ABECEDA RAĈUNALA - tvolaric.comtvolaric.com/preuzimanja/ur/abeceda.pdfBinarni brojevni sustav -...
Transcript of ABECEDA RAĈUNALA - tvolaric.comtvolaric.com/preuzimanja/ur/abeceda.pdfBinarni brojevni sustav -...
1
ABECEDA RAĈUNALA
PRIKAZ BROJEVA I ZNAKOVA U
RAĈUNALU
2
Dekadski brojevni sustav neprikladan je za raĉunalo!
Trebalo bi naĉiniti elektroniĉki element koji je ustanju prikazati 10 diskretnih stanja
KOMPLICIRANO I SKUPO!
Jednostavno i jeftino rješenje:
bistabil
= elektronički element koji je u mogućnosti spremiti dva diskretna stanja.
3
Binarni brojevni sustav - znamenke su 0 i 1
BIT (engl. BInary digiT = binarna znamenka)
je jedinica za informaciju.
To moņe biti jedna
znamenka binarnog broja,
jedan impuls u impulsno
kodiranoj poruci ili temeljna
(najmanja, nedjeljiva)
jedinica za koliĉinu
informacije.
Najĉeńće se pod bitom podrazumijeva
jedna binarna znamenka
koja moņe biti 0 ili 1.
Binarna odluka s dva stanja:
da/ne,
istina/laņ,
ukljuĉeno/iskljuĉeno i
sl.
4
Registar (obiĉno 16, 32, 64 bistabila)
1 0 0 1 1 0 0 0
8 binarnih znamenki predstavlja jedanbajt (engl. byte).
16, 32 i 64 bita (1 rijeĉ)
5
1 KB = 1024 bajta =1024 bajta
1 MB = 1024 · 1024 bajta =1048576 bajta
1 GB = 1024 · 1024 · 1024 bajta =1073741824 bajta
1 TB = 1024 · 1024 · 1024· 1024 bajta =1099511627776 bajta
kilobajt, megabajt, gigabajt, terabajt
1 MB = 1024 KB, 1 GB = 1024 MB …1 GB = 1024·1024 KB = 1048576 KB
Zašto je pretvornik 1024?
zbog binarne naravi računala 1024 = 210
6
Brojevi u raĉunalu
Cijele brojeve (engl. integer) u raĉunalu
jednostavno zapińemo binarno.
Odabiremo broj raspoloņivih binarnih
mjesta (bitova) za prikaz broja.
Svaki bit u raĉunalu realizira se
bistabilom, a nekoliko njih ĉini registar.
7
Primjer: 8-bitni registar
Negativni binarni brojevi
0 0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 0 1
DOGOVOR!
? krajnji lijevi bit je
1 ako je broj negativan, ili 0 ako je broj pozitivan
+21
Rezultat nije 0!
-21
Provjerimo: 21-21=21+(-21) ? 0
0 0 0 1 0 1 0 1
+ 1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0
Ovakav zapis negativnog broja
neprimjeren je za računanje!
8
Negativni binarni brojevi
DOGOVOR!
Dekadski
brojBinarni prikaz
127 01111111
126 01111110
125 01111101
… …
3 00000011
2 00000010
1 00000001
0 00000000
Dekadski
brojBinarni prikaz
-1 11111111
-2 11111110
-3 11111101
… …
-125 10000011
-126 10000010
-127 10000001
-128 10000000
9
Uoči: 21+(- 21)=0
00010101+ 11101011
1 00000000
Negativni brojevi prikazuju tzv. tehnikom dvojnog komplementa:
– nule pretvaramo u jedinice, a jedinice u nule (komplement)
– zatim tom komplementu dodajemo 1 (dvojni komplement)
21(10) → 00010101(2)
Dvojni komplement:
00010101
11101010+ 1
11101011
11101011(2) → - 21(10)
Negativni binarni brojevi
10
Razlomljeni binarni brojevi
"binarna toĉka" decimalni zarez (toĉka)
4.35 (10) = 4 100 + 3 10-1 + 5 10-2
0,35(10)
≈ 0,010110011…(2)
0,35∙2=0,7
0,7∙2=1,4
0,4∙2=0,8
0,8∙2=1,6
0,6∙2=1,2
0,2∙2=0,4
0,4∙2=0,8
0,8∙2=1,6
0,6∙2=1,2
…
4 (10) = 100 (2)
0,010110011(2)= 1·2-2+1·2-4+1·2-5+1·2-8+1· 2-8 = 0,349609375(10)
4.35 = 4+0.35
11
4.35 (10) ≈ 100,010110011… (2)
zapis sa stalnom toĉkom (ili fiksnim zarezom)
Koliko je?
0,00000000000000000000000011
1100000000000000000000000
12
2,3E+142,3E-14
Tehnika kliznog ili pomiĉnog zareza
230000000000000(10)=2,3·1014
0,000000000000023 (10)=2,3·10-14
PRAKTIĈNIJE
2,3 10-14
mantisa
baza
eksponent
13
Binarni brojevi i mnoņenje s 2n i 2-n
Binarni broj se mnoņi s potencijama baze 2 tako da se
binarna toĉka pomakne odgovarajući broj mjesta desno ili
lijevo, zavisno da li je predznak eksponenta pozitivan ili
negativan.
1 . 01 22 1 0 1
1 . 01 2-2 0 . 0 1 01
14
Realni brojevi standardne preciznosti
IEEE Standard 754 propisuje naĉin zapisa realnih (decimalnih) brojeva u
raĉunalu uz korińtenje tehnike pomiĉnog zareza.
Za prikaz brojeva u standardnoj jednostrukoj toĉnosti prema tom standardu
raĉunalo koristi 32 bita.
predznak
KARAKTERISTIKA(eksponent+127)
(8 bita)
MANTISA bez vodeće jedinice
(23 bita)
31 30 … 23 22 21 …. 1 0
Predznak: 1 – negativan broj, 0 – pozitivan broj
Eksponentu se dodaje 127 da bismo u prikazu izbjegli negativne
eksponente!
15
Primjer: Zapis broj 9.75 u raĉunalu.
9.7510 1001.112 20 1.001112 23
Normalizacijom svakog binarnog broja (osim nule) dobit ćemo broj oblika:
1.xxxxxxxxxx
Vodeća jedinica ne pohranjuje se u računalu i naziva se skrivenim bitom (hidden bit)!
UŠTEDA NA PROSTORU!
16
Predznak = 0 (pozitivan broj)
Binarni eksponent = 3
Karakteristika = 3 + 127 = 130 = (1000 0010)2
Mantisa (cijela) 1.00111
Mantisa (bez skrivenog bita) 00111
predznak
KARAKTERISTIKA(eksponent+127)
(8 bita)
MANTISA bez vodeće jedinice
(23 bita)
0 10000010 00111000000000000000000
ili heksadekadski:
9.75(10) + 1.00111(2) 23
0100 0001 0001 1100 0000 0000 0000 0000
4 1 1 C 0 0 0 0
17
Raspon i toĉnost realnih brojeva
predznak
KARAKTERISTIKA(eksponent+127)
(8 bita)
MANTISA bez vodeće jedinice
(23 bita)
31 30 … 23 22 … 0
Raspon binarnog eksponenta: od -126 do 127
Raspon karakteristike: broj od 0 do 255
Kada je K = 0 i svi bitovi mantise nula, radi se o broju nula
Kada je K = 255 i svi bitovi mantise nula, radi se o prikazu +∞ ili -∞
ovisno o predznaku
Najmanji pozitivni broj 0 koji se moţe prikazati je: 0.000000000000000000000012-126 što iznosi 1.40129846432481710-45
Najveći pozitivan broj:
1.111111111111111111111112127 2128 = 3.402823669209 1038
Točnost: 24 binarne znamenke (jedna cjelobrojna i 23 znamenke iz mantise
razlomljenog dijela)
18
Realni brojevi dvostruke toĉnosti
Za zapis koristimo 64 bita:
• 1 za predznak
• 11 za karakteristiku (eksponent +1023)
• 52 za mantisu (bez vodeće jedinice iz cijelog dijela broja)
predznak
KARAKTERISTIKA(eksponent+127)
(8 bita)
MANTISA bez vodeće jedinice
(23 bita)
63 62 … 52 51 21 …. 1 0
19
Raspon i toĉnost prikazivanja realnih brojeva dvostruke
preciznosti
KarakteristikeRaspon karakteristike: od 0 do 2047
Raspon binarnog eksponenta: od -1022 do 1023
Najmanji pozitivni broj 0 koji se moţe prikazati je:
0.0000 ...001 2-1022 ńto je 4.9406 10-324
Najveći pozitivan broj:
1.1111.....1111112 21023 21024 = 1.797693134862316*10308
Točnost: 53 binarne znamenke
20
Prikaz slova i ostalih znakova
Koliko znakova moramo prikazati?
– 26 velikih slova engleske abecede
– 26 malih slova engleske abecede
– 10 znamenaka
– operatori, interpunkcije, upravljaĉki znakovi …
Postupak pridjeljivanja simbola (binarnih
nizova) pojedinim znakovima naziva se
kodiranje, a tako dobiven skup
dogovorenih simbola kôd.
kombinacija nula i jedinica
Za njihov prikaz je dovoljan 1 bajt!?
21
Prikaz slova i ostalih znakova
ASCII kôd (ISO-7 standard):
7 bita za informaciju + 1 bit za paritet
27 = 128 različitih znakova
? Paritet
Omogućuje otkrivanje jednostruke pogreške pri prijenosu informacija
22
7-bitni ASCII kod
(0-31 dekadski)
Znakovi za upravljanje ulazno-izlaznim ureĊajima raĉunala
dekadski binarno znak
0 00000000 NULL
7 00000111 BELL zvučni signal
8 00001000 BSbrisanje prethodnog znaka
…
10 00001010 LF novi redak
…
12 00001100 FF nova stranica
23
7 - bitni ASCII kod
• Znakovi koji se mogu tiskati (32-127 dekadski)
32: praznina33: ! …40: ( 41: ) 42: * 43: + 44: , 45: − 46: . 47: / 48: 0 49: 1 50: 2 51: 3 52: 4 53: 5 54: 6 55: 7
56: 8 57: 9 …64: @ (Ţ)65: A 66: B 67: C 68: D 69: E 70: F 71: G 72: H 73: I 74: J 75: K 76: L 77: M 78: N 79: O
80: P 81: Q …88: X 89: Y 90: Z 91: [ (Š)92: \ (Đ)93: ] (Ć)94: ^ (Ĉ)95: _96: ` (ţ)97: a 98: b 99: c 100: d 101: e 102: f 103: g
104: h105: i …112: p 113: q 114: r 115: s 116: t 117: u 118: v 119: w 120: x 121: y 122: z 123: { (š)124: | (Ċ)125: } (ć)126: ~ (ĉ)127: DEL
24
7 - bitni ASCII kod
dekadski binarno znak
40 00101000 (
65 01000001 A
97 01100001 a
Znakovi naše abecede
Nańi znakovi (ĉ,ć,Ċ,ń,ņ) prvi standard – YUASCII CROSCII
Raspored u ASCII tablici: ĉ: 126 ( ~ ), Ĉ: 94 ( ^ )
ć: 125 ( } ), Ć: 93 ( ] )
Ċ: 124 ( | ), Đ: 92 ( \ )
ń: 123 ( { ), Ń: 91 ( [ )
ņ: 96 ( ` ), Ņ: 64 ( @ )
25
Problem prikaza internacionalnih znakova
RJEŃENJE: 8-bitni ASCII kôd 28 = 256 razliĉitih znakova
Nańi su znakovi smjeńteni u podruĉje 128-255.
Korištenje naših znakova olakšale su “hrvatske” tipkovnice.
2 standarda:
Central European (Windows 1250) i
Central European (ISO 8852).
Osobna računala s Windows okruženjem - nekoliko načina prikaza naših znakova.
8-bitni ASCII kôd nije dovoljan za prikaz znakova svih jezika u svijetu (kineska, japanska slova?)
UNICODE: 1 znak 16 bita 216 = 65536 različitih znakova
26
8-bitni ASCII kod0 Null 32 <SPACE> 64 @ 96 ` 128 Ç 160 á 192 └ 224 Ó
1 ◚ 33 ! 65 A 97 a 129 ü 161 í 193 ┴ 225 ß
2 ◛ 34 " 66 B 98 b 130 é 162 ó 194 ┬ 226 Ô
3 ◡ 35 # 67 C 99 c 131 â 163 ú 195 ├ 227 Ń
4 ◢ 36 $ 68 D 100 d 132 ä 164 Ą 196 ─ 228 ń
5 ◠ 37 % 69 E 101 e 133 ů 165 ą 197 ┼ 229 ņ
6 ◟ 38 & 70 F 102 f 134 ć 166 Ņ 198 Ă 230 Š
7 • 39 ' 71 G 103 g 135 ç 167 ž 199 ă 231 š
8 ◘ 40 ( 72 H 104 h 136 ł 168 đ 200 ╚ 232 Ŕ
9 ○ 41 ) 73 I 105 i 137 ë 169 Ē 201 ╔ 233 Ú
10 ◙ 42 * 74 J 106 j 138 Ő 170 ¬ 202 ╩ 234 ŕ
11 ◞ 43 + 75 K 107 k 139 ő 171 ź 203 ╦ 235 Ű
12 ◝ 44 , 76 L 108 l 140 î 172 Č 204 ╠ 236 ý
13 ◣ 45 - 77 M 109 m 141 Ź 173 ş 205 ═ 237 Ý
14 ◤ 46 . 78 N 110 n 142 Ä 174 « 206 ╬ 238 ţ
15 ◜ 47 / 79 O 111 o 143 Ć 175 » 207 ¤ 239 ´
16 ► 48 0 80 P 112 p 144 É 176 ░ 208 đ 240
17 ◄ 49 1 81 Q 113 q 145 Ĺ 177 ▒ 209 Đ 241 ˝
18 ↕ 50 2 82 R 114 r 146 ĺ 178 ▓ 210 Ď 242 ˛
19 ‼ 51 3 83 S 115 s 147 ô 179 │ 211 Ë 243 ˇ
20 ▄ 52 4 84 T 116 t 148 ö 180 ┤ 212 ď 244 ˘
21 § 53 5 85 U 117 u 149 Ļ 181 Á 213 Ņ 245 §
22 ▬ 54 6 86 V 118 v 150 ļ 182 Â 214 Í 246 ÷
23 ↖ 55 7 87 W 119 w 151 Ś 183 ē 215 Î 247 ¸
24 ↑ 56 8 88 X 120 x 152 ś 184 Ş 216 Ĕ 248 °
25 ↓ 57 9 89 Y 121 y 153 Ö 185 U 217 ┘ 249 ¨
26 → 58 : 90 Z 122 z 154 Ü 186 ║ 218 ┌ 250 ˙
27 ← 59 ; 91 [ 123 { 155 Ť 187 ╗ 219 █ 251 ű
28 ↗ 60 < 92 \ 124 | 156 ť 188 ╝ 220 ▄ 252 Ŗ
29 ↔ 61 = 93 ] 125 } 157 Ł 189 Ż 221 Ţ 253 ŗ
30 ▲ 62 > 94 ^ 126 ~ 158 × 190 ż 222 Ů 254 ■
31 ▼ 63 ? 95 _ 127 <DEL> 159 ĉ 191 ┐ 223 ▀ 255
27
Ńto smo nauĉili?
1. Koliko mjesta u memoriji raĉunala zauzima
tvoje ime?
2. Pomoću ASCII tablice zapińi svoje ime kako ga
pohranjuje raĉunalo (kombinacijom nula i
jedinica).
3. Svaki znak u svom imenu zapińi
heksadekadski.
4. Koliko bitova je potrebno za pohranu imena
svih uĉenika razreda?
28
Ńto smo nauĉili?
5. Proĉitaj ńto pińe u raĉunalu:
“Pred vama je ĉitav svijet i ĉeka vas!”
00100010 01010000 01110010 01100101 01100100
00100000 01110110 01100001 01101101 01100001
00100000 01101010 01100101 00100000 11101000
01101001 01110100 01100001 01110110 00100000
01110011 01110110 01101001 01101010 01100101
01110100 00100000 01101001 00100000 11101000
01100101 01101011 01100001 00100000 01110110
01100001 01110011 00100001 00100010
29
Zapamti!
• BIT
• bajt
• KB, MB, GB, TB Brojevi u raĉunalu
?
Znakovi u raĉunalu
kod – kodiranje - kodovi
ASCII kod
30
ABECEDA RAĈUNALA
BROJEVNI SUSTAVI
1010(2)
12(8)
A(16)
31
Brojevi i njihov zapis
EGIPĆANI
BABILONCI
KINEZIINDIJANCI (MAYA)
32
Brojevni sustav
= naĉin zapisivanja i tumaĉenja
brojeva
Uobiĉajeni simboli (znamenke)
rimski
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
I,V,X,L,C,D,M
arapski
33
Brojevni sustavi
POZICIJSKINEPOZICIJSKI
XX 22
10 i 10 su 20
rimski arapski
dvije desetice i
dvije jedinice
22=2101+2100
34
Napińi svoju godinu roĊenja
• rimski
• arapski
Zadatak:
35
Danas koristimo
pozicijske (poloņajne) brojevne sustave.
U zapisu broja vaņan je poloņaj znamenke.
…znzn-1zn-2…z1z0..z-1z-2…z-n
23404.4555
najznaĉajnija
znamenka
najmanje znaĉajna
znamenka
4 stotice 4 jedinice 4 desetinke
36
BROJEVNI SUSTAV BAZA SUSTAVA MOGUĆE ZNAMENKEprimjer zapisa
broja
heksadekadski 160,1,2,3,4,5,6,7,8,9
A,B,C,D,E,F*F
dekadski 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 15
binarni 2 0,1 1111
oktalni 8 0,1,2,3,4,5,6,7 17
*A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)
15(10)=1111(2)=17(8)=F(16) 37
732(8) =7·82 + 3·81 + 2·80 = 7·64 + 3·8 + 2·1 = 448 + 24 + 2 =
= 474(10)
1101101(2) = 1·26+1·25+0·24+1·23+1·22+0·21+1·20 =
= 1·64+1·32+0·16+1·8+1·4+0·2+1·1 =
= 64+32+8+4+1
= 109(10)
1A3D (16) = 1·163 + 10·162 + 3·161 + 13·160 =
= 4096 + 10·256 + 3·16 + 13·1 =
= 4096 + 2560 + 48 + 13 =
= 6717(10) 38
… 4 3 2 1 0
1 3 4 2 4(b) = 1·b4 + 3·b3 + 4·b2 + 2·b1 + 4·b0= … (10)
Dekadski zapis broja iz sustava s bazom b
Broj raspisujemo po potencijama baze
uvaņavajući teņine (ili poloņaj) pojedine
znamenke.
39
ĈOVJEK
dakadski brojevni sustavRAĈUNALO
binarni brojevni
sustav
kraći zapisoktalno
heksadekadski
40
prirodni
broj
rimski
brojevi
dekadski binarno oktalno heksade-
kadski
nula 0 0 0 0
jedan I 1 1 1 1
dva II 2 10 2 2
tri III 3 11 3 3
ĉetiri IV 4 100 4 4
pet V 5 101 5 5
šest VI 6 110 6 6
sedam VII 7 111 7 7
osam VIII 8 1000 10 8
devet IX 9 1001 11 9
deset X 10 1010 12 A
jedanaest XI 11 1011 13 B
dvanaest XII 12 1100 14 C
trinaest XIII 13 1101 15 D
ĉetrnaest XIV 14 1110 16 E
petnaest XV 15 1111 17 F
41
Pretvorba cjelobrojne vrijednosti iz dekadskog
brojevnog sustava u neki drugi
Primjer 1. Broj 77(10) zapińi binarno.
77(10) = ? (2)
0
77 : 2 = 38 1
38 : 2 = 19
19 : 2 = 9 1
9 : 2 = 4 1
4 : 2 = 2 0
2 : 2 = 1 0
1 : 2 = 0 1
77(10) = 1001101 (2)
42
Primjer 2. Broj 77(10) zapińi oktalno.
77(10) = ? (8)
1
77 : 8 = 9 5
9 : 8 = 1
1 : 8 = 0 1
77(10) = 115 (8)
Primjer 3. Broj 77(10) zapińi heksadekadski.
77(10) = ? (16)
4
77 : 16 = 4 13
4 : 16 = 0
77(10) = 4D (16)
D
43
Pretvorba broja iz oktalnog brojevnog
sustava u binarni
1. grupiramo binarne znamenke u skupine po tri poĉevńi zdesna
2. ako broj znamenaka nije cjelobrojni vińekratnik od tri,
nadopunimo ga nulama s lijeve strane
3. svaku grupu binarnih znamenki zamijenimo odgovarajućom
oktalnom znamenkom
4. naniņemo redom dobivene oktalne znamenke
Primjer: Broj 10111(2) zapińimo oktalno.
010 111 → 10111(2) =27(8)
2 7
44
Obrnuto:
Svaku oktalnu znamenku zadanog broja zapińemo
pomoću tri binarne znamenke; vodeće nule izbacimo
te spojivńi binarne znamenke dobit ćemo binarni
zapis oktalnog broja.
Primjer: Broj 263(8) zapińimo binarno.
2 6 3 → 263(8) =10110011(2)
010 110 011
binarni
zapis
oktalni
zapis
000 0
001 1
010 2
011 3
100 4
101 5
110 6
111 7
45
Pretvorba broja iz heksadekadskog
brojevnog sustava u binarni
1. grupiramo binarne znamenke u skupine po ĉetiri poĉevńi
zdesna
2. ako broj znamenaka nije cjelobrojni vińekratnik od ĉetiri,
nadopunimo ga nulama s lijeve strane
3. svaku grupu binarnih znamenki zamijenimo odgovarajućom
heksadekadskom znamenkom
4. naniņemo redom dobivene heksadekadske znamenke
Primjer: Broj 11011(2) zapińimo heksadekadski.
0001 1011 → 11011(2) =1B(16)
1 B (11)
46
Obrnuto:
Svaku heksadekadsku znamenku zadanog broja
zapińemo pomoću ĉetiri binarne znamenke; vodeće
nule izbacimo te spojivńi binarne znamenke dobit
ćemo binarni zapis heksadekadskog broja.
Primjer: Broj 263(16) zapińimo binarno.
2 6 3 → 263(16) =1001100011(2)
0010 0110 0011
47
binarni zapisHeksadekadski
zapisbinarni zapis
heksadekadski
zapis
0000 0 1000 8
0001 1 1001 9
0010 2 1010 A
0011 3 1011 B
0100 4 1100 C
0101 5 1101 D
0110 6 1110 E
0111 7 1111 F
48
Pretvorba broja iz oktalnog brojevnog sustava u heksadekadski i obrnuto
koristimo
binarni brojevni sustav
Kako?
Zadatak: Broj 237(8) zapińi heksadekadski.
49
2 3 7
010 011 111
Zadatak: Broj 237(8) zapińi heksadekadski.
0 9 F(15)
237(8) = 10011111(2) = 9F(16)
Obrnutim postupkom provjeri svoj rezultat!
50
Ńto smo nauĉili?
• Ńto je brojevni sustav?
• Kakvi su to pozicijski brojevni sustavi?
• Ńto odreĊuje brojevni sustav?
• Koje brojevne sustave ste upoznao na
danańnjem satu?
51
1. Broj 234(10)
a) binarno zapisujemo kao _____________ .
b) oktalno zapisujemo kao _____________ .
c) heksadekadski zapisujemo kao _______ .
Sad znam!
2. Koji je od navedenih brojeva najveći
45(10), 110111(2), 77(8), 2C(16)?
11101010
352
EA
110111(2)= 55(10)
77(8)= 63(10)
2C(16) = 44(10)
52
BINARNI RAĈUN
ABECEDA RAĈUNALA
53
Binarne znamenke 0,1
Binarno ZBRAJANJE
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 1 = 10
2 (10) =10 (2)
54
10011(2) + 1011(2)
01111
1101+
11001
11
Koliko je ?
10011(2) + 1011(2) =11110(2)
1 + 1 + 1 = 11
Binarno:
55
Binarne znamenke 0,1
0 0 = 0
0 1 = 0
1 0 = 0
1 1 = 1
Binarno MNOŽENJE
56
1001(2)·101(2)
Koliko je ?
1001(2)·101(2) =101101(2)
101101
101·1001
+0
1001
57
Binarno ODUZIMANJE
1110101(2) -1001(2) =1101100(2).
Koliko je ? 1110101(2) -1001(2)
1 00111 111 00-
0011011
58
1110111
Binarno ODUZIMANJE
Oduzimanje svodimo na zbrajanje: a-b = a+(-b).
U binarnom brojevnom sustavu negativni brojevi predočavaju se
dvojnim komplementom.
1110101
+ 1110111
11101100
Dvojni komplement pribrojimo umanjeniku te
odbacimo krajnju lijevu jedinicu.
- dobili smo dvojni komplement
+ 1Komplementu pribrojimo 1
1110110Odredimo komplement umanjitelja
(umjesto 0 pišemo 1 i obrnuto)
00010011110101Umanjitelju s lijeve strane dopińemo nule (ako je
potrebno) tako da umanjenik i umanjitelj imaju
jednak broj znamenki.
1110101(2) -1001(2) =1101100(2).
Postupak:Koliko je ? 1110101(2) -1001(2)
59
Binarno DJELJENJE
Uzastopno oduzimanje!
60
Što smo nauĉili?
Zbroji, oduzmi i pomnoņi brojeve:
1000111(2) i 1011(2)
PROVJERI DOBIVENE REZULTATE DEKADSKI!
61
ABECEDA RAĈUNALA
MATEMATIĈKA LOGIKA
BOOLEOVA ALGEBRA
(Engleska, 1815-1864)
Istina?
62
IZJAVA (SUD)
Danas je ponedjeljak.
Koji je danas dan?
istinita izjava
laņna izjava
2 < 3 je ISTINITA izjava
2 = 4 je LAŅNA izjava
63
ISTINA = 1
LAŢ = 0
Izjavu ”7 je paran broj” oznaĉit ćemo slovom a.
Pońto je izjava laņna, pridruņujemo joj vrijednost 0.
a := 0
Kažemo da varijabli a pridružujemo vrijednost 0.
Logiĉki sudovi (izjave)
64
Brojeve u matematici povezujemo aritmetiĉkim operatorima (+,-,,:)
2 + 3 = 5
Logiĉke sudove (izjave) povezujemo
logiĉkim operatorima.
“Broj je manji od 3 ili veći od 10.”
“Srednjońkolac sam i imam mnogo prijatelja.”NE
I
ILI
Logiĉki izrazi
65
Negacija (logiĉko NE)
Simbol:
a a
1 0
0 1
Negacija istinite izjave je laņna
izjava i obratno.
Izjava a
je istinita.
Izjava a
je laņna.
TABLICA ISTINE
Negacija izjave "x = 0" je "x 0" .
66
Konjunkcija (logiĉko I) - logiĉko mnoţenje
Simbol:
a b ab
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Izjava a b je istinita samo
ako su obe izjave istinite.
10 0 i 5 >3
10 > 0 i 5 >3
LAŅNA izjava
ISTINITA izjava
67
Disjunkcija (logiĉko ILI) - logiĉko zbrajanje
Simbol:
a b ab
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Izjava a b je laņna samo
ako su obe izjave laņne.
10 0 ili 5 > 3
10 > 0 ili 5 >3
10 0 ili 5 < 3
ISTINITA izjava
ISTINITA izjava
LAŅNA izjava
68
Ponovimo
Tablica istine:
001100
110011
100110
101001
ababbaba
69
Zadatak:
Odredi tablicu istine za sloņeni logiĉki izraz: a b c
010000
000100
010010
000110
0
0
1
0
a b c
1
0
1
0
c
0
1
0
1
c
001
001
111
111
a bba
70
a b c
broj 10
a b c a b c a b c
1 1 0 1 1 1
a b C
broj nije djeljiv s 2broj < 100i i nije
Provjeravamo da li je broj dvoznamenkasti i neparan!
71
Ńto smo nauĉili?
1. Potraņi u svom udņbeniku svojstva logiĉkih
operacija.
2. Tablicom istine provjeri De Morganova pravila.
3. Pokuńaj pronaći ńto je to tautologija?
72
Zapamti!
• Izjava (sud)
• Logiĉke
operacije
Tablice istine
I, ILI, NE
73
ABECEDA RAĈUNALA
LOGIĈKI SKLOPOVI
74
O ĉemu će biti rijeĉi?
• Iako je sklopovlje elektroniĉkog raĉunala vrlo sloņeno,
osnovni elementi od kojih je graĊeno raĉunalo relativno
su jednostavni i ograniĉeni na nekoliko osnovnih tipova.
Sloņeni sustavi grade se spajanjem vińe osnovnih
elemenata - logiĉkih sklopovi (ili vrata).
Osnovni logiĉki sklopovi vezani su uz osnovne
logiĉke operacije, a njihovo se ponańanje opisuje
tablicom istinitosti (ili tablicom stanja).
Osnovni logiĉki sklopovi mogu imati jedan ili vińe
ulaza i jedan izlaz.
75
NE sklop (engl. inverter)
a y
1 0
0 1
76
I sklop (engl. AND)
a b y
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
77
ILI sklop (engl. OR)
a b ab
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
78
Ponovimo
Tablica istine:
001100
110011
100110
101001
ababbaba
79
Sloţeni logiĉki sklopovi
Spajanjem osnovnih logiĉkih sklopova dobivamo sloņene
logiĉke sklopove.
Upute za izradu sloţenih logiĉkih sklopova:
Koristeći svojstva logiĉkih operacija pojednostavi logiĉku operaciju
ńto je vińe moguće.
Izdvoji dva dijela logiĉkog izraza i uoĉi osnovni logiĉki operator koji
ih povezuje. Izraz predoĉi logiĉkim sklopom s dva ulaza.
Ponovi postupak za svaki od ulaza dobivenoga logiĉkog sklopa
promatrajući ulazni logiĉki izraz kao posebnu logiĉku operaciju.
Postupak ponavljaj za svaki ulaz sve dok na ulazu logiĉkog sklopa
ne budu osnovni operandi.
80
Ńto smo nauĉili?1. Odredi tablicu istine za sloņeni logiĉki izraz:
a b c
010000
000100
010010
000110
0
0
1
0
a b c
1
0
1
0
c
0
1
0
1
c
001
001
111
111
a bba
81
Ńto smo nauĉili?
2. Nacrtaj logiĉki sklop za sloņeni logiĉki izraz:
a b c
Sjeti se postupka!
Y=a b c
Moņe li crteņ biti jednostavniji?
82
Ńto smo nauĉili?
3. Ispuni tablicu istine koja odgovara nacrtanom
logiĉkom sklopu?
83
Rješenje:
101000
101100
101010
111110
0
0
0
1
y
0
0
0
1
b c
0
1
0
1
c
001
001
011
011
aba
y=a ( b c)
Koji će biti
rezultat ako su
ulazni podaci
1,1,0?
84