IST~~UL

TEKL~

NIVERSITESI

)(- MH.

-

MIM. FAKLTESI

i i

ELEKTRiK SEBEKELERiNiN ELEMAN KAVRAMi iNCELENMESi

OK - ULU

i i t

ti i i i

YARDiMlYLE

(DOKTORA

TEZ!)

Yk. Mh. Ailnan KAYPMAZ

Tezin Dekanliga Verildigi Tarih Tezin Savunuldugu Tarih

: :

9. 12 . 1980 19 . 2 . 1981

Doktorayi Yneten Diger Jri yeleri

gretim

yesi

: : :

Prof. Prof. Do.

Dr. Yilmaz TOKAD Dr. Mustafa BAYRAM Dr. Ergl AKAKAYA

IST ANBUL

TEKNIK

NIVERSITESI

MR. - MIM. FAKLTESI MATBAASI 1981

1

C i N D E K 1 L.E

R

Sayfa

ZET SUMMARYBLOM

iii v

BLM

2i

G1RlS SEBEKELERIN PARCALAMA VE YENiDEN BIRLESTIRME'

1

YONTEMIYLEANALiZ! (D!AKOPTics]2.1. G1RIs

7 7 8 12 17

2.2.

DGUMLERDEN PARALAMA YOLUYLA YAPILAN DIAKOPTtCS 2.3. ADIM ADiM TERS ALMA YNTEMI VE BiR ALGORtTMA 2.4. DCtlMLERDEN PARALAMA YOLUYLA YAPILAN DiAKOPTlcs'DE SPARSE DENKLEM SiSTEMLERINiN ELDE EDiLMESi

BLOM

3

- ELEKTRIK SEBEKELERINDEYAPILAN DEGtSlKllKlERlNBARA EMPEDANS MATRIS1NE YANSiTILMASi 262.6 SAYISINI ARTIRMADAN YAPILAN 27 Bagli Kuplajli'

3.eL.

G1Ris

.3.2. SEBEKEDE BARA DEClslKL1KLER 3.2.1. tki Bara

Arasina

Bir Elemanin 27 Elemanin

Degistirilmesi

3.2.2.3.3..

zel Hal: tki Bara Arasina Bagli Kuplajsiz Degitirilmesi (Kiris Ekleme Algoritmasi)

34 40 40Bir

SEBEKEDE BARA SAYISINI ARTIRACAK B11MDE YAPILAN DEC1SlKL1KLER Sebekeye, Yeni Bir Bara Elde Edilecek Kuplajli Bir Eleman Eklenmesi Biimde

3.3.1.

3.3.2. 3.4.

zel Hal: Sebekede Yeni Bir Baranin Kuplajsiz Eleman Eklenerek Elde Edilmesi (Dal Ekleme Algoritmasi) BARA EMPEDANS MATRls!N1N KURULMASI

43 44

KUPLAJLI ELEMANLARDAN OLUSAN OK-ULU BIR S~BEKEN!N

- ii ...

Sayfa

BLOM4

- GOC SiSTEMLERiNDE,

iLETIM

KAYIPLARININ YENI

BIR

YAKLASIMLA FORMOLE EDILMESI

VE siST8~RlLlSKIN BIR

ARASINDAKI GOC ALIS-VERtStLERINE YORUM4.1. GIRIs 4.2. KAYIP 4.2.1. tletim 1letim ELDE 4.4~ FORMLASYONU-

50:50

iIN ILETIM Olusan

SEBEKESiN1N.-

MODELLENMES1

5-4 54

Hatlarindan Sebekesi

Sebeke

4.2.2. iletim Hatlari ve.T.ransformatrlerden Olu.an63 66

4 .3..-ILET1MKAYIPLARININ FORMtlLASYONU VE B- SAB lTLER.l"N1N.EDILMES! ARASI SiSTEMLER YORUM

Gtl ALIS-VERlstLERl

~KIBDA

B1~ 74

BLOM 5EK i..

-

SONUCLAR

79 BAGLANMIS COK-UCLU

- PARALEL

EUd~NLAR

81

EK 2

- "BtR1MEINDIRGENMtS CPER-UNIT) DEGERLERIN DEVRE TEORISI AciSiNDAN BiR YORUMU

84

REFERANSLAR

9-i

TESEKKOR.ZGECM

99

i

S

100

--iiit

-

i i\

1 i ii .

LJ

ZET

,

it i

!i

Bu tezde, elektrik enerji sistemlerinde baz~ problemlerin Devre Teorisi Yntemleri ve ok-ulu eleman kavram~ yardim~yle inoelenmes~ ve zlmesine iliskin alismalar verilmistir. Yapilan literatr ar~ti~si sonuida, g sistemlerinin incelenmesiyle iLgili bugne kadar yapilan alismalarda, Devre Teorisinde nemli bir kavram olarak yerlesmis bulunan ok-ulu elemanlarin tm imkanlariyle kulLanilmadigi, bu nedenle de yapilan alismalarda bazi gereksiz kisitlama ve zorlanma la ra gidildigi grlmstr. Devre Teorisi Yntemleri ve ok-ulu eleman kavramina dayanan alismalarla, g sistemlerindeki bazi problemlere genel yaklasimlar yapilacagi gibi, bu konuda daha derinlemesine alisma yapmanin da mmkn oldugu gsterilmistir. alismalar bes blm altinda toplanmis olup, blmler hakkinda kisa bilgiler asagida verilmistir. Birinci blmde, konunun tanitilmasi, daha nce literatrde bu konuda yapilan alismalar, problemlerin ortaya konulmasi ve konuyla ilgili kavramlar topluca verilmistir. Ikinci blmde, byk boyutlu sebekelerin analizinde kompter islemlerinin ve bellek gereksiniminin azaltilmasi aisindan yararli bir yntem olan Diakoptics ya da sebekelerin Paralama ve Yeniden Birlestirme yntemiyle analizi ele alinmistir. Bu konuda literatrde bilinen alLsmalara bazi yenilikler getirilmis ve D~mlerden Paralama Yntemi olarak bilinen yntemle, sparse devre denklemleri elde edilmesine"ynelik alismalarda kullanilan yntemierdeki yaklasimlardan farkli bir yol izlenerek, sparse devre denklemlerinin elde edilebilecegi gsterilmistir. nc blmde, sebekelerde zaman zaman esitli nedenlerle yapLlau degisiklikler ve bu degisikliklerin bara empedans matrislerine n~ biimde yansidigL problemi ele alLnmistir. Literatrde bu konuyla ilgili olarak verilen yntemlerin, empedans matrisinin ve/ya da primitif empedans matrisinin simetrik olmadigi durumlarda geerli olmadigi grlmstr. Bu simetrisiz duruma iiiskin genel zmn bulunmasi -iin yeni bir yntem gelistirilmistir. Drdnc blmde ise, enterkonnekte g sistemlerinin, en iy~ isletme verimini elde etmek zere, ekonomik isletilmeleri (ekonomik yk dagilimi) sLrasinda kontrol edilmesi gereken bir etken olarak ortaya ikan iletim kayiplarinin, B-sabitlerine dayanan. yaklasik hesabina iliskin kayip formlasyonu problemi ele alinmistir. Bu amala, nce bir sebekenin, empedans parametrelerIDe bagli olarak kayip modeli elde edilmis ve kayip formlasyonu verilmistir. Daha sonra, kayip modelleri bu biimde belli olan sebekelerin aralarinda baglanmasiyla olusan enterkonnekte sebekelerdeki iletim kayiplari ve alt-sebekeler arasindaki g alis-veris 'leriyle ilgili problemler zerinde durulmustur.

- l.V-

kisaca

Besinci blmde, aiklanmistiT.

tezde

getirilen

yenilikler,

ana hatlariyla

Tezde kullanilan bazi kavramlar ve teoremler EK kisminda verilmis, g sistemleri incelemelerinde yararli bir ara olan, birime-indirgenmis (per-unit) degerlerin devre teorisine daJali bir yorumu yapilmistir.

-

,

-

s U M MAR

Y

El~ct~i~ ~l~ctri~ ~~~tgy

~o~e~

netwo~kg

are establish~~

tc eupply distributed energy

tc a vast number of customers Si~ce the need

ov~r ~ lar~~1$ r~'Pidl~

~e~~ito7Y.

for Ele~trital

inc~~asifig, net only ~he trans~igsin

the production of this energy

of energy through the a

it~~lf but al~c lcng di8t~~ce ~o~~id~rable th~ operation p~ratin~ dimensio~ b~come aystems interconn~~t~d.

~i~G vcltage a~r~nt

ttansmission

line E is gaining

cf int~~est. sY5tems, several

Ofi the other in order

han d , durihg

cf po~r Ths,

to main ta in optimum power systerne must and the and to be

effi~i~ncy. of the power

different

the structure,

the quality

systerns are subject

to change

mgr~ complex.

ror the analysis

of such vast

power

the use 0f computers

is indispertsaole.

Th~ proble~s rising instAiea

f

th~

planfiifig

and the epefatifig in eemptef appfga~he9

of

po~@r systems a~e therefre be~mifig mere figmplieateedifficult to handie. For this pUrpse. same simplifi~atigfis. new

and mor.

~alculations. tO provid@

afe _!ecefitly being for the formulatiofi of pwet systems considered abd oh this subject stili 89me ifitensive wgfksin progreas. with Af ter completing powe~ the llteratre studies. the larg~-scal@ system it be~ame

ate

sUrvey asseeiated appafent

that the Adv~ntages components Theory, ~ork terminal analysii became power vhich

to b~ gained by the use r multi~tetmifiai

coftstitutes an imprtafit ~fieept in Netwtk fully exploited. Ff this the use reasen, of the maifiiy on with

bave not beeh ccmpon~ts

in this thesis

i8 directed

multi-

as the fubdamebtal power system.

c~ponefits Lfi the this appfeaeot ptoblems it of

f large-9~ale

possible 8yst~ms

to investigate,

ifi detail,

varius

with ease.

In the analy~i. of power

systems

witn

iatge number of

---

-

.

i

-

buses.

it

is necessary of the

to sol ve form

the

systems

of- a-lgehra.li-

equations

following

Ax

::

b

where

A.is

a square is quite

matrix large.

with comple~

en~ries

whose

ord~r oi the

general1y

Af ter i950~ the avail~bilit~ new techniques

computer in analysing the eleetrical networks madeinvestigators gical to develop properties of the eleetrical computer. networksi could

severalhave been

so that th~ to~oio-

programmed-

o~ a ~igital to become

Some of these ~echuiques of -aigebraic This type of c~efficint

led the matrix equations

A appearing

in the above systems matrix.

a sparse

matrices app~ar (1-6). Intesive sparsity

in maDY applications of engineeriug .BcieDces works for the solution ofAx: b h~sed on the of the eoefficient and several the pUTpose matrix have appeared are developed(7-17). analysis pattern a~

property

in the literature

a.lgorithim

In some of tbese works method whieh yields

vas to use a pToper

a particular

form for the ~PaTsity

of the matrix the extension Tearing works using

A. These

iDyestigations {Analysis

are stiii continuing thechniques by usi~g group i.e.~ matrix of by A is

of Diakoptics

and Reconstruction)(18-21). by using simple

In the other operations

however,

matrix

the permutatioD

matrices,

the coefficient

brought into the form so-that the solution ofAx easier{22-31).The essence by first tesring of Diakoptics

= b becomes

is ~O sol ve A large DetWork each ~f which consideTed

it into

subnetworks

as a multi-terminal component, then to obtain tbe sulut:i-an(or modelling) network each these of each subuetwork. The solution ~f oV~Taii is then ccnstructed. as well which be by ~be aid of the EO de 1s for ~at~ern o~

subnetwork subnetworks

as the interconnect~on form the Griginal

network..-

The voxks

on Diakopti~s can

divicte..d

into two -groll.p-s:

--

vi i

---.

~-Those

works

intending aminimum. intending

to reduce

the number

of network

~quatiDnsto -- Those-

works

to ab ta in sparse network

equations.

On the other hand, divided iuto two groups

the works

on Diakopti~s

can alsa be realization:

according

to its actual

- Tearing is performed from the network.

by removing

seme elements

- Tearing

is performed

by spIitting

some nodes

in

the network.

The Diakoptics ~h~ resuLting and network

or picewise equations

analysis

as introduced

by form

Kron. if ca-rried out by removing

elements are then

from

the network,

in the hybrid

th~coefficient the_order of removed variables

matrix

of these equations matrix

is sparse. by the by the If the

Hawever, number current from

of coefficient

increases

element s compared of the removed

to thQse obtained Formulations.

regula-r me..thods-i.e., Branch

or Chord

elemerits are eliminated property hand, of the if the the order

thes&

equations, matrix

then the sparsity

coefficien:t tearing

dissapea.rs. On the other at the nodes can be kept

is p~rformed matrix

of the network, to aminimum.

of coefficient

In recent in Diakoptics was to obtain approach second system system

years,

two important

approaches

have appeared trend in the of the each

by node-tearing. sparse system the aim was

In the first

approach while

of equations(2l) to reduce

the solution

of equations containing

into several less number

system

of equations

of equations

in it, as Kran of

deseribed

originally (56). 1n referance( 21), the concept

-

Vl.l.:'

-

multi-terminal have been

components

has not been usedi to same only

instead subnet~rks

selected

according

topologiesI

conditions were

and under tbese conditions obtained. In reference(56), separated nodes into several and then eacb wbose in(56)

the sparse

equations

the given network is modelled

is first torn

subnetyorks

from its arbitrarily

subnetwork

as B multi-terminal

component However. equations

terminals

are being considered.

some of the torn nodes. spars~ network is investigatec impased sparse in this on This problem

the problem

of obtaining

have not been

in this thesis, network thesis. equation

and it is sbo~n do not a?pear

that restrictions to derive given in the method

the metliods appearing

in the literature

In Diakoptics

by node-tearing

,in order

to find

the

unknown terminal voltages, it is necessary to evaluate the inverses of the matrices associated with each sub-network. In this thesis, luation eulation orders thesis, an algorithm is introduced so that the eva-

of the inverse

of a matrix

is reduced

to the calwith

of the inverses than

of a set of proper

matrices

much smaller

that of the given one. that dimensions of colunns

In this on

it is also shown band

of the blocks in the vertical can be

the diagonal (horizontal) brought derations

and the number appearing value

in th~ sparse matrix by making

to an optimum during

seme judicious

consi-

the tearing networks, done

of the given net~ork. of the necessary same changes alterations eecure according in

In power

because

and new additions time. Sametimes

on the network, are made

the changes such

intentionally

to a definite what kind

program

of changes

as for fault studies. No matter have occured, it is desirable to know as are reflected inco bus impedance matrix.

to how

these changes

In the literature,

all the methods matrix

given rely on the fact and the coupliDgs methods

that the bus impedance between the elements

is symmetric symmetric

are 8180

(61-73).

These

-

--

are not valid and cannet: a~

~X

valid ~~ii:b

!!t~4E;

simple

rrocii::.cations

for the unsymmetrical b~tween develop solved Thus, matrix ii

bus imped~~e

ma tTi x and/or

couplings:Ci

the elements. a different

For ~hii ~~~~on in ~~4~~

it is necessary to consider the

appro.ch

unsymmetrical

situations.

In this

tb~sist

this problem

is

by using the concept a method that is valid ~.ong

of m~lt~~\erminal for the t~~~ where

components. ous impedance

and couplings

th~ e1eme~t.

~~Y be unsymmetrical,

i5 given.

i

\

In this thesis~ formul.e~G& r~considered. exactly, Tr~ns~ission 10sses hcwever, the problem

Qf trensmia~ion in fact,

lGsses

lS

~9~ ~~ ~~ic~lated ~~q~i~~~ a real

of dispatching

ti~e solution. ~y G.KroD a. syst.a matrices terminal mations, Network

The power

invariant

transformati0~ the appr&xim~te~

4~~~loped \Qsg~S of

has been used tQ evaluate at any instant. introduced In this

thesis been

t1".tisfol'1Bati~.e-

by Kron have

interp~eted

~~ .~iti~

ideal transformers a concept which Theory.

and also

as the tree tr~~3f~~~ and use~ ~~ ~~

is well

est,plished

By this interpreta~io~ losses

10$5 model i~ this

simii~~ th.si~~

that of Kron, has been obtained. calculation system of transmission in whicb each subnet~G+ki s

Finall" who$~

in a~ i~~.~~eanected i~~~ aodela.tl d

pow~~ know~

is

in ter'm of B- co e f f i c i e n t;s: , sinterchange among

f: o i" s i. ci~ ~ ~d

t h E. P o w e r

these ,~~n.two~k~

is

~tu~ied.

,,

BULOMt

i

i t

G i R i-s-

- Ele.ktrik sebekeleri.

ge.nis

bir alana dalilmi, olan tketi-

cile.re elektrik enerj isi tafjimak zere ku.r.ulmak.i:a ve isle~ilmekte"dir. Gnmzde .ele'ktrikenerjisine duyulan. gereksinim, teknolojik ilerlemeye paralelolarak. hizl& artmaktadir. Bu arti~i kartilamak byk gl re.telerin ,?lus turulmasL ge re. i in in yaninda", bunzere., larda retilen enerjinin iletimi iin de genellikle u.zak me8afe ve yksek gerilimli hatlarin kullan~imasi kain~lmaz oLaakta4ir. te yandan, enerji sistemlerinin isletilmelerinde, optimum iiletme verimini ~ide etmek amaciyla, farkli g siatealerini ~ralaT~nda bagiayarak enterkonnekte" sebekeler oiu,turmak. gerekaekted"i;. Bylece, elektrik sebekelerinin yapilari, ti.itelikl.erL ve boyutlari gide.reLbymektedir. Bugn, bu tr sebe~.ie.rin ana.1izinde kompter "kullauimi. ka~nilmaz bir zorunluluk ha"i.ineielmi,tir..loyutlari &ide.r~k. byyen bu sebekelerinplanlanmasi ve"i,letil8tuii sirasinda ortaya i.kan s..orunlar da gide.rek karma,ik,bir durum - almak.tadir.. Bu a.aa.la. kompter be-saplamalarind,a bazi kolaylikla.r saglamak zare ,~bekt!lerin formlasyonunda cia "yeni"yntealer ortaya atiimakta-ve bu konudaki alitmalar halea yolun" bir biimde srdrimekt~dir. Butezle ilgili olarak yapilan literatr al.fmasi sonunda." byk boyutL.u enerj i" sistemlerinin- incelenmesinda'",- bugn art:iJt Devre TeorisiInde nemli bir kavr!'La.:..olarak y~r-l.'1aLt.'b~lunau ok.-ul.u. eiemanlai:i.n salliyabilecekleri yaTarlardan ~a. olarak istif4tie";.e"diliiaedii-i a.nLa-fi11l1istir."Bu uede11le-~ -ba"gn h-ai". .~..i yak, l.a, ia1.j-t: i. kaiianmay1" "

tercih eden erierj

i -.head"is1:"eri,

Y'. "~k~r.as

ik

ve U~ut hes4plara saplanaak zorunda kalmakta ya da t~ ol..yan - yakla,'ik ynteuilerikullanmaya devam etmektedir-i Bu -nOktacan haretezdeki al i."sma.l ar , byk. boyutlu feaekelerin aiia"ii--:inde. okketle . ulu elemanlarin temel elemanlar olaralt8.()z;ll"ne ali.nmaai.nin yararLi. ol~bilecegi. g,riiiyle" ynlendirilsiftire"" :Gerek.'ten", "~t"ezin "

~teki

1a:i.l~rinden. a.ik olarak grlecegi zere, bu yolla -.eleki sebekeleTine iliskin problemlerin derin-le1De.i-ne~ inceolmus ve ele alinan-problemlerin en genel "ZmLelenmesi"mmkn ri, kolay kavranabilir bir biimde verilebilmistir.t.rik enerj"

B.ra sayisi ok byk sayilara eri,.ii" olan elektrik sebekelerinin analizi. A byk boyutlu kare bir mat ri-s olmak "zere:-

Ax biiminde"

-

b

bir denklem

sisteminin

zmn

gerektirmektedir.

1950

yilindan sonra elektrik sebekelerinin analizinde elektronik hesapmakinalarinin (kompterin) "yaygin olarak kullan~lmasi, g sistemlerinin incelenmesinde yeni y6ntemlerin gelistirilmesini gere~tir"mistir. Elektrik sebekelerinin topolojik zellikleri nedeniyle, byk boyutlu olan bu A matri8~ olduka sparse (sifiri bol) bir

- 2.

yapidadir. Bu zellikteki katsayilar matrisieLi~ mhendislik bilimlerinin birok uygulamalarinda ortaya ikmaktadir(1-6). Bu zellikten denklem sistemlerinin zmnde yararlanilmak zer~ yogun bir alisma yapilmis ve yeni bazi yntemler gelistirilmistir(7-17). Bu alismalar, sparse olan A matrisine zm iin daha

uygun bir biim vermeye. yneliktir. Bu alismalarin Dir

kisminda

i i'

! i

ama, sparse olan A matrisine" uygun bir biim vermek zere bir analiz yntemi kullanmaktir" Bu alismalar, Diakoptics'in (Paralama ve Yeniden Birlestirme Yntemi lle Analizin) biT uzan~isiolarak halen devam etmektedir(18-21). Brr kisim-alismaaaTdG ise,. A matrisine, matrisel islemler (Permutasyonomatrisleri) yoluyla. verilmektedir(22-31).. te.yanda-n"7 zme daha uygun ola-n Dir-biim lineer denklem sistemlerinin zmnde~ sparse 1Ilatris-akiEJ.n-dan

da Diakoptics --alismalari.

i r

'il'I'

- A..na1."i.-z sirpsinda 'elde edilen denklem s istemindeki de-nk1.em sayi sin-in kl tii 11l1eine yne 1 ik- alismalar (35-50,56). s

i ,',i'

t

- 1>enklem sisteminde katsayilar matrisinin dolmamis biimde eldeedilmesine ynelik alismalar(l8-2l) olarak da gruplandirilabilir.

(sparse)

\

Tezin bu blmnde, konuyia ilgili olaraK bugne kadar yapilan alis~iaTa, ok-ulu eleman kavrami kullanilarak deginilmis, dgmlerden paralama yoluyla yapilan Diakoptics'de(56), bilinmeyen u-gerilimlerinin belirlenmesi iin gereken matris ters alma islemini, daha kk matrislerin tersi aiinarak~ adim adim gereklestiren bir algoritma gelistirilmistir. te yandan, sparse denklem sistemi elde etmek zere, literatrde genellikle bir zorlama gerektirmekte olan yaklasimlarin kullanilmasiila karsil'ik tezde, dgmlerden gelisigzel bir biimde yapilan paralama islemiyle bu tr denklemlerin, analiz sirasinda ortaya ikan denklemlerin tmnn birlikte gz~ne alinmasiyle. bu islemin(56) normal bir sonucu olarak elde edilebilecegi gsterilmistir. Ayrica, verilen sebekenin :paralanmasi sirasinda, bu sebeke iin elde edilecek sparse denklem sisteminde bulunan ksegen zerindeki bloklarin ve dsey (yatay) bandlarin boyutlarini optimum bir de~ere 'getirecek nlemlerin alinmasinin da mmkn oldugu gsterilmistir.

2.2. DUCMLERDEN Dgmlerden

PARALAMA paralama

YOLUYLA

YAPILAN

D1AKOPTlcS birinci

ile yapilan

Diakoptics'de

-.9 -

ii i "i

adimda. v.eriien.

i

sebeke. baz.:L baralarindan paralanarak daha kk alt-sebekelere ayrilmaktadir. Bu- yntemde Diakoptics'den ama, birlikte zlecek (Simultaneus) denklem sayisini kltmek oldugundan, bu alt-sebekeleri sadece paralamanin yapiidi~i baralari u kabul eden ok-uiu elemanlar olarak g6z6nne almak yararli olmaktadir. Gerekten~ verilen karmasik bir (D) sebekesinin analizi i = 1,2,..., k bylece, i yapilari daha az karmasik ola.n (Di), alt-sebekelerinin ,nalizine d5nstrlmektedir. Diakoptics'in ikinci adiminda. herbiri ok-uiu bir eleman olarak gznne alinan alt-sebekelere iliskin matematiksel modellerin eld~ edilmesi gerekmektedir. Literatrde ai:tik ok iyi bilinen yntemler yardimiyle bu- modeller hesaplanabilir(56,79-80). Burada, genel durumu yansitmasi aisindan, matematiksel modelleri bulunacak alt-sebekelerin, akim ve gerilim kaynaklarini da iine alan 2-ulu elemanlardan olustuRu varsayilmistir. Bu ~Ur bir okulunun matematiksel modelinin nasil elde edilecegi asagida aiklanmistir. Referans(56) da bu islemler admitans parametreleri kullanilarak yapilmistir. Bu.rada degisiklik yapilarak empedans parametreleri kullanilmis, ancak daha sonraki ayritlarda gerektiginde uadmita.ns-matrisleri de kullanilmistii: (Di) ile gsterilen bir alt-sebekenin, seilen bir (ii) ugrafina iliskin u-denklemlerinin, empedans parametreleriyle ifade edilmesi isteniyorsa, KAY (Kiris. Akimlari Yntemi) kullanilmasi szkonusudur. 2-ulu elemanlar, akim ve gerilim kaynaklarindan aiusan bir alt-sebekede, ayni agaca iliskin temel evre ve temel

kesitleme denki~mleri, sirasiyla,e-'. i

.

Bi,

B2:

B3 BS

BB6'

1 i. i

ITLL"

Vd -Vk imr

,

O

(2.1.1)

uJ

V* V. -Ao. J

8.'

ve r iei f

-B1 -B3 -B5-BT -BT -BT2 T 4 T 6 TJi

id

ik ii*J

-

O

(2.1.2)

[u

U

.t

:

biiminde yazilabilir. Burada, (ie . e) ve (j , Vj)' sirasiyla (Di)alt-sebekesinde bulunan gerilim ve akim' kaynaklarina iliskin by1iklklerdir.- (i*, v*) ok-ulunun aranilan matematiksel modelinin elde edilebilmesi iin verilen alt-sebekenin (Ti) ile belirlenen kapilarina baglanmasi gereken akim kaynaklarina iliskin akim ve

~

- ---- ---

- 10-

gerilim byklklerini

sirasiyla alt-sebekenin akim ve gerilim byklkleridir. d enklemleri, .; ./ , .

gstermektedir. (id ~ vd) ve (ik ~ vk) d~~ (Ti) grafindaki dal ve kiri~iere iliskinDevredeki-:- ~ ~ ." --'

2-ulu'..

elemanlaTin

u-

''

vd

~

Zd . &

ri1.

~

,. '

. . . .,1,'

~ -:i",

"

,

cl.

~:;;\.;

"

{.'J-.

[ vk Jleri

= L tl Z k

J L~

] tL'

'

J

-- ~- .

(2..;1..3)

7 ,i

3

~". C"" ' .gerili'E-

biiminde alinacaktir. yerine konularak

(2.1.1)

de~ kii.~,..;ger.ili1I1lerid~J.~ '.~ '.,

leri cinsinden ifad, edildikten sonra -.(2..'l.3)elde edilen ifade (2.,:1..2)ya-rdimiy.la yenidend'zenlenirse

'u,-denkle1IlleriIl.de . d':e.ki k~siIie1necLe"Ilklem-

" ,.

lo--'J. tden

it

A.

ve E .~'a ti r ve

stunlar

kendi

aralarinda toplanirsa._Tablo II~elde ~dilir. B5ylece (A) ve (E) ok-ululariniu ba~lantiiari yapilarak (AE) gibi ,yeni biT ok-ulu eleman olusturulmustur. Bu islem sirasinda (.A) ile CE) ok-ulularinin ortak baralari yok -edilm1s ve bunun.'iin 3.merte'beden biT matrisin tersi arinmistir.~

1k

i n coi

a cli m:

Tab

lo

i i

'

'd

e

en

b y k

kB S e ge n

d i S i

el e]DB.n

t e s-

bit edilerek, (AE) ile (D) ok-ulularinin bagla-nmalarinin bu ad.imda uygun olacagi belirlenir. Birinci adimda pldugu gibi AE. ve D. satir ve sUtunlarin aralarinda toplanmasiyla Tablo IIIelde ediliL Bylece yeni bir (AED) ok-ulu elemanini ieren sebeke ba~lantilari tesbit edilmis olur. Tablo II 'de en byk ksegen disi eleman 5 olduguna gre. bu adimda 5. merteneden bir mat-ris' ers'i alinmist tir. nc adim: Tablo III'de~ en byk ksegen.di~i eiemau 5

oldugu iin, (AED)

ile (C) ok-ulular.ina iliskin sati-r

ve stun-

larin aralarinda- toplanmasiyle. bu ok-ulularin bi-rlestirilmeleri durumuna iliskin Tablo IV elde edilir. Bu adimda da 5. mertebedeu bir ters alma islemi gerekmektedir. Drdnc adim:-rnek iin son adimdir. Tablo IV'de artik ksegen disi eleman bir tanedir. Bu eleman 7 oldu~undan, bara gerilimlerinin bir referans baraya gre belirien1lle-si nedeniyle bu son adimda 7. mertebeden degii. 6~ mertebeden bir matris 'tersi al~narak bu gerilimler bulunabilirler. SONU: A,B.C,D ve E gibi bes ok-ulu ~lemandan olusan bir sebekede. algoritma ile belirlenen sirada baglama yapilirsa. tersi alinan matrislerin mertebeleri -toplaDU..3

+ 5 + 5 + 6 = N-15..,

=

~9me~tebeden matrislerin ters12Tinin

olacak biimde,- 3..

5 .~. 6e

- 17 -

alinmasi gerekir. Ancak daha nce sylenmis oldugu gibi, teki baglanti dizilerini de gznne almak gerekir. Bu islemler yapilirsa drt farkli ba~iama dizisi iin zmler asagidaki gibi olu~ 1- A ile E birlestirilerek ft 2- C ile E 3- B ile Dil

(3, 5, 5, 6) (3, 5, 5, 6)

4- D ile E

n

(3, 4, 6, 6) (3, 5, 5, 6)

Bu zmlerden (4, 5, 5, 5) ideal zmne en yakin olan (1), (2) ve (4) durumlarindan herhangi biri uygun zm olacaktir. ok-ulularin bu uygun zm veren siralarda ba~lanmasi gerekecektir. Matrislerin terslerinin alinmasinda, kompterde yapilan islem sayisi, n matris boyutu olmak zere, n3; katsayilar matrisinin tutulmasinda bellek ihtiyacinin da n2 ile orantili oldugu gznnde tutularak karsilastirma yapilirsa, Ideal zmde: Islem bellek sayisi P = 43+53+53+53 Q : 42+52+52+52=

= 439=

91

Qygun zmde: Islem sayisi P(1),(2) ve (4) iin bellekUy~un olmayan czmde..:

33+53+53+63 = 493= 95

Q = 32+5~+52+62

(3) iin

Islem sayisi P ~ 33+43+63+63 beLlekQ=

=

523 97be 1 lek ge-

32+42+62+62

=

o larak buiunur.. Rurada... uy-gun zmde is lem reks iniminin. daha a.z. o~dugu grlmektedir.

s ay is i ve

2.4. Dfi~fiMLERDEN PARALAMA-

YOLUYLA

YAPILAN

D1AKOPTlcs'DE

SPARSE

DENKLEM S1STEMLERININ ELDE EDILMES1 Diakoptics ali~malarinin, genellikle~ byk boyutlu sebe-

-

kelerin analizinde ortaya ikan devre denklemlerini, sparse bir denklem sistemi olarak elde etmek amaciyla yapildigina daha nce de~inilmisti. Szkonusu denklem sisteminin sparse matris teknikleri yardimiyla zlmesinin kompter aisindan ekonomi sagladi~i bugn artik bilinmektedir. Bu amala yapilan alismalar son yillarda tekrar gncellik kazanmis olup~ bu alismalar daha ok Chua ve tekiler tarafindan yrtl~ektedir. Bu alismalar genellikle, eleman kaldirmak yoluyle yapilan Diakoptics'tir(l8-20). Chua, eleman kaldirilarak-yapilan Diakoptics'in aslinda genellestirilmis "Karma Analiz Ynteminnden baska bir sey olmadigi-

u~(19) ileri srerek, kaldirilacak el@man12rin tesbitini de~r~

- 18 -

grafi zerinde yapilan bazi topolojik seimlerle gereklestirmektedir. Bu ise sebeke grafi zeriTIde seim yapilirken bir takim zorlamalar getirmektedir. Daha so,nra., gene Chua ve tekilerin nDgm Kaldirma" olarak tanim1a-d1.klari alismada da(21) benzer trden zorlamalarin yapildi~i grlmek'tedir. Anilan bu ali'Smalardan, dgmlerden paralama yntemi ve ~ok-ulu eleman kavraminin btn imkanlariyla kullanilmamasi nedeniyle, sp ar se devre denklemlerinin ancak bir takim topolojik kisiti~ma ve zorlamaiari~ elde edilebilecegi anlasilmaktadir. rnegiu~ i976'da ViTIcentenl1i-Chen ve Chua!nin yaptiklari ortak alisma(21), tezde incelenen d~mle~den paralama ynteminin -5zel bir hai~ olup, bu alisID~da sparse denklemlerin elde edilmesinde _a.nc.ak. devreden bir' takim diigm1.-er ve bu dgmlere bagli elemanla.rin ka.idi~ii.masiylay sebekenin daha kk alt-sebekelere ayrilmasi yolu t.utu~mus tUT. ~U is:e. dgml-eTden paralama ynteminde, verilen sebekeden bir No alt-sebek.esinin kaldirilmasiyla-bu sebekenin al t,-sebe-kelere ~ayrilmasi,ze~l'durumu-

n a karsi dsmektedir. Benzer uygula.malar..Kronyaptikla-ri alismalarda.,

t Un

v:e-

J~r-a:meiler-

f

in

da grlmektedir(39.43).-

Tezin bu b~lmnde, d~mierden paralama yoluyla yapilan Diakopticstde~ sp.a.rse denkl~m s2stemlerinin, yntemin d6~al bir sonucu olarak, hi bir top~~ojik zorlama ve kisi~lamaya gere~ kalmadan elde edilebilecegi gsteriimist~r. D~mler~en yapilan Diakoptics'de, analiz sirasinua ortaya ikan denklemlerin sayisini kltmek amaciyla yapilan'bazi alismalara literatrde rastla~maktadir(56). Ancakt bu yntemle sparse denklem sistemleri elde edilmesi problemi bugne k~dar ele alin1D.amistir. Burada bu -problem ele alinarak zmlenmistir~ Sparse denklem sistemi elde etmek zere~ dgmlerden paralama yntemi kullanildi~i takdirde(S6) alt-sebekelerin matematikselmodelleri elde edilirken yok edilen dal gerili1Illeri:ni-n (i bara gerilimlerinin) simdi analiz sonuna kadaT tutulmasi gerekmektedir. Sparse denklem elde edilmesinde, daha nce yayinlanmis bulunan alismalarla karsilastiTma yapabilmek ve paralelligi saglamak amaciyla. burada da admitans parametreleri kullanilmistir. 2-ulu elemanlar~ akim ve gerilim kaynaklarindan olusan bir CD) alt-sebekesi ok-ulu bir eleman olarak gznne alindi~inda. bu alt-sebekenin matematiksel modelini elde etmek zere bu ok-ulunun kapilariuda~ gerilim kaynaklariyla uyarilmasi gerekecektir. Bu uyarma biimine iliskin devre grafindan yararlanarak yaziiacak olan temel kesitleme ve temel evre denklemleri asag~daki oiimdeoluT:ra.i i

e

U [U

-

i.i

i

Qi Q3 Q,

i*

U ,Qs (

i

id --J

i

- O

I'

_(2.4.1)

Q6 Q2]

-

19

-

vei tT'

r_QT

-Q J. --Q 3 5

T

li

reU

ii

1J

i

v*

l-Qi

-QT 4

-Q T 6

i

--vkv. ..~

= o J

/

(2.4.2)

uyarici gerilim kaynaklarina iliskin graf elemanlari alt-sebekenir (Ti) u-grafini olusturmaktadir. te yandan, alt-sebekeyi olusturan 2-ulu elemanlarin u-denklemleri de,

[::]

=

[~~.

~] [::] + [::1

/~

(2.4.:

biiminde alinabilir. (2.4.1) den, dal akimlari id = -QSik-Q6j bagintisiyla bellidir. Bu ba~intidat nce (2.4.3) u-denklemleri yerine konulup, daha sonra (2.4.2) deki kiris gerilimlerinin ifade s: de kullanilarak gerekli islemler yapildiginda,

Yi vd + y~V ::

-

[Y~

(2.4.L

Q61[;]-[u

Qs] [~:]:

bagintisi;elde edilir. Burada, v = v*, Yi T TY2 = QSYkQ3 ve Y3 = QSYkQi alinmistir.

Yd + Q5YkQ~

t

(2.4.1)

denklemin-

den~ kapilari uy~an-i* = Q3 ik

gerilim kaynaklarina~ Q4 j

iliskin .akimlar, .(2.4.5:

biiminde ifade edilebilir. (2.4.3) den ik = Ykvk + jk bagintisi(2.4.5) de yerine konulup, (2.4.2) den de kiris gerilimlerinin ifadesi gznne alinirsa, ok-ulunun u-akimlari i =i

-i *

i in Y4 v

= Y; vd +

+

[

YS

Q4]

[:]

Q3Jk

(2.4.t

+

bagintisi elde edilir. Burada~ Y4 = Q3 YkQ~ ve YS = Q3 YkQ~ dir.Bylece alt-sebekeye iliskin u-denklemleri, seilen (T) u-grafi iin. (2.4.4) ve (2.4.6) bagintilariyla verilmis olmaktadir.

- 20 Bir CD) sebekesinin oksayida tugu varsayilirsa, her bir alt-seoeke rina iliskin bu u-denklemleri,i i"',

(Di) alt-sebekelerinden olusiin seilen (Ti) u-gr af la.

i

i"

Yi vd + Y2 v-

= ki

i'

.(i

= i. 2,i+ k2.

/ j/"/

.

. .,

DJ

(2.4.7)

ba~in tilario

saglamak zerei =. ( 2 Y.

iT)

ivd

i

~ Y4

i iv

(

.

it

2:t

i:::

n)iliskin

(2.4.8)vektrler

biiminde j'" _o 1 up ~ '

olacaktir... -,

Burada,

kf v k~ kaynaklara

k~ =ve

- [Y~ Qn

(i = i,2~

~1i)

(2.4.9)

[::1,1,

UiQ~J[~;]'~'

i.iQ 3]k '

k~= [Y~ Qt]ifadeleriyle bellidir.

+

ci

o

= , "...

i

2

~

n .i

,

(2.4.10)

[::]zere (Di> lerin birbirleriyle yapilanu-graflarinin birlikte olusturduklari G bag-

(D)

yi

olusturmak

baglant'i biimi, (Ti)

lanti grafi ile bellidir. G ii~de seilecek bir T a~aci bazi (Ti) lerin tmn, bazi (Ti) lerin de b~r parasini iine alacaktir. Buna gre. baglanti grafina iliskin temel kesitleme ve temel evre denklemleri, sirasiyla. '

u

t

QL

,

ri

i

T----U

r

-: - - -I i iD .

.

J i

= o

(1.4.11)

-L_--ve r

,,

Qn

"i

i

iK

-Q1

. T', ii

i IIt i

1 i-Q n i i f J

T

.

i

..a.

VD

=IIVK

O

(2.4t:12)

,

.

biiminde 'yazilabilir.

'Burada.

1i2. ..

21

vk (1+1)..

.1

(1+1) i-k

.

i

Lvi

v(1 + q).

2

1

i

'j. i

(L+Q)ve,

~ - . (i+i

. Xi)

=) i

l+q+l

v

=D

vi

id

. .i ( t+ q) d

,

i

.i

(i+1)i vd

vK

vk = v (l+q+i)

.n

. .Ivn

i

1-(1+v d

q

)1

olarak bellidir. .(l+j)idi

Ayrica(i+j) vd ve

.(t+j)

=

v(i+j) (!+j)

(j-l,2,...q)

. d ir.-,. VCLwr

~ . ..i.1'2 Bu r a~ a 1.,

.(l+j)i

~k.iV~ v

tmylei

1. ,..., giren Ti,T2,...,

1

,v

2

,

...,

n v;." 1 er

(T)

nin

.

iine

..

Ti

agalarina

iliskin akim ve gerilimn v 1er( T)

en,

. i.(1+q+].) ",

.. ,i.n...,

ve v

(l+q+l)

.n in

" ..,

1 d tumuy e isin-

da kalan To+ q +1 :i.. ..

trleridir. teki

akim:

Tn agalarina iliskin akim ve gerilim veky_e gerilim byklk le-ri ise, geri kalan

Ti+i ' T9.+2 ' ..., Ti+~-agalarinin, G grafinda dal ya da kir is ola.rak seilmis elemanlarina iliskindir. Buna gre (2.4.8) bag intilari matrisel olarak.

--- .1yiT

iJ

iyi 4 ii ! ,

--

2

ii -;-.irrj""'"

Ji

~

'-2=

'YL...

:i(n-l)i

L--7i L~_JT',i

1i

1fVd

J

i

.i

kZDv D

--iK

---i (n-i)""4 ! '-- J

1+-

I

(2.4.1~

- - - - - - - ['~-r-~;~ -- - -- ~: -!:n-'t2.1J

J

)

l

-v: - "

j

k2K

;

i

\ ii

i

biiminde yazilabilir.ifadesi (2.4.13) te de yerine

22

VK nin

yandan (2.4.12) ba~intisindan konulursa, bii~ bakimindan

1iD

'ylT

njY~~i

=iK-

.. --L---L - -~ i i '

4-1 t t

1

LJ

r i

v

rd k2D +,i

~.

Tti

inri~_d

- --

- -i'!

-i

1_-

i

(2.4.14)

v.. D

~2KJ

denklem sistemi elde edilir. (2.4.11) bagintisi(2.4.14) nin her iki yani le arpilirsa,,/

gznne a1inirsa:Jmatrisiy-

soldan

(2.4.11) daki katsayilar

i

\."[

/

t:

fk2U QL

JLJI

-r

(2.4.15)

J

i ~

----I

L vDi

J

k2J

i

ii

il

ii ii :,'i .

i

\\

'i ii ii iL

biiminde bir ifade elde edilir. te yandan, (2.4.7) bagintilari (2.4.15) ile birlikte gznne alinirsa~ arailan sparse denklem sistemi. (2.4.16) deki biimde bulunur. Burada Ca): sebekeyi olusturan ok-ulularda, paralama (baglanti) haralari disinda kalan bara sayisini, (b) de G baglanti grafinda alinan bir referans baraya gre, dal gerilimlerinin sayisini gstermektedir. Buna gre, baglanti grafi G de~ N bara varsa b = N-i olacaktir. rilimleri) Bu matriste (a + b) ise. tm sebekedeki olarak beiiidir. dal sayisi (ge-

ii i i\

-I\

!\

\

ii \ i ,!

\

-.23 rti

---:i 1..-

\

;

~l YUi

r

~ n",

\ i-- i.. . ;

r

' Y.,

2

i

,i

1 Y2 .1 ~i i(L2 i 1--1.

i

-1i

v.

i

--i u)

1.1.

; J.

i1 t i

fii

- ~~-i1--- -, n-II V~

QS

6t: -

a! ~ n ; nL~

~ii

i-..n-ll i'Yi.

in

I. ~ - i,,

i

i,

i

:::>

co c

i

ci.

'-- I1

j - -i

, iYii t

i i. .. iii

.,..

ap1

i

i

'T~

'1

is-L

C

-- L --J iy~ri

t- - I i

ii i i

i

i-::----- -vI v2

9"""4

(2.

tO cc .....

i

~-~i

i - ~ \- - - .-t ~. ~[~J i

-

-4. -

-,

i

-

tO C cc

+-

~

~_-i LJ--

:

:

_:1i

Ji

~ b

_I~i

i:~[i+q4'

j

-

a

~

RNEK: D~mierden paralamayla yapilan Diakoptics'de, o taya ikan devre denklemlerinin 5parse bir denklem sistemi olar elde edilmesi, Ref.(56) 5.136, P.4.9.1'de gznne alinan. probl min, ayrit 2.4'de aiklanan yntem yardimiyla yeniden zlmesi aiklanacaktir. r::::J

(DI.).

i A

C::JB

1D

o-

E

c

EO-

(o )o

7~ o

ad

b

di

1

, \2+

7/116c

3+

e

\.1

(c)Sekil-2.2. Sparse rnek. denklem elde edilisini

(d) (;gstermek zere,

- 24 Sekil-2.2(a) da A,B,C,D ve E baralarindan ne biimde paralanaca~i beili olan bir sebeke verilmistir. Yapilan paralama sonunda. Sekil-2.2(b) de grlen (Di), (D2), (D3) ve (D4) ok-u lu elemanlari elde edilmistir. (D3) ve {D4) gerekte 2-ulu elemanlardir). Bu ok-ulu elemanlarin Sekil-2.2(e) deki u-graflara iliskin u-denklemlerinin, ayrit 2.4'de aiklanan yntemle elde ~dilmesinden sonra, bu ok-ulularin Sekil 2.2(d) de verilen bagianti grafi~a gre birlestirilmeleri sonunda sebeke olusturulmustur. Her biT alt sebekeye iliskin Eatemstiksel modellerin biraraya getirilmesiyle, aranilan sparse denklem sis~emi

. ~.10/3 ,5/

?

ri -4/3

ii V4 V3 i i

Ei Ei

5/2 ~~/24 2"

i

,. -2-2 -,.;.. ,-

~i5 -i 4

2~. . .'.-

22/7

-v...,i::. V14!

i-15/: -lE ----J -_o -Ei+j

Ei

- ~

- -

-1- --i

-4

-4'

-4

(2.4.23)

-i= ~4.

4/ ~,itl ~1

-!:-i-~ 3/2

4 i 22/3 -4 i

-55

vI V2

3/2

-4 i -42

57/10 4

~'I;'11

\.

~ J~

-2 1-4

-4 4,

31/5

v -6-

-i

' i~

il;!'

-4olarak elde edilir.

-4 4

21/5

:J

v7

l

j

i ,~ ~.

-: 89 -

Sekil-E.9 (a) da verilen, kademeli ayar transformatr esdegerinde birime indir g enmi s degerler hesaplanirsa, S t ve V t temel degerle-

ri iin, V

tz

= n Volmakti

zere,

1

-1

v

=

Vi V t

1V 2 ti (n+E:)V 1 n V ti

v..., -

----V2V nV

-

=

E: (1 +-) n

VI -= Vt

t .

V 1 -....

t2

oldugu grlr. Bu ise, kademeli ayar transformatrlerinin nominal evirme orani (l:n) ye gre, birime indirgenmis esdegerinin SekilE.lO (a) da oldugu gibi verilebilecegini ifade etmektedir.

yi

i, o Ji

.......

h ~2 ~+

Y~ h~ o--wi-

+Q

zb

+

B(o )

z' b o( b)

ni

o

Sekil-E. io. (a) Kademel i ayar transformatr iin nominal gre birime indirgenmis esdeger ~evre (b) Ayar kademe li transformatrde indirgenmis esde~er devre ikinci

degerlere

defa birime

Sekil-E.lO (a) dan, kademeli ayar transformatar iin, 'nominal degeriere -g6re birime indirgenmis_~egerl~r hesaplanir~a,~elde edilen esde~er devrede sabit oranli transformatrlerde oldugu gibi transform~t6rn btnyle kaybolm~digi grlmektedit.. Sekil-E. lO (b) deki gibi bir devre elde etmek isteniyorsa, ikinci bir birime in= tv olmak zere, dirgeme islemi yapilabilir. Bu asamada v tz ti

st bagintisi

-

i

.

vti

=

i

.

v t2 (b) deki devrede

(E.2.16)

ti

t2

geerlidir.

Sekil-E.LO

. Di.

90

-

Z'

b

=C

z

Zb ) t

-- v ti .t 1.

zb

( .::.. -- - -

i

olup~

burada

(zb)t-

Zb

iin

seilen

temel empedans olusturdugu

degeridi~seDeke_~in,

2-ulu ya da ok-ulu elemanlarin bu elemanlarin aralarindaki baglantilarin a) Dogrudan b) Nominal dogruya~ (Sabit) evirme aranli

transformatr oranl~

zeri~den, transfor

c) Naminal olmayan (Degisken) matrleri zerinden

evirme

ayar

yapilmis olmalari durumlarinda birime indirgenmis degerlerle verilen esdeger devreleri, 2-ulu elemanlar iin Sekil-~.ll de top} olarak verilmistir. Benzer bir sekil ok-ulu elemanlar iin de verilebilir.

.:": [3JiVT Z2.

1 V -1 - ::+

Z1i

-

Z2

(a)

i

z1

+

+

LZ2{b}

Z1 -':' Z2 5Ji~iG]

Z 1Sekil-E.ll.

Z 2(a) Dogrudan(b )

Z

1

Z

2

, Z1

l' y'...

rZ2

i

{C }

dogruya

baglanmis

2-ulu

devreler, zerinden bag .-

Sabit evirme lanmis 2-ulu devreler.

oranl~ transformatr devreler,

(c)

Ayar transformatr zerinden saglanmis 2-ulu

- 91 -

R E F E RAN

S LAR

. f f

(1) Spiiiers,W.R.: On Diakoptics: Tearing an Arbicrary Quart.App1.Math., 23, 2, (1965), 188-190.

System,

i i i i li it i

i

~-

(2) Spi11ers,w;R., Asce~M.: Techniques for Analysis of Large Structures, Journal of the Structura1 Division ASCA, ST ii, (1968), 1521-1534. (3) Rose,D.J., willoughby,R.A.: App1ications, 1. Baski~New (4) Tewarson,R.P.: Press, 1973. Sparse Sparse Matrices and Their York, Plenum Press, 1972. 1. Baski, New York, Academic

i

ff

~ ii i i ,i

~

Matrices,

(5) Himmelblau,D.M.: Decomposition of Large-Scale Problem s , Amsterdam~ North-Ho11and Publishing Co., 1973.i

(6) Reid,J.R.: Large Sparse Academic Press, 1971.

Sets

of Linear

Equations,

London,

i i i i i i

(7) Baumann,R.: Same ~ew Aspects on Load-f1ow Calcula~ion: 1Impedance Ma~rix Generation Contro11ed by Network Topology, IEEE Trans. Power App. and Syst. PAS-8S, ll, (1966), 1164 1176. (8) Hachte1,G.D., Brayton;R.K., Tableau Approach to Netyoi r an s. C i re ui t T li e o r y CT.

~:.: i

~ustavson,F.G.: The Sparse '~~lysis and Design, IEEE '1971), 101-113.

i

(9) Fugisawa,T., Kuh,E.S., Ohtsuki,T.: A Sparse Matrix Method for Analysis of Piecewise-Linear Resistive Networks,IE[E Trans. Circuit Theor7~ CT-19, 6, (1972), 571-584.(ID)

Erisman,A.M., .in t.Jl.e SparseIEEE Trans.

Spies,.G.E.: Exploiting Proble'm Ch:ar:acteristics Matrix App ro ach to Fre que ney Domain Analysis,CT.19, 3, (1972):t-.L:.60.-264.-

'Circ.uit'~Theory,

(ll) Weeks,W~T., Jimenez,A.J., Mahoney,G.W., Mehta,D., Qassemzadeh,H., Seott,T.R.: Algorit:hmS'for ASTAP-A Ke:.cwork Analysis Program. IEEE Trans. Circuit Theory, CT-20, 6, (1973), is28 -: 634.(12) Wing,O.: Sparse Matrix Techniques in Cireuit Ana1ysis. Proceeding of the Fifth. IRANIAN Conferenee on Electrical Engineering 2; (1975 Shiraz), 1516-1531.'

,(13) Kosturi,R.. Potti,M.S.N.: Piecewise Newton -Raphson Load Flow- An Exac.t method Using Ordered Elimination, IEEE Trans. Power App. and Syst. PAS-9S, 4, (1976), 1244-1252.i

'i "

i . i i t i t i

- 92 -

(14) A1varado.F.L., Reitan,D.K., Bahari-Kashani,M.: Sparsity Diakoptic Algorithms~ IEEE Trans. Power App. and Syst., 96, 5, (1977), 1450-1459.

in PAS-

(15) Broussolle,F.: State Estimation in Power Systems: Detecting Bad Data Through the Sparse lnverse Matrix Method, IEEE Trans. Power App. and Syst. PAS-97, 3,(1978), 678-682.

(16) Fong,J., Pottle,C.: Parallel Processing of Power System Analysis Prob1ems Via Simple Parallel Microcomputer Structure, IEEE Trans. Power App. and Syst., PAS-97, 5, (1978), 1834 1841.(17) Director,S.W., Su11ivan,R.L.: A Tableau Approach to POwer System Analysis and Design, Circuit Theory and Applications, 7, (1979), 277-288.

(18) Wu,F.F.: Diakoptic Network Analysis, Power Indust~y Computer App1ication Canierence (1975), New Or1eans, Louisiana. (19) Chua,L.O., Chen,L.K.: Diakoptie and Genera1ized Hybrid Ana1ysis, IEEE Trans. Circuits 5yst., CAS-23, 12 (1976) 694-705. (20) Wu,F.F.: Trans. Solution o~ Large-Seale Networks by Tearing, IEEE Cir~uits,Syst. CAS - 23, 12 (1976). 706-713.

(21) Vincentelli,A.L.S., Chen,L.K., Chua,L.O.: Node-Ieariuc Yodal Analysis, University of Caliiornia, ~erkeley, Electronics Research LaboTatoTY~ Memorandum No. ERL-M 582, (1976). (22) Du1mage,A.L.,Ha r i c e s, Ma t h.

Meudelsohn,N.S::C o m p -, 1 6.C

On the Inversion of Sparse.4 944 9 6.

1 9 6 2 ),

(23) Bunch,J.R., Rose,D.J.: Partitioning, Tearing and Modification of Sparse Linear Systems, Journal of Math. Analysis andApp., 48. CL 974), 574- 593.

(24) Baskins,L.,E 1 im in a t io n

Rose,D.J.:D i gT a1> h s,

Towar CharacterizationS 1 AM J. C o mp u t ., 2, 4,

of Perfect2 1 7 - 2 24 .

( 1 9 7 3),

(25) Cheung,L.K., Kuh,E.S.: The Bordered Triangular Matrix and Minumum Essential Sets of a Digraph~ IEEE Trans. Circuits and Syst. 21, 5, (1974), 633-639. (26) Ho,C.W., Ruehli,A.E., Brennan,A.P.: The Modified Nodal Approach to Network Analysis~ IEEE Trans. Circuits Syst., CAS-22, 6, (1976), 504-509. (27) Vincentel1i,A.L.S.: A Note on ~ipartite Graphs and Pivot Selection in Sparse Matrices, IEEE Trans. Circuits Syst., CAS-23, 12, (1976), 817-821.

-

93 -

(28) Vincentelli.A.L.S.: A Graph Theoretical Interpretation of Nonsymmetric Permutation on Sparse M&trices~ Circuit Theory

and Applications. 5, (1977), 139-147.

.

:29) Vincentelli,A.L.S., Bickart,T.A.: On The Reduction of a Matrix into an Optimal Bordered Triangular Form, IEEE Symp. (1978)~ 76-80.

30) Petrenko~A.L.: A Uniform Approach to Computer Aided Analysis of Large Scale Electronic Networks and Their Subnetworks, ECCTD '78 Proceeding Lausanne, Switzerland l~ (1978)~ 587 591.:31) Vince~telli~A.L.S.. Bickart.T.A.: Bipartite Graphs Optimal Bordered Triangular Form of a Matrix, IEEEC ir c u i t s S Y st.. CA S - 26, 1 O , ( i 9 7 9), 8 80890.

and an Trans.

32) Brameller,A., Allan,R.N., Hamam~Y.M.: Spar~ityi New York, Pitman Pub1ishing Co. 1976.

1. Baski,

33) Vincentelli.A.L.S., Chen,L.K., Chua,L.O.: Three Decomposition - Based Solution Method for Solving a Large System of Linear Equations~ IEn, 1978 Smp. 34) Hajj,I.N.: Sparsity Considerations in Networks and Systems, IEEE Trans. Circuits Syst., CAS-27. 5~ (1980),351 - 367.-

.

35} Kron,G.: A Method of Solving Very Large Physi~al Easy Stages Proceedings of the I-R-E. 42~(1954).

Systems in 680-686.

36) Branin,F.H.: Kron's ~ethod ~f Tearing and its Applications, IBM Technical Note. 11, (1958), 1-75. 37) B~anin,F.R.: The Relation Between Kron's M~thod and the Classical Methods of Network Analysis, IBH Technical Publication 29, (1959), 1-29.38) Branin,F.H.: Ma~h.ine Analys.is of Net.works, IliM Techuical Note, 7, (1961), 1-39.

39) Kron,G.: Diakoprics; The PiecewiseSolutiou of Large-Scale Systems, 1. Bask~. London, Macdonald, 1963. 40) Happ)H.H.: Z Diacoptics-Toru Subdivisions Radially Attached. IEEE Trans. Power App. and Syst. PAS-86~ 6 (1961), 751-769. 41) Brown.H,E., Carter,G.K.. Happ,R.H., P~rsQn.C.E.: i-Matrix Algorithms in Load-Flow Programs, lEE! Trans. Power App, and Syst., PAS-87, 3, (1968), 807-814.

- 94 -

(42) Andretieh,R.G., Brown,H.E., Bapp.H.H., Person,G.E.: The Preeewise Solution of the Impedenee Matrix Load-Flow, IEEE Trans. Power AP1>- and Syst., PAS-87, 10, (1968), 1877-1882. (43) Brameiier,A., John,M.N., for Eleetrical Networks, 1959.(44)

Scott,M.R.: Practical Diakoptics 1. Baski, LOTIdon, Chapman Hall Ltd

Happ,H.H. :'Diakop1:icsApp. and Syst., 89, 7~

and Piecewise(1970),

Methods, IEEE Trans. Powe

1373-1382.

(45) Andretich~R.G., Hansen,D.H., Brown,H.E., Happ,H.H.: Piecewise Load-Flow Solu~ions of Very Large Size Networks, IEEE Trans. Circuit Syst., CAS-90, 3, (1971), 950-961. (46) Happ,H.H., Young,e.C.: Tearing Algorithms for Large-Scale Network Programs. IEEE Trans. PoweT App. and Syst., PAS-90,6, (1 971), 2639- 2649.

(47) Happ,H.H.: Diakoptics and Networks,I. Aeademie Press, 1971.(48) Happ,H.H.:T :r--ans. -~.

Baski, New York,IEEE.

Mutti-Level~.

TearingS y st.

and Applications,(1 9 7 3 ),

o ~

Ap p.

an d

PAS - 9 2,

7 2 5- 73 3

(49) Happ,H.H.: Gabriel Kron and Systems York, Union College Press, 1973.

Theory,

1. Baski,

New

(50) Happ,H.R.: Diakoptics-The Solution of System Problems by Tearing, Proceedings of the IEEE, 62, 7, (1974) 930-940. (51) Carre,B.A.: Solution of Load-Flo~ Problems Systems Into Trees, IEEE Trans. Power App. 87, ii, (1968, 1931-1937. by Partitioning and Syst. PAS-

(52) Schmili,J.V.: New Scbeme Applicable to Network Ana1ysis Studies Diakoptics and Other Fields, IEEE Trans. Power App. and Syst. PAS-86, ii, (1967), 1437-1448. (53) Wing,O.: On Kron's Method for Multiterminal Element Network IEEE. Trans. Circuit Theory, CT-20, 12, (1973), 175-177.( 54) Guar d aba s s i

, G .,

Vi n c e n tel

i i

, A . L . S.: A Two-L e ve iCAS 2 3,

for Tea r i n g, 783-791. (55) Chandrashekat,M.,

i EEE Tran s.

Ci r c u i t s SYst.

-

s A i go r i t h m

i 2,

(1 976 ) ,

Kesevan,R.K.: GTapb-Theoretic State Model for ~he Piecewise.Analysis of Large-Scale Electrical Networks, 'Circuit Tbeory and Applications, 5, (1977), 23-34.

- 95- -

56)

Tokad~Y.: Devre Analizi Dersleri, KiSLm II, Istanbul, Mh. v~ Him. Fakltesi Yayinlari 120, 1977.

1.T..

57) Tinney,W.F., Wa1ker,J.W.: Direct Solutions of Sparse Network Equations by OptimEllY Ordered Triangular Factoriz4tion,

Proceed ing of IEEE 55,58)

ll,

( i 96 7 ),

i 8o 1-18 o 9 .

'

Ogbuobiri,E.C.,

Tinney,W.f., Walker,J.W.:Elimination PAS - 89, 1,for TearingS Y st.., CA

Sparsity-Directed

Decomposition for Gaussian Trans. Power Ap p. an cl SYst.59)

on Matrices, lEEE ( i 9 7 o ), i 4 1 -1 S o . An EfficientLarge-ScaleS - 2 4,

Vincenteiii,A.L.S.,Heuristicwo r k s,

Chen,L.K.,Algorithm.

Chua,L.O.:

ClusterII EE Tran s

Net(i 9 7 7 ) ,

C i r c u i t s

12 ,

709-717. 60) Irisarri,G., Sasson,A.M.,

Algorithm for Sparse p o we r Ap p. an cl SYst.61)

Hodges,S.Y.: An Optimal Drdering Matr ix Appl ic.ations, IEEE Trans. PAS - 9 7, 6, ( 1 9 7 8 ), 22 5 3 - 226 i .

EL-Abiad,A.H.:ca t i o n o f. S c lut

Algrithmsio n(TDver

for Directt e cl )

Mutual Conf.; 62)

Impedances, IEEE Proc. Phoenix, Ariz., (1963),

Computation and ModifiMatrices 6f Networks Ineluding Power Ind. Computer Appl. 150-166. in Power System

Stagg,G.W., EI-Abiad,A.H.: Analysis, London, Mc Graw

Computer Methods Hill, 1968.

63) Reitan,D.K., Kruempel,K.C.: Modification of the Bus Impedanc.e M.a.trix.for System Changes Invslving Mutual Coupling, P-rnc.ee.din:gs~ the LEEE, (A.ugust 1969).,1432-1433. o 64) Storry,J.O., 77. Brown,H.E.: An Improved Method of Inearparating

Hu.:t:ual Co;uplings in S.ingle.-PhaseShort:-Circuit Ca1c.ulation-s, IE.R.E Trans. Power A:pp. and Sys.t., PAS-89, 1, (1970), 71

-

65)

Simulaten.ous Solution of Line-Out and Open-End Circ.uLts, lEEE Trans. Power App. and Lin.e.-to-Gi:ound Sho-rt S y st. y PAS 89, 6, ( 19 7 O), 122 0-12 25 Ta.sri~D---C.-:.

-

.

66)

Dy Liacc.a,T_K_,an d SY st. PAS

Ramarao,K.A.:

Short-Circuit1226

Calculations

for

Multiiine Switc.hing and En~ Faults, IEEE Trans. Power App.

- 89,

6,

( 19 7 O),

- 1 23 7 .

67)

Retian,D.K.: A Ciarification on Bus-Cut Diakoptics, ings of the IEEE~ January (1973), 127-129.

Proceed-

68) Reitan,D.K.: A New Method Us ing The ~us-Impedance Model fo~ Short-Circ~it Cal cu la tion B, Proceedings IE EE 6 8, 8 , ( 19 8 O), 1 O2 7- i o 3 o .

Matrix of the

- 96-

(69) Statt,B., Tarkan,D.: Elektrik Enerji Sebekeleri zmlerinde Modern M~todlar, Ankara, O.D.T.. Mh. Fak1tesi~Yayin No: 24, 1969. (70) Knigbt,U.G.: Power Systems Engineering Baski, Oxford, Pergamon Press, 1974. and Mathematics, II.

(71) Brown,H.: Solution or Large Networks by Matrix Baski New Yotk, John Wiley-Sons, Ine., 1975.

Methods,

1.

(72) Stevenson,W.D.: Elements of POwer System Ana1ysis, Tokyo, Mc Graw-Hill Kogakusha, Ltd., 1975. (73) Chandrasekaran,A.: Ineorporating the Mutua1Coupling Bus Impedance Matrix of Power Networks, IEEE Proe. (1976) 618-620. (74) E1gerd,O.I.: E1ectric New York, McGraw-Ril1 Energy Systems ~heory~ Eook Company (1971).

3. Baski,

in the ISCAS

An Introductioi

(75) Chen,M.S., Obba,Y., Reynolds,L., Dickson,W.~.: Losses in Eleetrical Power Systems, E1ectric Power Systems Research, 1, I, (1977), 9-19.

(76) Shoults,R.R., Grady,W.M.,He1mick,S.: An Efficient Metnod for Computing Formula Cofficients ~a8ed Upon the Method ofL e as t S q uar e s, iE E E Tr an s. P o TNe r App.:

and

Sy st.,

PAS

- 9 6,

3,

(1979)

841-854.

(77) Kron,G.: Tensorial Analysis of Integrated Transmission Systems, Part l. The Six Basic Reference Frames AIEE Trans. 70, (1951); 1239-1248. (78) Kron,G.: Tensorial Analysis of Integrated Transmission Systems, Part TV: The Interconnection of Transmission System AIEE Trans., 72, Part III, (1953), 827-838.(79) .Tokad,Y.: Foundations of Passive Electrical Network Synthes is; Vol.I, Ankara, M.E.T.U. Faculty of Engineering pup1icat i o n, Yay in No 4 1, 1 9 72. :"-

(80) Koenig,H.E., Tokad,Y., Kesavan,R.K.: Analysis of Diserete Physical Systems, New York, McGraw-Ri1i Book Company, (1967

(81) Kirchmayer,L.K.: Economic Operation of Power Systems, New York, John Wiley Sons, Ine., 1958.(82) George,E.E.: 62, (1943), Intrasystem 153-158. Transmission Losses,AIEE Trans.,

- 97-

(83) Ward,J.B., Eaton,J.R., Hale,H.W.: Total and Incremental Losses in Power Transmission Networks, AIEE Trans., 69, (1950), 626-632. (84) Kirchmayer,L.K.,t alL o s s e s in Tr

Stagg,G.W.:an s mi s s io n

AnalysisS y s t e i!l 1 s

of TotalT ran s')

and Incremen7O"

A iE E

(1 9 5 1 ) ,

i197-1205. (85) Glimn~A.F.,For IDula s Ma

Habermann,R.,d e E a sy ~ A iE E

Kirchmayer,L.K.,Tr a n s. 7 2, Par t

Stagg,G.W.:i i I, (1 9 5 3 ),

Loss7 3 O-

735.

(86) Early,E.D., Watson,R.E.: A New Method of Determining Constants for the General Transmission Lass Equation)AIEET ran s ., 74, Par t i i I, ( 1956 ), 14 1 7 - i 42 i .

(87) Kirchmayer,L.K., Happ,H.H., Stagg,G.W., Hohenstein,J.F.: Direct Calculation of Transmission Loss Formula-I) AIEE Trans. Part III, Power App. and Syst. 79, (1960), 962-969. (88) Despotovic,S.T.: A Quick Method for Developing Lass F~rmula, AIEE Trans. Part III, Power App. (1960), 707-711. a Transmission and Syst., 79,

(89) Happ,R.H.: Analysis of Networks With Complex Autotransformers I-The Driving Point and Transfer Impedance Matrix, lEEE Transp o we r Ap p. an d S y st. PAS- 8 2,

(1 96 3 ),

75- 81

.

(90) Happ,R.H.: Aualysis of Networks wi~h Complex Autotransformers II-Relations Between All -Open- Path and Open-Path-ClosedPath Impedance Matrices, IEEE Trans. Power App. and Syst. PAS-82, (1963), 958 - 965. (91) Biii,A.F.~ Stevenson,R.D.: A New Method of Determining Lass Caefficients,lEEE Trans. Power App. and Syst., PA?-87, 7 (1968), 1548-1553. (92) Kron~G.: Tensoria1 Analysis of Integrated Transmission Systems Part II. Off-Nominal Turn Ratios,AIEE Trans., 71, Part III, (1952) 505-512.(93) George,E.E.. Page,H.W., Ward,J.B.: Co-ordination Ca st and Transmission Lass by Use of the Network Determine Plant Loading Sc he dul es , AlE E Trans., 1152-1163. of Fue1 Ana1yzer to 48, (1949),

(94) Kirchmayer,L.K.,

Stagg,G.W.: Evaluation of Methods of Co

-

ordinaring Incremental Fue1 Co st and Incremental Transmission Losses, AlE E Trans., 71, Part III, (1952), 513-521.

(95) Imburgia,C.A., Kirchmayer,L.K., Stagg,G.W.: A Transmission Lass Penalty Factor Computer, AIEE Trans., 73, Part III-A, (1954), 567-570.

-~9"8:':

(96) Kron,G.: Tensorial Analys~s of Integrated Transmission Systems. Part III: The Hprimitive" DivisionttATKE ir.ans

71..'

Part III., (1952), 814-822.

(97) Giimn,A.F.. Kirc.hmayer,L.:K.. Stagg,.G.W.:-Ana-iy~is of Losses in Interc.onnec.ted Systems, AIEE _Trans., 71'~Part III... ' (1952), 796-808.(98)

Glimn,A.F., Kirchmayer,L.K.,in Loop-Interc.onnected( i 9 5 3). 944 -,9 S 3.-

Stagg,G.W.: Analysis of Losses-AIEE Trans. 72, ~art III,

Systems,

(99) Happ,H.H., Undril,J~M.: Mu.lticomputer Configurations' and Diakoptics: Real Power Flow in Power Pools, TEEE "Trans. Power App. and Syst., PAS-BB, 6, (1969), 789-796.(100)

Brit:ton.J.P.: Improved Ar.eaMethod Load-Flows, IEEE

Interc1iange Control .for Newton'sPower App. and Syst., PAS-8B,'

Trans.

io , (i969),15 77-15 79.(101) Happ,H.H.: Multicomputer Configurations and Diakop-tics= Dispatch of Real Po_er in Power Pools,IEEE Trans- Power and Syst. PAS-B8, 5, (1969)" 764-772.Hap p . H~. H.: T lie i n ter are a. Ha t r i x: A T ie L in e F 1 ovMo d elf

App.

( 1 02)

crr

Power Pools, lEEE (1971), 36-45.

Trans.

Power

App.

and Syst.

PAS-gO,

i~

(103) Aldrich,J.F., Happ,H.H., L~uer~J.F.: Multi-Area Dicpatcli~ lEEE Trans. Power App. and Syst., PAS-90, 6, (1971). 2661 2670.(104) and Control of Large Interccnnecterl Power Sys teinsr IEKE Trans. Circu it Theo ry" CT-20, 3, ~(i97 3) , 212-222. Happ,H.B.: The Operation

(105) Happ~H.H.: Power Pools and Supergools] IEEE Spectrum 1973). 54-61.(106)(107)

(March

Happ"H.H.~

Optimal

Power

Dispach-A

Compreliensive

Survey,

IEEE Trans. Power App. and Syst. PA.S-96 , 3,IEEE

(1977).,

841-854.

Hockman,Toolston,Harker: La.ss Formila Dete.rmination by ct. Nev Method. Trans Power App. and Syst:.PAS-BO, (1961) 1>1090-1101.

(108) Dimo,P.: Nodol Analysis of Power Systems, Tunbridge ~ells. Kent (England), Abocus Press~ (1975). (109) Hohn.F.E.: Elementary Matrix Algebra, Prentice-Hall, (1961).

(110) Kaypmaz.A.: Elektrik Enerji Sistemlerinde Iletim KayiplArinin Formle Edilmesine Yeni Bir Bakl.s. TBITAK VII. Bili-m Kongresinde teblig edilmistir, KusadasLs Ekim (1980).

TE

S E K K O R

Bu tezi n hazirlanmasinda, degerli olany fikir ve nerileri kiymetli

byk

yardimlarinL

grdgm~ destek Iokad'a

ile tezin hocam,

her asamasinda

iyi insan,

Sayin

Prof. Dr. Yilmaz

tesekkliril bir bor bilirim.

Ayrica yardimci olan

tezimin de~erii ederim.

hazirlanmasi arkadasim.

sresince Sayin

bana

her konuda Akakaya'

Do.Dr.Ergfii

ya da tesekkr

Teze kin kr ilgisini ederim.

baslamam

iin beni

tesvik

eden

ve daha

sonra

yatesek-

gBrdUgfim, hocam

Prof.Dr~Kemal

Sario~lu'na

te yandan manevi

tezimin

hazirlanmasinda esime

bana

yar~1mci ederim.

olan,

g ve destek

sa~layan

de tesekkr

o Z

GE

C M

1 S

Adnan ta V~ lise

Kaypmaz

1944 yilinda Erzincan'da girdi. oldu. 1972

Erzincan'da tamamladi. Subatinda

dogdu. 1965'de

tlk,

or-

grenimini

1.T.U. Kuvvet-

Elektrik Li Akim

Fakltesine Kolundan

Fakltenin nce,

mezun Fakltesi alisan

Mezuniyetten

bir sre, Yardimci 1.T.V.Mh. Krssneo i an

t.T.U.Elektrik Asistan olarak

Elektroteknik Kaypmaz, Elektrik1 ik

Krssnde 1972 yilinda

Adnan

Him.Fakltesia s i s tan o i a r ~ k

Elektrikgir d i.

Blm,H a i en

Tesislerigr e v i

a s i s tan

s {;rm e k t e

Adnan

Kaypmaz

evli ve iki ocuk

babasidir.