ใบความรชดทบทวน ( ก)

คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรชดทบทวน ก ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนนำ�เข�สบทเรยน

ในชวตประจำาวนของเรา ถาอานหนงสอพมพ ฟงวทย หรอดโทรทศนจะไดยนหรอไดเหนตวอยางของสถตอยบอยครง เปนตนวา - ปรมาณฝนตกในกรงเทพมหานครในเดอนตลาคมมปรมาณเฉลย 50 มลลเมตร - ในป พ.ศ. 2536 ทงประเทศมผออกเสยงเลอกตงผแทนราษฎรเฉลย 64 % ในการประกอบธรกจหรอการบรหารงานของรฐบาลมกจะตองมการวางแผนจงจำาปนตองมการรวบรวมขอเทจจรงตางๆเพอนำาไปประกอบการตดสนใจ ขอเทจจรงทรวบรวมมาในตอนแรกซงเรยกวา “ ขอมลดบ ” มกจะมลกษณะ ไมเปนระเบยบและยงไมปรากฎใหเหนอยางชดเจน วธการทจะชวยจดการใหขอมลดบเหลานอยในรปทเปนระเบยบมองเหนสงทตองการอยางชดเจนพรอมทจะนำาไปประกอบการตดสนใจคอวธการทเรยกวา “ วธก�รท�งสถต ” วช�สถต ตรงกบภาษาองกฤษวา “ STATISTICS” ซงมความหมาย 2 อยางคอ

1. หมายถงตวเลขหรอกลมของตวเลขทแสดงขอเทจจรงเกยวกบเรองใดเรองหนง เชน

สถตเกยวกบการเกดการตายของประชากรในประเทศไทย , สถตเกยวกบการเกดอคคภย เปนตน

2. หมายถงวชาทเปนทงวทยาศาสตรและศลปะวาดวยการศกษา เกยวกบเรองตอไปน

- การเกบรวบรวมขอมล (collection of data ) - การนำาเสนอขอมล ( presentation of data )- การวเคราะหขอมล ( analysis of data )- การตความหมายขอมล ( interpretation of data )

เราจะศกษาความหมายของสถตในความหมายท 2 สำาหรบหวขอการเกบรวบรวมขอมลและการนำาเสนอขอมลนนนกเรยนจะไดศกษาในวชา ค 33101(คณตศาสตรพนฐาน) สวนการวเคราะหขอมลและการตความหมายของขอมลจะศกษาในวชา ค 33201 (คณตศาสตรเพมเตม) ซงนกเรยนจะไดศกษาตอไปน

ก�รแจกแจงคว�มถของขอมล ( frequency distribution of data)

ก�รแจกแจงคว�มถ (frequency distribution) คอการจดขอมลสถต (จำานวนมาก)

ใหเปนหมวดหม (grouped data )เพอความเปนระเบยบเรยบรอยสะดวกในการวเคราะหขอมลและเหมาะสมในการหาคาสถตขนสงตอไป จากขอมลซงเปนคะแนนสอบวชาคณตศาสตร ของนกเรยน 20 คน ในโรงเรยนแหงหนงเปนดงน84,61,80,65,72,80,85,64,90,79,76,65,73,70,85,75,62,89,62,93จะเหนวาคะแนนดบขางบนนยงไมสะดวกในการพจารณาคาทางสถต เพอใหสะดวกยงขนจงนำาขอมลเหลานมาปรบปรงใหมซงกระทำาได 2 วธคอ

1. จดเรยงขอมลจากมากไปหานอยหรอจากนอยไปหามากทำาใหเหนความแตกตางของคะแนนไดคอ 93,90,89,85,85,84,80,80,79,76,75,73,72,70,65,65,64,62,62,61 ซงลกษณะเชนนเรยกวาขอมลทไมไดแจกแจงความถ ถ�มขอมลจำ�นวนม�ก จะทำาใหเสยเวลาและการคำานวณคาสถตกไมสะดวก เพอใหสะดวกจะตองใชวธท 2 คอ

2. การสรางตารางแจกแจงความถ ในลกษณะวชาสถต ตวแปร(variable) หมายถงลกษณะทวๆไปของขอมลทเราจะศกษา โดยทวไปใช X เปนสญลกษณ เชน ตามขอมลทยกตวอยางขางตน ตวแปร X ใชแทนคะแนนสอบ ซงมคะแนนเตม 100 คะแนนซงคะแนนสอบทเปนไปไดคอ 0,1,2,3,………,100 ในเชงวชาสถตเรยกคะแนนเหลานวา “ ค�ทเปนไปได ” และคะแนนทนกเรยนแตละคนทำาไดดงปรากฎในตวอยางนเรยกวา ค�จ�กก�ร“สงเกต ” จากตารางแจกแจงความถตอไปนตอไปน ใชประกอบคำาอธบายคำาศพททสำาคญอนตรภา

คชนรอยขด

ความถ

ขอบลาง

ขอบบน

ขดจำากดลาง

ขดจำากดบน

จดกงกลางชน

61-67 6 60.5

67.5

61 67 64

68-74 3 67.5

74.5

68 74 71

75-81 5 74.5

81.5

75 81 78

82-88 3 81.5

88.5

82 88 85

89-95 3 88. 95. 89 95 92

5 5N=20

* *

คำ�ศพททสำ�คญ1. อนตรภาคชน (class interval ) คอแตละชนของคะแนน เชน

จากตารางม 5 อนตรภาคชน2. รอยขด คอคาจากการสงเกตในแตละอนตรภาคชน (ไมมกได)3. ความถ (frequency) ใชสญลกษณ f คอจำานวนครงทคาจาก

การสงเกตปรากฎในขอมล (ผลรวมของรอยขด) ถาไมมขอมลห�มใสเลข “0”ลงไป ใหใชเครองหม�ย แทน– 4. ขอบลาง (lower boundary) คอคากงกลางระหวางคาทนอย

ทสดของชนนนกบคาทมากทสดของชนรองลงไป เชน ขอบลางของอนตรภาคชน 75-81 คอ

5. ขอบบน (upper boundary) คอคากงกลางระหวางคาทมากทสดของชนนนกบคาทนอยทสดของชนถดไป เชน ขอบบนของอนตรภาคชน 75-81 คอ

หมายเหต เพอความสะดวกและรวดเรว การหาขอบบนและขอบลาง-ถาขอมลเปนจำานวนเตม เชน อนตรภาคชน 68-74 ขอบลางจะลดลงจากคาตำาสด 0.5 คอ 67.5ขอบบนจะเพมจากคาสงสด 0.5 คอ 74.5-ถาขอมลเปนทศนยม เชน อนตรภาคชน 2.0 – 4.9 ขอบลางและขอบบนจะลดและเพม 0.05 จะไดขอบลางคอ 1.95 ขอบบนคอ 4.956. ขดจำากดบน(upper limit)และขดจำากดลาง(lower limit) คอคาทสงทสดและคาตำาทสดของอนตรภาคชนนนๆ เชน อนตรภาคชน 68-74 ขดจำากดลางคอ 68 และขดจำากดบนคอ 74

(*ในการคำานวณสวนมากจะไมคอยไดใช จะใชขอบบนและขอบลางเปนสวนมาก)7. ขนาดของอนตรภาคชน (size of class interval) ใชแทน

ดวยสญลกษณ I หรอ iคอ ความกวางของอนตรภาคชนหาไดจาก ผลตางของขอบบนกบขอบลางของอนตรภาคชนนนเชน ขนาดของอนตรภาคชน ชน 82 – 88 คอ 88.5-81.5 = 7 ตารางแจกแจงความถคาของ ขนาดของอนตรภาคอาจจะเทากนทกชนหรอไมเทากนกไดทงนขนอยกบลกษณะของขอมลแตโดยสวนมากจะมขนาดของอนตรภาคชนเทากนทกชน8. จดกงกลางชน (mid – point) คอคาเฉลยระหวางขอบบนและ

ขอบลางของชนนนๆ เชนจดกงกลางของขนาดอนตรภาคชน 82 – 88 คอ หรอเปนคาเฉลยระหวางขดจำากด-บนและขดจำากดลางของชนนนๆคอ หมายเหต เพอความสะดวกในการหาจดกงกลางชนใหหาชนแรกกอนแลวชนถดไปโดยการบวกดวยขนาดของอนตรภาคชน(I) เขาไป กจะไดจดกงกลางชนของอนตรภาคชนทถดไปเรอยๆ

9. N คอ จำานวนขอมล หรอ ผลรวมของความถทงหมด ( )

ใบความรชด ทบทวน (ข)คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรชดทบทวน ข ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน

ตวอยางท 1 ขอมลตอไปนเปนคะแนนสอบวชาคณตศาสตรซงมคะแนนเตม 70 คะแนนของนกเรยนจำานวน 30 คนดงน32,48,60,29,15,25,50,38,55,48,30,60,42,45,23,32,45,40,30,24,17,22,18,35,42,16,17,18,20,25จงสรางตารางแจกแจงความถของคะแนนทงหมดนเมอกำาหนด

ก. ใหมขนาดอนตรภาคชนเปน 10ขอสงเกตในการคำานวณไมใชกฎเกณฑตายตว

วธทำา ตองการให I=10 แทนคา

ตารางท 1 อนตรภาคชน

รอยขด ความถ

15-24 1025-34 735-44 545-54 555-64 3

N=30

นกเรยนจะเหนวา ตารางท 1 กบตารางท 2 มขนาดอนตรภาคเปน 10 ซงถอวาถกตองทงค แตเพอความสะดวกในการตรวจของครผสอนถาเปนไปไดควรเรมตนจากขอมลทมคาตำาสดจากคาสงเกตขอควรระวง การหาความถของอนตรภาคชนสดทายนกเรยนอย�เอาจำานวนขอมลทงหมดตงแลว

ตารางท 2อนตรภาคชน

รอยขด

ความถ

13-22 823-32 933-42 543-52 553-62 3

หรอ

ลบดวยผลรวมของความถทหามาไดเหลอเทาไรเปนความถของชนสดทาย เพราะบางครงความถของชนอนๆอาจจะผด นกเรยนทมคว�มละเอยดรอบคอบจะ“ส�ม�รถเรยนวช�สถตไดด”

ข. ตองการใหม 8 อนตรภาคชนวธทำา จาก

ใหนกเรยนเตมสวนทขาดอยในตารางใหครบ

ค. เมอโจทยกำาหนดจดกงกลางชนใหปน 18,25,32,……………

วธทำา ใหดำาเนนการดงน 1. หาขนาดของอนตรภาคชนจากผลตางของจดกงกลางชนทอยตดกน (25 - 18 = 7) 2.

ใหนกเรยนเตมสวนทขาดอยในตารางใหครบหมายเหต เมอนกเรยนทำาจนชำานาญแลวชองรอยขดไมจำาเปนตองมกได

อนตรภาคชน

รอยขด ความถ

15-20 721-2627-3233-3839-4445-5051-5657-62

N=

อนตรภาคชน

รอยขด ความถ

จดกงกลาง

ชน15-21 7 1822-2829-3536-4243-4950-5657-63

N=

จากตารางแจกแจงความถตอไปน เปนจำานวนผปวยในเขตเทศบาล จำาแนกตามระยะเวลาการปวยป พ.ศ. 2520

จากตารางจะเหนวาอนตรภาคชนแรกไมมขอบลางและอนตรภาคชนสดทายไมมขอบน ลกษณะทคาจากการสงเกตมคาตำาหรอสงเกนไปบางครงอาจจะไมมขอบลางหรอขอบบนลกษณะเชนนรยกวา“อนตรภ�คชนเปด(open-end class interval)”- ถ�คาจากการสงเกตเปนทศนยม การสรางตารางแจกแจงความถกเหมอนกบคาจาการสงเกตทเปนจำานวนเตม เชนจากขอมลตอไปน 2.5,5.4,2.2,16.2,17.9,19.07.2,5.9,3.7,18.8,7.9,9.1,10.2,12.0,15.9,13.5,15.7,22.017.3ตองการใหม 7 อนตรภาคชนหา

อนตรภาคชน

ความถ

ขอบลาง

ขอบบน จดกงกลาง

ชน2.2-5.0 3 2.15 5.05 3.605.1-7.9 4 5.05 7.95 6.50

8.0-

ระยะเวลาการปวย

จำานวนผปวย

นอยกวา 8 วน

441,250

8-14 วน 50,65015-28 วน 12,56029-42 วน 8,72043 วนขน 22,110

ทมา : สำานกงานสถตแหงชาต

10.810.9-13.713.8-16.616.7-19.519.6-22.4

N=

ใหนกเรยนเตมสวนทขาดอยในตารางใหครบ

ใบความรชดทบทวน (ค)คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรชดทบทวน ค ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอหรอครผสอนก�รแจกแจงคว�มถสะสม (cummulative frequency distribution)

คว�มถสะสม (cummulative frequency) ใชสญลกษณ ” cuf” ของอนตรภาคชนใดๆคอผลรวมของความถของอนตรภาคชนนนๆกบความถของอนตรภาคชนทตำากวาหรอสงกวาทงหมดการแจกแจงความถสะสมกระทำาได 2 วธคอ

ก. เรยงจากขอมลนอยไปหามาก โดยการรวมความถของอนตรภาชนตำาสดตอเนองไปยง

อนตรภาคชนสงสดข. เรยงจากขอมลมากไปหานอย โดยการรวมความถของอนต

ราคชนสงสดตอเนองไปยงอนตรภาคชนตำาสด

หมายเหต ในการศกษาเรองนสวนมากจะนยมใชแบบ (ก)จากตวอยางท 1(ก) เขยนตารางแจกแจงความถสะสมไดดงน

จะกลาวไดวาความถสะสมของอนตรภาคชนใดคอตวเลขทบอกใหเราทราบวามคาในขอมลจำานวนเทาใดทมคานอยกวาขอบบนของอนตรภาคชนนนจากตาราง ผทไดคะแนนนอยกวา 34.5 ม 17 คน , ผทไดคะแนนนอยกวา 54.5 ม 27 คน เปนตนก�รแจกแจงคว�มถสมพทธ (relative frequency distribution )

คว�มถสมพทธ (relative frequency ) ของอนตรภาคชนใดๆคออตราสวนระหวางความถของอนตรภาคชนนนๆกบผลรวมของความถทงหมด ซงจะแสดงในรปเศษสวน ทศนยม หรอรอยละกไดซงเปนจำานวนทบอกใหเราทราบวาความถของอนตรภาคชนนนมมากนอยเพยงใดเมอเทยบกบผลรวมของความถทงหมด

รอยละคว�มถสมพทธ = ความถสมพทธ 100จากตวอยางท 1 (ก) เขยนตารางแจกแจงความถสมพทธไดดงน และใหนกเรยนเตมตวเลขใหครบในตารางแจกแจงความถ

อนตรภาคชน

ความถ

ความถสะสม(ก)

ความถสะสม(ข)

15-24 10 10 3025-34 7 17 2035-44 5 22 1345-54 5 27 855-64 3 30 3

N=30

ก.นอยไปหามาก

ข.มากไปหานอย

จากตารางบอกไดวานกเรยนทสอบไดคะแนนชวง 15 – 24 คะแนน มอย 33 %ของนกเรยนทงหมด นกเรยนทสอบไดคะแนนชวง 25 – 34 คะแนน มอย 23 %ของนกเรยนทงหมด เปนตนก�รแจกแจงคว�มถสะสมสมพทธ ( relative cummulation frequency distribution)

คว�มถสะสมสมพทธ ( relative cummulation frequency ) ของอนตรภาคชนใดๆคอ อตราสวนระหวางความถสะสมของอนตรภาคชนนนกบผลรวมของความถทงหมดซงจะเปนเศษสวน หรอ ทศนยม กไดซงจะเปนคาทบอกใหเราทราบวาอนตรภาคชนนนมความถสะสมมากหรอนอยเพยงใดเมอเทยบกบผลรวมของความถทงหมด

รอยละคว�มถสะสมสมพทธ = ความถสะสมสมพทธ 100

อนตรภาคชน

ความถ

ความถสมพทธ

รอยละความถสมพทธ

15-24 10 0.33 100 = 33

25-34 7 0.23 100 = 23

35-44 5

45-54 5

55-64 3

จากตวอยางท 1 (ก) เขยนตารางแจกแจงความถสะสมสมพทธไดดงน และใหนกเรยนเตมตวเลขใหครบในตารางแจกแจงความถ

จากตาราง บอกไดวามนกเรยนทสอบไดคะแนนตำากวา 24.5 คะแนน จำานวน 33 %ของนกเรยนทงหมด และบอกไดวามนกเรยนทสอบไดคะแนนตำากวา 34.5 คะแนน จำานวน 57 % ของจำานวนนกเรยนทงหมด

อนตรภาคชน

ความถ

ความถสะสม

ความถสะสมสมพทธ

รอยละความถสะสมสมพทธ

15-24 10 10 0.33 100 = 33

25-34 7 17 0.57 100 = 57

35-44 5

45-54 5

ใบความรชดทบทวน (ง)คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรชดทบทวน ง ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนก�รแจกแจงคว�มถโดยใชกร�ฟ

เพอใหเหนความสมพนธหรอการกระจายของขอมลไดอยางเดนชดยงกวาตารางแจกแจงความถ จะใชการเขยนกราฟแสดง ซงมวธแสดงโดยใชกราฟ 4 วธคอ

1 . ฮสโทแกรม (histoqram ) คอกราฟทแสดงในลกษณะแผนภมแทงรปสเหลยผนผาเรยงตอเนองกนบนแกนนอน โดยความกวางเทากบขนาดของอนตรภาคชน ความยาวเทากบความถซงมวธเขยนได 2 วธดงน

วธท 1 1. เขยนจดกงกลางชนของแตละอนตรภาคชนลงบนแกนนอน2. ลากเสนตงฉากกบแกนนอนทแตละจดกงกลางชนตามขอ (

1 ) ใหมความสงเทากบความถของแตละอนตรภาคชน

3. จากจดกงกลางชนแตละจดวดระยะไปทางซายและขวาเทากบครงหนงของขนาดอนตรภาคชน ลากเสนตงฉากทจดทงสองใหสงเทากบความถแลวโยงปลายเสนทงสองจะเกดสเหลยมผนผาทตองการ

วธท 21. หาขอบลางและขอบบนของแตละอนตรภาคชนแลวเขยนลง

บนแกนนอน2. ลากเสนตงฉากกบแกนนอนทจดซงแสดงขอบลางและขอบ

บนตามขนาดของความถ

แลวเชอมเสนทจดยอด2. รปหล�ยเหลยมของคว�มถ (frequency polyqon ) คอกราฟทเกดจากการโยงเสน

เชอมจดกงกลางชนดานบนของแตละแทงของฮสโทแกรมตอเนองกน โดยแทงรมสดซาย-ขวาจะโยงเชอมกนถดไปทางซายและขวาบนแกนนอนซงถอวาจดทงสองนไมมความถ 3. เสนโคงของคว�มถ (frequency curve ) คอกราฟทเกดจากการปรบรปหลาย เหลยมของความถใหเปนรปเสนโคงเรยบ ทงนตองพยายามทำาพนทภายใตเสนโคงใหใกลเคยงกบพนทของรปหลายเหลยมของความถ และจากกราาฟนสามารถหาความถโดยประมาณของอนตรภาคชนใดๆ โดยลากเสนจากจดกงกลางของอนตรภาคชนบนแกนนอนขนานกบแกนตงไปตดเสนโคงแลวลากจากเสนจากจดตดใหขนานกบแกนนอนไปยงแกนตง กจะอานคาความถไดโดยประมาณ

4. เสนโคงของคว�มถสะสม ( cummulative frequency curve )หรอโอจฟ(ogive)

ถาใหระยะบนแกนนอนแทนคา ขอบบน-ขอบลาง แกนตงแทนความถสะสม แตละจดประกอบดวยคลำาดบซงมคาขอบบนเปนสมาชกตวทหนง ความถสะสมเปนสมาชกตวทสอง แลวเขยนเสนโคงเรยบ โดยเรมจากจดซงเปนคาขอบลางสดไปถงจดซงเปนคลำาดบสดทาย จะไดเสนโคงของความถสะสมตวอยางท 2 จากตารางแจกแจงความถเปนการสอบวชาสถตของนกเรยนชน ม.6 จำานวน 40 คนจงสราง ก. ฮสโทแกรม ข. รปหลายเหลยมของควมถ ค. เสนโคงของความถ ง. เสนโคงของความถสะสม

อนตรภาคชน

ความถ ความถสะสม

41-60 6 661-80 10 16

81-100 12 28101-120

7 35

121- 3 38

ความถ

50.5 70.5 90.5 110.5 130.5 150.5

( วธท 1 )

ความถ

40 40.5 60.5 80.5 100.5

120.5 140.5 160.5

1412108642

คะแน

ฮสโทแกรปหลายเหลยมของความถ

โคงของความถ

รปหลายเหลยมของความถ

( วธท 2 ) ความถสะสม

40.5 60.5 80.5 100.5 120.5 140.5 160.5จากเสนโคงความถสะสมนเราอาจใชสำารวจวา มจำานวนนกเรยนจำานวนเทาไรทไดคะแนนตำากวากำาหนดหรอสงกวากำาหนด เชน คะแนนวชาสถต ม.6 เตม 160 คะแนน ถาตองการทราบวามกคนไดคะแนนสงกวารอยละ 60 (96 คะแนน) หรอมกคนทไดคะแนนตำากวา เราสามารถทราบไดจากการลากเสนตงฉากกบแกนนอนทจด (96,0) ไปพบเสนโคง ณ จดทลากเสนขนานกบแกนนอนไปพบกบแกนความถสะสม(แกนตง) อานคาความถจะไดวามนกเรยนประมาณ 26 คนทไดคะแนนตำากวา 60 % หรอสงกวา 60 % มอยประมาณ 14 คน

ใบความรชดทบทวน จคำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรชดทบทวน จ ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน

คะแน

40

302620

คะแน

ฮสโทแก โคงของความถ

1412108642

โคงความถ

จากขอมล 31,24,43,43,21,28,37,35,25,56,29,31,52,26,55,39,35,74,46,33จะสราง Histogram โดยใช Microsoft Excelขนตอนในก�รดำ�เนนก�ร1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก B1 ถง B20

2. หาคาสงสดโดยเลอกท B22 โดยพมพคำาสง = MAX (B1:B20) จะได 74 และบวกอก 0.5 เพอใหเปนจด Ending ของอนตรภาคชนสงสด = 74.5 ไวท D22 3. หาคาตำาสดโดยเลอกท B23 พมพ = MIN(B1:B20) จะได 21 ลบออก 0.5 เพอใหเปนจด Starting ของอนตรภาคชนตำาสด = 20.5 ไวท D234. หาจำานวนอนตรภาคชน จากสตร k = 1+ 3.3 * log n โดยเลอกท B24

6. พมพคาตำาสดของอตรภาคชนแรกคอ 20.5 ท D1 และท D2 พมพ = D1+11 จะได 31.5จาก D2 copy ไปจนถง D6 จะไดตวเลข 31.5 42.5 53.5 64.5 75.57. หาความถสะสมโดยท E1 พมพ = FREQUENCY(B1:B20,D1)จะไดเทากบ 0 และท E2 พมพ= FREQUENCY(B1:B20,D2)

8. หาความถของแตละอนตรภาคชน โดยการเอาความถสะสมของอนตรภาคชนทถดลงมาลบออกท G2 พมพ = E2-E1 จะได 8 แลว copy ไปถง G 6

9. พมพชอของแตละอนตรภาคชนท F2 ถง F610. สราง Frequency histogram โดยเลอก F2:G6 แลวเลอกไอคอนChart wizard เลอก คอลมน แลวเลอกถดไปจนถงเสรจสน

11. เราอาจปรบแทงของ histogram ใหมสหรอสวนของขอมลตางๆ โดยการดบเบลคลกทแทงแลวเลอกสงทเราตองการปรบแตง

12. จดแทงใหชดกนโดยคลกขวาทแทงใดแทงหนง แลวเลอกจดรปแบบขอมล เลอกตวเลอกเลอก ระยะชองวาง