การเคลื่อนที่แบบ หมุน(Rotational Motion) · 2015-10-12 ·...
Transcript of การเคลื่อนที่แบบ หมุน(Rotational Motion) · 2015-10-12 ·...
การเคลื่อนทีแ่บบหมนุ (Rotational Motion)
วตัถุแขง็เกรง็ (rigid body) คอื วตัถุทีไ่มเ่ปลีย่นแปลงรปูรา่งและขนาด
ตลอดการเคลือ่นที่
ตวัอยา่ง เชน่ การหมนุของลกูขา่ง การหมนุของพดัลม เป็นตน้
1. จลศาสตรข์องการหมนุ
ถา้วตัถุมกีารหมนุรอบแกน z ตาํแหน่งเชงิมมุของวตัถุจะมกีาร
เปลีย่นแปลงไป (เมือ่ใชจ้ดุ p เป็นตวัแทนของวตัถุ) จะทาํใหเ้กดิการ
กระจดัเชงิมมุ (angular displacement) ในชว่งเวลา t
ขนาดความเรว็เชงิมมุเฉลีย่ ( average angular velocity )
ขนาดความเรว็เชงิมมุขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous angular velocity)
ขนาดความเรง่เชงิมมุเฉลีย่ (average angular acceleration)
ความเรง่เชงิมมุขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous angular acceleration)
ทศิของความเรง่เชงิมมุจะมี
ทศิเดยีวกบัความเรว็เชงิมมุ
เมือ่ความเรว็เชงิมมุเพิม่ขึน้
ทศิของความเรง่เชงิมมุจะมทีศิตรงกนัขา้มกบัความเรว็เชงิมมุเมือ่
ความเรว็เชงิมมุลดลง
2. การหมนุด้วยความเร่งเชิงมมุคงตวั
สมการการเคลือ่นทีแ่บบเสน้ตรง สมการการเคลือ่นทีแ่บบหมนุ
ตวัอย่างที่ 1 วงลอ้รถกาํลงัหมนุดว้ยความเรง่เชงิมมุคงที ่3.5 rad/s2
ถา้ทีเ่วลา t = 0 ความเรว็เชงิมมุของวงลอ้เทา่กบั 2.0 rad/s จงหา
ก. ภายในชว่งเวลา 2 วนิาท ี วงลอ้หมนุกวาดมมุไปไดเ้ทา่ใด
และหมนุไดก้ีร่อบ
ข. ความเรว็เชงิมมุของวงลอ้ทีเ่วลา t = 2 วนิาที
3. ความสมัพนัธร์ะหว่างตวัแปรเชิงเส้นและตวัแปรเชิงมมุ
ตวัอย่างที่ 2 โต๊ะตวัหนึ่งสามารถหมนุได ้ ถา้ขณะทีเ่ริม่พจิารณา โต๊ะ
กาํลงัหมนุดว้ยอตัราเรว็เชงิมมุ 33 รอบ/นาท ีและหลงัจากหมนุเป็น
เวลา 20 วนิาท ี จะหยดุนิ่ง
ก. ถา้สมมตใิหค้วามเรง่เชงิมมุของโต๊ะตวันี้มคีา่คงตวั จงหาความเรง่
เชงิมมุ
ข. โต๊ะตวันี้กวาดมมุไปเทา่ไร ก่อนจะหยดุนิ่ง
ค. ถา้รศัมขีองโต๊ะตวันี้เทา่กบั 14 cm จงหาขนาดของความเรง่ในแนว
สมัผสัและความเรง่สูศ่นูยก์ลางทีต่าํแหน่งขอบโต๊ะ ทีเ่วลา t = 0 วนิาที
4. พลงังานจลน์ของการหมนุและโมเมนตค์วามเฉื่อย
วตัถุแขง็เกรง็ทีเ่คลือ่นทีแ่บบหมนุรอบแกน
นิ่ง จะมพีลงังานจลน์ ซึง่พลงังานจลน์
ทัง้หมดจะเทา่กบัผลรวมของพลงังานจลน์
ของแต่ละอนุภาค
เรยีกเทอม วา่ โมเมนตค์วามเฉื่อย มหีน่วยเป็น kg.m2
พลงังานจลน์ของการหมนุ มหีน่วยเป็นจลู
สาํหรบักรณกีารหมนุของวตัถุทีม่กีารกระจายของมวลอยา่งต่อเนื่อง
วตัถุเชงิเสน้ทีม่คีวามหนาแน่นเชงิเสน้
วตัถุเชงิผวิทีม่คีวามหนาแน่นเชงิผวิ
และวตัถุเชงิปรมิาตรทีม่คีวามหนาแน่นเชงิปรมิาตร V
ตวัอย่างที่ 3 แทง่วตัถุเลก็ๆ มมีวล M และยาว L มพีืน้ทีห่น้าตดัและ
ความหนาแน่นสมํ่าเสมอ จะมโีมเมนตค์วามเฉื่อยเป็นเทา่ใด ถา้
ก. หมนุรอบแกนซึง่ผา่นปลายขา้งหนึ่งและตัง้ฉากกบัแทง่วตัถุนัน้
ข. หมนุรอบแกนซึง่ผา่นจดุกึง่กลางและตัง้ฉากกบัแทง่วตัถุนัน้
ตวัอย่างที่ 4 จงหาโมเมนตค์วามเฉื่อย
ของวตัถุรปูทรงกระบอกกลวงรอบแกนที่
เป็นแกนของทรงกระบอก โดยกาํหนดให้
ความหนาแน่นของทรงกระบอกคงที ่และ
ทรงกระบอกมมีวล M รศัมภีายใน R1 และ
รศัมภีายนอก R2
ตวัอย่างที่ 5 จงคาํนวณหาโมเมนตค์วาม
เฉื่อยของทรงกลมรศัม ีR มวล M รอบแกน
หมนุทีผ่า่นจดุศนูยก์ลางของทรงกลม
รศัมีไจเรชนั (radius of gyration, RK)
นิยามตามสมการ
ตวัอยา่ง รศัมไีจเรชนัของทรงกลมรอบแกนหมนุทีผ่า่นจดุศนูยก์ลางมวล
ตวัอยา่ง รศัมไีจเรชนัของทรงกระบอกตนัทีห่มนุรอบแกนของทรงกระบอก
5. ทฤษฎีบทแกนขนาน
“ โมเมนตค์วามเฉื่อยของวตัถุรอบแกนใดๆ มคีา่เทา่กบัโมเมนตค์วาม
เฉื่อยของวตัถุนัน้รอบแกนหมนุทีผ่า่นจดุศนูยก์ลางมวลและขนานกบั
แกนทีก่าํหนดใหบ้วกกบัผลคณูระหวา่งมวลของวตัถุนัน้กบักาํลงัสอง
ของระยะหา่งระหวา่งแกนขนานนัน้ ”
โดยที่ Icm คอื โมเมนตค์วามเฉื่อยของวตัถุมวล M รอบแกนที่
ผา่นจดุศนูยก์ลางมวล และ I เป็นโมเมนตค์วามเฉื่อยของวตัถุ
รอบแกนซึง่ขนานกนั และหา่งกนัเป็นระยะ h จะไดว้า่
2cmI I Mh
6. ทอรก์ (Torque)
ถา้มแีรงลพัธก์ระทาํต่อวตัถุไมผ่า่นจดุศนูยก์ลางมวลจะทาํใหว้ตัถุ
เกดิการหมนุ
นิยาม r F
ทศิทางของทอรก์เป็นไปตามกฎมอืขวา
t trF rma
2( )mr
I I
มหีน่วยเป็น N.m
7. งาน พลงังาน กาํลงั และทฤษฎีบทงาน - พลงังานจลน์
ของการหมนุ.dW F ds
งานทัง้หมดทีเ่กดิขึน้เมือ่มกีารเปลีย่นตาํแหน่งเชงิมมุเนื่องจากทอรก์
dW d
0
f
i
W
W dW d
ทฤษฎบีทงาน - พลงังานจลน์ สาํหรบัการหมนุf
i
W I d
kf ki kW E E E
กาํลงัของการหมนุ dt
dWP
8. โมเมนตมัเชิงมมุ (Angular Momentum)
นิยาม
ทศิทางของโมเมนตมัเชงิมมุ
เป็นไปตามกฎมอืขวา
L r p r mv
มหีน่วยเป็น kg.m2/s
“ อตัราการเปลีย่นแปลงโมเมนตมัเชงิมมุมคีา่เทา่กบัทอรก์ของแรงสทุธิ
ทีก่ระทาํกบัอนุภาค ”
( )dL r ma r Fdt
2( )i i i i i iL m r r m r
2( )i i iL L m r I
L I
กฎอนุรกัษ์โมเมนตมัเชงิมมุ
“ เมือ่ทอรก์ลพัธท์ีก่ระทาํกบัวตัถุเป็นศนูย์ โมเมนตมัเชงิมมุรวมของ
ระบบจะมคีา่คงตวั “
0dLdt
constantL
i i f fI I
9. การเคลื่อนที่แบบกลิ้ง (Rolling Motion)
การเลือ่นตาํแหน่ง + การหมนุ = การกลิง้
พลงังานจลน์ของการกลิ้ง
= พลงังานจลน์ของการเลือ่นตาํแหน่ง + พลงังานจลน์ของการหมนุ
โดยอาศยัทฤษฎบีทแกนขนาน 2MRIcm
2
2
1 PK IE
22
2
1
2
1 cmcmk IMvE
+++++++++ จบบท +++++++++
ตวัอย่างที่ 6 ทรงกระบอกตนัรศัม ีR มวล M หมนุไดอ้สิระรอบแกน
ของทรงกระบอกตามแนวระดบั ถา้มเีชอืกเสน้เลก็ ๆ และเบามากพนั
อยูร่อบผวิของทรงกระบอกนี้ โดยทีป่ลายหนึ่งผกูตรงึไวก้บัผวิของ
ทรงกระบอกอกีปลายหนึ่งหยอ่นลงขา้งลา่งและผกูกบัวตัถุมวล m แกน
หมนุอยูก่บัที ่เมือ่ปลอ่ยใหว้ตัถุเคลือ่นทีจ่ากหยดุนิ่ง จงหา
ก. ความเรง่เชงิมมุของการหมนุของทรงกระบอก
ข. ความเรง่เชงิเสน้ของมวล m
ค. งานทีก่ระทาํโดยทอรก์เมือ่ปลอ่ยใหว้ตัถุเคลือ่นทีเ่ป็นเวลา t
ง. โมเมนตมัเชงิมมุเมือ่เวลา t
ตวัอย่างที่ 7 ลอ้ตน้มวล 6 kg รศัม ี0.5 m หมนุไดร้อบแกนผา่น
ศนูยก์ลางมวลและขนานกบัแนวราบ มเีชอืกพาดลอ้นี้และมกีอ้นมวล 4
และ 3 kg ถ่วงปลายเชอืกปลายละกอ้น จงหา
ก. พลงังานจลน์ทัง้หมดเมือ่เคลือ่นทีจ่ากหยดุนิ่งไปได ้5 วนิาที
ข. ความตงึในเสน้เชอืก
ตวัอย่างที่ 8 วตัถุเลก็ๆ กอ้นหนึ่งมมีวล m ผกูตดิกบัปลายเชอืกเลก็ๆ
และเบาซึง่สอดผา่นทอ่ของหลอดรปูทรงกระบอกกลวง แลว้แกวง่ให้
หมนุเป็นวงกลมตามแนวระดบัดว้ยรศัม ีr1 และอตัราเรว็คงที ่v1 เมือ่ดงึ
เชอืกลงทนัททีาํใหร้ศัมวีงกลมลดลงเป็น r2 จงหาอตัราเรว็เชงิเสน้และ
อตัราเรว็เชงิมมุของวตัถุในขณะมรีศัม ีr2 ในเทอมของ r1 , v1 และ r2
ตวัอย่างที่ 9 วตัถุกลมมมีวล M และรศัมไีจเรชนั k (อาจเป็นลอ้หรอื
วตัถุทรงกลม) กลิง้ลงตามพืน้เอยีง AB เริม่ตน้จากหยดุนิ่งทีจ่ดุ A ดงัรปู
เมือ่ถงึจดุ B วตัถุจะมอีตัราเรว็เชงิเสน้เป็นเทา่ใด
A
C B
h