A.CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢ ỌA ĐỘ ĐIỂ

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ

A.CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, vàtrục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O. Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox,Oy, Oz lần lượt là i, j, k

I. TỌA ĐỘ ĐIỂM

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:

1. M M M M M MM x ; y ;z OM x i y j z k

2. Cho A A AA x ; y ;z và B B BB x ; y ;z

Ta có: B A B A B AAB x x ; y y ;z z

và 2 2 2

B A B A B AAB x x y y z z

3. M là trung điểm AB thì A B A B A Bx x y y z zM ; ;

2 2 2

4. G là trọng tâm tam giác ABC: A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG , , ,

3 3 3

5. G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB GC GD 0

6. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 MA kMB

: A B A B A Bx kx y ky z kzM , ,

1 k 1 k 1 k

7. Véctơ đơn vị : i (1,0,0); j (0,1,0);k (0,0,1)

8. M(x,0,0) Ox; N(0, y,0) Oy;K(0,0, z) Oz

9. M(x, y,0) (Oxy); N(0, y, z) (Oyz);K(x,0, z) (Oxz)

II. TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

1. 1 2 3 1 2 3a a ;a ;a a a i a j a k

1;0;0i

0;1;0j

0;0;1k

O

z

x

y

2. Cho 1 2 3a a ;a ;a

và 1 2 3b b ;b ;b

ta có:

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

1 1 2 2 3 3a b a b ;a b ;a b

1 1 2 2 3 3a.b a . b cos a, b a b a b a b

2 2 21 2 3a a a a

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

a .b a .b a .bcos cos a, b

a a a . b b b

(với a 0,b 0

)

a

và b

vuông góc 1 1 2 2 3 3a.b 0 a .b a .b a .b 0

III. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Tích có hướng của 1 2 3a a ;a ;a

và 1 2 3b b ;b ;b

kí hiệu a b

hoặc a, b

2 3 3 1 1 22 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a aa,b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b

b b b b b b

a

và b

cùng phương

1 1

2 2

3 3

a kb

k : a kb a kb

a kb

1. Tính chất

a, b a, a, b b

a,b a . b sin a,b

a

và b

cùng phương a, b 0

a,b,c

đồng phẳng a, b .c 0

2. Các ứng dụng tích có hướng:

Diện tích tam giác: ABC

1S AB,AC

2

Thể tích tứ diện ABCD

1V AB,AC .AD

6

Thể tích khối hộp:

ABCD.A'B'C'D'V AB,AD .AA'

IV.MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng 1)Tìm tọa độ điểm ,tọa độ trung điểm của đoạn thẳng,trọng tâm của tam

giác,trong tâm của tứ diện

Phương pháp:Nhớ công thức

Dạng 2: Tìm điều kiện ba điểm A,B,C thẳng hàn ACAB, cùng phương[ , ] 0AB AC

Dạng 3) Tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: a,b,c

đồng phẳng a,b .c 0

Chú ý: Ba vecto a,b,c

không đồng phẳng a,b .c 0

Dạng 4)Tính thể tích tứ diện

Thể tích tứ diện ABCD

1V AB,AC .AD

6

Dạng 5)Tính Thể tích khối hộp:

ABCD.A'B'C'D'V AB,AD .AA'

Dạng 6)Tính đường cao xuất phát từ đỉnh A của tứ diện ABCD

BCD

ABCD

S

VAH

3

Dạng 7)Tìm tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành ?DDCAB

Dạng 8)Tìm hình chiếu của điểm lên các trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ

M(X;y;z) hình chiếu H của M lên

a)Trục ox : H(x;0;0)

b)Trục Oy:H(0;y;0)

C)Trên Oz :H(0;0;z)

d)Trên mp(Oxy) là H(x;y;0)

e)Trên mp(Oxz) là H(x;0;z)

d)Trên mp(Oyz) là H(0;;y;z)

Dạng 9)Tìm ọa độ điểm đối xứng của A(xA;yA;zA) qua các trục tọa độ và mặt phẳng

tọa độ

VÍ DỤ CÓ GIẢI

Ví dụ1 :Trong không gian Oxyz , cho vectơ a

biểu diễn của các vectơ đơn vị là

2 3a i k j

. Tọa độ của vectơ a

là

A. 1;2; 3 . B. 2; 3;1 . C. 2;1; 3 . D. 1; 3;2 .

Lời giải

Chọn B

2 3 2 3a i k j i j k

nên 2; 3;1a

.

Ví dụ2) Trong không gian Oxyz cho hai điểm 5;3; 1A và 1; 1;9B . Tọa độtrung điểm I của đoạn AB là

A. 3;1;4I .B. 2;2; 5I . C. 2;6; 10I . D. 1; 3; 5I .

Lời giải

Chọn A.

Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là

5 13

23 1

121 9

42

I

I

I

x

y

z

.

Ví dụ 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 1;5;2OM

,

3;7; 4ON

. Gọi P là điểm đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm

P .

A. 5;9; 10P . B. 7;9; 10P . C. 5;9; 3P . D.

2;6; 1P .

Lời giải

Chọn A

Ta có: 1;5;2 1;5;2OM M

, 3;7; 4 3;7; 4ON N

.

Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta

suy ra được

2 5

2 9 5;9; 10

2 10

P N M

P N M

P N M

x x x

y y y P

z z z

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho các điểm A 3; 4;0 ,B 0;2;4 ,C 4;2;1 . Tìm

tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD BC

A. D 0;0;0 và D 6;0;0 B. D 0;0;0 và D 6;0;0

C. D 0;0;2 và D 6;0;0 D. D 0;0;1 và D 6;0;0

Lời giải

Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD BC

Gọi D x;0;0 . Ta có 2 2 2 2 2 2AD BC x 3 4 0 4 0 3

Vậy: D 0;0;0 và D 6;0;0

Chọn đáp án B

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho các điểm A 3; 4;0 ,B 0;2;4 ,C 4;2;1 . Tính

diện tích tam giác ABC?

A.491

2B.

490

2C.

494

2D.

394

2

Lời giải

Tính diện tích tam giác ABC AB;AC 18;7; 24

2 2 21 494S 18 7 24

2 2

Chọn đáp án C

Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A 1;1;1; , B 1;2;1 ,C 1;1;2 và A' 2;2;1 . Tìm tọa độ đỉnh B' ?

A. B' 2;3;2 B. B' 2;3;0 C. B' 2;3;1 D. B' 2;3; 1

Lời giải

Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên BB' AA ' B' 2;3;1

Chọn đáp án C

Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A 1;1;1; , B 1;2;1 ,C 1;1;2 và A' 2;2;1 . Tìm tọa độ đỉnh C' ?

A. C' 2;2;2 B. C' 2;2; 2 C. C' 2; 2;2 D. C' 2;2;2

Lời giải

CC' AA ' C ' 2;2;2

Chọn đáp án A

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và hai điểm

A 1; 3;0 ,B 5; 1; 2 . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB

đạt giá trị lớn nhất ?

A. M 2; 3;3 B. M 2; 3;2 C. M 2; 3;6 D. M 2; 3;0

Lời giải

Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P):

A A A B B Bx y z 1 . x y z 1 0

Gọi B' x; y;z là điểm đối xứng với B 5; 1; 2

Suy ra B' 1; 3;4

Lại có MA MB MA MB' AB' const

Vậy MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M, A, B' thẳng hàng hay M là giao điểm của

đường thẳng AB' với mặt phẳng (P)

AB' có phương trìnhx 1 t

y 3

z 2t

Tọa độ M x; y;z là nghiệm của hệ

x 1 t t 3

y 3 x 2

z 2t y 3

x y z 1 0 z 6

Vậy điểm M 2; 3;6

Chọn đáp án C

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

A-LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình là:

2 2 2 2x a y b z c R

2. Phương trình: 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d 0 với 2 2 2a b c d 0

là phương trình mặt cầu tâm I a;b;c , bán kính

2 2 2R a b c d

3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu (S):

d I, R khi và chỉ khi không cắt mặt cầu

(S).

d I, R khi và chỉ khi tiếp xúc mặt cầu (S).

d I, R khi và chỉ khi cắt mặt cầu (S) (giao tuyến là một đường tròn).

(H1)

Chú ý:

a. d(I, )= R: (S) = M (M gọi là tiếp điểm)

+ Điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng là tiếp

diện của mặt cầu (S) tại M khi đó n

= IM

)

b. Nếu d(I, )<R thì sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao củavà (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:

+ Tìm r = 2 2- ( , )R d I

+ Tìm H:+Viết phương trình đường thẳng qua I, vuông góc với

+H= (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình với )

4. Một số dạng toán lập phương trình mặt cầu cơ bản

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A

ª 2 2 2 2S(I,R) : x a y b z c R (1)

Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB

Tâm I là trung điểm AB

Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)

Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp()

B.y C.z DI I2 2 2A B C

(S)

Pt maët caàu taâm IA.xIR d(I, )

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Dùng (2) 2 2 2S(I,R): x y z 2ax 2by 2cz d 0 A,B,C,D mc(S) hệ pt, giải

tìm a, b, c, d

Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

2 2 2S(I,R): x y z 2ax 2by 2cz d 0 (2)

A,B,C mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2).

I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α).

Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d.

Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.

Tiếp diện () của mc(S) tại A : () qua A,

vtpt n IA

MỘT SỐ VÍ DỤ CÓ GIẢI

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có

A 1;1;1; , B 1;2;1 ,C 1;1;2 và A' 2;2;1 . Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn

điểm A, B, C, A'?

A. 2 2 2x y z 3x 3y 3z 6 0 B. 2 2 2x y z 3x 3y 3z 6 0

C. 2 2 2x y z 3x 3y 3z 6 0 D. 2 2 2x y z 3x 3y 3z 6 0

Lời giải

Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm dạng

2 2 2 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d 0,a b c d 0

Do A, B, C và A' thuộc mặt cầu (S) nên:

2a 2b 2c d 33

2a 4b 2c d 6 a b c2

2a 2b 4c d 6d 6

4a 4b 2c d 9

Do đó phương trình mặt cầu 2 2 2S : x y z 3x 3y 3z 6 0

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 2;3; 2 và mặt phẳng

P : x 2y 2z 9 0 . Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với

mặt phẳng (P)?

A. 2 2 2x 2 y 3 z 2 9 B. 2 2 2

x 2 y 3 z 2 9

C. 2 2 2x 2 y 3 z 2 9 D. 2 2 2

x 2 y 3 z 2 9

Lời giải

Ta có bán kính 2 22

2 2.3 2. 2 9r d I, P 3

1 2 2

Phương trình của mặt cầu (S) là 2 2 2x 2 y 3 z 2 9

Chọn đáp án B

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 2;3; 2 và mặt phẳng

P : x 2y 2z 9 0 . Phương trình của mặt cầu (S) là

2 2 2x 2 y 3 z 2 9 . Viết phương trình của mặt phẳng (Q) song song với

mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ?

A. x 2y 2z 9 0 B. x 2y 2z 9 0

C. x 2y 2z 9 0 D. x 2y 2z 9 0

Lời giải

Phương trình của mặt phẳng (Q) có dạng: x 2y 2z D 0 D 9

Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với S d I, Q r

2 22

2 2.3 2 2 D3 D 9 D 9 D 9

1 2 2

Phương trình của mp(Q) là x 2y 2z 9 0

Chọn đáp án A

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

A.Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax By Cz D 0 với

2 2 2A B C 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Phương trình mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 với 2 2 2A B C 0 . Có vectơ

pháp tuyến là n A;B;C

.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm 0 0 0 0M x ; y ;z và nhận vectơ n A;B;C ,n 0

làm

véctơ pháp tuyến có dạng 0 0 0P : A x x B y y C z z 0

.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : x y z1

a b c

B.Chú ý:

1. Vectơ pháp tuyến của mp() : n ≠ 0

là véctơ pháp tuyến của n

2. Hai vectơ

a ,

b không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt

phẳng (P) (P) có vtpt ],[

ban

3. Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a

, b

: n = [a

, b

]

4.Các công thức tính khoảng cách

- 2 2 2(x ) (y ) (z )B A B A B AAB x y z

- Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0, z0) đến ( )mp : Ax + By + Cz + D = 0

0 0 0

2 2 2( ;( ))

Ax By Cz Dd M

A B C

5) Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1véctơ pháp tuyến

6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

7. Chùm mặt phẳng : Giả sử 12 = d trong đó:

(1): A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (2): A2x+B2y+C2z+D2 = 0

+ Phương trình mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :

m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2) = 0

C. Các trường hợp riêng của mặt phẳng:

Trong không gian Oxyz cho mp : Ax By Cz D 0 , với 2 2 2A B C 0 . Khi

đó:

D 0 khi và chỉ khi đi qua gốc tọa độ.

A 0;B 0;C 0;D 0 khi và chỉ khi song song với trục Ox.

A 0;B 0;C 0;D 0 khi và chỉ khi song song mp(Oxy)

A,B,C,D 0 . ĐặtD D D

a ,b ,cA B C

. Khi đó x y z: 1

a b c

D. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho : Ax By Cz D 0 và ' : A 'x B' y C 'z D ' 0

cắt ' A : B : C A ' : B ' : C '

/ / ' A : A ' B : B' C : C ' D : D '

' A : B : C : D A ' : B' : C ' : D '

Đặc biệt: 1 2' n .n 0 A.A ' B.B' C.C' 0

E. Một số dạng toán lập phương trình mặt phẳng cơ bản

Dạng 1:Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :

Cặp vtcp:

AB ,

AC °A(hayBhayC)

]( ) :

qua

vtptn [AB , AC

Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB :

n

( ) :

quaM trung ñieåm AB

vtpt AB

Dạng 3:Mặt phẳng () qua M và d (hoặc AB)

....(AB)n

( ) :

quaM

Vì (d) neân vtpt ad

Dạng 4:Mp qua M và // (): Ax+By+Cz+D = 0

( ) :

qua MVì / / neân vtpt n n

Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d/)

Tìm 1 điểm M trên (d)

Mp chứa (d) nên () đi qua M và có 1 VTPT /d dn a ,a

Dạng 6:Mp() qua M,N và () :

[ MN, ]

qua M(hay N)

vtptn n

Dạng 7:Mp() chứa (d) và đi qua A:

Tìm M (d)

M

N

[ a , ]d

qua A

vtptn AM

.

Dạng 8: Lập pt mp(P) chứa hai đường thẳng (d) và (d/) cắt nhau :

Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 )

và có VTCP 1 2 3a (a ,a ,a )

.

Đt(d/) có VTCP 1 2 3b (b ,b ,b )

Ta có n [a,b]

là VTPT của mp(P).

Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và nhận n [a,b]

làm VTPT.

Dạng 9:Lập pt mp(P) chứa đt(d) và vuông góc mp(Q) :

Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và có VTCP 1 2 3a (a ,a ,a )

.

Mp(Q) có VTPT qn (A,B,C)

Ta có p qn [a,n ]

là VTPT của mp(P).

Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 )

và nhận p qn [a,n ]

làm VTPT.

MỘT SỐ VÍ DỤ CÓ GIẢI

Ví dụ 1: [HH12.C3.3.BT.a] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi quaba điểm 1;1;4A , 2;7;9B , 0;9;13C .

A. 2 1 0x y z B. 4 0x y z C. 7 2 9 0x y z D.2 2 0x y z

Lời giảiChọn B

Ta có 1;6;5AB

, 1;8;9AC

,

ABC đi qua 1;1;4A có vtpt ,n AB AC 14; 14;14 14 1; 1;1 có

dạng 4 0x y z .

M

A

d

d

d

’

d

Ví dụ 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm 1;2;2A , 3; 2;0B .

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đọan .AB

A. 2 2 0x y z B. 2 1 0x y z C. 2 0x y z D.2 3 0x y z

Lời giải

Chọn D

Chọn 2;0;1M là trung điểm của đoạn .AB

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận 2; 4; 2AB

làm

1 vec tơ pháp tuyến.

2 2 4 0 2 1 0 2 3 0x y z x y z .

Ví dụ 3: (SGD Lạng Sơn - HKII - 2017 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho mặt phẳng :2 3 2 15 0P x y z và điểm 1;2; 3M . Viết

phương trình mặt phẳng Q qua M và song song với P .

A. : 2 3 2 10 0Q x y z . B. : 2 3 10 0Q x y z .

C. : 2 3 2 10 0Q x y z . D. : 2 3 10 0Q x y z .

Lời giải

Chọn C

Phương trình mặt phẳng Q qua M và song song với P là:

2 1 3 2 2 3 0x y z hay 2 3 2 10 0x y z .

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGA.LÝ THUYẾT

1.Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 0 0 0 0M x ; y ;z

và có véctơ chỉ phương 1 2 3a a ;a ;a ,a 0

0 1

0 2

0 3

x x a t

y y a t t

z z a t

Nếu a1, a2, a3 đều khác không. Phương trình đường thẳng viết dưới dạng

chính tắc như sau: 0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

Phương trình tổng quát của đường thẳng: 1 1 1 1

2 2 2 2

A x B y C z D 0

A x B y C z D 0

(với A1 :

B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2)

trong đó 1 1 1 1n (A ;B ;C )

, 2 2 2 2n (A ;B ;C )

là hai VTPT và VTCP 1 2u [n n ]

.

†Chú ý:

a. Đường thẳng Ox:y 0

z 0

; Oy:x 0

z 0

; Oz:x 0

y 0

b. (AB): ABu AB

c.121 2

u u

d.121 2

u n

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Chương trình cơ bản Chương trình nâng cao

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong không gian Oxyz cho hai đường

thẳng

' '0 10 1

' '0 2 0 2

' '0 3 0 3

x x a t 'x x a t

d : y y a t d ' : y y a t '

z z a t z z a t '

d có vtcp u

đi qua M0 và d' có vtcp u '

đi

qua 0M '

u,u '

cùng phương

0

u ku 'd / /d '

M d '

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong không gian Oxyz cho hai đường

thẳng

' '0 10 1

' '0 2 0 2

' '0 3 0 3

x x a t 'x x a t

d : y y a t d ' : y y a t '

z z a t z z a t '

d có vtcp u

đi qua M0 và d' có vtcp u '

đi

qua 0M '

0

u,u ' 0d / / d '

M d '

0

u ku 'd d '

M d '

u,u '

không cùng phương

' '0 1 0 1

' '0 2 0 2

' '0 3 0 3

x a t x a t '

y a t y a t '

z a t z a t '

(1)

d chéo d' Hệ phương trình (1) vô

nghiệm.

d cắt d' Hệ phương trình (1) có

một nghiệm.

0

u,u ' 0d d '

M d '

(d) cắt (d')'

0 0

u,u ' 0

u,u ' .M M 0

(d) chéo (d') '0 0u,u ' .M M 0

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp 1 Phương pháp 2

Trong không gian Oxyz cho

: Ax By Cz D 0

và0 1

0 2

0 3

x x a t

d : y y a t

z z a t

Phương trình

0 1 0 2 0 3A x a t B y a t C z a t D 0 1

PT(1) vô nghiệm thì d / /

PT(1) có một nghiệm thì d cắt

PT(1) có vô số nghiệm thì d thuộc

Đặc biệt: d a,n

cùng phương

Trong không gian Oxyz cho đường

thẳng d qua 0 0 0M x ; y ;z có vtcp

1 2 3a a ;a ;a

và

: Ax By Cz D 0 có vtpt

n A;B;C

(d) cắt a.n 0

a.n 0d / /

M

(d) nằm trên

a.n 0mp

M

4. Khoảng cách:

Khoảng cách từ 0 0 0M x ; y ;z đến mặt phẳng : Ax By Cz D 0 cho bởi công thức

0 0 00 2 2

Ax By Cz Dd M ,

A B C

Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d)

Phương pháp 1:

Lập phương trình mp đi qua M và

vuông góc với d.

Tìm tọa độ giao điểm H của mp và d

d M,d MH

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Phương pháp 1:

d đi qua 0 0 0M x ; y ;z ; có vtcp

1 2 3a a ;a ;a

d' qua 0 0 0M' x ' ; y ' ;z ' ; vtcp

1 2 3a ' a ' ;a ' ;a '

Lập phương trình mp chứa d và song

song với d'

d d,d ' d M ',

Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d)

Phương pháp 2:

(d đi qua M0 có vtcp u

)

0M M,u

d M,u

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Phương pháp 2:

d đi qua 0 0 0M x ; y ;z ; có vtcp 1 2 3a a ;a ;a

d' qua 0 0 0M' x ' ; y ' ;z ' ; vtcp

1 2 3a ' a ' ;a ' ;a '

a,a ' .MM '

d , 'a,a '

5. Kiến thức bổ sung

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng 0 00 90

P : Ax By Cz D 0 và Q : A 'x B'y C'z D' 0

P Q

P Q 2 2 2 2 2 2P Q

n .n A.A ' B.B' C.C 'cos cos n , n

n . n A B C . A ' B' C '

Góc giữa hai đường thẳng

đi qua 0 0 0M x ; y ;z ; có vtcp 1 2 3a a ;a ;a

' đi qua 0 0 0M ' x ' ; y ' ; z ' ; vtcp 1 2 3a ' a ' ;a ' ;a '

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

a.a ' a .a ' a .a ' a .a 'cos cos a,a '

a . a ' a a a . a ' a ' a '

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

đi qua 0M có VTCP a,mp

có VTPT n A;B;C

Gọi là góc hợp bởi và mp : 1 2 3

2 2 2 2 2 21 2 3

Aa Ba Casin cos a, n

A B C . a a a

6. Một số dạng toán lập phương trình đường thẳng

Dạng 1:Đường thẳng (d) đi qua A,B

d

quaA (hayB)(d)

Vtcp a AB

Dạng 2:Đường thẳng (d) qua A và song song ()

A(d )

quaVì (d) / / ( ) neân vtcp a ad

Dạng 3:Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp

A(d)

quaVì (d) ( ) neân vtcp a nd

Dạng4:PT d’ hình chiếu của d lên : d/ =

Viết pt mp() chứa (d) và vuông góc mpd

d

quaM (d)

n [a ;n ]

/ ptr( )(d )

ptr( )

Dạng 5:Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2)

2

A(d)

1

qua

vtcpa a , ad d

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :

+ Tìm da

= [ a

d1, a

d2]

+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)

d =

Dạng 7: PT d qua A và cắt d1 , d2 : d =

với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)

Dạng 8: PT d // và cắt d1,d2 : d = 12

với mp1 chứa d1 // ; mp2 chứa d2 //

Dạng 9: PT d qua A và d1, cắt d2 : d = AB

với mp qua A và d1 ; B = d2

Dạng 10: PT d (P) cắt d1, d2 : d =

với mp chứa d1 và (P) ; mp chứa d2 và (P)

CHÚ Ý :

Trong trường hợp đặc biệt:

Nếu song song hoặc trùng bới trục Ox thì có vectơ chỉ

phương là 1;0;0a i

d’

d1

d2

A

d1

d2

d

d1

d2

Δ

Nếu song song hoặc trùng bới trục Oy thì có vectơ chỉ

phương là 0;1;0a j

Nếu song song hoặc trùng bới trục Oz thì có vectơ chỉ

phương là 0;1;0a k

MỘT SỐ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI

Câu 1)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho đường thẳng d có phương trình

tham số2

3

1 5

x t

y t

z t

. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?

A. 2 1.x y z B. 2 1.

1 3 5

x y z

C. 2 1.

1 3 5

x y z

D. 2 1

.1 3 5

x y z

Hướng dẫn giải

Cách 1:

d đi qua điểm 2;0; 1A và có vectơ chỉ phương 1; 3;5da

Vậy phương trình chính tắc của d là 2 1

1 3 5

x y z

Cách 2:

22

33

1 51

5

x tx t

yy t t

z tz

t

Vậy phương trình chính tắc của d là 2 1

1 3 5

x y z

Câu 2)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho đường thẳng có phương trình

chính tắc 3 1

2 3 1

x y z

. Phương trình tham số của đường thẳng là?

A.3 2

1 3 .

x t

y t

z t

B.2 3

3 .

x t

y t

z t

C.3 2

1 3 .

x t

y t

z t

D.3 2

1 3 .

x t

y t

z t


Cách 1:

đi qua điểm 3; 1;0A và có vectơ chỉ phương 2; 3;1a

Vậy phương trình tham số của là3 2

1 3

x t

y t

z t

Cách 2:

3

23 1 1

2 3 1 3

1

xt

x y z yt t

zt


1 3

x t

y t

z t

Câu 3)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz phương trình nào sau đây là phươngtrình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm 1; 2;5A và 3;1;1B ?

A. 1 2 5.

2 3 4

x y z

B. 3 1 1

.1 2 5

x y z

C. 1 2 5.

2 3 4

x y z

D. 1 2 5

.3 1 1

x y z


đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương 2;3; 4AB

Vậy phương trình chính tắc của là 1 2 5

2 3 4

x y z

Câu 4)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng

đi qua điểm 1;3;4M và song song với trục hoành là.

A.1

3 .

4

x t

y

y

B.1

3 .

4

x

y t

y

C.1

3 .

4

x

y

y t

D.1

3 .

4

x

y

y t


Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương 1;0;0da i

d đi qua 1;3;4M và có vectơ chỉ phương da

Vậy phương trình tham số của d là

1

3

4

x t

y

y

Câu 5)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho đường thẳng1 2

:

3 2

x t

d y t

z t

.

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm 3;1; 1A và song

song với d là

A. 3 1 1.

2 1 2

x y z

B. 3 1 1

.2 1 2

x y z

C. 2 1 2.

3 1 1

x y z

D. 2 1 2

.3 1 1

x y z


d có vectơ chỉ phương 2;1;2da

Vì song song với d nên có vectơ chỉ phương 2;1;2da a

đi qua điểm 3;1; 1A và có vectơ chỉ phương 2;1;2a


2 1 2

x y z

Câu 6)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng : 2 3 0P x y z .

Phương trình chính tắc của của đường thẳng đi qua điểm 2;1;1M và

vuông góc với P là

A. 2 1 1.

2 1 1

x y z

B. 2 1 1.

2 1 1

x y z

C. 2 1 1.

2 1 1

x y z D. 2 1 1

.2 1 1

x y z


P có vectơ pháp tuyến 2; 1;1Pn

Vì vuông góc với P nên d có vectơ chỉ phương 2; 1;1Pa n

đi qua điểm 2;1;1M và có vectơ chỉ phương a


2 1 1

x y z

Câu 7)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai đường thẳng

1

2 1:

2 3 1

x y zd

và 2

1

: 3 2

5 2

x t

d y t

z t

. Phương trình đường thẳng đi qua

điểm 2;3; 1A và vuông góc với hai đường thẳng 1 2,d d là

A.8 2

1 3 .

7

x t

y t

z t

B.2 8

3 3 .

1 7

x t

y t

z t

C.2 8

3 .

1 7

x t

y t

z t

D.2 8

3 .

1 7

x t

y t

z t


1d có vectơ chỉ phương 1 2;3; 1a

2d có vectơ chỉ phương 2 1; 2; 2a

Gọi a

là vectơ chỉ phương

1 11 2

2 2

; 8;3; 7d a a

a a ad a a


3 3

1 7

x t

y t

z t

Câu 8)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng : 2 2 1 0P x y z

và đường thẳng 1 3:

2 1 3

x y z

. Phương trình đường thẳng d đi qua

điểm 2; 1;5B song song với P và vuông góc với là

A. 2 1 5.

5 2 4

x y z

B. 2 1 5

.5 2 4

x y z

C. 2 1 5.

5 2 4

x y z

D. 5 2 4.

2 1 5

x y z


có vectơ chỉ phương 2; 1;3a

P có vectơ pháp tuyến 2;1;2Pn

Gọi da

là vectơ chỉ phương d

/ /

; 5;2;4d Pd P

d

a nd Pa a n

d a a

Vậy phương trình chính tắc của d là 2 1 5

5 2 4

x y z

Câu 9)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai mặt phẳng

: 2 2 3 0x y z và : 3 5 2 1 0x y z . Phương trình đường

thẳng d đi qua điểm 1;3; 1M , song song với hai mặt phẳng , là

A.1 14

3 8 .

1

x t

y t

z t

B.1 14

3 8 .

1

x t

y t

z t

C.1

3 8 .

1

x t

y t

z t

D.1

3 .

1

x t

y t

z t


có vectơ pháp tuyến 1; 2;2n

có vectơ pháp tuyến 3; 5; 2n

d đi qua điểm 1;3; 1M và có vectơ chỉ phương là , 14;8;1da n n

Vậy phương của d là1 14

3 8

1

x t

y t

z t

Câu 10)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng : 2 2 3 0x y z .

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm 2; 3; 1A , song song với hai

mặt phẳng , Oyz là.

A.2

3 .

1

x t

y

z t

B.2

3 2 .

1

x

y t

z t

C.2

3 2 .

1

x

y t

z t

D.2

2 3 .

1

x t

y t

z t


có vectơ pháp tuyến 2; 1;2n

Oyz có vectơ pháp tuyến 1;0;0i

d đi qua điểm 2; 3; 1A và có vectơ chỉ phương là , 0;2;1da n i

Vậy phương của d là2

3 2

1

x

y t

z t

Câu 11)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho đường thẳng1 3

:2 1 2

x y zd

.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm 2; 1; 3 ,A vuông góc với trục

Oz và d là

A.2

1 2 .

3

x t

y t

y

B.2

1 2 .

3

x t

y t

y

C.2

1 2 .

3

x t

y t

y

D.2

1 2 .

3

x t

y t

y


Oz có vectơ chỉ phương 0;0;1k

d có vectơ chỉ phương 2;1; 2da

đi qua điểm 2; 1; 3 ,A và có vectơ chỉ phương là , 1;2;0da k a

Vậy phương của là

2

1 2

3

x t

y t

y

A.CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢ ỌA ĐỘ ĐIỂ

Documents

Transcript of A.CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢ ỌA ĐỘ ĐIỂ