Acta de resúmenes de trabajos aceptados - unap.clcomca/pdf/actas_comca_2015.pdf · A new class of...

Acta de resúmenes de trabajos aceptados

5 - 6 - 7 de agosto - Universidad Arturo Prat

Sobre el Congreso de Matemática Capricornio

El Congreso de Matemática Capricornio es una actividad académica de divulgacióncientíca que se lleva a cabo anualmente desde el año 1991 con el propósito deimpulsar el desarrollo de la Matemática en la zona norte de Chile. Esta instanciaacadémica posee un carácter singular siendo el único congreso de matemática en estazona del país, representando un aporte signicativo para el desenvolvimiento de ladisciplina a nivel nacional. Este evento, dirigido al desarrollo de todas las áreas de laMatemática, ha sido organizado en conjunto por las universidades de Antofagasta,Arturo Prat, Atacama, Católica del Norte, La Serena y de Tarapacá a través de susrespectivos Departamentos de Matemática. La calidad de las actividades realizadastales como conferencias, sesiones invitadas, cursillos y posters han situado a estecongreso en un lugar de privilegio en el ámbito de la Matemática tanto a nivelnacional como internacional. En este sentido, el evento constituye un instrumentonecesario para el desarrollo de esta ciencia, especialmente en lo que se reere a laformación de recurso humano avanzado a través de la participación activa de alumnosde pregrado y postgrado.

Equipo Editor:Roberto Aravire FloresJosé Ayala HomannCristian Vera Donoso

CONFERENCIAS Y SESIONES INVITADAS

página

Conferencias Plenarias 1

Clasicación de las componentes conexas en espacios de caminos de curvatura acotada . . . . . . 2

Sobre la belleza y aplicabilidad de matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Arithmetic hyperbolic reection groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

En búsqueda de la convexidad en optimización no convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Symplectic Lefschetz brations from a Lie theoretical viewpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Optimal dieomorphisms of surfaces and some applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Sums of squares in nonreal commutative rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Modelo de Ising unidimensional con interacción de largo alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Geografía de supercies complejas simplemente conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Álgebra y Teoría de Números 11

Sobre la rigidez de nilradicales de álgebras de Lie simples en 2Nilpn . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Razón Cruzada como invariante del árbol de Bruhat-Titts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Deformaciones de Hom-Lie álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Evolution algebras and graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Categoricación de una fórmula recursiva para polinomios de Kazhdan-Lusztig . . . . . . . . . . 16

Análisis Estocástico y Matemática Física 17

The Hawkes process with dierent excitation functions and its asymptotic behavior∗ . . . . . . . 18

A Cliord Bundle Approach to the Wave Equation of a Spin 1/2 Fermion in the de Sitter Manifold 19

The functional calculus of operators dened by the Mittag-Leer function . . . . . . . . . . . . . 21

Análisis Numérico 22

Discontinuous nite volume element discretization for coupled owtransport problems arising inmodels of sedimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

An augmented mixed nite element method for the NavierStokes equations with variable viscosity 24

On reactive settling of activated sludge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Function spaces, orthogonal polynomials and spectral methods on the unit disk . . . . . . . . . . 27

DPG method with optimal test functions for a fractional dierential equation . . . . . . . . . . . 28

Convergence of adaptive FE/BE coupling methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Numerical methods for two-phase ow in porous media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Finite element analysis for a bending moment formulation for the vibration problem of a non-homogeneous Timoshenko beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Applying WENO schemes to multi-dimensional multiphase ow in porous media . . . . . . . . . 33

On time discretizations for the simulation of the settling-compression process in one dimension . 35

i

Modelamiento matemático y simulación numérica de un sistema shallow water multicapa consedimentación polidispersa en dos dimensiones horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

A PDE approach to space-time fractional parabolic problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Analysis of conforming nite element methods for a generalized Boussinesq problem . . . . . . . 38

An a posteriori error analysis of a LPS method for the steady incompresible Navier Stokes equations 39

Asymptotic expansion for a thin layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

A virtual element method for the steklov eigenvalue problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Second-order antidiusive Lagrangian-remap schemes for multispecies kinematic ow models . . 42

Ecuaciones Diferenciales Parciales, Ecuaciones de Evolución y Análisis Fun-cional 43

La desigualdad de Ostrowski para funciones Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Stabilization of a Damped Oscillatory Dierential Equations with Delayed Contro . . . . . . . . 46

On the control of the stabilized Kuramoto-Sivashinsky system by a single force . . . . . . . . . . 47

On a Nash equilibrium for a multiobjective control problem in a solidication model . . . . . . . 48

Concentrating solutions for an exponential nonlinearity with Robin boundary condition . . . . . 50

Stability of second-grade uids ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

On an inverse problem in the system modelling the bioconvective ow . . . . . . . . . . . . . . . 52

A boundary control problem on the steady viscous ow of a nonhomogeneous asymmetric uid . 54

Fluidos Magneto micropolares no estacionarios: Estabilidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . 56

Semi-strong solutions for the equations of nonhomogeneous asymmetric uids in unbounded domains 57

The solution of the Riemann Problem for Burgers equation with discontinuous source . . . . . . 59

Electro-Kinetic Soil Cleaning Eciency: An Initial-Boundary Value Problem . . . . . . . . . . . 61

Método de Galerkin espectral multinivel para las ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . 63

Estadística 64

Slashed Generalized Exponential Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Una generalización de la componente simétrica de la distribución alpha-skew-normal . . . . . . . 66

Hierarchical Bayesian Classication with Multivariate Longitudinal Markers with Missing Data . 67

A new generalization of the Maxwell distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Cálculos en problemas de conabilidad: Cadenas de Markov en tiempocontinuo con estados nitosy resolución espectral matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Distribución Birnbaum-Saunders Multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

A new class of slash-elliptical distributions with heavy tails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Mixed models with errors in variables:A robust alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

ii

Testing linear causality in the sense of Granger with functional time series . . . . . . . . . . . . . 74

Modelando la actividad neuronal usando distribuciones de daños acumulados . . . . . . . . . . . 75

Distribución Slash Exponencialmente Modicada Extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Geometría 77

Moduli spaces of non-simple abelian varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

El retículo Hermiteano central, la caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Una Desigualdad Para Secciones Racionales en Supercies de Hirzebruch . . . . . . . . . . . . . 80

Symplectic Lefschetz brations from a Lie theoretical viewpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Deformando los Espacios de m-jets de singularidades aisladas de hipersupercies . . . . . . . . . 82

A moduli space of hyperholomorphic sheaves and deformations of K3 surfaces . . . . . . . . . . . 84

Descomposición más na de los factores Isotípicos de una Variedad Abeliana con acción de grupo 85

Geografía de supercies simplemente conexas en característica p > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Matemática Educativa 88

Comprensión de las Cónicas a través de la teoría de los Modos de Pensamiento . . . . . . . . . . 89

Una descomposición genética para el concepto de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . 91

Metodología Asistida por Computador en la Enseñanza de la Estadística para la carrera de TrabajoSocial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Funciones más frecuentes para los estudiantes de ingeniería: la función cuadrática. . . . . . . . . 95

El rol de la argumentación gráca en la construcción social de los números complejos en alumnosde Iquique: Una mirada socioepistemológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Tecnologías digitales usos y posibilidades en formación inicial docente . . . . . . . . . . . . . . . 97

La complejidad de la enseñanza de la modelización matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Los números de Fibonacci: Modelo de ejemplos para el aula de pregrado . . . . . . . . . . . . . . 101

On Implementation of Hands-on Math Equipment for Regular Lessons at Secondary School . . . 102

Optimización 104

Strong duality and KKT conditions in a nonconvex optimization problem . . . . . . . . . . . . . 105

Controlabilidad de Sistemas bilineales en la esfera S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Teoría de la Viabilidad: un enfoque para el análisis de sustentabilidad de pesquerías . . . . . . . 107

Control Adaptativo de Bioprocesos Asociados a Modelos de Microalgas . . . . . . . . . . . . . . . 109

Condiciones de Optimalidad en Problemas de Control Óptimo Discreto . . . . . . . . . . . . . . 110

Asymptotic analysis and applicattions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Complementarity problems with respect to Loewnerian cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

iii

Sistemas Dinámicos 114

Bifurcations in a predator-prey model with general logistic growth and exponential fading memory115

Asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of fourth order linear dierential equation . . . . 116

Dinámica de un modelo tritróco con una respuesta funcional monotónica no-diferenciable . . . . 118

Turing machines seen as dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Sobre Soluciones Periódicas y Monodromía en Sistemas Dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Soluciones Periódicas de Perturbaciones Simétricas del Problema de Kepler y Aplicaciones . . . . 122

Teoría de Grafos 123

Una cota inferior para el radio espectral y una cota superior para la energía de un árbol doble-starlike124

Upper bound for the energy of certain Bethe trees joined at their roots . . . . . . . . . . . . . . . 125

1 as eigenvalue of a perturbed Laplacian matrix of a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

LU decomposition on Laplacian and signless Laplacian matrices associated with a family of trees 128

Eects on the energy and Estrada indices when edges are added among pendent vertices . . . . . 129

Teoría de Matrices y Aplicaciones 130

Un problema inverso de autovalor para matrices simétricas doblemente echa opuesta . . . . . . 131

Normal nonnegative realization of spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Reconstrucción numérica de un sistema masa-resorte a partir de dos espectros no disjuntos . . . 133

Perturbaciones de rango uno y rango r para Pencil de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Extensions of a result of Minc on elementary divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Una familia de matrices no negativas con espectro y divisores elementales prescritos . . . . . . . 137

iv

XXIV COMCACongreso de Matemática Capricornio5, 6 y 7 de Agosto de 2015, Iquique, Chile

Conferencias

Plenarias

1


Clasicación de las componentes conexas en espacios decaminos de curvatura acotada

José AyalaUNAP, Chile

Abstract

En 1887 Andrey Markov introdujo el concepto de camino de curvatura acotada al estudiar problemasde optimalidad asociados a la construcción de la linea Transiberiana de trenes. Setenta anos mástarte Lester Dubins introdujo los primeros resultados matemáticos en el estúdio de caminos planaresde curvatura acotada en [6]. En 1961, en On plane curves with curvature cf. [7], Dubins formuló unprograma de largo aliento sobre la classicación de las componentes conexas en espacios de caminosplanares de curvatura acotada. En esta charla describiré como dicha classicación fue lograda cincuentaaños más tarde a través de los artículos [1], [2], [3], [4] y [5].

Referencias

[1] J. Ayala, Length minimising bounded curvature paths in homotopy classes, Topology and its Applications, v.192:140-151, 2015.

[2] J. Ayala and J.H. Rubinstein, The classication of homotopy classes of bounded curvature paths (2015) (Trabajoaceptado en el Israel Journal of Mathematics).

[3] J. Ayala, On the Topology of the Spaces of Plane Curves (2014) arXiv:1404.4378v1 [math.GT]

[4] J. Ayala and J.H. Rubinstein, A geometric approach to shortest bounded curvature paths (2014) arXiv:1403.4899v1[math.MG].

[5] J. Ayala and J.H. Rubinstein, Non-uniqueness of the homotopy class of bounded curvature Paths (2014) ar-Xiv:1403.4911 [math.MG].

[6] L.E. Dubins, On Curves of Minimal Length with Constraint on Average Curvature, and with Prescribed Initial andTerminal Positions and Tangents, American Journal of Mathematics 79 (1957), 139-155.

[7] L.E. Dubins, On Plane Curve with Curvature, Pacic J. Math. Volume 11, Number 2 (1961), 471-481.

2


Sobre la belleza y aplicabilidad de matemáticas

Ricardo BaezaUniversidad de Talca, Chile

3


Arithmetic hyperbolic reection groups

Mikhail BelolipetskyIMPA, Brasi

Abstract

A group of isometries of the hyperbolic n-space is called a reection group if it has a nite generatingset which consists of reections in hyperplanes. The study of hyperbolic reection groups has a longand remarkable history going back to the papers of Makarov and Vinberg. In recent years there hasbeen a wave of activity in this area which has led to a solution to the open question of the nitenessof these groups and to some quantitative results towards their classication. I am going to review therecent results and discuss some open problems concerning arithmetic hyperbolic reection groups.

4


En búsqueda de la convexidad en optimización noconvexa

Fabián Flores BazánUniversidad de Concepción, Chile

Abstract

El mundo convexo nos entrega una de las propiedades máss deseables en Optimización, por lo quela falta de la convexidad nos plantea un interesante desafío en Matemática. En esta charla se analizavarias situaciones donde la convexidad está presente en un modo o en otro: desde Cálculo de variaciones,control optimal, hasta optimización matemática o programación cuadrática. Entre los tópicos a tratarestán los Teoremas de Dines y de Finsler una especie de S-lemma) en el mundo cuadrático; el teoremade Lyapunov; dualidad fuerte; función de valor óptimo; Condiciones de optimalidad KKT; optimalidadlocal implica global, etc. Los resultados que se mencionan son producto de los trabajos en colabora-ción con Cristián Vera, Fernando Flores-Bazán, Abderrahim Jourani, Giandomenico Mastroeni, FelipeOpazo, Gabriel Cárcamo.

5


Symplectic Lefschetz brations from a Lie theoreticalviewpoint

Elizabeth Gasparim ∗

Department of MathematicsCatholic University of the North

Antofagasta, Chile

Abstract

I will dene the concept of Symplectic Lefschetz brations, explain why they are interesting, and showa large family of new examples constructed by methods of Lie theory. I will then describe the topologyof their regular bres, and the Hodge diamonds of their compactications.

Joint work with:Lino Grama Department of Mathematics, Unicamp, Brazil.Luiz A. B. San Martin Department of Mathematics, Unicamp, Brazil.

Referencias

[1] E. Gasparim, L. Grama, L. A. B. San Martin, Lefschetz brations on adjoint orbits, preprint.

[2] E. Gasparim, L. Grama, L. A. B. San Martin, Adjoint orbits of semisimple Lie groups and Lagrangean sub-manifolds, to appear in the Proc. Edinburgh Math. Society.

∗e-mail: [email protected]

6


Optimal dieomorphisms of surfaces and someapplications

Joel HassUniversity of California, Davis

Abstract

The problem of comparing the shape of two surfaces arises in many areas, including facial recogni-tion, brain cortex analysis and computer vision. It is referred to by names such as surface registration,surface warping, best t, shape analysis and optimal dieomorphism. We will review some past workin this area and discuss two approaches to constructing an optimal map between a pair of surfaces.The goal is to nd a good alignment of two surfaces, if they are nearly isometric, and to indicate theirgeometric distance if not. One approach is based on nding an optimal conformal map between twogenus-zero surfaces. A second approach is based on constructing hyperbolic orbifold metrics on surfacesand nding an energy minimizing map between them. We will examine what these alignments revealabout the geometric similarity of shapes such as polyhedra, spheres and ellipsoids, and between shapesarising in biology, such as brain cortices, the surfaces of proteins, teeth and bones.

7


Sums of squares in nonreal commutative rings

Detlev HomannTechnische Universität Dortmund, Alemania

Abstract

Let R be a commutative ring with a multiplicative unit 1 dierent from 0. We study invariants fornonreal rings pertaining to sums of squares. The following such invariants have been studied by variousauthors: the level, i.e. the least n such that -1 is a sum of n squares in R; the sublevel, i.e. the least nsuch that 0 is represented by a sum of squares of n + 1 elements that in turn generate the ring as anideal; the Pythagoras number, i.e. the least n such that each sum of squares in R can be written as asum of at most n squares. We dene these invariants to be innite if no such n exists. We call R nonrealif -1 is a sum of squares in R, i.e. if the level is nite. We will introduce two new invariants, the metaleveland the hyperlevel. It turns out that sublevel and metalevel coincide, but our more "geometric.approachwhen dening these new types of level allows to get more precise relations between all these invariantsfor nonreal R. We will investigate the following question: Which are the realizable values for theseinvariants for nonreal rings? In particular, for each type of level, we will study generic rings that realizeprescribed values for the given level. This is joint work with David Leep (University of Kentucky).

8


Modelo de Ising unidimensional con interacción de largoalcance

Jorge Littin CurinaoUniversidad Católica del Norte

Abstract

Consideramos un modelo de Ising ferromagnético unidimensional con interacción de dos cuerpos J(d) =dα−2, donde d representa la distancia entre dos spins, y α es un parámetro que indica la tasa dedecaimiento de la interacción.

Un extensivo estudio de este modelo ha sido desarrollado durante los últimos 40 años: en 1968Dobrushin y Ruelle demostraron (por separado) la existencia de una única medida de Gibbs para elcaso α < 0, mientras que Dyson en 1969 demostró la existencia de al menos dos estados de Gibbspara el caso α > 0, conjeturando que esto también ocurre para el caso límite α = 0. Tal conjetura fuedemostrada más de 10 años después por Fröhlich and Spencer usando un argumento de tipo Peierls,tras una apropiada construcción geométrica de contornos.

Durante la última década, particularmente en el año 2005, Cassandro, Ferrari, Merola y Presuttiretoman el trabajo de Fröhlich and Spencer, y mediante una construcción geométrica más sosticadadel contornos redemuestran explicitamente la existencia de transición de fase para el caso α ∈ [0, 1).

Tal argumento, basado en el de Frolich y Spencer, permitió un estudio más detallado del modelo enla actualidad: algunas de los problemas actuales y resultados recientes serán presentados en esta charla.

9


Geografía de supercies complejas simplemente conexas

Giancarlo UrzúaPUC, Chile

Abstract

Una supercie compleja es una variedad de dimensión real 4, compacta y orientable, la cual es-tá localmente denida por soluciones complejas de polinomios en varias variables. El plano proyectivocomplejo, el producto de dos supercies de Riemann compactas, y los ceros de un polinomio homogéneono singular en el espacio proyectivo complejo son ejemplos de supercies complejas. Existen dos inva-riantes numéricos enteros, llamados números de Chern, los cuales etiquetan las posibles clases (moduli)de supercies complejas posibles, en analogía al rol del género de una supercie de Riemann compacta.En esta charla hablaré sobre los posibles valores que toman estos números (geografía) en superciescomplejas simplemente conexas, y los muchos resultados sobre como se distribuyen, incluyendo misresultados recientes en conjunto con Xavier Roulleau (U. de Poitiers) sobre sus radios.

10


Álgebra y Teoría de Números

Coordinador

María Alvarez

Universidad de Antofagasta, Chile

[email protected]

11


Sobre la rigidez de nilradicales de álgebras de Liesimples en 2Nilpn

María Alejandra Alvarez ∗

Departamento de MatemáticasUniversidad de Antofagasta

Antofagasta, Chile

Abstract

En este trabajo consideramos nilradicales de subálgebras parabólicas de álgebras de Lie simples y damosun criterio para su rigidez en la variedad 2Nilpn de álgebras de Lie 2-pasos nilpotentes.

Referencias

[1] Goze M. and Remm E., Lie Algebras with Associative Structures. Applications to the study of 2-step NilpotentLie Algebras. http://arxiv.org/abs/1201.2674.

[2] Goze M. and Remm E., k-step nilpotent Lie algebras. Georgian Mathematical Journal. 22, N.2, 219234.

[3] Kostant B., Lie algebra cohomology and the generalized Borel-Weil theorem. Ann. Math. (2) 74, (1961), 329-387.

[4] Kostant B., Root Systems for Levi factors and Borel-de Siebenthal Theory. Symmetry and spaces, 129-152, Progr.Math. 278. Birkhäuser Boston 2010.

∗Financiado por Proyecto Fondecyt 11121314, e-mail: [email protected]

12


Razón Cruzada como invariante del árbol deBruhat-Titts

Manuel Arenas ∗

Departamento de Matemáticas, Facultad de CienciasUniversidad de Chile

Santiago, Chile

Abstract

Sea k un cuerpo de valuación discreta. El árbol de Bruhat-Titts es el grafo cuyos vertices son las bolasabiertas del espacio métrico (k, d) donde d es la distancia denida por la valuación. En este grafo dosbolas están unidas por una arista si y sólo si una está contenida en la otra y no hay bolas intermedias.La acción del grupo M de transformaciones de Möbuis en P1(k) se extiende a una acción sobre el árbol.Dados cuatro elementos distintos a, b, c, d ∈ P1(k) denimos su razón cruzada como

[a, b; c, d] =(a− c)(b− d)

(b− c)(a− d)

(teniendo en cuenta los posibles valores de ∞.) En esta charla mostramos que esta razón cruzada es uninvariante del árbol de Bruhat-Titts bajo la acción de M y vemos como se puede aplicar para clasicarincrustaciones de subgrafos en el árbol, módulo conjugación.

Trabajo realizado en conjunto con:Luis Arenas-Carmona 1 ,

Referencias

[1] L. Arenas-Carmona, Eichler orders, trees and representation elds, Int. J. Number Theory, 9 (2013), 1725-1741.

[2] M. Arenas, L. Arenas-Carmona, J. Contreras, Optimal embeddings trees and branches, pre-print.

[3] A,W Mason, A. Schweizer, Non rational genus zero functions elds and the Bruhat-Titts tree, Comm. Algebra,37 (2009), 4241-4258.

[4] J.P. Serre, Trees, Springer-Verlag, Berlin (1980).

∗e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por FONDECYT proyecto 1140533, e-mail: [email protected]

13


Deformaciones de Hom-Lie álgebras

Francisco Cartes ∗


Antofagasta, Chile

Abstract

Una Deformación formal de una Hom-Lie álgebra (g, [·, ·]g, α) es un mapa K[[t]] bilineal[·, ·]t : g[[t]] × g[[t]] → g[[t]] de la forma [·, ·]t =

∑i≥0

ti[·, ·]i, donde [·, ·]0 = [·, ·]g y cada [·, ·]i es un mapa

bilineal [·, ·]i : g × g → g que satisface las condiciones [x, y]t = −[y, x]t y x,y,z [α(x), [y, z]t]t = 0. Enesta charla consideraremos familias de Hom-Lie álgebras multiplicativas de dimensión 3, obtendremosel grupo H2(g, g) y determinaremos en qué casos se trata de Hom-Lie álgebras rígidas.

Referencias

[1] F. Ammar, Z. Ejbehi, A. Makhlouf. Cohomology and Deformations of Hom-algebras, Journal of Lie Theory,Vol.21(4), (2011), 813-836.

[2] D. Burde, C. Steinhoff. Classication of orbit closures of 4-dimensional complex Lie algebras, J. AlgebraVol.(214), (1999), 729-739.

[3] F. Grunewald and J. O'Halloran, Deformations of Lie algebras, Journal of Algebra 162 (1993) 210224.

[4] J. T. Hartwig, D. Larson and S. D. Silvestrov, Deformations of Lie algebras using σ-derivations, Journal ofAlgebra 295 (2006) 314361.

[5] Q. Jin and X. Li, Hom-Lie algebra structures on semi-simple Lie algebras, Journal of Algebra 319 (2008) 13981408.

∗Parcialmente nanciado por Proyecto FONDECYT 11121314, e-mail: [email protected]

14


Evolution algebras and graphs

Alicia Labra ∗

Departmento de MatemáticaUniversidad de Chile

Santiago, Chile

Abstract

Evolution algebras were introduced in 2006 by Tian and Vojtechovsky in their paper Mathematicalconcepts of evolution algebras in non-Mendelian genetics "(see [2]). Later on, Tian laid the foundationsof evolution algebras in his monograph [5]. An evolution algebra is an algebra E containing a countablebasis (as a vector space) B = e1, · · · , en, · · · , such that eiej = 0 for any i 6= j. A basis with thisproperty is called a natural basis. By its own denition, any evolution algebra is commutative. In thistalk we deal with nite dimensional evolution algebras. A digraph is attached to any evolution algebra.This graph leads to some new purely algebraic results on this class of algebras and allows for somenew natural proofs of known results. Nilpotency of an evolution algebra will be proved to be equivalentto the nonexistence of oriented cycles in the graph. Besides, the automorphism group of any evolutionalgebra E with E = E2 will be shown to be always nite (see [1]).

Joint work with:Alberto Elduque 1 , e-mail: [email protected], Departamento de Matemáticas e Instituto Universitariode Matemáticas y Aplicaciones, Universidad de Zaragoza, Zaragoza, España.

Referencias

[1] A. Elduque and A. Labra, Evolution algebras and graphs, Journal of Algebra and its Appliacations, in press, 2015.

[2] J.P. Tian and P. Vojtechovsky, Mathematical concepts of evolution algebras in non-Mendelian genetics, QuasigroupsRelated Systems, 14 (1), (2006), 111-122.

[3] J.P. Tian, Evolution algebras and their applications. Lecture Notes in Mathematics, 1921, Springer-Verlag, Berlin,2008.

∗Partially supported by Fondecyt 1120844, e-mail: [email protected] Partially supported by the Spanish Ministerio de Educación y Ciencia and FEDER (MTM 2010-18370-C04-02) and by

the Diputación General de Aragón (Grupo de Investigación de Álgebra). Part of this research was done while this author wasvisiting the Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile, supported by the FONDECYT grant1120844.

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Categoricación de una fórmula recursiva parapolinomios de Kazhdan-Lusztig

David Plaza ∗


Santiago, Chile

Abstract

Sea (W,S) un grupo de Coxeter. Para cada expresión w ∈ Sk podemos denir un (R,R)-bimódulo deBS(w), conocido como bimódulo de Bott-Samelson, donde R es un anillo de polinomios con coecientesen R. En [2] se demostró que el álgebra de endomorsmos de BS(w), que denotaremos por Aw, es unálgebra celular graduada en el sentido de Hu y Mathas [1]. Esto permite denir Aw-módulos celularesy simples graduados, así como también números de descomposición graduados. Estos últimos son po-linomios de Laurent que cuentan la cantidad de veces que aparece un módulo simple en una serie decomposición graduada de un módulo celular.

Para una una expresión w = (s1, . . . , sk) ∈ Sk, denotamos por w′ a la expresión que se obtiene apartir de w eliminando el último término, esto es, w′ = (s1, . . . , sk−1) ∈ Sk−1. Entonces, existe unainscrustación natural de Aw′ en Aw como subálgebra. Si M es un Aw-módulo, la inclusión anteriornos permite considerar a M como un Aw′ -módulo por restricción. En particular, podemos restringirlos módulos celulares y simples. En este trabajo [3], obtuvimos fórmulas para la restricción de losAw-módulos celulares y simples graduados.

Finalmente, usando las fórmulas de restricción mencionadas arriba y el hecho que los números dedescomposición graduados coinciden con los polinomios de Kazhdan-Lusztig [2, 3], pudimos recuperaruna conocida fórmula que dene a estos polinomios. El proceso de recuperación de esta fórmula a partirde una categoría de módulos, es lo que entendemos por una categoricación de dicha fórmula.

Referencias

[1] Hu, J., & Mathas, A. Graded cellular bases for the cyclotomic Khovanov-Lauda-Rouquier algebras of type A,Advances in Mathematics, 225(2), 598-642. (2010)

[2] Plaza, D., Graded cellularity and the Monotonicity Conjecture, arXiv preprint arXiv:1410.2136 (2014).

[3] Plaza, D., Categorication of a recursive formula for Kazhdan-Lusztig polynomials, arXiv preprint arXiv:1503.02742(2015).

∗Parcialmente nanciado por FONDECYT postdoctorado 3140612, e-mail: [email protected]

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Análisis Estocástico y MatemáticaFísica

Coordinador

Soledad Torres

Universidad de Valparaíso, Chile

[email protected]

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The Hawkes process with dierent excitation functionsand its asymptotic behavior∗

Raúl Fierro ∗

Instituto de Matemáticas Universidad de Valparaíso

Abstract

The standard Hawkes process is constructed from a homogeneous Poisson process and using thesame exciting function for dierent generations of ospring. We propose an extension of this process byconsidering dierent exciting functions. This consideration could be important to be taken into accountin a number of elds; e.g. in seismology, where main shocks produce aftershocks with possibly dierentintensities. The main results are devoted to the asymptotic behavior of this extension of the Hawkesprocess. Indeed, a law of large numbers and a central limit theorem are stated. These results allow usto analyze the asymptotic behavior of the process when unpredictable marks are considered.

∗In collaboration with Victor Leiva and Jesper Møller.

Referencias

[1] Hawkes, A.G. (1972). Spectra of some mutually exciting point processes with associated variables. In: Lewis,P.A.W. (Ed.) Stochastic Point Processes, Wiley, New York.

[2] Brémaud, P. (1981). Point Processes and Queues. Martingale Dynamics, Springer-Verlag, New York.

∗Email: [email protected]

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A Cliord Bundle Approach to the Wave Equation of aSpin 1/2 Fermion in the de Sitter Manifold

Eduardo Notte Cuello ∗

Departamento de Matemáticas, Universidad de La Serena, La Serena, Chile

Abstract

In this work we give a Cliord bundle motivated approach to the wave equation of a free spin1/2 fermion in the de Sitter manifold, a brane with topology M = S0(4, 1)/S0(3, 1) living in the bulkspacetime R4,1 = (M = R5, g) and equipped with a metric eld g := −i∗g with i : M → M being theinclusion map. To obtain the analog of Dirac equation in Minkowski spacetime in the structure M weappropriately factorize the two Casimir invariants C1 and C2 of the Lie algebra of the de Sitter groupusing the constraint given in the linearization of C2 as input to linearize C1. In this way we obtain anequation that we called DHESS1, which in previous studies by other authors was simply postulated.Next we derive a wave equation (called DHESS2) for a free spin 1/2 fermion in the de Sitter manifoldusing a heuristic argument which is an obvious generalization of a heuristic argument permitting aderivation of the Dirac equation in Minkowski spacetime and which shows that such famous equationexpress nothing more than the fact that the momentum of a free particle is a constant vector eld overtimelike integral curves of a given velocity eld. It is a remarkable fact that DHESS1 and DHESS2coincide. One of the main ingredients in our paper is the use of the concept of Dirac-Hestenes spinorelds.

Joint work with:W. A. Rodrigues Jr. 1 , Institute of Mathenatics, Statictics and Scientic Computation, IMECC-UNICAMP,Brazil.S. A. Wainer 2 , Institute of Mathenatics, Statictics and Scientic Computation, IMECC-UNICAMP, Brazil.M. Rivera-Tapia 3 , Departamento de Física, Universidad de La Serena, La Serena-Chile.I. Kondrashuk 4 , Grupo de Matemática Aplicada, Departamento de Ciencias Básicas, Universidad delBío-Bío, Chillán, Chile.

Referencias

[1] Arcidiacono, G. , Relativitá e Cosmologia, vol. II (iv edizione), Libreira Eredi Virgilio Vechi, Roma, 1987.

[2] Cot escu, I. I., The Physical Meaning of the de Sitter Invariants, Gen Rel. Grav. 43, 1639-1656 (2011). [arXiv:1006.1472v6[gr-qc] ]

[3] Crummeyrole, A., Orthogonal and Symplectic Cliord Algebras, Kluwer Acad. Publ.., Dordrecht, 1.990.

∗Partially supported by Dirección de Investigación DIULS, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] Partially supported by DIULS e-mail: [email protected] Partially supported by Fondecyt (Chile) Grants Nos. 1040368, 1050512, and 1121030, and by DIUBB (Chile) Grants Nos.

102609 and 121909 GI/C-UBB, e-mail: [email protected]

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[4] Dirac, P. A. M., The Electron Wave Equation in De-Sitter Space, Ann. Math. 36, 657-669 (1935).

[5] Geroch, R., Spinor Structure of Space-Times in General Relativity I, J. Math. Phys. 9, 1739-1744 (1968).

[6] Gürsey, F., Introduction to Group Theory, in DeWiit, C. and DeWiit, B. (eds.), Relativity, Groups and Topology, pp 91-161,Gordon and Breach, New York, 1964.

[7] Hestenes D., and Sobczyk, G., Cliord Algebras to Geometrical Calculus, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, 1984.

[8] Lawson, H. B. Jr. and Michelson, M-L., Spin Geometry, Princeton University Press, Princeton, 1989.

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[10] Lounesto P., Cliord Algebras and Spinors, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.

[11] Rodrigues, W A. Jr., and Wainer, S. A., A Cliord Bundle Approach to the Dierential Geometry of Branes, Adv. inAppl.Cliord Algebras 24, 617-847 (2014). [arXiv:1309.4007]

[12] Notte-Cuello, E. A. and Capelas de Oliveira, E., Klein-Gordon and Dirac Equations in de Sitter Space Time, Int. J. Theor.Phys. 38, 585-598(1999).

[13] Mosna, R. A. and Rodrigues, W. A. Jr., The Bundles of Algebraic and Dirac-Hestenes Spinors and Spinor Fields,.J. Math.

Phys. 45, 2908-2994 (2004). [ arXiv:math-ph/0212033 ].

[14] Porteous, I., Topological Geometry, second edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981.

[15] Riordan, F., Solutions of the Dirac Equation in Finite de Sitter Space 9Representations of SO4,1), N. Cimento B 20, 309-325(1974).

[16] Rodrigues, W. A. Jr., Algebraic and Dirac-Hestenes Spinors and Spinor Fields, J. Math. Phys. 45 , 2908-2994 (2004) [arXiv:math-ph/0212030].

[17] Rodrigues, W. A. Jr. and Capelas de Oliveira, E., The Many Faces of Maxwell, Dirac and Einstein Equation,. A Cliord

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[18] Rodrigues, W. A. Jr., Vaz Jr., J. and Pavsic, M., The Cliord Bundle and the Dynamics of the Superparticle, Banach CenterPublications. Polish Acad. Sci. 37, 295-314 (1996).

[19] Rodrigues, W A. Jr., and Wainer, S. A., Notes on Conservation Laws, Equations of Motion of Matter and Particle Fields in

Lorentzian and Teleparalle de Sitter Spacetime Structures. [arXiv:1505.02935 [math-ph] ]

[20] Vaz Jr., J., Space-Time Algebra, Dirac-Hestenes Spinors and the Theory of the Electron, Ph.D. Thesis UNICAMP (1993).

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The functional calculus of operators dened by theMittag-Leer function

Humberto Prado ∗

Departamento de Matemáticas y Ciencia de la Computación.Universidad de Santiago de Chile.

Abstract

We apply the functional calculus for self-adjoint operators to the linear fractional Schrödingerequation on a Hilbert space with a fractional time derivative of order 0 < α < 1. More precisely, ifA is a given self-adjoint operator, then by an application of the spectral theorem we prove existenceand uniqueness of strong solutions, for the linear fractional Schrödinger equation ∂αu

∂tα(t) = (−ı)αAu(t)

with the initial condition u(0) = u0. We show that the solutions are governed by an operator solutionfamily Uα(t)t≥0, dened by Eα((−ıt)αA) in which Eα is the Mittag-Leer function. We also study theproblem of the continuos dependence on α for Uα(t), and we show that lımα→1_ Uα(t) = exp−ıtA whereexp−ıtA is the unitary group whose innitesimal generator corresponds to the self adjoint operator Aand in this case we have, as a limiting process, the classical Theorem of Stone.

∗Partially supported by FONDECYT grant # 1130554, e-mail: [email protected]

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Análisis Numérico

Coordinador

Raimund Bürger

Universidad de Concepción, Chile

[email protected]

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Discontinuous nite volume element discretization forcoupled owtransport problems arising in models of

sedimentation

Raimund Bürger ∗

CI2MA & Departamento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

The sedimentation-consolidation and ow processes of a mixture of small particles dispersed in aviscous uid at low Reynolds numbers can be described by a nonlinear transport equation for the solidsconcentration coupled with the Stokes problem written in terms of the mixture ow velocity and thepressure eld. Here both the viscosity and the forcing term depend on the local solids concentration.A semi-discrete discontinuous nite volume element (DFVE) scheme is proposed for this model. Thenumerical method is constructed on a baseline nite element family of linear discontinuous elements forthe approximation of velocity components and concentration eld, whereas the pressure is approximatedby piecewise constant elements. The unique solvability of both the nonlinear continuous problem andthe semidiscrete DFVE scheme is discussed, and optimal convergence estimates in several spatial normsare derived. Properties of the model and the predicted space accuracy of the proposed formulation areillustrated by detailed numerical examples, including ows under gravity with changing direction, asecondary settling tank in an axisymmetric setting, and batch sedimentation in a tilted cylindricalvessel. This presentation is based on [1].

Joint work with:Sarvesh Kumar 1 , Department of Mathematics, Indian Institute of Space Science and Technology,Thiruvananthapuram 695 547, Kerala, India.Ricardo Ruiz-Baier 2 , Institute of Earth Sciences, Géopolis UNIL-Mouline, University of Lausanne,CH-1015 Lausanne, Switzerland.

Referencias

[1] R. Bürger, S. Kumar and R. Ruiz-Baier, Discontinuous nite volume element discretization for coupled owtransport problems arising in models of sedimentation, J. Comput. Phys., to appear.

∗Partially supported by Red Doctoral REDOC.CTA, MINEDUC project UCO1202 at Universidad de Concepción andCONICYT (Chile) through projects Fondecyt 1130154, Anillo ACT 1118 (ANANUM), Basal CMM, and CRHIAM CO-NICYT/FONDAP/15130015. e-mail: [email protected]

1 e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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An augmented mixed nite element method for theNavierStokes equations with variable viscosity

Jessika Camaño ∗

Departamento de Matemática y Física Aplicadas, UCSC andCI2MA, Universidad de Concepción,

Concepción, Chile.

Abstract

A new mixed variational formulation for the Navier-Stokes equations with constant density and variableviscosity depending nonlinearly on the gradient of velocity, is proposed and analyzed here. Our approachemploys a technique previously applied to the stationary Boussinesq problem and to the Navier-Stokesequations with constant viscosity, which consists rstly of the introduction of a modied pseudostresstensor involving the diusive and convective terms, and the pressure. Next, by using an equivalent sta-tement suggested by the incompressibility condition, the pressure is eliminated, and in order to handlethe nonlinear viscosity, the gradient of velocity is incorporated as an auxiliary unknown. Furthermore,since the convective term forces the velocity to live in a smaller space than usual, we overcome thisdiculty by augmenting the variational formulation with suitable Galerkin type terms arising from theconstitutive and equilibrium equations, the aforementioned relation dening the additional unknown,and the Dirichlet boundary condition. The resulting augmented scheme is then written equivalentlyas a xed point equation, and hence the well-known Schauder and Banach theorems, combined withclassical results on bijective monotone operators, are applied to prove the unique solvability of the con-tinuous and discrete systems. No discrete inf-sup conditions are required for the well-posedness of theGalerkin scheme, and hence arbitrary nite element subspaces of the respective continuous spaces canbe utilized. In particular, given an integer k ≥ 0, piecewise polynomials of degree ≤ k for the gradient ofvelocity, Raviart-Thomas spaces of order k for the pseudostress, and continuous piecewise polynomialsof degree ≤ k + 1 for the velocity, constitute feasible choices. Finally, optimal a priori error estimatesare derived, and several numerical results illustrating the good performance of the augmented mixednite element method and conrming the theoretical rates of convergence are reported.

Joint work with:Gabriel N. Gatica 1 , CI2MA and Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción,Concepción, Chile.Ricardo Oyarzúa 2 , GIMNAPDepartamento de Matemática, Universidad del BíoBío, Concepción,Chile, and CI2MA, Universidad de Concepción, Concepción, Chile.

∗Partially supported by project Inserción de Capital Humano Avanzado en la Academia 79130048 and project Fondecyt11140691, e-mail: [email protected]

1 Partially supported by CONICYTChile through BASAL project CMM, Universidad de Chile, project Anillo ACT1118(ANANUM); and by Centro de Investigación en Ingeniería en Matemática (CI2MA), Universidad de Concepción, e-mail:[email protected]

2 Partially supported by project Fondecyt 11121347, project Anillo ACT1118 (ANANUM); and by Universidad del BíoBíothrough DIUBB project 120808 GI/EF, e-mail: [email protected]

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Giordano Tierra 3 , Mathematical Institute, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University,Prague, Czech Republic.

Referencias

[1] Camaño, J., Gatica, G.N., Oyarzua, R. and Tierra, G., An augmented mixed nite element method for theNavier-Stokes equations with variable viscosity. Preprint 2015-09, Centro de Investigación en Ingeniería Matemática(CI2MA), Universidad de Concepción, Chile, (2015).

[2] Camaño, J., Oyarzua, R. and Tierra, G., Analysis of an augmented mixed-FEM for the Navier Stokes problem.Preprint 2014-33, Centro de Investigación en Ingeniería Matemática (CI2MA), Universidad de Concepción, Chile,(2014).

[3] Gabriel, G.N. and Wendland, W.L., Coupling of mixed nite elements and boundary elements for linear andnonlinear elliptic problems. Appl. Anal. 63 (1996), no. 12, 3975.

[4] Howell, J.S. and Walkington, N.J., Dual-mixed nite element methods for the Navier-Stokes equations. ESAIMMath. Model. Numer. Anal. 47 (2013), no. 3, 789805.

3 Partially supported by Ministry of Education, Youth and Sports of the Czech Republic through the ERCCZ projectLL1202, e-mail: [email protected]

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On reactive settling of activated sludge

Julio Careaga ∗


Concepción, Chile

Abstract

A mathematical model for the simulation of batch settling of clarier-thickeners units of activatedsludge is presented. The model is given by concentration equations for the activated and inert micro-organisms, and the sum of these produces an equation that can be expressed as a convection-diusionPDE. These equations were previously studied in a model for the sedimentation process of the secon-dary clarier in wastewater treatment plants [1]. Sedimentation is often modeled under the assumptionthat no reaction takes place. However, there is an interest to model and simulate reactive settling, forexample, in sequencing batch reactors (SBRs) [2, 3, 4]. Hence, it is the purpose of this contribution tomake a rst step towards extending the advances made by Bürger et al. [1] The numerical solution ispresented by a dierence scheme, using dierent approaches: Godunov, Lax-Friedrichs and EngquistOsher numerical ux function. Simulations for dierent scenarios and an error analysis for dierentapproximations of the numerical ows are presented as well.

Joint work with:Raimund Bürger 1 , CI2MA & Departamento de Ingeniería Matemática, U. de ConcepciónStefan Diehl 2 , Centre for Mathematical Sciences, Lund University, SwedenCamilo Mejías 3 , CI2MA & Departamento de Ingeniería Matemática, U. de ConcepciónIngmar Nopens 4 , BIOMATH, Department of Mathematical Modelling, Statistics and Bioinformatics,Ghent University, Belgium

Referencias

[1] R. Bürger, S. Diehl, and I. Nopens. A consistent modelling methodology for secondary settling tanks in waste-water treatment. Water Res., 45(6):2247−2260, 2011.

[2] J. Alex, S.G.E. Röner-Holm, M. Hunze, and N. C. Holm. A combined hydraulic and biological SBR model.Wat. Sci. Tech., 64(5):1025−1031, 2011. ISSN 0273-1223. doi: 10.2166/wst.2011.472.

[3] A. Kazmi and H. Furumai. Field investigations on reactive settling in an intermittent aeration sequencing batchreactor activated sludge process. Water Sci. Tech., 41(1):127−135, 2000a.

[4] A. Kazmi and H. Furumai. A simple settling model for batch activated sludge process. Water Sci. Tech., 42(3-4):9−16, 2000b.

∗Partially supported by CONICYT (Chile) through projects Fondecyt 1130154, Anillo ACT 1118 (ANANUM), and BasalCMM. e-mail: [email protected]

1 e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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Function spaces, orthogonal polynomials and spectralmethods on the unit disk

Leonardo Figueroa ∗

Departamento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

Orthogonal expansions with respect to eigenfunctions of SturmLiouville problems are attractivefrom the approximation theoretical point of view, among other reasons, because the associated pro-jection operators are very simpleindeed, they consist of the truncation of the generalized Fourierseries at a given number of termsand the rate at which the generalized Fourier series of a functionconverges can be transparently expressed in terms of the regularity of said function as measured by aSobolev-type scale of function spaces.

On the unit disk the Zernike family of orthogonal polynomials can be put in the above setting but,being polynomials, also happen to obey a host of recurrence formulas making them very amenable forcomputational purposes including the approximation of linear partial dierential equations by spectralmethods.

We will discuss analytical aspects of the function spaces naturally appearing in the study the Zer-nike polynomials, their relation with better known function spaces on which certain partial dierentialequations are naturally posed, approximation theoretical results and associated spectral methods, in-cluding some simple numerical experiments illustrating the theoretical results.

Referencias

[1] C. Canuto & A. Quarteroni, Approximation results for orthogonal polynomials in Sobolev spaces, Math. Comp.38, pp. 6786, 1982.

[2] F. Dai & Y. Xu, Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls, Springer, New York, 2013.

[3] A. Kufner, Weighted Sobolev spaces, John Wiley & Sons Inc., New York, 1985.

[4] S. Olver & A. Townsend, A fast and well-conditioned spectral method, SIAM Rev. 55, pp. 462489, 2013.

[5] A. Wünsche, Generalized Zernike or disc polynomials, J. Comput. Appl. Math. 174, pp. 135163, 2005.

∗Partially supported by Universidad de Concepción VRID-Enlace project 215.013.040-1.0, e-mail:[email protected]

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DPG method with optimal test functions for a fractionaldierential equation

Thomas Führer ∗

Facultad de MatemáticasPonticia Universidad Católica de Chile

Santiago, Chile.

Abstract

We present an ultra-weak variational formulation of a fractional diusion problem in one space dimen-sion and show that it is well-posed. Based on this formulation we dene a discontinuous Petrov-Galerkin(DPG) scheme with optimal test functions and prove its quasi-optimal convergence. In general, frac-tional order problems lead to inner products dened by double integrals. Hence, the computation ofoptimal test functions is a global problem and therefore costly. However, one particular strength of ourmethod is that it allows for local calculation of the test functions. Numerical examples for uniform andadaptively rened meshes underline our theoretic ndings.

Joint work with:Vincent J. Ervin 1 , Department of Mathematical Sciences, Clemson University, Clemson, South Carolina,USA.Norbert Heuer 2 , Facultad de Matemáticas, Ponticia Universidad Católica de Chile, Santiago, Chile.Michael Karkulik 3 , Facultad de Matemáticas, Ponticia Universidad Católica de Chile, Santiago, Chile.

Referencias

[1] V.J. Ervin, T. Führer, N. Heuer, M. Karkulik, DPG method with optimal test functions for a fractionaldierential equation, work in progress, 2015.

∗Partially supported by CONICYT through FONDECYT project 3150012, e-mail: [email protected] email: [email protected] Partially supported by CONICYT through FONDECYT project 1150056, e-mail: [email protected] Partially supported by CONICYT through FONDECYT project 1150056, e-mail: [email protected]

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Convergence of adaptive FE/BE coupling methods

Michael Karkulik ∗


Santiago

Abstract

The last two decades saw a couple of milestones on the convergence and optimality of adaptive niteelement methods. Today, a contemporary theory is available and can be applied to various discretizationsof PDE. In the last couple of years, we successfully extended these ideas to adaptive boundary elementmethods. The approaches developed for nite elements can also be applied to boundary elements;however, the details are more involved. This is due to the fact that the mathematical theory of boundaryelements is rather elaborate as the operators and norms of the underlying integral equations are non-local.

In this talk, we consider the coupling of nite and boundary elements and its convergence theory.First, we will give a short overview on convergence and optimality of adaptive boundary elements andpoint out the diculties in comparison to nite elements. The key point are novel inverse estimates forboundary integral operators. Then, we introduce a transmission problem and show how it can be solvednumerically using the so-called unsymmetric or Johnson-Nédélec coupling. We present an a-posteriorierror estimator of residual type and show that it fullls the so-called estimator reduction. This impliesconvergence of the standard adaptive algorithm

solve → estimate → mark → refine .

While we focus exclusively on the unsymmetric coupling, our analysis also works for other couplingmethods, e.g., symmetric coupling. Moreover, we comment on why optimality is still unproved for niteelement/boundary element coupling.

Joint work with:Michael Feischl 1 , School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales, Sydney, Aus-tralia.Thomas Führer 2 , Facultad de Matemáticas, Ponticia Universidad Católica de Chile, Santiago. JensMarkus Melenk, Dirk Praetorius 3 , Institut für Analysis und Scientic Computing, Technische Uni-versität Wien, Vienna, Austria.

∗Partially supported by CONICYT through FONDECYT project 3140614, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] Partially supported by CONICYT through FONDECYT project 3150012, e-mail: [email protected] e-mail: melenk,[email protected]

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Numerical methods for two-phase ow in porous media

Sudarshan Kumar K ∗

CI2MAUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

Two phase ow in porous media is well known for its high importance in many of the industrial andengineering applications like petroleum reservoir, sedimentation process, water management in polymerelectrolyte fuel cells, environmental remediation etc. By the two phase ow we mean the simultaneousow of two uids ( for instance oil and water) and a porous medium is a substance that contains pores,or spaces between solid material through which liquid or gas can pass. This ow process is modelled by aset of partial dierential equations of which the exact solution could be used to describe the ow processor to predict the behaviour of the ow in advance. Unfortunately for several reasons its hard to obtainsuch solutions, however on the other hand the entire industry increasingly relies on the numericalsimulation of the model equations. Apparently the complexities in the ow process make it hard toconduct an accurate numerical simulation of the underlying physical model. In this talk we presentthe Runge-Kutta Discontinuous Galerkin (RKDG) and Discontinuous Finite Volume Element (DFVE)methods which are applied to a coupled ow-transport problem describing the immiscible displacementof a viscous incompressible uid in a non-homogeneous porous medium. The model problem consistsof a nonlinear pressure-velocity equation assuming Brinkman ow, coupled to a non-linear hyperbolicequation governing the mass balance (saturation equation). The mass conservation properties inherentto nite volume-based methods motivate a DFVE scheme for the approximation of the Brinkman owin combination with a RKDG method for the spatio-temporal discretization of the saturation equation.Also we present the stability of the scheme for the saturation equation together with a few numericalresults.

Joint work with:Raimund Burger 1 , C2MA, Universidad de Concepción, Concepción, Chile.Sarvesh Kumar 2 , Department of Mathematics, IIST, Trivandrum, India.Ricardo Ruiz-Baier 3 , Institut des Sciences de la Terre,FGSE, Université de Lausanne, Switzerland.

Referencias

[1] Adimurthi, J. Jaré, G.D.V. Gowda, Godunov-type methods for conservation laws with a ux function discontinuousin space. SIAM J. Numer. Anal. (2004) 42:179208.

∗Partially supported by Fondecyt project 3150313, e-mail: [email protected] Partially supported by Fondecyt project 1130154; BASAL project CMM, Universidad de Chile and Centro de Inves-

tigación en Ingeniería Matemática (CI2MA), Universidad de Concepción; Conicyt project Anillo ACT1118 (ANANUM);Red Doctoral REDOC.CTA, MINEDUC project UCO1202; and CRHIAM, project CONICYT/FONDAP/15130015, e-mail:[email protected]

2 e-mail: [email protected] Partially supported by SNSF PP00P2-144922, e-mail: [email protected]

30


[2] R. Bürger, K.H. Karlsen, H. Torres, J.D. Towers, Second-order schemes for conservation laws with discontinuousux modelling clarier-thickener units. Numer. Math. (2010) 116(4):579617.

[3] R. Bürger, S. Kumar, R. Ruiz-Baier, Discontinuous nite volume element discretization for coupled ow-transportproblems arising in models of sedimentation. J. Comput. Phys., to appear.

[4] B. Cockburn, C.-W. Shu, TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin nite element method forconservation laws II: General framework. Math. Comp. (1989) 52:411435.

[5] K. Sudarshan Kumar, C. Praveen, G.D.V. Gowda, A nite volume method for a two-phase multicomponent polymerooding. J. Comput. Phys. (2014) 275:667695.

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Finite element analysis for a bending momentformulation for the vibration problem of a

non-homogeneous Timoshenko beam

Felipe Lepe ∗


Concepción, Chile

Abstract

In this paper we analyze a mixed nite element method for approximating the vibration frequenciesand modes of a non-homogeneous Timoshenko beam. Optimal order error estimates are proved fordisplacements, rotations, shear stress and the bending moments of the vibration modes, as well as adouble order of convergence for the vibration frequencies. These estimates are independent of the beamthickness, which lead to the conclusion that the method is locking free. Finally, we report numericalexperiments which allow us to assess the performance of the method.

Joint work with:David Mora 1 , CI2MA & Departmento de Matemática, Universidad del Bío-Bío, Concepción, Chile.Rodolfo Rodríguez 2 , CI2MA & Departmento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción,Concepción, Chile.

Referencias

[1] J. Descloux, N. Nassif and J. Rappaz, On spectral approximation. Part 1: The problem of convergence. RAIROAnal. Numér., 12 (1978) 97-112.

[2] J. Descloux, N. Nassif and J. Rappaz, On spectral approximation. Part 2: Error estimates for the Galerkinmethod. RAIRO Anal. Numér., 12 (1978) 113-119.

[3] F. Lepe, D. Mora and R. Rodriguez, Locking-free nite element method for a bending moment formulation ofTimoshenko beams. Comput. Math. Appl., 68 (2014) 118131.

[4] C. Lovadina, D. Mora and R. Rodríguez, A locking-free nite element method for the buckling problem of anon-homogeneous Timoshenko beam. ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 45 (2011) 603626.

∗Partially supported by CONICYT (Chile), e-mail: [email protected] Partially supported by CONICYT-Chile through FONDECYT project 1140791, by DIUBB through project 120808

GI/EF and by Anillo ANANUM, ACT1118, CONICYT (Chile). , e-mail: [email protected] Partially supported by BASAL project CMM, Universidad de Chile, by Anillo ANANUM, ACT1118, CONICYT

(Chile) and by Red Doctoral REDOC.CTA, MINEDUC project UCO1202 at Universidad de Concepción (Chile)., e-mail:[email protected]

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Applying WENO schemes to multi-dimensionalmultiphase ow in porous media

M. Carmen Martí Raga ∗

Centro de Investigación en Ingeniería Matemática CI2MAUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

In this work we consider a multiphase ow through a rigid, homogeneous porous medium with nointernal sources or sinks, assuming incompressibility and neglecting mass transfer between phases.

Darcy's law yields that in this case the ux of the i-th phase is given by

fi = λi(ui)(ρig −∇pi), (1)

where ui(x, t), i = 1, . . . , N , x ∈ Ω = (0, 1)d, t ∈ R+, is the concentration (or saturation) of the i-thphase, ρi its density, g is the gravity acceleration, pi is the phase pressure and λi(ui) ≥ 0 is the relativemobility of the i-th phase.

So the continuity equations of all phases can be written as

0 =∂ui∂t

+ div (λi(ui)(ρig −∇pi)) , i = 1, . . . , N. (2)

These equations are supplemented with initial conditions and known normal uxes at the boundary.The assumption that the uid occupies the whole pore space yields that the saturations satisfy∑

i ui = 1. Therefore, adding the former equations we deduce that if∑i ui(x, 0) = 1, ∀x ∈ Ω, then∑

i ui(x, t) = 1, ∀x ∈ Ω, t ∈ R+ if and only if

0 = div

(N∑i=1

λi(ui)(ρig −∇pi)

). (3)

In order to obtain high-order nite-dierence conservative schemes for the approximate solution of(2), we use Shu and Osher's technique [6], for which the conservation property of the spatial discretiza-tion is obtained by ux reconstructions. The ux reconstruction we consider is the Weighted EssentiallyNon Oscillatory reconstruction [3, 5]. To avoid the phase dependence on the weights in the WENO re-constructions, we propose to use weights based on component-wise global smoothness indicators of uand not of split uxes (see [4]).

The key idea in the numerical technique we propose is to dene a discretization for the uxes fiin (1) that preserves the divergence-free character of the numerical uxes not only on the continuousscale but also on the discrete scale, i.e, we require equation (3) to be satised also in the discrete scale,assuring the conservation of the sum of the concentrations through time evolution.

We will derive in detail the one-dimensional numerical technique for the case of neglected capillarityeects. We will present some one-dimensional and two-dimensional standard tests on multi-phase owin a homogeneous porous medium and we will compare the numerical results with those obtained in[1, 2].

∗Partially supported by Proyecto FONDECYT de Postdoctorado 2015 N.3150140, e-mail: [email protected]

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Joint work with:Raimund Bürger 1 , Departamento de Ingeniería Matemática y Centro de Investigación en IngenieríaMatemática CI2MA, Universidad de Concepción, Concepción, ChileFrancisco Guerrero Cortina 2 , Department de Matemàtica Aplicada, Universitat de València, València,España.Pep Mulet Mestre 3 , Department de Matemàtica Aplicada, Universitat de València, València, España.

Referencias

[1] F. Guerrero, R. Donat, P. Mulet, Solving a model for 1-D three phase ow vertical equilibrium processes ina homogeneous porous medium by means of a Weighted Essentially Non Oscillatory numerical scheme, Computersand Mathematics with Applications, 66, 2013, pp. 1284-1298.

[2] R. Donat, F. Guerrero, P. Mulet, Implicit-Explicit methods for models for vertical equilibrium multiphaseow, Computers and Mathematics with Applications, 68(3), 2014, pp. 363-383.

[3] G.-S. Jiang, C.-W. Shu, Ecient implementation of weighted ENO schemes, J. Comput. Phys., 126(1), 1996, pp.202-228.

[4] D. Levy, G. Puppo, G. Russo, Central weno schemes for hyperbolic systems of conservation laws, M2AN, Mat.Mod. and Num. An., 33, 1999, pp. 547-571.

[5] X.D. Liu, S. Osher, T. Chan, Weighted essentially non-oscillatory schemes, J. Comput. Phys., 115(1), 1994, pp.200-212.

[6] C.-W. Shu, S. Osher, Ecient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, ii, J. Com-put. Phys., 83, 1989, pp. 32-78.

1 Partially supported by Fondecyt project 1130154; Conicyt project Anillo ACT1118 (ANANUM); Red Doctoral RE-DOC.CTA, MINEDUC project UCO1202 at Universidad de Concepción; BASAL project CMM, Universidad de Chile andCentro de Investigación en Ingeniería Matemática (CI2MA), Universidad de Concepción; and Centro CRHIAM ProyectoConicyt Fondap 15130015, e-mail: [email protected]

2 Partially supported by MINECO projects MTM2011-22741 and MTM2014-54388, e-mail:[email protected]

3 Partially supported by MINECO projects MTM2011-22741 and MTM2014-54388, e-mail: [email protected]

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On time discretizations for the simulation of thesettling-compression process in one dimension

Camilo Mejías ∗

CI2MA & Departamento de Ingeniería Matemática,Universidad de Concepción,

Concepción, Chile.

Abstract

The simulation model for secondary settling tanks by Bürger et al. (2013) was introduced mainly toresolve spatial discretization problems when both hindered settling and the phenomena of compressionand dispersion are included. Straightforward time integration unfortunately means long computationaltimes. The next step in the development is to introduce and investigate time-integration methods formore ecient simulations, but where other aspects such as implementation complexity and robustnessare equally considered. The key ndings are partly a new time-discretization method and partly itscomparison with other specially-tailored and standard methods. Several advantages and disadvantagesfor each method are given. One conclusion is that the new linearly implicit method is easier to implementthan another one (semi-implicit method), but less ecient based on two types of batch sedimentationtests.

This presentation is based on [3].

Joint work with:Raimund Bürger 1 , CI2MA and Departamento de Ingeniería Matemática Universidad de Concepción,Casilla 160-C, Concepción, Chile.Stefan Diehl 2 , Centre for Mathematical Sciences, Lund University, P.O. Box 118,S-221 00 Lund, Sweden.

Referencias

[1] Berger, A.E., Brézis, H. and Rogers, J.C.W. 1979. A numerical method for solving the problem ut−∆f(u) = 0.RAIRO Anal. Numér. 13, 297312.

[2] Bürger, R., Diehl, S., Faras, S., Nopens, I. and Torfs, E. 2013. A consistent modelling methodology forsecondary settling tanks: A reliable numerical method. Water Sci. Tech. 68, 192208.

[3] Bürger, R., Diehl, S. and Mejías, C. 2015, On time discretizations for the simulation of the settling-compressionprocess in one dimension. Preprint 201520, Centro de Investigación en Ingeniería Matemática, Universidad deConcepción; submitted.

[4] Diehl, S. 2007. Estimation of the batch-settling ux function for an ideal suspension from only two experiments.,Chemical Engineering Science 62, 45894601.

[5] Diehl, S., Faras, S. and Mauritsson, G. 2015. Fast reliable simulations of secondary settling tanks in wastewatertreatment with semi-implicit time discretization. Comput. Math. Applic., in press.

[6] Kynch, G.J. 1952. A theory of sedimentation, Trans. Faraday Soc. 48, 166176.

∗Partially supported by CRHIAM, Proyecto Conicyt Fondap 15130015, BASAL project CMM, Universidad de Chile andConicyt project Anillo ACT1118 (ANANUM) E-mail: [email protected]


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Modelamiento matemático y simulación numérica de unsistema shallow water multicapa con sedimentación

polidispersa en dos dimensiones horizontales

Víctor Osores ∗

CI2MA y Departamento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

En este trabajo consideramos una mezcla formada por un uido viscoso y material particulado disper-so en ella formado principalmente por partículas sólidas pequeñas de diferentes especies y diferentestamaños. El modelo que se presenta nace de combinar un sistema Shallow Water (o Saint Venant) conun sistema de sedimentación polidispersa, esto permite conocer tanto el comportamiento vertical de laespecies en la mezcla como también el movimiento horizontal de ellas en el uido. El modelo multicapaaparece tras dividir el dominio a lo largo de la dirección vertical en M capas de tamaño hα, resultandoen un modelo Shallow Water multicapa con sedimentación polidispersa en dos dimensiones horizonta-les, el cual puede ser escrito como un sistema hiperbólico con productos no conservativos no homogéneo.

Trabajo realizado en conjunto con:Raimund Bürger CI2MA y Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción, Chile.Enrique D. Fernández-Nieto Departamento de Matemática Aplicada I, Universidad de Sevilla, España.

Referencias

[1] M.J. Castro-Díaz, E.D. Fernández-Nieto, A.M Ferreiro, J.A García-Rodríguez, C. Parés, High order extensions ofRoe schemes for two-dimensional nonconservative hyperbolic systems. SIAM J. Sci. Comput. 39 (2009), 67114.

[2] G. Dal Maso, P.G. Le Floch, F. Murat, Denition and weak stability of nonconservative products, J. Maths. PuresAppl. 74 (1995), 483548.

[3] E.D. Fernández-Nieto, E.H. Koné, T. Morales de Luna, R. Bürger, A multilayer shallow water system for polydispersesedimentation, J. Comput. Phys. 238 (2013), 281314.

∗Parcialmente nanciado por REDOC.CTA, MINEDUC project UCO1202 at Universidad de Concepción and CONICYT(Chile) through projects Anillo ACT 1118 (ANANUM) and Basal CMM, e-mail: [email protected]

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A PDE approach to space-time fractional parabolicproblems

Enrique Otárola ∗

Departamento de MatemáticaUniversidad Técnica Federico Santa María

Valparaíso, Chile

Abstract

We study solution techniques for evolution equations with fractional diusion and fractional time de-rivative in a polyhedral bounded domain. The fractional time derivative, in the sense of Caputo, isdiscretized by a rst order scheme and analyzed in a general Hilbert space setting. We show discretestability estimates which yield an energy estimate for evolution problems with fractional time deriva-tive. The spatial fractional diusion is realized as the Dirichlet-to-Neumann map for a nonuniformlyelliptic problem posed on a semi-innite cylinder in one more spatial dimension. We write our evolutionproblem as a quasi-stationary elliptic problem with a dynamic boundary condition, and we analyze itin the framework of weighted Sobolev spaces. The rapid decay of the solution to this problem suggestsa truncation that is suitable for numerical approximation. We propose and analyze a rst order semi-implicit fully-discrete scheme to discretize the truncation: rst degree tensor product nite elements inspace and a rst order discretization in time. We prove stability and error estimates for this scheme.

Joint work with:R. H. Nochetto 1 , Department of Mathematics and Institute for Physical Science and Technology, Uni-versity of Maryland, College Park, MD 20742, USA.A. J. Salgado 2 , Department of Mathematics, University of Tennessee Knoxville, TN 37996, USA.

∗Partially supported NSF grants DMS-1109325, DMS-1411808 and by CONICYT through project Anillo ACT1106, e-mail:[email protected]

1 Partially supported by NSF grants DMS-1109325 and DMS-1411808, e-mail: [email protected] Partially supported by NSF grant DMS-1418784, e-mail: [email protected]

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Analysis of conforming nite element methods for ageneralized Boussinesq problem

Ricardo Oyarzúa ∗

GIMNAP-Departamento de Matemática, UBB, Concepción, Chileand CI2MA, UDEC, Concepción, Chile

Abstract

In this talk we present conforming nite element methods for the numerical simulation of a generalizedBoussinesq problem, describing the motion of a non-isothermal incompressible uid subject to a heatsource. We consider the standard velocity-pressure formulation for the uid ow equations which iscoupled with a primal-mixed scheme for the convection-diusion equation modelling the temperature.In this way, the unknowns of the resulting formulation are given by the velocity, the pressure, the tempe-rature, and the normal derivative of the latter on the boundary. Hence, assuming standard hypotheseson the discrete spaces, we prove existence and stability of solutions of the associated Galerkin scheme,and derive the corresponding Cea's estimate for small and smooth solutions. In particular, any pairof stable Stokes elements, as Hood-Taylor elements, for the uid ow equations, continuous piecewisepolynomials of degree ≤ k + 1 for the temperature, and piecewise polynomials of degree ≤ k for theboundary unknown become feasible choices of nite element subspaces. Finally, we derive optimal apriori error estimates, and provide a numerical result illustrating the performance of the conformingmethod and conrming the theoretical rates of convergence.

Joint work with:Paulo Zúñiga 1 , GIMNAP-Departamento de Matemática, UBB, Concepción, Chile (currently: DIM-UDEC, Concepción, Chile).

Referencias

[1] C. Bernardi, B. Métivet, B. Pernaud-Thomas, Couplage des équations de Navier-Stokes et de la chaleur: lemodèle et son approximation par éléments nis. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 29,no. 7, pp. 871921, (1995).

[2] E. Colmenares, G.N. Gatica and R. Oyarzúa, Analysis of an augmented mixed-primal formulation for thestationary Boussinesq problem. Preprint 2015-07, Centro de Investigacón en Ingeniería Matemática (CI2MA), Uni-versidad de Concepción, Chile, (2015).

[3] G.N. Gatica: A Simple Introduction to the Mixed Finite Element Method. Theory and Applications Springer Briefsin Mathematics, Springer, Cham Heidelberg New York Dordrecht London, (2014).

[4] R. Oyarzúa, T. Qin and D. Schötzau, An exactly divergence-free nite element method for a generalized Bous-sinesq problem. IMA Journal of Numerical Analysis, vol. 34, 3, pp. 11041135, (2014).

∗Partially supported by CONICYT-Chile through project Fondecyt 11121347, project Anillo ACT1118 (ANANUM) andby Universidad del Bío-Bío through DIUBB project 120808 GI/EF , e-mail: [email protected]

1 Partially supported by by CONICYT-Chile through Anillo ACT1118 (ANANUM), e-mail: [email protected]

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An a posteriori error analysis of a LPS method for thesteady incompresible Navier Stokes equations

Ramiro Rebolledo ∗

Departmento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

In this talk we present and analize an a posteriori error estimate of hierarchical type for the loworderlocal projection method introduced in [1] which approximate the solution of the incompressible NavierStokes equations in Ω ⊂ Rd (d = 2, 3). This error estimator is based on the solution of local problemsposed on appropriate nite dimensional spaces composed by bubblelike functions. We will also showsome numerical results that verify the performance of the estimator.

Joint work with:Rodolfo Araya 1 , Departmento de Ingeniería Matemática & CI2MA, Universidad de Concepción, Con-cepción, Chile.

Referencias

[1] Rodolfo Araya, Abner H. Poza, and Frédéric Valentin, A loworder local projection method for the in-compressible NavierStokes equations in two and three-dimensions, IMA Journal of Numerical Analysis, 2015.

[2] Rodolfo Araya, Abner H. Poza, and Frédéric Valentin, On a hierarchical error estimator combined witha stabilized method for the NavierStokes equations, Numerical Methods for Partial Dierential Equations, 2012.

[3] Rodolfo Araya and Ramiro Rebolledo, An a posteriori error analysis of a LPS method for the steady incom-presible Navier Stokes equations (in preparation).

∗Partially supported by Red Doctoral REDOC.CTA, MINEDUC project UCO1202 at U. de Concepción, e-mail:[email protected]

1 Partially supported by CONICYT/Chile through FONDECYT project N 1110551, Basal project CMM-CI2MA PFB-03, Anillo project ANANUM ACT1118 and Red Doctoral REDOC.CTA, MINEDUC project UCO1202 at U. de Concepción,e-mail: [email protected]

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Asymptotic expansion for a thin layer

Cinthya Rivas Valenzuela ∗

CI2MA y Departamento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

We propose an asymptotic model to simulate thin diraction gratings in the design of solar cells. Thethin grating is replaced by an interface with appropriated transmission conditions and the solution isproperly expanded in a power series involving the thickness parameter [1]. For a second order truncatedseries in this asymptotic expansion, we prove that the problem is well-posed. To validate our methodwe compare the solution obtained by the asymptotic model with the solution of a conforming niteelement method [2]. In both cases the Dirichlet to Neumann operators are computed by appropriatedseries expansions above and below the structure.

Joint work with:Peter B. Monk 1 , Department of Mathematical Sciences, University of Delaware, Newark, Delaware19716, USA.Rodolfo Rodríguez 2 , CI2MA and Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción,Concepción, Chile.Manuel Solano 3 , CI2MA y Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción, Con-cepción, Chile.

Referencias

[1] O. Ozdemir, H. Haddar and A. Yaka. Reconstruction of the electromagnetic eld in layered media using the concept

of approximate transmission conditions. IEEE Trans. Antennas. Propag. 59, 2964-2972 (2011)

[2] M. Solano, M. Faryad, A. Lakhtakia and P. Monk. Comparison of rigorous coupled-wave approach and nite element

method for photovoltaic devices with periodically corrugated metallic backreector. J. Opt. Soc. Am. A 31, 2275-2284 (2014)

∗Partially supported by a CONICYT (Chile) fellowship, e-mail: [email protected] Partially supported by DMR-1125590, e-mail: [email protected] Partially supported by BASAL project, CMM, Universidad de Chile, by Anillo ANANUM, ACT1118, CONICYT

(Chile) and by Red Doctoral REDOC.CTA, MINEDUC project UCO1202 at Universidad de Concepción (Chile), e-mail:[email protected]

3 Partially supported by CONICYT-Chile via grant FONDECYT-11130350 and BASAL project CMM, Universidad deChile, e-mail: [email protected]

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A virtual element method for the steklov eigenvalueproblem

Gonzalo Rivera ∗

CI2MA and Departamento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

Multiple mechanical problems, for example, gravity oscillation of liquids, are mathematically modeledas Steklov eigenvalue problem. Recently has been introduced an alternative to nite element methods,called virtual elements methods [1, 2, 3]. The aim of this paper is to develop a virtual element methodfor the two-dimensional Steklov eigenvalue problem. We propose a discretization by means of the virtualelements presented in [2]. Under standard assumptions on the computational domain, we establish thatthe resulting scheme provides a correct approximation of the spectrum and prove optimal order errorestimates for the eigenfunctions and a double order for the eigenvalues. We also prove higher order errorestimates for the computation of the eigensolutions on the boundary, which in some Steklov problems(computing sloshing modes, for instance) provides the quantity of main interest (the free surface of theliquid). Finally, we report some numerical tests supporting the theoretical results.

Joint work with:David Mora 1 , CI2MA and Departamento de Matemática, Universidad del Bío-Bío, Concepción, Chile.Rodolfo Rodríguez 2 , CI2MA and Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción,Concepción, Chile.

Referencias

[1] L. Beirão da Veiga, F. Brezzi, L. D. Marini and A. Russo, The hitchhiker's guide to the virtual elementmethod, Math. Models Methods Appl. Sci. 24 (2014) 15411573.

[2] L. Beirão da Veiga, F. Brezzi, A. Cangiani, G. Manzini, L.D. Marini and A. Russo, Basic principles ofvirtual element methods, Math. Models Methods Appl. Sci. 23 (2013) 199214.

[3] F. Brezzi and L.D. Marini, Virtual elements for plate bending problems, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.,253 (2012), pp. 455462.

[4] D. Mora, G. Rivera and R. Rodríguez, A virtual element method for the Steklov eigenvalue problem, Math. ModelsMethods Appl. Sci. 25 (2015) 14211445.

∗Partially supported by a CONICYT (Chile) fellowship, e-mail: [email protected] Partially supported by CONICYT (Chile) through FONDECYT project No. 1140791, by DIUBB through project 120808

GI/EF and by Anillo ANANUM, ACT1118, CONICYT (Chile), e-mail: [email protected] Partially supported by BASAL project, CMM, Universidad de Chile, by Anillo ANANUM, ACT1118, CONICYT

(Chile) and by Red Doctoral REDOC.CTA, MINEDUC project UCO1202 at Universidad de Concepción (Chile), e-mail:[email protected]

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Second-order antidiusive Lagrangian-remap schemesfor multispecies kinematic ow models

Luis-Miguel Villada ∗

Departamento de MatemáticasUniversidad del Bío-Bío

Concepción, Chile

Abstract

This talk deals the numerical approximation of the solutions of multi-species kinematic ow models.These models are strongly coupled nonlinear rst-order conservation laws with various applicationslike sedimentation of a polydisperse suspension in a viscous uid, or trac ow modeling. Since theeigenvalues and eigenvectors of the corresponding ux Jacobian matrix have no closed algebraic form,this is a challenging issue. A new class of simple schemes based on a Lagrangian-Eulerian decomposition(the so-called Lagrangian-remap (LR) schemes) was recently advanced in [2] for trac ow models withnonnegative velocities, and extended to models of polydisperse sedimentation in [3]. Since they are onlyrst-order accurate, we propose in [4] an extension to second-order accuracy using quite standardMUSCL and Runge-Kutta techniques. Numerical illustrations are presented for both applications andinvolving eleven species (sedimentation) and nine species (trac) respectively.

Joint work with:R. Bürger 1 , CI2MA and DIM, Universidad de Concepción, Concepción, Chile.C. Chalons 2 , Laboratoire de Mathématiques de Versailles, Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines, Versailles, Francia.

Referencias

[1] O. Bokanowski and H. Zidani. Anti-dissipative schemes for advection and application to Hamilton-Jacobi-Bellmanequations. J. Sci. Comput., 30 (2007), pp. 133.

[2] R. Bürger, C. Chalons, and L.M. Villada. Anti-diusive and random-sampling Lagrangian-remap schemes for themulti-class Lighthill-Whitham-Richards trac model. SIAM J. Sci. Comput., 35 (2013), B1341B1368.

[3] R. Bürger, C. Chalons, and L.M. Villada. Antidiusive Lagrangian-remap schemes for models of polydisperse sedi-mentation. Submitted to NMPDE.

[4] R. Bürger, C. Chalons, and L.M. Villada. On second-order antidiusive Lagrangian-Remap schemes multispecieskinematic ow models. Submitted to Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.).

[5] B. Després and F. Lagoutière. Contact discontinuity capturing schemes for linear advection and compressible gasdynamics. J. Sci. Comput., 16 (2001), pp. 479524.

∗Partially supported by Fondecyt project 11140708, e-mail: [email protected] Partially supported is supported by Fondecyt project 1130154; BASAL project CMM, Universidad de Chile and Centro

de Investigación en Ingeniería Matemática (CI2MA), Universidad de Concepción; Conicyt project Anillo ACT1118 (ANA-NUM); Red Doctoral REDOC.CTA, MINEDUC project UCO1202; and CRHIAM, project CONICYT/FONDAP/15130015.,e-mail: [email protected]

2 e-mail: [email protected]

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Ecuaciones Diferenciales Parciales,Ecuaciones de Evolución y Análisis

Funcional

Coordinador

Marko Rojas Medar

Universidad del Biobio, Chile

[email protected]

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La desigualdad de Ostrowski para funciones Fuzzy

Iván Aguirre-Cipe ∗

Departamento de MatemáticaUniversidad de Tarapacá

Arica, Chile

Abstract

In the present article presents new Ostrowski type inequalities for generalized Hukuhara dierentiblefuzzy functions. As a consequence of this inequalities we present an error estimation to Riemman-typequadrature rule for fuzzy-valued functions.

Las funciones fuzzy gH-diferenciables son una importante herramienta en análisis matemático fuzzy yaplicaciones. De hecho, es un concepto útil en el estudio de ecuaciones diferenciales fuzzy [2], [3] y optimi-zación fuzzy [4].

El primer tipo de desigualdad del tipo Ostrowski para funciones fuzzy fue presentado en [1] usando elconcepto de Hukuhara diferenciable [6]. Más recientemente, la desigualdad tipo Ostrowski para funcionescon valores intervalos fue presentada en [5].

En este trabajo se presenta una nueva desigualdad del tipo Ostrowski para funciones fuzzy gH-diferenciables.

Teorema 1 Sea f : [a, b] −→ RF una función fuzzy continuamente gH−diferenciable en [a, b], con un

número nito de puntos switching a = c0 < c1 < ... < cn < cn+1 = b. Entonces para x ∈ [a, b] tenemos

D

(1

b− a

∫ b

a

f(y)dy, f(x)

)≤∥∥∥f ′∥∥∥

∞

((x− a)2 + (b− x)2

2(b− a)

)

Aquí, RF denota la familia de todos los números fuzzy y D es una extensión de la métrica de Hausdor, esdecir, dados u, v ∈ RF la distancia entre u y v es

D(u, v) = supα∈[0,1]

max |uα − vα| , |uα − vα| ,

con [u]α = [u, u] siendo el α-nivel del número fuzzy u y [v]α = [v, v] siendo el α-nivel del número fuzzy v.

El Teorema 1 generaliza las desigualdades presentadas en [1] y [5]. Como consecuencia de la desigualdadobtenida, presentamos un error de estimación para la regla de cuadratura del tipo Riemann para funciones


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fuzzy.

Trabajo realizado en conjunto con:Yurilev Chalco-Cano 1 , Instituto de Alta Investigación, Universidad de Tarapaca, Arica, Chile.Heriberto Román-Flores 2 , Instituto de Alta Investigación, Universidad de Tarapacá, Arica, Chile.Arturo Flores-Franulic 3 , Departamento de Matemática, Universidad de Tarapacá, Arica, Chile.

Referencias

[1] G. A. Anastassiou, Fuzzy Ostrowski type inequalities, Computational and Applied Mathematics 22,2003 279-292.

[2] B. Bede y S. G Gal, Solutions of fuzzy dierential equations based on generalized dierentiability, Communicationsin Mathematical Analysis 9, 2010 22-41.

[3] Y. Chalco-Cano, H. Román-Flores, On new solution of fuzzy dierential equations, Chaos and solutions Frac-tals 38, 2008 112-119.

[4] Y. Chalco-Cano, G.N. Silva, A. Rufián-Lizana,On the Newton method for solving fuzzy optimization problems,Fuzzy Sets and Systems, 2015.

[5] Y. Chalco-Cano, A. Flores-Franulic, H. Román-Flores, Ostrowski type inequalities for interval-valuedfunctions using generalized Hukuhara derivative, Computational and Applied Mathematics 31, 2012 457-472.

[6] M. Hukuhara, Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe, Funkcialaj Ekvacioj10, 1967 205-223.

[7] M. A. Rojas-Medar, M. D. Jiménez-Gamero, Y. Chalco-Cano, A. J. Viera-Brandão, Fuzzy quasilinearspaces and applications, Fuzzy Sets and Systems 152, 2005 173-190.

1 Parcialmente nanciado por proyecto Fondecyt No 1151154, e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por proyecto Fondecyt No 1151159, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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Stabilization of a Damped Oscillatory DierentialEquations with Delayed Contro

Samuel Castillo ∗

Department of Mathematics. Faculty of SciencesUniversity of Bío-BíoConcepción, Chile

Abstract

Consider the dumped oscillatory dierential equation with delayed control

mx(t) + γx(t) + µx(t− r) + kx(t) = F (t), t ≥ 0, (4)

with initial condition x(θ) = ϕ(θ), for θ ∈ [−r, 0], where m, γ, k are non negative constants such thatγ2 < 4mk, µ, r > 0 are positive constants which represent control and delay respectively and F (t) isan almost automorphic function. ¾How large µ need to be and how small r need to be and sup |F (t)|, toobtain stability for equation (4)?

The characteristic quasi-polynomial of (4) is P (λ) = mλ2 + γλ + µe−λrλ + k. Its roots form anumerable set λn(µ, r)n∈N ⊆ C such that Re(λn(µ, r)) ≥ Re(λn+1(µ, r)) for all n ∈ N, λn(µ, r)→ −∞as n → +∞ y #λ ∈ C : P (λ) = 0 e Im(λ) = β < +∞, for all β ∈ R. To study the stability of (4)with F (t) = 0, a estimate of Re(λ1(µ, r)), in terms of µ and r will be given. To estimate the necessarysmallness of F (t), methods used in [1] will be adapted.

Comparisons with the example dealt in [2] will be given.

Referencias

[1] A. Chávez, S. Castillo, M. Pinto Discontinuous almost automorphic functions and almost automorphic solu-tions of dierential equations with piecewise constant arguments, EJDE, 2014, No. 56 pp. 113, 2014.

[2] N. Minorsky Problems of anti-rolling stabilization of ships by the activated tank method, Journal of the AmericanSociety for Naval Engineers, 47, pp. 87119, 1935.

∗Supported by UBB, e-mail: [email protected], [email protected]

46


On the control of the stabilized Kuramoto-Sivashinskysystem by a single force

Eduardo Cerpa ∗


Valparaíso, Chile

Abstract

This talk presents a control problem for a one-dimensional nonlinear parabolic system, which consistsof a Kuramoto-Sivashinsky (KS) equation coupled to a heat equation. We consider a distributed controlforce supported in an interior open subset of the domain and acting only on either the KS equation [1]or the heat equation [2]. The local null-controllability of the system is proven. The proof is based on aCarleman estimate for the linearized system around the origin. A local inversion theorem is applied toget the result for the nonlinear system.

Joint work with:

Nicolás Carreño, Alberto Mercado 1 , Departamento de Matemática, Universidad Técnica FedericoSanta María, Valparaíso, Chile.

Ademir Pazoto 2 , Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,Brasil.

Referencias

[1] E. Cerpa, A. Mercado, A. Pazoto, Null controllability of the stabilized Kuramoto-Sivashinsky system with onedistributed control, SIAM J. Control Optim., 2015.

[2] N. Carreño, E. Cerpa, Local controllability of the stabilized Kuramoto-Sivashinsky system by a single controlacting on the heat equation, under review.

∗Partially supported by Fondecyt grant No. 1140741. E-mail: [email protected] E-mail: [email protected], [email protected] E-mail: [email protected]

47


On a Nash equilibrium for a multiobjective controlproblem in a solidication model

Anibal Coronel ∗† GMA, Departamento de Ciencias Básicas,

Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío,Campus Fernando May, Chillán, Chile,

Abstract

In this paper, we study the following multiobjective optimal control problem for a solidication model:consider that ω1, ω2 are two open regions of Ω with ω1 ∩ω2 = ∅, ω1,d and ω2,d are two open subsets ofΩ, and consider the following spaces:

E1 = W 2,12s (Q), E2 = W 2,1

2m (Q), Ur = L2s(Qr) = L2s(ωr × (0, T )),

E = E1 × E2 × U1 × U2, E = L2s(Q)× L2m(Q)× L2s(Ω)× L2m(Ω),

consider the functionals Jr : E → R, r = 1, 2, dened as follows

Jr(u, φ, f1, f2) =αr2

∫ T

0

∫ωr,d

|u− ur,d|2kdxdt+βr2

∫ T

0

∫ωr,d

|φ− φr,d|2mdxdt

+µr2

∫ T

0

∫ωr

|fr|2sdxdt,

where µr > 0, αr ≥ 0, βr ≥ 0, r = 1, 2, are constants; ur,d and φr,d are given functions in L2s(Qr,d) =L2s(ωr,d × (0, T )), r = 1, 2; the functions fr are controls belong Ur; and the states (u, φ) are solutionsof the following system

∂tu+ l∂tφ = ∆u+ f1χω1 + f2χω2 , in Q,∂tφ = ∆φ+ F (φ) + u, in Q,u = u0, φ = φ0, in Ω,

∂u∂n

= 0,∂φ∂n

= 0, on Σ.

We formulate the original problem as an abstract vectorial optimization problem of the following type

(P3) mın(z,ϕ,h1,h2)∈Q

(J1(z, ϕ, h1, h2), J2(z, φ, h1, h2)),

where Q is given by the following restriction Q = (u, φ, f1, f2) ∈ E;M(z, ϕ, h1, h2) = 0 with M :

E → E an appropriate operator. Then, in the main contribution of the paper, we prove a necessaryconditions for the existence of a Nash equilibrium for (P3).

Joint work with:Francisco Guillén-Gonzáles 1 , Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico y IMUS,

∗Supported by the research project GI 153209/C at Universidad del Bío-Bío, Chile, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

48


Facultad de Matemáticas, Universidad de Sevilla, Aptdo. De correos 1160, 41080 Sevilla, España,Author Francisco Marques-Lopes 2 , Deprtamento de Matemática, UFPA, CP 479, 66075-110, Belém-PA, BrasilMarko Rojas-Medar 3 , † GMA, Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias, Universidaddel Bío-Bío, Campus Fernando May, Chillán, Chile,

Referencias

[1] Aubin, J. P., Mathematical Methods of Game and Economic Theory, North-Holland Publishing Company, 1979.

[2] Alexeév, V., Fomine, S., Tikomirov, V. Commande Optimale. Moscou, Mir, 1982.

[3] Brandão, A. J. V., Rojas-Medar, M. A., Optimal control for the stationary Navier- Stokes equations: Dubovitskii-Milyutin approach, Anais da 1a. Escola Brasileira de Aplicações em Dinámica e Controle, EESC/USP- S-o Carlos,ABCM, SBMAC, 217-220, 2001.

[4] Caginalp, G., An Analysis of a Phase Field Model of a Free Boundary, Arch. Rat. Mech. Anal., 92, pp.205-245,1986.

[5] Censor, Y., Pareto Optimality in Multiobjective Problems, Applied Mathematics and Optimization 4, pp.41-59,1977.

[6] De Aguiar, R., Contribuições em controle ótimo distribuido via formalismo de Dubovitskii-Milyutin. Aspectosteóricos, numéricos e aplicados. Tese de Doutorado, DMA- IMECC- UNICAMP, 2002.

[7] Girsanov, I. V., Lectures on Mathematical Theory of Extremum Problems. New York, Springer, 1972. (Lecturesnotes in economics and mathematical systems, 67).

[8] Guiles, J., Convex Analysis with applications in the dierentiation of Convex Functions, Pitman Advanced PulishingProgram, Boston, 1982.

[9] Nash, J. F., Noncooperative games, Annals of Mathematics, 54, pp. 286-295, 1951.

[10] Pareto, V., Cours d'économie politique, Rouge, Laussane, Switzerland, 1896.

[11] Ponstein, J., Seven Kinds of Convexity, SIAM REWIEW, vol.9, 1, pp.115-119, 1967.

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2 e-mail: [email protected] Partially supported the research projects GI 153209/C (Universidad del Bío-Bío, Chile), Fondecyt 1120260 and MTM

2012-32325 (Spain)., e-mail: [email protected]

49


Concentrating solutions for an exponential nonlinearitywith Robin boundary condition

Pablo Figueroa ∗

Escuela de Educación Matemática e Informática EducativaUniversidad Católica Silva Henríquez

Santiago, Chile

Abstract

We study the following Robin boundary value problem∆u+ ε2up−1eu

p

= 0, u > 0, in Ω;

∂u

∂n+ λu = 0 on ∂Ω,

(5)

where Ω is a bounded domain in R2 with smooth boundary, as ε → 0 and simultaneously λ → +∞,0 < p < 2. By using a Lyapunov-Schmidt reduction procedure, we extend for the whole range ofexponents 0 < p < 2, the results of Dávila and Topp in [1], who constructed bubbling solutions toproblem (5) for p = 1 .

Joint work with:Wenjing Chen 1 , School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, People'sRepublic of China.Shengbing Deng 2 , School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715,People's Republic of China.

Referencias

[1] J. Dávila and E. Topp, Concentrating solutions of the Liouville equation with Robin boundary condition, Journal ofDierential Equations, 252 (2012), 2648-2697.

[2] S. B. Deng and M. Musso, Bubbling solutions for an exponential nonlinearity in R2, J. Dierential Equations,257 (2014), 2259-2302.

∗Partially supported by Fondecyt Iniciación 11130517, Chile, e-mail: [email protected] Partially supported by Fundamental Research Funds for the Central Universities XDJK2015C042 and Doctoral Funds of

Southwest University SWU114040, e-mail: [email protected] Partially supported by Fundamental Research Funds for the Central Universities XDJK2015C043 and Doctoral Funds of

Southwest University, SWU114041, e-mail: [email protected]

50


Stability of second-grade uids ow

Luis Friz Roa ∗

Departmento de Ciencias Básicas, Facultad de CienciasUniversidad del Bío-Bío

Chillán, Chile

Abstract

This work deals with the stability of mildly decaying global weak solutions of an initial- boundary valueproblem for an incompressible non-Newtonian uid ow of grade two in three space dimensions.

Joint work with:H. Clark 1 , Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal Fluminense, Niteroi-RJ, Brasil.M. A. Rojas-Medar 2 , Instituto de Alta Investigación, University of Tarapacá, Arica, Chile.

Referencias

[1] D. Cioranescu and V. Girault,Weak and classical solutions of a family of second grade uids, Int. J. Non-LinearMechanics 32, 317-335, 1997.

[2] L. Friz, F. Guillén-González and M.A. Rojas-Medar, Reproductive solution of a second- grade uid system,C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I348, 879-883, 2010.

[3] G. Ponce, R. Racke, T. C. Sideris and E. S. Titi, Global Stability of Large Solutions to the 3D Navier-StokesEquations, Commun. Math. Phys. 159, (1994), 329-341.

∗Partially supported by Grant Fondecyt 1130456, 125109 3/R UBB and 121909 GI/C-UBB, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] Partially supported by Fondecyt 1120260, Chile and project MTM2012-32325, Spain e-mail: [email protected]

51


On an inverse problem in the system modelling thebioconvective ow

Fernando Huancas ∗† GMA, Departamento de Ciencias Básicas,


Abstract

This work deals with the analysis of the inverse problem of determining the density function Fmodelling the vector external source for the linear momentum of particles, in a model for a bioconvectiveow. If the uid is contained on a bounded and regular domain Ω ⊂ R3, with boundary ∂Ω, then amodel for a bioconvective ow in a nite time T > 0 is given by the following initial-value problem:

∂u

∂t− 2div(µ(c)D(u)) + u.∇u +∇p = −g(1 + ρc)χ+ F, in Ω,

div(u) = 0, in Ω,

∂c

∂t− θ∆c+ u.∇c+ U

∂c

∂x3= 0, in (0, T )× Ω,

u = 0, in (0, T )× S,u.n = 0, in (0, T )× Γ,

µ(c)[D(u)u− u.(D(u)n)n] = b1, in (0, T )× Γ,

θ∂m

∂n− Un3m = 0, in (0, T )× ∂Ω,∫

Ω

m dx = α, in Ω,

where QT := Ω× [0, T ] and ∂Ω = S ∪Γ. Here, u, c and p denotes the velocity eld, the concentration ofmicroorganisms and the pressure distribution, respectively. The constant g is the gravity acceleration.The strain tensor is dened as follows

D(u) :=1

2

(∇u + (∇u)t

).

In the case of the inverse problem we assume that a overspecication condition is given. The proof oflocal inverse problem uniqueness is given by characterizing the inverse problem solutions by using anoperator equation of second kind and introducing several apriori estimates. Then we apply the Tikhonovxed point Theorem.

Joint work with:Anibal Coronel 1 , † GMA, Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias, Universidad del

∗Partially supported by the research project GI 153209/C at Universidad del Bío-Bío, Chile, e-mail: [email protected] Partially supported the research projects GI 153209/C (Universidad del Bío-Bío, Chile), e-mail: [email protected]

52


Bío-Bío, Campus Fernando May, Chillán, Chile,Marko Rojas-Medar 2 , † GMA, Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias, Universidaddel Bío-Bío, Campus Fernando May, Chillán, Chile,Alex Tello 3 , † GMA, Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío,Campus Fernando May, Chillán, Chile,

Referencias

[1] S. N. Antontsev, A. V. Kazhikhov, and V. N. Monakhov. Boundary value problems in mechanics of nonhomogeneousuids, volume 22 of Studies in Mathematics and its Applications. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990.Translated from the Russian.

[2] H. Beirão da Veiga, Diusion on viscous uids. Existence and asymptotic properties of solutions. Annali dellaScuola Normale Superiore di Pisa Classe di Scienze 10(1983): 341355.

[3] H. Beirão da Veiga. 1996. Long time behaviour of the solutions to the Navier-Stokes equations with diusion.Nonlinear Anal. 27, no. 11 (1996): 12291239.

[4] A. Coronel and M. A. Rojas-Medar, A uniqueness result for an inverse problem to the system modelling nonhomo-geneous asymmetric uids, Submitted 2014.

[5] P. D. Damázio, F. Guillén-González, J. V. Gutiérrez-Santacreu, and M. A. Rojas-Medar, Local and Global StrongSolution by the Semi-Galerkin Method for the Model of Mass Diusion. Matemática Contemporânea 32:6386, 2006.

[6] J. Fan and G. Nakamura. Local solvability of an inverse problem to the density-dependent Navier-Stokes equations.Appl. Anal., 87(10-11):12551265, 2008.

[7] R. Temam. Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. North-Holland Publishing Co., Amsterdam,1977. Studies in Mathematics and its Applications, Vol. 2.

[8] A. I. Prilepko, Dmitry G. Orlovsky, and Igor A. Vasin. Methods for solving inverse problems in mathematical physics,volume 231 of Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker Inc., New York, 2000.

2 Partially supported the research projects GI 153209/C (Universidad del Bío-Bío, Chile), Fondecyt 1120260 and MTM2012-32325 (Spain)., e-mail: [email protected]

3 Partially supported the research projects GI 153209/C (Universidad del Bío-Bío, Chile), e-mail: [email protected]

53


A boundary control problem on the steady viscous owof a nonhomogeneous asymmetric uid

Exequiel Mallea-Zepeda ∗

Departamento de MatemáticasUniversidad Católica del Norte

Antofagasta, Chile

Abstract

In this work we consider an optimal control problem where the state equations are given by the weaksolutions of a boundary value problem describing the motion of a stationary viscous incompressible uidwith microstructure, such uids are called micropolar.The theory of micropolar uids in introduced byEringen in [2] and the model can be found in [3]. Micropolar uids are characterized by the followingproperty: uid points contained in a small volume element, in addition to its usual rigid motion, canrotate about the centroid of the volume element in average sense, described by gyration tenser, w. Sincefor a micropolar uid the gyration tensor is skew-symmetric, that is wkl = −wlk, it is posible to replacethe gyration tensor by a vector function w for a 3D ow and by a scalar function w in the 2D case,function which is called microrotation velocity.

Let Ω be a simply connected bounded domain of R2 with Lipschitz boundary Γ. The optimal controlproblem to study is subject to the following system of partial dierential equations with boundaryconditions:

−(µ+ µr)∆u + ρ(u · ∇)u +∇p = 2µrrot w + ρf in Ω,−(ca + cd)∆w + ρ(u · ∇)w + 4µrw = 2µrrot u + ρg in Ω,

u · ∇ρ = 0 in Ω,divu = 0 in Ω,

ρ = ρ0 on Γ0,

u = ug1=

u0 on Γ0,g1 on Γ1,

w = wg2 =

w0 on Γ2,g2 on Γ3.

(6)

Here u, ρ, p, and w denote the velocity eld, the density, the pressure and the microrotacional velocityof the uid, respectively; the eld f represent extrenal source of linear momentum and the scalar funtiong represent external sources of angular momentum; positive constants µ, µr, ca, cd characterize isotropicproperties of the uid; in particular, µ denotes the dynamic viscosity, and µr, ca, cd are new viscositiesconnected with physical characteristics of the uid. The boundary Γ = Γ0 ∪ Γ1 = Γ2 ∪ Γ3, whereΓ0 ∩Γ1 = ∅, Γ2 ∩Γ3 = ∅. The functions ρ0 and u0 are given on the part Γ0 and w0 is given on the partΓ2, and the functions g1, g2 describe the Dirichlet boundary control for u and w on the parts Γ1 andΓ3, which lie in closed convex sets U1 ⊂ H1/2(Γ1) and U2 ⊂ H1/2(Γ3), respectively. We assume that

Γ0 is an arcwise connected cloded set on Γ,meas Γ0 > 0; (7)

u0 · n > 0 on Γ0 or u0 · n < 0 on Γ0, (8)

∗Partially supported by Conicyt-Beca 211101361, e-mail: [email protected]

54


where n is the unit outward normal on Γ.We shall seek the uid density in the form ρ = η(ψ), where η is a scalar function determined by u0,

ρ0, while ψ is a stream function, i.e., rotψ = (∂ψ/∂x2,−∂ψ/∂x1) = u.The existence of optimal solutions is proved. By using the adaptive penalty method an optimality

system is derived.

Joint work with: Elva Ortega-TorresJoint work wiht: Élder Villamizar-RoaAuthor 2 1 , Departamento de Matemáticas , Universidad Católica del Norte, Antofagasta, Chile.Author 3 2 , Escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia.

Referencias

[1] Boldrini J. L., Durán, M. and Rojas-Medar, M. A., Existence and uniqueness of strong solution for the incompressiblemicropolar uid equations in domains of R3. Ann. Univ. Ferrara Sez. VII Sci. Mat. 56, no. 1, 37-51, (2010).

[2] Eringen A.C., Simple microuids. Int. J. Engng. Sci. 2, 205-217, (1964).

[3] Eringen A.C., Theory of micropolar uids, J. Math. Mech. 16, 1-18, (1966).

[4] Illarionov A.I., Optimal boundary control of steady-state ow of a viscous inhomogeneous incompressible uid,Mathematical notes, 69, No 5, 614-624, (2001).

[5] Lukaszewicz G., Micropolar Fluids: Theory and Applications Birkhauser, Boston, (1999).

[6] Stavre R., A distributed control problem for micropolar uids. In honour of Academician Nicolae Dan Cristescu onhis 70th birthday. Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 45, no. 2, 353-358, (2001).

[7] Stavre R., The control of the pressure for a micropolar uid. Dedicated to Eugen Soós. Z. Angew. Math. Phys. 53,no. 6, 912-922, (2002).

[8] Stavre R., Optimization and numerical approximation for micropolar uids. Numer. Funct. Anal. Optim. 24, no.3-4, 223-241, (2003).

[9] Villamizar-Roa E. J. and Rodríguez-Bellido M. A., Global existence and exponential stability for the micropolaruid system. Z. Angew. Math. Phys. 59, no. 5, 790-809, (2008).

[10] Vitoriano F., On the steady viscous ow of a nonhomegeneuos asymmetric uid. Annali di Matematica. 192, 665-672,(2013).


55


Fluidos Magneto micropolares no estacionarios:Estabilidad de soluciones

Elva Ortega Torres ∗


Antofagasta, Chile

Abstract

Para las ecuaciones de uidos magneto-micropolares se estudia la estabilidad de soluciones fuertes glo-bales en tiempo cuando el ujo ocurre en un dominio acotado tridimensional. Se extiende una soluciónlocal fuerte (u,w, b) a una solución fuerte global en tiempo, controlando que ‖∇u‖, ‖∇w‖, ‖∇b‖ seanuniformemente acotadas sobre el intervalo de existencia local.

Trabajo realizado en conjunto con:Marko Rojas Medar 1 , Instituto de Alta Investigación, Universidad de Tarapacá, Arica, Chile.Eduardo Notte Cuello 2 , Depto. de Matemáticas, Universidad de La Serena, La Serena, Chile.

Referencias

[1] E. Ortega-Torres, M. Rojas-Medar, Magneto-micropolar uid motion: global existence of strong solutions,Abstract Applied Analysis, 4 (2), 109-125, 1999.

[2] Ponce G., Racke R., Sideris T.C., Titi E.S., Global stability of large solutions to the 3D Navier-Stokes equa-tions, Commun. Math. Phys. 159, 329-341, 1994.

[3] Rojas-Medar M.A.,Magneto-micropolar uid motion: existence and uniqueness of strong solution, MathematischeNachrichten 188, 301-319, 1997.

∗e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por Fondecyt-Chile 1120260 y MTM2012-32325-España, e-mail:[email protected] Parcialmente nanciado por Fondecyt-Chile 1121030 y Dirección de Investigación (DIULS) de la ULS, e-mail:

[email protected]

56


Semi-strong solutions for the equations ofnonhomogeneous asymmetric uids in unbounded

domains

Marko A. Rojas-Medar ∗

Instituto de Alta InvestigaciónUniversity of Tarapacá

Arica, Chile

Abstract

Let Ω ⊂ R3 a bounded domain (not necessary bounded), with boundary uniformly of class C3, and letT be a positive real number. We study, in an open set Ω × (0, T ), where (0, T ) is a time interval, theequations for the motion of a non-homogeneous viscous incompressible asymmetric uid. The governingequations are the following:

ρut + ρ(u · ∇)u− (µ+ µr)∆u +∇p = 2µr rotw + ρf ,divu = 0,

ρwt + ρ(u · ∇)w − (ca + cd)∆w − (c0 + cd − ca)∇(divw) + 4µrw= 2µr rotu + ρg,

ρt + u · ∇ρ = 0.

(9)

The symbols ∇, ∆, div and rot denote the gradient, divergence and rotational operators, respectively,and ut, wt and ρt stand for the time derivates of u, w and ρ.For the derivation of equations (9) and a discussion on their physical meaning, see . Physically, therst equation in system (9) corresponds to the conservation of linear momentum, the second one isthe incompressibility of the uid; the third corresponds to the conservation of angular momentum, andthe fourth one corresponds to the conservation of mass. In system (9), the unknowns are u(x, t) ∈ R3,w(x, t) ∈ R3, ρ(x, t) ∈ R and p(x, t) ∈ R. They represent, respectively, the velocity eld, the angularvelocity of rotation de particles, the mass density and the pressure distribution of the uid as function ofposition x and time t. Here f and g are known density functions of external sources for the linear and theangular momentum of particles, respectively. The positive constants µ, µr, c0, ca and cd characterizethe physical properties of the uid. Thus, µ is the usual Newtonian viscosity; µr, c0, ca and cd areadditional viscosities related to the lack of symmetry of the stress tensor and, consequently, to thefact that the internal rotation eld w does not vanish. These constants must satisfy the inequalityc0 + cd > ca. We complemented system (9) with the initial and boundary conditions

u(x, 0) = u0(x), w(x, 0) = w0(x) and ρ(x, 0) = ρ0(x) in Ω, (10)

u(x, t) = 0, w(x, t) = 0 on ∂Ω× (0, T ). (11)

where the functions u0,w0 and ρ0 are given. If Ω is unbounded, also we impose the following conditionon the velocities at innity

lım|x|→∞

u(x, t) = 0, lım|x|→∞

w(x, t) = 0, t ∈ (0, T ). (12)

Our main result is the following∗Partially supported by Fondecyt 1120260, Chile and project MTM2012-32325, Spain, e-mail: [email protected]

57


Theorem 0.1 Let Ω be a domain of R3, with boundary uniformly of class C3. assume that u0 ∈ V (Ω),w0 ∈ H1

0(Ω) and ρ0 ∈ L∞(Ω), with 0 < α ≤ ρ0(x) ≤ β < +∞ in Ω. Also, assume that f , g ∈L2(0, T ;L2(Ω)), Then, there exists a semi-strong solution (ρ,u,w) of (1)− (4) in Ω× (0, T ∗), for someT ∗ ∈ (0, T ]. The functions u,w, ρ and p, dened on (0, T ∗), are such that

u ∈ L∞(0, T ∗;V (Ω)),

w ∈ L∞(0, T ∗;H10(Ω)),

ut, wt, D2u, D2w, ∇p ∈ L2(0, T ∗;L2(Ω)),

ρ ∈ L∞(0, T ∗;L∞(Ω)),

ρt ∈ L∞(0, T ∗;L∞loc(Ω)),

∇ρ ∈ L∞(0, T ∗;L∞loc(Ω)),

‖∇u(t)−∇u0‖ → 0 and ‖∇w(t)−∇w0‖ → 0 as t→ 0+.

Remark 0.1 If Ω is either bounded or Ω = R3, the regularities for the density are ρt ∈ L∞(0, T ∗;L∞(Ω))and ∇ρ ∈ L∞(0, T ∗;L∞(Ω)).

Remark 0.2 Considering that f , g ∈ L∞(0,∞;L2(Ω)) and that the norms ‖u0‖H1 , ‖w0‖H1 , ‖f‖L∞(0,∞:L2(Ω))

and ‖g‖L∞(0,∞:L2(Ω)) are suciently small, one can show that there exists a semi-strong solution(ρ,u,w), global in time, to the problem (1)-(4).

Remark 0.3 It is possible to show more regularity and uniqueness of solutions if the initial data aremore regular (see [2])

Joint work with:Pablo Braz e Silva 1 , Department of Mathematics, University Federal of Pernambuco, Recife, Brazil.Felipe W. Cruz 2 , Department of Mathematics, University of Pernambuco, Recife, Brazil.

Referencias

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1 Partially supported by CNPq, Brazil and CAPES, Brazil, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

58


The solution of the Riemann Problem for Burgersequation with discontinuous source

Alex Tello ∗† GMA, Departamento de Ciencias Básicas,


Abstract

This paper is concerned with the explicit construction of the following Riemann problem

ut +

(u2

2

)x

= g(x), (x, t) ∈ R× R+, (13)

u(x, 0) = u0(x), x ∈ R, (14)

where the source term and the initial condition are dened as follows

g(x) = gRH(x) + gLH(−x), u0(x) = uRH(x) + uLH(−x), (gL, gR, uL, uR) ∈ R4, (15)

with H is the Heviside function dened by H(x) = 0 for x ∈ R− and H(x) = 1 for x ∈ R+0 . The

analysis of the problem (13)-(15) is motivated by the theory of Radiation Hydrodynamics [1, 3, 6, 7].The system for modeling the radiation hydrodynamics is given by four partial dierential equationswhich unknowns are the mass density, the velocity, the total energy and the spectral intensity. Thecoupling of the radiative transport equation and the equations of hydrodynamics is given by the sourceterm for the linear momentum and energy equations. This system is complex. Then, assuming thatthe velocity of the uid particles is small with respect to the velocity of the light, a Burger equationwith discontinuous source term is obtained. Thus, the construction of analytic entropic solutions for(13)-(15) is required by the mathematical theory of conservation laws, by the physical application bythe numerical solutions.

The main result of this work is this work is the following theorem

Theorem 1. Consider the Riemann Problem (13)-(15) and denote by ui for i ∈ 1, . . . , 43 eachof the posible entropic solutions. Then, there exists a partition U1, . . . ,U43 of R4 such ui is theentropic solution of (13)-(15) if and only if (uL, uR, gL, gR) ∈ Ui.

The proof of Theorem 1 is developed in sixty Lemmas. First, we apply the characteristics methodand introduce a classication of the dierent types of waves. A systematic discussion of the all possibletypes of waves at t = 0, implies the existence of sixty types of solutions. Then, we analyze in detail theanalytic construction of these solution types. Basically, and in a broad sense, a shock or a rarefactionwave are formed at t = 0. The evolution of shock curve is completely characterized by analyzing theinitial value problem obtained by the Rankine-Hugoniot condition. The rarefaction wave solution isexplicitly obtained by the characteristics method. Here, a subcase of rarefaction wave, called vacuumwave, requires a regularization of the source term and the initial condition before of the applicationof the characteristics method. Finally, by a unication of the sixty Lemmas we obtain the partitionU1, . . . ,U43.

∗Partially supported by the research projects GI 153209/C at Universidad del Bío-Bío, Chile, e-mail: [email protected]

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Joint work with:Anibal Coronel Pérez 1 , † GMA, Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias, Universidaddel Bío-Bío, Campus Fernando May, Chillán, Chile,Marko Rojas-Medar 2 , † GMA, Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias, Universidaddel Bío-Bío, Campus Fernando May, Chillán, Chile,Mauricio Sepúlveda 3 , CI2MA and DIM, Universidad de Concepción, Concepción, Chile,

Referencias

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[8] Eleuterio F. Toro. Riemann solvers and numerical methods for uid dynamics: A practical introduction.. Springer-Verlag, Berlin, third edition, 2009.

1 Partially supported by the research projects GI 153209/C (Universidad del Bío-Bío, Chile), e-mail: [email protected] Partially supported the research projects GI 153209/C (Universidad del Bío-Bío, Chile), Fondecyt 1120260 and MTM

2012-32325 (Spain)., e-mail: [email protected] Partially supported by Fondecyt project 1140676, CONICYT project Anillo ACT1118 (ANANUM), Red Doctoral RE-

DOC.CTA, project UCO1202 at Universidad de Concepción, BASAL project CMM, Universidad de Chile, and CI2MA,Universidad de Concepción., e-mail: [email protected]

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Electro-Kinetic Soil Cleaning Eciency: AnInitial-Boundary Value Problem

Rocío Tijaro-Rojas ∗

Environmental Engineering, Universidad Arturo Prat, Iquique, Chile

Abstract

Technical reports published by NOAA, NASA, and the water management Chilean Agency (DGA inSpanish) show how the ground-water heads and precipitations continue to decrease. In some geographicregions, such as the Atacama Desert, the sustainability of this resource is a key priority. Social-economicactivities being developed on a daily basis on the soil surface are aecting the quality of groundwater.Thus, reliable predictions about transport of contaminants in soils are required for decision-makers todevelop technologies in order to prevent or remediate soil and groundwater pollution. Most of the studiesrealized are based on experimental eorts. Therefore, additional investigation based on mathematicaland computational modelling is a high need. Electro-kinetic soil remediation has been found to be(potentially) an ecient solution to remove in-situ dierent types of pollutants. However, comparativeanalysis of the eciency of this and other transport cases from a transient continuum-mechanics basedmodel have not been studied. The model developed relies on an initial-boundary value problem thatincorporates most of the driving forces acting on electro-kinetic soil remediation treatments, includingdiusion, convection and electro migration. The fundamental dierential equation is based on the speciesconservation equation. This will be applied to a rectangular domain 0 < x < L, 0 < y < B

2, t > 0 with

suitable boundary and initial conditions.∂CA∂t

= D

(∂2CA∂x2

+∂2CA∂y2

)− Vx

CA∂x

∂CA∂x|x=L = 0,

∂CA∂y|y=0 = 0, −D∂CA

∂y|y=B

2= 0

CA(0, y, t) = C0A CA(x, y, 0) = 0.

(16)

where, CA is the concentration of the target species, t is time, Vx is the mass average velocity of the uidat x direction, D is the molecular diusivity coecient of the chemical species A in the bulk solution,and C0

A is a known initial concentration of A; A = 1...i when more than one chemical species is presentin the system. The method of Area averaging is used to obtain eective transport parameters beforeperforming numerical simulations. This approach eectively scales up the microscopic initial-boundaryvalue problem presented on the above equations, eliminating the need for solving the system (explicitly)at the smallest scale. Simulations are performed in order to illustrate the eects of dierent variables onthe pollutant concentration prole. Findings are applicable to the design of new porous materials suchas geotextiles, selection of nuclear waste disposals, and to set preventive environmental regulations.

Joint work with:Pedro E. Arce, Chemical Engineering Department, Tennessee Tech University, Cookeville, TN. USA.Yung-Way Liu, Mathematics Department, Tennessee Tech University, Cookeville, TN. USA

Referencias∗e-mail: [email protected]

61


[1] M. Horner and P. Arce, Convective-Diusive Transport and Reaction in Arterial Stenoses Using Lubrication andArea-Averaging Methods, Ind. Eng. Chem. Res., vol. 34, pp. 34263436, 1995.

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[9] Tijaro-Rojas, R., Liu, Y-W. and P.E. Arce. Micro and Macro-Heterogeneities Eects on Transport of Pollutants inPorous Media: Fundamental Modeling Aspects. AICHE Annual Meeting, Atlanta, GA. November 2014

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Método de Galerkin espectral multinivel para lasecuaciones de Navier-Stokes

Fernando Vásquez Fernández ∗


Antofagasta, Chile

Abstract

En este trabajo se estudia la existencia de soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes no estaciona-rias para el caso bidimensional y tridimensional, la cual se determina como el límite de una sucesiónde soluciones aproximadas, generadas por el método de Galerkin espectral multinivel, el cual consisteen primer lugar, resolver el sistema no lineal en un espacio de baja dimensión Hm1 y posteriormenteobtener soluciones aproximadas en espacios de dimensión superior Hmk , con k = 2, ...,K, resolviendoun sistema de Navier-Stokes linealizado alrededor de la solución del nivel anterior.Por otro lado, se estudian las estimaciones de error de las soluciones aproximadas, y se demuestra teóri-camente que el método de Galerkin espectral multinivel es mucho más eciente que el método estándarde Galerkin de 1-nivel sobre el espacio de dimensión más alta HmK .

Referencias

[1] He Y., Liu K., Sun W., Multi-level spectral Galerkin method for the Navier-Stokes problem I: spatial discretization,Numerische Mathematik, Vol. 101, 501-522, 2005.

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[4] Rautmann R., On the convergence-rate of nonstationary Navier-Stokes approximations. Lecture Notes in Mathema-tics 771: Approximations Methods for Navier-Stokes Problems, 425-449, 1980.

∗Parcialmente nanciado por Beca Conicyt Chile, e-mail: [email protected]

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Estadística

Coordinador

Héctor Gómez


[email protected]

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Slashed Generalized Exponential Distribution

Juan M. Astorga ∗

Instituto TecnológicoUniversidad de Atacama

Copiapó, Chile

Abstract

In this work, we introduce an extension of the generalized exponential distribution, making it morerobust against possible inuential observations. The new model is dened as the quotient between ageneralized exponential random variable and a beta distributed random variable with one unknownparameter. The resulting distribution is a distribution with greater kurtosis than the generalized ex-ponential distribution. Probability properties of the distribution such as moments and asymmetry andkurtosis are studied. Likewise, statistical properties are investigated using the method of moments andthe maximum likelihood approach. Two real data analyses are reported illustrating better performanceof the new model over the generalized exponential model.

Joint work with:Héctor W. Gómez 1 , Departamento de Matemáticas, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile.Heleno Bolfarine 2 , Departamento de Estadística, Universidad de Sao Paulo, Sao Paulo, Brazil.

Referencias

[1] Astorga J.M., Gómez H.W., Bolfarine H., Slashed generalized exponential distribution, Communications inStatistics - Theory and Methods, 2015, Accepted for publication .

∗Partially supported by DIUDA 221183-UDA (Chile), e-mail: [email protected] Partially supported by SEMILLERO UA-2014 (Chile), e-mail: [email protected] Partially supported by CNPq and Fapesp (Brazil), e-mail: [email protected]

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Una generalización de la componente simétrica de ladistribución alpha-skew-normal

Milton Cortés ∗

Departamento de MatemáticaUniversidad de Atacama

Copiapó, Chile

Abstract

En este trabajo se presenta una nueva familia de distribuciones obtenida a través de la generalización dela componente simétrica de la distribución alpha-skew-normal (Elal-Olivero (2010)) con su respectivarepresentación estocástica. Esta generalización incluye casos particulares, entre otros, a distribucionescomo la normal, log-normal, Birnbaum-Saunders, t-student y Laplace, las cuales son desarrolladas ydenidas a través de una representación estocástica, de la cual se pueden derivar propiedades teóricase implementar fácilmente esquemas de simulación tipo Monte Carlo. Se realiza un estudio inferencialpara el caso particular de la distribución Laplace, y se naliza con una ilustración con dos conjuntosde datos reales.

Trabajo realizado en conjunto con:David Elal-Olivero 1 , Departamento de Matemática, Universidad de Atacama, Copiapó, Chile.Juan F. Olivares-Pacheco 2 , Departamento de Matemática, Universidad de Atacama, Copiapó, Chile.

Referencias

[1] D. Elal-Olivero, Alpha-skew-normal distribution, Proyecciones Journal of Mathematics 29(3): 229-245, 2001.

∗Parcialmente nanciado por DIUDA 221230, e-mail: [email protected] E-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por DIUDA 22257, e-mail: [email protected]

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Hierarchical Bayesian Classication with MultivariateLongitudinal Markers with Missing Data

Rolando de la Cruz ∗

Advanced Center for Chronical Diseases (ACCDiS) andDepartment of Public Health, School of Medicine; andDepartament of Statistics, Faculty of Mathematics,

Ponticia Universidad Católica de Chile,Santiago, Chile

Abstract

This paper discusses modelbased statistical methods for the classication of subjects into one of twoor more groups based on multivariate longitudinal data. Multivariate longitudinal data arise when aset of dierent responses on the same subject are measured repeatedly over time. Multivariate repeatedmeasures are jointly modeled; specically, we relate the observed responses using multivariate nonlinearhierarchical models to describe evolutions in dierent groups. Missing observations are almost inevi-table in longitudinal studies. This paper outlines a multiple imputation method for handling missingdata. Gibbs sampling is used to draw model parameters and for imputations of missing observations.The methods are illustrated with data coming from a study involving 161 pregnant women. The mainobjective in this study is to predict normal versus abnormal pregnancy outcomes.

Key Words: Gibbs sampling; Missing data; Multiple imputation; Multivariate longitudinal data; Non-linear models.

Joint work with:Jorge Carlos Román 1 , Department of Mathematics, Vanderbilt University, Nashville, Tennessee, USA.

∗Partially supported by grants FONDECYT 1120739 and FONDAP 15130011, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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A new generalization of the Maxwell distribution

Yuri A. IriarteInstituto Tecnológico

Universidad de AtacamaCopiapó, Chile

Abstract

A new univariate three-parameter distribution, the transmuted exponentiated Maxwell distribution, isproposed and studied. This new univariate distribution can be seen as generalization of the Maxwelldistribution and its respective exponentiated and transmuted versions. The new generalization is ge-nerate using the families of exponentiated and transmuted distributions. Some probabilistic propertiesare studied, maximum likelihood estimation discussed, derive the functions to be used in reliabilitystudies and present an application with a real data. We hope that the new distribution proposed willserve as an alternative model to the Maxwell and the respective exponentiated and transmuted versions.

Joint work with:Juan M. Astorga, Instituto Tecnológico, Universidad de Atacama, Copiapó, Chile.Heleno Bolfarine, Departamento de Estatística, Instituto de Matemática y Estatística, Universidad deSao Paulo, Sao Paulo, Brasil.Héctor W. Gómez, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad de Anto-fagasta, Chile.

Referencias

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68


Cálculos en problemas de conabilidad: Cadenas deMarkov en tiempocontinuo con estados nitos y

resolución espectral matricial

Eliseo Martínez ∗

Departamento de MatemáticaUniversidad de Antofagasta

Antofagasta, Chile

Abstract

Se analiza un clásico diagrama de conabilidad de tres elementos, dos en paralelos y el tercero en serie.Cada elemento tiene asociadas sus tasas de fallas λi, i = 1, 2, 3 y sus respectivas tasas de reparaciónµi, i = 1, 2, 3. Mediante el modelaje por Cadenas de Markov se calculan las probabilidad de transicióninnitesimal, Pi j(∆t), en los 8 estados (funciona o no funciona en cada elemento) y se plantean lasecuaciones diferenciales matriciales

P′(t) = P(t) · A (17)

siendo P(t) la matriz de las probabilidades de transición en el tiempo t, matriz de 8 × 8, y A es unamatriz denida por

aij = lım∆t→ 0

Pi j(∆t)

∆t; i 6= j

ai i = −∑j 6=i

ai j

Se resuelve la ecuación (17) mediante la resolución espectral de la matriz eAt basado en el polinomiominimal de A..

Trabajo realizado en conjunto con:Benjamin Chacana 1 , Departamento Ingeniería Industrial, Universidad Mayor, Santiago, Chile.Douglas Fuenteseca 2 , Departamento de Matemática, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile.

Referencias

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∗e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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Distribución Birnbaum-Saunders Multivariada

Guillermo Martínez FlórezDepartamento de Matemáticas y Estadística

Universidad de CórdobaMontería, Colombia

Abstract

En este trabajo se propone un nuevo modelo multivariado para datos de sobrevivencia. Este modeloes construido basado en la distribuicón Birnbaum-Saunders exponenciada de Martínez-Flórez et al.(2014) y la distribución exponenciada multivariada propuesta por Kundu et al. (2013). Propiedades dela distribución son estudiadas y estimación de los parámetros por máxima verosimilitud es abordada.Matrices de información observada y esperada son derivadas. Extensión al caso del modelo de regresiónlog-Birnbaum-Saunders multivariado también es desarrollado, resaltando las principales propiedades deeste modelo. Algunas ilustraciones con datos reales revelan que los modelos propuestos son muy útilespara el ajuste de datos reales.

Trabajo realizado en conjunto con:Heleno Bolfarine, Departamento de Estatística, Universidad de São Paulo, São Paulo, Brasil.Germán Moreno, Departamento de Matemática, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga,Colombia.

Referencias

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[4] Martínez-Flórez, G., Bolfarine, H. and Gómez, H. W., An alpha-power extension for the Birnbaum-Saundersdistribution, Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics, DOI: 10.1080/02331888.2013.846910.

70


A new class of slash-elliptical distributions with heavytails

Jimmy Reyes R. ∗

Departamento de matemáticasUniversidad de Antofagasta

Antofagasta, Chile

Abstract

In this paper, we consider a new class of slash distribution by generalizing the modied slash dis-tribution introduced by Reyes, Gómez and Bolfarine [Modied slash distribution, Statistics: A Journalof Theoretical and Applied Statistics, 47(5), 929-941, (2013)]. We dene the new family through thequotient between an elliptically distributed random variable and the power of an exponential randomvariable with parameter equals to 2, both independent. This family can also be represented as a scale-mixture of the elliptical family. We use the same idea to extend the model for the multivariate case andstudy general important properties from the resultant family. We perform inference by the method ofmoments and maximum likelihood. We present a simulation study which indicates satisfactory para-meter recovery by using the estimation approaches. Illustrations with real data sets, reveals that it haspotential for doing well in real problems.

Joint work with:Diego I. Gallardo 1 , Departamento de matemáticas, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile.Heleno Bolfarine 2 , Departamento de Estatística, Universidad de Sao Paulo, Sao Paulo, Brasil.Héctor W. Gómez 3 , Departamento de matemáticas, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile.

Referencias

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∗Partially supported by Universidad de Antofagasta, e-mail: [email protected] Partially supported by Universidad de Antofagasta, e-mail: [email protected] Partially supported by Universidad de Sao Paulo, e-mail: [email protected] Partially supported by Universidad de Antofagasta, e-mail: [email protected]

71


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72


Mixed models with errors in variables:A robust alternative

Marco Riquelme ∗

Universidad de ValparaísoValparaíso, Chile

Abstract

In this work we propose a linear functional model with normal random eects and elliptical errorsextending standard normal models considered previously (Riquelme et al., 2015). The corrected scoreapproach (Nakamura, 1990) is used for parameter estimation and the resulting estimators are shown tobe consistent and asymptotically normal. The local inuence approach (Cook, 1986) is used for assessinginuence of small perturbations on parameter estimates. A simulation study is presented illustratingthe good performance of the proposed approach, including the robustness property for the heavier tailmodels.

Joint work with:Heleno Bolfarine, Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil.Manuel Galea, Ponticia Universidad Católica de Chile, Santiago, Chile.

Referencias

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∗The partial nancial support from Projects FONDECYT 11121462

73


Testing linear causality in the sense of Granger withfunctional time series

Matthieu Saumard ∗

Instituto de EstadísticaPonticia Universidad Católica de Valparaiso

Chile

Abstract

In this conference, we investigate the causality in the sense of Granger for functional time series. Fun-ctional data analysis has become an important eld of modern statistics, and now there exists anabundant literature over this topic. Nevertheless, the case of dependent observations between the fun-ctional objects is less studied. To the best of our knowledge, there exists only one article dealing withthe causality in the sense of Granger adapted to the functional context, see [1]. In their proceedings,they dene one denition of the causality for signals. A test procedure is proposed but a theoreticalbackground is needed. We extend the classical causality of Ganger to the case of functional time series.We propose a procedure of testing the causality in the sense of Granger adapted to functional timeseries. We study the theoretical property of this test.

Joint work with:Hamdi Raissi 1 , INSA de Rennes, Rennes, France.

Referencias

[1] Pierre-Olivier Amblard and Olivier Michel, Causalité de granger pour des signaux à valeurs fonctionnelles,In Actes Colloque GRESTI 2013, 2013.

[2] D. Bosq. Linear processes in function spaces, volume 149 of Lecture Notes in Statistics, Springer-Verlag,New York, 2000. Theory and applications.

[3] J. P. Imhof, Computing the distribution of quadratic forms in normal variables, Biometrika, 48:419-426, 1961.

[4] André Mas,Weak convergence in the functional autoregressive model, Journal of Multivariate Analysis, 98(6):1231-1261, 2007.

∗Partially supported by Fondecyt 3140602, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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Modelando la actividad neuronal usando distribucionesde daños acumulados

Mauricio Tejo ∗

Departamento Disciplinario de Matemática y EstadísticaUniversidad de Playa Ancha

Valparaíso, Chile

Abstract

Las neuronas transmiten información mediante la producción de potenciales de acción o espigas (`spikes'en inglés). Debido a la inherente aleatoriedad de los tiempos entre espigas (o `ISI', que es la abreviacióndel inglés 'inter spike intervals'), modelos probabilísticos son usados usualmente para su descripción.Por otro lado, las distribuciones de daños acumulados son una familia de modelos probabilísticos queson ampliamente usados para la descripción de procesos acumulativos relacionados con el tiempo. Talfamilia de distribuciones nos permiten considerar ciertos principios físicos (deterministas) para modelarlos ISIs desde un punto de vista probabilista, y conectar así sus parámetros con valores con sentidobiológico. Dentro de esta familia de distribuciones se encuentran la distribución de Birnbaum-Saundersy la distribución Gaussiana inversa, las cuales poseen distintivas propiedades y argumentos teóricos queson útiles para la descripción de los ISIs. Expandimos el uso de esta familia de distribuciones para elmodelamiento de la actividad neuronal incorporando la distribución de Birnbaum-Saunders, la cual nohabía sido estudiada antes dentro de tal contexto. Validamos esta expansión contrastando su adecuacióncon datos reales y con datos electrosiológicos simulados.

Trabajo realizado en conjunto con:V. Leiva 1 , Facultad de Ingeniería y Ciencias, Universidad Adolfo Ibáñez, Viña del Mar, Chile.P. Guiraud 2 , Facultad de Ingeniería, Universidad de Valparaíso, Valparaíso, Chile.O. Schmachtenberg 3 , Instituto de Neurociencia, Universidad de Valparaíso, Valparaíso, Chile.P. Orio 4 , Instituto de Neurociencia, Universidad de Valparaíso, Valparaíso, Chile.F. Marmolejo-Ramos 5 , Department of Psychology, Stockholm University, Stockholm, Sweden.

Referencias

[1] Leiva, V., Tejo, M., Guiraud, P., Schmachtenberg, O., Orio, P. and Marmolejo-Ramos, F., Modelingneural activity with cumulative damage distributions, Biological Cybernetics, 1-13, 2015. DOI 10.1007/s00422-015-0651-9.

∗Parcialmente nanciado por FONDECYT 3140613, e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por FONDECYT 1120879, e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por PIA-Anillo ACT1112, e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por Centro Interdisciplinario de Neurociencia de Valparaíso e-mail:

[email protected] Parcialmente nanciado por FONDECYT 1130862 y PIA-Anillo ACT1113, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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Distribución Slash Exponencialmente ModicadaExtendida

Héctor Varela ∗


Antofagasta, Chile

Abstract

En este trabajo se introduce una modicación asimétrica de la distribución Slash Modicada. Se denela nueva familia mediante la representación estocástica como una mezcla a escala de una variablealeatoria con distribución normal estándar exponencialmente modicada y una variable aleatoria condistribución exponencial de parámetro igual a 2. De esta forma el resultado es una distribución cuyosvalores de curtosis son mayores comparándola con la distribución skew-slash modicada. Se estudia ladensidad, algunas propiedades generales de la familia resultante incluyendo sus momentos y coecientesde asimetría y kurtosis y se hace inferencia por máxima verosimilitud. Se describe una ilustración en uncaso particular de esta familia donde se ajusta un conjunto de datos reales por máxima verosimilitud,en el que se muestra que esta nueva familia de distribuciones se ajusta mejor que la familia skew-slashmodicada.

Trabajo realizado en conjunto con:Jimmy Reyes 1 , Departamento de Matemáticas, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile.Héctor W. Gómez 2 , Departamento de Matemáticas, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile.Heleno Bolfarine 3 , Departamento de Estatística, IME, Universidad de Sao Paulo, Sao Paulo, Brasil.

Referencias

[1] Grushka E, Characterization of Exponentially Modied Gaussian Peaks in Chromatography, Analytical Chemistry,44(11), 1733-1738. 1972.

[2] J. Reyes, H. Gómez, H. Bolfarine, Modied Slash Distribution, Statistics: A Journal of Theoretical and AppliedStatistics, 929-941. 2013.

[3] J. Reyes, H. Gómez, I. Vidal, Modied Skew-Slash Distribution, Communications in Statistics: Theory andMethods DOI:10.1080/03610926.2013.854913. 2015.

[4] Rogers WH, Tukey JW, Understanding some long-tailed symmetrical distributions, Stat Neerl, 26:211-226. 1972.

[5] Golubev A, Exponentially modied Gaussian (EMG) relevance to distributions related to cell proliferation anddierentiation, Journal of Theoretical Biology, 262 (2): 257-266. 2010.

∗Parcialmente nanciado por Semillero-UA (2014) (Chile), e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por Semillero-UA (2014) (Chile), e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por FONDECYT (Chile) 1090411 and Semillero-UA (2014)(Chile), e-mail:

[email protected] Parcialmente nanciado por CNPq (Brasil), e-mail: [email protected]

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Geometría

Coordinador

Maximiliano Leyton

Universidad de Talca, Chile

[email protected]

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Moduli spaces of non-simple abelian varieties

Robert Auarth ∗


Santiago, Chile

Abstract

Let (A,L) be a polarized abelian variety. An interesting fact is that the existence of abelian sub-varieties on A is determined solely by the Néron-Severi group of A, along with its intersection pairing.Moreover, over the eld of complex numbers this fact can be used in order to give an explicit descriptionof (the components of) the moduli space of non-simple principally polarized abelian varieties. We willdescribe the construction of these spaces as well as give some examples.

Referencias

[1] R. Auffarth, On a numerical characterization of non-simple principally polarized abelian varieties. Preprint 2014.

[2] R. Auffarth, H. Lange, A. Rojas, A criterion for an abelian variety to be non-simple. Preprint 2015.

∗Partially supported by Fondecyt grant No. 3150171, e-mail: [email protected]

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El retículo Hermiteano central, la caja

Ana Cecilia de la Maza ∗

Departamento de Matemática y Estadística,Universidad de la Frontera,

Temuco, Chile.

Abstract

En este trabajo se estudía y describe totalmente el Retículo Hermiteano indexado (L, 0, 1, · , + , ⊥, b)generado por un elemento a sujeto a las relaciones a ≤ b⊥ ∧ bb⊥ = 0. Se prueba que es nito cuandodos indices especícos son nitos.

Trabajo realizado en conjunto con:Remo Moresi 1 , Cerm, cp 1132, 6601 Locarno, Switzerland.

Referencias

[1] A.C. de la Maza, R.Moresi, On modular lattices generated by chains, Algebra Universalis 54 (2005), 475-488.

[2] A.C. de la Maza, R.Moresi, Hermitean (semi) lattices and Rolf 's lattice, Algebra Universalis 66 (2011), 49-62.

[3] H. Gross, Quadratic forms in innite dimensional vector spaces, Birkäuser, Boston, 1979.

[4] H. Gross, Lattices and innite-dimensional forms. The lattice method, Order 4 (1987), 233-256.

[5] H. Gross, Z. Lomecky, R. Schuppli, Lattice problems originating in quadratic space theory, Algebra Universalis 20(1985), 267-291.

[6] H. Gross, C. Herrmann, R. Moresi, The classication of subspaces in Hermitean vector spaces, J. Algebra 105(2)(1987), 515-541.

[7] H. A. Keller, U.-M. Künzi, M. Wild (eds), Orthogonal geometry in innite dimensional vector spaces, Heft 53,Bayreuther Mathematische Schriften, Bayreuth, 1998.

[8] R. Moresi, Modular lattices and Hermitean forms, Algebra Universalis 22 (1986), 279-297.

[9] R. Moresi, A test-example of a quadratic lattice, Order 17 (2000), 215-226.

[10] H. L. Rolf, The free lattice generated by a set of chains, Pacic J. Math. 8 (1958), 585-595.

[11] E. T. Schmidt, On nitely generated simple modular lattice, Periodica Mathematica Hungarica 6(3) (1975), 213-216.

∗Parcialmente nanciado por Fondecyt 111069, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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Una Desigualdad Para Secciones Racionales enSupercies de Hirzebruch

Sebastian Eterovi¢ ∗

Facultad de MatemáticaPonticia Universidad Católica de Chile

Santiago, Chile

Abstract

En [1] Hirzebruch presenta un método para construir supercies complejas de tipo general a partir dearreglos de líneas en el plano proyectivo. Además encuentra una famosa desigualdad, conocida comola desigualdad de Hirzebruch-Sakai, la cual mejora después en [2]. En esta presentación hablaré sobrecómo replicar el método de Hirzebruch para arreglos de secciones racionales en supercies de Hirzebruchy mostraré un análogo de la desigualdad de Hirzebruch-Sakai para este caso.

Trabajo realizado en conjunto con:Giancarlo Urzúa, Facultad de Matemática, Ponticia Universidad Católica de Chile, Santiago, Chile.

Referencias

[1] F.Hirzebruch: Arrangements of Lines and Algebraic Surfaces, Progress in Mathematics 36, Birkhäuser Boston,pp. 113-140, 1983.

[2] F. Hirzebruch: Singularities of Algebraic Surfaces and Characteristic Numbers, Contemporary Mathematics Vol58, pp.141-155, 1986.

∗

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Symplectic Lefschetz brations from a Lie theoreticalviewpoint

Elizabeth Gasparim ∗

Department of MathematicsCatholic University of the North

Antofagasta, Chile

Abstract

I will dene the concept of Symplectic Lefschetz brations, explain why they are interesting, and showa large family of new examples constructed by methods of Lie theory. I will then describe the topologyof their regular bres, and the Hodge diamonds of their compactications.

Joint work with:Lino Grama Department of Mathematics, Unicamp, Brazil.Luiz A. B. San Martin Department of Mathematics, Unicamp, Brazil.

Referencias

[1] E. Gasparim, L. Grama, L. A. B. San Martin, Lefschetz brations on adjoint orbits, preprint.

[2] E. Gasparim, L. Grama, L. A. B. San Martin, Adjoint orbits of semisimple Lie groups and Lagrangean sub-manifolds, to appear in the Proc. Edinburgh Math. Society.


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Deformando los Espacios de m-jets de singularidadesaisladas de hipersupercies

Maximiliano Leyton Alvarez ∗

Instituto Matemática y Física,Universidad de Talca,

Talca, Chile

Abstract

Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado, W → S un morsmo de K-esquemas y consideremos elFuntor de m-jets Relativo:

Fm : S -Esq → Conj; Y 7→ HomS(Y ×K SpecK[t]/(tm+1),W ),

donde S -Esq y Conj son la categoría de S-esquemas y la categoría de conjuntos respectivamente. Essabido que el funtor Fm es representable por un S-esquema, el cual denotaremos por W(S)m, es decirFm(·) ∼= HomS( · ,W(S)m). El esquema W(S)m es llamado Espacio de m-jets Relativo.

Supongamos que V es una variedad sobre K. Entonces el esquema V(SpecK)m es el clásico Espaciode m-jets, el cual notaremos por Vm. Una de las principales motivaciones de estudiar los espacios Vmproviene del hecho que la geometría de estos espacios mantiene una estrecha relación con la geometríalocal del lugar singular, Sing V , de la variedad V . Cabe señalar que entender la geometría local deSing V es uno de los problemas importantes de la geometría algebraica.

Los Espacios de m-jets Relativos satisfacen la siguiente propiedad de cambio de base: sea S′ → Sun morsmo y W ′ := W ×S S′, entonces W’(S’)m

∼= W(S)m×SS′ sobre S′. Esta propiedad nos dice

que para todo punto s en S se tiene que (Ws)m ∼= W(S)m×Ss, donde Ws es la bra sobre s ∈ S.

Dada la estrecha relación que existe entre una variedad y sus Espacios de m-jets, es natural plan-tearnos la siguiente pregunta: ¾Si W → S es una deformación (morsmo plano) de una variedad V ,entonces que el morsmo W(S)m → S es una deformación del esquema Vm? No es difícilconstruir ejemplos donde esta pregunta tiene una respuesta negativa. Pero existen muchas familias deejemplos donde la pregunta tiene una respuesta armativa, por ejemplo si V es localmente interseccióncompleta con singularidades a lo más de tipo log-canónica. Hablando desde un punto de vista intuitivo,los Espacios de m-jets dependen fuertemente de las propiedades locales de Sing V y cualquier deforma-ción que cambie demasiado la topología en torno de Sing V tiene una fuerte posibilidad de no induciruna deformación de los espacios de m-jets. Una µ-deformación (deformación que mantiene constante elnumero Milnor µ) de una singularidad aislada de hipersupercie V es un ejemplo de deformación queno cambia demasiado las propiedades locales en torno de Sing V . Tomando en cuenta esto último esrazonable plantearse la pregunta anterior en el caso que W → S es una µ-deformación de una hiper-supercie V con un única singularidad aislada (desde ahora V siempre va satisfacer esta propiedad).Cabe destacar que a pesar que las µ-deformaciones de V han sido fuertemente estudiadas, aún quedanvarios problemas abiertos (para más detalles y referencias ver [1] y [2]).

∗Parcialmente nanciado por FONDECYT N : 11121163, e-mail: [email protected]

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Supongamos que la hipersupercie V es denida por un polinomio f irreducible y no degenerado.Entonces una Γ(f)-deformación (deformación que deja invariante la frontera de Newton) es una µ-deformación de V , más aún si f es un polinomio casi-homogéneo el reciproco es valido.

En el articulo [2] probamos que una Γ(f)-deformación de V induce una deformación de la estructurareducida del Espacio de m-jets.

En esta charla daremos más detalles de este problema y explicaremos la ideas fundamentales de lademostración del resultado anteriormente citado.

Referencias

[1] Maximiliano Leyton-Alvarez Familles d'espaces de m-jets et d'espaces d'arcs. arXiv:1404.1414 [math.AG], 5April 2014, to appear in Journal Pure Applied Algebra (2015), http://dx.doi.org/10.1016/j. jpaa.2015.05.040.

[2] Maximiliano Leyton-Alvarez Deforming Spaces of m-jets of Isolated Hypersurfaces Singularities. arXiv:1505.01079v1[math.AG], 5 may 2014.

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A moduli space of hyperholomorphic sheaves anddeformations of K3 surfaces

Sukhendu Mehrotra ∗

Facultad de MatemáticasPonticia Universidad Católica

Santiago, Chile

Abstract

The aim of this talk is to discuss a construction of noncommuatative deformations of K3 surfaces. To beprecise, we construct a deformation of the derived category of coherent sheaves Db(X) of such a surfaceX. The idea is to embed this category into the derived category of the Hilbert scheme of points of Xa variety which has one extra parameter worth of deformations that X. The deformations of Db(X) areeected by deforming the embedding along this extra parameter. This talk will focus on a particulargeometric aspect of this work, the construction of a certain relative moduli space of hyperholomorphicsheaves over the space of marked holomorphic symplectic manifolds.

Joint work with:Eyal Markman 1 , Dept. of Mathematics & Statistics, Univ. of Massachusetts, Amherst, USA.

Referencias

[1] E. Markman, S. Mehrotra, A global Torelli theorem for rigid hyperholomorphic sheaves, electronic preprint,arXiv:1310.5782.

[2] E. Markman, S. Mehrotra, Integral transforms and deformations of K3 surfaces, preprint (2015).

∗Partially supported by FONDECYT grant no. 1150404, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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Descomposición más na de los factores Isotípicos deuna Variedad Abeliana con acción de grupo

Anita M. Rojas ∗

Departamento de MatemáticasFacultad de CienciasUniversidad de Chile

Santiago, Chile.

Abstract

Basados en la extensión de la caracterización de variedades abelianas principalmente polarizadas (vapp)no simples [1] a variedades abelianas con polarización arbitraria, estudiamos los factores isotípicos dela descomposición según el álgebra de grupo de una vapp con acción de grupo. Esto pues dichos fac-tores no siempre corresponden a vapp y es una pregunta pendiente el caracterizar cuándo son simples.Presentaremos varios ejemplos que ilustran el fenómeno geométrico anterior.

Trabajo realizado en conjunto con: Robert Auarth, Herbert Lange [2]

Referencias

[1] R. Auffarth, On a numerical characterization of non-simple principally polarized abelian varieties. Preprint, sub-mitted 2014.

[2] R. Auffarth, H. Lange, A. M. Rojas, A criterion for an abelian variety to be non-simple. Preprint, submitted2015.

∗Parcialmente nanciado por Fondecyt 1140507, e-mail: [email protected]

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Geografía de supercies simplemente conexas encaracterística p > 0

Giancarlo Urzúa ∗


Santiago, Chile

Abstract

Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 0, y sea C una curva proyectiva nosin-gular sobre K. Demostramos que para todo número real x ≥ 2, existen supercies minimales sobre Kde tipo general tal que

a) c21(X) > 0, c2(X) > 0,

b) πét1 (X) ' πét1 (C),

c) y c21(X)/c2(X) es arbitrariamente cercano a x.

En particular, para cada p jo, esto muestra densidad de pendientes de Chern en el intervalo pato-lógico de Bogomolov-Miyaoka-Yau ]3,∞[. Además, demostramos que para C = P1, existen superciesX con las propiedades de arriba y H1(X,OX) = 0, es decir, con esquema de Picard igual a un puntoreducido. Este último resultado indica que incluso supercies con esquema de Picard reducido son den-samente persistentes en [2,∞[, para cada p jo. Aunque ya habían ejemplos (no simplemente conexos)al respecto (ver [3]), esto muestra que cierta conjetura de Parshin [8] es densamente incorrecta.

Parte del trabajo (grupo fundamental étale de braciones) es en conjunto con Rodrigo Codorniu(estudiante de Paris VI), lo cual fue parte de su tesis de Magister en la Ponticia Universidad Católicade Chile [1].

Referencias

[1] R. Codorniu, Supercies bradas étale simplemente conexas, Master's thesis, Ponticia Universidad Católica deChile, June 2014.

[2] A. Grothendieck, Revêtements étales et groupe fondamental, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie19601961 (SGA 1), Dirigé par Alexandre Grothendieck. Augmenté de deux exposés de M. Raynaud, Lecture Notesin Mathematics, Vol. 224, Springer-Verlag, Berlin, 1971, xxii+447.

[3] J. Jang, Generically ordinary brations and a counterexample to Parshin's conjecture, Michigan Math. J. 59(2010),169178.

[4] K. Joshi, Crystalline aspects of geography of low dimensional varieties: Numerology, arXiv:1403.6402v1, pre-printMarch 2014.

[5] A. Langer, Bogomolov's inequality for Higgs sheaves in positive characteristic, to appear in Inventiones Mathematicae2014.∗Parcialmente nanciado por FONDECYT regular 1150068, e-mail: [email protected]

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[6] C. Liedtke, Algebraic surfaces in positive characteristic, Birational geometry, rational curves, and arithmetic, 229292, Springer, New York (2013).

[7] D. Mumford, Pathologies III, Amer. J. Math. 89(1967), 94104.

[8] A. N. Parshin, Letter to Don Zagier by A. N. Parshin, Arithmetic algebraic geometry (Texel, 1989), 285292, Progr.Math., 89, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1991.

[9] J.-P. Serre, Sur la topologie des variétés algébriques en caractéristique p, Symposium internacional de topología pp.24-53, Universidad Nacional Autónoma de México, UNESCO, Mexico City, 1958.

[10] N. I. Shepherd-Barron, Geography for surfaces of general type in positive characteristic, Invent. math. 106(1991),263274.

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Matemática Educativa

Coordinadores

Margarita Garcia Astete

Universidad de la Serena, Chile

[email protected]

Armando Mallegas Vera

Universidad Arturo Prat, Chile

[email protected]

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Comprensión de las Cónicas a través de la teoría de losModos de Pensamiento

Miguel Astorga ∗

UMCESantiago, Chile

Abstract

Este resumen, presenta una investigación en didáctica de la matemática cual da cuenta de una proble-mática evidenciada en informantes de tercero y cuarto medio, a través de un estudio de casos múltiples(Stake, 2010), del plan diferenciado de matemática, de dos realidades escolares distintas en Chile. Ade-más, presenta una propuesta didáctica para dar solución a la problemática a través del marco teóricode los Modos de Pensamiento (Sierpinska 2000).La problemática a abordar en este estudio, está relacionada con la forma de comprender las seccionescónicas, presentes en el currículum de la asignatura Álgebra y modelos analíticos (Mineduc 2005). Enella se determinan dos tendencias, una que informa de la escasa relación y comprensión de las cónicasen distintos modos de pensar y la otra que da cuenta del hecho de no concebir las cónicas aisladas dela métrica usual, siendo esta última un obstáculo para alcanzar un grado mayor en la comprensión dedichos objetos matemáticos.Dado el carácter cognitivo de la problemática y propiciada por la forma de comprender los objetos deestudio, es que se utiliza el marco teórico de los Modos de Pensamiento de Anna Sierpinska (2000), apartir del cual se interpretan tres modos de comprender las cónicas: sintético-geométrico (SG), analítico-aritmético (AA) y analítico-estructural (AE).Respecto a la metodología, la investigación en educación, considera fenómenos sociales y los analizadesde la realidad. En este caso se consideró parte de la realidad educativa de dos establecimientoseducacionales secundarios en Chile, lo cual adscribe a esta investigación al enfoque cualitativo. Ademásporque se presenta todo un contexto que no precisa objetivar variables ni considerar datos para realizaruna descripción, sino que busca identicar características de un fenómeno y comprenderlo. Dada estanecesidad de comprender e interpretar fenómenos sociales, es que esta investigación está apoyada en elparadigma hermenéutico. Los participantes de esta investigación son estudiantes de enseñanza media,a través de la metodología de estudio de casos múltiples, como herramienta para recopilar información,tanto para contrastar y determinar la problemática, como también para validar la propuesta didáctica yextraer conclusiones. Estos casos se caracterizan por ser estudiantes de tercero y cuarto medio (16 a 17años de edad), de la asignatura del plan diferenciado. Los instrumentos para la recogida de información,como medición inicial y a posteriori, son cuestionarios, secuencias de actividades y entrevistas. Todosestos instrumentos, permiten obtener datos para el diagnóstico de la investigación y luego para validarla propuesta de innovación didáctica. Para la medición inicial, son cuestionarios de cuatro preguntasy buscan determinar lo que conocen los estudiantes de las cónicas y cómo la conocen, para visualizarel nivel de comprensión inicial respecto a ellas y así poder contrastar con la problemática. Luego, deelaborada la propuesta didáctica, se realizan entrevistas a distintos profesores, tanto universitarios (concompetencias en geometría) como de educación media, para validar la propuesta.La propuesta didáctica, consiste en una secuencia de actividades diseñada para generar el tránsito entre

∗Parcialmente nanciado por UMCE, e-mail: [email protected]

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las distintas formas de comprender las cónicas. Dado que la problemática pone énfasis en la métrica co-mo articuladora entre los modos de pensar, las actividades consideran además de la métrica euclidiana,dos no euclidianas, con el propósito de desprender la conceptualización y comprensión de las cónicasde su representación gráca, propiciando el tránsito entre dichos modos.A modo de conclusión, considerando el marco teórico de los Modos de Pensamiento, se requiere eltránsito entre los tipos de pensamiento, representados por los modos SG, AA y AE, para lograr unacomprensión profunda del objeto en estudio, en este caso, las secciones cónicas. No obstante, tambiénse debe destacar que es la métrica, la articuladora entre los distintos modos de pensamiento, desde lamatemática y por lo tanto, se debe enfatizar en ella como articulara, además de tratada como objetofundamental en la denición de las cónicas.Los resultados de esta investigación, aun cuando están en proceso de análisis, ya muestran evidenciasde estar generando comprensión y tránsito entre los modos de pensar las cónicas, articuladas por lasdistintas métricas propuestas.

Trabajo realizado en conjunto con:Marcela Parraguez 1 , IMA, PUCV, Valparaíso, Chile.

Referencias

[1] Ministerio de Educación de Chile, Objetivos fundamentales y contenidos mínimos obliga- torios de la educaciónmedia, MINEDUC, Santiago, 2005.

[2] Sierpinska, A., One some Aspects of Student 's thinking in Linear Algebra En Dorier., The Teaching of LinearAlgebra in Question, Netherlands, 2000.

[3] Stake, R. E , Investigación con estudio de casos., Labor, Barcelona, 2010.

1 e-mail: [email protected]

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Una descomposición genética para el concepto deinducción matemática

Isabel García Martínez ∗


Antofagasta, Chile

Abstract

En este trabajo se presenta un estudio del concepto de inducción matemática en la enseñanza su-perior bajo el marco teórico de la teoría APOE (Acción, Proceso, Objeto, Esquema) y un estudio decasos[3] como diseño metodológico. Los objetivos de investigación son: analizar las estructuras mentalesque muestran estudiantes universitarios al construir el concepto de inducción matemática, y reformularuna descomposición genética para inducción matemática diseñada por Dubinsky y Lewin[1].Las autoras han podido percibir la dicultad que tienen estudiantes universitarios, de la segunda yquinta región de nuestro país, con el concepto de inducción matemática. En sus aulas han observadoque estudiantes aplican el principio de inducción matemática en forma mecánica, sin comprenderlo co-mo una herramienta matemática que les permite validar cierto tipo de proposiciones. Especícamente,en algunos casos, ellos no consideran las dos armaciones que involucra el principio de inducción, dandoprioridad a una de las armaciones por sobre la otra. En muchas ocasiones los aprendices consideranque el paso base, por ser en general fácil de probar, es irrelevante y le restan importancia.A partir de una descomposición genética diseñada por Dubinsky y Lewin[2] para el concepto de induc-ción matemática, se analizan las producciones de diez estudiantes universitarios para sustentar cuálesde las construcciones que se proponen en la descomposición genética muestran los estudiantes. Losresultados obtenidos indican que hay que reformular la descomposición genética, explicitando en ella elpaso base de la inducción matemática. En la gura, se muestra la descomposición genética reformulada,que hemos diseñado, en la cual se ha incluido el paso base como una estructura mental proceso.En la descomposición genética reformulada precisamos que si el estudiante muestra el concepto defunción como esquema, es capaz de construir el proceso que asocia a cada número natural n una fun-ción proposicional, además podrá determinar si dicha proposición es verdadera para un determinadonúmero natural n0 (que se considerará en esta investigación como paso base). Al tener el concepto delógica como proceso, puede coordinarlo con el proceso que asocia a cada número natural n una funciónproposicicional, a través de la denición de implicación, para obtener como proceso el determinar si esverdadero el paso inductivo. El paso base y el paso inductivo se coordinan a través del Modus Ponenspara obtener como proceso explicar inducción, el cual es encapsulado en el objeto inducción matemática.

∗Parcialmente nanciado por VRIDT UCN, e-mail: [email protected]

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Los resultados hasta ahora obtenidos dan cuenta que la construcción mental P (n0), dispuesta en lagura, es fundamental para construir el concepto de inducción matemática como objeto.

Trabajo realizado en conjunto con:Marcela Parraguez González 1 , Instituto de Matemática, Ponticia Universidad Católica de Valpa-raíso, Valparaíso, Chile.

Referencias

[1] Arnon, I., Cottril, J., Dubinsky, E., Oktaç, A., Roa, S., Trigueros, M. y Weller, K. (2014). APOSTheory. A framework for research and curriculum development in mathematics education, New York: Springer.

[2] Dubinsky, E. y Lewin, P. (1986). Reective abstraction in mathematics education: The genetic decomposition ofinduction and compactness. The Journal of Mathematical Behavior, 5, 55-92.

[3] Stake, R. (2010). Investigación con estudio de casos (5a Ed.). Madrid: Morata.

1 Parcialmente nanciado por Proyecto Fondecyt Regular N 1140801, e-mail: [email protected]

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Metodología Asistida por Computador en la Enseñanzade la Estadística para la carrera de Trabajo Social

José M. López C ∗

Escuela de Negocios y Departamento de MatemáticaUniversidad de Tarapacá

Arica, Chile

Abstract

Es muy conocida la dicultad que tienen los estudiantes de carreras lejanas a las matemáticas conasignaturas que son esenciales en su formación. La estadística suele presentar grandes problemas paralos futuros trabajadores sociales, a pesar de ser una base para muchos análisis que deben realizar ensus diferentes investigaciones. Dicha dicultad se aprecia incluso desde antes de enfrentarla. La predis-posición es de por si ya negativa. Son habituales las expresiones como soy malo/a para los números,estudio algo social, no necesito la estadística, si llego a necesitarla, encontraré a alguien que la hagapor mi, etc. Durante el curso, les cuesta mucho encontrar una motivación para asistir a clases. Y seentra en un círculo sin n: no se asiste a clases porque no se entiende, y no se aprende porque no se asistea clases. La estadística, sin embargo, juega un papel fundamental en su formación. Desde el mismo mo-mento en que se habla de una generalización a los individuos de la sociedad, se está tratando con datose inferencias. Dichos datos deben ser recopilados, organizados y descritos, comparados y deben permitirdiseñar modelos de intervención para dar soluciones a las necesidades sociales de los individuos, gruposy comunidad en general. Se plantean, entonces cuestiones como: por qué les cuesta aprender estadísticaa los futuros trabajadores sociales, qué estamos haciendo mal en el diseño de enseñanza clásico, cómopodemos incorporar los intereses de ellos al proceso de enseñanza-aprendizaje, en particular en base alas tecnologías disponibles. Y un punto crucial es cómo quitar la animadversión que los estudiantes deTrabajo Social en particular y de las áreas de Ciencias Sociales en general tienen hacia la estadística.La investigación que se presenta, se basa en la experiencia de enseñar estadística de forma asistida conun programa computacional a un curso de la carrera de pregrado de Trabajo Social, en la Universidadde Tarapacá de Chile.Los desarrollos tecnológicos de los últimos años ofrecen nuevas herramientas para enseñar la estadísticaintroductoria, tanto teórica como práctica. A esta metodología es la que llamamos la clase asistida porcomputador (CAI, por sus siglas en inglés). Entre las ventajas de la CAI está el énfasis en el aprendizajeactivo y el aprendizaje colaborativo. Es útil para todo tipo de estudiante moderno, pues el aprendizajese basa en utilizar las mismas herramientas que ellos utilizan diariamente. Es así como los estudiantesaprenden a manejar el paquete estadístico, utilizando los programas habituales de escritorio (Word,Excel), estando siempre conectados a internet (utilización de bases de datos, nubes virtuales) y, contodo ello, se van relacionando con los conceptos estadísticos básicos, y no tan básicos. El profesor ahorano es el centro de atención de la clase, pero sí es un guía que acompaña a los estudiantes durante suaprendizaje. De esta forma, la clase resulta ser muy dinámica, participando los estudiantes y ayudán-dose entre ellos. Se realizó por primera vez para estos estudiantes un curso completamente con estamodalidad. Se espera bajar el nivel de adversión que ellos tienen hacia la estadística y que sean capacesde visualizar la utilidad que ésta tiene para su formación. Al nalizar el curso, se utilizaron diferentesinstrumentos para medir los resultados y el grado de satisfacción, cuyos resultados son presentados enesta investigación.

∗Parcialmente nanciado por Proyecto en Educación número 4731-15, Universidad de Tarapacá

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Trabajo realizado en conjunto con:Pedro P. Olivares M 1 , Universidad de Tarapacá, Arica, Chile. Trabajo realizado en conjunto con:Alvaro Cortínez, Departamento de Matemática, Universidad de Tarapacá, Arica, Chile.

Referencias

[1] M. Artigue, Tecnología y enseñanza de las matemáticas: desarrollo y aportes de la aproximación instrumental.Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática,8, 2011.

[2] S. Castillo, Propuesta pedagógica basada en el constructivismo para el uso óptimo de las TIC en la enseãnza yel aprendizaje de la matemática. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa, 11, 2, 171-194,2008.

[3] S. Dmitriy, H. Hodges and R. B. Hasbrouck, VISA: Reducing Technological impact on student learning in anintroductory statistics course. Technology Innovations in Statistics Education, 4,1 2010.

[4] D. Eudave, Niveles de comprensión de información y grácas estadísticas en estudiantes de centros de educaciónbásica para jóvenes y adultos de México. Educación Matemática, 21 (2), 5-37, 2009.

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[6] L. Moreno-Armella, Cómo impactan las tecnologías los currículos de Educación Matemática. Cuadernos deInvestigación y Formación en Educación Matemática 8, 11. 307-315, 2013.

1 Parcialmente nanciado por Proyecto en Educación número 4731-15

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Funciones más frecuentes para los estudiantes deingeniería: la función cuadrática.

Eliseo Martínez Herrera

Abstract

Se debe entregar, a juicio de los autores, una serie de funciones útiles que deberían incorporarse aun estándar de exigencia al estudiante de ingeniería al nal de un primer curso de cálculo diferencial.Cada función se debe acompañar con el modelo matemático para el cual es útil. Presentamos a modode ejemplo la parábola o función cuadrática en su forma estándar, y alejada de la descontextualizacióncon la que a menudo se presenta.

Trabajo realizado en conjunto con:Douglas Fuenteseca

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El rol de la argumentación gráca en la construcciónsocial de los números complejos en alumnos de Iquique:

Una mirada socioepistemológica

Juan José Núñez Fernández ∗

Ponticia Universidad Católica de Valparaíso

Abstract

Se reporta una investigación en matemática educativa, la cual detectó que la epistemología domi-nante presente en el discurso Matemático Escolar (dME) del marco curricular chileno y de dos textosescolares de difusión nacional sobre la enseñanza de los números complejos es la algebraica, produ-ciendo el problema de confrontación entre la Matemática Escolar y la Obra Matemática. A partir delos elementos que dan necesaria existencia y sentido a los números complejos obtenidos de un análisishistórico-epistemológico -la resolución de ecuaciones de grado superior con soluciones no reales y larepresentación geométrica de los números complejos-, se creó un gráco en GeoGebra con el n derediseñar el dME y analizar las argumentaciones de los alumnos iquiqueños de segundo año medio almanipular el gráco y que permiten construir los números complejos, bajo la mirada de la Socioepiste-mología.


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Tecnologías digitales usos y posibilidades en formacióninicial docente

Abraham Martín Olivares Escanilla ∗

Instituto de MatemáticasUniversidad de Valparaíso

Valparaíso, Chile

Abstract

El trabajo plantea una implementación didáctica, que se realiza en carreras de pregrado universita-rias. Se orienta en el potencial didáctico que ofrecen las tecnologías de la información y de la comuni-cación. Los alumnos(as)-profesores en su proceso de formación, han de utilizar herramientas digitales,desarrollando competencias para su uso pedagógico y didáctico. Ello implica innovar en procedimientosdidácticos y de planicación, para propiciar titulación de docentes innovadores, investigadores y concapacidad de autoaprendizaje permanente. El alumno(a) profesor, debe desarrollar habilidades, destre-zas genéricas y disciplinares respecto a uso TIC, debe ser un innovador con herramientas de últimageneración, un desarrollador de prototipos didácticos, para sus procesos de enseñanza aprendizaje.El trabajo metodológico, se enfoca en una indagación descriptiva, logrando productos iniciales, aunquecon permanente desarrollo. En el caso particular de la formación de profesores de matemática para laenseñanza media, la experiencia realizada, contempla las componentes indicadas anteriormente, y enel ejercicio propia de su disciplina; observa el contexto didáctico matemático desde perspectivas como:Análisis de necesidades en un entorno tecno-educativo; diseño y desarrollo de prototipos digitales deaprendizaje; uso de Ciberespacio como herramienta didáctica; aplicaciones transversales de las TIC; lasolución de problemas, como activadores del conocimiento.

Referencias

[1] Moreno, L. (2002a). Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas. En Proyecto incorporación de nuevastecnologías al currículo de matemáticas de la educación media de Colombia. (2002). Ministerio de Educación NacionalDirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media, Colombia Pág. 40-66.

[2] Olivares Escanilla, Abraham (2009), análisis actitudinal frente a la resolución de problemas en matemáticay el uso de tecnología de la información y de la comunicación (tic), Boletín de Investigación Educativa, Facultadde Educación, Ponticia Universidad Católica de Chile (PUC), ISSN: 0717-2494, Volumen 24 No 1 y 2, indizadaLATINDEX, pp. 265-279

[3] Olivares Escanilla, Abraham (2007), Competencias para un Mundo Cognoscente, Revista Interuniversitariade Formación del Profesorado AUFOP, ISSN 0213-8464 Zaragoza-España , Volumen 21(2 y 3) pp. 137 148

[4] Olivares Escanilla, Abraham (2006), Estrategia Didáctica Para Alfabetización Digital En Formación De Pre-grado Universitaria, Boletín de Investigación Educativa, Facultad de Educación, Ponticia Universidad Católicade Chile (PUC), ISSN: 0717-2494, Volumen 21, No1, 2006, indizada LATINDEX, pp: 197-214

∗e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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[5] Olivares, A. (2005) Variedad Didáctica Informática, Tesis Doctoral, Universidad de Valladolid, Valladolid, Es-paña. UNESCO (2004) Las tecnologías de la información y la comunicación en la formación docente, Guía deplanicación, División de Educación Superior, Coordinador: Evgueni Khvilon Coordinadora editorial: Mariana Pa-tru, UNESCO.

[6] Olivares Escanilla, Abraham (2003), Enfoque Metodológico Informático basado en la Resolución de Problemas,Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado AUFOP, Volumen 6, No 2, ISSN 1575-0965, Zaragoza-España http://www.aufop.com/aufop/revistas/indice/digital/112

[7] Oteiza, F. and Silva. J (2001). Computadores y Comunicaciones en el Currículo Matemático: Aplicaciones a laEnseñanza Secundaria. Revista Pensamiento Educativo, Vol. 27, pp. 127-168. Santiago-Chile: Ponticia UniversidadCatólica de Chile.

[8] Villarreal, G. (2003). Agentes Inteligentes en Educación, Revista Electrónica Edutec. En http://edutec.rediris.es/Revelec2/revelec16/villarreal.htm

[9] Villarreal, G. (2004). Generación de material didáctico en Excel, Marco Teórico. Material desarrollado paraEnlaces en Red, del Proyecto Enlaces, Mineduc.

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La complejidad de la enseñanza de la modelizaciónmatemática

Sara Pascual Pizarro ∗

Escuela de Pedagogía en Educación MatemáticaUniversidad del Bio-Bio

Chillán, Chile

Abstract

A través de la competencia Resolver una situación-problema, la charla tiene como objetivo unatransferencia a las situaciones matemáticas de los conocimientos desarrollados en matemáticas. El des-ciframiento de los elementos que se prestan a un tratamiento matemático y la representación de lasituación-problema por un modelo matemático, presentados como componentes de esta competencia,dependen de la modelización matemática. De hecho, con las tecnologías que permiten explorar y re-solver problemas cada vez más complejos y abordar dominios de la realidad cada vez más extensos, lamodelización a adquirido una importancia considerable en la práctica matemática, hasta el punto de serconsiderada ahora por algunos matemáticos como una de las componentes esenciales de las matemáticas1 y una de las cuestiones claves de su enseñanza (Abedul, 2000).Ahora bien, el pasaje de conocimientos matemáticos a verdaderas competencias de modelización estálejos de ser evidente y requiere de un trabajo explícito en este sentido que vas más allá de un simpledespertar a la aplicabilidad de las matemáticas, y requiere del profesor una dosicación sutil de lasconsignas, del tiempo y recursos asignados. Las situaciones elegidas deben ser sucientemente comple-jas para justicar un recurso a un modelo matemático del nivel de las matemáticas enseñadas, peroel contexto en el cual se inscriben debe ser sucientemente conocido de los estudiantes para favorecerla devolución y evitar que los saberes que están incluidos no se instauren en obstáculo a la resolucióndel problema. Idealmente, favoreceremos la comparación de diferentes modelos creados por los alumnospara destacar las semejanzas y las diferencias, las contribuciones y los límites (Pascual, 2013). E iremosmás allá de la regresión generada por la calculadora (a la cual la modelización se ve a menudo reducidaen la enseñanza media) reriéndose al carácter explicativo del modelo: esto requiere comparar, describirel cambio, buscar los invariantes, adelantar hipótesis, combinar a un nivel global relaciones simples quese habrá podido denir a un nivel local, etc. La búsqueda de situaciones que responden a estos criteriosconstituye un desafío en sí.La modelización por los alumnos de tales situaciones demanda del tiempo, de la investigación, un accesoa datos y a herramientas tecnológicas, y por lo tanto se prestan mejor a un enfoque por proyectos quea las formas tradicionales de evaluación en matemáticas (Nyman et Berry, 2002). Además del nivel deestructuración de sus conocimientos (Caron, 2003), la capacidad de modelizar de un estudiante dependede su experiencia de la complejidad, de sus competencias de comunicación y del nivel de integraciónde la tecnología a su práctica matemática (Caron y Bélair, 2007). Todos estos elementos contribuyenpara hacer de la modelización matemática una jugada que trastorna la enseñanza de la matemática, lomismo en su forma que en sus objetivos.

∗Financiada por la Universidad del Bio-Bio. E-mail: [email protected]; [email protected] Después de haber sido vistas por mucho tiempo como ciencia de magnitudes, luego, más recientemente, como ciencia de

estructuras, las matemáticas son cada vez más descritas como ciencia de modelos, o ciencia de cálculo, de la modelización yde la demostración (Ronald Brown, Yves Lafont).

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Referencias

[1] F. Caron. Où sont les mathématiques quand on a besoin d'elles?. Montréal, Éditions Bande Didactique, 2003.

[2] F. Caron et J. Bélair. Exploring university students' competencies in modelling. In: C. Haines, P. Galbraith W.Blum and S. Khan (Eds.). Horwood (2007), pp.120-129.

[3] M. Nyman and J. Berry. Developing transferable skills in undergraduate mathematics students through mathe-matical modelling. Teaching Mathematics and its Applications, 21(1), pp. 29-45, 2002.

[4] S. Pascual. Una secuencia didáctica para un concepto unicador en un curso de álgebra lineal de un programa deformación a la ingeniería. Thèse de Doctorat. Université de Montréal. http://hdl.handle.net/1866/9726. 2013.

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Los números de Fibonacci: Modelo de ejemplos para elaula de pregrado

Gustavo Adolfo Poblete Olmos ∗

Departamento de Matemática y FísicaUniversidad de Magallanes

Punta Arenas, Chile

Abstract

La sucesión de FIBONACCI se caracteriza fundamentalmente por ser de comprensión directa ysimultámente utilizar conceptos y argumentos matemáticos elementales que están sorprendentementeligados. A la vez, por sus aplicaciones es un ejemplo no trivial y motivador, para ser entregado a losalumnos de pregrado en diferentes tópicos de la matemática y en otras diciplinas.En la exposición del presente trabajo de difusión matemática, se mostrarán dos ejemplos: La sucesiónde FIBONACCI como elemento del subespacio vectorial del espacio de todas las funciones reales condominio natural.Una aplicación de las ecuaciones en diferencias, para encontrar él termino general de la sucesión deFibonacci(fórmula de Binet).


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On Implementation of Hands-on Math Equipment forRegular Lessons at Secondary School

Evgeniy A. ShiryaevLaboratory of Mathematics

Polytechnical Museum (http://polymus.ru/)Moscow, Russia

Abstract

Math equipment for children in primary schools or even younger is widely known as well as variety ofits developers. High schoolers readily although unoften visit scientic museums where they can interactwith vivid exhibits (let us notice that one can nd even math museums in some of continents). Theraising question is what should we expect from the lessons in secondary school provided with mathmodels to be taken in hands?The talk is devoted to demonstration of this kind of models, review of technologies of making them,and teaching technics and pedagogical goals to be assigned for them. The talk is based on activity holdin institution given below title.Mission of Math Laboratory at Polymus is to develop lessons on topics close to school program. Eachlesson is assisted by 5-8 models constructed for this very lesson. Among others are

Parabola;

On some formulae of geometry;

Circle properties;

Numbers, binomial theorem and calculation skills;

Designing of polyhedra;

Remarkable curves;

Constant width gures;

Theory for hungry nanny goat.

Each model is to be worked out in cooperation with manufacturer leading to combination of imaginationand reality of technologies. And every model is to be produced in several variants in order to choosethe most suitable one later, in practice. As an example we could bring any model for geometry lessonin which a gure is composed of parts held together. The force that holds parts can be magnetic whichgives us several variants of design. The other way to hold parts together is to cut sockets for them inthe holding panel. But which one suits better for a class of 15 or 30? The answer is to be got in reallife lessons.I hope that there will be time in talk to represent some parts of lesson "Parabola". Relevant modelswill be shown. And we intend to persuade the audience that their usage leads to better quality of thelesson on this topic.There is a certain fate for our models: we introduce lessons based on them in Polymus edu- cationalprogram and popularize them among school teachers. Finally some of models come to schools and weare assure that such equipment provides a teacher with striking possibilities and gives opportunity tocome to success in teaching. That will be a subject to discuss with interested in part of audience.

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Referencias

[1] , Mathematical Etudes,, http://etudes.ru/

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Optimización

Coordinador

Cristián Vera

Universidad Arturo Prat, Chile

[email protected]

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Strong duality and KKT conditions in a nonconvexoptimization problem

Gabriel Cárcamo Aravena ∗

Depto. de Ingeniería Matemática & CI2MAUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

Continuing with the line of research in [2], some geometric characterization of strong duality for a nonconvex optimization problem under a single equality and geometric constraints:

µ.= ınff(x) : g(x) = 0, x ∈ C, (18)

are established. Here f, g : C −→ R are functions and C be any nonempty subset of Rn. In particular, ahidden convexity of the conic hull of joint-range of the pair of functions associated to (18), is obtained.Applications to derive KKT conditions associated to (18), without standard constraints qualication,are also discussed. Our results can be seen as a supplement on [3]. Several examples showing our resultsprovide much more information than those appearing elsewhere are given. For instance there are tech-niques based on exact penalization [4] cannot be applied. Furthermore as application of (18) we givea rst and second order optimality condition for a non convex quadratic optimization problem undertwo quadratic equality constraints. Finally, the standard quadratic problem involving a non necessarypolyhedral cone is analyzed in detail. Such a problem retains, as asserted in [1], most of the complexityof the general quadratic case having a polyhedron as a feasible set.

Joint work with:Fabián Flores-Bazán 1 , Departamento de Ingeniería Matemática and CI2MA, Universidad de Concep-ción, Concepción, Chile.

Referencias

[1] Bomze, I. M.; Locatelli, M.; Tardella, F., New and old bounds for standard quadratic optimization: dominance,equivalence and incomparability, Math. Program., Ser. A 115, pp 3164 (2008).

[2] F. Flores-Bazán, Fernando Flores-Bazán, Cristián Vera, A complete characterization of strong duality in nonconvexoptimization with a single constraint, J. Global Optim., 53 (2012), 185201.

[3] F. Flores-Bazán, G. Mastroeni, Characterizing FJ and KKT points in nonconvex mathematical programming withapplications, SIAM, J. Optimization, 25 (2015), 647676.

[4] Yang, X. Q.; Meng, Z. Q., Lagrange multipliers and calmness conditions of order p, Math. Oper. Res., 32 (2007),95101.

∗e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]. The research was supported in part by CONICYT-Chile through FONDECYT 115-

0973 and BASAL Projects. CMM, Universidad de Chile

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Controlabilidad de Sistemas bilineales en la esfera S2

Efrain CruzCarrera de Matemática

Universidad Mayor de San Andrés, Bolivia

Abstract

En este artículo se reere a las propiedades de controlabilidad de sistemas de control bilineales Σen el espacio R3 con un control. Para un sistema transitivo, nuestro resultado principal caracterizala controlabilidad a través de la existencia de controles constantes y las entradas de las matrices quedeterminan la forma de sus autovalores. La motivación para buscar esta caracterización se centra enestablecer condiciones necesarias y sucientes para la controlabilidad de un sistema de control bilinealen el espacio R3 vía el método establecido por Colonius-Kliemann en [1].

Referencias

[1] V. Ayala, F. Colonius, and W. Kliemann, Dynamical characterization of the Lyapunov form of matrices,Linear Algebra and Its Applications 420(2005), 272 - 290.

[2] V. Ayala, F. Colonius, and W. Kliemann, On Topological Equivalence of Linear Flows with Applications toBilinear Control Systems, submitted.

[3] H. J. Sussmann, Orbits of families of vector elds and integrability of distributions, Trans. Amer. Math. Soc., 180(1973), pp.171-188.

[4] V. Ayala and L.A.B. San Martin, Controllability of two-dimensional bilinear systems: restricted control and discrete-time, Revista Proyecciones (1991).

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Teoría de la Viabilidad: un enfoque para el análisis desustentabilidad de pesquerías

Pedro Gajardo ∗


Valparaíso, Chile

Abstract

Durante los últimos 30 años, podemos identicar diversos intentos por denir sustentabilidad o desarro-llo sustentable, en relación a la gestión de recursos naturales de manera general o a la gestión de recursospesqueros en particular. Estas deniciones, requieren de un trabajo adicional para hacerlas operativas,especicando objetivos cuantitativos a ser alcanzados. Adicionalmente, dado que múltiples objetivospodrían ser incompatibles, establecer la relación entre ellos y cómo el concepto de sustentabilidad sehace cargo de estas incompatibilidades, es una tarea pendiente [12].El objetivo de esta charla, es presentar la Teoría de la Viabilidad [1, 2] como una propuesta para abor-dar los desafíos mencionados. Esta teoría, subdisciplina de la Teoría de Control, aborda el análisis desistemas dinámicos bajo la acción de un control, sujeto a diversas restricciones (de estados y controles;[2, 4, 6, 8, 9, 13]). En ese contexto, el determinar estados y controles viables, abordar la incertidumbrey analizar problemas en esencia (de optimización) multi-criterios, constituyen los elementos principalesde esta teoría y de las aplicaciones a ser presentadas.En el transcurso de la charla, y con el objetivo de ejemplicar cómo la Teoría de la Viabilidad puede seraplicada al análisis de sustentabilidad de pesquerías, expondremos las siguientes cuatro aplicaciones:

Análisis de sustentabilidad del enfoque precautorio basado en el stock de biomasadesovante y en la mortalidad por pesca: Este enfoque, ampliamente utilizado en el mundo yplasmado en la vigente Ley de Pesca chilena, dice relación con establecer restricciones (de estadoy controles) en el tiempo a observaciones de un sistema dinámico. El análisis aquí propuesto buscaestudiar si tales restricciones son posibles o no de satisfacer [3].

Análisis cuando diversos objetivos, en conicto entre sí, deben ser considerados: Enla gestión de recursos naturales, surge de manera natural tener variados objetivos que están enconicto entre si (e.g., mayor preservación de los recursos vs mayor benecio económico), porlo que se hace necesario poder determinar de manera explícita los trade-o que hay entre ellos,estableciendo además objetivos que sean sustentable en el tiempo [5, 10].

Propuesta de métodos cuantitativos para la recuperación de pesquerías minimizandoimpactos: A partir de lo señalado en el punto anterior, se plantea el problema de recuperar unapesquería como aquel de poder optar, en un horizonte de tiempo, a alcanzar mejores objetivosde manera sustentable. Para realizar lo anterior, se propone un problema de optimización quepermita obtener trayectorias que minimicen el impacto (social, económico) causado por los planesde recuperación [4, 7, 10].

∗Parcialmente nanciado por FONDECYT N 1120239, e-mail: [email protected]

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Clasicación de diferentes estrategias de manejo: Una estrategia de manejo se puede denircomo una secuencia de controles que busca satisfacer diversos objetivos. La clasicación de estas,en sistemas donde la incertidumbre está presente, ha sido uno de los temas que ha concitadomayor atención el último tiempo por la comunidad internacional, en lo que a gestión pesquera sereere, en el cual el problema de clasicar algo que en esencia es multi-criterio se visualiza comouna dicultad. A través de la probabilidad de viabilidad se propone una moneda común para poderrealizar esta clasicación [5, 11].

El énfasis durante la presentación de las anteriores aplicaciones, estará en mostrar de manera sim-ple y en un lenguaje asociado a los sistemas dinámicos, el control y la optimización estos problemas,ejemplicándolos con datos de pesquerías chilenas y destacando las últimas contribuciones en el área.Adicionalmente, se expondrán diversos tópicos que quedan por desarrollar para abordar problemas máscomplejos, que contribuyan a construir herramientas para una gestión sustentable de recursos pesqueros.

Referencias

[1] J.-P. Aubin. Viability theory. Systems & Control: Foundations & Applications. Birkhäuser Boston Inc., Boston,MA, 1991.

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[5] M. De Lara and V. Martinet. Multi-criteria dynamic decision under uncertainty: a stochastic viability analysis andan application to sustainable shery management. Math. Biosci., 217(2):118124, 2009.

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[7] FIC-R BIP N 30110834: Gobierno Regional de Valparaíso Chile. Quantitative tools for a sustainable recovering ofthe Chilean Hake. http://www.recuperemoslamerluza.cl/, 2014.

[8] P. Gajardo. Modelando fenómenos de evolución. JC Saez, Santiago, 2012.

[9] P. Gajardo, J. Peña Torres, and H. Ramirez. Harvesting economic models and catch-to-biomass dependence: Thecase of small pelagic sh. Natural Resource Modeling, 24(2):268296, 2011.

[10] V. Martinet, P. Gajardo, and M. De Lara. Bargaining with intertemporal maximin payos. 66th European Meetingof the Econometric Society, 2012.

[11] V. Martinet, J. Peña Torres, M. De Lara, and H. Ramirez. Risk and Sustainability: Assessing Fishery ManagementStrategies. Environ. Resource Econ., to appear, 2015.

[12] T. J. Quinn and J. S. Collie. Sustainability in single-species population models. Phil. Trans. R. Soc. B, 360:147162,2005.

[13] T. J. Quinn and R. B. Deriso. Quantitative Fish Dynamics. Biological Resource Management Series. OxfordUniversity Press, New York, 1999.

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http://www.recuperemoslamerluza.cl/


Control Adaptativo de Bioprocesos Asociados a Modelosde Microalgas

Esteban Hérnandez Urrutia ∗

Departamento de MatemáticasUniversidad Técnica Federico Santa María

Valparaíso, Chile

Abstract

En esta presentación abordamos el problema de controlar el crecimiento de una población de mi-croalgas en torno de un estado de equilibrio óptimo, según un criterio de maximización, cuando se tienedesconocimiento acerca de los parámetros que caracterizan al modelo en estudio. Mediante técnicas deControl Adaptativo como Análisis de Lyapunov y Extremum Seeking diseñamos controles y estimadoresde los parámetros desconocidos. De esta forma somos capaces de hacer converger nuestro sistema alequilibrio óptimo.

Trabajo realizado en conjunto con:Eduardo Cerpa, Departamento de Matemáticas, Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso,Chile.Francis Mairet, Inria Sophia-Antipolis, Sophia-Antipolis, Francia.

Referencias

∗Parcialmente nanciado Anillo ACT 1106 y Beca Magíster Conicyt año 2014.

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Condiciones de Optimalidad en Problemas de ControlÓptimo Discreto

Camila Isoton ∗

Departamento de MatemáticaUniversidade Federal do Paraná

Curitiba, Brasil

Abstract

El objetivo de este trabajo es caracterizar los puntos críticos de un sistema dinámico, formulado entiempo discreto, no lineal. Para esto, extendemos la noción de KT-invexidad para problemas de pro-gramación matemática a problemas de controle óptimo discreto. Se demuestra que las condicionesnecesárias de optimalidad establecidas por el Principio del Máximo son también sucicientes si y sólosi el problema es KT-invexo.

Consideraremos el siguiente problema de control óptimo en tiempo discreto no lineal:

Minimizar Φ(x, u) =

N−1∑i=0

f (xi, ui, i)

sujeto a:xi+1 = ϕ (xi, ui, i) , i = 0, . . . , N − 1

(PCD)

donde, f : Rn × Rm × [0, N − 1] → R, ϕ : Rn × Rm × [0, N − 1] → Rn son funciones continuamentediferenciables. En este caso,

x : [0, N ]→ Rn u : [0, N − 1]→ Rmx(i) 7→ xi u(i) 7→ ui

xi es la variable de estado;ui es el parámetro de control;[0, N ] es el intervalo discreto de la recta real, donde N ≥ 0 es el número de etapas (pasos) realizados;x := (x0, . . . , xN ) es la trayectoria;u := (u0, . . . , uN−1) es el control asociado a la trayectoria correspondiente.

Esta clase de problemas ha sido ampliamente estudiado en muchos libros y artículos, por ejemplo[2]. Un ejemplo clásico de aplicación es el llamado problema de estabilización económica [10].

El estudio de las condiciones de optimalidad es un tema importante en Análisis Variacional, enOptimización y también en Control Óptimo. Existen muchos artículos en la literatura que visan elestudio de las condiciones de optimalidad para estos problemas; véase [4, 5]. Nuestro énfasis en estetrabajo es presentar condiciones de optimalidad de para el problema de control óptimo discreto (PCD).

Los resultados obtenidos se basan en la teoría desarrollada por [2] y generalizada en [1, 7]. Es-to se hace a través de una conveniente reinterpretación del problema (PCD) como un problema deprogramación matemática, al cual aplicamos el formalismo de Dubovitskii-Milyutin [3]. El conceptode KT-invexidad, que fue introducido por Martin [8] para problemas de programación matemática y

∗Parcialmente nanciado por CAPES-PDSE, e-mail: [email protected]

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posteriormente generalizado por Osuna-Gómez et al. [9] para problemas multiobjetivos, no sólo es in-teresante para la obtención de las condiciones sucientes de optimalidad; también nos proporciona unacompleta caracterización de optimalidad. En este trabajo, se demuestra que un problema de controlóptimo discreto es KT-invexo si y sólo si todo proceso admisible que satisface las condiciones del Prin-cipio del Máximo es un proceso optimal. Esto es, la clase más amplia de problemas para los cualeslas condiciones establecidas por el Princípio de Máximo son, a la vez, necesarias y sucientes para laoptimalidad.

Trabajo realizado en conjunto con:M.A. Rojas-Medar 1 , Instituto de Alta Investigación, Universidad de Tarapacá, Arica, Chile.V. Vivanco-Orellana 2 , Dpto. de Matemáticas, Universidad Católica de la Santísima Concepción, Con-cepción, Chile.L. Batista dos Santos 3 , Dpto. de Matemática, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, Brasil.

Referencias

[1] Arutyunov, A. V., Marinkovic, B. Necessary conditions of optimality for discrete optimal control problems. MoscowUniversity Computational Mathematics and Cybernetics 1 (2005): 38-44.

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[3] Girsanov, Igor Vladimirovich. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Vol. 67. Springer-Verlag,Berlin - Heidelberg - New York, 1972.

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[5] Hilscher, R., Zeidan, V. Discrete optimal control: second order optimality conditions. The Journal of DierenceEquations and Applications 8.10 (2002): 875-896.

[6] Marinkovic, B. Optimality conditions in discrete optimal control problems with state constraints. Numerical Fun-ctional Analysis and Optimization 28.7-8 (2007): 945-955.

[7] Marinkovic, B. Second-order optimality conditions in a discrete optimal control problem. Optimization 57.4 (2008):539-548.

[8] Martin, D. H., The essence of invexity. J. Optim. Th. Appl., vol. 47, no. 1, (1985): 65-76;

[9] Osuna-Gómez, R.; Ruán-Lizana, A.; Ruiz-Canales, P., Invex functions and generalized convexity in multiobjectiveprogramming. J. Optim. Th. Appl. 98, no. 3, (1998): 651-661;

[10] Tu, Pierre NV. Introductory Optimization Dynamics. Springer-Verlag, Berlin, New York, 1991.M

1 Parcialmente nanciado por Fondecyt: 1120260, e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por Dirección de Investigación, Universidad Católica de la Santísima Concepción, proyecto DIN

05/2015, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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Asymptotic analysis and applicattions

Felipe Lara Obreque ∗

Departmento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de Concepción

Concepción, Chile

Abstract

In this talk we develop new properties for the second order asymptotic analysis for the convex case inreexive Banach spaces and we applied them to the scalar noncoercive convex minimization problem.We also show several denitions for an adequate asymptotic function in the quasiconvex case in nitedimensional spaces and their applications to the multiobjective optimization problem.

Joint work with:Fabián Flores-Bazán 1 , Departmento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción, Concep-ción, Chile.Nicolas Hadjisavvas 2 , Mathematics and Statistics Department, King Fahd University of Petroleum andMinerals, Dhahran, Kingdom of Saudi Arabia.

Referencias

[1] A. Auslender and M. Teboulle, Asymptotic Cones and Functions in Optimization and Variational Inequalities,Springer-Verlag, New York, Berlin, 2003.

[2] C. Baiocchi, G. Buttazzo, F. Gastaldi and F. Tomarelli, General existence theorems for unilateral problemsin continuum mechanics, Arch, J. Rational Mech. Anal., 100 (1988), 149189.

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[4] N. Hadjisavvas and D. T. Luc, Second-Order Asymptotic Directions of Unbounded Sets with Application toOptimization, J. of Convex Anal., 18 (2011), pp. 181202.

[5] J. P. Penot, What is quasiconvex analysis ?, Optimization, 47 (2000), 35110.

∗Partially supported by Conicyt by Becas de Doctorado, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

112


Complementarity problems with respect to Loewneriancones

David Sossa ∗

Departamento de MatemáticasUniversidad Técnica Federico Santa María

Valparaíso, Chile

Abstract

This work deals with the analysis and numerical resolution of a broad class of complementarity problemson spaces of symmetric matrices. The complementarity conditions are expressed in terms of the Loewnerordering or, more generally, with respect to a dual pair of Loewnerian cones. We also present a numericalmethod for the problem of nding the nearest Euclidean distance matrix.

Joint work with:Alberto Seeger, e-mail: [email protected] , Département de Mathématiques, Univer-sité d'Avignon, Avignon, France.

Referencias

[1] A. Seeger, D. Sossa. Complementarity problems with respect to Loewnerian cones. J. Global Optim. 62 (2015),299318.

∗Supported by Fondecyt Nro. 3150323, e-mail: [email protected]

113


Sistemas Dinámicos

Coordinador

Marco Uribe Santiba'nez

Universidad Católica de la Santísima Concepción, Chile

[email protected]

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Bifurcations in a predator-prey model with generallogistic growth and exponential fading memory

Rodrigo Castro ∗

Instituto de Matemáticas. Universidad de Valparaíso, Casilla 5030, Valparaíso, Chile

Abstract

A multiparameter predator-prey system that generalizes the model introduced in [4] is considered.The system studied in this paper corresponds to the type of models with exponential fading memorywhere the logistic per capita rate growht of the prey is given by an arbitrary function of class Ck, k ≥ 3.We show that the model has a Hopf bifurcation and that there are open sets in the space of parameterssuch that the system exhibits attractor singular points and limit cycles asymptotically.

Joint work with:Eduardo Stange 1 , Instituto de Matemáticas. Universidad de Valparaíso, Casilla 5030, Valparaíso, Chile

Referencias

[1] A. Blumberg, Logistic Growth Rate Functions, J. Theo. Biol., 21, pp 42-44, 1968.

[2] R. Buis, On the Generalization of the Logistic Law of Growth, Acta Biotheoretica, 39, pp 185-195, 1991.

[3] M. Farkas, Stable oscillations in a predator-prey model with time lag, J. Math. Anal. Appl., 102, pp 175-188, 1984.

[4] M. Farkas, A. Farkas and G. Szabo, Multiparameter bifurcation diagrams in predator prey models with time lag, J.Math. Biol., 26, pp 93-103, 1988.

[5] A. Tsoularis, Analysis of Logistic Growth Models, Res. Lett. Inf. Math. Sci., 2, pp 23-46, 2001.

[6] A. Tsoularis and J. Wallace, Analysis of logistic growth models, Math. Biosc., 179, pp 21-55, 2002.

[7] Sh. Wang and Z. Ge, The Hopf Bifurcation for a Predator-Prey System with θ-Logistic Growth and Prey Refuge,Abst. Appl. Anal., pp(13), 2013.

∗[email protected] e-mail: [email protected]

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Asymptotic behavior of nonoscillatory solutions offourth order linear dierential equation

Fernando Huancas ∗† GMA, Departamento de Ciencias Básicas,

Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío,Campus Fernando May, Chillán, Chile.

Abstract

This article deals with the asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of fourth order linear dif-ferential equation where the coecients are perturbations of linear constant coecient equation. Weintroduce a change of variable and deduce that the new variable satises a third order nonlinear die-rential equation. We assume three hypotheses. The rst hypothesis is related to the constant coecientsand set up that all roots of the characteristic polynomial associated with the fourth order linear equa-tion are simple and real. The other two hypotheses are related to the behavior of the perturbationfunctions and establish asymptotic smallness conditions in the Lp sense of the perturbations. Underthese general hypotheses, we obtain four main results. The rst two results are related to the applica-tion of a xed point argument to prove that the nonlinear third order equation has a unique solution.The next result concerns with the asymptotic behavior of the solutions of the nonlinear third orderequation. The fourth main theorem is introduced to establish the existence of a fundamental system ofsolutions and to precise the formulas for the asymptotic behavior of the linear fourth order dierentialequation. In addition, we present an example to show that the results introduced in this paper can beapplied in situations where the assumptions of some classical theorems are not satised.

Joint work with (see [3] for details):Anibal Coronel 1 , † GMA, Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias, Universidad delBío-Bío, Campus Fernando May, Chillán, Chile,Manuel Pinto 2 , Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile, Chile.

Referencias

[1] R. Bellman. Stability Theory of Dierential Equations. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1953.

[2] E.A. Coddington, N. Levinson. Theory of Ordinary Dierential Equations. McGraw-Hill Book Company, Inc., NewYork-Toronto-London, 1955.

[3] A. Coronel, F. Huancas and M. Pinto, Asymptotic Integration of a Linear Fourth Order Dierential Equation ofPoincaré Type Preprint 2014, (http://arxiv.org/abs/1410.3011)

[4] M.S.P. Eastham. The Asymptotic Solution of Linear Dierential Dystems, Applications of the Levinson theorem.London Mathematical Society Monographs, volume 4, Oxford University Press, New York, 1989.

∗Partially supported by the research project GI 153209/C at Universidad del Bío-Bío, Chile, e-mail: [email protected] Partially supported the research projects GI 153209/C (Universidad del Bío-Bío, Chile), e-mail: [email protected] Partially supported the research Fondecyt project 1120709, e-mail: [email protected]

116


[5] P. Figueroa, M. Pinto, Riccati equations and nonoscillatory solutions of third order dierential equations, Dynam.Systems Appl. , 17(3-4) (2008), 459475.

[6] W.A. Harris Jr., D.A. Lutz, A unied theory of asymptotic integration. J. Math. Anal. Appl. , 57(3) (1977),571586.

[7] P. Hartman, A. Wintner, Asymptotic integrations of linear dierential equations. American Journal of Mathematics.,77(1) (1955), 4586.

[8] T.A. Jangveladze, G.B. Lobjanidze; On a nonlocal boundary value problem for a fourth-order ordinary dierentialequation. Dierential Equations, 47(2) (2011), 179186.

[9] H. Poincaré; Sur les equations lineaires aux dierentielles ordinaires et aux dierences nies. Amer. J. Math., 7(3)(1885), 203258.

[10] J. im²a; An extension of a theorem of Perron. SIAM J. Math. Anal., 19(2) (1988), 460472.

[11] S.A. Stepin; Asymptotic integration of nonoscillatory second-order dierential equations. Doklady Mathematics,82(2) (2010), 751754.

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Dinámica de un modelo tritróco con una respuestafuncional monotónica no-diferenciable

Viviana Rivera ∗


Valparaíso, Chile

Abstract

En este trabajo se estudia un modelo que describe la interacción de tres especies. Es un sistema tritró-co: la especie 1 es depredador (generalista) de la especie 2 y 3, mientras que la especie 2 es depredador(especíco) de la especie 3, siguiendo una respuesta funcional no diferenciable del tipo Holling II [2].El modelo está dado por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, el cual se estudia cualitati-vamente: se demuestra la unicidad de soluciones en el sistema no diferenciable [5] y la existencia de unabifurcación de Hopf [4]. Respaldados por la teoría de bifurcaciones explicaremos los cambios topológicosdel modelo, los cuales representan situaciones o fenómenos concretos en la dinámica poblacional [1].Los resultados analíticos son complementados con un análisis numérico de bifurcaciones, realizado conel paquete Matcont [3].

Trabajo realizado en conjunto con:Pablo Aguirre 1 , Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso,Chile.

Referencias

[1] E. Sáez and E. González-Olivares, Dynamics on a predator-prey model, SIAM Journal of Applied Mathematics59, 1999.

[2] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthesis, Mongraphs in Population Biology35, Princeton University Press, 2003.

[3] Y.A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory Second Edition, Springer.

[4] J. Guckenheimer, P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields. Se-cond Edition, 1985.

[5] E. González-Olivares, K. Vilches-Ponce y A Rojas Palma, A class of predator-prey models with a nondierentiable functional responce, (2014) submitted

∗Parcialmente nanciado por Proyecto DGIP-USM 121568, Análisis y modelamiento matemático: Teoría y Aplicaciones e-mail:[email protected]

1 Parcialmente nanciado por Proyecto DGIP-USM 121568 Análisis y modelamiento matemático: Teoría y Aplcaciones, e-mail:[email protected]

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Turing machines seen as dynamical systems

Rodrigo Torres-Avilés ∗

Doctorado en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería MatemáticaUniversidad de Concepción

Concepción, Chile.

Abstract

Turing machines provide a simple mechanical model of computation, it has been used for theore-tical purposes allowing to develop the theory of computational complexity and calculability. A Turingmachine consists in an agent equipped with a nite internal memory that moves over a tape full ofsymbols which it can read and modify; its movement as well as its interaction with its memory andthe tape is deterministically governed by a transition rule in discrete time. Here we consider them as asymbolic dynamical system. This line of study have been initiated by K·rka [1] in 1997, who formalizedthe model as a dynamical system, after this, several authors have continue the study by consideringproperties such as equicontinuity [2], entropy [3], and periodicity [4].Considering Turing machines as dynamical systems has several motivations (and diculties). Motiva-tions are related to the study of complexity of dynamical systems in the sense of predictability of thesystem behavior from its description and initial conditions. If a universal Turing machine is embeddedinto a given dynamical system, this one inherits the complexity of the machine, and in particular severalquestions about the system result to be undecidable. In this presentation, we will present a short reviewtogether with our last results about periodicity, transitivity and minimality in the context of reversibleTuring machines.In the context of Turing machines, transitivity imply that every local conguration is reachable fromevery other; but here the meaning of local is ambiguous and it depends on the topology that we choosefor our model. K·rka [1] proposes two dierent topologies for Turing machines, one gives preponderanceto the cell contents around the head (Turing Moving Tape model (TMT)) and the other focuses on thecells that surround the position 0 of the tape (Turing Moving Head model (TMH)). In this work, weconsider both models, as well as the column factor of the TMT model: the trace-shift.Almost periodic points exists in any metric dynamical system [5], but several examples of systems wit-hout periodic points exist. In the context of Turing machines it took a while to nd a machine withoutperiodic points, and it was even more dicult to nd a reversible one. The diculty comes from thesimplicity of the machine rules. The aperiodic machine that we found have a self similar behavior andit has additional properties as minimality and time-symmetry.

Joint work with:Anahí Gajardo 1 , Departamento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de ConcepciónConcepción, Chile. Nicolas Ollinger 2 LIFO, Université d'Orléans, Orléans, France. Concepción, Chile.

Referencias∗Partially supported by MECESUP UCO 0713 scholarship, e-mail: [email protected] Partially supported by CONICYT BASAL project CMM, Universidad de Chile, and CI2MA, Universidad de Concepción,

and FONDECT # 1140684, e-mail: [email protected] Partially supported by ECOS Sud - CONICYT project C12E05, e-mail: [email protected]

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[1] P. Kurka, On topological dynamics of Turing machines., Theoret. Comput. Sci. 174(1-2) 203- 216, 1997.

[2] A. Gajardo and P. Guillon, Zigzags in Turing machines., LNCS. 6072, 109-119, 2010.

[3] E. Jeandel, Computability of the entropy of one-tape Turing machines., STACS. 25, 421-432, 2014.

[4] J. Kari and N. Ollinger, Periodicity and Immortality in Reversible Computing., MFCS. 419-430, 2008.

[5] B. Birkho, Quelques théorèmes sur les mouvements des systèmes dynamiques., Bull. Soc. math. France. 40,305-323, 1912.

120


Sobre Soluciones Periódicas y Monodromía en SistemasDinámicos

Marco Uribe S. ∗

Departamento de Matemática y Física AplicadasFacultad de Ingeniería

Universidad Católica de la Ssma. Concepción.Concepción, Chile

Abstract

Es conocido que la función Parte Principal de Poincaré Pontryagin, llamada también Función de Melni-kov es genéricamente una integral Abeliana. En los Campos de Vectores Hamiltonianos No Genéricos esrepresentada por Integrales Iteradas de longitud mayor a uno. En [3], [4], se da una descripción precisade la Función de Melnikov, en integrales iteradas de longitud dos, estas integrales involucran funcioneslogarítmicas con solo un punto de ramicación al innito. En esta charla analizaremos las propiedadesgeneradas de estos resultados y basandose en propiedades de monodromía de funciones complejas, ve-remos que pueden ser extendidas a una clase más general de Hamiltonianos [5]. Estos resultados estánestrechamente relacionados con el Problema 16 de Hilbert sobre ciclos límites. Se considerará tambiénel resultado dado por A'Campo en [1] sobre monodromía de funciones complejas y como ésta puedeser utilizada para estudiar persistencia de centros en una cierta clase de campos de vectores, [2] and [6]..

Referencias

[1] A'Campo, N. Le groupe de monodromie du déploiement des singularités isolées de courbes planes I. Math Ann 213(1975), 1-32.

[2] Movasati, H. Center Conditions: Rigidity of logarithmic dierential equations. J. Dierential Equations 197 (2004),197-217.

[3] Uribe M. Principal Poincaré-Pontryagin Function of Polynomial Perturbations of the Hamiltonian Triangle. Journalof Dynamical and Control Systems, Vol 12, 1 (2006), 109-134.

[4] Uribe, M. Principal Poincaré-Pontryagin function associated to polynomial perturbations of a product of (d + 1)straight lines. J. Dierential Equations 246 (2009), no. 4, 13131341.

[5] Pelletier, M. and Uribe, M. The displacement map associated to polynomial perturbations of some families of Morsereal polynomials. Nonlinearity 27 (2014) 257269.

[6] Movasati, H. and Uribe, M. Center Conditions: Rigidity of pull-back dierential equations (2015) En preparación.

∗Parcialmente nanciado por proyecto DIN 09/2014 (UCSC) e-mail: [email protected]

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Soluciones Periódicas de Perturbaciones Simétricas delProblema de Kepler y Aplicaciones

Claudio Vidal ∗

Grupo de Investigación en Sistemas Dinámicos y AplicacionesGISDADepartamento de Matemática

Universidad del Bío-BíoConcepción, Chile

Abstract

En este charla describiremos la existencia de varias familias de soluciones periódicas simétricas obteni-das como continuación de órbitas circulares del problema de Kepler para ciertas perturbaciones dife-renciables usando un conjunto apropiado de coordenadas denominadas variables de Poincaré-Delaunay.Trataemos por separado dos situaciones de manera independiente, esto es, cuando la parte no pertur-bada corresponde a un problema de Kepler en coordenadas cartesianas y cuando se corresponde con elproblema de Kepler girando sobre R3. Diferentes aplicaciones son mostradas.

Referencias

[1] Boccaletti D., Pucacco G.: (1996). Theory of orbits vol 1, Springer.

[2] Cabral, H. and Vidal, C.: (2000). Periodic solutions of symmetric perturbations of the Kepler problem, J. Di. Eqs.,163, 76-88.

[3] Cors J., Pinyol C., Soler J.: (2005). Analytic continuation in the case of non-regular dependency on a small parameterwith an application to celestial mechanics, J. Di. Eqs., 219, 1-19.

[4] Iñarrea, M., Lanchares, V., Palacián, J.F., Pascual, A.I., Salas, J.P. and Yanguas, P.: (2011). Symplectic coordinateson S2×S2 for perturbed Keplerian problems: Application to the dynamics of a generalised Stormer problem, J. Di.Eqs., 250, 1386-1407.

[5] Meyer, K. R. and Hall, G.R.: (1992). Introduction to Hamiltonian Dynamical System and the N-Body Problem.Springer-Verlag, New York.

[6] Meyer K., Howison Clarissa R.: (2000). Doubly-Symmetric Periodic Solutions in the Spatial Restricted Three-BodyProblem, J. Di. Eqs., 163, 174-197.

[7] Meyer K.: (1999). Periodic solution of the N-Body Problem, Lectures Notes in Math., 1719, Springer-Verlag, Berlin.

[8] Poincaré, H.: (1957). Les Méthodes Nouvelles de la Mecánique Céleste, Dover Publ.

[9] Szebehely, V.: (1967). Theory of Orbits, New York, Academic Press.

[10] C. Vidal, Periodic Solutions for any Planar Symmetric Perturbation of the Kepler Problem, Celest. Mech. Dyn.Astron. 80, 119132 (2001).

∗Parcialmente nanciado por Fondecyt 1130644 CONICYT (Chile) y Grupo de Investigación Sistemas Dinámicos y Apli-caciones GI120708/EF, UBB (Chile) e-mail: [email protected]

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Teoría de Grafos

Coordinador

Luis Medina


[email protected]

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Una cota inferior para el radio espectral y una cotasuperior para la energía de un árbol doble-starlike

Rubí Arrizaga Zercovich ∗

Department of MathematicsFaculty of Basic Science

Universidad de AntofagastaAntofagasta, Chile.

Abstract

Un árbol se dice starlike si exactamente uno de sus vértices tiene grado mayor que dos. Un árbolobtenido de dos árboles starlike identicando sus raíces a los vértices de una arista se le denominadoble-starlike.

El índice de Hosoya de un grafo G, se denota por Z (G), es denido como el número de subconjuntosde aristas no adyacentes en G.

En este trabajo, se utilizará el índice de Hosoya para determinar una cota inferior para el radioespectral de un árbol doble starlike y una cota superior para su energía.

Joint work with:Luis Medina C. 1 , Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad de Anto-fagasta, Antofagasta, Chile.

Referencias

[1] C. Heuberger, S.G.Wagner, Chemical trees minimizing energy and Hosoya index. Springer Science+Business.1-17 (2008).

∗Supported by Universidad de Antofagasta, e-mail: [email protected] Supported by Universidad de Antofagasta, e-mail: [email protected]

124


Upper bound for the energy of certain Bethe treesjoined at their roots

Luis Medina C. ∗

Department of MathematicsFaculty of Basic Science

Universidad de AntofagastaAntofagasta, Chile.

Abstract

The Bethe tree Bd;h is an unweighted rooted tree of h levels whose root vertex has degree d, the verticesfrom level 2 to level h− 1 have degree d+ 1 and the vertices at level h have degree 1.

Let Bd;h1,...,hr be the tree obtained from the union of the r trees Bd;hi joined at their respectiveroot vertices.

In this work, we give an approximation to the energy of the tree Bd;h1,...,hr .

Joint work with:Rubí Arrizaga Zercovich 1 , Department of Mathematics, Faculty of Basic Science, Universidad deAntofagasta, Antofagasta, Chile.

Referencias

[1] R. Arrizaga, L. Medina, Lower bound for the spectral radius of a starlike tree, Preprint (2015).

[2] M. Robbiano, R.Jimenez, L. Medina, The energy and an aproximation to estrada index of some trees, MATCHCommun, 369-382 (2009).

∗Supported by Universidad de Antofagasta, e-mail: [email protected] Supported by Universidad de Antofagasta, e-mail: [email protected]

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1 as eigenvalue of a perturbed Laplacian matrix of agraph

Germain Pastén and Oscar Rojo ∗

Department of MathematicsUniversidad Católica del Norte

Antofagasta, Chile

Abstract

Let G be a simple undirected graph of order n. Let D(G) be the diagonal matrix of order n whose(i, i)− entry is the degree of the i − th vertex of G and let A (G) be the adjacency matrix of G. Thematrices L−(G) = D(G)−A(G) and L+ (G) = D (G) +A (G) are the Laplacian and signless Laplacianmatrix of G, respectively. A pendant vertex is a vertex of degree 1 and a quasi-pendant vertex is a vertexadjacent to a pendant vertex. An internal vertex is a vertex of degree at least 2. Let p(G), q(G) andr(G) be the number of pendant vertices, quasi-pendant vertices and internal vertices of G, respectively.The multiplicity of µ as eigenvalue of a matrix M is denoted by mM (µ). The following result is due toI. Faria [1].

Lemma For any graph G,mL±(G) (1) ≥ p (G)− q (G) . (19)

In [2], following a unied approach, among other results, we proveTheorem If r(G) = q(G) then

mL±(G)(1) = p(G)− q(G). (20)

Theorem If r(G) > q(G) then

mL±(G)(1) = p(G)− q(G) + nN±(1). (21)

where the matrices N− and N+ are obtained, respectively, from the Laplacian matrix and signlessLaplacian matrix of the subgraph induced by the internal vertices which are non quasi-pendant vertices.

Let C(G) be the set of internal vertices of G which are non quasi-pendant vertices.If U is a vertex subset, G[U ] denotes the subgraph induced by U .Theorem Let r(G) > q(G). Let C1, . . . , Ct be the components of the subgraph induced by C(G).

Then

mL±(G)(1) = p(G)− q(G) +∑ti=1 mN±i

(1),

where, for 1 ≤ i ≤ t, N±i = L±(G[Ci]) + Di, with Di a diagonal matrix of order |Ci| in which eachdiagonal entry is the number of quasi-pendant neighbors of the corresponding vertex.

Observe that each matrix N−i = L−(G[Ci]) + Di is a matrix obtained from the Laplacian matrixL−(G[Ci]) perturbed by the diagonal matrix Di.

In this work, we present conditions for 1 to be an eigenvalue of a matrix obtained from the Laplacianmatrix of a graph perturbed by a diagonal matrix. More precisely, we prove

∗Supported by Project Fondecyt Regular 1130135, Chile, e-mail: [email protected], [email protected]

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Theorem Let G be a connected graph of order s and let D be a diagonal matrix of order swith diagonal entries δ1 ≥ 1, . . . , δs ≥ 1. Then the spectrum of D + L− (G) includes 1 if and only ifδ1 = δ2 = · · · = δs = 1. In this case, 1 is a simple eigenvalue of Is + L−(G).

Theorem Let G be a connected graph of order s. Let D be a diagonal matrix of order s such thatall the diagonal entries are 1 except one of them which is 0. Then 1 is not an eigenvalue of D+L− (G) .

Referencias

[1] I. Faria, Permanental roots and the star degree of a graph. Linear Algebra Appl. 64 (1985), 255-265.

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LU decomposition on Laplacian and signless Laplacianmatrices associated with a family of trees

Jonnathan Rodríguez Zambrano ∗


Antofagasta, Chile.

Abstract

The LU decomposition of a matrix A is a factorization that summarizes the process of Gaussian eli-mination applied to the array. Given a graph G associated with the Laplacian and singless Laplacianmatrix of G is given by L (G) = D (G)−A (G) and Q (G) = D (G) +A (G), respectively.

This work shows a new matrix decomposition for L (G) by a low triangular matrix. Such decompo-sition is similar to the matrix which has signless Laplacian with respect to the incidence matrix

Joint work with:Mg. Juan Carmona Herrera 1 , Departamento de MatemáticasUniversidad Católica del NorteAntofagasta, Chile.

Referencias

[1] W. N. Anderson, T. D. Morly, Eigenvalues of the Laplacian of a graph, Linear Multilinear Algebra 18 (1985):141145.

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∗Partially supported by CONICYT Fellowship, e-mail: [email protected] Partially supported by CONICYT Fellowship, e-mail: [email protected]

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Eects on the energy and Estrada indices when edgesare added among pendent vertices

Oscar Rojo ∗

Department of MathematicsUniversidad Católica del Norte

Antofagasta, Chile

Abstract

Let G be a simple undirected connected graph possessing a vertex v to which s > 1 pendent verticesare attached. Let H be a graph of order s. Let G(H) be the graph obtained from G by adding the edgesof H among the pendent vertices attached to v.

Let M(R) be the Laplacian matrix or the signless Laplacian matrix or the adjacency matrix ofa graph R. If the all 1− vector of order s is an eigenvector of M(H), we prove that M(G(H)) isorthogonally similar to a 2 × 2 block diagonal matrix in which one of the blocks is a diagonal matrix.In [1] we use this result to study the eects on some Laplacian invariants of a graph when edges areadded on the pendent vertices of a given graph.

In this talk, we present the eects on the energy and on the Estrada Indices when the edges ofregular graphs are added among the pendent vertices of a given graph.

Referencias

[1] G. Pastén, O. Rojo, Laplacian Spectrum, Laplacian-Energy-Like Invariant, and Kirchho Index of Graphs Cons-tructed by Adding Edges on Pendent Vertices, MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 75, (2015) 27-40.

∗Supported by Project Fondecyt Regular 1130135, Chile, e-mail: [email protected]

129


Teoría de Matrices y Aplicaciones

Coordinador

Mario Salas

Universidad Católica del Norte, Chile

[email protected]

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Un problema inverso de autovalor para matricessimétricas doblemente echa opuesta

Juan C. EgañaDepartamento de MatemáticasUniversidad Católica del Norte

Antofagasta, Chile

Abstract

Consideramos el problema de construir una matriz real simétrica doblemente echa opuesta A, a partirde los autovalores minimal and maximal de todas las submatrices principales líderes de A. Nuestrosresultados son constructivos en el sentido que ellos generan procedimientos algorítmicos para calcularla matriz solución.

Trabajo realizado en conjunto con:Autor 2 1 , Departamento de Matemáticas, Universidad de Tarapacá, Arica, Chile.

Referencias

[1] H. Pickmann, J. C Egaña and R. L. Soto, Extreme spectra realization by real symmetric tridiagonal and realsymmetric arrow matrices, Electron. J. Linear Algebra 22 (2011), 780795.

[2] H. Pickmann, J. C Egaña and R. L. Soto, Two inverse eigenproblems for symmetric doubly arrow matrices,Electron. J. Linear Algebra 18 (2009), 700718.

[3] H. Pickmann, J. C Egaña and R. L. Soto, Extremal inverse eigenvalue problem for bordered diagonal matrices,Linear Algebra Appl. 427 (2007), no. 2-3, 256271.

[4] H. Pickmann, J. C Egaña, R. L. Soto and M. Salas, An inverse eigenvalue problem for symmetrical tridiagonalmatrices. Comput. Math. Appl. 54 (2007), no. 5, 699708.

1 Parcialmente nanciado por Proyecto UTA 4730-13, e-mail: [email protected]

131


Normal nonnegative realization of spectra

Cristina B. Manzaneda Herrera ∗


Antofagasta, Chile

Abstract

The nonnegative inverse eigenvalue problem is the problem of nding necessary and sucient con-ditions for the existence of an n × n entrywise nonnegative matrix A with prescribed spectrum. Thisproblem remains open for n ≥ 5. If the matrix A is required to be normal, the problem will be calledthe normal nonnegative inverse eigenvalue problem (NNIEP). Sucient conditions for a list of complexnumbers to be the spectrum of a normal nonnegative matrix were obtained by Xu [5]. In this paper, wegive a normal version of a rank-r perturbation result due to Rado and published by Perfect [2], whichallow us to obtain new sucient conditions for the NNIEP to have a solution. These new conditionssignicantly improve Xu's conditions. We also apply our results to construct nonnegative matrices witharbitrarily prescribed elementary divisors.

Trabajo realizado en conjunto con:Ana I. Julio 1 , and Ricardo L. Soto 2 , Departamento de Matemáticas, Universidad Católica del Norte,Antofagasta, Chile.

Referencias

[1] A.I. Julio, C.B. Manzaneda, R.L. Soto, Normal nonnegative realization of spectra, Linear Multilinear Algebra,

[2] H. Perfect, Methods of constructing certain stochastic matrices II, Duke Math. J. 22 (1955) 305-311.

[3] N. Radwan, An inverse eigenvalue problem for symmetric and normal matrices, Linear Algebra Appl. 248 (1996)101-109.

[4] R.L. Soto, O. Rojo, J. Moro, A. Borobia, Symmetric nonnegative realization of spectra, Electron. J. LinearAlgebra 16 (2007) 1-18.

[5] S. Xu, On inverse spectral problems for normal nonnegative matrices, Linear Multilinear Algebra 34 (1993) 353-364.

[6] F. Zhang, Matrix theory. Basic results and techniques, Springer-Verlag, New York, 1999.

∗e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

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Reconstrucción numérica de un sistema masa-resorte apartir de dos espectros no disjuntos

Hubert Pickmann Soto ∗

Departamento de MatemáticaUniversidad de Tarapacá

Arica, Chile

Abstract

Un sistema masa-resorte consiste de n masas mi conectadas por resortes con constantes de rigidezki. Cuando este sistema discreto es no amortiguado, es caracterizado por el problema de autovalorgeneralizado:

(Kn − λMn)x = 0, (22)

donde λ = ω2, ω es una frecuencia natural y x su respectivo modo de vibración. Las matrices Mn =diag m1,m2, . . . ,mn y

Kn =

k1 − k2 −k2

−k2 k2 + k3 −k3

. . .. . .

. . .−kn−1 kn−1 + kn −kn

−kn kn

son, respectivamente, la matriz de masa y la matriz de rigidez del sistema. Este sistema es denotadopor (Kn,Mn).

Las propiedades estructurales de las matrices Mn y Kn nos permiten reducir la ecuación de autovalorgeneralizado (22) a la forma estándar

(Jn − λiIn)v(i) = 0.

Así, un aspecto fundamental para la reconstrucción del sistema (Kn,Mn) es la reconstrucción de lamatriz de Jacobi, tridiagonal simétrica, Jn.

Cuando en el sistema (Kn,Mn) se ja una masa interior, la matriz Jn adquiere la estructura de unamatriz por bloques de la forma:

Jn =

Jr brer 0bre

Tr ar+1 br+1e

T1

0 br+1e1 Jp

, (23)

donde eTr y eT1 son los vectores canónicos r−dimensional y p−dimensional, respectivamente.

En esta sesión analizaremos la solución del siguiente problema:

∗Parcialmente nanciado por Proyecto UTA-4730-13, e-mail: [email protected]

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Problema Dada la sucesión de números reales (λi)n1 , (µi)

n−11 = (γi)

r1∪(ηi)

p1 satisfaciendo la propiedad

de intercalamientoλi ≤ µi ≤ λi+1, 1 ≤ i ≤ n− 1,

reconstruir la matriz Jn en (23), tal que

σ(Jn) = (λi)n1 , σ(Jr) = (γi)

r1, σ(Jp) = (ηi)

p1, p = n− r − 1.

Trabajo realizado en conjunto con:Juan Carlos Egaña 1 , Departamento de Matemáticas, Universidad Católica del Norte, Antofagasta,Chile.Ricardo L. Soto 2 , Departamento de Matemáticas, Universidad Católica del Norte, Antofagasta, Chile.

Referencias

[1] B.N. Datta, Numerical Linear Algebra and Applications, 2nd Edition, SIAM, Philadelphia 2009.

[2] J.C. Egaña and R.L. Soto, On the Numerical Reconstruction of a Spring-Mass System from its Natural Frequencies,Proyecciones Vol. 19, N1 (2000), 27-41.

[3] G.M.L. Gladwell, Inverse Problems in Vibration, Martinus Nijho, Dordrecht, The Netherlands, (2004).

[4] G.M.L Gladwell and N.B. Willms, The Reconstruction of a Tridiagonal System from its Frecuency Response at anInterior Point, Inverse Problems 4 (1988), 1013-1024.

[5] G.H. Golub and C.F. Van Loan, Matrix Computations, The John Hopkins University Press, Baltimore and London,(1989).

[6] W.B. Gragg and J.W. Harrod, The Numerically Stable Reconstruction of Jacobi Matrices from Spectral data, Numer.Math. 44 (1984), 317-335.

[7] W. Press, S Teukolsky, W. Vetterling and B. Flannery, Numerical Recipes, Third Edition, Cambridge UniversityPress (2007).

1 Parcialmente nanciado por UCN, e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por UCN, e-mail: [email protected]

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Perturbaciones de rango uno y rango r para Pencil deMatrices

Mario Salas G. ∗


Antofagasta, Chile

Abstract

Dos teoremas de perturbación, uno debido a Brauer y el otro a Rado, se han utilizado con éxito paragenerar condiciones suciente para la existencia de una solución a problemas espectrales inversos. Eneste trabajo, establecemos versiones de estos resultados para modicar una o más raíces latentes yvectores latentes de Pencil de matrices lineales.

Trabajo realizado en conjunto con:Ricardo Soto M. 2 1 , Departamento de Matemáticas, Universidad Católica del Norte, Antofagasta,Chile.Juan C. Egaña A. 2 , Departamento de Matemáticas, Universidad Católica del Norte, Antofagasta, Chile.

Referencias

[1] Peter Lancaster, Lambda-matrices and Vibrating Systems, Dover Publications, Inc., New York, 2002.

[2] R. L. Soto, O. Rojo, Applications of a Brauer theorem in the nonnegative inverse eigenvalue problem, LinearAlgebra Appl. 416, 844-856, 2006.

[3] R.L. Soto, R.C. Diaz, H. Nina, M. Salas, Nonnegative matrices with prescribed spectrum and elementarydivisors, Linear Algebra Appl. 439 (2013) 3591-3604.

∗Parcialmente nanciado por Fondecyt 1120180, e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por Fondecyt 1120180, e-mail: [email protected] Parcialmente nanciado por XXX, e-mail: [email protected]

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Extensions of a result of Minc on elementary divisors

Ricardo L. Soto ∗

Departamento MatemáticasUniversidad Católica del Norte

Antofagasta, Chile

Abstract

We extend to nonnegative matrices a result of Minc [Proceedings American Math. Society 83 (1981)665-669] about diagonalizable positive matrices with spectrum Λ = λ1, λ2, . . . , λn, which give rise toa positive matrix with spectrum Λ for each one of the possible Jordan canonical form associated withΛ. We also give new sucient conditions for the nonnegative inverse elementary divisors problem.

Joint work with:Mario Salas 1 , Departamento Matemáticas, Universidad Católica del Norte, Antofagasta, Chile.

Referencias

[1] A. Borobia, J. Moro, On nonnegative matrices similar to positive matrices, Linear Algebra Appl. 266 (1997)365-379.

[2] R.C. Díaz, R.L. Soto,, Nonnegative inverse elementary divisors problem in the left half plane, Linear MultilinearAlgebra doi:10.1080/03081087.2015.1034640.

[3] H. Minc, Inverse elementary divisor problem for nonnegative matrices, Proceedings American Mathematical Society83 Num 4 (1981) 665-669.

[4] R. L. Soto, J. Ccapa, Nonnegative matrices with prescribed elementary divisors, Electron. J. Linear Algebra 17(2008) 287-303.

[5] R.L. Soto, R.C. Diaz, H. Nina, M. Salas, Nonnegative matrices with prescribed spectrum and elementarydivisors, Linear Algebra Appl. 439 (2013) 3591-3604.

∗Partially supported by Fondecyt 1120180, e-mail: [email protected] Partially supported by Fondecyt 1120180, e-mail: [email protected]

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Una familia de matrices no negativas con espectro ydivisores elementales prescritos

Elvis R. Valero Kari ∗

Departamento de MatemáticasUniversidad de Tarapacá

Arica, Chile

Abstract

Un resultado de perturbación debido a Rado, muestra cómo modicar r valores propios de una matrizde orden n, a través de una perturbación de rango r, sin cambiar ninguno de los n− r valores propiosrestantes. Este resultado extendió un teorema debido a Brauer, sobre perturbaciones de rango r = 1.Ambos resultados han sido explotados en relación con el problema inverso de autovalores para matricesno negativas. En este trabajo, utilizamos el resultado de Rado desde un punto de vista más general, parala construcción de una familia de matrices no negativas con espectro y divisores elementales prescritos,generalizando así todos los resultados anteriores.

Trabajo realizado en conjunto con:Ricardo L. Soto Montero 1 , Departamento de Matemáticas, Universidad Católica del Norte, Antofa-gasta, Chile.

Referencias

[1] A. Brauer, Limits for the characteristic roots of a matrix IV: Aplications to stochastic matrices, Duke Math. J.19, 75-91, 1952.

[2] Rafael Bru, R. Canto, R. Soto, A. Urbano, A Brauer's theorem and related results, Central European Journalof Mathematics, 312-321, 2012.

[3] H. Minc, Inverse elementary divisor problem for nonnegative matrices, Proceedings American Mathematical Society83 Num 4, 665-669 ,1981. 665-669.

[4] H. Minc, Inverse elementary divisor problem for doubly stochastic matrices, Linear Multilinear Algebra, 11, 121-131,1982.

[5] R. L. Soto, O. Rojo, Applications of a Brauer theorem in the nonnegative inverse eigenvalue problem, LinearAlgebra Appl. 416, 844-856, 2006.

∗1 Parcialmente nanciado por Fondecyt 1120180, e-mail: [email protected]

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