Adaptation de maillage
description
Transcript of Adaptation de maillage
-
6
Adaptation de maillage
Lhomme raisonnable sadapte au monde ;
lhomme draisonnable sobstine essayer dadapter le
monde lui-mme.
Tout progrs dpend donc de lhomme draisonnable.
(G. B. Shaw)
Rsum. Ayant mis en vidence au chapitre prcdent la ncessit, faibles nombres
donde, de procder une adaptation de maillage de manire satisfaire une erreur
prescrite, nous sommes confronts au choix de la mthode et des outils.
On distingue essentiellement trois mthodes dadaptation de maillage : la r-adaptation
(relocalisation des noeuds), la p-adaptation (augmentation du degr des fonctions de
forme) et la h-adaptation (modification de la taille lmentaire). Dans ce chapitre, nous
nous restreignons cette dernire mthode.
Disposant de lerreur estime, il convient maintenant dtablir un lien avec les tailles
lmentaires du maillage qui permet de satisfaire une erreur prescrite. Nous dmontrons
dans ce chapitre que ce maillage optimal quidistribue lerreur absolue lmentaire. Donc,
moyennant lhypothse de convergence asymptotique, nous dfinissons un indice de
raffinement par le rapport de la taille initiale la taille optimale. Si cet indice est suprieur un, il y a lieu de raffiner, et inversement.
Ensuite, il faut bien convenir que les logiciels commerciaux disposant de gnrateurs
automatiques de maillages ne permettent pas encore aisment de prescrire une taille
lmentaire en une distribution de points (par exemple, le centre de gravit des lments
du maillage initial). Nous avons alors dvelopp les mthodes de m-raffinement
permettant, pour des maillages mixtes dlments plans cts rectilignes, de procder au
raffinement du maillage initial.
Ce chapitre se termine par lanalyse adaptative du compartiment passager dun vhicule
automobile.
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 116
6.1 Mthodes dadaptation de maillage
Les analyses lments finis erreur contrle requirent essentiellement quatre outils : un code lments
finis (ici, SYSNOISE), une estimation de la distribution de lerreur (voir chapitre 5), la connaissance du
comportement asymptotique de la solution lments finis et des mthodes dadaptation de maillage. Ce
chapitre dveloppe les deux derniers points.
Lintroduction (paragraphe 1.4) a rappel que lon distingue dans la littrature les mthodes de r-
adaptation, p-adaptation et de h-adaptation ainsi que les combinaisons de celles-ci, principalement la hp-
adaptation.
1) la r-adaptation opre uniquement par relocalisation des noeuds et, employe seule, ne
permet pratiquement jamais dobtenir le rsultat escompt. Elle nest intressante que
couple une h-adaptation car elle permet un lissage du maillage sur un critre de
prcision et non de gomtrie des lments. Nous ne laborderons plus dans le cadre
de ce travail,
2) la p-adaptation consiste enrichir le degr des fonctions dinterpolation.
Lestimation derreur a priori (3.77) montre la supriorit de cette mthode par
rapport la h-adaptation. Toutefois, ne disposant pas dun logiciel dlments finis
de degr suprieur 2, nos tests se borneront comparer les lments linaires (p=1)
et quadratiques (p=2),
3) la h-adaptation travaille par modification de la taille des lments. Cette modification
peut se faire avec rgnration complte du maillage ou par raffinement du maillage
initial. Les logiciels de CAO disposent en gnral de gnrateur automatique de
maillage autorisant les raffinements locaux [SDR96, DAS97], malheureusement nous
nen connaissons aucun qui autorise lintroduction dun critre de raffinement
utilisateur par exemple sous la forme dune carte de taille lmentaire prescrite.
Nous avons donc dvelopp nos propres outils de raffinement de maillage 2D (mais
les techniques stendent 3D) permettant lautomatisation complte du cycle
adaptatif dcrit en figure 1.4.
De mme, on peut envisager plusieurs faons de spcifier lerreur atteindre : erreur absolue lmentaire,
erreur relative lmentaire, ... [ZHO91]. Nous nous limiterons ici envisager, sans perte de gnralit, le
cas o lerreur relative globale en semi-norme H1 est prescrite et la notons .
6.2 Comportement asymptotique des solutions lments finis
Nous avons rappel au chapitre 3 les relations caractrisant lerreur relative globale en semi-norme H1.
On a (3.77)
C1 + C2 2 (6.1)
o
= h
p p
(6.2)
Si lon sintresse au comportement asymptotique (h 0), il vient, galement pour lerreur absolue,
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 117
p -ph 1, C (p , ) h p (6.3)
qui montre que lerreur globale absolue en semi-norme H1 est domine asymptotiquement par lerreur
dapproximation. Les critres dadaptation de maillages sont tablis ci-dessous en supposant que la
solution lments finis a atteint son comportement asymptotique cest--dire en labsence de pollution.
Ladaptativit que nous illustrons ne peut donc pas contrler la pollution car nos estimateurs derreur ne
sont pas fiables dans ce cas (paragraphe 5.5) et parce que nos prdictions de maillage optimal nen
tiennent pas compte.
La relation (6.3) dfinit le taux de convergence asymptotique global. Au niveau lmentaire, en labsence
de pollution due une singularit gomtrique ou physique (annexe 9.3), le taux de convergence est
toujours plus lev. En effet, supposons que l'ordre de convergence de l'erreur absolue lmentaire soit pi
p - ph 1, h pi (6.4)
Lerreur globale converge alors comme
p - ph 1, 2
= p - ph 1, 2
Th
( ) hpi ( ) 2 Th
#Th 2 h 2pi (6.5)
o
2 = max
2 ( )
et h = max
h ( )
(6.6)
Pour aller plus loin, il faut exprimer le nombre d'lments #Th en fonction de la taille des lments mais
ceci dpend de la dimension de l'espace de travail.
Cas unidimensionnel
Pour les grilles unidimensionnelles, le nombre dlments est proportionnel au rapport (L/h) o L est la
longueur totale. Par comparaison des relations (6.3) et (6.5), on en dduit le taux de convergence de p - ph 1,
2p = 2pi - 1 pi = p + 1
2 (6.7)
Cas bidimensionnel
Pour les grilles bidimensionnelles, le nombre dlments est proportionnel au rapport (S/h2) o S est la
surface totale. Par comparaison des relations (6.3) et (6.5), on en dduit le taux de convergence de p - ph 1,
2p = 2pi - 2 pi = p + 1 (6.8)
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 118
Cas tridimensionnel
Pour les grilles tridimensionnelles, le nombre dlments est proportionnel au rapport (V/h3) o V est le
volume total. Par comparaison des relations (6.3) et (6.5), on en dduit le taux de convergence de p - ph 1,
2p = 2pi - 3 pi = p + 3
2 (6.9)
6.3 h-adaptation
6.3.1 Dfinition du maillage optimal
Le maillage optimal est celui qui ralise la prcision prescrite par lutilisateur moindre cot. Le cot
dune analyse lments finis est une fonction polynomiale du nombre de degrs de libert, cest donc ce
dernier ou, ce qui revient au mme, le nombre de noeuds, quil faut minimiser. Malheureusement, les
normes derreur sont dfinies par des intgrales, il nest donc pas possible dexploiter cette dfinition et il
est alors couramment admis que le maillage optimal est celui qui ralise lerreur prescrite pour un nombre
minimal dlments [LI95/1, LI95/2, PEL93].
Il est possible de dmontrer par cette dfinition que le maillage optimal est celui qui quidistribue lerreur
absolue lmentaire (paragraphe 6.3.2, dmonstration restreinte aux solutions rgulires), ce qui nest pas
vident a priori. Une gnralisation de cette dmonstration se trouve dans [PEL93] et montre que cest le
produit p p - ph 1, ' qui doit tre quidistribu dans le cas de maillages p variable, y compris en
prsence de singularits.
Notons enfin que ce paragraphe tablit les relations ncessaires la h-adaptation pour les erreurs exactes.
Non disponibles en pratique, elles seront remplaces par les erreurs estimes.
6.3.2. Lien entre maillage optimal et distribution derreur
On considre le maillage initial Th et le maillage adapt Th. Lerreur relative globale en semi-norme H1
du maillage adapt vaut par dfinition (3.26)
' = p - ph 1, '
p 1, ' (6.10)
Le maillage adapt doit satisfaire
' (6.11)
Par dfinition, le maillage adapt optimal sera donc solution du problme
Minimiser #T'h ( p - ph 1, ' )
avec la condition p - ph 1, '2
' T'h
- 2 p 1, '2
= 0
(6.12)
Pour rsoudre ce problme, il faut exprimer les grandeurs du maillage adapt, notes avec lindice ', en
fonction de celles du maillage initial. Pour les dterminer, nous supposons que les maillages et les
raffinements sont rguliers. Bien sr, ceci introduit une approximation gnralement admise lorsque nous
exploiterons ces rsultats dans le cas de maillages irrguliers, ce que confirment nos tests numriques.
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 119
Cas bidimensionnel
Pour un lment parent raffin uniformment, le nombre dlments enfants dans le cas bidimensionnel est gal au rapport (figure 6.1)
# ' = h ( )
h ( ' )
2
(6.13)
figure 6.1. Nombre dlments enfants dun raffinement uniforme
Le nombre total dlments du maillage adapt est alors gal
#T'h = h( )
h( ' )
2
Th (6.14)
lindice de sommation tenant compte du fait que ' . En exploitant lordre de convergence asymptotique pour lerreur lmentaire (6.4) et le rsultat (6.8), on peut donc crire, respectivement pour
les maillages initial et adapt,
p - ph 1, = C h
p+1 ( ) (6.15)
p - ph 1, ' = C' h
p+1 ( ' ) (6.16)
Dans le cadre de cette dmonstration, nous supposons la raffinement uniforme au sein de chaque lment.
Les erreur absolues p - ph 1, et p - p
h 1, ' prennent place sur la mme droite de convergence en
zone asymptotique (en diagramme log-log) et les constantes sont donc gales
C = C' (6.17)
En combinant (6.15) et (6.16), il vient avec (6.17),
h( ' ) = p - ph 1, '
2
p - ph 1, 2
1 p+1
h( )
(6.18)
La condition du problme (6.12) peut alors tre exprime en fonction des donnes du maillage initial. En
effet,
p - ph 1, '2
' T'h
- 2 p 1, ' = 0
(6.19)
peut tre rcrite par un raisonnement analogue celui qui a donn (6.14), toujours en supposant un
raffinement uniforme,
p - ph 1, '2
h( )
h( ' )
2
Th
- 2 p 1, ' = 0
(6.20)
soit, en tenant compte de (6.18)
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 120
p - ph 1, '2
p - ph 1,
2
p - ph 1, '2
2p+1
Th
- 2 p 1, ' = 0
(6.21)
Le problme (6.12) peut tre formul comme un problme de minimum libre en introduisant une
fonctionnelle F et la condition par paramtre de Lagrange
F( p - ph 1, '2
, ) = p - ph 1,
2
p - ph 1, '2
2p+1
Th
+ p - ph 1, '2
p - ph 1,
2
p - ph 1, '2
2p+1
Th
- 2 p 1, '2
(6.22)
Le problme d'extrmum s'exprime alors par les deux conditions
F ( p - ph 1, '2
, )
p - ph 1, '2
= 0
(6.23)
F ( p - ph 1, '2
, )
= 0
(6.24)
Condition (6.23)
La premire condition donne pour le premier terme de (6.22), l'indice de sommation disparaissant lorsque
lon drive par rapport lerreur au sein de llment ,
- 2
p+1 p - ph 1,
2
2
p+1 p - ph 1, '2
- 2
p+1 - 1
(6.25)
ou encore, sous une forme qui permettra les simplifications ci-dessous,
- 2
p+1 p - ph 1,
2
2
p+1 p - ph 1, '2
p-1
p+1 - 2
(6.26)
Le deuxime terme de (6.22) donne
2pp+1
p - ph 1, 2
2
p+1 p - ph 1, '2
2p
p+1 - 1
(6.27)
ou encore,
2pp+1
p - ph 1, 2
2
p+1 p - ph 1, '2
p-1
p+1
(6.28)
La premire condition (6.23) devient alors, aprs simplifications,
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 121
- p - ph 1, '
2 - 2
+ p = 0 (6.29)
ou encore,
p - ph 1, '2
= 1
p (6.30)
montrant que pour raliser le maillage optimal dfini par le problme (6.12), lerreur absolue lmentaire
doit tre quidistribue. Les relations (6.10) et (6.11) impliquent alors
p - ph 1, ' = p 1, '
#T'h (6.31)
La plupart des algorithmes proposs [ZIE87, ZHO91, TRI92] proposent de remplacer dans l'quation (6.31)
dans un souci de simplicit #T'h par #Th , cest--dire de ne pas prdire le nombre dlments du maillage
optimal. Cette simplification nest pas ncessaire comme le montre la prsente dmonstration. En effet, en
combinant les quations (6.14), (6.18) et (6.31), il vient
#T'h pp+1 =
p - ph 1,
p 1,
2 p+1
(6.32)
o lon a galement fait lhypothse
p 1, p 1, ' (6.33)
Ce sont les relations (6.31), (6.32) et (6.18) qui ont t implantes et qui permettent de dfinir un indice
de taille optimale par
= h ( )
h ( ' ) (6.34)
Lorsque lindice est suprieur 1, llment doit tre raffin ; lorsque lindice est infrieur 1, llment doit tre draffin. La distribution de lindice de raffinement est appele carte doptimalit. Cas tridimensionnel
La dmonstration qui prcde peut tre tendue trois dimensions. Il suffit de remplacer le nombre
dlments du maillage adapt (6.14) par
#T'h = h ( )
h ( ' )
3
Th (6.35)
Tous calculs faits [BOU96/7], la relation (6.30) est remplace par
p - ph 1, '2
= 1
( 2p - 1 ) (6.36)
aboutissant la mme conclusion dquidistribution et l'quation (6.31) reste alors valable.
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 122
6.3.3 Critres requis pour les mthodes de h-adaptation
Dans les paragraphes qui suivent, nous nous intressons uniquement aux mthodes de raffinement de
maillage et nabordons pas les mthodes de h-adaptation bases sur une rgnration complte ou partielle
du maillage.
Dans le cadre de la version h de la mthode des lments finis, il est indispensable dassurer la conformit
du maillage Th, cest--dire de sassurer que lintersection de deux lments 1 et 2 non disjoints et non identiques est : un noeud sommet commun, un ct commun, ou ( trois dimensions) une face commune.
Le raffinement local de llment affecte videmment les lments voisins, formant un sous-domaine
appel zone de transition et not . Nous dirons que les mthodes de raffinement limitent la zone de transition lorsque celle-ci se rduit aux lments connects par un noeud llment , cest--dire lorsque
(6.37) Enfin, nous exigeons des mthodes de raffinement quelles gnrent des lments dont la taille sapproche
le mieux possible de la carte doptimalit (6.34) en respectant au mieux les critres gomtriques
habituellement attribus aux lments. Ces critres peuvent tre quantifis par des indices de qualit
gomtrique considrant le carr et le triangle quilatral comme les formes optimales des quadrilatre et
triangle respectivement [SDR96].
Allongement
Lindice dallongement A est dfini par :
A =
LmaxLmin idal
LmaxLmin rel (6.38)
o llment rel est compar llment de forme idale correspondant (la carr ou le triangle
quilatral). Lmax dsigne la longueur de la plus grande diagonale (cas du quadrilatre) ou la longueur du
plus grand ct (cas du triangle) et Lmin la longueur du plus petit ct (cas du quadrilatre) ou le rayon du
cercle inscrit (cas du triangle). Llment aura un allongement acceptable si
0.8 A 1.2 (6.39)
Distorsion
Lindice de distorsion D est dfini par :
D = dt J idal rel (6.40)
o llment rel est compar son lment parent idal dfini dans les axes naturels. J dsigne le
jacobien de la transformation isoparamtrique, idal laire de llment dans les axes naturels et rel laire de llment dans les axes rels. Lindice D optimal vaut 1 correspondant au paralllogramme et au
triangle cts rectilignes. Llment aura un allongement acceptable si
0.8 D 1.2 (6.41)
En rsum, nous exigeons des outils de raffinements de maillage quils :
1) assurent la conformit du maillage,
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 123
2) limitent la zone de transition,
3) gnrent des lments dont la taille sapproche au mieux de la taille optimale,
4) gnrent des lments satisfaisant aux critres de qualit gomtrique (6.39) et
(6.41).
Lvaluation de ces quatre critres a dj fait lobjet dune tude systmatique sur des configurations
lmentaires typiques [ROM97].
6.3.4 Mthode de m-raffinement
Disposant de la carte doptimalit de taille, nous souhaitons adapter le maillage en consquence. Pour
cela, nous pouvons procder par rgnration complte de la grille ou par raffinements locaux. Dans le
premier cas, nous devons disposer d'un gnrateur automatique permettant la prescription locale en une
distribution de points sur la gomtrie. De tels outils existent [SDR96, DAS97] mais ils ne prvoient pas
d'interface "utilisateur" permettant de saisir une carte d'optimalit. Nous avons alors dvelopp les
algorithmes de raffinement pour des maillages mixtes dlments 2D (triangles et quadrilatres). Adapte
des mthodes de 2- et 3-raffinement applicables aux quadrilatres [SCH95, BAN95], notre approche a le
grand avantage dtre tout fait gnrale et compltement intgre de manire permettre le traitement
indiffrent de maillages de quadrilatres seuls, de triangles seuls et de maillages mixtes. De plus, J. Z. Zhu
et al. [ZHU93] ont montr que les mthodes de raffinement de maillage taient satisfaisantes par rapport
la rgnration complte au moins pour les lments linaires (p=1). Les outils dvelopps sont
schmatiss la figure 6.2. Nous ne nous sommes pas intresss aux algorithmes de recombinaison qui
permettent de transformer des maillages de triangles en maillages de quadrilatres.
grille de
quadrilatres
grille
mixte
grille de
triangles
grille de
triangles
grille
mixte
grille de
quadrilatres
grille de
triangles
maillage initial
maillage adapt
figure 6.2. Outils du logiciel de m-raffinement
Les mthodes de m-raffinement sont bases sur la division rgulire dun lment parent en m2 lments
enfants. La figure 6.3 reprsente les motifs lmentaires fondamentaux des mthodes de 2- et 3-
raffinement pour les triangles et quadrilatres.
3-raffinement
2-raffinement
figure 6.3. Motifs de division lmentaires du 2- et 3-raffinement
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 124
Les motifs de division lmentaires appliqus sans lments de transition introduiraient videmment une
non conformit de maillage qui doit, pour satisfaire au critre 2 (paragraphe 6.3.3) tre rsolue dans le
groupe dlments voisins. Le principe des mthodes de m-raffinement est bas sur la dmarche illustre
la figure 6.4 et dtaille ci-aprs. Il sagit dun algorithme rcurrent puisque suivant lindice de
raffinement exig, il y aura lieu dappliquer plusieurs fois les motifs de subdivision lmentaires.
effectuer une
subdivision
niveau de subdivision lmentaire
carte doptimalit
niveau de subdivision nodal
mettre jour
oui
non
S ( ) = ar(logm )
maillage initial
Th
maillage adapt
' T'h
n S (n ) > 0
S (n ) = max
S ( ) n
figure 6.4. Mthodologie du m-raffinement
Maillage initial
Le maillage initial est considr grossier de sorte que tous les indices de raffinement lmentaires soient
suprieurs ou gaux un. De cette manire, les techniques de draffinement ne doivent pas tre
envisages, ce qui simplifie considrablement la dmarche.
Niveau de subdivision lmentaire S()
Le niveau de subdivision lmentaire est dfini par la relation
S ( ) = ar(logm ) (6.42) liant lindice de raffinement au nombre de subdivisions S() ncessaires pour llment , cest--dire au nombre de fois quil faut appliquer les motifs de division lmentaires (figure 6.3). La fonction ar
dsigne larrondi lentier le plus proche. Bien entendu, suivant la valeur de m, la relation (6.42)
permettra de gnrer des lments dont la taille sera plus au moins proche de celle requise par lindice de
raffinement (6.34).
Niveau de subdivision nodal S(n)
Afin de pouvoir grer plus facilement les zones de transition, lalgorithme va travailler avec la valeur des
niveaux de subdivision lmentaires ramens aux noeuds par la relation
S (n ) = max
S ( ) n
(6.43)
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 125
qui indique que lon choisit de conserver au noeud n le niveau de subdivision le plus lev parmi tous les
lments connects ce noeud.
Effectuer une subdivision
On considre ensuite chaque lment Th successivement. Sil existe au moins un noeud n dont le niveau de subdivision nodal est non nul, lalgorithme applique cet lment le motif de division lmentaire appropri.
Th, n S (n ) > 0 subdiviser (6.44)
Les motifs de subdivision lmentaires appropris dpendent de la configuration lmentaire. La figure
6.5 illustre les motifs de la mthode de 3-raffinement o lon dsigne par le symbole un noeud dont le
niveau de subdivision est non nul. Des motifs semblables sont disponibles pour le 2-raffinement avec une
attention particulire la configuration 2a (voir pour plus de dtails [ROM97]).
0 1 2a
2b 3 4
figure 6.5. Motifs de subdivisions lmentaires (3-raffinement)
Mettre jour Il serait naturel que la rcurrence soit base sur une mise jour du niveau de subdivision nodal par une
relation du type
S (n ) S (n ) - 1 (6.45)
et cest dailleurs cette dmarche qui figure dans la publication originale de R. Schneiders et al. [SCH95].
Toutefois, nous avons estim prfrable de comparer la taille rellement obtenue aprs une division
celle prescrite par lindice de raffinement. Cette nuance prend effet pour les maillages non rguliers o
lapplication de motifs de subdivision lmentaires peut gnrer des lments de taille trs diffrente
lorsque llment parent est distordu. Elle permet galement de ne pas cumuler les approximations par
arrondi ar dans la relation (6.42). La mise jour de lindice de raffinement se fait alors par la relation
(6.46), si h() dsigne la taille initiale (de 6.34) et h(") celle obtenue pour l'instant
" = h (")
h ( ) (6.46)
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 126
et lalgorithme reprend au niveau des calculs de niveaux de subdivision lmentaires.
Rcurrence
Lalgorithme se termine lorsque tous les niveaux de subdivision nodaux sont nuls.
Choix optimal de m
Le choix de m doit tre fait a priori. Les tests numriques effectus dans [ROM97] montrent que la
mthode de 2-raffinement est quasiment toujours la plus intressante sur base des critres de respect des
tailles prescrites et de la qualit du maillage adapt.
6.4 Analyse adaptative du compartiment passager dun vhicule
Nous avons vu au paragraphe 5.6.2 que lanalyse acoustique du compartiment passager dun vhicule
(coupe bidimensionnelle) ne comportait pas de singularits spcifiques de lacoustique pour des
frquences infrieures 200 Hz. Nous savons alors quen-dessous de cette limite, il est possible de
contrler le maillage pour satisfaire une erreur prescrite. Nous allons tudier deux frquences
dexcitation (30 et 50 Hz) typiques dune analyse adaptative en postulant que nous voulons atteindre une
prcision de 5 % (erreur relative globale prescrite). Cet exemple nous parat pertinent car il nous permet
de traiter des maillages mixtes, illustrant l'efficacit du lissage du champ de vitesses et des algorithmes de
m-raffinement dans ce cas.
6.4.1 Analyse adaptative 30 Hz (=1.47)
Lestimation de lerreur par la mthode de lissage du champ de vitesses SPRB conduit, pour le maillage
initial (figure 5.14) une erreur relative estime par lissage du champ de vitesses de 11.5 %. La
distribution de lindice de raffinement (6.34), ou carte doptimalit, est donne la figure 6.6. On observe les valeurs d'indice de raffinement les plus leves dans les zones de singularits gomtriques
(prs des siges) ou physiques (discontinuit des conditions aux limites de Neumann lavant).
figure 6.6. Compartiment passager dun vhicule : distribution de lindice de raffinement
sur le maillage initial (p=1, f=30 Hz, k=0.55 m-1, =1.47) - SPRB = 11.5 %
Lapplication de la mthode de 2-raffinement la carte doptimalit 6.6 gnre le maillage de la figure 6.7
dont lerreur relative globale estime par lissage du champ de vitesses SPRB vaut 4.96 %, ce qui est
infrieur la tolrance que nous nous tions impose. Lanalyse adaptative a donc permis datteindre la
valeur prescrite en une tape, ce qui est videmment plus rapide que par raffinements uniformes. La
comparaison des ordres de convergence en semi-norme H1 entre le raffinement uniforme et ladaptation
de maillage est donne la figure 6.8 montrant le net avantage de cette dernire.
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 127
figure 6.7. Compartiment passager dun vhicule : maillage adapt (1)
(p=1, f=30 Hz, k=0.55 m-1, =1.47) - SPRB = 4.96 %
1%
10%
100%
100 1000 10000
uniforme
adaptatif
# d.d.l.v*-vh 0
v* 0
=1.47 (f=30Hz)
figure 6.8. Compartiment passager dun vhicule : convergence de lerreur relative globale estime,
raffinement uniforme vs. raffinement adaptatif (p=1, f=30 Hz, k=0.55 m-1, =1.47)
6.4.2 Analyse adaptative 50 Hz (=2.45)
Lestimation de lerreur par la mthode de lissage du champ de vitesses SPRB conduit, pour le maillage
initial (figure 5.14) une erreur relative de 12.2 %. La distribution de lindice de raffinement (6.34), ou carte doptimalit, est donn la figure 6.9. A nouveau, on observe les valeurs d'indice de raffinement les
plus leves dans les zones de singularits gomtriques ou physiques.
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 128
figure 6.9. Compartiment passager dun vhicule : distribution de lindice de raffinement
sur le maillage initial (p=1, f=50 Hz, k=0.92 m-1, =2.45) - SPRB = 12.2 %
Lapplication de la mthode de 2-raffinement la carte doptimalit 6.9 gnre le maillage de la figure
6.10 dont lerreur relative globale estime par lissage du champ de vitesses SPRB vaut 8.72 %, ce qui est
suprieur la tolrance que nous nous tions impose. La carte doptimalit du maillage adapt est
donne la figure 6.11 et lapplication de la mthode de 2-raffinement fournit le maillage de la figure
6.12. Cette fois, lerreur relative globale estime est infrieure la tolrance (4.05 %), ce qui clture la
procdure adaptative.
figure 6.10. Compartiment passager dun vhicule : maillage adapt (1)
(p=1, f=50 Hz, k=0.92 m-1, =2.45) - SPRB = 8.72 %
figure 6.11. Compartiment passager dun vhicule :
distribution de lindice de raffinement sur le maillage adapt (1)
(p=1, f=50 Hz, k=0.92 m-1, =2.45) - SPRB = 8.72 %
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 129
figure 6.12. Compartiment passager dun vhicule : maillage adapt (2)
(p=1, f=50 Hz, k=0.92 m-1, =2.45) - SPRB = 4.05 %
La comparaison des ordres de convergence en semi-norme H1 entre le raffinement uniforme et
ladaptation de maillage est donne la figure 6.13 montrant le net avantage de cette dernire.
1%
10%
100%
100 1000 10000 100000
uniforme
adaptatif
# d.d.l.v*-vh 0
v* 0
=2.45 (f=50Hz)
figure 6.13. Compartiment passager dun vhicule : convergence de lerreur relative globale estime,
raffinement uniforme vs. raffinement adaptatif (f=50 Hz, =2.45)
6.4.3 Estimation d'erreur 500 Hz (=24.49)
Nous avons voqu (paragraphe 5.6.2) les raisons pour lesquelles nous pensons que lestimation derreur
au-del de 200 Hz nest pas fiable (lestimateur nest pas efficace). Nanmoins, nous regardons par
curiosit la carte doptimalit 500 Hz base sur lestimation derreur par lissage du champ de vitesses
SPRB et, mme si nous savons pertinemment que les indices de raffinement sont probablement sous-
valus, on peut nanmoins constater que le maillage doit tre raffin globalement et non localement.
Nous interprtons ceci comme une confirmation de la domination, cette frquence, de linfluence de la
k-singularit qui est caractre global par opposition aux singularits gomtriques qui sont caractre
local.
-
Chapitre 6 Adaptation de maillage 130
figure 6.14. Compartiment passager dun vhicule : distribution de lindice de raffinement sur la maillage initial
(p=1, f=500 Hz, k=9.24 m-1, =24.49) - SPRB = 26.7 %