Ajuste de curvas

El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales.

El ajuste de curvas es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de N pares de puntos {xi, yi} se determina una función matemática f(x)

Otra aplicación más interesante es la obtener una función que en base a algunos puntos obtenidos de medición se pueda estimar otros puntos que no fueron medidos empíricamente.

Entre los datos originales y las curvas aproximadas siempre va a existir una diferencia

Esa diferencia se le conoce como desviación o residuo o error

d=yi-f(xi)

Se definen las siguientes normas que se pueden usar con las desviaciones para medir la distancia entre la curva y = f(x) y los datos:

Error máximo

Error medio

Error cuadratico medio

Generalmente, se escoge una función genérica f(x) en función de uno o más parámetros y se ajusta el valor de estos parámetros de la manera que se minimice el error. La forma más típica de esta función ajustada es la de un polinomio de grado M; obteniéndose para M = 1 un ajuste lineal (o regresión lineal),

para M = 2 un ajuste parabólico,

Regresión en mínimos cuadrados

Regresión lineal Supongamos que tenemos un conjunto de N puntos en el plano {xi, yi}. El objetivo es determinar la ecuación de la recta tal que minimiza el error cuadrático respecto a los parámetros a0 (ordenada al origen) y a1 (pendiente).

Eso quiere decir:

Teniendo que

Para N puntos

De forma matricial

Sistemas de ecuaciones de forma matricial se pueden resolver aplicando la inverva

Entonces Aplicamos la traspuesta

Algoritmo

X 25 42 33 54 29 36Y 42 72 50 90 45 48

La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud (X) dadas a seis dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba (Y) en cientos de euros.

Ajuste polinomico

Para M=2

Matricial

Coeficiente de determinación El coeficiente de determinación, R2 , definido entre 0 y 1, nos da una idea de la bondad del ajuste, de manera que para valores cercanos a 1 el ajuste es perfecto mientras que para valores cercanos a cero indica inexistencia de relación entre x e y con el modelo de ajuste propuesto.