ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de...
Transcript of ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de...
![Page 1: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/1.jpg)
Investeşte în oameni !
FONDUL SOCIAL EUROPEAN
Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 –2013
Axa prioritară nr. 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”
Domeniul major de intervenţie 1.2 „Calitate în învăţământul superior”
Numărul de identificare al contractului:POSDRU/156/1.2/G/138821
Beneficiar:Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti
Titlul proiectului: Calitate, inovare, comunicare -instrumente eficiente utilizate pentru creşterea accesului şi promovabilităţii în învăţământul superior tehnic
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de
pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA
Curs: 3. Elemente de geometrie. Reprezentari in plan. Vectori .
Grupele: M1, M4, M5, M8, M9, M11, M12
Formatori: BERCIA Romeo, IANCU Petrica, ENE Vladimir
1
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
![Page 2: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/2.jpg)
2
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Sistem de coordonate reprezint ă o modalitate prin care oric ărui punct i se asociaz ă în mod unic o mul țime ordonat ă de numere reale, numite coordonatele acelui punct.
Sistem de coordonate cartezian
Sistem de coordonate polar
![Page 3: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/3.jpg)
3
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Sistemul de coordonate carteziene este folosit pentr u a determina în mod unic un punct în plan prin dou ă numere, numite de regul ă abscisa și ordonata punctului.
Bidimensional Tridimensional
![Page 4: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/4.jpg)
4
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Sistemul de coordonate polare•este un sistem de coordonate bidimensional•fiecărui punct din plan i se asociază
•un unghi•o distanță.
Sistemul coordonatelor polare este util mai ales în situații în care relația dintre două puncte este mai ușor de exprimat în termeni de distanțe și direcții (unghiuri);
![Page 5: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/5.jpg)
5
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Reprezentarea unui punct insistem cartezian xOy
-cu originea în punctul O(0;0)-cu sensurile pozitive ale axelorindicate prin săgeţi (axaorizontală a absciselor sens dela stânga la dreapta și axaverticală a ordonatelor cusensul de jos în sus)- fiecărui punct M din planulxOy îi corespund în acest reperdouă coordonate cartezienenotate M(x,y).
M(5,4)
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
7
8
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
O(0,0)1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
C1(x>0,y>0)C2(x<0,y>0)
C3(x<0,y<0) C4(x>0,y<0)
x
y
![Page 6: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/6.jpg)
6
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Reprezentarea unei drepte inreper cartezian xOy
-cu un capat în punctul O(0;0)si cu celalalt capat in M(5,9)
M(5,4)
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
7
8
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
O(0,0)1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
C1(x>0,y>0)C2(x<0,y>0)
C3(x<0,y<0) C4(x>0,y<0)
x
y
![Page 7: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/7.jpg)
7
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Drepte in plan
![Page 8: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/8.jpg)
8
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Reprezentarea unui punct insistem polar
In sistemul de coordonate polar,pozitia unui punct P fata deorigine este descrisa prinspecificarea distantei r si aunghiului α dintre linia r sidirecţia pozitiva a axei x, numitaaxa polara. Coordonatele polareale punctului P sunt P(r,α), unde
r 0, [0,2 )≥ α ∈ π
![Page 9: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/9.jpg)
9
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Reprezentarea unei drepte insistem polar
![Page 10: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/10.jpg)
10
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Conversia între coordonate polare și coordonate carteziene
Convertire din coordonate polare in coordonate carteziene
x r cos
y r sin
= α= α
Convertire din coordonate carteziene in coordonate polare
2 2 yr x y =arctg , x 0 , pentru cadranele I si IV
x = + α >
Distanta intre doua puncte definite prin coordonate carteziene (x1, y1), (x2, y2) este
( ) ( )2 2
1 2 1 2d x x y y= − + −
Distanta intre doua puncte definite prin coordonate polare (r1, α 1), (r2, α 2)
2 21 2 1 2 1 2d r r 2 r r cos( )= + − ⋅ ⋅ ⋅ α − α
![Page 11: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/11.jpg)
11
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Exerci țiul 1. Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul C(1,3) şi este echidistantă de punctele A(-1,0), B(1,-1).
Exerci țiul 2. Să se determine coordonatele simetricelor punctului A(-1,2) faţă de dreapta d : x + y + 1 = 0 şi apoi faţă de punctul B(-1,-4).
Exerci țiul 3. Să se determine coordonatele punctului B, stiind ca C(3,5) este mijlocul segmentului AB si ca A(2.4).
Exerci țiul 4. Să se găsească proiecţia punctului B(-2,1) pe dreapta d : 2x + y + 1 = 0.
![Page 12: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/12.jpg)
12
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Exerci țiul 5. Să se determine pentru care distanta dintre punctele A(2,m) si B(-m,-2) este egala cu
Exerci țiul 6. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(3,0), B(x,y), C(5,-2). Sa se determine numerele reale x si y astfel incat punctul B sa fie mijlocul segmentului AC.
Exerci țiul 7. Sa se reprezinte in coordonate carteziene urmatoarele puncte: (2, п/2), (1, 3п/4), (2, -п/3).
Exerci țiul 8. Transformati in coordonate polare ecuatia
Exerci țiul 9. Gasiti coordonatele carteziene ale curbei
2 2x y 9+ =
21 cos
r= + θ
4 2
![Page 13: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/13.jpg)
13
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Vectorul este determinat de :Marime: segmentul [AB]Directie: in susSens: de la A la B sau de la B la A
este segment legat sau vector
se numeste norma vectorului si reprezinta d(A,B)
Vectorul de norma 1 se numeste versor.
Vectori in plan
A
B
ABuuur
AB
ur
![Page 14: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/14.jpg)
14
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Vectorii de norma 1 se numesc vers ori. Oxy este sistem de axe ortogonale
Vectori in plan
i si jr r
y
j
i
u
A
B M
xO
Definirea vectorului u din plan u i x j y= ⋅ + ⋅r rr
![Page 15: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/15.jpg)
15
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Vectori in plan
y
j
i
A
xB
B
xO
xA
yA
yB
Definirea vectorului AB B A B AAB i (x x ) j (y y )= ⋅ − + ⋅ −
r r
![Page 16: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/16.jpg)
16
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Operatii cu vectori in plan
Modulul unui vector u 2 2u i x j y u x y= ⋅ + ⋅ ⇒ = +r rr r
Suma a doi vectori u si v 1 1
2 2
1 2 1 2
u i x j y
v i x j y
u v (x x ) i (y y ) j
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
+ = + ⋅ + + ⋅
r rr
r rr
r rr r
Conditia de paralelism 1 12, 2
2 2
x yu v pt x y 0
x y⇔ = ≠r r
Conditia de perpendicularitate 1 2 1 2u v x x +y y =0 ⊥ ⇔ ⋅ ⋅r r
Produs scalar, intre doi vectori care formează unghiul θ
u v u v cos⋅ = θr r
Produs scalar a doi vectori perpendiculari u v 0⋅ =r r
![Page 17: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/17.jpg)
17
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Operatii cu vectori in plan
u i 2 j a= ⋅ + ⋅r rr
v i 3 j (a 2)= ⋅ + ⋅ −r rr
Exercitiul 1. Sa se determine numarul real a stiind ca vectorii sunt coliniari.
u 3 i 2 j= − ⋅ + ⋅r rr
v 5 i j= ⋅ −r rr
5 u 3 v⋅ + ⋅r r
Exercitiul 2. In reperul cartezian (O,i,j) se considera vectorii
Să se determine coordonatele vectorului
.
u 4 i 9 j= ⋅ + ⋅r rr
v 3 i 2 j= ⋅ +r rr
u v⋅r rv u⋅r r
u u⋅r rv v⋅r r
Exercitiul 3. Calculati produsul scalari si produsul vectorial dintre vectorii
![Page 18: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/18.jpg)
18
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Vectori in spatiu
Orice doua puncte din spatiu determina un vector care are marimea egala cu distanta dintre aceste doua puncte. Daca P(a,b,c) si P’(a’,b’,c’) sunt doua puncte din spatiul tridimensional R3, atunci vectorul care trece prin cele doua puncte este u=(x,y,z) cu .
Vectorul u este reprezentat ca o sageata de la P la P’.
.
u (a a ',b b ',c c ')= − − −
![Page 19: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/19.jpg)
19
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Operatii cu vectori in spatiu
.
Adunarea vectorilor ( )zu x,y,=r si
( )x’. zv y’, ’=r
u v (x x ',y y',z z')+ = + + +r r
Multiplicarea cu un scalar a vectorului ( )zu x,y,=r
cu (cx,cy,cz)=r
![Page 20: ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces.chimie.upb.ro/doc/materiale-suport-suplimentare/2014-2015/... · Reprezentari in plan. Vectori. ... Sistemul de coordonate](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042605/5a78a53a7f8b9ab8768e2692/html5/thumbnails/20.jpg)
20
PO
SD
RU
/15
6/1
.2/G
/13
88
21
Exerci țiul 1. Să se determine produsul scalar al vectorilor w1 și w2.Comentați rezultatul obținut :
.
1 22 5 si 10 4 3w i j w i j k= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅v v v v v
Exerci țiul 2. Să se determine produsul vectorial al vectorilor w1 și w2.
1 23 2 si 5 3w i j w j k= ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅v v v v
Exerci țiul 3. Să se determine produsul mixt al vectorilor w1, w2 și w3.
1 2 34 3 ; 2 6 2 si 2 2w i j w i j k w i k= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅v v v v v v v
Exerci țiul 4. Sa se demonstreze ca prin permutari circulare rezulta:
( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2w w xw w w x w w w x w⋅ = ⋅ = ⋅r r r r r r r r r