Actividad: Cinemática Movimiento Rectilíneo Uniforme y ...
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Actividad: Cinemática Movimiento Rectilíneo Uniforme y Variado
MRU y MRUV
Leer, resumir y/o copiar en la carpeta el material enviado para familiarizarse
para cuando se retomen las clases presenciales.
Copiar los problemas dados, analizarlos y volver a leerlos con tranquilidad.
Pensar ejemplos de la vida cotidiana.
e-mail: [email protected]
....;
V1lores del esp1clo
y del tiempo
De la formula
e \'
despe-jando. resulta
e= vt
y
e t = -
V
Leyes del movimiento rectilíneo uniforme
Apliquemos la fórmula de la velocidad; empleando los datos anteriores, tendremos:
a) En A,
600 m = 600 m/min; VA= 1 mio
b) En B,
1 200 m = 600 m/min; Ve= 2min
c) En C,
1800 m = 600 m/min; Ve= 3 mio
d) En D,
2 400 m = 600 m/min. Vo = 4min
• MRU : movimiento rKtilíneo uniforme.
En todos los puntos de la tra
yectoria, la velocidad es igual. Por
¡0 tanto, la primera ley es la si
guiente:
En un MRU, la velocidad es
constante.
Si un móvil, con un movimien
to uniforme, recorre 600 m en
1 min, 1 200 m en 2 miq, 1 800 m
en 3 min y 2 400 m en 4 min, ten
dremos que a mayor tiempo co
rresponde mayor espacio, y vice
versa. De lo cual se deduce la
segunda ley:
En un MRU *, el espa~io reco
rrido es directamente proporcional
al tiempo empleado.
Representación gráfica
Consideremos un sistema XX' e YY' de ejes cartesianos ortogo
nales, y asignemos a cada uno de
ellos una de las magnitudes con
sideradas para el estudio de la
velocidad. Podremos obtener grá
ficos que representan las leyes
enunciadas más arriba * *.
REPRESENTACIÓN DE LA
PRIMERA LEY
Para este caso se determinan,
sobre el eje X (abscisas), los
tiempos; sobre el eje Y ( ordena-
• • Aplicación de lo estudiado en matemática de tercer año.
80
1
1 ,-
1
1
l 1 1
1
1
'"" 1
f
y
das), las velocidades (fig. 94 ) . y
por cada punto se trazan las perpendiculares a cada eje. Obtenemos que la intersección de e~as perpendiculares representa el pun
to que responde a esos valores.
Ya hemos expresado que, en el movimiento uniforme, la velocidad
es constante; en consecuencia :
a) En A,
t1 = 1 min
y
v 1 = 80 m/min;
b) En E
t2 = 2 min
y
v2 = 80 m/min;
c) En C,
t3 = 3min
3/
v3 = 80 m / min.
Procedemos a marcar sobre el eje X los tiempos ti, t 2, t3 ( segmentos iguales) , y sobre el eje Y las velocidades v1 = v2 = v3 = v. Las perpendiculares trazadas por l1, ti, t3, y por v 1 = v2 = v3, nos dan los puntos A, B, C, los cuales determinan una recta paralela al eje ctel tiempo (eje X), que indica que la velocidad es constante.
S_i consideramos (fig. 94) el rectángulo OVCT que se ha formado, resulta
área OVCT = B h,
V f • ~· ))}0;;;, ¡ 'º ~1 ... ~Y/%'Ph0-///)'//
F1,:;. 94. Reprl!M!t1t■t ión ~ ,f ., .
de I■ primsra lry.
pero
B = t y
h = v ;
luego,
área OVCT = t v ,
pero
tv = e;
en consecuencia..
área OVCT = e r.
es decir q_e el área del rectániuJo
que queda determinada en la representación gráfica de la velocidad en función del tiempo, equivale al espacio recorrido por el
móvil en e.,e tiempo.
REPRESENTACIÓN DE LA
SEGUNDA LEY
En este caso consideraremos al eje de las abscisas (X) como el eje de los tiempos y al eje de las ordenadas (Y) como el eje de los
espacios. Sean los valores siguientes ( fi
gura 95): en el primer minuto
81
' . "'"'"'·~,
1
y
140 mt _____ _______ ___ , M '
105 m ~- --------~
1
10m
35m
o 2
1 1 1 1
: 1 1
recorrió 35 m (punto A)¡ en el se
gundo, 70 m (punto B); en el ter
cero, 105 m (punto C) ; en el cuar
to, 140 m (punto D).
Sobre el eje X determinamos
los tiempos
t1 = 1 min,
t2 = 2 min,
t3=3min,
t 4 = 4min,
que son segmentos iguales entre s~ y sob.re el eje Y,
Oe1 = 35m,
Oe2 = 70m,
Oe3 = 105m,
Oe4 = 140m.
FIG. 95. RepresentAciÓ11 gráfica de la segund0
ley.
X minutos
Las perpendiculares trazadas
por los -puntos t1 y e1 determinan
A, las trazadas por t2 y e2 deter
minan B, las trazadas por t3 y e3
determinan C, las trazadas por t4
y e4 determinan D.
Unimos los puntos A, B, C y D;
queda determinada uria recta, que
es la gráfica de la segunda ley :
el espacio es pror,orcional al tiem
po*.
Según esta gráfica, podemos co
nocer el espacio recorrido en un
tiempo t cualquiera. Así, cono
ciendo el espacio recorrido, se ,ob
tiene el tiempo empleado.
En la figura 95, el punto M está
indicando un tiempo t = 3 ½ min
Y un espacio e= 122,5 m.
Mediante esta gráfica podría
mos calcular también el espacio
• Matemática de secundo año : funciones directa e inv«aamente proporc:ionale1 ,
82
-=-
,.,
' h
~ .,._. 70 km/h
FTG. 96 a.
~,1-~ o o •
45 km/h
Le velocidad varíe •ín rel:,ción al tiempo empleado.
rec,orrido al minuto y medio o a Aceleractón
1 h 1 h
~ ·º ~ 30 km/h
· _. , ,., los .cinco minutos.
l ,
t"(,
·-_¡
( y
Estudio dinámico (ver pág. 128)
MOVIMIENTO VARIADO
Estudio cinemático
Cuando viajamos en automóvil, en tren, etc., vemos que la velocidad· no se mantiene constante.
Ello se·. debe, entre otras causas, a las paradas para el ascenso y
descen~o de los pasajeros, a la disminución de velocidad por la interposición de otros vehículos, por el mal estado del camino, etc. Esto nos lleva a la definición del movimiento variado:
Movimiento variado es el que _posee el móvil cuya velocidad es distinta en cada unidad de tiempo.
Supongamos que al final de la primera hora posee una velocidad de 30 km/ h; al final de la segunda, 70 km/ h¡ al final de la tercera,
40 km/ h (fig. 96 b ).
Verificamos que para cada unidad 'de tiempo se producen variaciones de velocidad, lo cual perq¡ite definir una nueva magnitud, que estudiamos a continuación.
Su definición es la siguiente :
Aceleración es el cociente o ra
zón entre la variación o incremen
to de velocidad e intervalo de
tiempo transcurrido.
En símbolos,
donde
!1v a= .it
a = aceleración,
1 v = incremento de velocidad,
.M = intervalo de tiempo.
La variación de velocidad ~ v
es siempre la diferencia entre la
segunda y la primera velocidad
considerada.
100 km/ h
70 km/ h
rlG. 96 b . Repr-ntación gráfica de un movimiento ,·,uiado.
--- ---¡-----~ E
----- ----- - --- ---- e ; 1 1
--~==-~_;.~~ :
1 h
B O , 1 1 1 1 1 1 , 1
2h 3 h 4h 5 h horas
83
X
2
3
40 km / h 70 km / h
~~ .,_ --Q fo~J •
l h 1 h -~
1 h
130 km/h
n~. ro~ . -
1 h
FIG. 99. Movimiento uniformemente aceleraau.
Luego, en un movimiento uni
formemente variado, la acelera
ción es constante.
Movimiento uniformemente
acelerado
Supongamos que v1aJamos en
un vehículo cuyas variaciones de
velocidad sean las siguientes :
a) En e0>rimer m_inuto,
vA = l0m/ mm;
b) En el segundo minuto,
v 8 = 20 m/ min;
c) En el tercer minuto,
ve = 30 m/ min;
y así sucesivamente (fig. 99).
Aquí registramos un aumento
constante de velocidad para cada
unidad de tiempo: 10 m/ min. De
cimos que el móvil está dotado de
movimiento uniformemente acele
rado, que definimos así :
Movimiento uniformemente
acelerado es el que tiene aquel
móvil que en cada unidad de tiem
po (hora, minuto, segundo) au
menta pu velocidad en cantidades
iguales.
~ 86
Luego, en el movimiento uni
formemente acelerado, la acelera
ción es positiva.
Movimiento uniformemente
retardado
Sea el caso de un móvil cuyas
velocidades sean :
a) En el punto A,
50m/ min;
b) En el primer minuto,
45 m/ min;
c) En el segundo minuto,
40m/ min;
d) En el tercer minuto,
35m/ min;
y así sucesivamente.
Podemos observar que su velo
cidad disminuye cantidades igua
les (5 m/ min) en tiempos iguales,
o sea, cada minuto. Decimos, en
tonces, que el móvil posee movi
miento rectilíneo uniformemente
retardado, que definimos así :
Un móvil posee movimiento
uniformemente retardado cuando
su velocidad disminuye cantidades
iguales en tiempos iguales.
..
T
Luego, en el movimiento uni
formemente retardado, la acelera
ción es negativa.
y
- a f + V 1 = V :
que puede escribirse
Cálculo de la velocidad en el V ¡ = V 1 - a f.
movimiento uniformemente Para
variado V : = V ¡
1 ) El movimiento es uniforme- Y
mente acelerado; por lo tanto, es V ¡ = V
o sea,
~ V a= - t-,
V ¡ - V ¡ a- --- ·
- t '
en consecuencia,
a t = V ¿ - V ¡
V
at +V¡ = V ¡. (l]
A la velocidad v 2 la llamamos
v1 ( velocidad final) y a la velo
cidad v 1 la denominamos v; ( ve
locidad inicial), por lo cual la ex
presión ( 1] quedará
Vf =V; + a t
2) El movimiento es uniforme
mente retardado, por lo cual es
o sea,
l\v -a= - t- ,
V ¡ - V¡ -a= -
por lo tanto,
- a t = V ¡ - V¡
es
V¡ = V, - a t
Velocidad inicial
A la velocidad V, la denomina
mos velocidad inicial. Se entiende
por tal la que pos.'!e el móvil en el
momento de hacer su movimiento
variado. Supongamos la prueba del kiló
metro lanzado o los sprint en las
carreras de bicicletas, en las cua
les, una vez alcanzado cierto pun
to de la trayectoria con determi
nada velocidad, se inicia e! movi
miento acelerado.
Una idea más gráfica la tene
mos en el siguiente ejemplo : dos
automÓ\'iles se colocan 300 m an
tes de la largada y marchan jun
tos hasta ese lugar, instante en que ·
se les da salida y comienzan su
movimiento acelerado. La veloci
dad que poseen en ese instante es
la velocidad inicial.
Si esos vehículos, detenidos en
el lugar de la largada, reciben or
den de salida, su velocidad inicial
será nula o cero.
87
4
cC'ual l'~ \s Yt'locidad de un móvil a los 2 min si parte del reposo con una ace
\t>rs~ion de O. 7 m ~t'¡;?
s \,[ucú.,n
C0mo V= 8 • t,
resulta v = 0,7 m / seg2 X 2 min;
por lo tanto , v = 0,7 m / seg2 X 120 seg,
o sea, v = 84m/ seg.
Rta. 84 m/ seg.
Un móvil, que posee una velocidad de 15 m/seg, adquiere un movimiento uni
formemente acelerado. Si su aceleración es de 0,5 m / seg2, ¿cuál será la velocidad
al cabo de 40 seg y cuál el espacio recorrido?
Solución
Como
V= V¡+ 8 t,
resulta
v = 15 m / seg + 0,5 m / seg2 X 40 seg,
o sea 1
v = 35 m / seg.
Como
1 e = V . t + - a t2, , 2
resulta
1 e= 15 m / seg X,j0 seg+ - 0,5 m / segl (40 seg) 2;
ttfi 2
por lo tanto.
e= 600m + 400m,
o sea,
e= 1 000m.
Rta. 35 m / seg y recorre 1 000 m .
100
..¡ 1
Un móvil posee un,i vohA,dad inic ia l de 80 lrm 111 y recorre 500 ro en ¡;¿ sei:
¿Qué aceleración adquiere Y qué ve loc idad poseerá en ese momento?
Solución
Como
y
resulta
o sea,
y como
resulta
a
80 km/ h = 22,2 m/ seg
1 e= V . t + - a12, , 2
e - V, t 11= ---
l , -tl 2
500 m - 22,2 m/ seg X 12 seg = 3,24 m/ seg1,
l _ ( 12 seg) 2 2
v1 = v, + a t.
V 1 = 22,2 m /,seg + 3,24 m/ seg2 X 12 seg= 61.08 m seg.
Rta. 3.24 m 1eg; v ó 1.08 m -.e-g_ . respecuva
mente.
Un móvil parte del repo10 con movimiento uniformemente acelerado. ¿Que velo
cidad tendrá a los 3 min si su aceleración es de 0,5 m . seg2>
Solución
Como
V= a t,
resulta
,. = 0,5 m/ seg2 X 180 seg = 90 m.' seg.
Rta. 90 m , •e& ·
Un móvil parte del reposo con una aceleración de 30 cm. seg'. ¿Qué tiempo
empleará en recorrer 16 km?
Solución
Como 1
e = 2 a t2,
101
5
es
("I S~B .
t=
/ 2 e t = ✓ ---¡ ·
2 X 1 960 m = 20 seg. 9,8 m / seg2
Rta. 20 seg.
¿Con qué velocidad llega e tierra el cuerpo del problema anterior?
Solución
Como V= gt,
resulta v = 9,8 m / seg2 X 20 seg = 196 m / seg.
Rta. 196 m / seg.
Desde un avión se dispare un proyectil verticalmente hacia abajo con velocidad inicial de 50 m / seg. Si tarda en llegar a tierra 12 seg, ¿con qué velocidad lo hace y desde qué altura cayó?
Solución
Como
resulta
y como
resulta
o sea,
106
V= V¡+ g f,
v = 50 m / seg +9,8 m / seg2 X 12 seg= 167,6 m / seg,
1 e = V ¡ t + 2 g t2,
1 e= SO m / seg X 12 seg+ -9,8 m / seg ( 12 seg) 2,
2
e= 1305,6 m.
Rta . 167 m /seg y cae desde 1 305 ,6 m.
Se lanza u n cuerpo verticalmente hac ia arrih. con v• loc,dad ini ruil ri .. ¿Qí) m 1•.,.~ Se desea saber : a ) ¿qué velocidad pos..., a los 4 ag?; b ¡ ¿cuirnto tiempo uwJ,.,,, en alcanzar su altura m áxima?
Solución
11) Como
resulte
b) Como
resulta
Vl = V ; - I f,
v◄ = 200m / seg - 9,8m / seg2 X 4seg = 160,Bm/ seg;
V/ = V; - I f = 0,
v . 200 m/ seg t = _!.._ =
2 == 20,4 ""C· g 9,8 m / seg
Rta . a ) 160 ,8 m ,s4'1:;
b ) 20,4 SeJ.
PROBLEMAS PARA RESOLVER
Un móvil recorre 250 km en tres horas y media. ¿Cuál es su velocidad en metros por segundo y en kilómetros por hora?
Rta. 71 ,42 l<m h o 19.84 m •ec-
La velocidad constante de un cuerpo es de 18 km; h. ¿Cuál es la distancia recorrida en 1 min?
Rta. 300 m.
Un automóvil que se desplaza con movimiento uniforme recorre 2 000 m a razón de 65 km/ h. ¿Qué tiempo ha empleado?
Rta. 1 m1n 5Qn~il .
lndicar qué velocidad es mayor : 40 km; h, S cm; seg o l 7 m min.
Rta. 40 km/ h.
¿Cuál será la velocidad media de un automóvil que recorre 500 km en Sh 2om•n?
Rta . 60 km h.
107
6
Si la lc-n&ittid de los rieles es de 18,35 m _)' por minuto se cuentan 20
dt> lRs rut>dRs N O las uniones entre ellos, ¿cual es la velocidad en kil , golpes hor11 del tren? ometros por
Rta. 22 ,02 km / h .
Calcular le aceleración de un móvil que en 20 seg, y partiendo del reposo d
quiere une velocidad de 60 m/ seg? . ' a • Rta. 3 m / seg1•
¿Cuál será la velocidad de un automóvil que en cierto instante posee un 1 . . , 1 'd d d a ve o-
c1dad de 45 km / h y 2 mm despues esa ve oc1 a es e 20 km / h?
Rta. La aceleración es negativa es 0,057 m / segl. Y su valor
Un móvil parte del reposo con aceleración de 0,4 m / seg2. ¿Qué velocidad posee
después de un cuarto de hora y cuál será el espacio recorrido?
Rta. 360 m / seg, o sea, 129,6 km / h .
El espacio recorrido por un móvil con movimiento uniformemente acelerado es de 4 000 m. Si su aceleración es 2 cm / seg2, ¿cuál es el tiempo empleado · y cuál
es su velocidad? Rta . 3m,, 20"• y su velocidad 40 m / seg.
Un automóvil posee una velocidad de 60 km/ h. Se detiene después de un minuto. ¿Cuál es la aceleración negativa y cuál el espacio recorrido?
Rta. 0,27 m / seg1 y recorre 486 m
¿Qué tiempo habrá transcurrido para que un móvil adquiera una velocidad de SO m/ seg si parte del reposo y su aceleración es de 4 cm/ seg2?
Rta . 12,5 seg.
¿Cuál será la velocidad que posee un móvil que parte del reposo en el momento que ha recorrido 3 km después de 10 seg?
Rta . 600 m / seg .
Un tren posee una velocidad de 75 km / h. Aplica \os frenos y se detiene al minuto y medio. ¿Cuál será la aceleración negativa y qué espacio recorrió en ese tiempo?
Rta . 0,23 m / seg1 y recorrió 840 m .
Un cuerpo tiene una velocidad inicial de 30 m/ seg. Su aceleración es - 0,S m/ seg
2• ¿Cuánto tiempo tardó en parar y qué espacio recorrió?
Rta . 60 sek,
Un cuerpo cae y ta rda en tocar tierra B ;v,g. ¿Oesd@ qui! altura c"Yº'
R t.• 2 13,6 m .
¿Cuál es el tiempo qu.e ta rde en llegar a tierra un cuerpo QU8 ~ae de!ldt" 7 ~O rn /
R te . 40 oe,¡.
Un cuerpo es lanzado hacia arriba y alcanza una alt ura mainma de 7 840 m ¿Con qué velocidad inicial lo hizo?
Rta. 392 m "'«·
Un cuerpo es lanzado hacia abajo con una velocidad de 60 m,· ,eg_ S, tarda !m
llegar a tierra 8 seg, ¿desde qué altura fue lanzado y con qué velocidad tocó tierra>
Rta . 793,6 m y tocó """"ª • 136 ,4 m ,e,¡.
CUESTIONARIO DEL CAPÍTULO V
l . ¿A qué se llama movimiento uniforme? ¿Es un movimiento rea.l o ideal'
2. Si v = e/ t , ¿cuál es la expresión del espacio y del tiempo?
3. ¿Cuándo un móvil está animado de movimiento un iformemente acelerado?
4. ¿Qué es aceleración?
5. Complete las siguientes expresiones para el movimiento uniformemente acelerado :
a) Velocidad,
V
b) Espacio,
e =
e } Aceleración,
a =
6. ¿ Cuáles son las unidades de velocidad?
7. ¿ Cuáles son las unidades de aceleración?
8. ¿ Cómo caen los cuerpos en el espacio?
9. En el movimiento uniformemente acelerado, ¿a quiénes resultan proporcionales la velocidad y el espacio?
108 109
7