acti algo encadrer integrale -...
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Activité Encadrer une intégrale en utilisant un algorithme
Objectifs -‐ Amener les élèves à comprendre la nécessité de ce type de méthodes dans le cas, FRÉQUENT, où il est impossible de
déterminer une primitive explicite -‐ Sur un même thème, entrainer les élèves à lires différents types d’algorithmes et à en comprendre les différences de
fonctionnement
Partie A : La méthode des rectangles Un exemple simple Soit ! la fonction positive et strictement croissante sur ℝ! définie par : ! ! = ! On souhaite calculer une valeur approchée de :
! ! !"!
!
Pour cela on va utiliser l’algorithme suivant :
1. Décrire, étape par étape, ce qui se passe si on entre ! = 4 2. Que représente ! ? ! ? 3. Que nous donne cet algorithme ? 4. Programmer cet algorithme sur Algobox,
ou votre calculatrice, et préciser les valeurs de ! et ! si on entre ! = 25.
5. Comparer le résultat obtenu avec celui donné par la calculatrice.
Utilisation de la calculatrice pour calculer une intégrale Entrer l’expression de la fonction et faire apparaître la courbe représentative Avec la CASIO SHIFT F5 (G-‐solv) puis choisir le menu !" Lower : borne inférieure Upper : borne supérieure Avec la TI 2nde (calculs) puis choisir le menu !(!)!" BorneInf : borne inférieure BorneSup : borne supérieure Un autre exemple Soit ! la fonction définie sur 0 ; 1 par : ! ! = !!!
1. Justifier que la fonction est continue, positive et croissante sur 0 ; 1 2. Pour chacun des deux algorithmes ci-‐dessous, expliquer ce que représente la variable !"##$%&' . 3. Quelle est la variable inutile dans ces deux algorithmes ? 4. Écrire, en utilisant le symbole Σ, le calcul qu’il faudrait faire pour obtenir la valeur en sortie de l’algorithme 1
si l’entrée est ! = 10. 5. Expliquer en quoi, l’algorithme 2 permet d’obtenir une meilleure approximation de !!!!"!
! que l’algorithme 1.
Entrées : Saisir ! Initialisation : ! ← 0 ; ! ← 0 ; ! ← 0 Traitement : Pour ! de 0 à ! − 1 Faire ! ← ! + !
!×!(!) ;
! ← ! + !! ;
! ← ! + !!×!(!) ;
FinPour Afficher : Afficher ! , !
Algorithme 1 Algorithme 2
Partie B : La méthode des trapèzes On cherche une valeur approchée de ! = !
!!!!!! !".
1. Justifier que la fonction f définie par ! ! = !!!!!
est continue, positive et strictement décroissante sur ℝ! 2. On propose l’algorithme suivant afin de déterminer une valeur approchée de ! :
a. Décrire, étape par étape, ce qui se passe si
on entre ! = 2 (On pourra s’aider de la figure ci-‐dessous représentant la courbe de ! ) En déduire une justification du titre : « Méthode des trapèzes ».
b. Modifier cet algorithme pour calculer une valeur approchée de ! ! !"!
! où ! et ! sont des réels quelconques positifs avec ! < !.
Entrée : ! un nombre entier supérieur à 10 Sortie : !"##$%&' un nombre réel Traitement : ! prend la valeur 1/! !"##$%&' prend la valeur 0 Pour ! allant de 0 à ! − 1 ! prend la valeur k*e ! prend la valeur !"#((! ∗ !)^2) !"##$%&' prend la valeur !"##$%&' + ! ∗ ! FinPour Afficher sommeinf
Entrée : !"#$% un nombre réel strictement positif inférieur à 0,1 Sortie : !"##$%&' un nombre réel Traitement : ! prend la valeur 10 !"##$%$&'$ prend la valeur 1 Tant que !"##$%$&'$ > !"#$% faire ! prend la valeur 1/! !"##$%&' prend la valeur 0 Pour ! allant de 0 à ! − 1 ! prend la valeur k*e ! prend la valeur !"#((! ∗ !)^2) !"##$%&' prend la valeur !"##$%&' + ! ∗ ! FinPour !"##$%&' prend la valeur 0 Pour ! allant de 1 à ! ! prend la valeur k*e ! prend la valeur !"#((! ∗ !)^2) !"##$!%& prend la valeur !"##$!%& + ! ∗ ! FinPour !"##$%$&'$ prend la valeur !"##$!%& − !"##$%&' ! prend la valeur ! + 10 Fin Tant que Afficher !"##$%&'
Début Variables : !,! des entiers !, !, !, ! des réels Entrer ! ! prend la valeur 0 Pour ! allant de ! à ! − ! ! prend la valeur !!
!
! prend la valeur !(!!!)!
! prend la valeur !!!!(!(!)+ !(!))
! prend la valeur ! + ! Fin Pour Afficher ! Fin