แผนการจดการเรยนร แผนการจดการเรยนรเรอง  “ระบบจานวนจรง” 

จานวน  16  ชวโมง ตารางแจกแจงหนวยยอยการเรยนร รายวชา ค31101 ( คณตศาสตรพนฐาน 1 ) 

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร                 รายวชา ค31101  ( คณตศาสตร พนฐาน 1 )  มธยมศกษาปท 4 จานวนหนวยการเรยนร  1  หนวย                           ภาคเรยนท 1 หนวยการ เรยนรท… 

ผลการเรยนรทคาดหวง ( expectation  learning  outcome ) 

สาระการเรยนร (Contents) ชอหนวยการเรยนร / หนวยยอยการเรยนร 

จานวน ชวโมง 

3  • แสดงความสมพนธของจานวนตางๆในระบบจานวนจรงได • เขาใจความหมายและหาผลลพธทเกดจากการบวก  การลบ การคณ  และการหารจานวนจรง • เขาใจสมบตของจานวนจรงทเกยวกบการบวก  การคณ การเทากนและการไมเทากนและนาไปใชได • แกสมการและอสมการตวแปรเดยวดกรไมเกนสองได • มความคดรวบยอดเกยวกบคาสมบรณของจานวนจรงและ หาคาสมบรณของจานวนจรงได • มความคดรวบยอดเกยวกบจานวนจรงทอยในรปเลขยก กาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะและจานวนจรงในรป กรณฑ 

3.จานวนจรง 3.1 จานวนจรง 3.2 สมบตของจานวนจรงเกยวกบการ 

บวก การลบ  การคณ และการหาร 3.3 สมบตการเทากนและการไมเทากน 3.4 สมการกาลงสองตวแปรเดยว 3.5 อสมการตวแปรเดยว 3.6 คาสมบรณ 3.7 ประเมนผล 

14 2 2 

2 2 3 2 1 

4  •ใชวธการทหลากหลายแกปญหาได •ใชความร  ทกษะ กระบวนการทางคณตศาสตร และ เทคโนโลยในการแกปญหาสถานการณตางๆไดอยาง เหมาะสม •สามารถแสดงเหตผลโดยการอางองความร ขอมลหรอ ขอเทจจรงหรอการสรางแผนภาพ •ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร สอ ความหมายและการนาเสนอไดอยางถกตองชดเจนและรดกม •เชอมโยงความรเนอหาตางๆในคณตศาสตรไปเชอมโยงกบ ศาสตรอนๆ •นาความรและทกษะทไดจากการเรยนคณตศาสตรไป ประยกตในการเรยนรสงตางและในการดารงชวต •มความคดรเรมสรางสรรคในการทางาน

มาตรฐาน ค 1.1 เขาใจถงความหลากหลายของการแสดงจานวนและการใชจานวนในชวตจรง 

ตวชวด ม.4-6/1-3 ๑.  แสดงความสมพนธของจานวนตาง ๆ ในระบบจานวนจรง 2.  มความคดรวบยอดเกยวกบ คาสมบรณของจานวนจรง 3.  มความคดรวบยอดเกยวกบจานวนจรงทอยในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะและ 

จานวนจรงทอยในรปกรณฑ 

มาตรฐานการเรยนร 

ค 6.1  มความสามารถในการแกปญหา  การใหเหตผล  การสอสาร  การสอความหมายทางคณตศาสตร และการนาเสนอ  การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และม ความคดรเรมสรางสรรค 

ตวชวด ม.4-6/1-6 1.  ใชวธการทหลากหลายในการแกปญหา 2.  ใชความร ทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร และเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตางๆ ได 

อยางเหมาะสม 3.  ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม 4.  ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร  การสอความหมาย  และการนาเสนอไดอยาง 

ถกตองและชดเจน 5.  เชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและนาความร  หลกการกระบวนการทางคณตศาสตรไป 

เชอมโยงกบศาสตรอน ๆ 6.  มความคดรเรมสรางสรรค

1. ผลการเรยนรทคาดหวง 1.1.ดานความร  (K) 

1.1.1.แสดงความสมพนธของจานวนตางๆในระบบจานวนจรงได 1.1.2. เขาใจความหมายและหาผลลพธทเกดจาก การบวก การลบ การคณ และการหารจานวน 

จรง 1.1.3. เขาใจสมบตของจานวนจรงทเกยวกบการบวก การคณ การเทากนและการไมเทากน 

และนาไปใชได 1.1.4.แกสมการและอสมการตวแปรเดยวดกรไมเกนสองได 1.1.5. มความคดรวมยอดเกยวกบคาสมบรณของจานวนจรงและหาคาสมบรณของจานวนจรง 

ได 1.2.ดานทกษะกระบวนการ  (P) 

1.2.1.มความสามารถในการแกปญหา 1.2.2.มความสามารถในการใหเหตผล 1.2.3.มความสามารถในการสอสารและนาเสนอ 

1.3.ดานคณลกษณะ (A) 1.3.1.มความรวมมอและรบผดชอบ 1.3.2.มความสนใจและกระตอรอรน  กลาคดและแสดงความคดเหน

สาระการเรยนร จานวนจรง (Real   Number ) 

แผนภมแสดงความสมพนธของจานวนชนดตางๆ 

จานวนตรรกยะ หมายถง จานวนทสามารถเขยนอยในรปของเศษสวนได โดยทสวนไมเปนศนย 

, / { b a x x Q = =  เมอ a , b ∈  I และ b  0 ≠  } 

จานวนอตรรกยะ หมายถง จานวนทไมสามารถเขยนอยในรปของเศษสวนได 

ตวอยาง 4 3  เปนจานวนตรรกยะ 

-15  เปนจานวนตรรกยะ 3  เปนจานวนอตรรกยะ 

จานวนเชงซอน 

จานวนจรง  จานวนเชงซอนทไมใชจานวนจรง 

จานวนอตรรกยะ  จานวนตรรกยะ 

จานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม  จานวนเตม 

จานวนเตมลบ  ศนย  จานวนเตมบวก หรอจานวนนบ

25 4 +  เปนจานวน ตรรกยะ 1.732…  เปนจานวนอตรรกยะ 1.3356  เปนจานวน ตรรกยะ 

การเทากนในระบบจานวนจรง 

ขอตกลงพนฐานทไมพสจน  จะมสมบตดงน   ให  a ,  b และ  c เปนจานวนจรงใดๆ 1.  สมบตการสะทอน  a  =  a 

จานวนจรงใดๆยอมเทากบจานวนจรงนนเสมอ เชน  5  =  5  เปนตน 

2.  สมบตการสมมาตร  ถา  a  =  b แลว  b  =  a เชน    ถา  2+3  =  5  แลว  5 = 2+3 

3.  สมบตการถายทอด  ถา  a = b และ  b = c  แลว  a = c เชน  ถา  6+5  =  11 และ  11  =  11 ×  1  แลว  6+5  =  11 ×  1 

4.  สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน ถา  a  =  b  แลว  a+c  =  b+c เชน  ถา  x =  6  แลว  x + 3  =  6+3 

5.  สมบตการคณดวยจานวนทเทากน  ถา  a  =  b  แลว  ac  =  bc เชน       ถา  x  =  5  แลว  4x  = 4×5 = 20 

การบวกและการคณในระบบจานวนจรง 

นยาม  ในระบบจานวนจรง เรยกจานวนจรงทบวกกบจานวนจรงจานวนใดกตามแลวได จานวนจรงจานวนนนวา  “ เอกลกษณการบวก” จะได เอกลกษณการบวกคอ  ศนย  ( 0) เพราะ  0 + a = a = a + 0  เมอ a  เปนจานวนจรงใดๆ 

นยาม  ในระบบจานวนจรง อนเวอรสการบวกของจานวนจรง  a ( ใชแทนดวยสญลกษณ  - a ) หมายถง จานวนจรงทบวกกบ  a  แลวได เอกลกษณการบวก คอ 0 กลาวคอ  a + ( – a)  =  0  =  ( – a) + a 

เชน     เอกลกษณการบวกของ  2  คอ  - 2 เพราะ  2 + ( - 2 ) =  0  หรอ  ( - 2 ) + 2  =  0 

เอกลกษณการบวกของ 6 5  คอ 

6 5

− 

เพราะ 6 5  + ( 

6 5

−  ) =  0  หรอ  ( 6 5

−  ) + 6 5  =  0  เปนตน

สมบตของจานวนจรงเกยวกบการบวก 

กาหนดให  a , b และ c เปนจานวนจรงใดๆ 1.  สมบตการปดของการบวก 

ถา  R a∈  และ  R b∈  แลว  R b a ∈ + 

เชน      ถา  R ∈ 5  และ  R ∈ 2  แลว  R ∈ + 2 5 

2.  สมบตการสลบทของการบวก ในการบวกจานวนจรงสองจานวนเมอสลบทจานวนทงสองนนแลว ผลบวกจะ เทาเดม นนคอ 

a + b = b + a เชน  6 + (-8) =  ( -8 ) + 6 = -2 

3.  สมบตการเปลยนกลมของการบวก ในการบวกจานวนจรงสามจานวน จะบวกสองจานวนหลงกอนหรอสองจานวน แรกกอน ผลบวกจะเทาเดม นนคอ 

a + (b + c) = (a + b) + c เชน  2 + (3 + 4) =  (2 + 3) + 4 

2 + 7         =    5 + 4 9           =       9  เปนตน 

4.  สมบตการมเอกลกษณ ในระบบจานวนจรงม  0 (ศนย) เปนเอกลกษณการบวก นนคอ 

a + 0  = a =  0 + a เชน  (-15) + 0  =  -15  =  0 + ( -15)  เปนตน 

5.  สมบตการมอนเวอรสการบวก ในระบบจานวนจรง ถา a  เปนจานวนจรงจะม จานวนจรง –a  ซง 

a + ( -a)  =  0  = ( -a ) + a เชน     อนเวอรสการบวกของ  12  คอ  - 12 เพราะ 

12 + ( -12)  =  0  =  ( -12) + 12 อนเวอรสการบวกของ 

5 3  คอ  - 

5 3  เพราะ 

5 3  +  (- 

5 3 )  =  (- 

5 3 )  + 

5 3  =  0  เปนตน

สมบตจานวนจรงเกยวกบการคณ 

ให  a , b และ c เปนจานวนจรงใดๆ 

บทนยาม  ในระบบจานวนจรง เรยกจานวนจรงทไมเปนศนยซงคณกบจานวนจรงจานวนใดกตาม ไดผลลพธเปนจานวนจรงจานวนนนวา เอกลกษณการคณ 

ในระบบจานวนจรงม  1  เปนเอกลกษณของการคณ เพราะวา a ×  1  =  a  =  1 ×  a 

เชน  56 ×  1  =  56  =  1 ×  56  เปนตน 

บทนยาม  ในระบบจานวนจรง อนเวอรสการคณของจานวนจรง  a ≠  0 ( ใชแทนดวยสญลกษณ a -1 ) หมายถง จานวนทคณกนกบ  a แลวได 1 นนคอ 

a ×  a -1  =  1  =   a -1  × a 

เชน     อนเวอรสการคณของ  3  คอ  3 -1  เพราะ 3 ×  3 -1  =  1  หรอ  3 -1 ×3  =  1  เปนตน

สมบตของจานวนจรงเกยวกบการคณ 

การคณจานวนจรงมสมบตปดของการคณ   สมบตการสลบทของการคณ สมบตการ เปลยนกลมของการคณ การมเอกลกษณของการคณ และการมอนเวอรสของการคณ ในทานองเดยวกบสมบต เกยวกบการบวก นอกจากนนเมอพจารณาทงการบวกและการคณยงมสมบตอกขอหนง คอ 

สมบตการแจกแจง กลาวคอ a (b + c)  =  (ab) + (ac) 

เชน  2(3 + 4)  =  (2×3) + (2×4) 2×7    =  6 + 8 14     =    14  เปนตน 

หมายเหต  ในระบบจานวนจรงจะกลาวถงสมบตของการบวกและการคณเทานน เพราะ การ ลบจะหมายถงการบวกและการหารจะหมายถงการคณ กลาวคอ 

a  -  b  หมายถง  a + ( -a)  และ 

b a  หมายถง  a × 

b 1 

เชน  5 – 8  หมายถง  5 + ( -8) 

8 7  หมายถง  7 × 

8 1 

สรป  สมบตของระบบจานวนจรง สมบต  การบวก  การคณ 

ปด การสลบท 

การเปลยนกลม การมเอกลกษณ 

การมอนเวอรส 

1.  a + b ∈ R 2.  a + b = b + a 3.  (a + b) + c = a + (b + c) 4.  มจานวนจรง 0 ซง 

0 + a = a = a + 0 5.  สาหรบ  a  จะมจานวนจรง –a 

โดยท (-a) + a =  0  = a + ( -a) 

อาน  -a  วาอนเวอรสการบวกของ a 

6.       ab  ∈ R 7.        ab   =   ba 8.         ( ab )c  =  a ( bc ) 9.  มจานวนจรง  1 , 1  ≠ 0 ซง 

1a  = a 10.  สาหรบ  a  ทไมเปน  0  จะม จานวนจรง  a -1  โดยท 

( a -1 )a  =  1  =  a( a -1 ) อาน  a -1  วาอนเวอรสการคณของ  a 

การแจกแจง  11.  a (b + c)  =  (ab) + (ac)

นอกจากสมบตทง  11  ประการนแลว ระบบจานวนจรงจะมระบบยอย  R +  ซง R +  ⊂  R  มสมบตเพมเตมอก 3 ประการ คอ 

12.  0 ∉ R +  และถา  a  เปนจานวนจรงท  a  ≠  0  แลวตองเปนไปประการใดประการหนง เทานนคอ 

ก.  a ∈ R +  หรอ ข.  –a ∈ R +  ,  a <  0 ( a เปนจานวนจรงลบ) 

13.  ถา  a , b  ∈ R +  แลว  a + b ∈ R + 

14.  ถา  a , b  ∈ R +  แลว  ab  ∈ R + 

นอกจากน  ระบบจานวนจรงยงมสมบตสาคญอกประการหนงคอ  สมบตความบรบรณ ซงจะ กลาวถงภายหลง สมบตทง 15 ประการนเปนสมบตพนฐานเฉพาะของระบบจานวนจรง ทาใหระบบ จานวนจรงมโครงสรางเฉพาะตวทมขอแตกตางจากระบบจานวนอนๆ 

จากสมบตทงหมดใชในการพสจนทฤษฎตอไปน 

ทฤษฎบทท 1 (กฎการตดออกสาหรบการบวก) เมอ a , b และ c เปนจานวนจรงใดๆ ถา  a + c  =  b + c  แลว  a = b ถา  a + b  =  a + c  แลว  b = c 

ทฤษฎบทท 2 (กฎการตดออกสาหรบการคณ) เมอ a , b และ c เปนจานวนจรงใดๆ ถา  ac = bc  และ  c  ≠  0  แลว  a = b ถา  ab = ac  และ  a  ≠  0  แลว  b = c 

ทฤษฎบทท 3  เมอ  a  เปนจานวนจรงใดๆ a(0)   =  0 0(a)   =   0 

ทฤษฎบทท 4  ถา  a  เปนจานวนจรงใดๆ ( - 1 )a  =  - a

ทฤษฎบทท 5  เมอ  a  และ  b  เปนจานวนจรงใดๆ ถา  ab  =  0  แลว  a  =  0 หรอ  b  =  0 

ทฤษฎบทท 6  เมอ  a  และ  b  เปนจานวนจรงใดๆ 1.  a(- b)  =  - ab 2.  (-a)b     =  -  ab 3.  (- a)( - b)  =    ab

การบวกและการลบจานวนจรง 

นยาม  เมอ  a  และ b เปนจานวนจรงใดๆ  a – b  =  a + (-b) นยาม  เมอ  a  และ  b เปนจานวนจรงใดๆ  b  ≠  0  ,  ) (  1 − =  b a 

b a 

ทฤษฎบทท 7  เมอ  a , b  และ c  เปนจานวนจรงใดๆ 1.  a(b – c)  =  ab  - ac 2.  (a – b)c  =  ac  - bc 3.  ( - a)(b – c)  =  - ab  +  ac 

ทฤษฎบทท 8  ถา  a ≠  0  จะได  a -1  ≠  0 

ทฤษฎบทท 9  1. bc a 

c b a

= ) ( 

เมอ  b , c  ≠  0 

2. bc ac 

b a

=  เมอ  b , c  ≠  0 

3. bd bc ad 

d c 

b a +

= +  เมอ  b , d  ≠  0 

4. bd ac 

d c 

b a

= ) )( (  เมอ  b , d  ≠  0 

5. d c 

c b

= −1 ) (  เมอ  b , c  ≠  0

การไมเทากน 

ในจานวนจรง ใชสญลกษณ  <  ,  > ,≤  ,  ≥  และ  ≠  แทน ความสมพนธ นอยกวา  มากกวา  นอยกวาหรอเทากบ  มากกวาหรอเทากบ  และไมเทากบ ตามลาดบ 

ถา  a  และ b  เปนจานวนจรง  สญลกษณ  a  <  b  หมายความวา  a  มคานอยกวา  b และ สญลกษณ  a  >  b  หมายความวา  a  มคามากกวา  b 

สมบตของการไมเทากน 

นยาม  สมบตไตรวภาค  ( trichotomy  property ) ถา  a  และ b  เปนจานวนจรง  แลว  a  =  b  ,  a  <  b  และ  a  >  b จะเปนจรงเพยงอยางใดอยางหนง เทานน 

นยาม a  ≤  b  หมายถง  a  นอยกวาหรอเทากบ  b a  ≥  b  หมายถง  a  มากกวาหรอเทากบ  b a <  b  < c  หมายถง  a  <  b  และ  b  <  c a  ≤  b ≤  c  หมายถง  a  ≤  b  และ  b ≤  c a  <  b ≤  c  หมายถง  a  <  b  และ  b ≤  c a  ≤  b  < c  หมายถง  a  ≤  b  และ  b < c

สมบตการไมเทากน 

ให  a ,b และ c เปนจานวนจรงใดๆ 1.  สมบตการถายทอด 

ถา  a > b และ b > c แลว  a > c เชน  ถา  15 > 8 และ 8  > - 4 แลว  15 > - 4  เปนตน 

2.  สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน ถา  a  >  b  แลว  a + c > b + c เชน  ถา  5 >  3 แลว  5 + ( - 6 ) > 3 + (- 6) 

- 1 > -3  เปนตน 3.  จานวนบวกและจานวนลบเปรยบเทยบกบ 0 

a  เปนจานวนบวก  กตอเมอ  a  > 0 a  เปนจานวนลบ    กตอเมอ  a < 0 

4.  สมบตการคณดวยจานวนทเทากน 4.1  ถา  a > b และ c > 0  แลว  ac >  bc 

เชน     ถา  7 > 3  แลว  7(5)  > 3(5) 35 > 15  เปนตน 

4.2  ถา  a > b  และ c < 0  แลว  ac  <  bc เชน     ถา  6  >  4  แลว  6( -2) < 4( -2) 

-12 <  -8 5.  สมบตการตดออกการบวก 

ถา  a + c > b + c  แลว  a > b เชน  56  + 23  >  35 +  23  แลว  56  >  35 

6. สมบตการตดออกของการคณ 6.1  ถา  ac > bc และ c > 0 แลว  a > b 

เชน  13(7)  >  8(7)  แลว  13 >  8 6.2  ถา  ac > bc และ c < 0  แลว  a < b 

เชน  5 ( -3)  > 7( -3)  แลว  5 < 7 -  15 > - 21

ชวงและการแกอสมการ 

บทนยาม  เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนจรง  และ  a < b ชวงเปด  ( a , b )  หมายถง  { x / a < x < b } ชวงปด  [ a , b ]  หมายถง  { x / a ≤  x ≤  b } ชวงครงเปด  ( a , b ]  หมายถง  { x / a < x ≤  b } ชวงครงเปด  [ a , b )  หมายถง  { x /  a ≤  x < b } ชวง  ( a , ∞ )  หมายถง  { x / x > a } ชวง  [ a , ∞ )  หมายถง  { x / x ≥  a } ชวง  ( - ∞ , a )  หมายถง  { x / x < a } ชวง  ( - ∞ , a ]  หมายถง  { x / x  ≤  a } ชวง  ( - ∞ , ∞ )  หมายถง  { x / x ∈R } 

จากสมบตดงกลาวจะนาไปใชในการแกอสมการ เชน 

ตวอยาง  จงหาคาของ  x  เมอ  3x + 7  ≥  19 วธทา  จาก  3x + 7  ≥  19 บวกดวย  - 7  3x + 7 +(-7) ≥  19 +(-7) 

3x  ≥  12 คณดวย 

3 1  3x( 

3 1 )  ≥  12( 

3 1 ) 

x  ≥  4 คาตอบคอ  { x / x  ≥  4 }  =  +∞

4

ตวอยาง  จงหาคาของ  x  เมอ  x 2 +5x + 6  ≤  0 วธทา  จาก  x 2 +5x + 6  ≤  0 เนองจาก  x 2 +5x + 6  = ( x + 2)(x + 3) 

ดงนน จะได ( x + 2)(x + 3)  ≤  0 

พจารณา  ( x + 2)(x + 3)  ≤  0  กตอเมอ   กรณท  1  x+2  ≥  0  และ x + 3  ≤  0 กรณท  2     x+2  ≤  0  และ x + 3 ≥  0 

พจารณาคาตอบกรณท 1 x+2  ≥  0  และ x + 3  ≤  0 x  ≥  - 2 และ  x  ≤  - 3 

คาตอบกรณท  1  จะไดคาของ  x  คอ  { x /  x ≥  - 2 } พจารณาคาตอบกรณท 2 

x+2  ≤  0  และ x + 3 ≥  0 x  ≤  - 2  และ  x  ≥  - 3 

­2 

+∞

­3 

+∞

­2 

+∞

คาสมบรณ  ( Absolute  value , Modulus) 

บทนยาม ให  a  เปนจานวนจรงใดๆ 

=

< =

> 

0 a เมอ a - 0 a เมอ 0 

0 a เมอ a 

a 

เชน 0 0 

5 ) 5 ( 5 

5 5

=

= − − = −

= 

ทฤษฎบทคาสมบรณ เมอ  x  และ  y เปนจานวนจรงใดๆ 1.  x x − = 

เชน  13 13 13 = − = 

2.  y x xy = 

เชน 6 6 

3 2 6 

3 2 ) 3 ( 2

=

× = −

− = − 

3. y x 

y x

= 

เชน 5 5 3 15 5 

3 15 

3 15

=

= −

− =

− 

4.  x y y x − = − 

เชน 3 3 3 3 

4 7 7 4

=

= −

− = − 

5.  ( )  2 2  x x = 

เชน ( ) ( )

( ) 36 36 36 6 

6 6 2 

2 2

= =

− = −

6.  y x y x + ≤ + 

เชน 13 3 8 5 3 

8 5 ) 8 ( 5

<

+ < −

− + < − + 

7.  เมอ  a  เปนจานวนจรงบวก 7.1  a x a - งกบ ความหมายตร  < < < a x 

7.2  a x a - งกบ ความหมายตร  ≤ ≤ ≤ a x 

ตวอยางท  1 จงหาคาของ x เมอ  3 < x 

วธทา     จาก  3 < x 

คาของ  x คอ  { x / - 3 < x < 3 }  = 

ตวอยางท  2 จงหาคาของ  x เมอ  7 5 ≤ + x 

วธทา  จาก  7 5 ≤ + x 

จะได  –  7  ≤  x + 5  ≤  7 – 7 – 5  ≤  x  ≤  7 – 5 

– 12  ≤  x  ≤  2 คาตอบ  { x / – 12  ≤  x  ≤  2 }  = 

8.  เมอ  a  เปนจานวนจรงบวก 8.1  a x >  ความหมายตรงกบ  x < - a  หรอ  x >  a 8.2  a x ≥  ความหมายตรงกบ  x  ≤  - a  หรอ  x  ≥  a 

ตวอยางท  1 จงหาคาของ  x  เมอ  9 > x 

วธทา  จาก  9 > x 

คาของ x ทแทนอสมการเปนจรง คอ  x <  - 9  หรอ  x > 9 คาตอบ  { x / x <  - 9  หรอ  x > 9 }  = 

+∞ ­∞

3 ­3 

­∞

2 ­12 

9 ­9 

+∞ ­∞

ตวอยางท  2 จงหาคาของ  x เมอ  8 2 ≥ + x 

วธทา  จาก  8 2 ≥ + x 

จะได  x + 2  ≤  - 8  หรอ  x + 2 ≥  8 x  ≤  - 8 - 2  หรอ  x  ≥  8 - 2 x  ≤  -  10  หรอ  x  ≥  6 

คาตอบคอ  { x / x  ≤  -  10  หรอ x  ≥  6 } = หมายเหต 

ถา  a  เปนจานวนจรงลบ a x <  คาของ  x  จะเปนเซตวาง 

เชน  20 − < x  จะได  x  =  φ 

a x >  คาของ x จะเปนจานวนจรง เชน  16 − > x  คาของ x = R 

6 ­10 

+∞ ­∞

บนทกหลงผลการจดการเรยนร 

ผลการเรยนร 1.  ดานความร 

............................................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................................... 

...................................................................... 2.  ดานทกษะ/กระบวนการ 

............................................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................................... 

...................................................................... 3.  ดานคณลกษณะทพงประสงค 

............................................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................................... 

...................................................................... ปญหาทควรแกไข/พฒนา  วธดาเนนการแกไข/พฒนา  ผลการแกไข/พฒนา 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

............................................... 

ลงชอ...........................................ผจดทา (นายอดม  วงศศรดา) คร  ชานาญการพเศษ