılarak geliştirilmiştir. Geliştirilen algoritma

Framinan–Leisten ve Woo–Yim tarafından geliştirilen sezgisel algoritmalarla

karşılaştırılmıştır. Küçük ve büyük boyutlu problemlerde Woo–Yim’in sezgiselinden

daha iyi sonuç vermiştir. Küçük boyutlu problemlerde Framinan–Leisten

sezgiselinden daha iyi, büyük boyutlu problemlerde daha kötü sonuç vermiştir

2.3.2.2. Çözüm Geliştirici Sezgiseller

Çözüm geliştirici sezgisel algoritmalar, eklenen bir takım yeni prosedürlerle mevcut

sezgisellerden elde edilen çözümleri iyileştirmeye çalışırlar. Bunlardan ilki,

Dannenbring tarafından 1977 yılında sunulmuştur. Dannenbring, iki tane geliştirici

40

sezgisel algoritma önermiştir. Birincisi, dar arama ile hızlı ulaşım ve ikincisi de,

geniş arama ile hızlı ulaşım tekniğidir. Dar arama ile hızlı ulaşım yönteminde, tüm

komşu iş çiftlerinin sıraları değiştirilerek yeni sıralar elde edilmiş ve bunlar arasından

en iyi sonucu veren çizelge seçilmiştir. Dar arama ile hızlı ulaşım yönteminde, geniş

arama ile hızlı ulaşım yönteminin aşamaları tekrarlanarak daha iyi sonuçlar elde

edilmeye çalışılmıştır (Dannebring, 1997:1176).

Ho ve Chang (1991), PFSP’de, ardışık işlemler arasındaki bekleme zamanlarını

enküçükleyen yeni bir sezgisel önermişlerdir. Tamamlanma zamanı, ortalama akış

zamanı ve ortalama makine boş zamanı hedefleri açısından önerilen sezgiselin, diğer

sezgisellere göre oldukça iyi sonuçlar verdiğini belirmişlerdir.

Woo ve Yim (1998), permütasyon akış tipi ortamlarda ortalama akış zamanı ve

tamamlanma zamanını enküçüklemek amacıyla iş ekleme metoduna dayanan bir

sezgisel geliştirmişlerdir. Sezgiselin etkinliğini değerlendirmek amacıyla simulasyon

çalışması gerçekleştirmişlerdir. Simülasyon çalışması, geliştirilen sezgisel yöntemin

mevcut diğer sezgizel yöntemlere göre daha etkin sonuçlar ürettiğini göstermiştir.

Suliman (2000), iki aşamalı çözüm geliştirici bir yöntem önermiştir. Yönteme göre,

ilk aşamada CDS yöntemiyle bir çizelge elde edilir; ikinci aşamada ise tamamlanma

zamanını enküçüklemek amacıyla, birinci aşamada elde edilen çizelge iş değişim

mekanizmasıyla geliştirilir. Bu yöntem NEH yöntemiyle benzer sonuçları

vermektedir.

Framinan, Leistein ve Rajendran (2003), NEH yöntemini toplam akış zamanı,

tamamlanma zamanı ve toplam makine boş zamanını enküçükleyecek şekilde

geliştirmişler ve 177 farklı başlangıç sırası oluşturarak bunların performanslarını

değerlendirmişlerdir. Bu yeni sezgiselin literatürdeki diğer sezgisel yöntemlere göre

daha üstün olduğunu sayısal sonuçlarla göstermişlerdir.

Ravindran v.d. (2005), HAMC olarak adlandırdıkları algoritma ile toplam akış

zamanı ve maksimum tamamlanma zamanı hedefli permütasyon akış tipi çizelgeleme

problemini çözmüşlerdir. Elde ettikleri sonuçları Rajendran ve Chaudhuri’nin

çözümüyle karşılaştırmışlar ve daha iyi sonuçlar elde etmişlerdir.

41

Chakraborty ve Laha (2007), PFSP için yeni bir algoritma geliştirmişler. Geliştirilen

algoritmanın temeli NEH yöntemine dayanmaktadır. Algortima, rastgele sayılardan

oluşturulan problemler üzerinde test edilmiş ve NEH ve Koulumas (1998) tarafından

geliştirilen HFC yöntemlerinden oldukça iyi sonuçlar vermiştir.

Dong, Huang ve Chen (2008), PFSP için NEH yöntemini temel alan ve NEH-D

olarak adlandırdıkları bir algoritma geliştirmişlerdir. Yönteme göre, başlangıç sırası

işlerin ortalama işlem zamanları ve standart sapmaları birleştirilerek oluşturulur.

Önerilen strateji tüm makineler için kullanım oranını dengelemeye yardımcı olur.

500 iş ve 20 makineye kadar olan örnekler üzerinde NEH ve NEH-D yöntemi

karşılaştırılmış ve NEH-D yöntemi daha üstün sonuçlar vermiştir.

Kalczynski ve Kamburowski (2008), PFSP için, Johnson algoritmasına bağlı, basit

bir bağ kırma kuralı ile birleştirilmiş yeni bir öncelik sırası içeren ve maksimum

tamamlanma zamanını enküçüklemeyi amaçlayan bir yöntem önermişlerdir. NEH

yöntemiyle karşılaştırıldığında farklı büyüklükteki problemlerin hepsinde kendi

algoritmalarının daha iyi olduğunu göstermişlerdir.

Rad v.d. (2009), NEH yöntemine bir yerel arama yöntemi ekleyerek PFSP için

tamamlanma zamanını enküçüklemeyi amaçlamışlardır. Bu geliştirici çözüm

yöntemi yerel arama tekniğini kullanarak üretilen yeni çizelgelerin kalitesini

geliştirmeye çalışır.

Laha ve Sarin (2009), Framinan ve Leisten tarafından geliştirilen algoritmada

değişiklikler yaparak, PFSP için toplam akış zamanını enküçüklemeyi

amaçlamışlardır. Bu değişiklik daha önceki algoritmanın performansını artırarak,

büyük ve küçük boyutlu problemlerde iyi sonuçlar elde etmeyi sağlamıştır

Ribas ve arkadaşları (2010), PFSP için üç aşamadan oluşan bir sezgisel yöntem

önermişlerdir. Amaç fonksiyonu maksimum tamamlanma zamanının

enküçüklenmesini içerir. Önerilen yöntemin ilk iki aşaması NEH sezgiselinden

esinlenerek oluşturulmuştur. Son aşaması ise, iteratif bir yerel arama prosedürünü

içerir. Geliştirilen algoritma Taillard'ın test problemleri üzerinde denenmiş ve

42

sonuçlar istatistik analize tabi tutulmuştur. Analiz sonuçları önerilen algoritmanın

etkin olduğunu göstermiştir.

Baker ve Altheimer (2012), işlem zamanları olasılıklı dağılımla belirlenen akış tipi

çizelgeleme problemleri için sezgisel algoritmalar geliştirmişlerdir. Maksimum

tamamlanma zamanının enküçüklemek için geliştirilmiş üç ayrı sezgisel yöntemden

iki tanesi CDS ve Johnson yöntemlerine dayanmaktadır. Üçüncü sezgisel ise NEH

yönteminden esinlemiştir. Test problemleri üzerinde yapılan çalışmaların sonucuna

göre, sezgisel yöntemler optimal sonuçlara yakın değerler bulmuştur.

Permütasyon akış tipi çizelgeleme problemleri ile ilgili geliştirilen çözüm kurucu ve

çözüm geliştirici sezgiseller kronolojik sıraya göre Tablo 2-4'de verilmiştir.

43

Tablo 2-4: Permütasyon Akış Tipi Problemler için Kurucu ve Geliştirici Sezgiseller

Yıl Yazar Tip Yorum

1954 Johson Kurucu İki makineli durum

1961 Page Kurucu Sınıflandırma

1964 Dudek ve Tueton Kurucu Johson kuralı

1965 Palmer Kurucu Alan indeksi

1970 Campbell v.d. Kurucu Johson kuralı

1971 Gupta Kurucu Alan indeksi

1972 Gupta Kurucu Üç yeni sezgisel

1977

1977

Dannenbring Kurucu/Geliştirici Üç yeni sezgisel

1980 King ve Spachis Kurucu Beş dağıtım kuralı

1982 Stinson ve Smith Kurucu TSP’ye bağlı altı

sezgisel

1983 Nawaz v.d. Kurucu İş önceliği

1988 Hundal ve Rajgopal Kurucu Palmer sezgiseli

1991 Ho ve Chang Geliştirici Yeni bir sezgisel

1991 Rajendran ve Chaudhuri Kurucu Üç yeni sezgisel

1993 Sarin ve Lefoka Kurucu Boş makine

enküçüklemesi

1995 Rajendran Kurucu Tüm kriterlerin toplamı

1998 Koulamas Geliştirici Johson kuralına ve iş

değişimi

1998 Woo ve Yim Geliştirici İş ekleme yöntemi

2000 Suliman Geliştirici İş çiftlerinin değişimi

44

Tablo 2-4: Permütasyon Akış Tipi Problemler için Kurucu ve Geliştirici Sezgiseller

(Devam)

2001 Pour Kurucu İş değiştirme

2003 Framinan v.d. Geliştirici NEH yöntemi

2005 Ravindran v.d. Geliştirici İş çiftlerinin değişimi

2007 Chakraborty ve Laha Geliştirici NEH yöntemi

2008 Dong, Huang ve Chen Geliştirici NEH yöntemi

2008 Kalczynski ve

Kamburowski

Geliştirici Johson kuralı

2009 Laha ve Sarin Geliştirici Framinan ve Leisten

sezgiseli

2009 Rad v.d. Geliştirici NEH yöntemi

2010 Ribas v.d. Geliştirici NEH yöntemi

2011 Laha ve Chakraborty Kurucu NEH yöntemi

2012 Baker ve Altheimer Geliştirici NEH-CDS

45

2.3.3. Metasezgisel Yöntemler

Kombinatoryal optimizasyon problemlerinin çözümü için sezgisel algoritmaların

dışında, son yıllarda popülerlik kazanmış birtakım yöntemler bulunmaktadır. Bu

yöntemler sezgisel yöntemlerden farklı olarak daha geniş bir çözüm uzayını tarayan

ve o yöntemlere öncülük edecek nitelikte olan yöntemlerdir. Metasezgiseller olarak

adlandırılan bu yöntemler yapay zeka algoritmaları olarak da isimlendirilmektedir.

Metasezgisel, arama uzayında araştırma ve işletme için farklı kavramları zeki bir

şekilde birleştirerek alt seviye sezgisellere rehberlik eden iteratif üretim sürecidir

(Osman ve Laporte, 1996: 515).

Metasezgisel yöntemlerin özellikleri aşağıda verilmiştir (Aydemir, 2010: 2):

a) Metasezgiseller, çözüm uzayındaki arama çalışmalarında yol göstericidirler.

b) Metasezgisel yönetmelerin kullanım amacı, çözüm uzayındaki en iyi ya da en

iyiye yakın çözümlere ulaşmayı hızlandırmaktır.

c) Metasezgisel yöntemler, çok basit yerel arama algoritmalarını içerdiği gibi,

en karmaşık öğrenme algoritmalarını da kapsamaktadır.

d) Metasezgiseller, kesin değil yaklaşık çözümler verirler.

Gerek makine çizelgeleme, gerekse akış tipi çizelgeleme problemlerin çözümü için

çok sayıda metasezgisel yöntem önerilmiştir. Bunlardan en çok kullanılan yöntemler

genetik algoritma, tavlama benzetimi, tabu arama, karınca koloni algoritması ve

parçacık sürü optimizasyonudur (He ve Hui, 2007: 15).

Tavlama benzetimi (SA) lokal arama tabanlı bir yöntemdir. Osman ve Potts (1989),

PFSP’nin çözümü için rassal komşu arama ve en yakın komşu değişim kurallarını

kullanarak, basit bir tavlama benzetimi algoritması önermişlerdir. Amaç fonksiyonu

maksimum tamamlanma zamanının enküçüklenmesidir. 20 makine ve 100 işe kadar

olan problemlerde SA algortimasının diğer sezgisel algoritmalrla karşılaştırılabilecek

seviyede iyi sonuçlar verdiğini göstermişlerdir.

46

Zegordi ve arkadaşları (1995), kombinatoryal optimizasyon ve istatistiksel

mekanizma arasında benzetme yaratarak, SA’nın akış tipi çizelgelemedeki

uygulamasına yeni bir yaklaşım getirmişlerdir. Bu yaklaşım probleme özgü bir

indeks bilgisi içermektedir. Önerdikleri bu modeli test etmek için akış tipi

çizelgeleme problemleri için geliştirilmiş diğer SA sezgiselleri ile karşılaştırmışlar ve

üstün sonuçlar elde etmişlerdir.

Ishibuchi, Misaki ve Tanaka (1995), m makine ve n işli sıralama problemleri için

değiştirilmiş üretim mekanizması içeren iki farklı SA algoritması önermişler ve

modellerini rastgele sayılarla ürettikleri problemler üzerinde denemişlerdir. Önerilen

algoritmaların, soğutma çizelgesinin seçiminde standart SA algoritmasına göre daha

az duyarlı olduğunu saptanmıştır.

Wodecki ve Bozejko (2002), paralel çevrelerde arama yapan bir SA yöntemi

geliştirmiş ve bunu NEH ile karşılaştırarak kendi yönteminin daha iyi sonuçlar

verdiğini kanıtlamıştır.

Tabu arama (TS), kombinatoryal optimizasyon problemlerini çözmek için

geliştirilmiş metasezgisel bir metottur ve başka yöntemlerle birlikte kullanılarak, bu

yöntemleri yerel takılmalara düşmekten kurtaran uyarlanabilir bir yaklaşımdır.

Widmer ve Hertz (1989), PFSP için SPIRIT olarak adlandırdıkları bir metot

geliştirmişlerdir. İki aşamalı olarak önerilen metodun ilk aşamasında bir başlangıç

çözümü elde etmek için ekleme metodu kullanılmış ve ikinci aşamada ise, TS

algoritmasıyla mevcut çözüm geliştirilmiştir.

Taillard (1990), Widmer ve Hertz ‘in algoritmasına benzer bir algoritma önermiştir.

Geliştirilmiş NEH algoritmasını kullanarak, PFSP için bir başlangıç çözümü elde

etmişler ve bu çözümü TS yönteminde kullanmıştır.

Moccelin’in (1995) yılında geliştirdiği TS algoritması, SPIRIT yöntemine dayanan

bir algoritmadır. Fark, problemin başlangıç çözümünün ve işler arasındaki uzaklığın

hesaplanmasındadır.

47

Ben-Daya ve Al-Fawzan (1998), yoğunlaşma ve çeşitlendirme gibi ekstra özellikler

taşıyan TS algoritması önermişlerdir. Bu algoritmanın Ogbu ve Smith algoritmasına

göre biraz daha iyi sonuç verdiğini göstermişlerdir.

Grabowski ve Wodecki (2004), PFSP’de maksimum tamamlanma zamanını en

küçükleyebilmek için TS yöntemine yeni kurallar ekleyerek, bu yöntemi

hızlandırmışlardır. Literatürdeki diğer yöntemlerle karşılaştırdıklarında, kendi

algoritmalarının amaca daha kısa sürede ulaştığını büyük boyutlu problemler

üzerinde göstermişlerdir.

Ekşioğlu, Ekşioğlu ve Jain (2008), permütasyon akış tipi ortamlarda maksimum

tamamlanma zamanının enküçüklenmesini hedeflemişler ve bunun için diğer TS

prosedürlerinden farklı olarak, komşu çözümler üretmek için üç farklı değişim

mekanizmasının kombinasyonunu kullanmışlardır. Bu algoritmanın performansını

test etmek için Taillard’ın kıyaslama problemlerini kullanmışlar ve sonuçları karınca

koloni algoritması ile karşılaştırmışlardır. Sayısal sonuçlar ile önerdikleri

algoritmanın daha etkin çalıştığını göstermişlerdir.

Chen, Vempati ve Aljaber (1995), tamamlanma zamanı kriterli akış tipi çizelgeleme

problemleri için sezgisel tabanlı genetik algoritma (GA) kullanmıştır. Başlangıç

popülasyonu CDS ve RA yöntemiyle elde etmişler ve kısmı eşlenmiş çaprazlama

(PMX) yöntemini kullanmışlardır. Bulunan sonuçlar mevcut sezgisel yöntemler

(NEH, CDS) ile karşılaştırılarak GA’nın iyi performans verdiği belirlenmiştir.

Reeves (1995), PFSP için yeni bir GA geliştirmiştir. Farklı olarak tek nokta

çaprazlamasını ve adaptif mutasyon oranını kullanmıştır. Aynı zamanda başlangıç

çözümünü ise NEH algortimasını kullanarak elde etmiştir.

Murata, Ishibuchi ve Tanaka (1996), PFSP’de iyi sonuçlar elde edebilmek için iki

noktalı çaprazlama operatörü ve elitist strateji boyunca bir değişim mutasyonu

kullanmışlardır. Bu algoritma SA ve TS algoritmalarından daha kötü sonuçlar verdiği

için GA ve TS’dan oluşan bir hibrit algoritma geliştirmişlerdir. Sonuç olarak, hibrit

genetik algoritmaların hibrit olmayan genetik algoritmalara göre daha kötü çözümler

ürettiğini göstermişlerdir.

48

Wang ve Zheng (2003), başlangıç çözümü NEH ile elde edilmiş ve mutasyon

operatörü SA algoritmasıyla yer değiştirmiş bir kompleks hibrit algoritma önermiştir.

Iyer ve Saxena (2004), PFSP için tamamlanma zamanına bağlı olan kriterlerin

enküçüklenmesi için yerel bilgi kullanarak standart GA’yı tekrar tasarlamışlardır.

İstatistiksel çalışma yaparak yeni dizayn edilmiş algoritmanın standart GA’ya göre

daha iyi sonuç verdiğini göstermişlerdir.

Tseng ve Lin (2010), PFSP’de toplam akış zamanını enküçüklemek için bir genetik

yerel arama algoritması geliştirmişlerdir. Önerilen algoritma, genetik ve tabu arama

algoritmasının melezlenmesi ile oluşturulmuştur. Önerilen algoritma global arama

yaparken genetik, yerel arama yaparken tabu arama algoritmasını kullanmaktadır.

Taillard'ın test problemleri ile yapılan denemeler sonucunda, önerilen algoritma

literatürde belirtilmiş en iyi 20 çözümün 18 tanesini geliştirmiştir.

Xu, Xu ve Gu (2011), PFSP’de toplam akış zamanını enküçüklemek amacıyla, üç

aşamadan oluşan bir eşzamanlı olmayan genetik algoritma önermişlerdir. Önerilen

algoritmanın performansını test etmek için kullanılan Taillard'ın 120 test problemi

kullanılmıştır. Algoritma, literatürde belirtilmiş 118 en iyi çözümü yakalamış ve

bunların 83 tanesi için daha iyi çözüm bulmuştur.

Zhang, Li ve Wang (2009), PFSP için toplam akış zamanını enküçükleyen bir hibrit

GA önermiştir. Kromozomlardan faydalı bilgiyi toplamak için ağırlıklı basit gen

madenciliği yapısı kullanmışlardır.. Aynı zamanda, sadece yerel iyi genleri değil,

global iyi genleri de transfer eden yeni bir çaprazlama operatörü önerilmiştir. Hibrit

GA, etkin sezgisel yöntemlerle kıyaslanmış ve büyük boyutlu problemlerde daha iyi

sonuçlar verdiği ispatlanmıştır.

Taşgetiren v.d. (2007), PFSP' de maksimum tamalanma zamanı ve toplam

akışzamanını enküçüklemeyi amaçlamışlar ve bunun için en küçük pozisyon değeri

kuralını ve değişken komşuluk arama metodunu içeren PSO modeli geliştirmişler ve

bunu Taillard’ın kıyaslama problemlerini kullanarak GA, TS ve karınca koloni

algoritmaları ile kıyaslamışlar ve problemlerin çoğunda, değişken komşuluk arama

içeren PSO algoritmasının üstün olduğunu göstermişlerdir.

49

Lian, Gu ve Jiao (2008), PFSP’de maksimum tamamlanma zamanı amaçlı yeni bir

PSO algoritması önermişlerdir ve NPSO olarak adlandırmışlardır. Algoritmayı

Taillard’ın kıyaslama problemlerinden yedi tanesini kullanarak standart GA ile

kıyaslamışlar ve daha etkin çalıştığını test etmişlerdir.

Tseng ve Lin (2009), PFSP için maksimum tamamlanma zamanı ve toplam akış

zamanını enküçükleyen iki yerel arama metodunun kombinasyonunu içeren bir hibrit

genetik lokal arama algoritması geliştirmişlerdir. Algoritmanın performansı PSO ve

karınca koloni algoritmaları ile karşılaştırılmış ve elde edilen sonuçlara göre, hibrit

genetik lokal arama metodunun daha iyi olduğu görülmüştür.

Zhang, Ning ve Ouyang (2010), iki aşamalı hibrit PSO modeli önermişlerdir.

Genetik operatörleri ve benzetim stratejilerini PSO ile kombine ederek PFSP’de

maksimum tamamlanma zamanını enküçüklemeyi amaçlamışlardır. Yöntem, büyük

boyutlu akış tipi çizelgeleme problemlerinin çözümünde etkin olarak çalışmaktadır.

Son yıllarda, literatürde eniyileme problemlerini çözmek için karınca koloni

algoritmalarının (ACA) kullanılması yönünde çalışmalar yapılmaktadır. Akış tipi

çizelgeleme problemlerini çözmek için de az sayıda da olsa ACA önerilmiştir. Bu

konudaki ilk çalışma Stützle (1998) tarafından yapılmıştır. Çözüm algoritması olarak

yerel aramanın yapıldığı max-min karınca sistemi (Max-Min Ant System-MMAS)

kullanılmıştır. Yapılan çalışma, önerilen yaklaşımın mevcut sezgisellerden daha iyi

olduğunu göstermiştir

T'kindt v.d. (2002), iki makineli permütasyon akış tipi çizelgeleme problemlerinde

maksimum tamamlanma zamanı ve toplam tamamlanma zamanını enküçüklemek

için bir ACA önermişlerdir. Algoritma SA ve yerel arama algoritmalarının özellikleri

kullanılmıştır. Çalışma var olan sezgisellerle karşılaştırılmış ve daha etkin olduğu

kanıtlanmıştır.

Ying ve Liao (2004), ilk olarak karınca koloni sistemini (ACS) maksimum

tamamlanma zamanı kriterli PFSP problemlerine uygulamışlardır. İşler arasındaki

uzaklıkların hesaplanmasında Palmer sezgiselinden faydalanmışlardır. Algoritmanın

doğrulama testini ise Taillar’ın kıyaslama problemleriyle yapmışlardır. Algoritma

50

SA, GA gibi diğer metasezgisellerle karşılaştırılmış ve maksimum tamamlanma

zamanı kriterli PFSP’nin çözümünde daha iyi sonuçlar verdiği ifade edilmiştir.

PFSP’nin ACA ile çözümü üzerine diğer bir çalışma Rajendran ve Ziegler (2005)

tarafından gerçekleştirilmiştir. Bu problemi çözmek için iki ACA önerilmiştir. İlk

algoritma (M-MMAS), Stützle (1998) tarafından önerilen max-min karınca

algoritması ile Merkle ve Middendorf (2000) tarafından geliştirilen toplama kuralı ve

önerilen yeni iş-indeksine dayanan bir yerel arama tekniği (job-index-based local

search procedure) birleştirilerek elde edilmiştir. İkinci algoritma önerilen karınca

koloni algoritması (PACO) ise, geliştirilmiş bu yeni yerel arama tekniğine

dayanmaktadır. Önerilen algoritmalar, toplam akış zamanı minimizasyonuna göre

test problemleri üzerinde denenmiş ve her iki algoritmanın, MMAS algoritmasına

göre daha iyi performansa sahip olduğu görülmüştür.

Yağmahan ve Yenisey (2006), PFSP için ACA’nın en iyi parametreleri üzerine bir

çalışma gerçekleştirmişlerdir. Taillar’ın kıyaslama problemlerini kullanılarak 3350

deneme yapılmış ve deneme sonucunda, problemin karınca algoritmasıyla

çözümünde en iyi parametre değerlerinin kullanılmasının çözüm kalitesini önemli

ölçüde etkilediği görülmüştür.

Yağmahan ve Yenisey (2008), PFSP için maksimum tamamlanma zamanı, toplam

akış zamanı ve toplam boş makine zamanını kriterlerini enküçükleyen çok amaçlı

ACA geliştirmişlerdir. Geliştirilen algoritma Ho ve Chang ve NEH algoritmalarıyla

kıyaslanmış ve sonuç olarak önerilen algoritmanın çok ya da tek amaçlı PFSP için

daha iyi sonuçlar verdiği gösterilmiştir.

Yağmahan ve Yenisey (2010), maksimum tamamlanma zamanı ve toplam akış

zamanı kriterlerini PFSP’ de enküçükleyebilmek için yeni bir ACA geliştirmişlerdir.

Çok amaçlı karınca koloni algoritması (MOACSA) adını verdikleri yöntemde, ACA

ve bir yerel arama stratejisini birleştirmişlerdir. Taillard’ın kıyaslama problemleri

üzerinde MOACSA, GA ve çeşitli sezgiselleri kıyaslamışlar ve MOACSA’ nın daha

etkin çözümler bulduğunu göstermişlerdir.

51

Taşgetiren ve arkadaşları (2011), permütasyon akış tipi çizelgeleme problemlerinde

toplam akış zamanı için eniyi çözümü elde edebilmek amacıyla kesikli arı koloni

algoritmasını önermişlerdir. En küçük toplam akışı veren permütasyonu bulabilmek

için arı koloni algoritması açgözlü algoritma ile melezlenmiştir. Çalışmanın

performansı Taillard'ın 90 kıyaslama problemi üzerinde test edilmiştir. Önerilen

algoritma, 90 problemden 44 tanesini geliştirmiştir.

Permütasyon akış tipi çizelgeleme problemleri için geliştirilmiş metasezgisel

yöntemler kronolojik sırayla Tablo 2-5 ' de verilmiştir.

52

Tablo 2-5: Permütasyon Akış tipi Çizelgeleme Problemleri İçin Metasezgiseller

Yıl Yazar Yöntem Yorum

1989 Osman ve Potts SA Rassal komşu arama

1989 Widmer ve Hertz TS SPIRIT

1990 Taillard TS NEH

1995 Reeves GA Adaptif mutasyon

oranı

1995 Chen, Vempati ve

Aljaber

GA CDS ,RA ve PMX

1995 Zegordi SA Sıraların kombinasyonu

1995 Ishibuchi, Misaki ve

Tanaka

SA İki farklı SA

1995

1977

Moccelin TS SPIRIT

1996 Murata, Ishibuchi ve

Tanaka

Hibrit GA+Yerel arama/SA

1996 Nowicki ve Smutnicki TS İş bloklama ile

azaltılmış komşuluk

1998 Stützle ACA Standart

1998 Ben-Dayave AlFawzan TS Çeşitlilik ve

yoğunlaşma

2002 Wodecki ve Bozejko SA Paralel SA

2002 T’Kindt ACA AS ve yerel arama

2003 Wang ve Zheng Hibrit GA + SA

2004 Ying ve Liao ACS Palmer

2004 Iyer ve Saxena GA Yerel arama

53

Tablo 2-4 Permütasyon Akış tipi Çizelgeleme Problemleri için Metasezgiseller

(Devam)

2004 Grabowski ve

Wodecki

TS Yeni özellikler

2005 Rajendran ve Ziegler ACA M-MMAS, PACO

2006 Yağmahan ve Yenisey ACA Parametre seçimi

2007 Taşgetiren v.d. PSO En küçük pozisyon

değeri kuralını ve

değişken komşuluk

arama 2008 Ekşioğlu, Ekşioğlu ve

Jain

TS Üç farklı değişim

metodu

2008 Lian, Gu ve Jiao PSO NPSO

2008 Yağmahan ve Yenisey ACA İşler arası uzaklıklar

için SPIRIT

2009 Zhang, Li ve Wang Hibrit GA+ yerel arama

2009 Tseng ve Lin Hibrit GA + yerel arama

2010 Zhang, Ning ve

Ouyang

PSO Genetik operatörler ve

benzetim özellikleri

2010 Tseng ve Lin Hibrit GA+ TS

2011 Xu, Xu ve Gu GA Üç aşamalı eş zamanlı

olmayan GA

2011 Taşgetiren v.d. Hibrit Yapay arı kolonisi

algoritması ve Aç

gözlü algoritma

Aç gözlü algoritma

54

BÖLÜM 3: PERMÜTASYON AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME

PROBLEMLERİNDE KULLANILANOPTİMİZASYON YÖNTEMLERİ

Çizelgeleme, iyi bilinen zor kombinatoriyal optimizasyon problemlerinden biridir.

Son yıllarda bu problemlerin çözümü için birçok araştırma yapılmış ve çeşitli

yöntemler geliştirilmiştir. Bu tip problemler, NP problemler kapsamında olduğundan,

bilgisayar hızlarının artması ile daha etkin çizelgeleme yöntemleri geliştirilmeye

çalışılmıştır.

Uygulamada küçük boyutlu, örneğin 5 işten oluşan problemlerin çözümleri hızlı bir

şekilde mümkün olabilirken, büyük boyutlu (20x50) işten oluşan bir problemin

çözümü oldukça zor ve zaman alıcı olacaktır. Bu durumda büyük hacimli problemler

ancak işlem kapasitesinin artırılmasıyla ya da çözüm sürecinin basitleştirilmesiyle

mümkün olacaktır. İşlem kapasitesi mevcut kullanılabilir teknolojiye bağlı olarak

gelişmekte fakat yine de yetersiz kalmaktadır. Çözüm algoritmalarının

basitleştirilmesi, beraberinde optimal çözümlerden vazgeçerek, optimuma yakın

çözümlere katlanmayı gerektirecektir. Dolayısıyla sezgisel ve meta-sezgisel

algoritmalar önem kazanmakta ve işlem zamanından tasarruf ederek optimale yakın

çözümler üreten algoritmalarla karar almada etkinlik sağlanabilmektedir.

Bu bölümde, akış tipi çizelgeleme problemlerinde kullanılmış sezgisel ve meta-

sezgisel yöntemlerin çalışma prensipleri hakkında bilgi verilmiştir.

3.1. Sezgisel Yöntemler

Sezgisel algoritmalardan permütasyon akış tipi çizelgeleme problemlerinin

çözümünde en sık rastlanan ve metasezgisel algoritmaların başlangıç çözümlerini

oluşturmak için ya da sezgisel bilgi oluşturmada kullanılan çözüm kurucu

algoritmalar Palmer algoritması, Gupta algoritması, CDS algoritması ve NEH

algoritmasıdır.

55

3.1.1. Palmer Algoritması

Palmer 1965 yılında, işlerin çizelge içinde hangi sırada olması gerektiği konusunda

bir ölçü veren eğim indeksi kavramını geliştirmiştir. Her işe ait eğim indeksi

tanımlanır ve işlem süreleri ilk makinelerde kısa olanlar öne; uzun olanlar ise sona

gelecek şekilde eğim dizisi tamamlanır. m makine sayısını, j makineleri, i işleri ve tij

işlerin makinelerdeki işlem sürelerini göstermek üzere, Palmer algoritmasının

adımları aşağıda verilmiştir (Hong, Huang ve Horng, 2006: 99).

Adım1: Her işe ait eğim indeksi (SIi) hesaplanır.

SIi = m

ijj=1

m- 2j-1 t / 2 (3.1)

Adım 2: İşler eğim indekslerine göre büyükten küçüğe doğru sıralanır. Eşit indekse

sahip işler için rastgele sıralama yapılır.

SI1 ≥ SI2 ≥…….≥ SIn (3.2)

Adım 3: İşler Adım 2’de belirlenen sıraya göre makinelerde çizelgelenir ve

tamamlanma zamanı hesaplanır.

3.1.2. Gupta algoritması

Gupta 1971 yılında, ikiden fazla makinenin bulunduğu durumlarda çizelgeleme

problemlerinin çözümü için, Palmer’e benzer bir eğim dizisi oluşturmuştur, dizideki

değerlerin hesap yöntemi ile Palmer’dan ayrılır. m makine sayısını, j makineleri, i

işleri ve tij işlerin makinelerdeki işlem sürelerini göstermek üzere Gupta

algoritmasının adımları aşağıda verilmiştir (Hejazi ve Saghafian, 2005: 2907).

Adım1 : Her işe ait eğim indeksi (SIi) hesaplanır.

SIi= ij i(j+1)1 j m-1i

e / min t + t (3.3)

56

i1 im

i1 im

1 eğer t < te =i -1 eğer t ³t

(3.4)

Adım 2: İşler eğim indekslerine göre büyükten küçüğe doğru sıralanır. Eşit indekse

sahip işler için rastgele sıralama yapılır.

SI1 ≥ SI2 ≥…….≥ SIn (3.5)

Adım 3: İşler adım 2’de belirlenen sıraya göre makinelerde çizelgelenir ve

tamamlanma zamanı hesaplanır.

3.1.3. CDS Algoritması

Campbell, Dudek ve Smith (1970) yılında, ikiden fazla makine içeren akış tipi

ortamlar için maksimum tamamlanma zamanını enküçüklemeyi amaçlayan bir

algoritma önermişlerdir (Hong, Wang ve Wang, 2001: 240). CDS algoritmasının iki

ana prensibi vardır.

a) Sezgisel yol olarak Johnson algoritmasını temel alır.

b) Birçok çizelge üretir ve bunlardan en iyi sonuç veren seçilir.

CDS algoritması, m-1 adet yapay iki makineli durumlar yaratır ve bunları Johnson

algoritmasını kullanarak çözer. Yapay makineleri, makinelerin işlem zamanlarını

toplayarak yaratır. Elde edilen m-1 çözüm arasından tamamlanma zamanı en küçük

olan çizelge seçilir (Hejazi ve Saghafian, 2005: 2907).

3.1.4. NEH Algoritması

NEH algoritması 1983 yılında, Nawaz, Enscore ve Ham tarafından maksimum

tamamlanma zamanının enküçüklenmesi performans ölçütlü PFSP için önerilmiştir.

NEH yönteminin temel düşüncesi, tüm makinelerdeki toplam işlem zamanı en

yüksek olan işlere öncelik verilmesidir. Diğer bir deyişle, NEH algoritması bir

birerleme yöntemi olup, en büyük toplam işlem zamanına sahip işin diğer işlere göre

öncelikli olması varsayımını gütmektedir. Algoritmadaki birerleme sayısı

57

(n (n+1)/2)-1 adettir ve n adetinde çizelgenin tümü dikkate alınır (Kurnaz ve Kart,

2010: 2).

NEH yöntemi 3 adımdan oluşur.

Adım 1: Her işin tüm makinelerdeki toplam işlem zamanı (Tj) hesaplanır ve her iş Tj

değerlerine göre büyükten küçüğe doğru sıralanır.

Adım 2: Bir önceki adımda oluşturulan listeden ilk ikisi alınır ve olası iki çizelgeden

en küçük maksimum tamamlanma zamanına sahip olan belirlenir. Takip

eden iterasyonlarda belirlenen bu pozisyon sabitlenir ve listedeki toplam

işlem zamanı en büyük olan diğer bir iş eklenir. Seçilen bu iş mümkün olan

tüm pozisyonlara yerleştirilerek, kısmi maksimum tamamlanma zamanı en

küçük olan çizelge seçilir.

Adım 3: Adım 2’deki işlemler tüm işler yerleştirilene kadar tekrarlanır.

3.2. Metasezgisel Yöntemler

Metasezgisel yöntemler PFSP'nin çözümünde çok sık kullanılmakta ve diğer

yöntemlere göre daha iyi sonuçlar vermektedir. PFSP için kullanılan metasezgsiel

yöntemler bölüm 2.3.3. de verilmiştir. Bu yöntemleri doğadan esinlenen ve doğadan

esinlenmeyen yöntemler olarak ayırabiliriz. Doğadan esinlenen algoritmalar: genetik

algoritmalar, karınca koloni algoritması ve parçacık sürü optimizasyon

algoritmalarıdır. Bunlar popülasyon temelli yöntemlerdir ve literatürde, çözümlerin

topluluğuna dayalı algoritmalar olarak tanımlanırlar. Tavlama benzetimi ve tabu

arama yöntemleri ise doğadan esinlenmeyen algoritmalar sınıfındadır ve tek çözüme

dayalı yöntemlerdir.

3.2.1. Tavlama Benzetimi Algoritması

Tavlama Benzetimi, kesikli çözüm uzayına sahip optimizasyon problemleri için

alternatif çözümler üreten bir yöntemdir. Katıların tavlama sürecine adapte edilerek

çalışan bir arama yöntemidir. Fiziksel tavlama, bir katının düşük enerjili yani daha az

hareketli durumlarının elde edilmesi sürecidir. Eritilen katının sıcaklığının çok yavaş

58

düşürülmesi ile katının daha az hareketli duruma ulaşması sağlanır (Güner ve

Altıparmak, 2003: 28).

Tavlama benzetimi ilk olarak 1953 yılında, bir ısı banyosu içindeki taneler

kümesinin denge dağılımını hesaplamak için simülasyon tekniği ile birlikte

Metropolis, Rosenbluth ve Teller tarafından kullanılmıştır. Kirkpatrick v.d. (1983) ve

Cerny (1985) katıların SA için Metropolis tarafından sunulan metodun, optimizasyon

problemlerinin çözümünde nasıl kullanılabileceğini göstermişlerdir (Güden v.d.,

2005: 4).

Fiziksel tavlama ile kombinatoryal optimizasyon arasındaki ilişki Tablo3-1'de

gösterilmiştir.

Tablo 3-1 Fiziksel Tavlama İle Kombinatoryal Optimizasyon Arasındaki İlişki

(Güner ve Altıparmak, 2003: 29)

Termodinamik Simülasyon Kombinatoryal Optimizasyon

Problemi

Sistem Durumları Uygun Çözümler

Enerji Amaç fonksiyonu

Durumun Değişimi Komşu Çözüm

Sıcaklık Kontrol parametresi

Donma Durumu (Kristalleşme) Sezgisel Çözüm

Tavlama Benzetimi algoritması çalışma prensibi olarak, yerel arama metoduna

benzemektedir. Yerel arama metodunun en büyük zorluğu, global optimuma

geçemeyip lokal optimuma takılıp kalmasıdır. Tavlama benzetimi algoritması, bu

duruma izin vermez ve yeni çözümlere ulaşma yönünde ilerler. Kontrol

parametrelerine (sıcaklık) bağlı olarak, komşuluk değerlerindeki maliyet fonksiyonu

değişimini kabul eder.

SA prosedürü, rassal ya da seçilmiş bir çözüm kümesi ile başlar ve bu çözümün

komşularından yeni bir çözüm elde edilir. Eğer yeni çözüm, daha önceki çözümden

59

daha iyi ise, bu çözüm olarak kabul edilir; aksi taktirde, bu çözüm kabul olasılığına

bağlı olarak kabul ya da reddedilir. Bu durum iki çözümün amaç fonksiyonları

arasındaki fark ve kontrol parametresi olan sıcaklık tarafından belirlenir. Başlangıçta,

sıcaklık yüksek olarak belirlenir ve arama işlemi sırasında yavaş yavaş düşürülür. Bu

işleme hiç bir hareket kalmayana kadar devam edilir (Hejazi ve Saghafian, 2005:

2009).

SA algoritmasının adımları aşağıda verilmiştir (Engin, 2001: 10).

Adım 1: Başlangıç çözümü olarak, rasgele belirlenmiş bir çözüm kümesi kabul edilir

(H0)

Adım 2: H en iyi çözüm olarak başlangıç çözümüne atanır. H* = H

Adım 3: Başlangıç çözümüne ait olan maliyet fonksiyonunu hesapla. H : C(H)

Adım 4: Başlangıç sıcaklığı T0 olarak belirlenir

Adım 5: Başlangıç sıcaklığı T değerine atanır. T = T0

Adım 6: Belirlenen durma kriteri gerçekleşmezse aşağıdaki işlemleri uygulanır.

a) Markov zinciri uzunluğunu belirlenir.

i) Mevcut H çizelgesinde rassal bir komşuluk aralığı, H’, belirlenir.

ii) H’ maliyet fonksiyonu hesaplanır.

iii) Bir önceki çizelge ile mevcut çizelgenin maliyet fonksiyonlarının farkları

alınır. Δ(C) = C(H’) – C(H)

iv) Eğer Δ(C) ≤ 0 ise, b). adıma geri dönülür, H = H’ kabul edilir.

C(S) < C(H*) dan H* = H atanır.

v) Δ(C) > 0 ise, adım 6 ya geri dönülür ve (0,1) aralığında bir X rassal sayısı

üretilir. Eğer X < exp Δ(C)/T ise H = H’ atanır.

b) T sıcaklığı azaltılır, adım 6 ya dönülür.

Adım 7: Elde edilen en iyi çizelge, (H*) oluşturulur ve durdurulur.

Çizelgeleme problemlerinde SA algoritmasının kullanılabilmesi için bilinmesi geren

parametreler vardır. Bunlar (Hejazi ve Saghafian, 2005: 2909):

a) Başlangıç Sıcaklığı (T0)

b) Her sıcaklıktaki iterasyon uzunluğu

60

c) Soğutma fonksiyonu

d) Algoritmayı durdurma kriteri

Başlangıç sıcaklığı bir başlangıç parametresi olarak alınır. İyi olmayan çözümlerin

kabul ihtimalini denetlemek için sıcaklık parametresi kullanılır. İterasyon uzunluğu,

farklı sıcaklıklarda bulunan çözümlerin sayısıdır. Soğutma fonksiyonu, bir önceki

iterasyon sıcaklığına bağlı olarak mevcut iterasyondaki sıcaklığı belirler. Soğutma

oranı için kullanılan değer 0,8 ve 0,99 arasında değişmektedir. Başlangıç sıcaklığı,

iterasyon sayısı ve soğutma fonksiyonu, soğutma çizelgesi olarak isimlendirilir. İyi

çözümlerin elde edilmesi bu çizelgeye bağlıdır. Sıcaklığı değiştirdikçe elde edilen

çözüm, ardarda gelen sıcaklık değişimlerinde değişmeden kalıyor ise SA durdurulur

(Güner ve Altıparmak, 2003: 29).

3.2.2. Tabu Arama Algoritması

Tabu Arama (TS), Glover tarafından 1986 yılında kombinatoryal problemlerin

çözümü için önerilmiş yüksek seviyeli bir sezgisel programlama tekniğidir.

Çizelgeleme problemlerini çözümünde sık kullanılan bir yöntemdir. Literatürde,

büyük problemlerin çözümünde iyi sonuçlar verdiği bildirilmiştir (Glover ve

Kochenberger, 2003: 37).

TS yöntemi, daha önce bulunan belirli sayıdaki çözümü, tabu listesi olarak

adlandırılan bir listede tutarak o çözümlere geri dönmeyi engelleyen ve bu şekilde

araştırmayı çözüm uzayının farklı bölgelerine doğru yönlendiren bir arama

tekniğidir. TS yerel optimuma ulaşmak için sert bir tavır sergiler. Yerel optimuma

geldiğinde ise, tabu olmayan en iyi komşuyu seçerek, kısa sürede yerel optimumun

aşılmasını sağlar. Yasak olan bir taşımanın değeri, bulunan çözümlerden daha iyi ise,

o taşımanın yasaklı durumu iptal edilir ve taşımanın yapılmasına izin verilir.

Aspirasyon olarak isimlendirilen bu özellik, TS' nin zeki bir tavır sergilediğini

gösterir (Geyik, 2001: 2).

TS Algoritmasının genel işleyişinde ilk önce başlangıç çözümü oluşturulur. İkinci

adımda başlangıç çözümünün komşuları belirlenir. Komşu çözümler amaç

fonksiyonuna bağlı olarak değerlendirilir. Tabu olmayan ya da aspirasyon ölçütünü

61

sağlayan komşu, yeni başlangıç çözümü olarak belirlenir yani çözüm uzayında bir

noktadan başka bir noktaya hareket edilir. Bu hareket tabu listesine eklenir. Daha

sonra bulunan bu çözüm en iyi çözümle karşılaştırılır ve bu çözüm en iyi çözümden

daha iyi ise yeni çözüm olarak saklanır. Bu işlem bir durdurma kriteri sağlanıncaya

kadar devam ettirilir (Nambiar, 2007: 28).

Genel bir TS algoritmasının adımları aşağıda verilmiştir (Geyik, 2001: 2).

Adım 1. Bir başlangıç çözümü oluştur ve bu çözüm için amaç değerini hesapla.

Adım 2. Mevcut çözümün komşularını bir komşuluk yapısıyla üret.

a) Tabu olmayan veya tabu olsa bile aspirasyon ölçütünü sağlayan bir komşu

çözüm seç ve onu yeni çözüm olarak taşı.

b) Mevcut çözümden yeni çözüme taşıma özelliğini tabu listesine ekleyerek

listeyi güncelle.

c) Eğer yeni çözüm o ana kadarki en iyi çözümden daha iyi ide onu yeni en iyi

çözüm olarak sakla.

Adım 3. Bir durdurma ölçütü sağlanıncaya kadar Adım 2 'yi tekrarla.

TS algoritmasının genel akış şeması Şekil 3-1' de verilmiştir.

62

Şekil 3-1 Tabu Arama Algoritmasının Akış Şeması

Şekil 3-1 TS Algoritmasının Genel Akış Şeması

(Geyik ve Cedimoğlu, 2001: 97)

63

TS algoritmasının işleyişi nispeten basittir. Ancak belirlenmesi gereken stratejiler ve

parametre değerleri vardır. Bunlar; başlangıç çizelgesi oluşturma, komşuluk yapısı,

taşıma seçimi, tabu listesi, aspirasyon ölçütü, durdurma kriteri (iterasyon sayısı)

aramayı yoğunlaştırma ve çeşitlendirme stratejisidir. Çizelgeleme problemlerine

ilişkin olarak bu kriterler aşağıdaki gibi tanımlanabilir (Geyik ve Cedimoğlu, 2001:

97, Daya ve Al-Fawzan, 1998: 89):

Başlangıç Çizelgesi Oluşturma: Başlangıç çözümü çeşitli yöntemlerle elde

edilebilir. Çizelgeleme problemleri için bunlar, öncelik kuralları, rassal yöntemler ve

NEH gibi sezgisel yöntemler olabilir. Yapılan çalışmalar başlangıç çözümünün,

problemin çözüm kalitesini ve dolayısıyla sonucu etkilediğini göstermiştir.

Komşuluk Yapısı: Komşuluk yapısı, mevcut çözümün yakınından yeni çözümler

üretme şeklidir. Çizelgeleme konusunda, her bir makinede ardarda gelen bütün

işlemler yer değiştirerek en temel komşuluk yapısı elde edilebilir. Ancak bu şekilde

üretilen komşulukların pek çoğu gereksiz olabilir. Bu yüzden, etkin bir komşuluk

yapısı öncelikle gereksiz komşu üretmemelidir ve eğer mümkünse kısır döngüye ve

yerel eniyiye takılmaya neden olmamalıdır. Çünkü komşuluk arama yöntemlerinin

kalitesi kullanılan komşuluk yönteminin yapısına bağlıdır (Geyik ve Cedimoğlu,

2001: 98).

Taşıma Seçimi: Tabu listesine dahil olmayan veya verilen aspirasyon ölçütünü

sağlayan en iyi komşu yeni çözüm olarak belirlenir. En iyi komşu, en iyi amaç

fonksiyonunu veren komşudur.

Tabu Listesi: Tabu listesi TS' nin kısa süreli hafızasını teşkil eder. Yapılan belli

sayılardaki taşımalar listeye eklenerek daha önce elde edilen çözümlere tekrar dönme

engellenir. Tabu listesinin güncellenmesinde, genellikle listeye ilk giren ilk çıkar

stratejisi uygulanır. Listedeki varlık sayısı liste uzunluğuna ulaştıktan sonra listeye

yeni varlıklar girdikçe eski varlıklar birer aşağı kayar ve en sondaki listeden ayrılır

(He ve Hui, 2007: 41).

Aspirasyon Ölçütü: Aspirayon ölçütünün amacı, gerekli olan durumlarda bir

komşunun yasaklı durumunu iptal etmektir ( Gendreau ve Potvin, 2010: 47).

64

Durdurma Kriteri: Daha iyi çözümler taşımalar yapıldıkça değişmiyor ise taşıma

sayısı maksimum bir değere ulaşmışsa algoritma sonlandırılır.

Aramayı Yoğunlaştırma: Daha önceden bulunmuş en iyi ya da en iyiye yakın

çözümlerin bulunduğu kısımlara odaklanarak daha iyi çözümler elde edilmeye

çalışılır (Glover ve Laguna, 1997: 8).

Aramayı Çeşitlendirme: Daha önce keşfedilmemiş ya da çözüm aranmamış

bölgelerde çözüm arama stratejisidir (Glover ve Laguna, 1997: 8).

3.2.3. Parçacık Sürü Optimizasyon Algoritması

Parçacık sürü optimizasyonu (particle swarm optimization-PSO), J.Kennedy ve R.C.

Eberhart tarafından 1995 yılında kuş ve balık sürülerinin besin arama sırasındaki

haraketlerinden yola çıkarak geliştirilmiş popülasyon tabanlı olasılıklı optimizasyon

tekniğidir (Dahal, Tan ve Cowling, 2007: 316). Doğrusal olmayan problemlerin

çözümü için ortaya atılmıştır. Çok değişkenli kombinatoryal optimizasyon

problemlerine çözüm için geliştirilmiş, diğer metasezgisellere alternatif bir

yöntemdir. PSO' nun, GA'lar gibi popülasyon tabanlı algoritmalara benzer bir yapısı

vardır. GA'dan farklı olarak kullanılan parametre sayısı daha azdır. GA’ya göre

hafıza yapısı daha etkin çalışır. Çünkü her parçacık kendini geliştirmek için en

başarılı parçacığın tecrübesini kullanmaya çalışır, oysa GA’ da en kötü çözümler

elimine edilir ve en iyi olanlar saklanır (Valle v.d., 2008: 172 ).

PSO' nun ilk aşamasında rastgele bir popülasyon seçilir ve başlangıç çözümleri

güncellenerek optimum çözüm bulunmaya çalışılır. Çözüm uzayında gezinen,

parçacık olarak isimlendirilen muhtemel çözümler, o ana kadar en iyi çözümü

yakalamış parçacığı takip ederler. PSO’ nun diğer optimizasyon tekniklerinden en

önemli farklılığı türev bilgisine gerek duymadan çalışmasıdır. Ayrıca PSO’ nun

optimizasyon problemlerine uyarlanması parametre sayısının az olmasından dolayı

daha kolaydır (Tamer ve Karakuzu, 2006: 2).

PSO’ da her tekil çözüm arama uzayındaki bir parçacığa tekabül eder. Her parçacığın

uygunluk fonksiyonu tarafından değerlendirilen bir uygunluk değeri vardır ve her

65

parçacık bir hareket hızına sahiptir. Parçacık hareket ettiğinde, kendi koordinatlarını

bir fonksiyona gönderir ve böylece parçacığın uygunluk değeri ölçülmüş olur. Bir

parçacık, koordinatlarını, hızını (çözüm uzayındaki her boyutta ne kadar hızla

ilerlediği), şimdiye kadar elde ettiği en iyi uygunluk değerini ve bu değeri elde ettiği

koordinatları hatırlamalıdır. Çözüm uzayındaki her boyuttaki hızının ve yönünün her

seferinde nasıl değişeceği, komşularının en iyi koordinatları ve kendi kişisel en iyi

koordinatlarının bir birleşimi olacaktır (He ve Hui 2007: 43).

PSO yönteminde, her iterasyonda, parçacık konumları, iki en iyi değere göre

yenilenir. İlki, o ana kadar parçacığın elde ettiği en iyi çözümü sağlayan

koordinatlardır. Bu değer yerel en iyi çözümü ifade eder ve pbest olarak adlandırılır,

tekrar bu çözüme dönmemek için hafızada saklanmalıdır. İkinci en iyi değer ise, tüm

popülasyonda o ana kadar tüm parçacıklar arasından en iyi çözümü sağlayan

koordinatlardır. Bu değer global en iyi çözüm olarak ifade edilir ve gbest ile

gösterilir (Nedjah ve Mourelle, 2006: 30).

D boyutlu arama uzayı ve y adet parçacıktan oluşan bir sürü olduğunu varsayalım.

Bu durumda popülasyon parçacık matrisi eşitlik (3.6)’daki gibidir.

11 12 1

21 22 2

1 2

D

D

y y yD

x x x

x x x

x x x

(3.6)

Yukarıda gösterilen matriste, i’inci parçacık xi=[xi1, xi2 ,........., xD] olarak ifade

edilir. Önceki en iyi çözüm değerini veren i’inci parçacığın koordinatları pbesti =[pi1,

pi2,.....,piD] olarak adlandırılır. gbest ise her iterasyonda bir tanedir ve gbest=[p1,

p2...., pD] şeklinde ifade edilir. i’ninci parçacığın hızı vi=[vi1, vi2,.....viD] şeklinde

gösterilir. En iyi İki değerin elde edilesinden sonra parçacık hızları ve koordinatları

66

aşağıda verilen (3-7) ve (3-8) numaralı denklemlere göre yenilenir (Tamer ve

Karakuzu, 2006:2).

vih+1

= vih + c1.rand1

h.(pbesti

h - xi

h) + c2.rand2

h.(pbest

h - xi

h) (3.7)

xih+1

= xih + vi

h+1 (3.8)

Denklem (3.7)’de, c1 ve c2 sırasıyla bilişsel ve sosyal faktörlerdir veya ikisine birden

öğrenme faktörleri de denmektedir. c1 ve c2, her parçacığı pbest ve gbest

pozisyonlarına doğru çeken, stokastik hızlanma terimlerini ifade eden sabitlerdir. c1,

parçacığın kendi tecrübelerine göre hareket etmesini, c2 ise sürüdeki diğer

parçacıkların tecrübelerine göre hareket etmesini sağlar. Düşük değerler seçilmesi

parçacıkların hedef bölgeye doğru çekilmeden önce, bu bölgeden uzak yerlerde

dolaşmalarına imkân verir ve yeni çözümler bulma olasılıkları artar. Fakat amaca

ulaşma süresi uzayabilir. Diğer yandan, yüksek değerler seçilmesi, hedefe ulaşmayı

hızlandırırken, gereksiz hareketlerie ve hedef bölgenin atlanmasına yol açabilir.

Denklemdeki rand1 ve rand2, 0-1 arasında düzgün dağılım gösteren rasgele sayılardır.

h ise iterasyon sayısını göstermektedir (Rahimi-Vahed ve Mirghorbani, 2007: 84-85).

PSO algoritmasının genel akış şeması Şekil 3-2’ de verilmiştir.

67

Evet

Hayır

Şekil 3-2 PSO Algoritmasının Akış Şeması

(He ve Hui 2007: 44)

3.2.4. Genetik Algoritma

1975 yılında John Holland'ın doğal ve yapay sistemlerin uyumu adlı kitabıyla ortaya

çıkan genetik algoritma rassal arama temelli bir yapay zeka tekniğidir (Gen,

1996:836). GA, en iyinin korunumu ve doğal seçilim ilkesinin benzetim yoluyla

bilgisayarlara uygulanması ile elde edilen bir arama yöntemi olarak ortaya çıkmıştır.

Sürekli ve ayrık kombinatoryal optimizasyon problemlerinin çözümünde iyi

Birkaç partikül ve bunların yerel

eniyileri ile başla, ilk global en iyiyi

bul

h+1

En iyi çözüm

Her parçacık için, uygunluk değerini hesapla.

Eğer bu değer en iyi uygunluk değerinden daha

iyi ise, bunu yeni yerel en iyi olarak ata, tüm

parçacıklar içinden en iyi uygunluk değerine

sahip parçacığı global en iyi olarak seç.

Her parçacık için parçacık hızını

hesapla ve parçacık pozisyonunu

güncelle

İterasyon h=1

Sonlandır

68

sonuçlarveren bir yöntemdir. GA’nın klasik optimizasyon algoritmalarından farklı

dört temel özelliği vardır (Sivanandam ve Deepa, 2008: 33):

a) GA parametrelerin kendileri yerine parametre setlerinin kodlarıyla ilgilenirler.

b) Genetik algoritmanın arama alanı, yığının veya popülasyonun tamamıdır; tek

nokta veya noktalarda arama yapmaz.

c) Genetik algoritmalarda amaç fonksiyonu kullanılır, sapma değerleri veya diğer

hata faktörleri kullanılmaz.

d) GA’da deterministik değil rastlantısal geçiş kuralları kullanılır.

GA’da birtakım kavramlar kullanılır, bu kavramlar ve tanımları şu şekildedir (Elmas,

2007: 388):

Gen: Kromozom üzerinde bilgi taşıyan en küçük birimdir. Bir genin taşıdığı bilgi

ikili tabandaki sayıları içerebileceği gibi, onluk ve onaltılık tabandaki sayıları da

içerebilir.

Kromozom (birey) Birden fazla genin bir araya gelerek oluşturdukları yapıya

kromozom denir. Kromozomlar, ele alınan problemin muhtemel çözümlerini

içerirler.

Popülasyon: Kromozomlardan meydana gelen kümedir. GA’nın çalışması sırasında

popülasyondan kromozomlar çıkar ve yerlerine yeni kromozomlar gelerek

popülasyon büyüklüğü sabitlenir.

Uygunluk Değeri: Kromozomların, iyi çözümü bulup bulmadıklarını gösteren başarı

seviyelerini tespit eden bir değerlendirme işlemidir. Bir sonraki nesile taşınacak ve

elimine edilecek kromozomlar uygunluk değerine bakılarak belirlenir.

Yeniden üretim, çaprazlama ve mutasyon gibi operatörlerden geçecek olan

kromozomlar, amaç fonksiyonu değerlerine göre rassal olarak seçilir. Amaç

fonksiyon değeri yüksek olan kromozomların çaprazlanma ya da yeniden üretilme

olasılığı fazladır. Çeşitliliği azalan popülasyonlarda rassal olarak seçilen

69

kromozomlar mutasyona uğratılır. Popülasyon içinde iyiliği düşen kromozomlar ise

bir sonraki nesilde yer almazlar ve yok olurlar (Nabiyev, 2010: 586).

Standart bir GA yönteminin adımları aşıdaki gibi sıralanabilir (Bagchi: 1999: 35,

Engin ve Fığlalı, 2002: 28):

a) Optimizasyon probleminin karar değişkenlerini belirlemek için bir kodlama

şeması seçilir. Seçilen kodlama şemasına uygun seçim operatörü, çaprazlama

operatörü ve mutasyon operatörü belirlenir. Daha sonra iterasyon sayısına,

popülasyon büyüklüğüne, çaprazlama ve mutasyon olasılıklarına karar verilir.

b) Arama uzayındaki muhtemel çözümler bir dizi olarak kodlanır.

c) Başlangıç popülasyonu rassal olarak seçilir.

d) Her dizi için uygunluk değeri hesaplanır.

e) Bir grup dizi, belirli bir olasılık değerine göre rassal olarak seçilip üreme

işlemi gerçekleştirilir.

f) Yeni bireylerin uygunluk değerleri hesaplanır, çaprazlama ve mutasyona tabii

tutulur.

g) Daha önce belirlenmiş olan nesil sayısı boyunca yukarıdaki işlemler devam

ettirilir.

h) Nesil sayısına ulaşınca işlem durdurulur ve uygunluk değeri en yüksek olan

dizi seçilir.

GA’nın işleyiş şekli Şekil 3-3’de gösterilmiştir.

70

H

E

Şekil 3-3 GA’nın Akış Diyagramı

(Elmas, 2007: 401)

Bireyleri mutasyona

uğrat

Eşlenen bireyleri

çaprazla

Bireyleri uygunluk

değerine göre eşleştir

Uygunluk değeri en

yüksek kromozomu

çözüm olarak al

Dur

Yeni

popülasyon

oluştur

Durdurma

kriteri

sağlandı mı?

Oluşan yeni bireylerin uygunluk

değerini hesapla, uygun olanları

ebeveynleri ile yer değiştirerek

yeni popülasyonu oluştur

Bireylerin uygunluk

değerini hesapla

Başla

Başlangıç

popülasyonunu oluştur

71

3.2.4.1 Genetik Operatörler

GA'da kullanılan operatörler, mevcut popülasyon üzerine uygulanan işlemler olarak

ifade edilir. Bu işlemlerin amacı daha iyi özelliklere sahip yeni nesiller üretmek ve

aranan en iyi çözüm alanını genişletmektir. Farklı uygulamalarda farklı operatörler

kullanılmakla birlikte genelde üç standart operatör kullanılmaktadır. Bu operatörler

(Mitchell, 1998: 10):

a) Seçim (Üreme) Operatörü

b) Çaprazlama Operatörü

c) Mutasyon Operatörü

Şekil 3-4’de genetik operatörlerin fonksiyonları verilmiştir.

Seçim Çaprazlama ve Mutasyon

Şekil 3-4 GA Operatörleri

(Glover ve Kochenberger, 2003: 55)

Seçim operatöründe kromozomlar, amaç fonksiyonuna göre kopyalanır ve iyi kalıtsal

özellikleri bir sonraki kuşağa daha iyi aktaracak bireyler seçilir. Dizileri uygunluk

Birey 1

Birey 2

Birey 3

Birey 4

Yavru A (1x2)

Yavru B (1x2)

Yavru C (2x4)

Yavru D (2x4)

Birey 1

Birey 2

Birey 2

Birey 4

72

değerlerine göre kopyalama, daha yüksek uygunluk değerine sahip dizilerin, bir

sonraki kuşaktaki bir veya daha fazla yavruya daha yüksek bir olasılıkla katkıda

bulunması anlamına gelmektedir. Üreme, bireyleri seçme işleminden, seçilmiş

bireyleri bir eşleme havuzuna kopyalama işleminden ve havuzda bireyleri çiftler

halinde gruplara ayırma işleminden oluşur (Engin ve Fığlalı, 2002: 2).

En iyi kromozomları seçmek için kullanılan yöntemler aşağıda kısaca açıklanmıştır.

Rulet Çemberi Yöntemi: Bu yöntemde seçilme işlemi bireylerin uygunluk

değerlerine göre yapılmaktadır. Tüm bireylerin uygunluk değerleri bir tabloya yazılır

ve toplanır. Daha sonra uygunluk değerleri toplama bölünerek bireylerin 0-1

aralığında seçilme olasılıkları belirlenir. Sayılar bir tabloda tutulur ve sayılar

birbirine eklenerek rastgele bir sayıya kadar ilerlenir. Bu sayıya ulaşıldığı taktirde,

son eklenen sayının çözümü seçilmiş olur (Nabiyev, 2010: 596).

Akış tipi çizelgeleme problemleri için 2 farklı rulet çemberi yöntemi vardır.

Bunlardan birisi makine verimlerine bağlı rulet çemberi yöntemi, diğeri ise toplam

tamamlanma zamanına bağlı rulet çemberi yöntemidir. Makine verimliliğine bağlı

yöntemde, yeni nesilde bulunacak kromozomların seçilme olasılıkları makine

verimliliğine göre değişmektedir. Makine verimleri yüksek olan kromozomların rulet

çemberine göre bir sonraki nesilde bulunma olasılıkları fazladır. Toplam akış

zamanına bağlı yöntemde, amaç değeri olarak toplam akış zamanı kullanılır. Toplam

akış zamanı küçük olanların bir sonraki popülasyonda bulunma olasılıkları yüksektir

Engin ve Fığlalı, 2002: 3).

Sıralı Seçim Yöntemi: Her kromozomun uygunluk değeri hesaplanır. Daha sonra

kromozomlar en kötü uygunluk değerine sahip olandan en iyi değere sahip olana

doğru sıralanır. En uyumsuz kromozomun değeri 0, en uyumlu kromozomun değeri

ise toplam kromozom sayısı kadardır (Sivanandam ve Deepa, 2008: 48).

Elitist Seçim Yöntemi: Yöntemin adından da anlaşılacağı gibi en elit (en iyi) olan

bireyler korunur. En iyi uygunluk değerine sahip olan birey korunarak yeni topluma

direkt olarak eklenir.

73

Turnuva Seçim Yöntemi: Bu yöntemde bir grup birey rastgele olarak seçilir. Bu

bireyler daha sonra bir turnuvaya katılır ve en iyi uygunluk değerli birey seçilir.

Çaprazlama için iki turnuva tutulur. Bunlardan biri her bir ebeveyni seçmek içindir.

Bir kereden daha fazla üretmek için seçilebilecek bir ebeveyn mümkündür. Turnuva

seçiminin avantajı, popülasyonun daha kötü bireylerinin seçilmeyecek olması ve

bundan dolayı sonraki neslin genetik yapısına katılmayacak olmasıdır (Miller ve

Goldberg, 1995: 195).

Kararlı Hal Seçim Yöntemi: Karalı hal metodunda, her nesilde yalnızca birkaç

birey yer değiştirir. Çoğunlukla çok düşük uygunluk değerine sahip bireyler,

çaprazlama ve mutasyon yöntemleriyle yeniden üretilerek yeni nesilde yer alırlar.

Sabit durumlu GA’lar daha çok kural tabanlı sistemlerde kullanılır (Mitchell, 1998:

171).

Çaprazlama operatörü GA’nın performansını etkileyen en önemli operatördür. İki

çözümün yapıları kullanılarak yeni bir çözüm oluşturulması temeline dayanır.

Çaprazlama işlemi genel olarak ikili dizilerin parçalarının değiş tokuşu şeklinde

gerçekleşir. Genellikle kullanılan çaprazlama operatörleri tek noktalı ve çok noktalı

çaprazlamadır. Ancak problemin özelliğine göre farklı tiplerde çaprazlamalar söz

konusudur. Akış tipi çizelgeleme problemleri için kullanılan çaprazlama

operatörlerinden bazıları; pozisyona dayalı çaprazlama, sıraya dayalı çaprazlama,

kısmi planlı çaprazlama, dairesel çaprazlama, doğrusal sıralı çaprazlama ve sıralı

çaprazlamadır. Bu yöntemlere ait açıklamalar aşağıda verilmiştir (Cheng, Gen ve

Tsujimura, 1999: 349-350, Engin ve Fığlalı, 2002: 30-31):

Pozisyona Dayalı Çaprazlama: Bu tip çaprazlama yönteminde, rassal pozisyondaki

işler bir ebeveynden çocuğa aktarılır. Diğer işler, diğer ebeveynlerdeki görünümleri

sırasıyla yerleştirilirler. Pozisyondaki sayılar, [1, n] rassal tamsayılar olarak öncelikle

düzenlenir, daha sonra bu pozisyonlar rassal olarak seçilir (Engin ve Fığlalı, 2002,

30).

Sıraya Dayalı Çaprazlama: Rasgele nokta seçimi sözkonusudur. İlk kromozomun

seçilen noktalara tekabül eden karakterleri yerlerini korur. İkinci kromozomun

74

seçilen noktalara ait karakterleri ilk kromozomun aynı noktalarındaki karakterlerin

önüne getirilir. Geriye kalan boş pozisyonlara ikinci kromozomdan aktarılan yeni

karakterler de göz önünde bulundurularak ilk kromozomun kullanılmayan

karakterleri tarafından soldan sağa doğru yerleştirilerek yeni bir kromozom elde

edilmiş olur (Engin, 2001: 74).

Kısmi Planlı Çaprazlama: İki farklı iş sırasında rassal olarak aralıklar belirlenir ve

bu aralıktaki işlerin yeri karşılıklı olarak değiştirilir.

Dairesel Çaprazlama: Bu yöntemde birinci kromozomdan ilk gen seçilir ve bu gen

yeni diziye yerleştirilir. Bu gene karşılık gelen ikinci kromozomdaki gen belirlenir,

bu değer de yeni kromozom üzerine yerleştirilerek dairesel olacak şekilde bütün

genler belirlenir.

Doğrusal Sıralı Çaprazlama: Bu yöntemin adımları şöyledir; mevcut popülasyon

içerisinden rassal olarak iki ebeveyn seçilir, seçilen bu iki kromozom üzerinde rastsal

olarak iki alt dizi seçilir, bu ebeveynlerden ilkinin dizisinden seçilen alt dizi

kromozomdan koparılır ve boş kalan yerler belirlenir, benzer şekilde ikinci

ebeveynin dizisinde de aynı işlemler gerçekleştirilir, birinci alt dizi ilk ebeveyne ve

ikinci alt dizi ikinci ebeveyne yerleştirilir.

Sıralı Çaprazlama: Bu yöntemde, kromozom popülasyonundan rassal olarak iki

kromozom seçilir. Bu kromozomlar üzerinde rasgele şekilde iki ayrı nokta belirlenir.

Bu noktalar arasındaki kromozom sayısının her iki kromozomda da aynı olmasına

dikkat edilir. Kesim noktaları arasındaki kromozomlar karşılıklı olarak yer değiştirir.

Genetik algoritmanın önemli bir diğer operatörü ise mutasyondur. Mutasyon,

kromozomu oluşturan dizideki tek bir elemanın değerinin rastgele olarak

değiştirilmesidir.

Ele alınan problemin yapısına bağlı olarak seçilen mutasyon operatörleri

değişmektedir. Bunlardan bazıları; ters çevirme, ekleme, yer değişikliği ve karşılıklı

değişim yöntemleridir. Ters çevirmede, kromozomdan rastgele iki pozisyon seçilir ve

iki ucu arasında ters çevrilir. Eklemede ise rastgele bir parka seçilir ve rastgele bir

75

yere yerleştirilir. Yer değişikliği mutasyonunda, rastgele bir alt dizi seçilir ve rastgele

bir yere yerleştirilir. Karşılıklı değişim mutasyonunda, rastgele seçilen iki genin

yerleri değiştirilir (Bolat, Erol ve İmrak, 2004: 268).

3.2.4.2 Genetik Algoritma Parametreleri

GA’da kullanılan ve çözüm kalitesini önemli ölçüde etkileyen birtakım parametreler

mevcuttur. Bunlar çaprazlama oranı, mutasyon oranı ve popülasyon büyüklüğü, gibi

parametrelerdir (Bandyopadhyay ve Pal, 2007: 27).

Popülasyon Büyüklüğü: En önemli kararlardan birisidir. Bu değerin küçük olması,

genetik algoritmanın yerel bir eniyiye takılmasına sebep olabilmektedir. Bu değerin

çok büyük olması ise, çözüm süresini uzatmaktadır. Bu konuda Goldberg 1985’de,

yalnızca kromozom uzunluğuna bağlı bir popülasyon büyüklüğü hesaplama yöntemi

önermiştir. Ayrıca Schaffer ve arkadaşları 1989’da çok sayıda test fonksiyonları

üzerinde yaptıkları araştırmalar sonucunda, 20-30 arası bir popülasyon

büyüklüğünün iyi sonuçlar verdiğini belirtmişlerdir (Taşkın, 2002: 135).

Çaprazlama Oranı: Çaprazlamanın hangi sıklıkla yapılacağını belirler. Çaprazlama

oranı, bireylerin eşleştiklerinde çaprazlama yapıp yapmayacaklarına dair olasılığı

gösteren orandır.

Mutasyon Oranı: Mutasyonun yapılma sıklığını belirler. Küçük oranlar yerel

eniyiye saplanmalara yol açabilir. Bu oranın yüksekliği rassallık sağlar ve yeni

çözümlere ulaşma olsılığı artar.

3.2.5. Karınca Kolonisi Optimizasyonu

İnsanlar doğadaki canlıların davranışlarını yıllar önce izlemeye başlamış ve bu

davranışlardan esinlenmişlerdir. Kuş sürülerinin havadaki davranışları, karıncaların

yiyecek arama sırasındaki durumları, balık sürülerinin birlikte hareket etmeleri sürü

davranışlarına örnek teşkil eder. Son yıllarda farklı disiplinlerden (biyologlar ve

bilgisayar uzmanları) bilimadamları bu sürülerin davranışlarının nasıl tasarlanacağı

ve aralarındaki iletişimin mantığı üzerinde çalışmalar yaparak yeni yöntemler

76

geliştirmektedirler. Bilim adamları tarafından sürü zekâsı olarak adlandırılan bu

davranışlar birçok optimizasyon probleminin çözümünde kullanılmaktadır. Bu

yaklaşımlardan bir tanesi de karınca koloni optimizasyonudur.

Karınca koloni optimizasyonu (KKO), ilk olarak 1991 yılında, Colorni, Dorigo ve

Maniezzo tarafından gezgin satıcı probleminin (TSP) çözümünde başarı ile

uygulanmıştır. 1992 yılında, Dorigo tarafından doktora tezi olarak yayınlanmıştır. Bu

algoritmaya ise “Ant System” yani karınca sistemi (AS) adını vermiştir. Dorigo bu

algoritmayı değişik boyutlardaki birçok TSP probleminde denemiş, küçük ölçekli

TSP problemlerinde başarılı olurken daha büyük ölçeklilerde başarılı olamamıştır.

AS algoritması aslında Karınca-Çevrim (Ant-Cycle), Karınca-Yoğunluk ()Ant-

Density ve Karınca-Miktar (Ant-Quantity) olmak üzere üç değişik algoritmadan

oluşur. Bunların arasındaki fark ise feromonun depolanmasındadır. Karınca-Çevrim

algoritmasında, feromon sadece her karınca turunun sonunda o karıncanın turu

üzerindeki her kenar uzunluklarıyla ters orantılı olarak depolanmaktadır. Diğer iki

algoritmada ise feromon yolu, karınca bir noktadan diğer bir noktaya geçerken

güncellenmektedir. Yapılan çalışmalar sonunda Karınca-Çevrim algoritmasının daha

iyi sonuçlar verdiği ortaya çıkmış ve AS algoritması denildiğinde bu algoritma

kastedilir hale gelmiştir. AS algoritması üzerindeki ilk gelişme, Elitist Strateji (ES)

olarak yine Dorigo tarafından 1996’da gerçekleştirilmiştir. Bu yaklaşımda arama

süreci esnasında bulunan en iyi yola, feromon doldurulması yöntemi kullanılarak

daha iyi sonuçlar elde edilmiştir. Yine 1996 da Dorigo ve Gamberdella tarafından

Karınca Koloni Sistemi-ACS (Ant Colony System) algoritması geliştirilmiştir. ACS,

en iyi sonucun komşularında sonucu arama üzerine yoğunlaşmaktadır. Bu iki şekilde

gerçekleştirilir. Birincisi, sadece en iyi karıncalara feromon bırakmaya izin verilmesi,

diğeri ise bir noktadan diğer bir noktaya gidilirken denge unsuru olarak bir rastgele

orantı kuralı kullanılmasıdır. 1997’de ise Hoos ve Stutzle feromon miktarını

maksimum ve minimum aralıklarda sınırlayan MAKS-MİN Karınca Sistemi (MAX-

MIN Ant System) adında bir algoritma önermişler, 1999’da Bullnheimer, Hartl ve

Stauss Rank Temelli Karınca Sistemi (Rank- based Ant System) adı altında (ES)’nin

gelişmiş bir çeşidini sunmuşlardır. Bu algoritmalar temel alınarak bir çok yeni

algoritma geliştirilmiş ve geliştirilmektedir (Dorigo ve Stützle, 2004: 65-75).

77

3.2.5.1 Doğal Hayatta Karıncalar

Karıncalar, her biri tek bir birey olarak düşünüldüğü zaman karmaşık olmayan basit

canlılardır. Bununla beraber bir topluluk (koloni) olarak ele alındıkları zaman

karmaşık problemleri çözebilecek yeteneğe sahip olmaktadırlar. Bir karınca kolonisi

kolektif olarak yuvalarını oluşturmak, yiyecek kaynağını aramak gibi görevleri

yerine getirebilir (Bonabeau, Dorigo ve Theraulaz., 2000: 41). Birçok karınca

kolonisinde karıncalar yiyeceklerini ararken, öncelikle yuvalarının etrafında rastgele

dolaşarak keşfe başlarlar. Yiyecek kaynaklarını bulduklarında, yiyeceğin kalitesini

ve miktarını değerlendirdikten sonra bir kısmını yuvaya taşırlar. Bu dönüş sırasında

diğer karıncaların da aynı kaynağı bulabilmeleri için yiyeceğin kalitesine ve

miktarına bağlı olarak kimyasal feromon maddesini geçtikleri yolun üzerine

bırakırlar. Bırakılan bu izler diğer karıncalara rehberlik ederek belli olasılıkla o yolu

takip etmelerini ve kaynağı bulmalarına yardım eder. Gitmek için seçecekleri yolun

belirlenmesinde bu maddenin miktarı önemlidir. Karıncaların, feromon maddesinin

daha yoğun olduğu yönleri tercih etme olasılığı, daha az feromon maddesine sahip

yönleri tercih etme olasılığından daha fazladır. Bu şekilde feromon vasıtasıyla

yapılan dolaylı iletişim, karıncaların gıda ile yuva arasında en kısa yolu bulmalarına

olanak tanır. İşte karıncaların bu davranışları KKO algoritmalarının geliştirilmesinde

ilham kaynağı olmuştur (Blum, 2005: 355).

Doğal hayatta yer alan karıncaların yuvaları ile yiyecek kaynağı arasında en kısa

yolu bulabilmesini sağlayan davranışları aşağıdaki Şekil 3-5’de gösterilmektedir.

78

Şekil 3- 5 (a) Karıncaların davranışları A – E arasındaki yolu izlemektedirler. (b) Yol

üzerinde engel konulmuştur ve karıncalar rastgele yollarını belirlerler. (c) Kısa olan

yol üzerindeki karınca sayısı artar (Dorigo, Maniezzo ve Colorni, 1996: 30).

Şekil 3-5 (a)’da karıncaların yiyecek aramak üzere düz bir yolda ilerledikleri

görülmektedir. A noktası karıncaların yuvasını gösterirken, E noktası yiyecek

kaynağını gösterir. Şekil 3-5 (b)’de ise bir engel görülmektedir. Yol üzerinde

karşılaşılan engelden dolayı yol kesilir. Karıncalar B noktasında karar vermek

zorundadır. Yollar eşit karar olasılıklarına sahiptir. Şekil 3-5 (c)’de, kısa olan yolu

seçerek önce D noktasına ulaşan karınca, geri dönüş sırasında D noktasına gelir ve

geri dönüş için seçim yapmak zorundadır. Bu durumda kısa olan yoldan gelen

karınca sayısı ve buna bağlı olarak salgılanan feromon miktarı daha fazla olur.

Bundan dolayı karınca kısa olan BCD yolunu seçer.

Şekil 3-6'da karıncaların feromon biriktirme mekanizmaları gösterilmiştir.

a) b) c)

79

Şekil 3-6 Karıncaların Feromon Biriktirme Mekanizmaları

(Alaykıran ve Engin, 2005: 71)

Şekil 3-6 A'da karıncalar bir karar noktasına gelirler. B'de bir kısım karınca

yukarıdaki yolu bir kısmı ise aşağıdakini seçer. Seçim tümüyle rassaldır. C'de

karıncalar neredeyse sabit bir hızda yürüdükleri için aşağıdaki ve kısa olan yolu

seçen karıncalar turlarını daha çabuk bitirirler ve bir sonraki karar noktasına daha

çabuk ulaşırlar. D'de kısa olan yolda feromon birikmesi daha fazla olur.

3.2.5.2 Karınca Koloni Algoritmasının Genel Yapısı

Karınca kolonileri metasezgiseli, doğal karıncaların yuvaları ile besin kaynakları

arasında izledikleri yolların izlenmesi sonucu ortaya çıkan bilimsel gerçekler üzerine

doğmuştur. Bu yöntemin geliştirilmesinde gerçek karınca kolonilerinin gıda arama

tekniklerinden faydalanılmıştır. Karınca koloni algoritmasının temeli, gerçek

karıncaların aralarındaki iletişim ve geri bildirim mekanizmasını oluşturan feromon

izlerinin taklit edilmesidir. Yapay karıncalar, geçtikleri yol üzerindeki düğümlere

feromon maddesi bırakırlar ve her karınca kendi yolunu daha önce yola bırakılmış

A B

C D

80

feromon izlerine bağlı olarak seçer. Daha sonra bu feromon izleri buharlaşma

vasıtasıyla azalır. Bu indirekt iletişim yolun kalitesi hakkında diğer karıncalara bilgi

verir ve devam eden iterasyonlarda yolun çekiciliğini belirler (Solnon, 2008:1044).

Basit Karınca koloni algoritmasında, bir karınca grubu ya da karınca kolonisi,

problemin durumuna bağlı olarak kısmi bir çözüm elde edebilmek için hareket eder.

Bu hareket iki parametreye (feromon izleri ve sezgisel bilgi) bağlı yerel karar

politikası uygulanarak gerçekleştirilir. Her karınca hareket ederek probleme artan bir

şekilde çözüm oluşturmaya çalışır. Karıncalar çözüm oluştururken ya da çözüm

oluşturduktan sonra, çözümü değerlendirir ve feromon iz değerlerini değiştirir. Bu

feromon bilgisi daha sonraki karıncaların araştırmasını yönlendirecektir.

(Onwubolu ve Babu, 2004: 102 )

Bunlara ek olarak, Karınca koloni algoritması iki mekanizma daha içerir: feromon iz

buharlaşması ve tercihe bağlı olarak kullanılan yerel arama. Bazı noktalarda sınırsız

feromon birikmesini engellemek amacıyla zaman içerisinde tüm feromon değerleri

azalır. Feromon buharlaşması karıncalara yararlı bir unutma formu yükler ve bu

sayede problemin çözümü için yeni çözüm alanlarının keşfi sağlanır. Yerel arama

çözüm kalitesini artırmak için seçimsel olarak uygulanır (Dorigo ve Stützle, 2004:

37).

Basit Karınca koloni algoritmasının çalışma prensipleri aşağıda sunulmuştur.

a) Karıncanın iki hareketi vardır: ileri ve geri. Karınca ileri halde yuvadan çıkmış

tur oluşturma ve ezberleme gibi görevleri vardır. Karınca geri halde feromon

güncelleme ve döngü eleme yapar.

b) Karınca, rotasını seçerken olasılığa dayalı bir karar mekanizması kullanır.

c) Döngülerden kaçınmak ve optimal olmayan çözümlere takılmamak için

karıncalar feromon konsantrasyonu yüksek yolları daha yüksek olasılıkla tercih

ederler.

d) Karıncanın izlediği yolları ezberleyebilmesi, geri hale geçtiği anda başlangıça

dönebilmesi, bulduğu çözümü nicel olarak değerlendirebilmesi için bir miktar

harici belleği vardır.

81

e) Çözüm kalitesine bağlı feromon güncellemesi yapılır. Karınca daha kısa yol için

daha çok feromon bırakır.

f) Arama işleminin başında verilen ve muhtemelen en kısa olmayan yollara

oluşabilecek eğilimlerin güçlenmesini önlemek ve yeni yolların keşfedilmesini

teşvik etmek için feromon buharlaşması yapılır.

Basit Karınca koloni algortimasının operasyonel akışı adım adım aşağıda verilmiştir

(Abdallah v.d., 2009: 10008).

Adım 1: Başlangıç parametreleri ve feromon izleri belirlenir.

Adım 2: Her karınca rastgele bir düğüme atanır.

Adım3: Her karınca olasılık dağılımına (geçiş kuralı) bağlı olarak bir sonraki

düğüme ilerler.

Adım 4: Yolun uzunluğuna bağlı olarak feromon iz miktarları belirlenir.

Adım 5: Feromon izlerinin yerel güncellemesi yapılır.

Adım 6: Feromon izlerinin global güncelleme yapılır.

Adım 7: 2. adımdan 6 adıma kadar olan adımları durdurma kriterine ulaşıncaya dek

tekrarla.

Karına koloni optimizasyonu geliştirildiğinden beri üzerinde bir takım değişiklikler

yapılmıştır. Performansını arttırmaya ve daha farklı problemlerin çözümünde

kullanmaya yönelik yapılan modifikasyonlar, farklı isimlerle anılan birçok karınca

koloni optimizasyon algoritmasını ortaya çıkarmıştır. Bunlar Şekil 3-7'de verilmiştir.

82

Şekil 3-7 Karınca Koloni Algoritmaları

(Sivanandam ve Depa, 2008: 417)

KKO yöntemi farklı tipteki kombinatoryal optimizasyon problemlerinin çözümünde

başarıyla uygulanmaktadır. Bunlardan en önemlileri, TSP problemleri, sipariş

sıralama problemleri, kuadratik atama problemleri, araç rotalama problemleri,

çizelgeleme problemleri, grafik boyama problemleri ve ağ problemleridir (Ghoseiri

ve Nadjari, 2009: 3).

3.2.5.3.Karınca Sistemi

Karıncaların feromon bırakma ve takip etme mantığı üzerine kurulu olan ilk

algoritmadır. Bu algoritmadan kastedilen yukarıda da bahsedildiği gibi Ant-Cycle

algoritmasıdır. Bu algoritma ilk olarak TSP problemi üzerinde denenmiştir.

Karınca Koloni Optimizasyon Algoritmaları

Karınca Sistemi (AS)

Elitist AS

Ant- Q Max-Min AS

Mertebe

Temelli-AS

Karınca Koloni Sistemi (ACS)

83

AS algoritmasında, karıncalar sonucu sırayla çizgedeki (graph) noktaları gezerek

paralel bir şekilde çözerler. Her karıncanın bir noktadan diğerine geçmesinde

olasılığa dayalı bir kural uygulanır. Karınca k nın i noktasından j noktasına geçerken

uygulanan olasılık fonksiyonu (3.9) numaralı formüle (olasılık bağıntısı) göre

belirlenir (Gasbaouı ve Allaoua, 2009:6-7).

α βτ(i, j) η(i, j)

eğer j S (i)kα βP (i, j) = τ(i, u) η(i, u)u S (i)k

k

0 diğer durumlarda

(3.9)

u: Karıncanın bulunduğu konumdan sonra seçebileceği işlerin her biri

τ ij : (i,j) köşelerindeki feromon iz miktarı.

η ij : (i,j) köşeleri arasındaki görünülürlük (visibility) değeridir. i ve j noktaları

arasındaki mesafenin tersidir (1/δ(i,j)) . Bu değer problem çözümünde ele alınan

kritere göre değişmektedir.

Sk= henüz k karıncası tarafından ziyaret edilmemiş i den sonraki gidilebilecek

noktalar kümesidir.

α : Problemde feromen izine verilen bağıl önemi gösteren bir parametredir.

β : Problemde sezgisel bilginin (görünülürlük) önemini gösteren bir parametredir

Karıncalar bu olasılık formülüne göre bir sonraki seçimlerini yaparlar. Problemdeki

tüm düğüm noktalarıya da işler gezildikten sonra bir tur veya iterasyon

tamamlanmıştır. τ ij (t) iterasyon t’ ye kadar biriken i, j arkındaki feromon düzeyi, Δ

τ ij k karınca k’ nın i, j arkına bırakacağı feromon miktarı ve m karınca sayısı olmak

üzere t+1 iterasyonuna ait feromon düzeyi (3.10) numaralı formüle göre hesaplanır.

τ (t +1) = (1-ρ).τ (t) + Δτij ij ij (3.10)

ρ : Buharlaşan feromon iz oranı (0 < ρ <1)

ijΔτ : Karıncanın bir turu boyunca (i,j) köşesini seçmesinden dolayı bu köşedeki

feromon iz miktarını gösterir. Bu miktar (3.11) numaralı formüle göre hesaplanır.

84

f k

k=1Δτ = Δτ

ij ij (3.11)

(3.12) numaralı bağıntı ise her bir (k) karıncasının herhangi bir (i,j) köşesindeki

feromon iz miktarına nekadarlık katkı yapacağını gösterir

Δ

1eğer (i, j) tabu

k kLτ (t +1) = kij0 aksihalde

∈ (3.12)

Lk, k karıncası tarafından oluşturulan tur uzunluğu ve tabuk k karıncasının

gerçekleştirdiği turdur bir başka deyişle, k karıncasının o ana kadar uğramış olduğu

şehirlerin bulunduğu bir depodur.

t = 0 anında feromon miktarı, tüm (i, j) kenarları çok küçük bir değer olan c sabiti

miktarınca atanmaktadır. Bu değer, Lnn

en yakın komşu turun uzunluğuna göre

hesaplanan tur uzunluğu olmak üzere ve τ0=1/Lnn

şeklinde hesaplanır.

Karınca sisteminin çalışma şekli, gidilmesi mümkün olan tüm komşu işlerin

gösterildiği bir şekil üzerinde ifade edilecektir. Bu şekilde, t=0 anında tüm karıncalar

rasgele birbaşlangıç noktasına yerleşmiştir. Şekildeki başlangıç konumu Şekil 3-8’de

gösterilmiştir. Şekil 3-8’de görülmekte olan yapı, 3 işin ve 4 adet makinenin

bulunduğu bir atölye yapısı gibi düşünülebilir (Alaykıran Engin, 2005:72).

85

Şekil 3-8 Ele Alınan Problemin Başlangıç Konumu

(Alaykıran ve Engin, 2005: 72)

Şekil 3-9’da, düğüm noktaları arasında çizilmiş oklar karıncanın gidebilceği olası

noktaları göstermektedir. Karıncalar bulundukları konumdan bir sonraki konuma

nasıl gideceklerine rassal olarak karar verirler. Şekil 3-9’da karınca ilk seçimini

yapmış ve u11 düğümüne gitmiştir.

Şekil 3-9’da karınca aynı düğüm noktasına bir daha dönmemek üzere, tüm düğüm

noktalarını seçer ve bir turu böylece tamamlamış olur. Karıncanın seçtiği tüm

düğümler Şekil 3-10’da gösterilmiştir. Karınca bir tam tur yaptıktan sonra o turda

Şekil 3-9 Karıncanın Seçtiği İlk Düğüm Noktası

(Alaykıran ve Engin, 2005: 72)

86

geçtiği tüm noktalara feromon maddesi bırakır. Bir sonraki turunda ise bu feromon

maddesi miktarı karıncanın seçeceği düğümleri etkileyecektir.

Bu verilen bilgilere göre AS algoritması Şekil 3-11’deki gibidir.

Şekil 3-10 Problemin Son Hali

(Alaykıran ve Engin, 2005: 72)

87

Şekil 3-11 Karınca Sistem Algoritması (Dorigo v.d., 1996)

1. Başlangıç:

t=0 {zaman sayacı}

NC:=0 {tur sayacı}

Her i,j yolu için τij(0) =c ve Δ τij =0

2. Tur Başlangıcı:

s:=1 (s tabu listesi indeksi)

k:=1'den f’ ye kadar

k. karıncanın başlangıç düğümünü tabu

listesine ekle, tabuk (s)

3. Her karıncanın turu

Tabu listesi dolana kadar tekrarla

s:=s+1

k:=1'den f' ye kadar

pkij olasılığına göre gidilecek j şehrini seç

{k. karınca t zamanında i=tabuk(s-1) şehrinde}

k. karıncayı j şehrine hareket ettir

j şehrini tabuk(s) ya ekle

4. Tur sonunda tur uzunluğunu ölçme ve en

iyi tur değerini yenileme

k:=1'den f 'ye kadar

k. karıncanın indeksini tabuk (n) den tabuk(1)

e getir

k. karıncanın tur uzunluğunu (Lk) hesapla

En iyi tur uzunluğunu yenile ve hafızaya al

5. Feromon güncellemesi

Tüm (i,j) kenarları için

k:=1'den f 'ye kadar

k

1eğer (i, j) tabuk

Δτ = Lij k

0 aksihalde

∈

Tüm (i,j) kenarları için

τ ij(t+1)= τ ij(t)+ ij eşitliğine göre τ ij (t+1)

değerini bul

t:=t+1, NC:=NC+1

Tüm (i,j) kenarları için ij=0

6. Sonlandırma

Eğer (NC < NCMAX) ise{NCMAX maksimum tur

sayısı}

Tüm karıncaların Tabu listelerini boşalt

2. basamağa git, değilse

En kısa turu yazdır

Dur

88

3.2.5.4 Elitist Karınca Sistemi

Karınca sistemi üzerinde yapılan ilk değişiklik sonucu ortaya çıkan algoritma elitist

karınca sitem algoritmasıdır. Elitist karınca sistemi (EAS) genetik algortimadan

esinlenerek geliştirilmiştir. En iyi tura ait kenarların feromon miktarları, her

iterasyonda AS’de uygulanan global feromon güncellemesine ilave olarak fazladan

feromon artırımına tabi tutulmaktadır. Bu yöntem aynı zamanda Elitist strateji olarak

da anılmaktadır.

En iyi tur Tbs

, en iyi turun uzunluğu Lbs

ve e elitist karınca sayısı olmak üzere, en iyi

turun üzerinde bulunan kenarlara ait feromon miktarı e(1/ Lbs

) kadar artırılmaktadır.

Buna göre en iyi tura ait (t+1) anındaki feromon miktarı formül (3.13) ve (3.14) ile

hesaplanmaktadır (Martinez ve Herrera, 2007:118).

mk bs

ij ij ij ijk=1

τ (t +1) = τ (t) + Δτ +eΔτ (3.13)

bs bs

bs

ij

1/ L eğer (i, j) TΔτ =

0 aksihalde (3.14)

EAS yönteminde feromon buharlaşması ise AS’de verilen formülle

hesaplanmaktadır.

Dorigo’nun (1992) ve Dorigo ve arkadaşlarının (1996) yaptığı çalışmalarda, elitist

strateji içeren AS sisteminin AS’den daha iyi sonuçlar verdiği gösterilmiştir.

3.2.5.5 Max-Min Karınca Sistemi

Max-Min karınca sistemi (MMAS) ilk olarak 1997 yılında Stützle ve Hoos

tarafından önerilmiştir. MMAS diğer karınca koloni algoritmalarından farklı üç

özelliğe sahiptir (Puris, Bello ve Herrera, 2010: 5445).

89

a) Algoritma uygulanırken bulunan en iyi çözümden faydalanmak amacıyla her

iterasyonda yalnızca bir karıncanın feromon yenilemesine izin verilir.

b) Durgunlaşmayı engellemek için MMAS algoritmasında feromon

güncelleştirilmesine dair bir alt limit ve üst limit belirlenir. Alt ve üst limitler

[τmin , τmax] şeklinde gösterilir.

c) MMAS algoritmasında problemin başlangıcında tüm feromon miktarları

belirlenen üst limite eşitlenir.

MMAS algoritmasında karınca i noktasından j noktasına hareket ederken AS’deki

aynı olasılık fonksiyonunu kullanır. Her iterasyon sonunda sırasında sadece bir

karınca feromon güncellemesi yapar. Bir karıncanın i noktasından j noktasına gitme

olasılığı pij’nin ait olduğu sınırlar [pmin , pmax] ve 0 < pmin < pmax < 1 şeklindedir. k

karıncası için gidilebilecek bir nokta olduğu düşünülürse, bu durumda

pmin = pmax =1 olur.

MMAS’de feromon güncellemesi formülü aşağıda verilmiştir.

(3.15)

best best

ijΔτ =1/ L (3.16)

Lbest

en iyi tura ait çözüm değerini ifade eder. Bu değer iterasyon en iyi Lib

olabileceği gibi, şimdiye dek en iyi Lbs

de olabilir. Genel olarak MMAS

uygulamalarında alternatif yol içinde şimdiye dek en iyi ve iterasyon en iyi kuralları

kullanılır.

Herhangi bir noktada biriken maksimum feromon miktarı 1/ρLopt

’dur ve Lopt

optimum sonuç değeridir. Bu sonuca bağlı olarak t iterasyona kadar birikecek

feromon miktarı formül (3.17)’de verilmiştir (Dorigo ve Blum, 2005: 252).

(3.17)

best

ij ij ijτ (t +1) = τ (t) +Δτ

tmax ı-i t

ij ijoptk=1

1τ (t) = ρ + ρ τ (0)

L

90

3.2.5.6 Mertebe Temelli Karınca Sistemi

AS üzerinde yapılan geliştirmeler sonucunda ortaya çıkan ve elitist stratejiyi de temel

alan diğer bir yöntem ise mertebe temelli karınca sistemidir (RBAS). 1999 yılında

Bullnheimer ve arkadaşları tarafından geliştirilmiştir. RBAS’de feromon

güncellemesi yapılmadan önce karıncalar tur uzunluklarına göre sıralanır. Her

karıncanın feromon güncellemesine yaptığı katkı bu sıraya (μ) göre ağırlıklandırılır.

Buna ek olarak, yerel optimuma takılmayı engellemek için sadece w sayıda

karıncanın yollarında güncelleme yapılır. σ şimdiye dek bulunan en iyi turun

feromon seviyesi ağırlığıdır ve en büyük olandır. En küçük ağırlık ise 1’dir. Buna

göre μ. karıncaya ait ağırlık formülü (ç – μ)’dir ve diğer elitist karıncalar için bu

değer w= ç-1’dir. Tüm bu anlatılanlara göre feromon güncelleme formülü (3.18)’de

verilmiştir (Bulnheimer v.d., 1999: ).

(3.18)

ij ij1

ç-1

τ = Δτ (3.19)

μ

eğer (i, j) μ.en iyi karınca yolu

aksihalde

Q(ç -μ)μ Lτ =

ij0

(3.20)

eğer (i, j) en iyi karınca yolu

aksihalde

Qç*Δτ = L*ij0

(3.21)

μ : sıralama indeksi

μ

ij : μ. karıncanın i,j yoluna bıraktığı feromon miktarı

μL : μ. karıncaya ait tur uzunluğu

*

ij : en iyi turun i,j yoluna ait feromon artış miktarı

ç : elitist karınca sayısı

ij ij ij ijτ (t +1) = ρτ (t) + Δτ + Δτ *

91

L* : en iyi çözümün tur uzunluğu

3.2.5.7 Karınca Koloni Sistemi

Karınca Koloni sistemi (ACS), ilk olarak TSP’ye çözüm oluşturmak üzere 1996

yılında Dorigo ve Gambardella tarafından önerilmiş bir karınca koloni optimizasyon

algoritmasıdır. ACS algoritması, AS algoritmasından üç noktada ayrılır. Birincisi:

ACS karıncaların arama tecrübelerinden daha fazla yararlanır. İkincisi: feromon

buharlaşması ve feromon birikimi sadece o ana kadar bulunan en iyi turun düğümleri

üzerinde gerçekleşir. Üçüncüsü: Her karınca, i den j noktasına geçerken, bir miktar

feromonu uzaklaştırarak alternatif yolların keşif olasılığını artırır, AS'de ise

karıncalar turlarını tamamladıktan sonra feromon güncellemesi yapılır (Dorigo ve

Stützle, 2004: 76).

ACS’nin işleyiş biçimi şu şekilde özetlenebilir: İlk olarak, başlangıç aşamasında,

başlangıç feromon izleri, işler ya da şehirler arasındaki uzaklıklar ve parametreler

belirlenir. Daha sonra, iteratif süreçte, karınca kolonisi, başlangıç işini ya da şehrini

seçer. Tam bir çizelge oluşturana dek her karınca, bir sonraki işi seçmek için geçiş

kuralını uygular. Bir çizelge oluşturulurken, hem sezgisel bilgi hem de feromon

miktarı seçilecek işi belirlemek için kullanılır. Çizelge oluşturulurken, bir karınca,

diğer karıncalara öncülük etmek yani yönlerini değiştirmek ve yerel en iyiye

takılmayı engellemek için yerel güncelleme kuralını uygulayarak seçilen işler

arasındaki feromon miktarını azaltır. Tüm karıncalar çizelgelerini tamamladıktan

sonra, en iyi çizelgenin işleri arasındaki feromon miktarını arttırmak ve diğer yolların

feromon miktarını azaltmak için global güncelleme kuralı uygulanır. Böylece tüm

karıncalar, en iyi çizelge üzerinde odaklanacaklardır. Son aşamada, durdurma kriteri

olarak, maksimum iterasyon sayısına ulaşılana dek döngü tekrarlanır (Yağmahan ve

Yenisey, 2006: 135-136).

Geçiş kuralı (State transition rule): Çizelge oluşturma sürecinde, k karıncasının i

işinden sonra u işini seçmesi formül (3.22) kullanılarak yapılır (Dorigo ve

Gambardella, 1997:5).

92

k

α β

u S (i)eğerq q

0

diğer

arg max τ i, u η i, uj =

J (3.22)

Burada, τ(i,u), (i,u) üzerindeki feromon izi, η(i,u) =1/d (i,u) , i işi ile u işi arasındaki

uzaklığın (d (i,u) ) tersidir. η(i,u) , orijinal karınca koloni sisteminde, i ve u

düğümleri arasındaki bir maliyet ölçüsüne (yani uzaklık) tekabül eder. Sk(i) , i

işinden sonra karınca tarafından seçilebilecek işlerin kümesini gösterir. α, feromon

izinin göreceli önemini belirleyen parametre (α > 0); β, sezgisel bilginin göreceli

önemini belirleyen parametre (β > 0 ); q , [0,1] aralığında düzgün dağılan rastgele bir

sayı ve q0, araştırmaya karşılık devamlılığın göreceli önemini gösteren bir

parametredir (0 ≤q0≤1). j, gidilecek olan şehrin olasılık dağılımına göre belirlenmesi

alternatifini temsil etmektedir ve k karıncasının, formül (3.23)‘ye göre i işinden sonra

seçeceği j işinin olasılığını veren rastgele bir değişkendir:

eğer j S (i)k

diğer durumlarda

α βτ(i, j) η(i, j)

α β(i, j) = τ(i,u) η(i,u)u S (i)k k

0

P (3.23)

Karınca, i işinden sonra çizelgelenecek j işini seçmek zorunda olduğu zaman,

rastgele bir q sayısı üretir. Eğer q ≤ q0 ise, formül (3.22)’e göre en iyi iş seçilir, aksi

takdirde formül (3.23)’ye göre, en iyi iş seçilir.

Yerel güncelleme kuralı (Local updating rule): Global feromon güncellemesine ek

olarak ACS algoritmasında yerel feromon güncellemesi yapılır. Yerel güncellemede

mevcut turun inşası sırasında, her karınca i, j noktasını geçtikten hemen sonra

feromon miktarında değişiklik yapar. Bir çizelge oluşturulurken karınca, formül

(3.24)’ü uygulayarak geçilen işler arasındaki feromon düzeyini azaltır (Cheng ve

Mao, 2007:1228).

93

ij ij 0(1 l). l (3.24)

Burada τ0: başlangıç feromon düzeyi

ρl: yerel feromon buharlaştırma parametresidir ( 0 < ρl <1).

Literatüre göre, yapılan denemeler ρl değerinin 0,1 olması durumunda iyi sonuçlar

verdiğini göstermiştir ve başlangıç fermon düzeyi τ0= 1/Lnn

formülüyle

hesaplanmaktadır. Lnn

en yakın komşu tur uzunluğudur (Dorigo ve Stützle, 2004:

78).

Global güncelleme kuralı (Global updating rule): Global güncelleme kuralı, tüm

karıncalar çizelgelerini tamamladıktan sonra yapılır. Global güncelleme kuralı, en iyi

çizelgenin işleri arasına büyük miktarda feromon bırakılmasını sağlar. Feromon

düzeyi, formül (3.25) ve (3.26) kullanılarak düzenlenir:

ij ij ij(1 g). g. (3.25)

b

eğer (i, j) eniyi tur

aksihalde

1

L

0

(3.26)

ρg, (0 < ρg < 1), global güncellemenin feromon buharlaştırma parametresi ve Lb , o

anki iterasyon için en iyi çizelgenin amaç fonksiyonu değeridir. Global feromon

güncellemesinin amacı daha kısa turların feromon miktarlarını arttırıp cazip hale

getirmektir.

Sezgisel bilgi (Heuristic information): Karıncaların bir noktadan diğer noktaya

geçişlerinde feromon miktarlarıyla birlikte olasılıklı çözüm yapısını yönetmek için

kullandıkları bilgidir. Geliştirilmiş çeşitli sezgisel algoritmalar ya da çeşitli öncelik

kuralları sezgisel bilgi olarak kullanılabilmektedir. Probleme ait özel bilginin

kullanılmasını mümkün kılar. Noktalar ya da problemin yapısına göre işler,

şehirlerarası uzaklığı belirlemek için kullanılır.

94

ACS algoritmasının genel yapısı Şekil 3-12’de verilmiştir.

Şekil 3-12 Karınca Koloni Sistemi Algoritmasının Genel Yapısı

(Wang v.d., 2006: 154)

ACS algoritması Ant-Q algoritmasından temellenmiştir. Ant-Q, 1995 yılında

Gambardella ve Dorigo tarafından önerilmiş bir algoritmadır. ACS ve Ant-Q

arasındaki tek fark, başlangıç feromon miktarının belirlenmesindedir. Ant-Q’da,

başlangıç feromon miktarı τ0=γmaxjєSk(i){τij} formülüyle belirlenir. γ, bir

parametredir ve indirim faktörü olarak adlandırılır. Ant-Q algoritmasında, i

noktasında bulunan k karıncası, i noktasından sonra gelen henüz ziyaret etmediği

noktaların feromon güncellemesini de hesaba katarak gideceği yola karar verir. Diğer

bir deyişle k karıncası, mevcut feromon güncellemesi ile, bir sonraki adıma ait

güncellemeyi kombine ederek gideceği yolu belirler (Dorigo ve Stützle, 2004:78).

Adım 1. Başla: Başlangıç feromon izleri, işler arasındaki uzaklıklar ve

parametreleri belirle.

Adım 2. Döngü (İteratif süreç):

a) Tüm karıncalar için başlangıç işi belirle.

b) Her karınca için bir çizelge oluştur, tüm karıncalar çizelgelerini

tamamlayana kadar bir sonraki işi seçmek için geçiş kuralını uygula.

c)Yerel güncelleme kuralını uygula.

d) Global güncelleme kuralını uygula.

Adım 3. Durdurma kriteri: Eğer maksimum iterasyon sayısına ulaşılmışsa,

dur; aksitaktirde Adım 2’ye geri dön.

95

BÖLÜM 4: UYGULAMADA KULLANILACAK SEZGİSEL VE

METASEZGİSEL ALGORİTMALARIN YAPISI

Bu çalışmada, NP-zor olarak nitelendirilen çok kriterli PFSP' nin metasezgisel ve

sezgisel yöntemlerle çözümü ele alınmıştır. Üç kriter, (Maksimum tamamlanma

zamanı, toplam akış zamanı ve toplam boş makine zamanı) ayrı ayrı ve birlikte

değerlendirilmiştir. Yapılan çalışmada, iki kriterli çizelgeleme problemlerinin

çözümü için geliştirilmiş HAMC sezgiseli üç kriterli PFSP' ye uyarlanarak çözüm

elde edilmeye çalışılmıştır. Daha sonra ele alınan üç kriterli PFSP için ACS

algoritması geliştirilerek elde edilen sonuçlar HAMC algoritması ile

karşılaştırılmıştır.

4.1. HAMC Algoritması Ve Üç Kriterli PFSP' ye Uyarlanması

HAMC algoritması Ravindran v.d. tarafından 2005 yılında, iki kriterli akış tipi

çizelgeleme problemlerinin çözümü için geliştirilmiş bir yöntemdir. Ravindran v.d.'

nin ele aldığı iki kriter, maksimum tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanıdır.

Çalışmada Taillard'ın test problemleri kullanılarak, çok kriterli akış tipi problemler

için geliştirilmiş CR ve CR (MC) sezgiselleri, HAMC ile karşılaştırılmış ve HAMC

algoritmasının daha iyi sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir.

4.1.1. HAMC Algoritması

HAMC algoritmasında amaç, akış tipi çizelgeleme problemlerinde maksimum

tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanını minimize etmektir. HAMC

algoritması, Rajendran ve Chaudhuri tarafından 1991 yılında, akış tipi çizelgeleme

problemlerinde toplam akış zamanının minimize edilmesi için geliştirilmiş bir

yöntemle bulunan başlangıç çözümü ile başlar. Bu algoritma CR algoritması olarak

adlandırılır. CR yönteminde toplam akış zamanının minimize edilmesi için üç farklı

sezgisel kriter önerilmiştir. Birincisi, toplam boş makine zamanlarının toplamını

gözönüne alır; ikincisi, toplam boş makine zamanını ve işlerin boş bekleme

zamanlarını gözönüne alır ve üçüncüsü de ilk iki kritere ek olarak tamamlanma

96

zamanını gözönüne alır. HAMC algoritması CR algoritmasının üçüncü sezgisel

kriterini kullanarak bir başlangıç sırası elde eder. Ele alınan problem önce CR

algoritması ile çözüldükten sonra elde edilen çizelge HAMC algoritmasında

başlangıç değeri (seed value) olarak kullanılır (Ravindran v.d., 2005: 1009).

CR algoritmasının işleyiş biçimi ise şöyledir (Rajendran ve Chaudhuri, 1991: 319):

n işten ve m makineden oluşan bir permütasyon akış tipi sistemde, σ: mevcut kısmi

çizelgeyi; n', kısmi çizelgedeki işlerin sayısını; tij:, i işinin j makinesindeki işlem

zamanını; π: çizelgelenmemiş iş setini; b: kısmi çizelgedeki son işi; a: π içindeki

işleri; [i]:çizelgedeki i. pozisyondaki işi; C(σ, j): kısmi çizelgenin j makinesindeki

tamamlanma zamanını; Fσ: kısmi çizelgedeki işlerin toplam akış zamanını; C(σa, j): a

işi kısmi çizelgeye eklendiğinde σa kısmi çizelgesinin j makinesindeki tamamlanma

zamanını ve Wba: çizelgelenmemiş iş setindeki a işinin kısmi çizelgedeki b işini

takip ettiği zamanki toplam bekleme zamanını göstermek üzere,

Kısmi çizelge σa'nın j makinesindeki tamamlanma zamanı formül (4.1) ile

hesaplanır.

ajC( a, j) max C( , j),C( a, j 1) t (4.1)

Algoritmanın ilk aşamasında başlangıç sıfır çizelgesini gösterir, C(σa,0)=0 ve

C(ϕ,j)=0 olarak ifade edilir.

σa için toplam akış zamanı formül (4.2) ile hesaplanır.

aF F C( a,m) (4.2)

İlk olarak işlerin tamamlanma zamanları hesaplanır. Eğer a işi için herhangi bir

bekleme söz konusu değilse, a işinin tamamlanma zamanı formül (4.3) ile hesaplanır.

(4.3)

m

aj

j 1

C( a,m) C( ,1) t

97

Eğer a işinin daha önceki makineleri beklemesi söz konusu ise a işinin tamamlanma

zamanı formül (4.4) ile toplam bekleme zamanı ise formül (4.5) ile hesaplanır.

(4.4)

m

ba

j 2

W max C( , j) C( a, j 1),0 (4.5)

İkinci olarak makinelerin boş bekleme ve işlerin boş bekleme zamanının toplamı

formül (4.6) ile hesaplanır. Bu formülde, makinelerin boş bekleme zamanları ve

işlerin boş bekleme zamanları toplam olarak verilmiştir.

(4.6)

Her iş için toplam tamamlanma zamanı ve toplam makine boş bekleme zamanı ve

işlerin boş bekleme zamanı yukarıda yazılan formüller vasıtasıyla hesaplanır ve her

iş için bu üç değer toplanarak toplam değeri verir. Hangi işin toplam değeri en küçük

ise o iş kısmi çizelgenin ilk işi olarak atanır. Daha sonra çizelgelenmemiş işler

listesindeki işler, seçilen işle tek tek kombine edilerek, tüm kombinasyonların

tamamlanma zamanları, toplam makinelerin boş bekleme zamanları ve işlerin boş

bekleme zamanları yukarıda verilen formüller ile hesaplanır. Daha sonra bu değerler

her kombinasyon için toplanır ve toplam değerler içinden en küçük toplam değeri

veren kombinasyondaki son iş kısmi çizelgeye eklenir. Bu işlem tüm işler

çizelgelene dek devam ettirilir. Bu işlem bir örnekle şöyle ifade edilebilir: 5 iş olan

bir sistemde, eğer kısmi çizelgenin ilk işi olarak 1 numaralı iş seçilmişse, 1-2, 1-3, 1-

4 ve 1-5 şeklindeki kombinasyonlar oluşturulur. Bu kombinasyonlardan en küçük

toplam değeri veren 1-3 çifti ise kısmi çizelgenin ikinci işi 3 numaralı iştir. Daha

sonra 1-3-2, 1-3-4 ve 1-3-5 şeklindeki üçlü kombinasyonlardan en küçük toplam

m

ba aj

j 1

C( a,m) C( ,1) W t

m

j 2

abs C( a, j 1) C( , j)

98

değeri veren 1-3-2 ise kısmi çizelgenin 3. işi 2 numaralı iştir. En son 1-3-2-4 ve 1-3-

2-5 arasından en küçük toplam değeri veren 1-3-2-5 ise, kısmi çizelgenin 4. işi 5

numaralı iş olarak seçilecektir ve geriye kalan 4 numaralı iş ise çizelgenin son işi

olarak eklenecektir. CR algoritmasına göre çizelge 1-3-2-4-5 olarak elde edilmiş

olacaktır.

CR algoritması Şekil 4-1'de verilmiştir.

Şekil 4-1 CR Algoritması

(Rajendran ve Chaudhuri, 1991: 321)

HAMC algoritmasının bu aşamadan sonraki prosedürü aşağıda adım adım verilmiştir

(Ravindran v.d., 2005:1 009)

1. Ele alınan problem CR algoritmasıyla çözülür. Elde edilen başlangıç çözümünün

maksimum tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanı hesaplanır.

2. 1. aşamadan sonra HAMC algoritmasının ilk iterasyonu başlar.

Adım 1: Başlangıç, σ=ϕ ve n'=0

Adım 2: n'=n+1

Adım 3: C(σa, j)hesapla j=1,2,....m ve a π

Adım 4: Aşağıdaki formülü her iş için uygula ve minimum olanı seç.

m m

j 2 j 1

abs C( a, j 1) C( , j) C( a, j)

Bağ kırma kuralı kullanılması gerektiğinde son kademede en küçük

tamamlanma zamanı olan b seçilir.

Adım 5: Seçilen a işini kısmi çizelgeye ekle ve bundan sonra kısmi çizelgeyi

olarak adlandır ve a işini π' den çıkar.

Adım 6: Eğer n'=n-1 ise Adım7' ye git, aksitaktirde Adım 2'ye dön.

Adım 7: Geri kalan işi kısmi çizelgeye ekle, bu iş eklendikten sonraki

tamamlanma zamanını bulunuz. Nihai çizelgedeki toplam akış zamanını

hesapla.

Dur

99

3. Başlangıç çözümünün sıraları değiştirilerek yeni sıralar elde edilir. İlk olarak,

sıranın 1. ve 2. işi kendi arasında değiştirilir ve diğer işler aynı pozisyonunda kalır.

Böylelikle yeni bir çizelge elde edilmiş olur. Daha sonraki değişim 1. ve 3. iş

arasında gerçekleştirilir ve yine diğer işlerin pozisyonları sabit kalır. Bundan sonraki

değişim ise 1. ve 4. iş arasında gerçekleştirilir. Benzer bir şekilde değişimler

sürdürülerek yeni sıralar elde edilir ve elde edilen her yeni çizelgenin maksimum

tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanı hesaplanır.

4. CR algoritmasından elde edilen başlangıç çizelgesi SS simgesiyle gösterilir.

Değişimlerle elde edilen yeni çizelgeler ise S olarak ifade edilir. Her iterasyonda elde

edilen her çizelgenin R' değeri hesaplanır. En küçük R' değerlerine sahip olan çizelge

bir sonraki iterasyonda başlangıç çizelgesi olarak kullanılır. R' değeri, formül (4.7)

kullanılarak hesaplanır.

R'= (Cmax(S) -Min(Cmax(SS), Cmax(S))/ Min(Cmax(SS), Cmax(S)) + (ΣF(S)- Min(ΣF(S),

ΣF(SS))/ Min(ΣF(SS), ΣF(S)) (4.7)

R'= Elde edilen yeni çizelgenin maksimum tamamlanma zamanı ve toplam akış

zamanını göz önüne alarak hesaplanan etkinlik değeri

Cmax(SS): SS çizelgesine ait maksimum tamamlanma zamanı

Cmax(S): S çizelgesine ait maksimum tamamlanma zamanı

ΣF(SS): SS çizelgesine ait toplam akış zamanı

ΣF(S): S çizelgesine ait toplam akış zamanı

5. Bu iterasyonlar belirlenen durdurma kriterine kadar devam ettirilir. Genelde

önerilen iterasyon sayısı 10-20 arasındadır.

6. Tüm iterayonlar tamamlandıktan sonra, elde edilen çizelgeler arasından aşağıda

belirtilen 3 yönteme göre seçim yapılır.

HAMC1: Tüm iterasyonlardan elde edilen çizelgeler karşılaştırılır ve en küçük

maksimum tamamlanma zamanına sahip olan çizelge seçilir. Eğer birden fazla

çizelge aynı maksimum tamamlanma zamanına sahipse, bunlar arasından en küçük

toplam akış zamanına sahip olan çizelge seçilir.

100

HAMC2: Tüm iterasyonlardan elde edilen çizelgeler ve en küçük toplam akış

zamanına sahip olan çizelge seçilir. Eğer birden fazla çizelge aynı toplam akış

zamanına sahipse, bunlar arasından en küçük maksimum tamamlanma zamanına

sahip olan çizelge seçilir.

HAMC3: Son iterasyondan elde edilecek sıra sonuç çizelgesi olarak kabul edilir.

HAMC algoritmasını daha anlaşılabilir kılabilmek için, 5 makine ve 5 işten oluşan

bir problem örnek olarak verilmiştir. Örneğe ait işlem zamanları Tablo 4-1'de

görülmektedir

Tablo 4-1 5 iş ve 5 Makineden Oluşan Problemin İşlem Zamanları

(Ravindran v.d., 2005:1009)

Makineler

İş M1 M2 M3 M4 M5

1 10 11 20 22 5

2 3 21 19 13 12

3 45 30 9 15 17

4 1 40 32 24 28

5 35 4 26 16 25

Tablo 4-2' de verilen örneğin HAMC algoritmasıyla çözülmüş ilk iterasyonu ve

maksimum tamamlanma zamanları ile toplam akış zamanları görülmektedir.

101

Tablo 4-2 HAMC Algoritmasıyla Çözülmüş İlk İterasyon

(Ravindran v.d., 2005:1009)

Değişecek

İş çiftleri Sıralar

Maksimum

tamamlanma

zamanı

Toplam

akış

zamanı

R'

Başlangıç

sırası 2 1 5 4 3 193 657 -

2 1 1 2 5 4 3 193 653 0

2 5 5 1 2 4 3 218 769 0.3

2 4 4 1 5 2 3 189 776 0.1811

2 3 3 1 5 4 2 230 870 0.5159

1 5 2 5 1 4 3 200 677 0.0667

1 4 2 4 5 1 3 196 763 0.1769

1 3 2 3 5 4 1 216 768 0.2881

5 4 2 1 4 5 3 201 702 0.1099

5 3 2 1 3 4 5 237 736 0.3482

4 3 2 1 5 3 4 247 699 0.3437

Tablo 4-2' ye göre;

HAMC1: 4-1-5-2-3, CmaxS':189, ΣF(S): 776

HAMC2: 1-2-5-4-3, CmaxS':193, ΣF(S): 653

HAMC3: 1-2-5-4-3, CmaxS':193, ΣF(S): 653

4.1.2. HAMC Algoritmasının Üç Kriterli Duruma Uyarlanması

HAMC algoritması iki kriterli akış tipi çizelgeleme problemleri için geliştirilmiş bir

algoritmadır. Bu çalışmada ele alınan problem üç kriterlidir ve HAMC algoritması üç

kritere uygun biçimde değiştirilmiştir. Yukarıda anlatılan HAMC algoritmasından

farklı olarak maksimum tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanına ek

makinelerin toplam boş bekleme zamanı 2. bölümde verilen 2.7 numaralı formülle

hesaplanır ve HAMC' nin 4. adımındaki R' formülü ise aşağıdaki gibi değişir.

102

R'= (Cmax(S) -Min(Cmax(SS), Cmax(S))/ Min(Cmax(SS), Cmax(S) + (∑F(S) -

Min(∑F(SS), ∑F(S))/ Min(∑F(SS), ∑F(S)) + (∑I (S) -Min(∑I (SS), ∑I (S))/ Min(∑I

(SS), ∑I(S)) (4.8)

ΣI (SS): SS çizelgesine ait makinelerin toplam boş bekleme zamanı

ΣI (S): S çizelgesine ait makinelerin toplam boş bekleme zamanı

Çizelgelerin seçimi ise aşağıda verilen üç yöntemle yapılmaktadır.

HAMCM: Tüm iterasyonlardan elde edilen çizelgeler karşılaştırılır ve en küçük

maksimum tamamlanma zamanına sahip olan çizelge seçilir. Eğer birden fazla

çizelge aynı maksimum tamamlanma zamanına sahipse, bunlar arasından toplam akış

zamanı ile makinelerin toplam boş bekleme zamanı toplamı en küçük olan çizelge

seçilir.

HAMCF: Tüm iterasyonlardan elde edilen çizelgeler karşılaştırılır ve en küçük

toplam akış zamanına sahip olan çizelge seçilir. Eğer birden fazla çizelge aynı

toplam akış zamanına sahipse, bunlar arasından maksimum tamamlanma zamanı ile

makinelerin toplam boş bekleme zamanı toplamı en küçük olan çizelge seçilir.

HAMCI: Tüm iterasyonlardan elde edilen çizelgeler karşılaştırılır ve en küçük

toplam makinelerin boş bekleme zamanı sahip olan çizelge seçilir. Eğer birden fazla

çizelge aynı makinelerin toplam boş bekleme zamanı sahipse, bunlar arasından

toplam akış zamanı ile maksimum tamamlanma zamanı toplamı en küçük olan

çizelge seçilir.

4.2. Çok Amaçlı Karınca Koloni Sistemi Algoritması

Çok amaçlı karınca koloni sistemi algoritması (MACS), ACS algoritmasını temel

alan bir algoritmadır. 2010 yılında Yağmahan ve Yenisey tarafından iki kriterli PFSP

için geliştirilmiştir. Bu çalışmada MACS algoritması üç kriterli PFSP problemine

uygulanacaktır. MACS algoritmasının yapısı aşağıdaki başlıklarda verilmiştir.

103

Başlangıç Feromon Düzeyi: Algoritmanın İlk adımı başlangıç feromon düzeyinin

belirlenmesidir. Başlangıç feromon düzeyi rastgele belirleneceği gibi, bir başlangıç

çözümü sözkonusu ise belli bir formül çerçevesinde de belirlenebilmektedir. Bu

çalışmada başlangıç feromon düzeyi bütün noktalar için aynı kabul edilmiştir ve

(4.9) numaralı formülle hesaplanır (Yağmahan ve Yenisey, 2010: 1363).

-1

0 max=[n.(C (S') + F(S') + I(S'))] (4.9)

Bu çalışmada başlangıç feromon düzeyi rastgele olarak ve SPTΣt, SPTtj1, LPTΣt ve

LPTtj1 yöntemleriyle elde edilen çözümlerle belirlenmiştir. Bu yöntemlerden elde

edilen çizelgeler S’ ile gösterilmiştir.

Yöntemlerin açıklaması aşağıdaki gibidir (İşler v.d., 2009: 32):

SPTΣt: Toplam işlem zamanları esaslı işlerin küçükten büyüğe doğru sıralanması

SPTtj1: Birinci makine işlem zamanları esaslı işlerin küçükten büyüğe doğru

sıralanması

LPTΣt: Toplam işlem zamanları esaslı işlerin büyükten küçüğe doğru sıralanması

LPTtj1: Birinci makine işlem zamanları esaslı işlerin büyükten küçüğe doğru

sıralanması

Parametrelerin Belirlenmesi: Çalışmada kullanılacak en uygun parametrelerin

belirlenmesi için parametre optimizasyon çalışması yapılmıştır. Öncelikle bir eğilim

tespit etmek amacıyla parametrelerin alabileceği değerler için araştırma yapılmış ve

her parametre için dört farklı değer kullanarak denemeler gerçekleştirilmiştir.

Parametreler ve kullanılacak değerler aşağıda verilmiştir (Dorigo ve Gambadella,

1996: 8, Ying ve Liao, 2004: 797, Yağmahan ve Yenisey, 2006: 138).

q0: Araştırmaya karşılık devamlılığın önemini gösteren parametre (0.2, 0.5, 0.7, 0.9)

α: Feromon izinin göreceli önemini belirleyen parametre, (0.5, 1 ,2, 5)

β:Sezgisel bilginin göreceli önemini belirleyen parametre, (0.5, 1, 2, 5)

ρl: Yerel feromon buharlaştırma parametresi, (0.1 ,0.2, 0.3, 0.5)

ρg: Global feromon buharlaştırma parametresi, (0.1, 0.2, 0.3, 0.5)

104

f: Karınca sayısı, (10, 20, 40,50)

tmax: Maksimum iterasyon sayısı, (500, 1000, 1500, 2000)

Parametrelerin probleme özgü en uygun değerini belirleyebilmek için çok sayıda

deneme yapılmıştır. Test problemleri olarak, Taillard tarafından sunulan test

problemleri üzerinde çalışma yapılmıştır. Test problemleri, http://mistic.heig-

vd.ch/taillard/ adresinden elde edilmiştir. Bu problemler rassal olarak uniform

dağılıma uygun olarak geliştirilmiştir.

Algoritmanın ilk denemeleri Taillard'ın 20 iş-5 makine problemlerinden 5 farklı

örnek grubu kullanılarak yapılmıştır. Başlangıç parametre değerleri olarak q0=0.9,

α=0.5, β=2, ρl=0.3, ρg=0.2, f=20 ve tmax=1000 varsayılan değer olarak alınmış ve her

seferinde bu değerlerden biri test edilmiş ve her deneme 10 kez tekrarlanmıştır.

Toplam deneme sayısı 1400'dür. Denemelerde dikkate alınan kriter maksimum

tamamlanma zamanıdır. Denemeler tamamlandıktan sonra, her parametre için en

küçük maksimum tamamlanma zamanını veren iki değer seçilmiştir. α:(1,2),

β:(0.5,1), ρl:(0.1,0.2) ve ρg:( 0.1,0.2). Farklı q0 değerleri ile yapılan denemelerde,

maksimum tamamlanma zamanının q0 değeri büyüdükçe azaldığı ve bununla birlikte

çözüm süresinin de kısaldığı tespit edilmiştir. Bu nedenle bundan sonraki denemeler

için q0=0.9 olarak kabul edilecektir. Farklı q0 değerlerinin çözüme ve çözüm süresine

etkisini gösterebilmek için, yapılan çalışmadan, sadece birinci örnek grubunun

(ta001) deneme sonuçlarının ortalamaları alınınarak Tablo 4-3'de verilmiştir. (Birinci

örnek grubunun maksimum tamamlanma zamanı için verdiği en iyi üst sınır değeri

1278' dir.)

105

Tablo 4-3 Farklı q0 Değerleri İçin Yapılan Deneme Sonuçları

q0 Değerleri Çözüm En İyi Üst

Değerden Sapma

Çözüm Süresi

0.2 1332 0,042 78

0.5 1339 0,047 74

0.7 1332 0,042 73

0.9 1326 0,036 66

Karınca sayısı için yapılan denemeler sonucunda, karınca sayısı arttıkça maksimum

tamamlanma zamanının azaldığı, aynı zamanda çözüm süresinin uzadığı

gözlenmiştir. Fakat f=10 değeri dışındaki f değerleri için, çözüm sonuçları arasında

anlamlı farklar olmamakta ve bunun yanında karınca sayısı arttıkça çözüm süresinin

iki katına çıktığı görülmüştür. Bu nedenle karınca sayısı 20 olarak sabitlenmiştir.

Yine aynı şekilde, Farklı f değerlerinin çözüme ve çözüm süresine etkisini

gösterebilmek için, yapılan çalışmadan sadece birinci örnek grubunun (ta001)

deneme sonuçlarının ortalamaları alınınarak Tablo 4-4'de verilmiştir.

Tablo 4-4 Farklı f Değerleri İçin Yapılan Deneme Sonuçları

f Değerleri Çözüm En İyi Üst

Değerden Sapma

Çözüm Süresi

10 1376 0,075 13

20 1348 0,054 26

40 1346 0,053 53

50 1347 0,053 66

İterasyon sayısı ise 1000 olarak sabitlenmiştir. Denemelerde iterasyon sayısının

1000’ i aşması durumunda sonuçta değişiklik olmamakta ve süre uzamaktadır. Farklı

tmax değerlerinin çözüme ve çözüm süresine etkisini gösterebilmek için, yapılan

çalışmadan sadece birinci örnek grubunun (ta001) deneme sonuçlarının ortalamaları

alınınarak Tablo 4-5' de verilmiştir.

106

Tablo 4-5 Farklı tmax Değerleri İçin Yapılan Deneme Sonuçları

tmax Değerleri Çözüm En İyi Üst

Değerden Sapma

Çözüm Süresi

500 1356 0,061 27

1000 1327 0,038 54

1500 1327 0,038 81

2000 1329 0,039 108

İlk denemeler sonucunda elde edilen parametre değerlerinin mümkün olan tüm

kombinasyonları tekrar denemeye tabii tutularak en iyi sonuçları veren parametre seti

elde edilmeye çalışılmıştır. Bunun için, Taillard'ın 20 iş-10 makine boyutundaki 5

örnek test problemi seçilmiş ve her deneme 10 kez tekrarlanmış böylece 400 adet

deneme yapılmıştır. Deneme yapılacak parametre setleri Tablo 4-6'de gösterilmiştir.

Tablo 4-6 Deneme Yapılacak Parametre Setleri

Parametre

Set No

α β ρl Ρg

1 1 0.5 0.1 0.1

2 1 0.5 0.1 0.2

3 1 0.5 0.2 0.2

4 1 0.5 0.2 0.1

5 1 1 0.1 0.1

6 1 1 0.1 0.2

7 1 1 0.2 0.1

8 1 1 0.2 0.2

9 2 0.5 0.1 0.2

10 2 0.5 0.1 0.1

11 2 0.5 0.2 0.2

12 2 0.5 0.2 0.1

13 2 1 0.1 0.2

14 2 1 0.1 0.1

15 2 1 0.2 0.2

16 2 1 0.2 0.1

Her parametre setinin verdiği en iyi, ortalama ve en kötü maksimum tamamlanma

zamanı değerlerinin, Taillard'ın en iyi toplam tamamlanma zamanı değerinin üst sınır

değerinden ne kadar sapma gösterdiği sırasıyla Tablo 4-7'de, Tablo 4-8'de ve Tablo

107

4-9'da verilmiştir. Bu tablolardan da görüldüğü üzere, deneme sonuçları tüm

durumlar için benzerlik göstermektedir. Ayrıca en iyi sonucu veren deney ile en kötü

sonucu veren deney arasında en iyi, ortalama ve en kötü değerler için sırasıyla %39,

%22 ve %18 oranında iyileşme sağlanmıştır. Denemeler sonucunda 4 numaralı

parametre setinin en iyi sonucu verdiği tespit edilmiştir. En iyi sonucu veren

parametre değerleri α=1, β=0,5, ρl=02 ve ρg=0.1 olarak belirlenmiştir.

Tablo 4-7 Parametre Setlerinin Verdiği En İyi Değerler

Set No ta011 ta012 ta013 ta014 ta015 Ortalama

1 0,087 0.097 0.084 0.095 0.095 0.089

2 0,082 0.089 0.087 0.113 0.109 0.096

3 0,101 0.101 0.102 0.081 0.102 0.097

4 0,077 0.061 0.062 0.068 0.066 0.066

5 0,097 0.075 0.089 0.081 0.070 0.082

6 0,102 0.097 0.080 0.119 0.112 0.102

7 0,108 0.085 0.076 0.081 0.078 0.085

8 0,082 0.092 0.066 0.097 0.089 0.082

9 0,122 0.126 0.093 0.110 0.101 0.110

10 0,115 0.102 0.092 0.095 0.112 0.103

11 0,077 0.088 0.120 0.081 0.110 0.095

12 0,078 0.098 0.097 0.074 0.097 0.088

13 0,126 0.095 0.109 0.098 0.091 0.103

14 0,112 0.097 0.099 0.105 0.090 0.095

15 0,128 0.089 0.079 0.112 0.099 0.099

16 0,110 0.102 0.116 0.097 0.110 0.107

108

Tablo 4-8 Parametre Setlerinin Verdiği Ortalama Değerler

Set No ta011 ta012 ta013 ta014 ta015 Ortalama

1 0,107 0,104 0,100 0,108 0,105 0,104

2 0,130 0,095 0,115 0,120 0,112 0,114

3 0,120 0,110 0,112 0,095 0,114 0,110

4 0,100 0,090 0,089 0,099 0,090 0,093

5 0,109 0,096 0,095 0,095 0,091 0,097

6 0,130 0,100 0,090 0,120 0,126 0,115

7 0,116 0,098 0,085 0,095 0,089 0,096

8 0,120 0,100 0,080 0,105 0,099 0,100

9 0,125 0,130 0,102 0,120 0,127 0,120

10 0,110 0,110 0,100 0,105 0,121 0,109

11 0,110 0,098 0,132 0,090 0,132 0,112

12 0,111 0,103 0,110 0,098 0,111 0,106

13 0,140 0,100 0,120 0,107 0,115 0,116

14 0,120 0,102 0,109 0,112 0,111 0,110

15 0,135 0,095 0,089 0,121 0,113 0,110

16 0,125 0,110 0,123 0,115 0,124 0,119

109

Tablo 4-9 Parametre Setlerinin Verdiği En Kötü Değerler

Set No ta011 ta012 ta013 ta014 ta015 Ortalama

1 0,130 0,113 0,129 0,113 0,127 0,122

2 0,142 0,109 0,136 0,142 0,147 0,135

3 0,132 0,121 0,139 0,140 0,113 0,129

4 0,120 0,115 0,104 0,121 0,114 0,114

5 0,121 0,120 0,122 0,099 0,115 0,115

6 0,140 0,122 0,135 0,135 0,139 0,134

7 0,120 0,110 0,140 0,110 0,099 0,115

8 0,129 0,140 0,129 0,135 0,120 0,130

9 0,130 0,145 0,136 0,139 0,150 0,140

10 0,128 0,130 0,140 0,138 0,155 0,139

10 0,128 0,125 0,150 0,146 0,148 0,138

120 0,124 0,131 0,145 0,113 0,139 0,130

13 0,150 0,135 0,132 0,140 0,128 0,137

14 0,132 0,122 0,123 0,146 0,127 0,130

15 0,146 0,147 0,108 0,149 0,130 0,136

16 0,139 0,135 0,142 0,139 0,146 0,140

Sezgisel Bilgi: Bu çalışmada kullanılacak sezgisel bilgi, Widmer ve Hertz tarafından

1989 yılında geliştirilen SPIRIT yöntemidir. Yönteme göre iki iş, i ve u işi arasındaki

mesafe, (4.10) numaralı formülle hesaplanır. Bu mesafe işlere ait işlem zamanlarının

bir fonksiyonudur. i ve j işleri, m makine sayısını, e makinelerin diziliş sırasını ve t

işlem zamanını gösterir

110

m

ij i1 ie j,e-1 jm

e=2

d =t + (m-e). |t -t | + t (4.10)

i işi (i=1,2....,n U N) ve u işi (u=1,2.....n) için sezgisel bilgi (4.11) numaralı formülle

hesaplanır.

iu

1η(i, u) =

d (4.11)

Geçiş Kuralı: Algoritmada kullanılan geçiş kuralı klasik ACS algoritmasındakiyle

aynıdır. Geçiş kuralı için bölüm 3' de verilen (3.22) ve (3.23) numaralı denklemler

kullanılacaktır.

Feromon Güncelleme: Yine aynı şekilde, klasik ACS algoritmasındaki (3.24),

(3.25) ve (3.26) numaralı formüller yerel güncelleme ve global güncelleme için

kullanılacaktır.

Yerel Arama: Algoritmada daha iyi sonuçlar elde edebilmek için yerel arama

stratejisi algoritmaya eklenmiştir. Bu çalışmada yerel arama metodu olarak API

(Komşu İş Çiftlerinin Yer Değiştirmesi) yöntemi kullanılmıştır. Literatürde Adjacent

Pairwise Interchange olarak yer alır. Global güncelleme başlamadan önce tüm

karıncalar turlarını tamamladıktan sonra, yerel arama prosedürü başlatılır. API

yöntemine göre, i pozisyonundaki bir iş, j pozisyonundaki bitişik komşusuyla yer

değiştirirken diğer işlerin pozisyonları aynı kalır.

MACS algoritmasının işleyişi ise şöyledir:

İteratif süreçte, tüm karıncalar için başlangıç işi belirlenir. Her karınca bulunduğu

işten bir sonraki işi seçebilmek için geçiş kuralını uygular, bu işlemi tam bir tur ya da

bir çizelge oluşturana kadar devam ettirir. Çizelge oluştururken karınca, sezgisel

bilgi ve feromon izinin yoğunluğunu kullanarak bir sonraki işi seçer. Çizelge

oluşturma prosesinde, her karınca aynı zamanda seçilen işler arasındaki feromon

miktarlarını azaltır. Bu kuralı, diğer karıncaların yollarını değiştirerek yerel eniyiye

takılıp kalmayı engellemek ve yeni çözüm yolları üretmek amacıyla yapar. Bütün

111

karıncalar turlarını tamamladıktan ve bir çizelge oluşturduktan sonra mevcut

iterasyondaki en iyi çizelgeye global güncelleme kuralı uygulanır. Global

güncellemeyle mevcut iterasyona kadar elde edilen iyi çizelgenin işleri arasındaki

feromon miktarı artırılır, diğer işler arasındaki feromon izleri ise azaltılır. Bu şekilde

tüm karıncalar en iyi çizelge üzerine yoğunlaşmış olurlar. Son iş seçilene dek bu

süreç tekrarlanır.

Problemin HAMC ve MACS algoritmalarıyla çözümü sonucunda elde edilen

çizelgelerin amaç fonksiyon değerleri (4.12) numaralı formülle hesaplanır.

Zmin= w1.Cmax + w2.ΣF + w3.ΣI (4.12)

w1: Maksimum tamamlanma zamanına ait ağırlık

w2: Toplam akış zamanına ait ağırlık

w3: Makinelerin toplam boş bekleme zamanına ait ağırlık

Yapılan çalışmada optimumdan sapmaları göstermek veya algoritmalara ait

performans değerlendirmesi yapmak amacıyla bağıl hata hesaplanmaktadır.

RE= (B-O/O)x100 (4.13)

B: Problemin önerilen algoritma tarafından bulunan en iyi değeri

O: Problemin optimum çözüm değeri veya o ana kadar bilinen en iyi değeri

Çalışmada ele alınan algoritmaların kendi aralarında performans karşılaştırması ise

4.14 - 4.17'deki formüller kullanılarak yapılır.

Eğer tek kriter için karşılaştırma söz konusu ise aşağıdaki formüller kullanılır.

C (S) - Min(C (S))max maxRE =Min(C (S))max

Maksimum tamamlanma zamanı için (4.14)

F(S) - Min( F(S))RE =

Min( F(S)) Toplam akış zamanı için (4.15)

I Min( I(S))

REMin( I(S))

Makinelerin toplam boş bekleme zamanı için (4.16)

Üç kriterin birlikte değerlendirmesi durumunda ise 4.17 numaralı formül kullanılır.

112

RE=(Cmax (S)-Min(Cmax (S))/Min(Cmax S) + (ΣF(S) -Min(ΣF(S))/ Min(ΣF(S))+ (ΣI-

Min(ΣI ))/ Min(ΣI) (4.17)

Min(Cmax(S)): Karşılaştırma yapılan algoritmalar arasında en küçük maksimum

tamamlanma zamanını bulan algoritmaya ait S çizelgesinin maksimum tamamlanma

zamanı.

Min(ΣF(S)): Karşılaştırma yapılan algoritmalar arasında en küçük toplam akış

zamanını bulan algoritmaya ait S çizelgesinin toplam akış zamanı.

Min(ΣI(S)): Karşılaştırma yapılan algoritmalar arasında en küçük makinelerin toplam

boş bekleme zamanını bulan algoritmaya ait S çizelgesinde makinelerin toplam boş

bekleme zamanı.

113

BÖLÜM 5: UYGULAMA

Bu bölümde, uygulamanın kapsamı ve ele alınan hattın özellikleri hakkında bilgi

verilmiştir. Hem gerçek bir üretim probleminin, hem de literatürden elde edilen

problemlerin çözümü yapılmış ve sonuçlar karşılaştırılmıştır.

5.1. Uygulamanın Amacı ve Kapsamı

Bu çalışmada, çizelgeleme problemlerinin önemli bir sınıfı olan, çok amaçlı

permütasyon akış tipi çizelgelgeleme problemleri ele alınarak, sezgisel ve

metasezgisel yöntemlerle probleme uygun çözümler bulunmaya çalışılmıştır.

Sezgisel yöntem olarak, çok kriterli akış tipi çizelgeleme problemlerinde iyi sonuçlar

veren 2005 yılında geliştirilmiş HAMC sezgiseli üç farklı versiyonuyla HAMCM,

HAMCF ve HAMCI olarak üç kriterli PFSP'ye uyarlanmıştır. Metasezgisel

yöntemlerden ise, son yıllarda geliştirilmiş ve akış tipi çizelgeleme problemlerinin

çözümünde iyi sonuçlar veren karınca koloni algoritması kullanılmıştır. Karınca

koloni algoritması çok amaçlı PFSP için geliştirilmiş ve MACS olarak

isimlendirilmiştir.

Çalışmanın ilk aşamasında, kablo üretimi yapan bir fabrikadan alınan verilerle

uygulama yapılmıştır. Fabrikadan alınan problem hem HAMC hemde MACS

algoritmalarıyla çözülerek, elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Farklılıkları

görebilmek ve daha iyi çözümler elde edebilmek amacıyla, MACS algoritmasının

başlangıç feromon düzeyleri rastgele ve dört ayrı başlangıç yöntemiyle (SPTΣt,

, LPTΣt ve ) belirlenerek beş farklı çözüm elde edilmeye çalışılmıştır.

Ayrıca, MACS'ye bir yerel arama metodu (API) eklenerek, algoritmanın yerel arama

metoduyla ve yerel arama metodu olmadan, çözümü nasıl değiştireceği gözlenmiştir.

Daha sonra algoritmaların kendi aralarında kıyaslama yapmak amacıyla, algoritma

performansları (bağıl hatalar) hesaplanmıştır. Çalışmada kullanılan algoritmaların

tümünde ilk olarak maksimum tamamlanma zamanı minimizasyonu, ikinci olarak

toplam akış zamanı minimizasyonu, üçüncü olarak makinelerin toplam boş bekleme

zamanı minimizasyonu ve son olarak da bu üç kriterin birlikte minimizasyonu

amaçlanmıştır. Üç kriterin birlikte minimizasyonunda, kriterlerin farklı ağırlıklar

114

alması durumunda amaç fonksiyonunun nasıl değişeceği ve bununla birlikte en iyi

sonucu veren algoritma gözlenmiştir. İlk olarak üç kriter içinde eşit ağırlıklar

verilmiş daha sonra, ağırlıklar farklı oranlarda değiştirilmiştir.

Çalışmanın ikinci aşamasında öncelikle Carlier tarafından önerilen standart

kıyaslama problemleri üzerinde çalışılmıştır. Problemlere ait veriler

(http://mistic.heig-vd.ch/taillard/) adresinden elde edilmiştir. Carlier’in test

problemleri MACS algoritmalarıyla çözülerek, elde edilen sonuçlar Ponnambalam

v.d. tarafından 2004 yılında çok amaçlı (maksimum tamamlanma zamanı, toplam

akış zamanı) akış tipi çizelgeleme problemleri için geliştirilmiş GA ile

karşılaştırılmıştır. Daha sonra geliştirilen MACS algoritmalarının literatürdeki en iyi

sonuçlardan sapmalarını test etmek için Taillard'ın standart test problemleri üzerinde

çalışılmıştır. Maksimum tamamlanma zamanı kriteri için literatürdeki optimal

sonuçlardan sapmalar hesaplanmış; toplam akış zamanı kriteri için ise Taşgetiren v.d.

tarafından 2011 yılında geliştirilen ve literatürdeki en iyi sonuçları veren yapay arı

algoritması ile bulunan sonuçlardan sapmalar hesaplanmıştır. Çalışmada kullanılan

tüm algortimaların çözüm sonuçlarını kuvvetlendirmek amacıyla, her algoritmanın

çözümü onar kez tekrarlanarak en iyi değer alınmıştır.

Yapılan çalışmada, tüm algoritmalar Matlab 7.8 programında kodlanmış ve program

Intel (R) Core (TM) i7 3.2 GHz işlemcili, 8 GB belleğe sahip bir bilgisayar üzerinde

çalıştırılmıştır.

Çalışmanın amacı, PFSP için maksimum tamamlanma zamanı, toplam akış zamanı

ve makinelerin toplam boş bekleme zamanını, önerilen MACS algortimasıyla ayrı

ayrı çizelgelerde ve üç kriteri tek bir çizelgede minimize ederek, sezgisel ve

metasezgisel yöntemleri birbirleri ile kıyaslamaktır.

5.2. Ele Alınan Üretim Hattının Özellikleri

Çalışmanın uygulama aşamasında, tesisat ve alçak gerilim kabloları ile orta ve

yüksek gerilim kabloları üreten bir firmanın üretim sistemi incelenmiştir. Fabrikada

115

bir üretim hattı belirlenerek, bu hatta üretilen çeşitli çaplardaki kablolar ve kabloların

geçtiği üretim aşamaları incelenmiştir.

Üretimin yapıldığı hat, her biri farklı bir işlemi gerçekleştiren sekiz makineden

oluşmaktadır. Makineler akış tipi üretime uygun olarak sıralanmıştır ve bir ürün

oluşana dek her makinede işlem görmek zorundadır. Bu hatta 12 çeşit kablo üretimi

yapılmaktadır. Üretilen kabloların isimleri ve özellikleri Tablo 5-1'de gösterilmiştir.

Tablo 5-1 Kablo Çeşidi Ve Özellikleri

Kablo Çeşidi Kablo Özelliği

YVZ 3V (3x240/120) 3 Damarlı- faz kesiti 240 mm2 / nötr kesiti 120 mm

2

YVZ 3V (3x240/50) 3 Damarlı- faz kesiti 240 mm2 / nötr kesiti 50 mm

2

YVZ 3V (3x185/95) 3 Damarlı- faz kesiti 185 mm2 / nötr kesiti 95 mm

2

YVZ 3V (3x150/70) 3 Damarlı- faz kesiti 150 mm2 / nötr kesiti 70 mm

2

YVZ 3V (3x120/70) 3 Damarlı- faz kesiti 120 mm2 / nötr kesiti 70 mm

2

YVZ 3V (3x100/50) 3 Damarlı- faz kesiti 100 mm2 / nötr kesiti 50 mm

2

YVZ 3V (3x95/70) 3 Damarlı- faz kesiti 95 mm2 / nötr kesiti 70 mm

2

YVZ 3V (3x95/50) 3 Damarlı- faz kesiti 95 mm2 / nötr kesiti 50 mm

2

YVZ 3V (3x70/35) 3 Damarlı- faz kesiti 70 mm2 / nötr kesiti 35 mm

2

YVZ 3V (3x35/16) 3 Damarlı- faz kesiti 35 mm2 / nötr kesiti 16 mm

2

YVZ 3V (3x25/16) 3 Damarlı- faz kesiti 25 mm2 / nötr kesiti 16 mm

2

YVZ 3V (3x16/10) 3 Damarlı- faz kesiti 16 mm2 / nötr kesiti 10 mm

2

İncelenen üretim hattındaki makinelerin gerçekleştirdikleri işlemler sırasıyla aşağıda

verilmiştir:

a) Telçekme

b) İletken büküm

c) İzolasyon

d) Damar büküm

e) Dolgu

f) Zırhlama

g) Kılıflama

116

h) Kangallama

Sekiz farklı makineden oluşan bu hat üzerinde gerçekleşen üretim şu şekilde

özetlenmiştir: Bakır yüzde 99.7 saflıkta elektrolitik bakır katot hammadde olarak

fabrikaya girer. Üretim öncesinde hammadde 1180 derecedeki yüksek fırında

eritilerek, filmaşin olarak tabir edilen 8 mm çapındaki bakır yarımamul haline

getirilir. Bu 8 mm'lik paketler telçekme makinesi denilen inceltme makinesinde

istenilen inceliklere çekilir. Çekilmiş olan tellerin ebatları elektrik iletken direnç

hesaplarına göre bir arada bükülür. Bükülmüş olan bu tellerin üzeri plastik ile izole

edilir. Bu safhadan sonra orta gerilim kablosu elde edebilmek için, izole edilen 4

damar kablo biraraya getirilerek, üç faz bir nötr kaidesine göre ve istenilen kilowatta

göre bükülür. Daha sonra yine plastik dolgu malzemesinden tek kablo haline

getirebilmek için üzeri kaplanır. Bu dolgunun üzerine ince metal levhalarla zırhlama

yapılır. Metal zırhlamalı kablonun üzeri de son izolasyon malzemesi olan PVC ile

kaplanır. Elde edilen son ürün kangallama makinesinde nakil kolaylığı sağlmak

amacıyla kangallar halinde paketlenir.

Bu hat üzerinde gerçekleşen işlemlere ait süreler dakika olarak Tablo 5-2'de

verilmiştir.

117

Tablo 5-2 İşlem Süreleri

Ürün Çeşidi

İşlemler

1 2 3 4 5 6 7 8

1-YVZ 3V

(3x240/120) 185 290 180 176 120 480 190 84

2-YVZ 3V

(3x240/50) 174 242 109 94 88 310 112 77

3-YVZ 3V

(3x185/95) 140 254 114 132 79 344 97 80

4-YVZ 3V

(3x150/70) 98 92 49 64 54 68 100 45

5-YVZ 3V

(3x120/70) 64 84 44 70 47 70 94 51

6-YVZ 3V

(3x100/50) 50 75 63 36 38 124 114 62

7-YVZ 3V

(3x95/70) 74 130 69 102 91 99 90 71

8-YVZ 3V

(3x95/50) 92 140 78 125 70 109 99 89

9-YVZ 3V

(3x70/35) 80 145 90 81 124 104 104 73

10-YVZ 3V

(3x35/16) 95 149 75 70 109 100 90 62

11-YVZ 3V

(3x25/16) 122 180 94 61 105 114 100 74

12-YVZ 3V

(3x16/10) 98 140 110 82 90 142 130 72

118

5.3. Ele Alınan Çok Amaçlı Permütasyon Akış Tipi Çizelgeleme

Probleminin Çözümü

Ele alınan problem, 12 çeşit ürünün üretildiği 8 makineden oluşan bir akış tipi üretim

hattında, maksimum tamamlanma zamanını, toplam akış zamanını ve makinelerin

toplam boş bekleme zamanını ayrı ayrı ve birlikte minimize edecek şekilde ürünlerin

sıralanmasını içeren bir çizelgeleme problemidir.

Tablo 5-3, fabrikadan alınan problemin HAMC algoritması ile çözümünden elde

edilen sonuçları göstermektedir. Kodlama Matlab 7.8 programında yapılmıştır.

Tablo 5-3 HAMC Algoritması ile Çözüm Sonuçları

Kriter Yöntem

HAMCM HAMCF HAMCI

Cmax 3092 3024 3187

ΣF 22721 18062 27990

ΣI 6478 7099 2879

Tablodan da görülebileceği gibi, maksimum tamamlanma zamanı için en küçük

sonucu HAMCF yöntemi, toplam akış zamanı için en küçük değeri yine HAMCF

yöntemi ve makinelerin toplam boş bekleme zamanı için en küçük değeri ise

HAMCI yöntemi vermiştir. Bu sonuçlara ait çizelgeler ise Ek-1'de sunulmuştur.

Yine aynı problem farklı başlangıç çözümlerine sahip MACS algoritması ile

çözülmüş ve Tablo 5-4'deki sonuçlar elde edilmiştir. Her algoritmanın çözüm sonucu

için 10 farklı deneme içinden en iyisi alınarak verilmiştir. En iyi sonuçlara ait

çizelgeler Ek-2' dedir.

Ayrıca MACS algoritmasına bir yerel arama metodu (komşu iş çiftlerinin yer

değiştirmesi-API) eklenerek sonucu iyileştirme yönünde bir araştırma yapılmış ve

sonuç diğer MACS algortimaları ile karşılaştırılmıştır.

119

Tablo 5-4 MACS İle Çözüm Sonuçları

Kriter

Yöntem

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt) MACS

(API)

Cmax 2939 2910 2915 2915 2908 2900

ΣF 18471 18070 18062 18062 18062 18040

ΣI 2644 2623 2623 2623 2620 2610

Tabloya göre üç kriter açısından da en iyi sonucu veren algoritma MACS(API)'dir.

Algoritmaların performansları, diğer bir ifade ile algoritmaların en iyi sonucu veren

(MACS(API)) algoritmadan sapma oranları hesaplanmış ve Tablo 5-5'de verilmiştir.

Tablodan, MACS yöntemlerinin üç kriter açısından da çözüm kalitesinin HAMC

yöntemlerine göre daha iyi olduğu görülmektedir.

Tablo 5-5 Algoritmaların Performans Değerleri

Yöntem Kriter

Ortalama

Cmax ΣF ΣI

HAMCM 0,066 0,042 0,098 0,06

HAMCF 0,260 0,002 - 0,17

HAMCI - - 0,103 0,36

MACS(RND) 0,013 0,023 0,013 0,016

MACS(SPTtj1) 0,003 0,001 0,004 0,002

MACS(SPTΣt) 0,005 0,001 0,004 0,003

MACS(LPTtj1) 0,005 0,001 0,004 0,003

MACS(LPTΣt) 0,002 0,001 0,003 0,002

MACS(API) 0 0 0 -

120

Tablo 5-5'deki sonuçlara göre Maksimum tamamlanma zamanı için MACS(API)'

den ortalama en düşük sapmayı MACS(LPTΣt) ve MACS(SPTtj1) yöntemleri

vermiştir. Ayrıca MACS(RND) yöntemi, başlangıç çözümü olan yöntemlere göre üç

kriter açısından da kötü sonuçlar vermiştir. Tablodaki (-) işareti sapmanın %50'den

fazla olduğunu göstermektedir.

Üç kriterin birlikte minimizasyonunda eşit ve farklı ağırlıklar kullanılmıştır. Bu işlem

için kullanılan amaç fonksiyonları sırasıyla verilmiştir.

Kriterlerin eşit ağırlıkta olması durumunda ağırlıklar sırasıyla,w1=0.33, w2=0.33,

w3=0.33 olarak yazılır ve amaç fonksiyonu Min Z1= (0.33)Cmax + (0.33)ΣF + (0.33)

ΣI şeklinde gösterilir.

Maksimum tamamlanma zamanı kriterinin diğer iki kritere göre iki kat daha önemli

olduğu varsayıldığında, ağırlıklar w1=0.5, w2=0.25, w3=0.25 olarak yazılır ve amaç

fonksiyonu Min Z2= (0.5)Cmax + (0.25)ΣF + (0.25)ΣI şeklinde gösterilir.

Toplam akış zamanı kriterinin iki kritere göre iki kat daha önemli olduğu

varsayıldığında, ağırlıklar w1=0.25, w2=0.5, w3=0.25 olarak yazılır ve amaç

fonksiyonu Min Z3= (0.25)Cmax + (0.5)ΣF + (0.25)ΣI şeklinde gösterilir.

Makinelerin toplam boş bekleme zamanı kriterinin iki kritere göre iki kat daha

önemli olduğu varsayıldığında, ağırlıklar w1=0.25, w2=0.25, w3=0.5 olarak yazılır ve

amaç fonksiyonu Min Z4= (0.25)Cmax + (0.25)ΣF + (0.5)I şeklinde gösterilir. Tüm

durumlarla ilgili sonuçlar Tablo 5-6' da verilmiştir.

Algoritmaların performansları ise, her kriter için en iyi (en küçük) sonucu veren

algoritma baz alınarak diğer bir ifade ile, yöntemlerin en iyi sonucu veren yöntemden

sapmaları hesaplanarak bulunmuş ve Tablo 5-6'da verilmiştir.

121

Tablo 5-6 Farklı Amaç Fonksiyonları İçin Algoritmaların Çözüm Sonuçları

Yöntem Amaç Fonksiyonu

Z1 Z2 Z3 Z4

HAMCM 10656 8845 13753 9692

HAMCF 9300 8821 11561 8586

HAMCI 11238 9233 15511 9310

MACS(RND) 9580 8098 12420 8777

MACS(SPTtj1) 9525 8000 11863 8850

MACS(SPTΣt) 9416 7995 11740 8780

MACS(LPTtj1) 9539 8078 12164 8806

MACS(LPTΣt) 9443 8080 12157 8799

MACS(API) 9300 7916 11500 7802

Tablo 5-6 incelendiğinde, Z1 için en iyi değeri HAMCF ve MACS(API) ; Z2 , Z3 ve

Z4 için MACS(API) yöntemi vermiştir. Tablo 5-7 ise, her amaç fonksiyonu için en

iyi değeri veren yöntemden sapmaları göstermektedir.

Tablo 5-7 Faklı Amaç Fonksiyonları İçin Algoritmaların Performans Değerleri

Yöntem Amaç Fonksiyonu

Z1 Z2 Z3 Z4 Ortalama

HAMCM 0,145 0,117 0,195 0,240 0,174

HAMCF 0 0,114 0,005 0,100 0,054

HAMCI 0,208 0,166 0,348 0,193 0,228

MACS(RND) 0,030 0,022 0,080 0,124 0,064

MACS(SPTtj1) 0,024 0,010 0,031 0,134 0,049

MACS(SPTΣt) 0,012 0,009 0,020 0,125 0,041

MACS(LPTtj1) 0,025 0,020 0,057 0,128 0,057

MACS(LPTΣt) 0,015 0,020 0,057 0,127 0,054

MACS(API) 0 0 0 0 -

122

Tablo 5-7'deki sonuçlar, üç kriterin birlikte minimizasyonunda MACS

algoritmalarının genel olarak HAMC algoritmalarına göre daha iyi performans

gösterdiğini ifade etmektedir. En iyi değerden en düşük ortalama sapmayı %4,1 ile

MACS(SPTΣt) yöntemi vermiştir. MACS(RND), bir başlangıç çözümü olan

yöntemlere göre yine ortalama olarak en yüksek sapmayı göstermiştir. Tablo5-7' deki

her amaç fonksiyonu için en iyi sonucu veren çizelgeler Ek-3'de verilmiştir.

Uygulamadan elde edilen sonucun verilerin alındığı fabrikadaki ürün sıralamasına

göre iyileşme sağlayıp sağlamadığını anlamak amacıyla, bir müşteri tarafından 12

çeşit kablo için verilen sipariş üzerinden değerlendirme yapılmıştır. Tüm ürünlerin

teslimi için tek bir tarih verilmiştir. Bu durumda üretici firma, üretim sırasını

kabloların faz büyüklüklerine göre belirlemiştir. Sıralama şöyledir: 1-2-3-4-5-6-7-8-

9-10-11-12.

Bu sıralamaya göre, maksimum tamamlanma zamanı 3217 dakika; toplam akış

zamanı 27460 dakika ve toplam boş makine zamanı ise 2908 dakikadır. Problem

Microsoft Office Excel tablosu ve fonksiyonları kullanılarak formüle edilmiştir.

Sonuçlar Şekil 5-1’de görülmektedir.

123

Şekil 5-1 Fabrikadaki Üretim Sırasının Excel Tablosunda Modellenmesi

Maksimum tamamlanma zamanı için MACS algortimasıyla elde edilen en iyi sonuç

2900; toplam akış zamanı için MACS algortimasıyla elde edilen en iyi sonuç 18040

ve makinelerin toplam boş bekleme zamanı için MACS algortimasıyla elde edilen en

iyi sonuç 2610’dur. Bu sonuçlara göre,

Maksimum tamamlanma zamanı için: 3217 - 2900 / 3217= %10

Toplam akış zamanı için: 27460 – 18040 / 27460= % 34

Makinelerin toplam boş bekleme zamanı için: 2908 -2610 / 2908= %10 iyileşme

sağlanmıştır.

5.4. Standart Problemler İle Geliştirilen Algoritmanın Test Edilmesi

ve Karşılaştırılması

Çalışmanın bu aşamasında, geliştirilen MACS algoritmalarının performansı standart

test problemleri kullanılarak farklı metasezgisel algoritmaların performansı ile

124

karşılaştırılmıştır. Bu aşama iki bölümden oluşmaktadır. İlk olarak Carlier tarafından

oluşturulmuş standart test problemleri üzerinde, daha sonra ise Taillard tarafından

oluşturulmuş standart test problemleri üzerinde çalışılmıştır.

5.4.1. Carlier'in Test Problemleri İle Yapılan Çalışma

Carlier'in standart test problemlerinin boyutları (iş x makine) Car1-11x5, Car2-13x4,

Car3-12x5, Car4-12x4, Car5-10x6, Car6-8x9, Car7-7x7 ve Car8-8x8 şeklindedir.

Problemlere ait süreler http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/orlib/files/ adresinden

alınmıştır.

Problemler karınca koloni algoritmalarıyla çözüldükten sonra, elde edilen sonuçlar

Ponnambalam (2004) tarafından geliştirilen GA ile maksimum tamamlanma zamanı

ve toplam akış zamanı kriterleri açısından karşılaştırılmıştır. Tablo 5-8, amaç

fonksiyonunun maksimum tamamlanma zamanı minimizasyonu olması durumunda

algoritmaların çözüm sonuçlarını göstermektedir.

Tablo 5-8 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Çözüm Sonuçları

Maksimum tamamlanma zamanı kriteri için Carlier’n tüm problemleri üzerinde en

iyi sonuçları MACS(API) yöntemi vermiştir. Algoritmaların performansları, Tablo 5-

9'da verilmiştir.

Problem

Yöntem

En iyi

değer

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

GA

Car1 7038 7347 7335 7472 7190 7322 7038 8243

Car2 7166 7724 7741 7526 7677 7617 7176 8458

Car3 7376 8240 7543 7990 7527 7725 7390 9010

Car4 8003 8423 8295 8008 8225 8083 8003 8214

Car5 7702 7862 7835 8379 8210 7865 7727 8633

Car6 8505 9102 9023 8754 8813 8777 8570 10690

Car7 6590 6779 6895 6982 6760 6772 6590 6681

Car8 8366 8736 8479 8754 8766 8564 8366 8816

125

Tablo 5-9 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Performans

Değerleri

Tablo 5-9' daki sonuçlar, geiştirilen MACS(API) algoritması literatürdeki en iyi

değerlerden diğer algoritmalara göre en düşük sapmaları göstermiştir. Car1, Car4,

Car7 ve Car8 no'lu problemler için ise en iyi değeri yakalamıştır. Ortalamalara

bakıldığında GA' nın tüm karınca koloni sistem algoritmalarından daha yüksek

değerde (%12,9) bir sapma verdiği gözlenmektedir. Tablo 5-10 amaç fonksiyonunun

toplam akış zamanı minimizasyonu olması durumunda algoritmaların çözüm

sonuçlarını göstermektedir.

Problem

Yöntem

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

GA

Car1 0,043 0,042 0,061 0,021 0,040 0 0,171

Car2 0,077 0,080 0,050 0,071 0,062 0,001 0,180

Car3 0,115 0,020 0,081 0,020 0,047 0,001 0,221

Car4 0,052 0,036 0,001 0,027 0,010 0 0,026

Car5 0,020 0,017 0,087 0,065 0,021 0,003 0,120

Car6 0,070 0,060 0,0215 0,028 0,036 0,007 0,250

Car7 0,028 0,046 0,059 0,025 0,027 0 0,013

Car8 0,044 0,013 0,046 0,047 0,023 0 0,053

Ortalama 0,050 0,039 0,050 0,038 0,033 0,001 0,129

126

Tablo 5-10 Toplam Akış Zamanı İçin Algoritmaların Çözüm Sonuçları

Toplam Akış Zamanı için Carlier’n tüm problemleri üzerinde en iyi sonuçları

MACS(API) yöntemi vermiştir. Sadece 7 numaralı problemde MACS(RND) ve

MACS(SPTtj1) yöntemleri MACS(API) ile aynı sonucu vermiştir. Algoritmaların

performansları Tablo 5-11'de verilmiştir.

Problem

Yöntem

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

GA

Car1 59875 58827 59179 58810 59344 58163 63206

Car2 66693 65002 65273 64671 64885 62130 71812

Car3 66334 68182 65675 66510 69558 65020 76920

Car4 78928 78825 78151 78915 70347 67699 70408

Car5 51076 52229 51859 51468 53783 50740 59890

Car6 52541 51725 51861 51861 51966 51448 65000

Car7 34048 34048 35473 34480 34207 34048 36729

Car8 50981 51139 50716 51152 50907 50465 52800

127

Tablo 5-11 Toplam Akış Zamanı İçin Algoritmaların Performans Değerleri

Tablo 5-11' deki sonuçlar, geiştirilen MACS algoritmalarının MACS(API)’den

sapma değerlerinin ortalamasının, Ponnambalam tarafından geliştirilen GA' nın

ortalama sapma değerine göre daha küçük olduğunu göstermektedirr. GA,

MACS(API)' den sırasıyla Car1 için %8, Car2 için %15, Car3 için %16, Car4 için

%4 Car5 için %16, Car6 için %13 Car7 için %7 ve Car8 için %4 sapma göstermiştir.

Sonuç olarak Ponnambalam’ın GA’sı, toplam akış zamanı için ortalamada %10,6

sapma göstermiştir. Carlier'in test problemleri için en iyi sonucu veren çizelgeler Ek-

4'de verilmişitr.

5.4.2. Taillard'ın Test Problemleri İle Yapılan Çalışma

Taillard'ın standart test problemlerinden, her biri 5 farklı örnek içeren 20x5 ve 20x10

boyutlarında 10 farklı problem alınmıştır. 20x5 boyutundaki problemlerden ta001,

ta002, ta003, ta004 ve ta005 kodlu olanlar; 20x10 boyutundaki problemlerden ta011,

ta012, ta013, ta014 ve ta015 kodlu olanlar kullanılmıştır.

Bu bölümde ilk olarak, maksimum tamamlanma zamanı kriteri için MACS

algoritmalarının çözüm sonuçlarının, Taillard'ın standart test problemlerinin üst sınır

Problem

Yöntem

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

GA

Car1 0,030 0,011 0,017 0,011 0,020 0 0,084

Car2 0,073 0,046 0,050 0,040 0,043 0 0,155

Car3 0,020 0,048 0,010 0,022 0,069 0 0,163

Car4 0,018 0,016 0,006 0,017 0,039 0 0,040

Car5 0,006 0,029 0,022 0,014 0,059 0 0,160

Car6 0,019 0,004 0,007 0,007 0,009 0 0,131

Car7 0 0 0,041 0,012 0,004 0 0,075

Car8 0,010 0,013 0,004 0,013 0,008 0 0,045

Ortalama 0,022 0,020 0,019 0,017 0,031 0 0,106

128

değerlerinden sapmaları hesaplanmıştır. Tablo 5-12 maksimum tamamlanma zamanı

için algoritmaların çözüm sonuçlarını göstermektedir. Tablo 5-13 ve Tablo 5-14

sırasıyla 20x5 ve 20x10 boyutundaki problemler için algoritmaların bilinen en iyi

değerden sapmaları ve sapmaların ortalamalarını göstermektedir.

Tablo 5-12 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Çözüm Sonuçları

Problem

Yöntem

En iyi

değer

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

ta001 1278 1318 1305 1322 1325 1317 1278

ta002 1359 1390 1373 1373 1373 1383 1359

ta003 1081 1135 1167 1162 1159 1147 1130

ta004 1293 1410 1330 1337 1345 1332 1330

ta005 1236 1274 1250 1258 1250 1250 1250

ta011 1582 1734 1610 1664 1630 1652 1619

ta012 1659 1840 1745 1726 1722 1742 1700

ta013 1496 1610 1588 1590 1580 1590 1550

ta014 1378 1506 1450 1453 1454 1440 1408

ta015 1419 1510 1476 1490 1480 1450 1458

Tablo 5-13 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Performans

Değerleri (20x5)

Problem

Yöntem

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

ta001 0,030 0,021 0,030 0,036 0,030 0

ta002 0,022 0,010 0,010 0,010 0,01 0

ta003 0,090 0,028 0,034 0,040 0,030 0,028

ta004 0,040 0,080 0,074 0,072 0,061 0,045

ta005 0,030 0,011 0,017 0,011 0,011 0,011

Ortalama 0,042 0,030 0,033 0,033 0,028 0,017

129

Tablo 5-13'e göre 20x5 boyutundaki problemler için en küçük ortalama sapma

değerini %1.7 'lik bir sapma ile MACS(API) algoritması vermiştir. Diğer

yöntemlerin üst sınır değerlerinden ortalama sapmaları ise MACS(RND): % 4.2,

MACSSPT1:%3, MACS(SPTΣt):%3.3, MACS(LPTtj1):%3.3 ve MACS(LPTΣt):%2.8'

dir. Ayrıca, MACS(API) algoritması ta001 ve ta002 problemleri için bilinen en iyi

değeri yakalayabilmiştir

Tablo 5-14 Maksimum Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Performans

Değerleri (20x10)

Tablo 5-14' e göre 20x10 boyutlu problemler için en küçük ortalama sapma değerini

%2.6 'lık bir sapma ile MACS(API) algoritması vermiştir. Diğer yöntemlerin üst

sınır değerlerinden ortalama sapmaları ise MACS(RND):%8, MACS(SPTtj1): %4.3,

MACS(SPTΣt):%5.1 MACS(LPTtj1):%4.4 ve MACS(LPTΣt):%4.4 şeklindedir.

Ayrıca, ta011 dışındaki diğer problemler için en düşük sapmayı MACS(API)

algoritması verirken, ta011 için en düşük sapmayı MACS (SPTtj1) yakalayabilmiştir.

İkinci olarak ise, geliştirilen MACS algoritmalarının toplam akış zamanı için verdiği

sonuçlar, Taşgetiren v.d. tarafından 2011 yılında geliştirilen ve toplam akış zamanı

kriteri için bilinen en iyi sonuçları veren yapay arı koloni algoritmasının sonuçlarıyla

karşılaştırılmıştır. 5-15 Taillard’ın test problemleri üzerinde toplam akış zamanı için

algoritmaların çözüm sonuçlarını göstermektedir. Tablo 5-16 ve Tablo 5-17 sırasıyla

Problem

Yöntem

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

ta011 0,096 0,017 0,051 0,030 0,044 0,023

ta012 0,109 0,051 0,040 0,037 0,050 0,024

ta013 0,076 0,061 0,062 0,056 0,062 0,036

ta014 0,092 0,050 0,054 0,055 0,044 0,021

ta015 0,064 0,040 0,050 0,042 0,021 0,027

Ortalama 0,080 0,043 0,051 0,044 0,044 0,026

130

20x5 ve 20x10 boyutundaki problemler için algoritmaların yapay arı koloni

algoritmasından sapmaları ve sapmaların ortalamalarını göstermektedir.

Tablo 5-15 Toplam Tamamlanma Zamanı İçin Algoritmaların Çözüm Sonuçları

Problem

Yöntem

Yapay arı

koloni

algoritması

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

ta001 14033 14304 14300 14296 14299 14290 14280

ta002 15151 15532 15458 15462 15462 15462 15402

ta003 13313 13773 13764 13749 13790 13795 13676

ta004 15147 15850 15754 15820 15837 15822 15750

ta005 13529 13835 13922 13776 13918 13715 13705

ta011 20911 21274 21270 21262 21260 21285 21281

ta012 22440 23013 23002 23012 23019 23020 23016

ta013 19833 20192 20200 20198 20190 20209 20171

ta014 18710 19036 19058 19055 19050 19050 19036

ta015 18641 18970 19013 19013 19062 19090 18959

Tablo 5-15'den tüm problemler için yapay arı koloni algoritmasının karınca koloni

algortimalarına göre daha iyi sonuç verdiği gözlenmektedir. Karınca koloni

algoritmalarının yapay arı koloni algoritmasının çözümlerine ne kadar yaklaştığı

Tablo5-16' da verilmiştir.

131

Tablo 5-16 Toplam Akış Zamanı İçin Algoritmaların Performans Değerleri (20x5)

Tablo 5-16' ya göre 20x5 boyutlu problemler üzerinde yapay arı koloni

algoritmasından en düşük ortalama sapmayı %2.2 ile MACS(API) algoritması

vermiştir.

Tablo 5-17: Toplam Akış Zamanı İçin Algoritmaların Performans Değerleri (20x10)

Tablo 5-17' ye göre 20x10 boyutlu problemler için yapay arı koloni algoritmasından

en düşük ortalama sapmayı %1.8 ile MACS(API) algoritması vermiştir. Taillard'ın

test problemleri için en iyi sonucu veren çizelgeler Ek-5'de verilmiştir.

Problem

Yöntem

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

ta001 0,019 0,019 0,018 0,018 0,018 0,017

ta002 0,025 0,020 0,020 0,020 0,020 0,016

ta003 0,034 0,033 0,032 0,035 0,036 0,027

ta004 0,046 0,040 0,044 0,045 0,044 0,039

ta005 0,022 0,029 0,018 0,028 0,013 0,013

Ortalama 0,029 0,028 0,026 0,029 0,026 0,022

Problem

Yöntem

MACS

(RND)

MACS

(SPTtj1)

MACS

(SPTΣt)

MACS

(LPTtj1)

MACS

(LPTΣt)

MACS

(API)

ta001 0,017 0,017 0,016 0,016 0,017 0,017

ta002 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025

ta003 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,017

ta004 0,017 0,018 0,018 0,018 0,018 0,017

ta005 0,017 0,019 0,019 0,022 0,024 0,017

Ortalama 0,019 0,019 0,019 0,019 0,020 0,018

132

SONUÇ VE ÖNERİLER

Bu tez çalışması, F/prmu/Cmax,∑F,∑I notasyonu ile gösterilen, maksimum

tamamlanma zamanı, toplam akış zamanı ve makinelerin toplam boş bekleme

zamanının en küçüklenmesi performans ölçütlü permutasyon akış tipi çizelgeleme

problemlerini kapsamaktadır.

Çalışmada, son yıllarda permütasyon akış tipi çizelgeleme problemlerinin

çözümünde sıkça kullanılan bir metasezgisel yöntem olan karınca koloni algoritması

kullanılmıştır. Karınca koloni algoritmasında bir takım değişiklikler yapılarak

yapılan değişikliklerin sonuca etkisine bakılmıştır. Başlangıç popülasyonu için klasik

sıralama yöntemlerinden en kısa işlem süresine öncelik tanıma ve en uzun işlem

süresine öncelik tanıma yöntemleri kullanılmış, başlangıç popülasyonunun rastgele

olması durumuyla kıyaslanmıştır. Bunun yanında bir yerel arama metodunun

eklenmesinin algoritmanın performansına etkisi izlenmiştir.

Ayrıca Ravindran ve arkadaşları tarafından 2005 yılında iki kriterli akış tipi

çizelgeleme problemleri için geliştirilmiş HAMC sezgiseli üç kriterli akış tipi

çizelgeleme problemlerine uyarlanarak elde edilen sonuçlar karınca koloni

algoritmaları ile karşılaştırılmıştır.

Çalışmanın uygulama aşamasından önce, karınca koloni algoritmasında kullanılacak

parametreler için bir optimizasyon çalışması yapılmıştır. Optimal sonuçları bilinen,

literatürden alınmış standart test problemleri üzerinde farklı parametre setleri ile

denemeler yapılarak en iyi sonuçları veren parametre seti belirlenmiş ve uygulama

çalışmasında belirlenen parametre seti ile çalışılmıştır.

Uygulamanın ilk aşamasında, gerçek bir üretim tesisinin akış tipine uygun üretim

hattından alınan verilerle çalışılmıştır. Alınan problem 12 iş ve 8 makine boyutunda

orta büyüklükteki bir problemdir. Problem HAMC ve MACS algoritmaları ile üç

amaç kriteri göz önüne alınarak çözülmüş ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. Sonuçlara

göre MACS algoritmaları üç kriter açısından da HAMC algoritmalarına göre daha

üstün performans göstermiştir. Başlangıç popülasyonu olarak klasik yöntemlerin

kullanılması, başlangıç popülasyonunun rastgele seçilmesine göre daha iyi sonuçlar

133

vermiştir. Bununla birlikte, MACS algoritmasına bir yerel arama metodu olan API'

nin eklenmesi sonuçları iyileştirici yönde etki yapmıştır. Ayrıca HAMC

algortimalarından MACS algoritmalarına en yakın sonuçları veren ise HAMCF

algoritmasıdır.

MACS(API) ile yapılan çalışmadan elde edilen iş sıralaması, fabrikadaki iş

sıralamasına göre, maksimum tamamlanma zamanı için %10; toplam akış zamanı

için %34 ve makinelerin toplam boş bekleme zamanı için %10 iyileşme sağlamıştır.

Üç kriterin birlikte en küçüklenmesinde ise, her kritere ağırlıklar verilerek dört farklı

amaç fonksiyonu oluşturulmuştur. Bu amaç fonksiyonlarına göre MACS ve HAMC

algoritmalarıyla çözümler elde edilmiştir. Sonuçlar yöntemlerin kendi aralarında en

küçük değeri veren yönteme göre değerlendirilmiştir.

Uygulamanın ikinci aşamasında ise, Carlier' in standart test problemleri MACS

algoritmalarıyla çözülerek, elde edilen sonuçlar Ponnambalam ve arkadaşları

tarafından 2004 yılında geliştirilen GA ile karşılaştırılmıştır. Elde edilen sonuçlara

göre, geliştirilen MACS(API)' nın çözüm sonucu ortalama olarak her iki kriter

açısından da GA' nın çözüm sonucundan daha iyidir.

Daha sonra Taillard'ın standart test problemleri kullanılarak geliştirilen algoritma bu

sefer maksimum tamamlanma zamanı kriteri için Taillard’ın sonuçlarıyla ve toplam

akış zamanı kriteri için Taşgetiren ve arkadaşları tarafından 2011 yılında geliştirilen

yapay arı koloni algoritması ile kıyaslanmıştır. MACS(API) algoritması, ta001 ve

ta002 numaralı 20x5 boyutundaki problemlerde maksimum tamamlanma zamanı

kriteri için bilinen en iyi değeri yakalamış ve bilinen en iyi değerlerden ortalamada

%1.7 değerinde bir sapma göstermiştir. 20x10 boyutundaki problemlerde ise bilinen

en iyi değerlerden ortalamada %2.6 değerinde bir sapma göstermiştir. Toplam akış

zamanı kriteri için yapay arı koloni algoritması MACS algoritmalarına göre daha iyi

sonuçlar elde etmiştir. MACS(API) algoritması yapay arı koloni algoritmasının

sonuçlarına en yakın sonuçları veren algoritmadır. MACS(API) algoritması, 20x5

boyutundaki problemlerde toplam akış zamanı kriteri için yapay arı koloni

algortimasından ortalamada %2.2 değerinde; 20x10 boyutundaki problemlerde ise

yapay arı koloni algortimasından ortalamada %1.8 değerinde sapma göstermiştir.

134

Literatüre bakıldığında, bu problem için genelde tek kriterli yaklaşımlar geliştirildiği

görülür; maksimum tamamlanma zamanı en çok kullanılmış olan kriterdir. Az sayıda

makine için çok kriterli sezgisel yöntemler bulunsa da, ikiden fazla makine için

genelde sadece tek kriter dikkate alınmıştır.

Yapılan tez çalışması, üç kriteri ayrı ve eş zamanlı ele alan az sayıda ki

çalışmalardan biri olmuştur. Ayrıca yapılan literatür araştırmasında, çok kriterli akış

tipi çizelgeleme ile ilgili gerçek bir endüstri uygulamasına rastlanmamıştır. Yapılan

çalışmalar incelendiğinde, veri olarak standart test problemlerinin kullanıldığı

gözlenmiştir.

Ayrıca bu çalışma, akış tipi çizelgeleme problemlerinin karınca koloni algoritması ile

çözümünde en iyi sonuçları elde edebilmesi amacıyla, iki seviyeli bir parametre

optimizasyonu gerçekleştirmesi açısından önemlidir.

Karınca koloni algoritması ile yapılacak sonraki çalışmalarda, daha geniş özelliklere

ve çoklu amaçlara sahip çizelgeleme problemlerine çözüm aranabilir. Bunlara ek

olarak, karınca koloni algoritmalarının çok amaçlı akış tipi çizelgeleme

problemlerindeki başarısını artırmak için mevcut sezgisel yöntemlerle ortak yapıda

algoritmalar geliştirilebilir.

135

KAYNAKÇA

Abdallah, H., Emara, H.M., Dorrah,

H.T. ve Bahgat, A., 2009

Akkan, C. ve Karabatı, S., 2004

“Using Ant Colony Optimization Algorithm

for Solving Project Management Problems”,

Expert Systems with Applications, C:36,

No:6, s.10004-10015.

“The Two-Machine Flowshop Total

Completion Time Problem: Improved Llower

Bounds and a Branch-and-Bound Algorithm”,

European Journal of Operational

Research, C: 159, s.420–429.

Alaykıran, K. ve Engin, O., 2005 “Karınca Kolonileri Metasezgiseli ve Gezgin

Satıcı Problemleri Üzerinde Bir Uygulaması”,

Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık

Fakültesi Dergisi, C:20, No:1, s.69-76.

Alcaide, D., Sicilia, J. ve Vigo D.,

1997

Andresen, M., Brasel, H.

Engelhardt, F. ve

Werner, F., 20.09.2010

“A Tabu Search Algorithm for The Open

Shop Problem”, Sociedad de Estadistica

Investigacion Operativa, C:5, No:2, s.283-

296.

“A Library of Scheduling Algorithms

Handbook for Version 3.0”, (Çevrimiçi)

http://lisa.math.uni-magdeburg.de/,

Artiba, A. ve Elmaghraby, S.E.,

1997

The Production and Scheduling of

Production System, Chapman and Hall, New

York.

Aydemir, A., 22.01.2010

“Kombinatoryal Eniyileme ve Sezgisel

Yöntemler”, (Çevrimiçi)

136

Aysal, Y. ve Gündoğdu E., 2010

http://www.baskent.edu.tr/ayyuce/END407

Ders1.pdf

“Sabit Dolaşımlı Atölyelerde Komşu Tarama

Yöntemiyle Çözüm Arama Yaklaşımları”, 30.

Yöneylem Araştırması ve Endüstri

Mühendisliği Kongresi, Sabancı Üniversitesi,

İstanbul.

Bagchi, T.P., 1999 Multiobjective Scheduling by Genetic

Algorithm, Kluwer Academic Publishers,

Masshacushetts.

Baker, K.R., ve Trietsch D., 2009

Baker, K. ve Altheimer, D., 2012

Balasubramanian, J. ve Grossmann

I.E., 2002

Principles of Sequencing and Scheduling,

Wiley, New Jersey.

“Heuristic Solution Methods for the

Stochastic Flow Shop Problem”, European

Journal of Operational Research, C:216,

s.172–177.

“A Novel Branch and Bound Algorithm for

Scheduling Flowshop Plants with Uncertain

Processing Times”, Computers and

Chemical Engineering, C:26, s.41-57.

Bandyopadhyay, S. ve Pal, S.K.,

2007

Classification and Learning Using Genetic

Algorithm, Springer-Verlag, Berlin,

Heidelberg.

Ben-Daya, M. ve Al-Fawzan, M.,

1998

“A Tabu Search Approach for the Flowshop

Scheduling Problem”, European Journal of

137

Operational Research, C:109, s.88-95.

Blum, C., 2005

“Ant Colony Optimization: Introduction and

Recent Trends”, Physics of Life Reviews,

C:2, s.353-373.

Bolat, B., Erol, K.O. ve İmrak,

C.E., 2004

“Mühendislik Uygulamalarında Genetik

Algoritmalar Ve Operatörlerin İşlevleri”,

Sigma Mühendislik ve Fen bilimleri

Dergisi, C:4, s. 264- 270.

Bonabeau, E., Dorigo, M. ve

Theraulaz, G., 2000

Boray, B., 2007

“Inspiration for Optimization from Social

Insect Behavior,” Nature, C: 406, s. 39–42.

Paralel Tezgahlarda Arıza Halinde Çok

Amaçlı Çizelgeleme, Yüksek lisans tezi,

Yıldız Teknik Üniversitesi, Mühendislik

Fakültesi, İstanbul.

Brucker, P., 2007 Scheduling Algorithms, Springer-Verlag,

Berlin.

Bullnheimer, B., Hartl, R.F. ve

Strauss, C., 1999

Bülbül, K., 2011

“A New Rank-based Version of the Ant

System: A Computational Study”, Central

European Journal for Operations Research

and Economics, C:7, No:1, s.25–38.

“Introduction to Computational Complexity

and NP-Completeness”, 1. Çizelgeleme

Kampı, Yalova, s.1-54.

Campbell, H.G., Dudek, R.A. ve “A Heuristic Algorithm for the n Job m

138

Smith B.L., 1970

Carlier J. ve Pinson E., 1989

Ceran, G., 2006

Machine Sequencing Problem”,

Management Science, C:16, No:10, s.10-16.

“An Algorithm for Solving Job Shop

Scheuling Problem”, Management Science,

C:35, No:2, s.164-176.

Esnek Akış Tipi Çizelgeleme Problemlerinin

Veri madenciligi ve Genetik Algoritma

Kullanılarak Çözülmesi, Yüksek Lisans Tezi,

Selçuk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,

Endüstri Mühendisligi, Konya.

Chakraborty, U.D. ve Laha, D.,

2007

“An Improved Heuristic for Permutation

Flowshop Scheduling” International

Journal of Informationa and Comunication

Technology, C:1, s.89-97.

Cheng, R., Gen M. ve Tsujimura Y.,

1999

“A Tutorial Survey of Job-Shop Scheduling

Problems Using Genetic Algorithms, Part II:

Hybrid Genetic Search Strategies”,

Computers and Industrial Engineering,

C:36, s.343-364.

Chen, C.L., Vempati V.S. ve

Aljaber, 1995

“An Applications of Genetic Algorithms for

Flow Shop Problems” European Journal for

Operations Research, C:80, s.389-396.

Chen, W.J., 2006

“A Branch and Bound Procedure for the

Reentrant Permutation Flow-shop Scheduling

Problem”, The International Journal of the

Advanced Manufacturing Technology,

139

Cheng, C.B. ve Mao, C.P., 2007

C:29, No:11-12, s.1186-1193.

“A Modified Ant Colony System for Solving

the Travelling Salesman Problem With Time

Windows”, Mathematical and Computer

Modelling, C:46, s.1225-1232.

Conway, R.W., Maxwell, W.L. ve

Miller, L.W., 2003

Cowlıng, P. ve Johansson, M., 2002

Theory of Scheduling, Dover Publications,

New York.

“Using Real Time Information for Effective

Dynamic Scheduling”, European Journal of

Operational Research, C:139, s.230-244.

Croce F. D., Ghirardi, M. ve Tadei,

R., 2002

Çörekçioğlu, M., 2006

“An Improved Branch-and-Bound Algorithm

for the Two Machine Total Completion Time

Flow Shop Problem”, Production,

Manufacturing and Logistics, C:139, s.293-

301.

Dokuma Tezgahlarında Çizelgeleme

Yaklaşımının Süreçleri Modelleme Notasyonu

İle Gösterimi, Yüksek lisans tezi, Pamukkale

Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Denizli.

Dahal K.P., Tan K. C. ve Cowling,

P.I., 2007

Evolutionary Scheduling, Springer-Verlag,

New York.

Dannenbring, D.G., 1977

Dong, X.Y., Huang, H.K. ve Chen,

“An Evaluation of Flowshop Sequencing

Heuristic”, Management Science, C:23,

s.1174-1182.

“An Improved NEH Based Heuristic for The

140

P., 2008 Permutation Flowshop Problem”,

Computers and Operations Research, C:35,

s.3962-3968.

Dorigo, M., Maniezzo, V. ve

Colorni, A., 1991

“Positive Feedback As a Search Strategy”,

Dippertimento Dı Elettronica, Politecnico di

Milano.

Dorigo, M. ve Gambardella, L.M.,

1996b

“A Study of Some Properties of Ant-Q”, In

Proceedings of PPSN Fourth International

Conference on Parallel Problem Solving

From Nature, s.656-665.

Dorigo, M. ve Gambardella, L.M.,

1997

"Ant Colony System: A Cooperative Learning

Approach to the TSP", IEEE Transactions

on Evolutionary Computation, C:1, No:1,

s.1-24.

Dorigo, M. ve Gambardella, L.M.,

1996a

“Solving Symmetric and Asymmetric TSPs

by Ant Colonies”, In Proceedings of the

1996 IEEE International Conference on

Evolutionary Computation (ICEC’96).

Dorigo, M. ve Blum, C., 2005 "Ant Colony Optimization Theory: A Survey"

Theoretical Computer Science,

C:344,s.243-278.

Dorigo, M., Maniezzo, V. ve

Colorni, A., 1996

“Ant System: Optimization by a colony of

cooperating agents”, IEEE Transactions on

Systems, Man, and Cybernetics, C:26,

No:1, s.29–41.

141

Dorigo, M. ve Stützle, T., 2004 Ant Colony Optimization, MIT Press,

Londra.

Dudek, R.A. ve Teuton, O.F., 1964

Ekşioğlu, B., Ekşioğlu, S. ve Jain,

P., 2008

“Development of m Stage Desicion Rule for

Scheduling N Jobs Through M Machines”,

Operations Research, C:12, No:3, s.471-

497.

“A Tabu Searh Algorithm for the Flow Shop

Scheduling Problem with Changing

Neighborhoods”, Computers and Industrial

Engineering, C:54, s.1-11.

Elmas, Ç., 2007

Engin, O., 2001

Engin, O. ve Döyen, A., 2004

Yapay Zeka Uygulamaları, Seçkin

Yayıncılık, Ankara.

Akış Tipi ÇizelgelemeProblemlerinin Genetik

Algoritma İle Çözüm performansının

Artırılmasında Parametre Optimizasyonu,

Doktora tezi, İstanbul Teknik Üniversitesi,

Fen Bilimleri Enstitüsü.

“Yapay Bağışıklık Sistemleri ve Endüstriyel

Problemlerde Kullanımı” Gazi Üniversitesi

Dergisi, C:17 No:1, s.71-84.

Engin, O. ve Fığlalı, A., 2002 “Akış Tipi Çizelgeleme Problemlerinin

Genetik Algoritma Yardımı ile Çözümünde

Uygun Çaprazlama Operatörünün

Belirlenmesi”, Doğuş Üniversitesi Dergisi,

C:6, s.27-35.

142

Engin, O. ve Fığlalı, A., 2002 “Genetik Algoritmalarla Akış Tipi

Çizelgelemede Üreme Yöntemi

Optimizasyonu”, İTÜ Dergisi, C:1, No:1,

s.35-41.

Eren, T., Güner, E., 2002

Framinan, J.M., Leistein, R. ve

Rajendran C., 2003

Framinan, J.M., Leistein, R. ve

Gupta J.N.D., 2004

“Tek ve Paralel Makinalı Problemlerde Çok

Ölçütlü Çizelgeleme Problemleri için Bir

Literatür Taraması”, Gazi Üniversitesi

Mimarlık Mühendislik Fakültesi Dergisi,

C:17, No:4, s.37-69.

“Different initial sequences for the heuristic

of Nawaz, Enscore and Ham to Minimize

Makespan, Idletime or Flowtime in The Static

Permutation Flowshop Sequencing Problem”,

International Journal of Production

Research, C:41, No:1, s.121-148.

“A Review and Classification Heuristics for

Permutation Flowshop Scheduling with

Makespan Objective”, Journal of The

Operational Research Society, C:55, s.1243-

1255.

Gambardella, L.M. ve Dorigo, M.,

1995

“Ant-Q: A Reinforcement Learning Approach

to teh Travelling Salesman Problem”,

Twelfth International Conference on

Machine Learning, s. 252-260.

Gasbaouı, B. ve Allaoua B., 2009 “Ant Colony Optimization Applied on

Combinatorial Problem for Optimal Power

Flow Solution”, Leonardo Journal of

Sciences, C:14, s.1-17.

143

Gen, M., 1996

Gendreau M. ve Potvin, J-Y., 2010

Geyik, F. ve Cedimoğlu, İ.H., 2001

“Genetic Algorithms and Industiral

Engineering”, Computers and Industrial

Engineering, C:30 No:4, s.835-837.

Handbook of Metaheuristics, Springer-

Verlag, New York.

“Atölye Tipi (Job-Shop) Çizelgelemede

Komşuluk Yapılarının Tabu Arama Tekniği

Geyik, F., 2001

ile Karşılaştırılması”, Politeknik Dergisi, C:4

No:1, s.95-103.

“Tabu Aramada Hafıza Yapıları: Üretim

Çizelgeleme Uygulaması”, XXII. Yöneylem

Araştırması ve Endüstri Mühendisliği

Kongresi, Ankara.

Ghoseiri, K. ve Nadjari, B., 2009 “An Ant Colony Optimization Algorithm for

the Bi-objective Shortest Path Problem”,

Applied Soft Computing, C:698, s.1-10.

Glover F. ve Kochenberger G.A.,

2003

Glover, F. ve Laguna, M., 1997

Handbook of Metaheuristic, Kluwer

Academic Publishers, New York.

Tabu Search, Kluwer Academic publishers,

Masshacussets.

Gonzalez, T. ve Sahni, S., 1976 “Open Shop Scheduling to Minimize Finish

Time” Journal of the Association for

Computing Machinery, C: 23, s. 665–679.

Grabowski, J. ve Wodecki, M., 2004 “A Very Fast Tabu Search Algorithm for The

144

Graham, R. L., E. L., Lawler, J. K.

Lenstra, A.H.G Rinnooy Kan, 1979

Permutation Flowshop Problem with

Makespan Criterion”, Computers and

Operations Research, C:31, No:11, s.1891–

1909.

“Optimization and Approximation in

Deterministic Sequencing and Scheduling: A

Survey”, Annual Discrete Mathematic,

No:4, 287-326.

Graham, C. J.,2000

Graves, M., 1981

Application of Scheduling Theory to

Spacecraft Constellations, Yüksek lisans tezi,

Florida Institute of Technology, Computer

Science, Florida.

“A Review of Production Scheduling”,

Operations Research, C: 29, No:4, s.646-

675.

Gueret, C. ve Prins, C., 1999 “New Lower Bound for The Openshop

Problem”, Annals of Operations Research,

C:92, s.165–183.

Gupta, S.K.ve Kyparisis, J., 1987 “Single Machine Scheduling Research”,

Omega, C:15, s.207-227.

Gupta, Jatinder N. D. 1972 “Heuristic Algorithms For Multistage

Flowshop Scheduling Problem”, AIIE

Transactions, C: 4, s. 11–18.

Gupta, J.N.D., 1971 “A Functional Heuristic Algorithm For Flow-

Shop Scheduling Problem”, Operations

Research, C:22, s.39-47.

145

Gupta, J.N.D. ve Stafford, E.F.,

2006

“Flowshop Scheduling Research After Five

Decades”, European Journal of

Operational Research, C: 169, No:3, s.699-

711.

Güner, E. ve Altıparmak, F., 2003 “İki Ölçütlü Tek Makineli Çizelgeleme

Problemi için Sezgisel Bir Yaklaşım”, Gazi

Üniversitesi- Mimarlık Mühendislik

Fakültesi Dergisi, C:18, No:3, s.27-42.

Güden, H., Vakvak, B., Özkan, B.

E., Altıparmak, F. ve Dengiz, B.,

2005

“Genel Amaçlı Arama Algoritmaları İle

Benzetim Eniyilemesi: En İyi Kanban

Sayısının Bulunması”, Endüstri

Mühendisliği Dergisi, C:16, No:2, s.2-15.

He Y. ve Hui C. W., 2007 Meta-Heuristics for Large Scale Process

Scheduling, VDM-Verlag Dr. Müller,

Saarbrücken.

Hejazi S. R. ve Saghafian S., 2005

Heizer J. Ve Render B., 2008

“Flowshop Scheduling Problems with

Makespan Criterion: A Review”,

International Journal of Production

Research, C:43 No:14 s.2895-2929.

Operations Management, Pearson- Prentice

Hall, New Jersey, 9.Basım.

Ho, J.C. ve Chang,Y., 1991 “A New Heuristic For The n-Job, m-Machine

Flowshop Problem”, European Journal of

Operations Research, C:52, s.194-202.

Hong, T.P., Huang, P.Y. ve Horng, “Using the LPT and the Palmer Approaches

146

G., 2006 to Solve Group Flexible Flowshop Problems”

International Journal of Computer Science

and Network Security, C:6, No:3, s.98-104.

Hong T.P., Wang ve Wang, T.T. ve

S.L., Wang 2001

“A Fuzzy CDS-based Scheduling Algorithm

for More Than Two Machine Centers”,

Journal of Advanced Computational

Intelligence, C:5, No:4, s-239-240.

Hundol, T.S. ve Rajgopal,J., 1988 “An Extension of Palmer’s Heuristic for the

Flow shop Scheduling Problem”,

International Journal of Production

Research, C: 26, No: 6, s. 1119-1124.

Ignall, E. ve Schrage, L., 1965 “Application of The Branch and Bound

Technique to Some Flowshop Scheduling

Problems”, Operations Research, C:13,

No:1, s.400-412.

Ishibuchi H., Misaki, S., Tanaka, H.,

1995

“Theory and Methodology Modified

Simulated Annealing Algorithms for The

Flowshop Sequence Problem”, European

Journal of Operations Research, C:81,

s.388-398.

Iyer, S.K. ve Saxena, B., 2004

İşler, M., Toklu, B. Ve Çelik, V.,

2009

“Improved Genetic Algorithm for The

Permutation Flowshop Scheduling Problem”,

Computers and Operations Research C: 31,

s. 593–606.

“Öğrenme Etkili Erken/Geç Tamamlanma

Çizelgeleme Problemleri İçin bir Literatür

147

Araştırması”, Pamukkale Üniversitesi

Mühendislik Bilimleri Dergisi,C: 15, Sayı 2,

s. 227-252

Jain, P., 2005 Approximate Methods for Solving Flowshop

Problems, Doktora tezi, Missisipi State

University, Industrial Engineering .

Johnson, S.M., 1954 “Optimal Two Three-stage Production

Schedule with Setup Times Included”, Naval

Research Logistics Quarterly, C:1, s.61-68.

Kalczynski, P. ve Kamburowski, J.,

2008

“An improved NEH Heuristic to Minimize

Makespan in Permutation Flowshops”,

Computers and Operations Research, C:35

No:9, s.3001-3008.

King, J.R. ve Spachis, A.S., 1980

Kouki, S., Jemni M. ve

Ladhari T., 2011

“Heuristics for Flowshop Scheduling”,

International Journal of Production

Research, C:18, s.343-357.

“Solving the Permutation Flow Shop Problem

with Makespan Criterion Using Grids”

International Journal of Grid and

Distributed Computing, C:. 4, No: 2, s.53-

64.

Kurnaz, S. ve Kart, Ö., 2010 “İş Akış Çizelgeleme Problemi Üzerinde

NEH, FRB3 ve FRB4 Sezgisellerinin

Karşılaştırılması”, Akademik Bilişim

Konferansı, Muğla Üniversitesi.

148

Kyparisis, J.G. ve Koulamas, C.,

2000

Ladhari, T. ve Haouari, M., 2005

“Openshop Scheduling with Makespan and

Total Completion Time Criteria”, Computers

and Operations Research, C:27, No:1, s.15-

27.

“A Computational Study of the Permutation

Flow Shop Problem Based on A Tight Lower

Bound”, Computers and Operations

Research, C:32, No:7, s. 1831-1847.

Lageweg, B.J., Lenstra J.K.

ve Rinnooy Kan A. H.G., 1978

“A General Bounding Scheme for The

Permutation Flow-Shop Problem”,

Operations Research, C:26, No: 1, s.53-67.

Laha, D. ve Sarin, C., 2009 “A Heuristic to Minimize Total Flow Time in

Permutation Flowshop”, Omega, C.37, No:3,

s.734-739.

Laha, D. ve Chakravorty, A., 2011 “A New Heuristic for Minimizing Total

Completion Time Objective in Permutation

Flow Shop Scheduling”, International

Journal Advance Manufacturing

Technology, C:53, s.1189–1197.

Lian, Z., Gu, X. ve Jiao, B., 2008

“A Novel Particle Swarm Optimization

Algorithm for Permutation Flowshop

Scheduling to Minimize Makespan”, Chaos,

Solitons and Fractals, C:35, s.851-861.

Liaw, C.F., 2003 “An Efficient Tabu Search Approach for the

Two-Machine Preemptive Openshop

Scheduling Problem”, Computers and

149

Operations Research, C:30, s.2081-2095.

Lominicki, A.Z., 1965 “A Brunch and Bound Algorithm fort he

Exact Solution of the Three-Machine

Scheduling Problem”, Operational Research

Quarterly, C:16, No:1, s.439–452.

Lopez, P. ve Roubellat, F., 2008 Production Scheduling, Wiley, Londra, 2.

Basım.

Martinez, C.G ve Herrera, O.G.,

2007

Miller, B. ve Goldberg, D. E., 1995

“A Taxonomy and an Empirical Analysis of

Multiple Objective Ant Colony Optimization

Algorithms for The Bi-criteria TSP”,

European Journal of Operational

Research, C:180 s.116-148.

“Genetic Algorithms, Tournament Selection,

and the Effects of Noise”, Complex Systems,

C: 9, s.193- 212.

Mitchell, M., 1998 An Introduction to Genetic Algorithms,

The MIT Press, Londra.

Moccelin, J.A., 1995 “A New Heuristic Method for the

Permutation Flow Shop Scheduling Problem”,

Journal of the Operational Research

Society, C:29, No:3, s.761-771.

Murata, T., Ishibuchi, H. ve Tanaka,

H., 1996

“Genetic Algorithms for Flow Shop

Scheduling Problems”, Computers and

Industrial Enginering C:30, No:4, s.1061-

1071.

150

Nabiyev, V.V., 2010

Nagar, A., Heragu, S.S. ve

Haddock, J., 1995

Nahmias, S., 2009

Yapay Zeka, Seçkin Yayıncılık, Ankara.

“A Branch-and-Bound Approach for a Two-

machine Flowshop Scheduling Problem”,

Journal of Operational Research Society,

C: 46, s. 721-734.

Production and Operations Analysis, Mc

Graw-Hill, New York, 6. Basım.

Nambiar, A.N., 2007 Mathematical Formulation and Scheduling

Heurıstics for Cyclic Permutation Flow-

Shops, Doktora tezi, Ohio University, The

Russ College of Engineering Technology.

Nawaz, M.,Enscore, J.E, ve Ham, İ.,

1983

“A Heuristic Algorithm For The m-Machine,

n-Job Flow-Shop Sequencing Problem”,

Omega, C:11, No:1, s.91-95.

Ng, C.T., Wang, J.B., Cheng, T.C.E.

ve Liu, L.L., 2010

“A Branch-and-Bound Algorithm for Solving

A Two-Machine Flowshop Problem with

Deteriorating Jobs”, Computers and

Operations Research, C:37, No:1, s.83-90.

Nedjah N. ve Mourelle L. M., 2006 Swarm Intelligent System, Springer-Verlag,

Berlin.

Ogbu, F. ve Smith, D., 1990 “Simulated Annealing for The permutation

Flowshop Problem”, Omega, The

International Journal of Management

Science, C:19, No:1, s.64-67.

Onwubolu, G.C. ve Babu, B., 2004 A New Optimization Tecnique in

151

Engineering, Springer-Verlag, New York.

Osman, H.İ. ve Laporte, G., 1996 “Metaheuristics: A Bibliography”, Annals of

Operations Research, C:63, ss.513-623.

Osman, H.İ. ve Potts, C., 1989 “Simulated Annealing for Permutation

Flowshop Scheduling”, Omega, The

International Journal of Management

Science, C:17, No:6, s.551-557.

Page, E.S., 1961 “An Approach to Scheduling Jobs on

Machine”, Journal of Royal Statistic

Society, C:23, s.484-492.

Palmer, D.S.,1965 “Sequencing Jobs Through a Multi-stage

Process in Minimum Total Time a Quick

Method of Obtaining a Near Optimum”,

Operational Research Quarterly, C:16,

s.101-107.

Pieprzyk, J., Hardjono, T. ve

Seberry J., 2003

Pinedo, M.L., 2008

Fundamentals of Computer Security,

Springer-Verlag, Berlin.

Scheduling: Theory, Algorithm, and

Systems, Springer, New York.

Pinedo, M.L., 2009

Planning and Scheduling In

Manufacturing and Services, Springer, New

York.

Ponnambalam, S.G., Jagannathan,

H., Kataria, E.M. ve Gadicherla, A.,

2004

“A TSP-GA Multi-objective Algorithm for

Flow-shop Scheduling” International

Journal of Advanced Manufacturing

152

Technology, C:23, s.909-915.

Ponnambalam, S.G., Jawahar N. ve

Chandrasekaran, S., 2009

“Discrete Particle Swarm Optimization

Algorithm for Flowshop Scheduling”,

Particle Swarm Optimization, Edited by

Alexandar Lazenica, INTECHopen, s.397-

420.

Potts, C.N., 1980 “An Adaptive Branching Rule for The

Permutation Flow-shop Problem”, European

Journal of Operational Reserach, C:5,

No:1, s.19-25.

Pour, H.D., 2001 “A New Heuristic for The n-Job, m-Machine

Flowshop problem”, Production Planning

and Control, C:12, No:7, s.648-653.

Puris, A., Bello, R. ve Herrera, F.,

2010

“Analysis of the Efficacy of a Two-Stage

Methodology for Ant Colony Optimization:

Case of Study with TSP and QAP”, Expert

Systems with Applications, C:37, s.5443-

5453.

Rad, S.F., Ruiz, R. ve Boroojerdian,

N., 2009

Radeleczki, S., Tothi, T. ve Nagy,

J., 2003.

“New High Performing Heuristics for

Minimizing Makespan in Permutation

Flowshops”, Omega, C:37, No:2, s.331-345.

“A Multiple (extended) Applıcation of

theJohnson Algorithm for the Two-Machine

Manufacturıng Cell Schedulıng Based on

Group Technology’’ Production Systems

and Information Engineering, No:1, s.55-

153

69.

Radommer, F.A. ve White, P., 1988

Rahimi-Vahed A., R. ve S. M.

Mirghorbani, 2007

“A Recent Survey of Production Scheduling”,

IEEE- Transaction on Man, Machine and

Cybernetics, C:18, No:6, s.841-851.

“A multi-objective particle swarm for a flow

shop scheduling problem” Journal of

Combinatorial Optimizationl, C:13, s.79-

102.

Rajendran, C., 1992

Rajendran, C., 1995

“Two-stage Flowshop Scheduling Problem

with Bicriteria”, Journal of Operational

Research Society, C:43, No:9, s. 871-884.

“Heuristic for Scheduling in Flowshop with

Multiple Objective”, European Journal of

Operational Research, C:82, s. 540-555.

Rajendran, C. ve Chaudhuri D.,

1991

“An Efficient Heuristic Approach to the

Scheduling of Jobs in a Flowshop”,

European Journal of Operational

Research, C:61, s. 318-325.

Rajendran, C., ve Ziegler, H., 2004

“Ant-colony Algorithms for Permutation

Flowshop Scheduling to Minimize

Makespan/Total Flowtime of Jobs”,

European Journal of Operational

Research, C:155, s. 426–438

154

Ravindran, D., Selvakumar, S. J.,

Sivaraman, R. ve Haq, A., 2005

“Flow Shop Scheduling with Multiple

Objective of Minimizing Makespan and Total

Flowtime”, The International Journal of

Advanced manufacturing Technology,

C:25, no:9-10, s.1007-1012.

Rayward-Smith, V. J., Osman, I. H.,

Reeves, C.R., Smith, G.D., 1996

Reeves, C.R., 1995

Modern Heuristic Search Method, John-

Wiley and Son, Londra.

“A Genetic Algorithms for Flowshop

Sequencing”, Computers Operations

Research, C:22, No:1, s.5-13.

Ribas I, Companys, R. ve Tort-

Martorell, Z., 2010

“Comparing Three-step Heuristics for the

Permutation Flow Shop Problem”,

Computers and Operations Research C:37,

s.2062–2070.

Rola, D. R. S., 2011

Ruiz, R. ve Maroto, C., 2005

Solving Multiobjective Industrial Scheduling

Problems by Metaheuristics, Yüksek lisans

tezi, Faculdade de Engenharia, Universidade

do Porto.

“ A comprehensive Review and Evoluation of

Permutation Flowshop Heuristics”, European

Journal of Operational Research, C:165,

s.479–494.

Ruiz, R., Maroto, C., Alcaraz, J.,

2006

“Two New Robust Genetic Algorithms for

The Flowshop Scheduling Problem”,

OMEGA, The International Journal of

Management Science, C:34, s.461–476.

155

Ruiz, R. ve Rodriquez, A.V., 2010

“The Hybrid Flow Shop Scheduling

Problem”, European Journal of

Operational Research C:205, No:1, s.1-18.

Sarin, S. ve Lefoka, M., 1993

“Scheduling Heuristics for The n-Job, m-

Machine Flowshop”, Omega, C: 21, s.229–

234.

Sayın, S. ve Karabatı, S., 1999

Seda, M., 2007

Sen, T., Sulek, J. M. ve Dileepan,

P., 2003

Shahzad, A., 22.11.2011

“A Bicriteria Approach to The Two-Machine

Flowshop Scheduling Problem”, European

Journal of Operational Research, C: 113,

No: 2, s.435-449.

‘‘Mathematical Models of Flow Shop and Job

Shop Scheduling Problems” World Academy

of Science, Engineering and Technology,

No:31, s. 122-127.

‘‘Static Scheduling Research to Minimize

Weighted and Unweighted Tardiness: A

survey of Art”, International Journal of

Production Economics, C:83, s.1-12.

“A Single Machine Scheduling Problem with

Individual Job Tardiness Based Objectives”,

(Çevrimiçi) http://oro.univ.nantes.fr/sujets-

09-10/shahzad.pdf

Sivanandam, S.N. ve Deepa S.,

2008

Sivrikaya Ş., F. ve Ulusoy G. 1998

Introduction to Genetic Algorithms,

Springe-Verlag, Berlin, Heidelberg.

“A Bicriteria Two-machine Permutation

Flowshop Problem”, European Journal of

156

Operational Research, C: 107, s. 414-430.

Solnon C., 2008 “Combining Two Pheromone Structures for

Solving The Car Sequencing Problem with

Ant Colony Optimization”, European

Journal of Operations Research,

C:191,s.1043-1055.

Sridhar J. ve Rajendran C., 1996 “Scheduling in Flowshop and Celular

Manufacturing Systems with Multiple

Objectives: A Genetic Algorithm Approach”

Production Planning and Control, C:7,

s.374-382.

Stinson, J.P. ve Smith, A.W., 1982

Su, L.H. ve Chou, F. D. 2000

“A Heuristics for Job Sequencing in

Manufacturing Flow-line Work Cells”,

Computers and Industrial Engineering,

C:20, s.120-140.

“Heuristic for Scheduling in a Two-Machine

Bicriteria Dynamic Flowshop with Setup and

Processing Times Separated”, Production

Planning and Control, C:11, No: 8, s. 806-

819.

Sule, D., 2008

Suliman, S.M.A., 2000

Production Planning and Industrial

Engineering, CRC Press-Taylor and Francis

Group, Florida.

“A Two-Phase Heuristic Approach to The

Permutation Flowshop Scheduling Problem”,

International Journal of Production

157

Economics, C:64, s.143–152.

Stützle T., 1998

“An ant approach to the flow shop Problem”,

Proceedings, 6th European Cong-ress on

Intelligent Techniques and Soft Com-

puting (EUFIT' 98), s.1560-1564, Aachen.

Stützle, T. ve Hoos, H.H., 1997 “The MAX–MIN Ant System and Local

Search for The Traveling Salesman Problem”,

in Proceedings of the 1997 IEEE

International Conference on Evolutionary

Computation (ICEC’97).

Stützle, T. ve Hoos, H.H., 2000

“MAX–MIN Ant System, Future

Generation Computer Systems”, C:16,

No:8, s.889–914.

Şevkli, M.ve Yenisey, M.M., 2006

Taillard, E., 1990

“Atölye Tipi Çizelgeleme Problemleri İçin

Parçacık Sürü Optimizasyonu Yöntemi”, İTÜ

Dergisi, C:5, No:2, s.58-68.

“Some Efficient Heuristic Methods for The

Flowshop Sequencing Problem”, European

Journal of Operational Research C:47, s.

65-74.

Taillard, E., 1993

“Benchmarks for Basic Scheduling

Problems”, European Journal of

Operational Research C:64, s. 278-285.

Tamer S. ve Karakuzu C., 2006 “Parçacık Sürüsü Optimizasyon Algoritması

ve Benzetim Örnekleri”, Elektrik-Elektronik

158

Bilgisayar Sempozyumu, Elektronik

Bildirileri Kitabı.

Taşgetiren, M.F., Liang, Y.C.,

Şevkli M. ve Gençyılmaz, G., 2007

“A Particle Swarm Optimization Algorithm

for Makespan and Total Flowtime

Minimization in the Permutation Flowshop

Sequencing Problem”, European Journal of

Operational Research C:177, s.1930–1947.

Taşgetiren M. F., Pan, Q. K,

Suganthan P.N. ve Chen, A.H-L,

2011

Taşkın Ç., 2002

“A Discrete Artificial Bee Colony Algorithm

for the Total Flowtime Minimization in

Permutation Flow Shops”, Information

Sciences C:181, s.3459–3475.

“Genetik Algoritmalar ve Uygulama

Alanları”, Uludağ Üniversitesi İktisadi ve

İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, C:21,

No:1, s. 129-152.

T'kindt, V. ve Billaut, J.C., 2006

Multicriteria Scheduling :Theory, Models

and Algorithms, Springer-Verlag, Berlin.

T’kindt, V., Monmarche, N.,

Tercinet, F. ve Laugt, D., 2002

Tseng, L.Y. ve Lin, Y.T., 2009

“An Ant Colony Optimization Algorithm to

Solve a 2-machine Bicriteria Flowshop

Scheduling Problem”, European Journal of

Operational Research, C:142, s.250–257.

“A Hybrid Genetic Local Search Algorithm

for The Permutation Flowshop Scheduling

Problem” European Journal of Operational

Research, C:198, No:1, s.84–92.

Tseng, L.Y. ve Lin, Y.T., 2010 “A Genetic Local Search Algorithm for

159

Minimizing Total Flowtime in the

Permutation Flowshop Scheduling Problem”,

International Journal of Production

Economics, C: 127, s.121–128.

Valle, Y., Venayagamoorthy G. K.,

Mohagheghi, S, Hernandez J.C. ve

Harley, R. G., 2008

“Particle Swarm Optimization: Basic

Concepts, Variants and Applications in Power

Systems”, IEEE Transactions on

Evolutionary Computation, C: 12, No: 2,

s.171-195.

Wang, C.X., Cui, Y.A., Li, X.,

Chen, H. ve Cui, D.W., 2006

“A Novel Ant Colony System Based on

Traditional Chinese Medicine Theory”,

IJCSNS International Journal of

Computer Science and Network Security,

C:6 No:5, s.153-158.

Wang, L. ve Zheng, D.Z., 2003

“An Effective Hhybrid Heuristic for

Flowshop Scheduling”, International

Journal of Advanced Manufacturing

Technology, C:21,No:1, s.38-44.

Weng, M. X., 2000

“Scheduling Flowshops with Limited Buffer

Spaces”, Proceedings of the Winter

Simulation Conference, Tampa, Florida, s.

1359–1363.

Weisstein, E. W., 31.07.2010 “Complexity Theory" MathWorld Wolfram”,

(Çevrimiçi) http://mathworld.wolfram.com.

Widmer, M.,ve Hertz, A., 1989

“A New Heuristic Method for The Flowshop

Sequencing Problem”, European Journal of

160

Wilson, J. M. 1989.

Operational Research, C:41, s.186–193.

"Alternative Formulations of a Flow-Shop

Scheduling Problem", Journal of

Operational Research Society, C: 40, No: 4,

s. 395-399.

Wodecki, M. ve Bozejko, W., 2002

“Solving the Flow Shop Problem by Parallel

Simulated Annealing” In Parallel Processing

and Applied Mathematics, C: 2328, s.236–

244.

Xhafa, F. ve Abraham, A., 2008

Xu, X., Xu, Z. ve Gu,X., 2011

Metaheuristics for Scheduling in

Distributed Computing Environments,

Springer, Berlin-Heidelberg.

“An Asynchronous Genetic Local Search

Algorithm for the Permutation Flowshop

Scheduling Problem with Total Flowtime

Minimization”, Expert Systems with

Applications C:38, s.7970–7979.

Yağmahan, B. ve Yenisey, M.M.,

2006

“Akış Tipi Çizelgeleme Problemi için KKE

Parametre Eniyileme”, İTÜ Dergisi, C:5,

No:2, s.133-141.

Yağmahan, B. ve Yenisey, M.M.,

2008

“Ant Colony Optimization for Multi-

Objective Flowshop Scheduling Problem”,

Computers and Industrial Engineering,

C:54, s. 411-420.

Yağmahan, B. Ve Yenisey M.M.,

2010

“A Multiobjective Ant Colony System

Algorithm for Flowshop Scheduling

161

Ying, K.C., 2008

Problem”, Expert system with Aplication,

C:37, s.1361-1368.

“Solving Non-permutation Flowshop

Scheduling Problems by an Effective Iterated

Greedy Heuristic’, International Journal of

Advance Manfacturing Technology, C:3,

No:38, s.348-354.

Ying, K.C. ve Liao, C.J., 2004 “An Ant Colony System for Permutation

Flowshop Sequencing”, Computers and

Operations Research, C:31, No:5, s.791-

801.

Zegordi, S.Y., Itoh, K. ve Enkawa,

T., 1995

Zhang Y., Li, X. ve Wang, Q., 2009

“Minimizing Makespan for Flowshop

Scheduling by Combining Simulated

Annealing with Sequencing Knowledge”,

European Journal of Operational

Research, C:85, No:3, s. 515-531.

“Hybrid Genetic Algorithm for Permutation

Flowshop Scheduling Problems with Total

Flowtime Minimization”, European Journal

of Operational Research, C:196, No:1, s.

869-876.

Zhang, C., Ning, J. ve Ouyang, D.,

2010

“Hybrid Alternate Two Phases Particle

Swarm Optimization Algorithm for Flow

Shop Scheduling Problem”, Computers and

Industrial Engineering, C:58, No:1, s. 1-11.

162

Zobolas, G.I., Tarantilis, C.D. ve

Ioannou, G., 2009

“Minimizing Makespan in Permutation

Flowshop Scheduling Problems Using a

Hybrid Metaheuristic Algorithm”,

Computers and Operations Research, C:36,

s. 1249-1267.