Act. 1 Calculo de Variacion
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7/18/2019 Act. 1 Calculo de Variacion
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Hola buenas noches adjunto mi investigación sobre tres teoremas importantes
en la función y derivadas. Luis Alberto Velázquez Vázquez
Investiga y comenta tres de los siguientes teoremas así como su interpretación
geométrica:
Teorema de Weierstrass
El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función
continua en un intervalo cerrado y acotado (de nmeros reales! alcan"a sus valores
má#imo y mínimo en puntos del intervalo$ También se puede enunciar en términos de
con%untos compactos$ El teorema establece que una función continua transforma
intervalos cone#os en intervalos compactos& entendiéndose por intervalo compacto aquel
que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen! y acotado$
'i una función f(#! está de nida y es continua en un intervalo cerrado )a&
b*& entonces f(#! alcan"a al menos un má#imo y un mínimo absolutos en el
intervalo )a& b*$
• Es decir, que hay al menos dos puntos x , x! pertenecientes a
"a, b# donde f alcan$a valores extremos absolutos%
•
El teorema de Weierstrass no nos ind ica donde se encuent ra e l
máximo y el mínimo & sólo a rma que e#isten$ E+E,-./:
Es continua en el intervalo )01& 2*
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Teorema de Rolle
En cálculo diferencial& el teorema de 3olle demuestra la e#istencia de
un punto inter ior en un interva lo abierto para e l cual una función
der ivable se anula cuando e l valor de ésta en los e#t remos del
intervalo es el mismo$
'e puede enunciar de la siguiente manera& 'i es una función continua denida en un
intervalo cerrado & derivable sobre el intervalo abierto y &
entonces:
E#iste al menos un punto perteneciente al intervalo tal que $
&emostración gr'(ca
En el siguiente gráco se observan las tres condiciones: la función es continua en el
intervalo cerrado )a&b*& es derivable y los valores que toma la función en los
puntos a y b son iguales& es decir& f(a! 4 f(b!$ E#iste& por lo tanto& al menos un
punto c que pertenece al intervalo abierto (a&b! en el cual la derivada de la función es
igual a cero$ 5ale observar que c es distinto de a y de b$ 6o debemos confundir c con f(c!&
que sí puede ser igual a f(a! y f (b!$
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En la ilustración se ve una función constante& pero el teorema no sólo se cumple en este
caso$ 'e pueden dar tres casos en los que f(c! es distinto de f(a! y f (b!& a saber:
)aso $ El punto má#imo es igual a f(a! y f (b! y el punto mínimo es distinto de ambos& lo
cual implica que la curva es cóncava 7acia arriba$ El punto mínimo es m 4 f(c!& y la
derivada de la función en este punto es 8$
)aso !. El punto mínimo es igual a f(a! y f(b! y el punto má#imo es distinto de ambos& lo
cual implica que la curva es cóncava 7acia aba%o (o conve#a!$ El punto má#imo
es , 4 f(c!& y la derivada de la función en este punto es 8$
9aso $ Tanto el punto mínimo como el punto má#imo son distintos a f(a! y f(b!$ Esto
signica que dentro del intervalo cerrado )a& b* la función alcan"a un punto
má#imo , 4 f(c;! mayor al valor de la función en los e#tremos a y b y un punto
mínimo m 4 f(c1! menor a los mismos$ Tanto en el punto má#imo como en el punto
mínimo& la derivada de la función es nula$ Es decir& f <(c1! 4 8 y f <(c;! 4 8$
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Teorema de *agrange
En la teoría de grupos& el teorema de .agrange es un resultado importante que relaciona
el orden de un grupo nito con el orden de cualquiera de sus subgrupos$ ,ás
precisamente& arma que si es un grupo nito y es un subgrupo de & entonces
(1!
=onde y son el orden del grupo y el orden del subgrupo & en tanto
que es el índice de en $
El recíproco del teorema de .agrange& en general& no se cumple& pues e#isten grupos de
orden que pueden no tener un subgrupo de orden a pesar de que $ -or
e%emplo& el grupo simétrico tiene orden ;2 y no tiene ningn subgrupo de orden >$ En
general& los grupos no resolubles son e%emplos en los que el recíproco del teorema de
.agrange no se cumple$
?ásicamente esto nos dice que 'i una función es:
9ontinua en )a& b*
=erivable en (a& b!
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Entonces& e#iste algn punto c (a& b! tal que:
.a interpretación geométrica del teorema de .agrange nos dice que 7ay un punto en el
que la tangente es paralela a la secante$
El teorema de 3olle es un caso particular del teorema de .agrange& en el que f(a! 4 f(b!$
E%emplo
@'e puede aplicar el teorema de .agrange a f(#! 4 # en )01& ;*A
f(#! es continua en )01& ;* y derivable en (01& ;! por tanto se puede aplicar el teorema
del valor medio:
+eferencias ibliogr'(cas%
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5i tutor (;812!$Teorema de LaGrange.
7ttp:BBCCC$vitutor$comBfunB>BteoremaDlagrange$7tml
Wiipedia (1; mar"o ;81F ltima modicación!$ Teorema de Lagrange (teoría de grupos).
La enciclopedia libre
7ttps:BBes$Ciipedia$orgBCiiBTeoremaDdeD.agrangeD(teorG9GH=aDdeDgrupos!
Wiipedia (;8 agosto ;81F& ltima modicación!$ Teorema de Rolle. La enciclopedia libre.https://es.i!ipedia.org/i!i/Teorema"de"Rolle
Wiipedia$ (; de mayo ;81F ltima modicación!$ Teorema de #eierstrass$ La
enciclopedia libre.
7ttps:BBes$Ciipedia$orgBCiiBTeoremaDdeDWeierstrass
5i tutor$ Teorema de #eierstrass.
7ttp:BBCCC$vitutor$comBfunBBcD;$7tml