Act 5 - RIOS, M. Fernanda

MATEMÁTICA I

Actividad Individual Nº 5 – Unidad 4

PARTE A

Retome el SEL de la Actividad 2C y cambie de modelo matemático. Esto es:

1. Escriba su forma matricial AX=B.

A=[1 1 1 1 −10 0 1 3 02 2 0 0 00 1 2 1 01 1 0 2 00 2 1 1 01 0 2 1 0

], X= [x1

x2

x3

x4

x5

], B= [0

454853465941

][1 1 1 1 −10 0 1 3 02 2 0 0 00 1 2 1 01 1 0 2 00 2 1 1 01 0 2 1 0

]∗[x1

x2

x3

x4

x5

]=[0

454853465941

]2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los

ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión).

[1020101] x1+[

1021120] x2+[

1102012] x

3+¿[1301211]x

4+¿[−1000000]x5=[

0454853465941]¿

¿

Ríos, María Fernanda

A1 x1+ A2 x2+ A3 x3+ A4 x4+ A5 x5=B

3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.

¿Qué información tenemos? El subespacio S.

¿Qué buscamos? Una base.

¿Cómo procedemos? Partiendo de lo que conocemos y trabajando algebraicamente en esa información.

S= {( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )/ x1=6 , x2=18 , x3=12 , x4=11 , x5=47 }

S={[ x1

x2

x3

x4

x5

]/ x1=6 , x2=18 , x3=12 , x4=11 , x5=47}=El conjunto solución es un vector fijo que pertenece al Gen{[ 6

18121147

]} es un vector

LI y es base del subespacio “S” , cuya dimensión es uno.

4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

[0454853465941

]∈Gen{[1020101] ,[

1021120] ,[

1102012] ,[

1301211] ,[

−1000000

]}Expresado verbalmente sería B∈Gen{A1 , A2 , A3 , A4 , A5}

ya que B=6 A1 , 18 A2 ,12 A3 ,11 A4 , 47 A5

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.


[1052036501722

]∉Gen {[1020101] ,[

1021120] ,[

1102012] , [

1301211] ,[

−1000000

]}Expresado verbalmente sería B∉Gen{A1 , A2 , A3 , A4 , A5}

PARTE B

Retome el SEL de la Actividad 4B y cambie de modelo matemático. Esto es:

1. Escriba su forma matricial AX=B.

A=[ 1 1 14 2 113

12

1] , X=[ xyz ] ,B=[20

6010]

[1 1 14 2 113

12

1]∗[ xyz ]=[20

6010]

2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en los ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión).

[1413 ] x+[1

212 ] y+[111] z=[20

6010 ]


A1 x+ A2 y+ A3 z=B

3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una base de vectores para dicho conjunto.

¿Qué información tenemos? El subespacio S.

¿Qué buscamos? Una base.

¿Cómo procedemos? Partiendo de lo que conocemos y trabajando algebraicamente en esa información.

S= {( x , y , z ) / x=12 , y=4 , z=4 }

S={[ xyz ]/ x=12 , y=4 , z=4}=

El conjunto solución es un vector fijo que pertenece al Gen{[1244 ]} es un vector

LI y es base del subespacio “S” , cuya dimensión es uno.

No posee vector nulo. Tampoco hay vectores múltiplos, por lo tanto, elijo a los tres como base. La dimensión es tres.

[1413 ] ,[ 1

212 ] ,[111]

4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

[1244 ]∈Gen{[ 1

413 ] ,[1

212 ] ,[111]}

Expresado verbalmente sería B∈Gen{A1 , A2 , A3}

ya que B=12 A1 , 4 A2 , 4 A3

5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.


[ 54320]∉Gen{[1

413 ] ,[ 1

212 ] , [111]}

Expresado verbalmente sería B∉Gen{A1 , A2 , A3}

PARTE C

Retome la Actividad 3B, aquella en que identificó los vértices de la letra N para modificar su posición en el plano multiplicando matrices, y cambie el modelo matemático. Lo pensará como una transformación lineal:

1. Identifique la primera transformación lineal que identificaremos por T.

T=[1 00 −1]

2. Identifique el espacio de salida y el de llegada.

Se puede decir que cualquier punto de la N, [ xy ]es transformado en [ x

− y ].En simbolismo matemático se expresa:

T:R2↦ R2

[ xy ]↦[1 0

0 −1][ xy ]=[ x

− y ]3. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.


[ xy ]

4. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.

[ x− y ]

5. Repita 1) 2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.

(1) La transformación lineal que identificaremos con S, es la siguiente:

S=[ 1 00.5 1]

(2) Se puede decir que cualquier punto de la N, [ xy ]es transformado en [ x

0.5 x+ y ].

En simbolismo matemático se expresa:

T:R2↦ R2

[ xy ]↦[ 1 0

0.5 1] [ xy ]=[ x

0.5 x+ y ](3) La expresión genérica de un vector en el espacio de salida es:

[ xy ]

(4) La expresión genérica de un vector en el espacio de llegada es:

[ x0.5 x+ y ]


6. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos por .

(1) Identificamos la transformación lineal como (se lee S compuesta con T):

S=[ 1 00.5 1] , T=[1 0

0 −1]

=ST=[ 1 00.5 1] * [1 0

0 −1]

Se puede demostrar que la matriz de la composición es el producto de las matrices de cada transformación.

(2) Identificamos el espacio de salida y el de llegada

[ 1 00.5 1]∗[1 0

0 −1]=[ 1 00.5 −1]

(3) La expresión genérica de un vector en el espacio de salida es:

S(T [ xy ])


( ST )[ xy ]

7. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos por .

(1) Identificamos la transformación lineal como (se lee T compuesta con S):

T=[1 00 −1] , S=[ 1 0

0.5 1]

=TS=[1 00 −1]∗[ 1 0

0.5 1] Se puede demostrar que la matriz de la composición es el producto de las matrices de cada transformación.


(2) Identificamos el espacio de salida y el de llegada

[1 00 −1]∗[ 1 0

0.5 1 ]=[ 1 0−0.5 −1]

(3) La expresión genérica de un vector en el espacio de salida es:

T (S [ xy ])


(TS )[ xy ]

8. Repita 1) 2), 3) y 4) para la transformación inversa de T.

(1) Identificamos la transformación inversa como T−1

T=[1 00 −1] ,T−1=[1 0

0 −1] (2) Identificamos el espacio de salida y el de llegada

[1 00 1]↦[1 0

0 −1]∗[1 00 1]=[1 0

0 −1](3) La expresión genérica de un vector en el espacio de salida es:

I=[x 00 y] (Matriz identidad)


T−1=[ x1 x2

y1 y2]


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