ABILITÀ COGNITIVE e SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI
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ABILITÀ COGNITIVE
e
SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI
Germana Englaro, Susi CazzanigaServizio Disturbi dell’Apprendimento
Università degli Studi di Padova
Torino
20-21-22 marzo 2006
COS’È UN PROBLEMA?
Un PROBLEMA sorge quando un essere vivente
ha una meta, ma non sa come raggiungerla
(Dunker, 1935)
Ci sono due corde attaccate al soffitto, ad una certa distanza. Le devo unire ma la distanza è tale che non ci riesco. Nella stanza ci sono anche vari oggetti: una tenaglia, una sedia, della colla.
Come faccio a unire le due corde?
Quali sono gli OSTACOLI che rendono
difficoltosa la soluzione dei problemi?
FISSITÀ FUNZIONALE
= fissare l’attenzione su una
funzione abituale e stereotipata
di un elemento del problema
AUTOPORSI DEI LIMITInon necessari e non richiesti dal problema
mantenere contempora-neamente presenti
TUTTE LE INFORMAZIONI che il problema fornisce
EFFETTI DELL’ABITUDINEspesso si ripetono procedimenti
tentati in precedenza, senza ricercare procedure alternative più efficaci
Caratteristiche dei problemi:Caratteristiche dei problemi:
Spesso la soluzione dipende da un’intuizione cruciale
C’è una sensazione di “tensione cognitiva” e di coinvolgimento emotivo che ci guida nella soluzione
C’è un insight cognitivo in cui avviene una ristrutturazione delle conoscenze pregresse alla luce degli elementi del problema
Differenze fra “problema” e Differenze fra “problema” e “esercizio”“esercizio”
Gli esercizi richiedono un tipo di pensiero riproduttivo (problemi di tipo routinario che vengono solitamente proposti a scuola, nei quali è richiesto di applicare procedure già apprese). Sono quindi legati a conoscenze pregresse
I problemi richiedono un pensiero produttivo (Wertheimer, 1920), condizionato dalla situazione, dal contesto e dal vissuto del soggetto
Stimolare un pensiero di tipo produttivo
ABILITÀ COGNITIVE
implicate nella soluzione dei problemi matematici
COMPRENSIONE
RAPPRESENTAZIONE CATEGORIZZAZIONE PIANIFICAZIONE AUTOVALUTAZIONE
SOLUZIONE
Queste componenti sono viste all’interno di un FLUSSO.
Il flusso parte dalla comprensione, unica componente sovraordinata (senza la comprensione matematica il flusso non parte), le altre componenti sono parallele.
COMPRENSIONECOMPRENSIONE
Capacità di cogliere le informazioni rilevanti e di comprenderne le relazioni quantitative.
La comprensione del testo del problema NON può essere una comprensione verbale ma deve essere una comprensione matematica!
Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giulio che ne ha 11.
Che cos’è? E’ un problema?NO! Questa è una storiella, ma noi siamo
abituati ad approcciare con il verbale e cominciamo ad attivare tutte le nostre conoscenze pregresse su questo tipo di esercizio.
Manca l’elemento distintivo che dà la grammatica al problema matematico: la DOMANDA
Comprendere il problema significa capire la grammatica (ovvero la logica) imposta dalla domanda
Se comprendo la grammatica del problema e non il verbale del testo sarò in grado di far partire il flusso di soluzionedel problema
RAPPRESENTAZIONERAPPRESENTAZIONE
Capacità di raffigurarsi il problema mediante uno schema in grado di strutturare e integrare le informazioni.
Da una rappresentazione figurativa (immagino i tre bambini) ad una rappresentazione più schematica (schema che meglio rappresenta il problema)
Attenzione!Attenzione!Non promuovere la rappresentazione verbale del
problema (disegna le biglie) ma la rappresentazione produttiva del problema guidata dall’insight (i bambini disegnerebbero i tre bimbi che giocano)
Guidare i bambini nella ricerca delle informazioni rilevanti = informazioni necessarie alla soluzione del problema = dati
Non necessariamente numerici!
CATEGORIZZAZIONECATEGORIZZAZIONE
Capacità di raggruppare i problemi che hanno medesime soluzioni sulla base della struttura profonda del testo (cerco di riconoscere una categoria generale alla quale il problema può appartenere).
PIANIFICAZIONEPIANIFICAZIONE
Abilità di costruzione del piano di soluzione: cerco la strada che mi può condurre alla soluzione.
Come? Cercando la corretta sequenza di operazioni di calcolo capace di rispondere al mio schema (rappresentazione)
AUTOVALUTAZIONEAUTOVALUTAZIONE
Capacità di monitorare il proprio operato.
Ha lo scopo di ricontrollare il flusso non tanto per verificare se la soluzione è giusta o sbagliata, quanto per esercitare e stabilizzare in memoria il processo di soluzione, perché non si tratta di abilità innate, ma vanno apprese!
Può accadere che solo alcune componenti siano deficitarie. Che fare:
Identificare la componente più deboleEsercitare la componente deficitaria non
come aspetto a sé stante ma come all’interno del FLUSSO (allenare la componente debole dentro al flusso)
In fase di insegnamento forzare il flusso, senza automatizzarlo perché è una componente dinamica, non meccanica
Altre abilità cognitive coinvolte:Altre abilità cognitive coinvolte:
Memoria (memoria di lavoro)Metacognizione
i solutori non abili non riescono a discriminare le informazioni rilevanti da quelle irrilevanti
ricordano maggiormente le informazioni irrilevanti del testo del problema e hanno difficoltà a mantenere e controllare le informazioni in memoria
Non ci sono disturbi specificidel problem solving, ma le difficoltà di soluzione dei problemi sono in relazione a problemi a carico delle abilità cognitive implicate nel processo
Cosa fare quindi per aiutare i bambini nella Cosa fare quindi per aiutare i bambini nella soluzione dei problemi?soluzione dei problemi?
Promuovere una didattica metacognitiva Favorire la comprensione matematica del
problema, senza sovraccaricare di informazioni verbali che affaticano l’esecutivo centrale (componente della ML deputata alla selezione delle informazioni rilevanti e all’inibizione di quelle irrilevanti)
Promuovere la soluzione dei problemi dentro al FLUSSO!
SOGGETTI:
strumento rivolto all’analisi delle difficoltà di soluzione di problemi matematici in soggetti dalla 3a elementare alla 3a media
STRUTTURA DELLA BATTERIASTRUTTURA DELLA BATTERIA
PROVE: batteria composta da 3 problemi per la 3a elementare
4 problemi dalla 3a elem. alla 3a media
SOMMINISTRAZIONE:
- in uscita alla classe indicata o in entrata alla successiva
es. prova di 5a: fine 5a (da maggio)
inizio 1a media (entro ottobre)
- individuale o collettiva
- non è una prova a tempo
(consigliabile l’interruzione dopo un’ora e mezzo)
DESCRIZIONE DELLE PROVE DESCRIZIONE DELLE PROVE
Ogni problema è scomposto nelle seguenti 5 componenti:
1. COMPRENSIONE
2. RAPPRESENTAZIONE
3. CATEGORIZZAZIONE
4. PIANIFICAZIONE
SVOLGIMENTO
5. AUTOVALUTAZIONE
PROCEDURA: al soggetto si richiede di
a) leggere attentamente il problema
b) segnare la risposta corretta per le prime tre componenti
c) ordinare le fasi di soluzione
d) svolgere il problema
e) autovalutare la propria esecuzione
PROBLEMA 5.4
Cla
sse
ele
me
nta
re
La nonna di Luisa ha 19 nipoti. La nonna di Gina
ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa.
La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti
della nonna di Gina.
Quanti nipoti hanno in tutto le 3 nonne? 5a
IL PROBLEMAIL PROBLEMA
1. COMPRENSIONE
capacità di cogliere le informazioni rilevanti e di comprenderne le relazioni quantitative
COMPRENSIONE
Scegli la frase con le informazioni più importanti per la soluzione del problema:
La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti della nonna di Luisa.
La nonna di Gina ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa.
La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti della nonna di Gina, che a sua volta ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa.
Luisa, Gina e Carolina hanno una nonna.
Cla
sse
ele
me
nta
re 5a
E
P
C
I
2. RAPPRESENTAZIONE
capacità di rappresentarsi le relazioni tra dati mediante uno schema/figura
RAPPRESENTAZIONE
Scegli, tra le vignette, quale rappresenta esattamente il problema:
Cla
sse
ele
me
nta
re 5a
C
P
Cla
sse
me
dia
5a
CATEGORIZZAZIONE
Quale dei seguenti problemi risolveresti come quello che stai eseguendo ora?
Mario ha percorso 21 chilometri in bicicletta. Piero invece ne ha percorso i 4/7. Quanti chilometri hanno percorso in tutto?
Stefano pesa 58 Kg. Mario pesava lo stesso, ma dopo che ha smesso di mangiare cioccolatini è calato di 2/8 del peso che aveva. Quanto pesa Mario?
la mia nonna ha 72 anni. La nonna di Giulio ne ha 68. Quanti anni avrà la nonna del cugino di Giulio?
Maria ha 12 anni, sua sorella ne ha 6 di più. Antonella invece ha 2/3 degli anni della sorella di Maria. Quanti anni hanno in tutto le tre
bambine?
P
E
I
C
3. CATEGORIZZAZIONE
capacità di riconoscere la struttura profonda del problema inibendo le informazioni superficiali
4. PIANIFICAZIONE
capacità di individuare la sequenza di fasi che porta alla soluzione
PIANO DI SOLUZIONE
Prova a dire come risolveresti il problema, mettendo in ordine la sequenza, numerando le fasi dall’1 al 3:
— Calcolo quanti nipoti ha la nonna di Carolina.
— Calcolo quanti nipoti ha la nonna di Gina
— Calcolo quanti nipoti hanno in tutto le tre nonne
Cla
sse
me
dia
5a
213
5. AUTOVALUTAZIONE
capacità di monitorare quanto eseguito
Cla
sse
me
dia
5a
AUTOVALUTAZIONE
Indica quanto sei sicuro di aver eseguito correttamente il tuo piano di soluzione:
Sono certo di aver fatto giusto
Probabilmente ho fatto giusto
Probabilmente ho sbagliato
Sono certo di aver sbagliato
ATTRIBUZIONE DEL PUNTEGGIOATTRIBUZIONE DEL PUNTEGGIO
• COMPRENSIONE
• RAPPRESENTAZIONE
• CATEGORIZZAZIONE
1 risposta irrilevante o omissione (I)
2 risposta errata (E)
3 Risposta parzialmente corretta (P)
4 Risposta corretta (C)
Punti
• PIANIFICAZIONE da 0 a 3, 4, 5 o 6
n° di fasi correttamente ordinatese sbaglia il primo passaggio: 0(non si prosegue)
• SVOLGIMENTO 1 soluzione errata o problema non risolto
2 soluzione parzialmente corretta
3 procedura corretta con errore di calcolo
4 soluzione corretta
Punteggio svolgimento
Item valutazione Punteggio autovalutazione
1
2
3
4
Sicuro di aver sbagliato
Sicuro di aver sbagliato
Sicuro di aver fatto giusto
Sicuro di aver fatto giusto
3
3
3
3
1
2
3
4
Incerto giusto/sbagliato
Incerto giusto/sbagliato
Incerto giusto/sbagliato
Incerto giusto/sbagliato
2
2
2
2
1
2
3
4
Sicuro di aver fatto giusto
Sicuro di aver fatto giusto
Sicuro di aver sbagliato
Sicuro di aver sbagliato
1
1
1
1
• AUTOVALUTAZIONE
PROBLEMA 3.4
Cla
sse
me
dia
Calcola l’area della superficie totale di un cilindro sapendo
che la somma del raggio con l’altezza misura 18 dm e che
l’altezza è i 5/4 del raggio.
3a
COMPRENSIONE
Scegli la risposta più importante per risolvere il problema:
In un cilindro l’altezza è i 4/5 del raggio.
Il raggio misura 18 dm e l’altezza è 5/4 del raggio.
Il cilindro è un solido con base circolare.
Il raggio e l’altezza insieme di un cilindro misurano 18 dm e l’altezza è 5/4 del raggio.
PEIC
Luca 13 anni
PROBLEMA 3.4
Cla
sse
me
dia
3a
RAPPRESENTAZIONE
Scegli, tra gli schemi seguenti, quale rappresenta il problema:
Misura della superficie
totale
r
h = 5/4 di r
I
P
PROBLEMA 3.4
Cla
sse
me
dia
3a
Raggio + altezza =
18 dm
Diametro
h = 5/4 del diametro
rh = 5/4 di rC
E
PROBLEMA 3.4
Cla
sse
me
dia
3a
CATEGORIZZAZIONE
Quale dei seguenti problemi risolveresti come quello che stai eseguendo ora?
In un solido regolare con entrambe le basi circolari se si sommano altezza e raggio si ottengono 35 dm. Si calcoli l’area della figura
che si ottiene sviluppando il solido sapendo che il raggio è i 7/8 dell’altezza.
Il volume di un cilindro è di 345 cmc. Sapendo che l’altezza è mag- giore del raggio, calcola l’area della superficie totale del cilindro.
Il volume di un cilindro è.pari a 572 dmc; sapendo che il raggio misura 15 dm e l’alezza è i 7/5 del raggio si calcoli l’area della superficie totale del cilindro.
L’altezza di un cilindro misura 23 cm e il raggio misura 12 cm. Quale sarà l’area della superficie totale del cilindro?
C
I
E
P
PROBLEMA 3.4
Cla
sse
me
dia
3a
PIANO DI SOLUZIONE
Prova a dire come risolveresti il problema, mettendo in ordine la sequenza, numerando le fasi dall’1 al 5:
_ Trovo l’area della superficie totale del cilindro.
_ Trovo la circonferenza della base del cilindro.
_ Trovo l’area della superficie esterna senza basi.
_ Trovo la misura dell’altezza e del raggio.
_ Trovo l’area delle basi.
5
3-2
4-3
1
2-3-4
5
1
4
2
3
SVOLGIMENTO
Esegui il problema.
AUTOVALUTAZIONE
Indica quanto sei sicuro di aver eseguito correttamente il tuo piano di soluzione:
Sono certo di aver fatto giusto
Probabilmente ho fatto giusto
Probabilmente ho sbagliato
Sono certo di aver sbagliato
Non esegue il problema
SPM / SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI
Cla
sse
me
dia
3a
Problema 3.1
____ ____ ____ ____ ____ ____
Problema 3.2
____ ____ ____ ____ ____ ____
Problema 3.3
____ ____ ____ ____ ____ ____
Problema 3.4
____ ____ ____ ____ ____ ____
Somma
____ ____ ____ ____ ____ ____
COMPRENSIONE
RAPPRESENTAZIONE
CATEGORIZZAZIONE
SVOLGIMENTO
PIANIFICAZIONE
AUTOVALUTAZIONE
PROTOCOLLO DI VALUTAZIONE
Cognome ________________ Nome ______________
Sesso M F Età ______ Data del test _________
Scuola __________________ Classe ______________
Luca
13 anni
3a media
3
1
2
2
8
4
4
1
1
10
2
1
1
3
7
5
2
0
0
7
3
2
1
1
7
3
2
2
3
10
TABELLA DI VALUTAZIONE
PERCENTILI COMPONENTE MEDIA DEV. ST.
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Comprensione 13,5 2,7 10 11 13 13 14 15 15 16 16
Rappresentazione 14,0 2,2 10 12 13 14 15 15 16 16 16
Categorizzazione 12,0 2,7 9 10 11 11 12 13 14 15 16
Pianificazione 9,0 4,5 3 5 6 8 9 11 11 14 15
Svolgimento 9,0 3,4 4 5 7 8 9 10 11 12 13
Autovalutazione 8,2 3 4 6 7 8 8 8 10 10 12
4 alternative di risposta
I = RISPOSTA IRRILEVANTE riporta informazioni che, pur essendo
presenti nel testo del problema, non
servono per la soluzione
E = RISPOSTA ERRATA riporta informazioni che, se utilizzate,
portano a un risultato non corretto
P = RISPOSTA PARZIALE riporta dati corretti, ma non completi
per la soluzione
C = RISPOSTA CORRETTA riporta tutti i dati utili per la soluzione