Reta Numérica Localização dos números inteiros na reta real.
Abaco dos inteiros
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OO “Ábaco dos inteiros”.“Ábaco dos inteiros”.
ÁbacoÁbacoUm pouco da sua história…Um pouco da sua história…
O Ábaco, O Ábaco, primeira máquina de calcular da humanidadeprimeira máquina de calcular da humanidade, teve , teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5500 anos. origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5500 anos.
Exemplo de um ábaco representando o número 6302715408.
O ábaco é um dispositivo de cálculo aritmético que consiste, geralmente, num quadro de madeiras com cordas ou arames transversais, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas, centenas, ...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...) que podem fazer-se deslizar livremente.
Em todo o mundo, os ábacos têm sido utilizados no ensino pré-escolar e primário como uma ajuda ao ensino do sistema numérico e da aritmética.
Exemplo de um ábaco escolar.
Ábaco chinês
Exemplos de ábacos utilizados em vários países.
Ábaco Japonês
Ábaco russo
Existem variadíssimos estilos de ábacos, como por exemplo os das figuras 1 e 2.
Fig. 1 Fig. 2
Vamos debruçar-nos somente no estudo
de um ábaco especial, o “Ábaco
dos inteiros”.
Adição, subtracção e multiplicação
utilizando o `”Ábaco dos inteiros”.
+ -
“Como se representa o número zero no ábaco?”
+ -
Ao todo, quantas são, as formas possíveis de representar o zero?
Aprender a manusear o Aprender a manusear o ábaco…ábaco…
+ -
+ - + -
Portanto, existem 11 situações de equilíbrio.
Como representar no ábaco os números -6, 7 e -2?
+ - + - + -
Exemplos de representações do número -6
Uma representação do número +7
Exemplos de representações do número -2
+ - + - + -
Adição de números Adição de números inteiros relativosinteiros relativos
Utilizando o ábaco vamos aprender a operar com números inteiros, começando pela adição. Analisemos, um a um, os quatro casos seguintes:
43
43
43
43
1.º Caso:
2.º Caso:
3.º Caso:
4.º Caso:
+ - + - + -
...43.º1
+ - 43 7
+ 7
Então: Nota:Nota: Poderíamos começar por outra situação de equilíbrio, por exemplo, com 1, 2 ou 3 bolas (no máximo 3).
43.º2
-1
+ -
Situação de equilíbrio logo zero
-1
+ -
43.º2Outra forma possível, partido de uma situação de equilíbrio com 5 bolas:
Situação de equilíbrio
-1
-1
43.º3 1
+ -
Zero
1
Começamos com uma situação de equilíbrio, por exemplo, sem bolas e…
+ -
43.º4 -7
-7
Subtracção de números Subtracção de números inteiros relativosinteiros relativos
Agora vamos para a subtracção… Analisemos, cada um dos exemplos seguintes:
64
72
25
36
1.º Caso:
2.º Caso:
3.º Caso:
4.º Caso:
+ -
64.º1
+ -
-2-2
Excluindo a situação de equilibro…
-2
72.º2
+ -
99
9
25.º3
+ -
-7
ZeroZero
-7-7
35.º4
+ -
-2
ZeroZero
+ -
-2-2
36 = -3
E, relativamente a este exemplo?E, relativamente a este exemplo?
Os alunos devem responder não, porque o número de Os alunos devem responder não, porque o número de bolas existentes no ábaco é insuficiente.bolas existentes no ábaco é insuficiente.
Partiriam da situação de equilíbrio correspondente à Partiriam da situação de equilíbrio correspondente à parcela de maior valor absoluto?!parcela de maior valor absoluto?!
+ -
ZeroZero
-3-3
+ -
36 = -3
Multiplicação de Multiplicação de números inteiros números inteiros
relativosrelativosAnalisemos, cada um dos exemplos seguintes:
24
25
52
25
1.º Caso:
2.º Caso:
3.º Caso:
4.º Caso:
905.º Caso:
096.º Caso:
241.º Caso:
Mais uma vez, utilizando o ábaco…
+ -
E partindo, por exemplo, da situação de equilíbrio representada…
Adicionamos 4 vezes o número 2.
Ex
cluin
do
a situ
aç
ão
de
eq
uilíb
rio
Ex
cluin
do
a situ
aç
ão
de
eq
uilíb
rio
res
tam 8 b
ola
s ve
rmelh
as, lo
go
o
res
tam 8 b
ola
s ve
rmelh
as, lo
go
o
pro
du
to é
+8
.p
rod
uto
é +
8.
25 2.º Caso:
+ -
Colocam-se 5 vezes 2 bolas pretas, logo, a única opção é partir de uma situação de equilíbrio, sem bolas.
Logo, o produto é -10.Logo, o produto é -10.
523.º Caso:
+ -
Tiram-se duas vezes cinco bolas Tiram-se duas vezes cinco bolas vermelhas.vermelhas.
E neste caso, como procederiam?
Logo, o produto é -10.Logo, o produto é -10.1052
Obviamente, este é um exemplo que temos obrigatoriamente de partir de uma situação de equilíbrio com as 10 bolas.
254.º Caso:
+ -
Neste caso, tiram-se 5 Neste caso, tiram-se 5 vezes 2 bolas pretas.vezes 2 bolas pretas.
+10+10
+10
90 5.º Caso:
09 6.º Caso:
E no 5.º e 6.º casos como procederemos?E no 5.º e 6.º casos como procederemos?
5.º - Significa colocar 0 vezes 9 bolas vermelhas, logo, o produto é zero.
6.º- Significa adicionar 9 vezes 0 bolas, logo, o produto é zero.
+ -
ZeroZero
FIM