MATEMÁTICAS ESPECIALES

CONTIENE: ACTIVIDAD 10. TRABAJO COLABORATIVO 2

ELABORADO POR: EDWIN VICTORIA MAZUERA

CÓDIGO: 94323742

ENTREGADO A: MIGUEL MONTES MONTAÑO

TUTOR DE CURSO

GRUPO: 299010_28

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA_ UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA EN LAS TELECOMUNICACIONES

CEAD PALMIRA-VALLE

ABRIL 2012.

INDICE

INTRODUCIÓN

OBJETIVOS

CONTENIDO

CONCLUCIONES

BIBLIOGRAFIA

INTRODUCCION

Este trabajo permite adquirir los conocimientos necesarios para aplicar la

transformada de Fourier que nos sirve como herramienta para solucionar

problemas que tienen que ver con el área de ingeniería como es la

electrónica, telecomunicaciones y diferentes áreas relacionadas con

circuitos y matemáticas aplicadas.

El tema es de suma importancia ya que nos permite aplicar a diferentes

áreas de las matemáticas como son las ecuaciones diferenciales, calculo

integral y afines con el proceso complejo pero muy útil en las diferentes

profesiones que tengan que ver con números y soluciones aplicadas las

diferentes áreas del conocimiento

Aplicando la transformada de Fourier podemos resolver de manera más

rápida y concreta diferentes problemas que anteriormente se realizaban

con más trabajo como cuando aplicamos ecuaciones diferenciales y otras

áreas de cálculo y física.

OBJETIVOS

Aplicar la transformada de Fourier como solución a diferentes

problemas y eventos que requieren ser resueltos de manera rápida y

clara, ya que con otras aplicaciones se hacen más evidentes las

complejidades que requieren más procesos.

Con este trabajo aprendemos a tomar decisiones y aplicaciones que

nos permiten resolver los ejercicios propuestos por nuestros tutores

que al realizarlos nos dan las bases para poderlos aplicar en nuestras

profesiones.

Desarrollar y resolver aplicaciones de la unidad 2. Adquiriendo con el

desarrollo de los temas a realizar del módulo sobre aplicaciones de

ecuaciones diferenciales lineales, los conocimientos necesarios sobre

solución de problemas enfocados en solución de problemas

relacionados con las áreas de la ingeniería.

1. ¿Por qué es importante la transformada de Fourier en la ingeniería ?

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de

continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones

mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia

e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el

procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la

estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En

procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse

como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias

diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus

generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de

f.

La transformada de Fourier se utiliza para pasar al dominio de la frecuencia

una señal para así obtener información que no es evidente en el dominio

temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se

concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la

frecuencia.

También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y,

por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de

sistemas realimentados si conocemos la densidad espectral de un sistema y

la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy

útil para el diseño de filtros de radio transistores.

La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento

digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas

zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.

Fase 2. Transferencia de los temas de la unidad.

En esta parte, los integrantes del grupo deben realizar los cálculos de los

ejercicios de manera analítica y a través de un software matemático, en

este caso puede ser Matlab o Maple.

1- F ( x )=1−2 X

aₒ= 12 π

∫−π

π

f ( x )dx bk=1π∫−π

π

f ( x ) sen (nx )dx

ak=1π∫−π

π

f (x ) cos (nx)dx sensen (−x )=−sen x x coscos (−x )=cos x - x

Desarrollo del punto 1.Hallamos aₒaₒ= 1

2 π∫−π

π

f ( x1−2x )dx

aₒ= 12 π [∫

−π

π

1.dx−2∫−π

π

xdx ]

aₒ= 12 π [x| π

‐ π−2⃥ x22 ⃥| π‐ π ]

aₒ= 12 π [(π ‐ (‐ π )‐ π (‐ π ) 2

❑)]aₒ= 1

2 π(π+π )⇒ aₒ= 1

2 ⃥ π (2 ⃥ π )

aₒ=1

Se desarrolla a continuación el proceso para hallar akak=

1π∫−π

π

f (x ) cosnx dx

ak=1π∫−π

π

f (x ) cosnx dx

ak=1π [∫

−π

π

1. cos x ‐2∫−π

π

nxdx ]Integrando por partes:

∫udv=¿u . v=∫vdu ¿

u=xdx=cosx

du=dx v=∫ cosnxdx

Desarrollo de la integralw=nx

∫‐π

π

x cosnxdx=x( ‐ 1n sen nx)‐∫ vdu=dw=ndx⇒dx dwn

=v∫cosw . dwn

∫−π

π

f ( x ) cosnx dx=−xnsen nx‐∫ ‐1

nsen nxdx v=1

n∫ cosw dw

∫−π

π

f ( x ) cosnx dx=−xnsen nx+ 1

n∫ sen nxdx v=1

n∫ cosw dw

∫−π

π

f ( x ) cosnx dx=−xnsen nx+ 1

n ( ‐cos nxn )= ‐ xn sennx+ 1n2 (−cos nx )

Desarrollo de la segunda integral w=nx

dw=ndx⇒dx dwn

∫−π

π

f ( x ) cosnx dx=∫ senw dwn

=1n

(‐cosw )=1ncosw= ‐1

ncos nx

Aplicación de la integralak=

1π [∫

−π

π

cos nx ‐∫−π

π

x cosnx dx ]ak=

1π [‐ 1n sennx| π‐ π ‐2( ‐ xn sennx| π

‐ π+ 1n2‐ (‐cosnx )| π‐ π )]

ak=1π [ ‐1n ( sen (nπ )‐ sen (‐ nπ ) )+2 x

n( sen (nπ )‐ sen (nπ ) )+( ‐1n2 ) (cos (nπ ) ‐cos (nπ ) )]

ak=1π [ ‐1n ( sennπ+sennπ )+ 2 x

n(sennπ+sen nπ )‐ 1

n2osc⃥ πn⃥ − osc⃥ πn⃥ ]

ak=1π [ ‐1n 2 sen nπ+ 2xn 2 sen nπ ]

ak=1π [2 sen nπ ( ‐1n + 2 x

n )]= 1π .2 sennπ (2 x ‐1n )

ak=( 2 x ‐ 1nπ )sennπ

Se desarrolla a continuación el proceso para hallar bkbk=

1π∫‐ π

π

f ( x ) sennx dx

bk=1π∫‐ π

π

f (1 ‐2 x ) sennx dx

bk=1π [∫

−π

π

sennx ‐2∫−π

π

x sennx dx ]bk=

1π [ ‐cosnπn | π‐ π ‐2∫‐ π

π

x sennx dx ]bk=

1π [‐ 1n [cosnπ ‐cos (‐nπ ) ]‐2∫

‐ π

π

x sen xdx ]bk=

1π [‐ 1n (2cos nπ ) ‐2[ sennxn | π‐ π x cosnxn | π‐ π ]]

bk=1π [‐ 1n (2cos nπ )−2 [ 1n ( sennπ−sen (−nπ ) )]‐ xn (cos nπ ‐cosnπ )]

bk=1π [‐ 1n (2cosnπ ‐ 2n 2 sennπ )]