การวิเคราะห์ทางสถิตศาสตร์แบบไม่เป็นเชิงเส้นของโครงสร้าง...
Transcript of การวิเคราะห์ทางสถิตศาสตร์แบบไม่เป็นเชิงเส้นของโครงสร้าง...
239วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
บทคดยอ
บทความนนำาเสนอผลตอบสนองทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชงเสนของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม
ทมความสมมาตรตามแนวแกนตดตงในทะเลลกโดยใชทฤษฎเมมเบรน การคำานวณหารปทรงเรขาคณตของโครงสราง
เปลอกบางจะอาศยหลกการของเรขาคณตเชงอนพนธ การศกษาครงนจะจำาลองโครงสรางเปลอกบางดวยชนสวนของ
คานแบบ 1 มต โดยทำาการแบงเปนชนสวนยอยๆ ในระบบพกดเชงขวแบบทรงกลม สำาหรบฟงกชนพลงงานของ
ระบบโครงสรางเปลอกบางสามารถสรางไดจากหลกการของงานเสมอนในเทอมของคาการเสยรปและเขยนในรปแบบท
เหมาะสมการเสยรปทางสถตศาสตรของโครงสรางเปลอกบางสามารถคำานวณไดโดยใชวธไฟไนตเอลเมนตแบบไมเชงเสน
ซงผลการวเคราะหเชงตวเลขสามารถแกไดโดยใชวธกระบวนการทำาซำา ผลการวเคราะหเชงตวเลขทแสดงคาการเสยรป
ของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทเกดจากการเปลยนแปลงเงอนไขของฐานรองรบ, อตราสวนความลกของ
ระดบนำาทะเลและอตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางไดนำาเสนอในบทความน
คำ�สำ�คญ :โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมความสมมาตรตามแนวแกน/ทฤษฎเมมเบรน/เรขาคณต
เชงอนพนธ/ระบบพกดเชงขวแบบทรงกลม/หลกการของงานเสมอน/วธไฟไนตเอลเมนต
วรพนธ เจยมมปรชา1*, สมชาย ชชพสกล2
มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาธนบร กรงเทพฯและ Tseng Huang3
University of Texas at Arlington, USA
การวเคราะหทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชงเสนของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมความสมมาตรตามแนวแกนตดตงในทะเลลก
* Corresponding author E-mail : [email protected] นกศกษาปรญญาเอก ภาควชาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตร2 ศาสตราจารย ภาควชาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตร3 Late Professor, Department of Civil Engineering.
240 วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
Weeraphan Jiammeepreecha1*, Somchai Chucheepsakul2
King Mongkut’s University of Technology Thonburi, Bangkok
and Tseng Huang3
University of Texas at Arlington, USA
This paper presents a nonlinear static analysis of a deep water axisymmetric half drop shell by using membrane theory. Differential geometry is introduced in order to compute the shell geometry. In this study, the shell is simulated using one-dimensional beam elements described in spherical polar coordinates. Energy functional of the shell is derived from the principle of virtual work in terms of displacements and it is expressed in the appropriate forms. The static deformed configuration of the shell can be obtained by using the nonlinear finite element method in which the numerical solutions are solved by using the iterative procedure. The effects for different boundary supported conditions, sea water depth ratios, and radius-to-thickness ratios on the displacement of the half drop shell are presented in this paper.
Keywords : Axisymmetric Half Drop Shell / Membrane Theory / Differential Geometry / Spherical Polar Coordinates / Principle of Virtual Work / Finite Element Method
Abstract
Nonlinear Static Analysis of Deep Water Axisymmetric Spherical Half Drop Shell
* Corresponding author E-mail: [email protected] Ph.D. Student, Department of Civil Engineering.2 Professor, Department of Civil Engineering.3 Late Professor, Department of Civil Engineering.
241วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
1. บทนำ� โครงสรางเปลอกบาง (shell structures) ถกนำามา
ใชงานกนอยางแพรหลายทงในอดตและปจจบนเนองจาก
โครงสรางประเภทนมประสทธภาพสงสามารถตานทาน
แรงกระทำาจากภายนอกไดเปนอยางด [1] โดยเฉพาะ
อยางยงกบโครงสรางเปลอกบางทมความสมมาตรตาม
แนวแกน (axisymmetric shells) ซงเปนทนยมใชใน
วศวกรรมหลายแขนง อาทเชนวศวกรรมโครงสราง,
วศวกรรมเครองกล, วศวกรรมการบน, วศวกรรมทาง
ทะเล และวศวกรรมนอกชายฝงทะเล เปนตน [2-6]
นอกจากนยงสามารถประยกตใชในงานทางดานกลศาสตร
ชวภาพ(biomechanics)ซงนำาไปใชเปนแบบจำาลองของ
กระจกตา(cornea)และสมอง(brain)ของมนษยไดเชน
เดยวกน[7-9]
จากการศกษางานวจยในอดตทเกยวของกบโครงสราง
เปลอกบางทมความสมมาตรตามแนวแกนไดแกงานวจย
ของ Spotts [10], Langhaar [11], Horvay และ
คณะ[12],TimoshenkoและKrieger[13],Flügge[14], Goldenveiser[15],และKraus[16]จะพบวาบางสวน
ของงานวจยเหลานจะใชวธการวเคราะห (analytical
method) ในการแกปญหา แตวธการนจะสามารถใชได
เฉพาะโครงสรางเปลอกบางทเปนปญหาอยางงายๆ แต
สำาหรบโครงสรางเปลอกบางทมความซบซอนสวนมากจะ
นยมเลอกใชวธการเชงตวเลขมาแกปญหาดงกลาวเชนวธ
ผลตางสบเนอง(finitedifferencemethod),วธไฟไนต
เอลเมนต,วธยงเปาและวธการบาวดารอนทกรล เปนตน
โดยเฉพาะอยางยงสำาหรบวธไฟไนตเอลเมนตซงเปนวธท
กำาลงไดรบความนยมในการแกปญหาทางดานวศวกรรม
ในปจจบน อาทเชน งานวจยของ Peshkam และ
Delpak[17,18]ซงไดทำาการพฒนาวธการวเคราะหโดย
การแปรผนเพอศกษาพฤตกรรมแบบไมเปนเชงเสนของ
โครงสรางเปลอกบางทหมนรอบแกน(rotationalshells)
โดยทสมการจะอาศยหลกการแปรผนกำาลงสองของสมการ
พลงงานศกยรวมและใชวธไฟไนตเอลเมนตในการแก
ปญหา และในงานวจยของ Polat และ Calayir [19]
ไดนำาเสนอสมการสำาหรบใชในการตรวจสอบโครงสราง
เปลอกบางโดยอาศยหลกการของวธโททอลลากรองจ
(total Lagrangian approach) และใชวธอนทเกรต
โดยตรงของนวมารค (Newmark integration) และ
กระบวนการนวตน-ราฟสนในการหาคำาตอบเชงตวเลข
สำาหรบงานวจยทเกยวของกบโครงสรางเปลอกบางท
นำามาใชในงานทางดานวศวกรรมนอกชายฝงถกนำาเสนอ
โดยWillsonและคณะ[20]โดยทำาการศกษาโครงสราง
เปลอกบางรปทรงหวงยาง (toroidal shell) ตดตงอย
ในทะเล ซงลกษณะของโครงสรางประเภทนคอจะไมม
การตดกนรอบแกนหมน (axis of revolution) ตอมา
RoylesและLlambias [21] ไดทำาการศกษาความเปน
ไปไดสำาหรบการตดตงถงรบแรงดนทบรรจปโตรเลยมเหลว
(LNG) ซงวางอยใตนำา หลงจากนน Yasuzawa [22]
ไดทำาการศกษาโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม
ทมความสมมาตรตามแนวแกนตดตงในนำาโดยใชทฤษฎ
เมมเบรนในการวเคราะห ซงจะพบวาคาการเสยรปและ
คาความเคนของเมมเบรนจะมคาสมำาเสมอตลอดแนวเสน
เมอรรเดยนยกเวนตรงบรเวณฐานรองรบ
สำาหรบวตถประสงคของงานวจยในครงนคอเพอนำา
เสนอถงผลตอบสนองทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชงเสน
ของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดแบบครงทรงกลมทม
ความสมมาตรตามแนวแกนรองรบแรงดนนำาสถตแบบ
เชงเสน โดยในการศกษาครงนจะรวมผลของคาการเสย
รปและการหมนทมขนาดใหญเขาไปในสมการซงลกษณะ
ปญหาดงกลาวจะสามารถเขยนไดในรปแบบการแปรผน
(variationalform)โดยใชทฤษฎของเชลล[1]และเขยน
ในรปแบบทเหมาะสม[23]ซงจะสะดวกในแกปญหาแบบ
ไมเปนเชงเสนและลดเวลาทใชในการคำานวณลง การ
เสยรปทางสถตศาสตรของโครงสรางเปลอกบางสามารถ
คำานวณไดโดยใชหลกการของงานเสมอน [24] และวธ
ไฟไนตเอลเมนต สำาหรบระบบสมการแบบไมเปนเชงเสน
สามารถแกไดโดยใชวธกระบวนการทำาซำา (iterative
process) โดยทการเสยรปของโครงสรางเปลอกบางเมอ
รบแรงดนนำาสถตแบบเชงเสนเปนสงทตองคำานวณหา
2. สมมตฐ�นทใชในก�รวเคร�ะห 2.1วสดของโครงสรางเปลอกบางมคณสมบตยดหยน
แบบเชงเสน(linearlyelastic)
2.2ความหนาของโครงสรางเปลอกบางมคาคงทและ
ไมมการเปลยนแปลงทงกอนและหลงการเสยรป
242 วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
2.3นำาหนกของโครงสรางเปลอกบางจะสมมตวามคา
นอยมากเมอเปรยบเทยบกบคาแรงดนสถตของนำาจงไมนำา
มาพจารณา
2.4 เงอนไขของฐานรองรบจะสมมตใหเปนแบบยด
หมนและยดแนนอยางสมบรณแบบทบรเวณพนทะเล
3. รปทรงเรข�คณตของโครงสร�งเปลอกบ�ง กำาหนดใหX, Y, Zคอระบบพกดฉาก (rectangularcoordinate)และSคอพนผวอางองของโครงสรางเปลอกบางทตำาแหนงกงกลางของความหนา (middle surface)
ดงแสดงในรปท 1 ซงสามารถนยามไดดวยสมการ
X = X (x,y),Y = Y (x,y)และZ = Z (x,y)เมอ(x,y) คอคาพารามเตอรของพนผว(surfaceparameters)โดย
วดตามแนวเสนพกดเมอรรเดยนและเสนพกดลองจจด
ตามลำาดบ สำาหรบกรณทพนผวมความสมมาตรตามแนว
แกนจะเกดการเปลยนแปลงเฉพาะเสนเมอรรเดยนเทานน
ดงนนเมอกำาหนดใหตำาแหนงจดใดๆบนพนผวSจงสามารถนยามไดดวยสมการเวคเตอร และเวคเตอร
ระบตำาแหนง จะสามารถนยามไดโดยใชรศมของวงกลม
ในแนวขนานrดงสมการ
(1)
n
yr
xrx
y
x ydr r dx r dy
P
+=r
ij
k
ri
Z
Y
rX
แกนสมมาตร
ทศทางในแนวลองจจด
พนผวอางอง (S)
ทศทางในแนวเมอรรเดยน
วงกลมในแนวขนาน
รปท 1พนผวอางองของโครงสรางเปลอกบาง
เมอr = r(x)และz = z(x)โดยทผลรวมเชงอนพนธของความยาวชนสวน สามารถหาไดดงสมการ
(2)
ในทนตวหอย x และ y แสดงถงอนพนธยอยตามแนวระบบพกดของโครงสรางเปลอกบาง ดงนนความยาวของ
ชนสวนdsสามารถหาไดจากสมการ
(3)
จากหลกการเรขาคณตเชงอนพนธ(differentialgeometry)
จะไดวารปแบบพนฐานอนดบหนง (first fundamental
form)ของพนผวอางองSจะสามารถแสดงสวนประกอบของเมตรกซเทนเซอร (metric tensor) ไดดงสมการตอ
ไปน
243วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
(4)
(5)
(6)
และรปแบบพนฐานอนดบสอง (second fundamental
form)ของพนผวอางองSแสดงสวนประกอบของเมตรกซ ความโคง(metriccurvature)ไดดงสมการตอไปน
(7)
(8)
(9)
เมอ คอเวคเตอรในแนวตงฉากกบพนผวอางองSซงจะมคา โดยท
และคาความโคงหลก(principalcurvatures) ของพน
ผวอางอง S สามารถหาไดดงสมการ
(10)
ในกรณของโครงสรางเปลอกบางทมความสมมาตรตาม
แนวแกนจะพบวาเสนโคงหลกจะซอนทบกบเสนพกด
แสดงวาคาF = f = 0ดงนนจากสมการท(10)จะไดคาความโคงหลกκ1 = e / Eและκ2 = g / G
4. ก�รเสยรปของโครงสร�งเปลอกบ�ง เมอโครงสรางเปลอกบางเกดการเสยรปจะทำาใหพนผว
อางอง S เคลอนทไปยงพนผวทตำาแหนงใหม S* ดงนน
เวคเตอรระบตำาแหนง บนพนผวทเกดการเสยรป S*
โดยอางองจากตำาแหนงของเวคเตอรระบตำาแหนง บน
พนผวทอางองSทตำาแหนงเดยวกนคอ
(11)
เมอ คอเวคเตอรของระยะการเสยรปจากพนผวอางอง
SไปยงพนผวทเกดการเสยรปS*
u คอคาการเสยรปตามแนวสมผสกบเสนเมอรรเดยน wคอคาการเสยรปในแนวตงฉากกบเสนเมอรรเดยน
กำาหนดให และ ดงนน และ
สามารถเขยนไดดงน
(12)
(13)
สำาหรบสวนประกอบของเมตรกซเทนเซอรของพนผวทเสย
รปS*สามารถแสดงไดดงสมการตอไปน
(14)
(15)
(16)
xrE
yrGds
n
*n*ds
r
q
R
Z
X
Y
พนผวทเสยรป (S*)
พนผวอางอง (S)
รปท 2การเสยรปและเวคเตอรระบตำาแหนงของโครงสราง
เปลอกบาง
244 วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
5. คว�มสมพนธระหว�งคว�มเครยดกบระยะก�ร เสยรป เมอพจารณาความยาวชนสวนใดๆ บนพนผวอางอง
S ซงมระยะdsจะสามารถคำานวณไดจากสมการ
(17)
เมอชนสวนเกดการเสยรปจะทำาใหระยะความยาวdsจะเปลยนเปนds*โดยสามารถคำานวณไดจากสมการ
(18)
ดงนนคาความเครยดของความยาวชนสวนในทศทางของ
ระบบพกดซงสามารถนยามไดจากการเปลยนแปลงความ
ยาวเวคเตอรของชนสวนในรปยกกำาลงสองเทยบกบความ
ยาวของชนสวนทสภาวะกอนการเสยรป[25]โดยเขยนใน
เทอมของเมตรกซเทนเซอรดงสมการตอไปน
(19)
(20)
ซงคาความเครยดดงกลาวขางตนนจะแตกตางจากคา
ความเครยดทางวศวกรรม(engineeringstrain)εeซง
จะมคาεe = (ds* / ds) - 1 ดงนนε = εe + (εe2 / 2)และ
เมอแทนคาจากสมการท (14) ถง (16) ลงไปในสมการ
ท (19) และ (20) จะไดสมการสำาหรบคำานวณหาคา
ความเครยดดงตอไปน
(21)
(22)
กำาหนดให {g}T = u w ux wx ดงนนคาความเครยดสามารถแบงออกไดเปนสองสวนคอสวนทเปนเชงเสนและ
ไมเปนเชงเสน โดยสามารถเขยนในรปแบบดชน (index
form)ไดดงน
(23)
เมอ และ คอเวคเตอรและเมตรกซสมมาตรตาม
ลำาดบ
6. พลงง�นคว�มเครยดของโครงสร�งเปลอกบ�ง พลงงานความเครยดUสำาหรบโครงสรางทมคณสมบต
ยดหยนแบบเชงเสนทวไปสามารถแสดงไดดงสมการ
(24)
ในทน (25)
เมอ [C′]คอเมตรกซคณสมบตของวสดโครงสรางเปลอก
บาง
t คอความหนาของโครงสรางเปลอกบาง
E′ คอโมดลสยดหยน
v คออตราสวนปวสซอง
สำาหรบพลงงานความเครยดUในสมการท(24)สามารถ
เขยนในรปแบบดชนไดดงสมการ
(26)
ในทนCij = Cjiดงนนเมอแทนคาจากสมการท(23)ลง
ไปในสมการท (26) จะไดสมการสำาหรบคำานวณหาคา
ความเครยดดงตอไปน
(27)
เมอ , และ คอฟงกชนในเทอมของ{g} ซงมดกรกำาลงสอง, กำาลงสาม, และกำาลงส ตามลำาดบ
ดงนนคาพลงงานความเครยดสามารถเขยนไดในรปแบบท
เหมาะสม[23]ดงสมการ
(28)
245วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
ในทน (29)
(30)
(31)
จากสมการท(29)ถง(31)จะพบวาเมตรกซk,n1และ
n2 เปนเมตรกซสมมาตร และการแปรผนของพลงงาน
ความเครยดδUสามารถคำานวณไดจากสมการ
(32)
7. ง�นเสมอนทเกดจ�กแรงดนนำ�สถตแบบเชงเสน แรงดนนำาสถตแบบเชงเสนทกระทำาในแนวตงฉาก
กบพนผวของโครงสรางเปลอกบางสามารถคำานวณไดดง
สมการ
pw = ρwgZw (33)
เมอρw คอคาความหนาแนนของนำาทะเล
g คอคาแรงโนมถวงของโลก
Zw คอระยะในแนวดงวดจากระดบผวนำาทะเล
ดงนนงานเสมอนเนองจากแรงดนนำาสถตแบบเชงเสนδΩ
สามารถคำานวณไดจากสมการ
(34)
เนองจาก pw เปนคาแรงดนนำาซงเปนแรงไมอนรกษ
(nonconservative force) ตดตามการเสยรปคอใน
ทศทางตงฉากกบโครงสรางตลอดเวลาตามหลกการของ
งานเสมอน(virtualworkหรอvirtualdisplacement)
ในการพจารณา δΩ เปนการพจารณาการแปรเปลยน
การเคลอนทδwดงนนจงไมจำาเปนตองพจารณาการแปร
เปลยนของpwหรอδpw
8. ผลรวมของง�นเสมอนผลรวมของงานเสมอนสำาหรบระบบโครงสรางเปลอกบาง
ไดมาจากการรวมผลการแปรผนของพลงงานความเครยด
และงานเสมอนเนองจากแรงดนนำาสถตแบบเชงเสน ซง
สามารถแสดงไดดงสมการ
(35)
ดงนนเมอแทนคาจากสมการท (32)และ (34)ลงไปใน
สมการท(35)จะสามารถแสดงไดดงน
(36)
จากสมการขางตนจะพบวาสมการดงกลาวเขยนอยในรป
ของเทอมไรมตคอนขางสงซงมความยงยากซบซอนในการ
คำานวณหาคาผลเฉลยแมนตรงดงนนจงมความจำาเปนตอง
ใชวธไฟไนตเอลเมนตในการหาผลลพธเชงตวเลข
9. วธไฟไนตเอลเมนต ในการแกปญหาโดยใชวธไฟไนตเอลเมนต จะตอง
ทำาการแบงโครงสรางเปลอกบางออกเปนชนสวนยอยๆ
ตามแนวพกด x ดงแสดงในรปท 3 ดงนนเมอพจารณา
ชนสวนใดๆ จะไดวาคาการประมาณคาการเคลอนท ณ
จดตางๆ บนชนสวนยอยจะสามารถทำาไดโดยการกำาหนด
ใหแตละจดขวของชนสวนยอยมดกรอสระเทากบ4และ
ใชฟงกชนโพลโนเมยลอนดบทสาม (cubic polynomial)
เปนฟงกชนการเคลอนทเพอหาฟงกชนรปราง (shape
functions) และประมาณคาการเสยรปในแนวสมผส u และแนวตงฉากwดงสมการ
{g} = [ѱ]{d} (37)
ในทน{d}T = u(0) w(0) ux(0) wx(0) u(α) w(α) ux(0) wx(α) (38)
246 วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
เมอ{g}คอเวคเตอรการเคลอนททจดตอ [ѱ] คอเมตรกซฟงกชนรปรางโพลโนเมยลอนดบทสาม {d} คอเวคเตอรของดกรอสระทจดตอ
ดงนนเมอแทนคาสมการท(37)ลงไปในสมการท(36)จะ
สามารถแสดงไดดงน
ri
k1xx
2x
Z
w
u
r
φα
(39)
รปท 3ชนสวนทวไปและระยะพกด
ในทน (40)
เนองจากดกรอสระเฉพาะท(localdegreeoffreedom)
{d} เหมอนกบดกรอสระรวม(globaldegreeoffree-dom) {Q} ดงนนผลรวมของงานเสมอนสำาหรบระบบโครงสรางเปลอกบางสามารถรวมไดโดยตรงโดยใชสมการ
ท(39)ซงจะสามารถแสดงไดดงน
(41)
เนองจากโครงสรางเปลอกบางทมความสมมาตรตาม
แนวแกนถกนำามาพจารณา ดงนนเงอนไขขอบเขตท
ตำาแหนงบนสดของโครงสรางเปลอกบางจะมคาดงน
u = 0, wx = 0 (42)
สำาหรบเงอนไขทบรเวณฐานรองรบจะพจารณาใหเปนแบบ
ยดหมนอยางสมบรณแบบทบรเวณพนทะเลโดยกำาหนดให
u = 0, w = 0 (43)
สำาหรบเงอนไขทบรเวณฐานรองรบจะพจารณาใหเปนแบบ
ยดแนนอยางสมบรณแบบทบรเวณพนทะเลโดยกำาหนดให
u = 0, w = 0, wx = 0 (44)
โดยทระบบสมการไมเปนเชงเสนดงแสดงในสมการท
(41)จะตองทำาการกำาหนดเงอนไขขอบเขตเนองจากความ
สมมาตรตามแนวแกนจากสมการท(42)พรอมทงเงอนไข
ของฐานรองรบจากสมการท(43)หรอ(44)จงจะสามารถ
คำานวนหาผลลพธเชงตวเลขไดดวยวธกระบวนการทำาซำา
(iterativeprocedure)
10. ตวอย�งก�รวเคร�ะหและผลลพธเชงตวเลข ในการนำาเสนอสมการไฟไนตเอลเมนตของทฤษฎของ
โครงสรางเปลอกบางไรแรงดด(membraneshelltheory)
จงไดมการศกษาถงพฤตกรรมของโครงสรางเปลอกบาง
แบบครงทรงกลมทมความสมมาตรตามแนวแกนตดตงใน
ทะเลลกดงแสดงในรปท4ซงลกษณะของปญหาดงกลาว
สามารถคำานวณหาคำาตอบเชงตวเลขไดโดยการประยกต
ใชโปรแกรมคอมพวเตอรของ Goan [26] และทำาการ
ดดแปลงกระบวนในการแกปญหาโดยเลอกใชตวแปรอสระ
เปนพกดในการแกปญหาดวยวธไฟไนตเอลเมนตและใน
การตรวจสอบความถกตองของโปรแกรมคอมพวเตอรจะ
ทำาไดโดยการเปรยบเทยบกบสตรของRoark[27]สำาหรบ
กรณทโครงสรางเปลอกบางแบบทรงกลมรบแรงดนภายใน
และภายนอกแบบสมำาเสมอคงทคอ
(45)
เมอpคอคาแรงดนคงท
247วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
w wgZρ
0Z
Z
wZ
dx
H
x a
S.W.L.
r
กำาหนดใหแรงดนภายในคงทมคา 0.5 เมกะปาสคาลและ
คณสมบตของโครงสรางเปลอกบางสำาหรบการคำานวณใน
ครงนจะใชขอมลดงแสดงในตารางท 1 ซงพบวาคาทได
ตรงกนดงแสดงในตารางท 2 และจากนนทำาการทดสอบ
คาการคำานวณเพอหาคาจำานวนชนสวนยอยทมความ
เหมาะสม โดยทำาการแบงชนสวนยอยตรงบรเวณฐาน
รองรบออกเปน 2 และ 3 ชนสวนยอย จะไดผลลพธ
ดงแสดงรปท 5 และ 6 พบวาการแบงจำานวนชนสวน
ยอยจะสงผลโดยตรงตอระยะการเสยรปในแนวเสนสมผส
และแนวตงฉาก โดยเฉพาะอยางยงตรงบรเวณใกลกบ
ฐานรองรบเนองจากการแบงจำานวนชนทมความละเอยด
จะเกดการเสยรปสงกวา อยางไรกตามคาการเสยรป
รปท4โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมความสมมาตร
ตามแนวแกนตดตงในทะเลลก
ในแนวตงฉากของโครงสรางในตำาแหนงปลายบนสด
(x = 0 เรเดยน) จะพบวามความแตกตางกนคอรอยละ 2.246 และ 2.940 สำาหรบกรณโครงสรางทแบงชน
สวนยอยตรงบรเวณฐานรองรบออกเปน 2 และ 3 ชน
สวนยอยตามลำาดบ เมอเปรยบเทยบกบโครงสรางทไมม
การแบงชนสวนยอยตรงบรเวณฐานรองรบ และเมอ
ทำาการแบงจำานวนชนสวนยอยออกเปน 4 ชนสวนยอย
ตรงบรเวณฐานรองรบจะไมสามารถคำานวณหาคำาตอบได
เนองจากผลทไดจากวธกระบวนการทำาซำาไมสามารถลเขา
คำาตอบไดดงนนในงานวจยชนนจงไดกำาหนดใหใชจำานวน
ของชนสวนยอยทมความยาวของชนสวนเทากนหมด
โดยไมมการแบงชนสวนยอยตรงบรเวณฐานรองรบ
2.04×1011 นวตน/เมตร2
เมตรเมตรเมตรกโลกรม/เมตร3
โมดลสยดหยนอตราสวนปวสซองความลกของระดบนำทะเลรศมของโครงสรางเปลอกบางความหนาของโครงสรางเปลอกบางความหนาแนนของนำทะเล
0.30405
0.201025
รายการ สญลกษณ ปรมาณ หนวยE'
v
H
a
t
ρw
ต�ร�งท 1ขอมลและคณสมบตทใชในการวเคราะห
248 วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
ต�ร�งท 2ผลการเปรยบเทยบระยะการเสยรปในแนวตงฉากของโครงสรางเปลอกบางแบบทรงกลม
รบแรงดนภายในคงทคอ0.5เมกะปาสคาล
0(เรเดยน)
π/2 π
x(เรเดยน)
สตรของ Roark [27](เมตร)
งานวจยน(รอยละ)
0.1072300.1072300.107230
0.1072670.1072300.107194
-0.0345050
0.033573
ความแตกตาง
0 2 4 6 8-12
-8
-4
0
4
ไมมการแบงชนสวนยอยทฐานรองรบแบงชนสวนยอยทฐานรองรอบจำนวน 2 ชนแบงชนสวนยอยทฐานรองรอบจำนวน 3 ชน
ระยะทางตามแนวเมอรรเดยน, s (เมตร)
การเส
ยรปใ
นแนว
สมผส
, u (x
10-6 เ
มตร)
0 2 4 6 8
100
0
-100
-200
-300
ไมมการแบงชนสวนยอยทฐานรองรบแบงชนสวนยอยทฐานรองรอบจำนวน 2 ชนแบงชนสวนยอยทฐานรองรอบจำนวน 3 ชน
ระยะทางตามแนวเมอรรเดยน, s (เมตร)
การเส
ยรปใ
นแนว
ตงฉา
ก, w
(x10-6 เ
มตร)
รปท 5การลเขาคำาตอบของผลการเสยรปในแนวสมผสของโครงสราง
เปลอกบางแบบครงทรงกลมเมอมการแบงชนสวนยอยทฐานรองรบ
รปท 6การลเขาคำาตอบของผลการเสยรปในแนวตงฉากของโครงสรางเปลอก
บางแบบครงทรงกลมเมอมการแบงชนสวนยอยทฐานรองรบ
249วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
จากขอมลทแสดงในตารางท1จะทำาการศกษาผลตอบ
สนองทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชงเสนของโครงสราง
เปลอกบางแบบครงทรงกลมทมความสมมาตรตามแนว
แกนตดตงในทะเลลก โดยทำาการแปรเปลยนเงอนไขของ
ฐานรองรบ, คาอตราสวนความลกของระดบนำาทะเลตอ
ความยาวรศมของโครงสรางเปลอกบาง, และอตราสวน
ความยาวรศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบาง ซง
จะมรายละเอยดดงตอไปน
10.1 ผลของเงอนไขฐ�นรองรบของโครงสร�งเปลอก
บ�งทมตอโครงสร�งเปลอกบ�งแบบครงทรงกลม
รปท 7 แสดงรปรางของโครงสรางเปลอกบาง
แบบครงทรงกลมทสภาวะกอนและหลงการเสยรปโดย
มการเปลยนแปลงเงอนไขของฐานรองรบจะพบวาคา
ระยะการเสยรปมคาใกลเคยงกนทงสองเงอนไขของฐาน
รองรบแตจะมความแตกตางกนอยางเหนไดชดตรงบรเวณ
ใกลกบฐานรองรบเนองจากโครงสรางเปลอกบางทใชใน
การวเคราะหจะคดคาพลงงานความเครยดในเทอมของ
เมมเบรนเพยงเทานน สำาหรบคาพลงงานความเครยดใน
เทอมของแรงดดซงไมไดนำามาพจารณาในการศกษาครงน
จงทำาใหผลของโครงสรางเปลอกบางทมฐานรองรบแบบ
ยดแนนมคาการเสยรปมากกวาโครงสรางเปลอกบางทม
ฐานรองรบแบบยดหมนซงสามารถดไดจากรปท8และ
9 ซงจะแสดงผลการเปรยบเทยบระยะการเสยรปในแนว
สมผสและแนวตงฉากกบระยะทางตามแนวเมอรรเดยน
ของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม และเมอ
ทำาการพจารณาใหโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม
รบแรงดนคงทโดยสมมตใหไมมการเปลยนแปลงคาของ
แรงดนตามระดบความลกของระดบนำาซงในทนจะกำาหนด
ใหใชคาแรงดนคงทมคาเทากบคาแรงดนนำาตรงบรเวณ
ตำาแหนงของฐานรองรบจะพบวามความแตกตางกนอยาง
ชดเจนดงในแสดงในรปท 7 ถง 9 ทงสองเงอนไขของ
ฐานรองรบดงนนในการพจารณาผลกระทบของแรงดนนำา
ทแปรเปลยนตามความลกจะพบวาใหคาทมความถกตอง
ตวคณขยายระยะการเสยรป = 25006
5
4
3
2
1
0
แรงดนนำแบบคงทแรงดนนำแบบไมคงท
ฐานรองรบแบบยดแนนฐานรองรบแบบยดหมนรปรางกอนการเสยรป
ระยะทางตามแนวรศม, r (เมตร)
ระยะ
ทางต
ามแน
วดง,
Z (เม
ตร)
0 1 2 3 4 5 6
รปท 7รปรางของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมท
สภาวะกอนและหลงการเสยรป
250 วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
6420
-2-4-6-8
-10
ระยะทางตามแนวเมอรรเดยน, s (เมตร)
การเส
ยรปใ
นแนว
สมผส
, u (x
10-6 เ
มตร)
0 2 4 6 8
แรงดนนำแบบคงทแรงดนนำแบบไมคงท
ฐานรองรบแบบยดแนนฐานรองรบแบบยดหมน
รปท 8 เปรยบเทยบผลการเสยรปในแนวสมผสของโครงสรางเปลอกบาง
แบบครงทรงกลมเมอชนดของฐานรองรบตางกน
200
-20-40-60-80
-100-120-140
ระยะทางตามแนวเมอรรเดยน, s (เมตร)
การเส
ยรปใ
นแนว
ตงฉา
ก, w
(x10-6 เ
มตร)
0 2 4 6 8
แรงดนนำแบบคงทแรงดนนำแบบไมคงท
ฐานรองรบแบบยดแนนฐานรองรบแบบยดหมน
รปท 9 เปรยบเทยบผลการเสยรปในแนวตงฉากของโครงสรางเปลอกบาง
แบบครงทรงกลมเมอชนดของฐานรองรบตางกน
ในทางทฤษฎเมมเบรนสำาหรบโครงสรางเปลอก
บาง(thinshell)ทใชเงอนไขทจดรองรบวาu = w = wx = 0 เปนจรงตามนน แตในการใชงานจรงและในการคำานวณ
เชงตวเลขการใชเงอนไขwx = 0 จะทำาใหเกดปญหาไมสามารถใชงานจรงในทางปฏบตและผลการคำานวณเชง
ตวเลขไมเปนทยอมรบ โดยจะมรายละเอยดแสดงในรปท
10 ซงจากผลการคำานวณการใชฐานรองรบแบบยดแนน
(fixedsupport)นนคอu = w = wx = 0จะมผลดกวาในเชงทฤษฎและสามารถนำาไปใชไดในทางปฏบตดงเชน
การออกแบบทรองรบของโครงสรางเปลอกบางทวๆ ไป
ทตรงบรเวณฐานรองรบจะมความหนาเพมขนกวาบรเวณ
อนๆ เพอปองกนไมใหเกดการเสยรปมากจนโครงสราง
เสยเสถยรภาพ
251วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
ระยะทางตามแนวรศม, r (เมตร)
ตวคณขยายระยะการเสยรป = 2500
0 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
0
ระยะ
ทางต
ามแน
วดง,
Z (เม
ตร)
รปรางกอนการเสยรปจดตอ (Node)จดเกาส (Gauss)
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
ระยะทางตามแนวรศม, r (เมตร)
ตวคณขยายระยะการเสยรป = 2500
ระยะ
ทางต
ามแน
วดง,
Z (เม
ตร)
รปรางกอนการเสยรปจดตอ (Node)จดเกาส (Gauss)
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
ระยะทางตามแนวรศม, r (เมตร)
ตวคณขยายระยะการเสยรป = 2500
ระยะ
ทางต
ามแน
วดง,
Z (เม
ตร)
รปรางกอนการเสยรปจดตอ (Node)จดเกาส (Gauss)
ก)สำาหรบฐานรองรบทมเงอนไขwx ≠ 0
ข)สำาหรบฐานรองรบทมเงอนไขwx = 0 ค)สำาหรบฐานรองรบทมเงอนไขwx = 0และความหนา ของชนสวนยอยบรเวณฐานรองรบมความหนาเปน
สองเทาของชนสวนอนๆ
รปท 10รปขยายบรเวณฐานรองรบสำาหรบผลของการใชเงอนไขสำาหรบฐานรองรบทมความแตกตางกน
252 วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
10.2 ผลของอตร�สวนคว�มลกของระดบนำ�ทะเลตอ
คว�มย�วรศมของโครงสร�งเปลอกบ�งทมตอโครงสร�ง
เปลอกบ�งแบบครงทรงกลมทมฐ�นรองรบแบบยดแนน
ในกรณน ขอมลและคณสมบตของโครงสราง
เปลอกบางแบบครงทรงกลมทใชในการคำานวณไดแสดง
ไวในตารางท 1 โดยททำาการปรบเปลยนคาอตราสวน
ความลกของระดบนำาทะเลตอความยาวรศมของโครงสราง
เปลอกบางจาก8ถง40เพอศกษาผลกระทบของความ
ลกของระดบนำาทะเลทมตอโครงสรางเปลอกบางแบบ
ครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบยดแนน ซงจากผลการ
วเคราะหจะพบวาระยะการเสยรปของโครงสรางเปลอก
บางแบบครงทรงกลมจะมคาเพมสงขนเมอคาความลกของ
ระดบนำาทะเลมคาสงขนดงแสดงในรปท11และ12
0 2 4 6 8-10
-5
0
5
10
15H/a = 8H/a = 16H/a = 24H/a = 32H/a = 40
ระยะทางตามแนวเมอรรเดยน, s (เมตร)
การเส
ยรปใ
นแนว
สมผส
, u (x
10-6 เ
มตร)
0 2 4 6 8-800
-600
-400
-200
0
200
H/a = 8H/a = 16H/a = 24H/a = 32H/a = 40
ระยะทางตามแนวเมอรรเดยน, s (เมตร)
การเส
ยรปใ
นแนว
ตงฉา
ก, w
(x10-6 เ
มตร)
รปท 11ผลของการแปรเปลยนระดบนำาทะเลตอระยะการเสยรปในแนว
สมผสของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบ
แบบยดแนน
รปท 12ผลของการแปรเปลยนระดบนำาทะเลตอระยะการเสยรปในแนว
ตงฉากของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบ
ยดแนน
253วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
10.3 ผลของอตร�สวนคว�มย�วรศมตอคว�มหน�
ของโครงสร�งเปลอกบ�งทมตอโครงสร�งเปลอกบ�ง
แบบครงทรงกลมทมฐ�นรองรบแบบยดแนน
สำาหรบการศกษาผลกระทบของอตราสวนความ
ยาวรศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางทมตอ
โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบ
แบบยดแนน ซงในกรณนจะใชขอมลและคณสมบตของ
โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม ดงแสดงไวใน
ตารางท 1 โดยททำาการปรบเปลยนคาอตราสวนความ
ยาวรศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางจาก 25
ถง200ซงผลการวเคราะหจะพบวาระยะการเสยรปของ
โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมจะมคาเพมสงขน
เมอคาอตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงสราง
เปลอกบางมคาสงขนดงแสดงในรปท13และ14
0 2 4 6 8-80
-60
-40
-20
0
20
a/t = 25a/t = 50a/t = 100a/t = 150a/t = 200
ระยะทางตามแนวเมอรรเดยน, s (เมตร)
การเส
ยรปใ
นแนว
สมผส
, u (x
10-6 เ
มตร)
0 2 4 6 8-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
a/t = 25a/t = 50a/t = 100a/t = 150a/t = 200
ระยะทางตามแนวเมอรรเดยน, s (เมตร)
การเส
ยรปใ
นแนว
ตงฉา
ก, w
(x10-4 เ
มตร)
รปท 13ผลของการแปรเปลยนความหนาตอระยะการเสยรปในแนวสมผส
ของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบยดแนน
รปท 14ผลของการแปรเปลยนความหนาตอระยะการเสยรปในแนวตงฉาก
ของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบยดแนน
254 วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
11. สรปผลก�รศกษ� การศกษาผลตอบสนองทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชง
เสนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด แบบครงทรงกลม
ทมความสมมาตรตามแนวแกนรองรบแรงดนนำาสถตแบบ
เชงเสน ซงปญหาสามารถเขยนไดในรปแบบการแปรผน
และใชวธไฟไนตเอลเมนตในการคำานวณการเสยรปทาง
สถตศาสตรของโครงสรางเปลอกบางสามารถสรปไดดงน
1.ผลของการเปลยนแปลงเงอนไขฐานรองรบของ
โครงสรางเปลอกบางทมตอโครงสรางเปลอกบางแบบครง
ทรงกลมจะสงผลสงตรงบรเวณตำาแหนงของฐานรองรบซง
จะพบวากรณทโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทม
ฐานรองรบแบบยดแนนจะเสยรปมากกวากรณทโครงสราง
เปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบยดหมน
2.ความลกของระดบนำาทะเลและอตราสวนความยาว
รศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางจะสงผลกระ
ทบโดยตรงตอระยะการเสยรปของโครงสรางเปลอกบาง
แบบครงทรงกลม
12. กตตกรรมประก�ศ ผวจยในลำาดบท1และ2ใครขอขอบคณสำานกงาน
กองทนสนบสนนการวจยและมหาวทยาลยเทคโนโลย-
พระจอมเกลาธนบรสำาหรบโครงการปรญญาเอกกาญจนา-
ภเษก(สญญาเลขทPHD/0134/2552)ทไดสนบสนนทน
สำาหรบงานวจยในครงนจนงานวจยสำาเรจลลวงไปดวยด
13. เอกส�รอ�งอง 1.Langhaar,H.L.,1964,Foundations of Practical
Shell Analysis, Department of Theoretical and
AppliedMechanics,UniversityofIllinoisatUrbana-
Champaign,Illinois.
2.Yang, T., and Kapania, R., 1983, “Shell
ElementsforCoolingTowerAnalysis”,Journal of
Engineering Mechanics,Vol.109,No.5,pp.1270-
1289.
3.Jianping, P., and Harik, I.E., 1992, “Axi-
symmetricGeneralShellsandJointedShellsof
Revolution”,Journal of Structural Engineering,Vol.
118,No.11,pp.3186-3202.
4.Toyota,K.,Yasuzawa,Y.,andKagawa,K.,
2002,“HydroelasticResponseAnalysisofaLarge
UnderwaterShellofRevolution”,Proceedings of the
12th International Offshore and Polar Engineering
Conference, 26-31May, Kitakyushu, Japan, pp.
456-463.
5.Huang,T.,2002,“AConceptofDeepWater
AxisymmetricShellStorageContainerEquatorially
Anchored”,Proceedings of the 12th International
Offshore and Polar Engineering Conference,26-31
May,Kitakyushu,Japan,OralPresentation.
6.Grigolyuk,E.I.,andLopanitsyn,Y.A.,2002,“The Axisymmetric Postbuckling Behaviour of
Shallow Spherical Domes”, Journal of Applied
Mathematics and Mechanics,Vol.66,No.4,pp.
605-616.
7.Bisarnsin,T.,1983,Predicting the Effects of
Radial Keratotomy,DoctorofPhilosophyDissertation,
CivilEngineeringProgram,TheUniversityofTexas
atArlington,157p.
8.Chen,L.,1984,Large Displacement Analysis
of an Ellipsoid Shell Subjected to an Imposed
Displacement Along Equator,MasterofEngineering
Thesis,CivilEngineeringProgram,TheUniversity
ofTexasatArlington,137p.
9.Yeh,H.L.,1990,A 3-D Model Predicting the
Effects of Radial Keratotomy,DoctorofPhilosophy Dissertation, Civil Engineering Program, The
UniversityofTexasatArlington,172p.
10.Spotts,M.F.,1939,“AnalysisofSpherical
Shells of Variable Wall Thickness”, Journal of
Applied Mechanics,Vol.61,pp.A97-A102.
11.Langhaar, H.L., 1949, “A Strain Energy
Expression for Thin Elastic Shells”, Journal of
Applied Mechanics,Vol.16,No.2,pp.183-189.
12.Horvay, G., Linkous, C., and Born, J.S.,
1956, “Analysis of Short thin Shells Under
AxisymmetricalEdgeLoading”,Journal of Applied
255วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557
Mechanics,Vol.23,pp.68-72.
13.Timoshenko,S.,andKrieger,S.W.,1959,
Theory of Plates and Shell, McGraw-Hill, New
York. 14.Flügge, W., 1960, Stresses in Shells,
Springer-Verlag,Berlin.
15.Goldenveiser,A.L., 1961,Theory of Thin
Elastic Shells,PergamonPress,Oxford.
16.Kraus,H.,1967,Thin Elastic Shell,John
Wiley&Sons,NewYork.
17.Delpak, R., and Peshkam, V., 1991, “A
VariationalApproachtoGeometricallyNon-LinearAnalysis of Asymmetrically Loaded Rotational
Shells–I.TheoryandFormulation”,Computers
and Structures,Vol.39,No.3-4,pp.317-326.
18.Peshkam, V., and Delpak, R., 1993, “A
VariationalApproachtoGeometricallyNon-LinearAnalysis of Asymmetrically Loaded Rotational
Shells–II.FiniteElementApplication”,Computers
and Structures,Vol.46,No.1,pp.1-11.
19.Polat,C.,andCalayir,Y.,2010,“Nonlinear
StaticandDynamicAnalysisofShellsofRevolution”,
Mechanics Research Communications,Vol.37,No.
2,pp.205-209.
20.Wilson,E.L.,Hsueh,T.M.,andJones,l.R.,
1971,“NonlinearAnalysisofDeepOceanStruc-
tures”,Proceedings of the 1971 Symposium of
the International Association for Shell Structures
Pacific Symposium Part 1,pp.457-474.
21.Royles,R.,andLlambias,J.M.,1984,“Storage Aspects of Liquid Gases Underwater and the
StructuralImplications”,Proceedings International
Symposium on Transport and Storage of LPG and
LNG,Vol.2,pp.55-72.
22.Yasuzawa,Y.,1993,“StructuralResponseof
UnderwaterHalfDropShapedShell”,Proceedings of the 3rd International Offshore and Polar
Engineering Conference, 6-11 June, Singapore,
pp.475-481.
23.Rajasekaran,S.,andMurray,D.W.,1973,
“IncrementalFiniteElementMatrices”,Journal of
the Structural Division,Vol.99,No.12,pp.2423-
2438.
24.Langhaar,H.L.,1962,Energy Methods in
Applied Mechanics,JohnWiley&Sons,NewYork.
25.Mase,G.T.,andMase,G.E.,1999,Continuum
Mechanics for Engineers, 2nd ed., CRC Press,
Florida,pp.116-120.
26.Goan,L.A.,2000,An Analysis of an Axi-
symmetrical Closed Shell Subjected to Equatorial
Pull with Application to Accommodation of the
Crystalline Lens,DoctorofPhilosophyDissertation,
CivilEngineeringProgram,TheUniversityofTexas
atArlington,206p. 27.Young, W.C., and Budynas RG., 2002,
Roark’s Formulas for Stress and Strain,7thed.,
McGraw-Hill,NewYork.