บทที่ 3

วิธีดําเนินการวิจัย

การวิจัยเชิงปฏิบัติการในชั้นเรียนเพื่อ การพัฒนาการเรียนรูเร่ืองจํานวนเชิงซอน ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 โรงเรียนนวมินทราชูทิศ พายัพ ผูวิจัยดําเนินการตามลําดับขั้นตอน ดังนี้ 1. กําหนดนวัตกรรมการสอนมโนมติเร่ืองจํานวนเชิงซอน 2. กําหนดรูปแบบการวิจัย 3. กําหนดกลุมเปาหมาย 4. สรางเครื่องมือการวิจัย 5. ดําเนินการรวบรวมขอมูล

กําหนดนวัตกรรมการสอนมโนมติเรื่องจํานวนเชิงซอน นวัตกรรมการสอนมโนมติเร่ืองจํานวนเชิงซอนของแตละเนื้อหา เปนดังนี้ 1. เร่ือง จํานวนจินตภาพ นําเสนอมโนมติของจํานวนจินตภาพโดยใหนักเรียนพิจารณาจากกราฟที่กําหนดใหในรูปของจุดบนระนาบ กอนที่จะนําเสนอสัญลักษณในรูป คูอันดับ และรูป bia + ดังนี้ (3 , 2) = 3 + 2 i ภาพ 5 กราฟแสดงจํานวนจินตภาพ 3 + 2i

1 2 3

1 2 • K (3 , 2)

0

26

2. เร่ืองการบวก ลบ คูณและหารจํานวนจินตภาพ นําเสนอมโนมติโดยการทบทวนหลักการบวก ลบ คูณ และหารพหุนาม กอนจะนําเสนอมโนมติการบวก ลบ คูณ และหารจํานวนจินตภาพ โดยนําเสนอทีละมโนมติ และอาศัยโจทยที่มีความใกลเคียงกันทั้งตัวเลข

สัญลักษณ และตําแหนงของตัวเลขหรือสัญลักษณ เชน การหาผลบวกของพหุนาม (2 + 3x) +

(3 + 4x) กับการหาผลบวกของจํานวนจินตภาพ (2 + 3i) + (3 + 4i) เปนตน นอกจากนี้ใหนักเรียนศึกษาคุณสมบัติทางพีชคณิตเชน การเทากัน การสลับที่ และการเปลี่ยนกลุม โดยพิจารณาจากการทํากิจกรรมที่กําหนด เชน หาผลลัพธของ (3 + 4i) + (2 + 5i) และ (2 + 5i) + (3 + 4i) ซ่ึงนักเรียนจะไดผลลัพธที่เทากัน เปนตน 3. เร่ือง รากที่ n ของจํานวนเชิงซอน นําเสนอมโนมติโดยเริ่มจากการหารากที่ 2 รากที่ 3 รากที่ 4 ที่ตรวจสอบไดโดยนิยาม แลวแสดงคําตอบของรากที่ 2 รากที่ 3 และรากที่ 4 ของจํานวนที่กําหนดดวยกราฟ ในการเสนอมโนมติของรากที่ 2 รากที่ 3 และรากที่ 4 นั้นจะเสนอทีละมโนมติ จากนั้นใชคําถามโดยดูกราฟประกอบเพื่อใหไดขอสรุปของทุกมโนมติ เชน รากที่ 3 แบงมุมภายในวงกลมเปน 3 มุม มีเวกเตอรคําตอบทั้งหมด 3 เวกเตอร และ จุดปลายของเวกเตอรคืออะไร เปนตน เมื่อไดขอสรุปจากการหารากที่ 2 รากที่ 3 และรากที่ 4 แลวใชคําถามเพื่อนําไปสูขอสรุปรากที่ n ของจํานวนจริง จากนั้นนําเสนอมโนมติรากที่ 2 รากที่ 3 และรากที่ 4 ของจํานวนจริงที่นักเรียนรูคําตอบแลว ใหอยูในรูปตรีโกณมิติ โดยใชคําถามและอาศัย

กราฟประกอบ เชน รากที่สามของ 1 คือ 1 , i23

21 + และ i

23

21 −−

ภาพ 6 กราฟแสดงรากที่สามของ 1

จากกราฟ จะไดวา 1 = oo 00 sinicos + , i23

21 + = oo 120120 sinicos + และ

1

i2

3

2

1+

i2

3

2

1−−

กราฟ แสดงรากที่สามของ 1

27

i23

21 −− = oo 240240 sinicos + ตอมานําเสนอมโนมติ รากที่ n ของจํานวนเชิงซอน

โดยเริ่มจากการทบทวนรากที่สามของ 8 และใหทฤษฎีบทกลับของเดอมัวร ใหนักเรียนตรวจสอบ รากที่สามของ 8 กับ ทฤษฎีบทที่ให แลวใหนักเรียนนําทฤษฎีไปใชหารากที่ n ของจํานวนเชิงซอนอื่น ๆ 4. เร่ือง จํานวนเชิงซอน รูปเชิงขั้วและการหาคา nz ใชวิธีการสอนโดยการทบทวนจํานวนจริงและจํานวนจินตภาพแลวคอยกลาวถึงจํานวนเชิงซอน โดยใหนิยามของจํานวนเชิงซอนเชนเดียวกับ สุนทร ชนะกอก (2528, หนา 91) ที่กลาววา จํานวนเชิงซอน (Complex numbers) เปนจํานวนที่เกิดจากการรวมเอาจํานวนจริงกับจํานวนจินตภาพเขาดวยกัน หรืออาจใหความหมายไดวาเปนจํานวนที่สามารถแสดงไดดวยตัวเลขในรูป bia + โดยท่ี b,a เปนจํานวนจริงทั้งคู และ i ยกกําลังสองได -1 ทํานองเดียวกันกับจํานวนจินตภาพ แตตางกันที่จํานวนเชิงซอนไมมีเงื่อนไขวา b ไมมีคาเปนศูนย นั่นคือ ในรูป bia + นั้น ถา 0b = ก็จะเหลือแต a ซ่ึงเปนสวนจริง ไดวา bia + เปนจํานวนจริง เมื่อ 0b = หรือเรียกวาเปนจํานวนเชิงซอนก็ได และถา 0b ≠ ก็จะไดวา bia + เปนจํานวนจินตภาพ หรืออาจเรียกวาเปนจํานวนเชิงซอน สวนเรื่องรูปเชิงขั้วใชวิธีการสอนโดยใชกราฟ แลวใชคําถามเพื่อนําไปสูการหารูป เชิงขั้วของจํานวนเชิงซอน เชน การเขียนรูปเชิงขั้วของ 1 + i3

ภาพ 7 กราฟแสดงจํานวนเชิงซอน 1 + i3 ใชคําถามเพื่อหาความยาวของเวกเตอร PG คาของ θsin และคา θcos ซ่ึงไดวารูปเชิงขั้วของ

1 + 3 i = 2( i23

21 + ) = 2 ( cos 60o+ sini 60o) สวนการหาคา nz ของจํานวนเชิงซอน

ใชวิธีการสอนโดยการใหนักเรียนทําหาคาของ [r(cosθ + i sinθ)]2 สรุปสูตรแลวนําไปใชกับการ

หาคา 4) i3 ( +

• G (1 + i3 )

θ p

28

5. เร่ือง สังยุคและขนาดของจํานวนเชิงซอน นําเสนอมโนมติของสังยุค โดยการใชเวกเตอรแสดงจํานวนเชิงซอน (3 , 2) อาศัยหลักการสะทอนของจุดและเวกเตอรซ่ึงมีแกนจริงเปนแกนสะทอน เชน สังยุคของ 3 + 2 i

ภาพ 8 กราฟแสดงสังยุคของ 3 + 2i สวนการหาขนาดของจํานวนเชิงซอน 3+2i นําเสนอมโนมติโดยอาศัยการหาขนาดของเวกเตอรที่ใชแสดงจํานวนเชิงซอน (3 , 2) 6. เร่ือง รากที่สองของจํานวนเชิงซอนและสมการพหุนาม ใชวิธีการนําเสนอ

มโนมต ิโดยการใหสูตรรากที่ 2 ของ z = a + bi คือ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+

+±

22ariar เมื่อ b≥ 0 หรือ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−

+±

22ariar เมื่อ b < 0 ใหนักเรียนหารากที่ 2 ของ 1- i3 โดยใชสูตร แลวให

ตรวจสอบโดยการยกกําลังหรือใชทฤษฎีบทของเดอมัวร กอนที่แนะนําการใชสูตรดังกลาวกับการหารากที่ 2 ของจํานวนเชิงซอนอื่นๆ สวนการนําเสนอมโนมติคําตอบของสมการพหุนามดีกรีสองนั้น เร่ิมจากการทบทวนการหาคําตอบสมการกําลังสองโดยวิธีการใชสูตรที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว จากนั้นหาคําตอบของสมการพหุนามดีกรีสูงกวาสอง เร่ิมการสอนจากการใหทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ แลวทดสอบการใชทฤษฎีกับการหาคําตอบของสมการพหุนามที่นักเรียนรูคําตอบอยูแลว พรอมกับทบทวนการแยกตัวประกอบ พหุนามไปดวยกัน

3 + 2 i

3 - 2 i

0 สังยุคของ 3 +2 i คือ 3 – 2 i ii 2323 −=+

29

กําหนดรูปแบบการวิจัย การวิจัยเชิงปฏิบัติการในชั้นเรียนครั้งนี้ใชรูปแบบการวิจัยเชิงปฏิบัติการในชั้นเรียน ของ Kemmis and Mc Taggart (อางในผองพรรณ ตรัยมงคลกูล, 2544, หนา 33) ดังนี้ 1. วางแผน (Plan) 2. ปฏิบัติตามแผนและสังเกตผลการปฏิบัติ (Act and Observe) 3. สะทอนความคิด (Reflect)

ภาพ 9 วงจรการวิจัยเชิงปฏิบัติการในชั้นเรียนของ Kemmis and Mc Taggart

กําหนดกลุมเปาหมาย กลุมเปาหมายที่ใชในการวิจัยคร้ังนี้คือ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5/4 โรงเรียน นวมินทราชูทิศ พายัพ จังหวัดเชียงใหม ภาคเรียนที่ 2 ปการศึกษา 2550 จํานวน 43 คน

สรางเครื่องมือการวิจัย ผูวิจัยไดดําเนินการสรางเครื่องมือวิจัยโดยลําดับตามขั้นตอน ดังนี ้ 1. รวบรวมเนื้อหาและวิธีการสอนมโนมติของจํานวนเชิงซอนโดยการนําเสนอผานกราฟ 2. สรางแผนการจัดการเรียนรูเร่ืองจํานวนเชิงซอนจํานวน 20 คาบ คาบละ 50 นาที ซ่ึงประกอบดวย จุดประสงคการเรียนรู การวิเคราะหโครงสรางเนื้อหา การวิเคราะหผูเรียน วิธี การนําเสนอ ส่ือหรืออุปกรณที่ใชประกอบการเรียนการสอน วิธีการจัดการเรียนรู งานที่ใหนักเรียนทํา วิธีการการวัดผลและประเมินผล กิจกรรมเสริม ผลการประเมินผลการเรียนรู ซ่ึงในแตละแผนการเรียนรูเปนแผนการเรียนรูที่เนนใหนักเรียนสรางมโนมติดวยตนเอง มีการ

revised plan

Act and Observe Reflect

plan

Act and Observe Reflect

30

เชื่อมโยงความรูพื้นฐานของนักเรียน เชน แผนการเรียนรูที่ 1 เร่ือง จํานวนจินตภาพ การบวกและลบจํานวนจินตภาพ นําเสนอมโนมติโดยการทบทวนระบบจํานวนจริง และการเขียนกราฟแสดงจํานวนจริง และนําเสนอกราฟของจํานวนจินตภาพ ซ่ึงเปนจุดที่อยูนอกเสนจํานวน สวนการบวกและลบจํานวนจินตภาพ นําเสนอมโนมติโดยเริ่มจากการทบทวนการบวกและลบ พหุนาม ซ่ึงนักเรียนไดเรียนมาแลวในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนตน จากนั้นจัดกิจกรรมเพื่อใหนักเรียนสรางมโนมติเกี่ยวกับการบวกและลบจํานวนจินตภาพดวยตนเอง เปนตน 3. เตรียมเครื่องมือและวิธีการเก็บรวบรวมขอมูล โดยเครื่องมือที่ใชในการเก็บรวบรวมขอมูลคร้ังนี้ประกอบดวย 3.1 สมุดบันทึกการสังเกต เปนรายคาบ โดยพิจารณาการตอบคําถาม การมีสวนรวมในการเรียนการสอนของนักเรียน 3.2 แบบบันทึกผลการเรียนรูของนักเรียนโดยพิจารณาจากแบบฝกหัด และผลการทดสอบ 3.3 แบบสัมภาษณ โดยสุมนักเรียนเปนรายบุคคลจํานวน 2 คน มาสัมภาษณหลังเรียนจบแตละวงจร (ใชเฉพาะกรณีที่ผูวิจัยไมสามารถสรุปไดวานักเรียนบรรลุตามจุดประสงคของแตละวงจรได)

ดําเนินการรวบรวมขอมูล ผูวิจัยดําเนินการวิจัยตามรูปแบบวิธีการวิจัยเชิงปฏิบัติการในชั้นเรียนของ Kemmis and McTaggart โดยแบงออกเปน 5 วงจร ซ่ึงผูวิจัยเปนผูจัดกิจกรรมการเรียนการสอนดวยตนเอง รายละเอียดของการดําเนินการวิจัยในแตละวงจร มีดังนี ้ วงจรที่ 1 ขั้นวางแผน เปาหมายของการวิจัยในวงจรนี้คือ ตองการใหนักเรียนมีมโนมติเกี่ยวกับจํานวนจินตภาพ จํานวนจริง โดยพิจารณาจากกราฟที่กําหนดใหในรูปของจุดบนระนาบ กอนที่จะนํา เสนอในรูปสัญลักษณในรูปคูอันดับ และรูป bia + รวบรวมขอมูลโดยใชการสังเกต การตอบคําถาม การมีสวนในชั้นเรียน การทําแบบฝกหัดของนักเรียน ขั้นปฏิบัติตามแผนและสังเกตผลการปฏิบัติ ผูวิจัยดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนตามแผนการเรียนรูที่ 1 เร่ือง จํานวนจินตภาพ การบวกและลบจํานวนจินตภาพ จํานวน 2 คาบเรียน เฉพาะในสวนของจาํนวน

31

จินตภาพ โดยเริ่มจากการทบทวนกราฟแสดงจํานวนจริงซึ่งเปนจุดบนเสนจํานวน แลวนําไปสูการอธิบายกราฟของจํานวนจินตภาพซึ่งแทนดวยจุดในระนาบพิกัดฉาก ซ่ึงอาศัยคูอันดับแสดงพิกัดของจุดนั้น ตัวเลขในรูปคูอันดับ ( a , b ) จึงเปนสัญลักษณแรกที่แสดงจํานวนจินตภาพ กอนที่จะนิยามจํานวนจินตภาพในรูป bia + ในขณะดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน และขณะที่นักเรียนทําแบบฝกหัด ผูวิจัยสังเกตพฤติกรรมการเรียนของนักเรียน การตอบคําถามในชั้นเรียน แลวบันทึกลงในสมุดบันทึกหลังหมดคาบเรียน และตรวจแบบฝกหัดที่ใหนักเรียนทําในหองเรียนตรวจนับคะแนน คัดแยกรูปแบบการตอบผิดของนักเรียนแลวบันทึกไวในสมุดบันทึกเลมเดียวกับสมุดบันทึกการสังเกตพฤติกรรมการเรียนของนักเรียน ขั้นสะทอนความคิด ผูวิจัยวิเคราะหขอมูลทั้งหมดที่ไดบันทึกไวทั้งการสังเกตพฤติกรรมการเรียน การตอบคําถามตลอดจนผลการตรวจแบบฝกหัด ไดขอสรุปดังนี้ 1. นักเรียนบางคนตอบไดถูกตองวาจํานวนจริงแบงเปนจํานวนตรรกยะ และ อตรรกยะ แตนักเรียนสวนใหญมีมโนมติเกี่ยวกับจํานวนจริงวาแบงเปนจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มศูนย 2. นักเรียนทุกคนคิดวากราฟที่แสดงจํานวนจริงคือ เสนจํานวน ซ่ึงผูวิจัยไดอธิบายเพิ่มเปน กราฟที่แสดงจํานวนจริงคือ จุดบนเสนจํานวน พรอมทบทวนกติกาการใชเสนจํานวนโดยใชคําถามพบวา นักเรียนทุกคนตอบไดอยางถูกตองวาทางซายของจุด 0 (ศูนย) แสดงจํานวนจริงลบ และทางขวาของจุด 0 แสดงจํานวนจริงบวก 3. เมื่อครูช้ีจุดบนระนาบนักเรียนทุกคนตอบไดวาจุดดังกลาวนั้นแทนจํานวนจริงหรือจํานวนจินตภาพ เชน

ภาพ 10 กราฟแสดงจํานวนจริง -2 และจํานวนจินตภาพ (1 , 2)

• Y

• A 1 2 3 -2 -1

32

จากกราฟ นักเรียนตอบไดถูกตองวาจดุ Aแทนจํานวนจริง และจุด Y แทนจํานวนจนิตภาพ เปนตน 4. นักเรียนทุกคนบอกไดวาพิกัดของจุดที่ครูช้ีคือพิกัดอะไร และแทนจํานวนจินตภาพใดไดอยางถูกตอง เชน

ภาพ 11 กราฟแสดงจํานวนจริง -2 และจํานวนจินตภาพ (1 , 2) จากกราฟนักเรียนตอบไดถูกตองวา พิกัดของจุด A คือ -2 แสดงจํานวน -2 และพิกัดของจุด Y คือ (1 , 2) แสดงจํานวนจินตภาพ (1 , 2) เปนตน นักเรียน 36 คน ทําแบบฝกหัดไดถูกตอง มีนักเรียนเพียง 5 คนที่ไมผานเกณฑที่กําหนดไว คือ ทําไดถูกตองนอยกวา 7 ขอจากทั้งหมด 8 ขอ สาเหตุที่นักเรียนทําผิดเนื่องจากนักเรียนเห็นจุดไมชัดเจน และมีนักเรียน 1 คนที่ตอบตัวเลขถูกตอง แตไมใสเครื่องหมายวงเล็บ เชน จํานวนจินตภาพ 1,-2 เปนตน จากการพูดคุยกับนักเรียน นักเรียนเขาใจวาการเขียนสัญลักษณแทนจํานวนใดๆนั้นไมมีเครื่องหมายวงเล็บ เมื่ออธิบายเพิ่มเติมแลวสังเกตการเขียนจํานวนจินตภาพ ในคาบเรียนตอมา พบวานักเรียนทุกคนเขียนจํานวนจินตภาพไดถูกตอง 5. เมื่อใหนักเรียนเรียนรูมโนมติของจํานวนจินตภาพในรูปเวกเตอร นักเรียน 40 คน ทําแบบฝกหัดเกี่ยวกับการใชเวกเตอรแสดงจํานวนจินตภาพไดถูกตอง มีนักเรียนเพียง 1 คน ที่เขียนตัวเลขถูกตอง แตไมใสเครื่องหมายวงเล็บ

6. นักเรียนเกือบทั้งหมดเขียนจํานวนจินตภาพ ( a , b )= bia + ไดอยางถูก ตองและรวดเร็ว นักเรียน 40 คน ทําแบบฝกหัดเกี่ยวกับการเขียนจํานวนจินตภาพ ( a , b ) ใหอยูในรูป bia + ไดถูกตอง มีนักเรียนเพียง1 คน สะเพราเขียนเครื่องหมาย i เปน ! จากการดําเนินการวิจัยในวงจรนี้ เพื่อตองการใหนักเรียนมีมโนมติเกี่ยวกับจํานวน

• Y

• A 1 2 3 -2 -1

33

จินตภาพ โดยพิจารณาจากพิกัดของจุดบนระนาบพิกัดฉาก นักเรียนทั้งหมดมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับจํานวนจินตภาพ สามารถตอบคําถามในชั้นเรียนไดถูกตอง นักเรียน 40 คน ทําแบบฝก หัด เร่ืองจํานวนจินตภาพทุกเรื่องไดถูกตองตามเกณฑที่วางไว ซ่ึงถือวาการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในวงจรนี้ประสบผลสําเร็จ แมวาจะมีนักเรียนทําแบบฝกหัดผิดพลาด แตก็มีเพียงสวนนอยและหลังจากที่ไดพูดคุยกันแลว นักเรียนที่สะเพราเขียนเครื่องหมาย i เปน ! สามารถแกไขไดถูกตอง วงจรที่ 2 ขั้นวางแผน เปาหมายของการวิจัยในวงจรนี้คือ ตองการใหนักเรียนมีมโนมติที่เกี่ยวของกับการบวก ตัวผกผันการบวก การลบ การคูณ ตัวผกผันการคูณ การหาร โดยใชหลักการพหุนาม ดําเนินการสอนโดยเริ่มจากการทบทวนความรูเร่ืองการบวก ลบ คูณ และหารพหุนาม แลวแนะนําใหนักเรียนใชหลักการบวก ลบ คูณ และหารพหุนาม กับจํานวนเชิงซอน แลวสรุปเปนบทนิยามของการบวก ลบ คูณ และการหาร รวบรวมขอมูลโดยการสังเกตการตอบคําถาม การมีสวนรวมในชั้นเรียน การทําแบบฝกทักษะและแบบฝกหัด ขั้นปฏิบัติตามแผนและสังเกตผลการปฏิบัติ ผูวิจัยดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนตามแผนการเรียนรูที่ 1 – 2 เร่ือง จํานวนจินตภาพ การบวกและลบจํานวนจินตภาพ และเรื่องการคูณและหารจํานวนจินตภาพ แผนการเรียนรูที่ 1 ในสวนของการบวกและการลบจํานวนจินตภาพ โดยเริ่มจากการทบทวนความรูพื้นฐานการบวกพหุนามกอน แลวใหนักเรียนทํากิจกรรมหาผลบวกของจํานวนจินตภาพเปนกลุม โดยยังไมบอกวาหาผลบวกอยางไรใหนักเรียนคาดเดาคําตอบดวยตนเองกอน แลวเฉลยเพื่อใหนักเรียนสรางมโนมติของการบวกจํานวนจินตภาพ จากนั้นทบทวนเรื่องการลบ พหุนาม แลวใหนักเรียนทํากิจกรรมหาผลลบของจํานวนจินตภาพเปนกลุม โดยยังไมบอกวาหาผลลบไดอยางไรใหนักเรียนคาดเดาคําตอบดวยตนเองกอน แลวเฉลย สวนการคูณจํานวน จินตภาพ ก็ใชกระบวนการเดียวกัน แตสําหรับการหารนั้นแนะนําการหาผลหารโดยอาศัยหลักการคูณดวยจํานวนที่เปนสังยุคของตัวสวน แตยังไมเรียกจํานวนนั้นวาเปนสังยุค ในขณะดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน และขณะที่นักเรียนทําแบบฝกหัด ผูวิจัยสังเกตพฤติกรรมการเรียนของนักเรียน การตอบคําถามในชั้นเรียน การซักถามปญหาของนักเรียนแลวบันทึกลงในสมุดบันทึกหลังหมดคาบเรียน และตรวจแบบฝกหัดที่ให

34

นักเรียนทําในหองเรียนตรวจนับคะแนน คัดแยกรูปแบบการตอบผิดของนักเรียนแลวบันทึกไวในสมุดบันทึกเลมเดียวกับสมุดบันทึกการสังเกตพฤติกรรมการเรียนของนักเรียน ขั้นสะทอนความคิด ผูวิจัยวิเคราะหขอมูลทั้งหมดที่ไดบันทึกไวทั้งการสังเกตพฤติกรรมการเรียน การตอบคําถามตลอดจนผลการตรวจแบบฝกหัด และผลการทดสอบ ไดขอสรุปดังนี้ 1. นักเรียนทุกคนหาผลบวกของพหุนามที่กําหนดใหไดอยางถูกตอง และนักเรียนหาผลบวกของจํานวนจินตภาพที่กําหนดใหไดอยางถูกตอง นักเรียนสรุปหลักการบวกจํานวนจินตภาพไดถูกตองวาเหมือนกับการบวกพหุนาม จากการเดินดูนักเรียนทุกคนทําแบบฝกทักษะ นักเรียนทุกคนทําแบบฝกทักษะไดอยางถูกตองทั้ง 5 ขอ 2. นักเรียนทุกคนหาผลลบของพหุนามที่กําหนดใหไดอยางถูกตอง นักเรียนหาผลลบของจํานวนจินตภาพที่กําหนดไดอยางถูกตองโดยยังไมบอกหลักการลบจํานวนจินตภาพดังกลาว และนักเรียนสรุปหลักการลบจํานวนจินตภาพไดถูกตองวาเหมือนกับการลบพหุนาม จากการเดินดูการทํางานของนักเรียน พบวานักเรียนทุกคนทําแบบฝกทักษะไดอยางถูกตองทั้ง 5

ขอ มีนักเรียน 2 คน ที่ไมสามารถหาผลลบในแนวนอนได เชน ผลลัพธของ (3 + 4i) − (2 + i) เมื่อแนะนํานักเรียนหาผลลบในแนวตั้ง เชน

3 + 4i 3 + 4i

2 + i -2 − i

-1 + 3i แลวนักเรียนคนดังกลาวหาคําตอบไดถูกตองทั้ง 5 ขอเชนเดียวกันกับนักเรียนคนอื่นๆ 3. นักเรียน 39 คน ทําแบบฝกหัดเรื่องการบวกและลบจํานวนจินตภาพ ไดถูกตองตามเกณฑที่กําหนดไวคือ นักเรียนตองทําไดถูกตองอยางนอย 4 ขอ จากแบบฝกหัดทั้งหมด 5 ขอ และพบวามีนักเรียนเพียง 2 คนที่ไดคะแนนต่ํากวาเกณฑที่กําหนด เมื่อวิเคราะหสาเหตุสรุปไดวานักเรียนขาดทักษะเรื่องการลบจํานวนเต็ม 4. นักเรียนทุกคนหาผลคูณของพหุนามที่กําหนดใหไดอยางถูกตอง ขณะที่ใหนักเรียนทํากิจกรรมการหาผลคูณดังกลาวนั้น นักเรียนสวนใหญสงสัยวา 2i มีคาเทากับเทาไร เมื่อไดบอกย้ําวา 2i มีคาเทากับ -1 แลวนักเรียนสวนใหญหาผลคูณของจํานวนจินตภาพที่กําหนด

− +

35

ไดเองอยางถูกตอง โดยยังไมบอกหลักการคูณจํานวนจินตภาพดังกลาว นักเรียนสรุปหลักการคูณจํานวนจินตภาพไดถูกตองวาเหมือนกับการคูณพหุนาม และเมื่อไดผลคูณเปน 2i นักเรียนเปลี่ยน 2i เปน -1 ไดถูกตอง ขณะที่ใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะพบวา นักเรียนจํานวน 5 คน สะเพราเครื่องหมายบวกหรือลบ ทําใหหาผลคูณไดไมถูกตอง และนักเรียนจํานวน 2 คน เรียนไมทันเพื่อน จึงตองอธิบายเพิ่มเติมกับนักเรียนดังกลาว เมื่อแกไขจุดบกพรองทันทีแลว พบวานักเรียนสวนใหญทําแบบฝกทักษะไดถูกตอง 5. สําหรับการหารจํานวนจินตภาพโดยอาศัยหลักการคูณ พบวานักเรียนทุกคน เลือกตัวที่จะนํามาคูณไดถูกตอง และนักเรียนเกือบทั้งหมดทําแบบฝกทักษะการหารจํานวน จินตภาพไดถูกตอง มีนักเรียนเพียง 1 คน ที่พยายามหาผลคูณในใจและก็คิดไมไดเพราะมุงหวังคําตอบโดยไมไดลําดับกระบวนการคิด เมื่อเขาไปพูดคุยเนนใหนักเรียนใชกระบวนมากขึ้นพบวานักเรียนคนดังกลาวสามารถหาผลหารไดถูกตอง 6. นักเรียน 38 คน ทําแบบฝกหัดเรื่องการคูณและหารถูกตองตามเกณฑทีก่าํหนดไวคือ นักเรียนตองทําไดถูกตองอยางนอย 5 ขอ จากทั้งหมด 6 ขอ จากการทําแบบฝกหัดพบจุดบกพรองของนักเรียนดังนี้ ( 1 ) ตัดทอนตัวเลขไมถูกตอง เชน ( 2 ) สะเพราเครื่องหมาย + และ - ( 3 ) บวกและลบจํานวนเต็มไมถูกตอง ( 4 ) คิดคํานวณถูก แตเขียนคําตอบผด (ไมเขียนสวนจินตภาพ) ดังภาพ 12

ภาพ 12 ตัวอยางขอผิดพลาดของนักเรียนจากการคูณจํานวนจินตภาพ

//

2(29)88i2(23)

5888i46 +=+−

36

7. จากการทดสอบนักเรียนเรื่องการบวก ลบ คูณและหาร จํานวนจินตภาพ จํานวน 1 ขอ ดวยขอสอบที่ออกรวมกันกับอาจารยพี่เล้ียงพบวา นักเรียน 25 คนทําไดถูกตองนักเรียน 17 คนทําไดไมถูกตอง จากการวินิจฉัยการทําขอสอบพบวา นักเรียนสวนใหญที่ทําผิดมี

สาเหตุมาจากปญหาเรื่องเลขยกกําลัง ดังนี้ ( )2i1

3i)(124i92i1

3i)(122i3+

−−+=+−−+ และ

นักเรียนบางสวนมีความสะเพรา เชน

ภาพ 13 ตัวอยางขอผิดพลาดของนักเรียนจากการทดสอบเรื่องการบวก ลบ คูณและหารจํานวนจินตภาพ จากการดําเนินการวิจัยในวงจรนี้ เพื่อตองการใหนักเรียนมีมโนมติเกี่ยวกับการบวก ตัวผกผันการบวก การลบ การคูณ ตัวผกผันการคูณ การหาร โดยใชหลักการเดียวกันกับการบวก ลบและคูณพหุนาม นักเรียนทั้งหมดมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับการบวก ลบ คูณ และหารสามารถตอบคําถามในชั้นเรียนไดถูกตอง นักเรียนทุกคนตั้งใจเรียน และสนใจเรียนมาก ซ่ึงถือวาการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในครั้งนี้ประสบผลสําเร็จในระดับหนึ่ง แตยังพบปญหาคือ นักเรียนบางสวนไมสามารถคิดคํานวณหาคําตอบของโจทยที่มีการประยุกตใชความรูหลาย

สวนรวมกันได เชนการหาคําตอบของ ( )2i1

3i)(122i3+

−−+ ซ่ึงตองใชความรูพื้นฐานเรื่องเลข

ยกกําลัง การบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนจินตภาพ เปนตน ทั้งนี้อาจเนื่องมาจากการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในครั้งนี้ไมไดเนนการทําแบบฝกหัดที่รวมหลายทักษะเขาดวยกัน

37

วงจรที่ 3 ขั้นวางแผน เปาหมายของการวิจัยในวงจรนี้คือ ตองการใหนักเรียนมีมโนมติรากที่ n ของจํานวนจริง โดยพิจารณาจากกราฟที่กําหนดให ดําเนินการสอนโดยทบทวนนิยามรากที่ 2 , 3 และ 4 ใชกราฟแสดงคําตอบรากที่ 2 , 3 และ 4 ของจํานวนจริง ใหนักเรียนพิจารณาจากกราฟเพื่อหาขอสรุปเกี่ยวกับรากที่ n ของจํานวนจริง รวบรวมขอมูลดวยวิธีการทํานองเดียวกับวงจร ที่ 2 ขั้นปฏิบัติตามแผนและสังเกตผลการปฏิบัติ ผูวิจัยดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนตามแผนการเรียนรูที่ 3 – 5 เร่ือง รากที่ n ของจํานวนจริง (รากที่ 2 , รากที่ 3 ,รากที่ 4 และรากที่ 6) โดยเริ่มจากการทบทวนนิยามของรากที่ 2 ของ 1 , 4 และ 9 แสดงกราฟคําตอบของรากที่ 2 ของ 1 , 4 และ 9 ซ่ึงเปนเวกเตอรภายในวงกลม หาขอสรุปโดยพิจารณาจากกราฟ แลวหารากที่ 2 ของ -1 , -4 และ -9 โดยทําทํานองเดียวกันกับการหารากที่ 2 ของ 1, 4 และ 9 จากนั้นใหนักเรียนหาจํานวนแรกที่เปนรากที่ 3 ของ 1, 8 และ27 เชน รากที่ 3 ของ 1 จํานวนแรกคือ 1 เขียนเวกเตอรแสดงจํานวน 1 และสรางวงกลมรัศมี 1 หนวย แลวใหนักเรียนหาจํานวนที่เปนรากที่ 3 ของจํานวน 1 ที่เหลือ เปนตน สวนในการหารากที่ 4 ก็ทําทํานองเดียวกันกับการหารากที่ 3 เมื่อนักเรียนเรียนรูการหารากที่ 2 รากที่ 3 รากที่ 4 ของจํานวนจริงแลว ใหนักเรียนสรุปมโนมติในรากที่ 2. รากที่ 3 และรากที่ 4 จากกราฟทีละมโนมติ แลวใชคําถามเพื่อนําไปสูขอสรุปรากที่ n ของจํานวนจริง จากนั้นให มโนมติรากที่ 2 รากที่ 3 และ รากที่ 4 ของจํานวนจริง ซ่ึงมีคําตอบเปนจํานวนที่อยูในรูปกรณฑ ตอมาใหมโนมติเกี่ยวกับรากที่ 2 รากที่ 3 และ รากที่ 4 ของจํานวนจริงที่อยูในรูปตรีโกณมิติ โดยอาศัยกราฟรากที่ 2 รากที่ 3 และ รากที่ 4 ของจํานวนจริง ประกอบการสอนทุกครั้ง ในขณะดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน และขณะที่นักเรียนทํากิจกรรม ผูวิจัยสังเกตพฤติกรรมการเรียนของนักเรียน การตอบคําถามในชั้นเรียน การซักถามปญหาของนักเรียนแลวบันทึกลงในสมุดบันทึกหลังหมดคาบเรียน และตรวจแบบทดสอบที่ใหนักเรียนทําในหองเรียนตรวจนับคะแนน คัดแยกรูปแบบการตอบผิดของนักเรียนแลวบันทึกไวในสมุดบันทึกเลมเดียวกับสมุดบันทึกการสังเกตพฤติกรรมการเรียนของนักเรียน ขั้นสะทอนความคิด ผูวิจัยวิเคราะหขอมูลทั้งหมดที่ไดบันทึกไวทั้งการสังเกตพฤติกรรมการเรียน การตอบคําถามตลอดจนผลการตรวจแบบฝกหัด ไดขอสรุปดังนี้

38

1. จากการบอกเลาของอาจารยพี่เล้ียงซึ่งมีประสบการณในการสอนเรื่องนี้มานานกลาววา การสอนเรื่องรากที่ n ของจํานวนจริงโดยการนําเสนอมโนมติผานกราฟนี้เปนเร่ืองใหม จากการสังเกตนักเรียนในชั้นเรียนของอาจารยพี่เล้ียง อาจารยพี่เล้ียงกลาววา ไมเคยเห็นนักเรียนสนใจและตั้งใจเรียนอยางนี้มากอน และผูวิจัยสังเกตพฤติกรรมการเรียนของนักเรียนพบวานักเรียนตั้งใจฟงพรอมตอบคําถามที่ครูถามไดอยางถูกตอง 2. นักเรียนสวนใหญบอกไดวารากที่ 2 ของจํานวนจริงบวก มี 2 จํานวน และรวมกิจกรรมการหารากที่ 2 ของ 1, 4 และ 9 และตอบคําถามระหวางการทํากิจกรรมไดอยางถูกตอง นักเรียนทุกคนเขียนกราฟแสดงจํานวนที่เปนรากที่ 2 ของ 1, 4 และ 9 ไดถูกตอง 3. นักเรียนสวนใหญบอกไดวารากที่ 2 ของจํานวนจริงลบ มี 2 จํานวน มีนักเรียน 2 คน ตอบไดถูกตองวาจํานวนที่ยกกําลังสองได -1 คือ i มีนักเรียนบางสวนที่ตอบวา 1 นักเรียนบางสวนไมตอบคําถาม มีนักเรียนเพียง 2 คนที่ตอบไดถูกตองวาจํานวนที่ยกกําลังสองได -1 อีกจํานวนคือ –i เมื่อทําความเขาใจกับนักเรียนแลว นักเรียนสวนใหญหารากที่สองของ -4 และ -9 ไดอยางถูกตอง และนักเรียนเขียนกราฟแสดงจํานวนที่เปนรากที่ 2 ของ -1, -4 และ -9 ไดถูกตอง 4. จากการสังเกตกิจกรรมการเรียนการสอนการหารากที่ 3 ของจํานวนจริง พบวานักเรียนสวนใหญบอกไดวารากที่ 3 ของจํานวนจริงบวกมี 3 จํานวน นักเรียนเขียนเวกเตอรแสดงรากที่ 3 ของ 1, 8 และ 27 ไดถูกตอง แตพบปญหานักเรียนบอกพิกัดของจุดปลายเวกเตอรที่แสดงรากที่ 3 ของ 8 และ 27 ที่เปนจํานวนจินตภาพไมได เมื่ออธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาพิกัดของจุดบนระนาบแลวสังเกตการตอบคําถามในคาบเรียนถัดไป พบวานักเรียนบอกพิกัดของจุดปลายของเวกเตอรที่แสดงรากที่ 3 ของ 8 ไดถูกตอง 5. นักเรียนสวนใหญบอกไดวารากที่ 3 ของจํานวนจริงลบมี 3 จํานวน หารากที่ 3 ของ -1, -8 และ -27 และเขียนกราฟแสดงรากที่ 3 ของ -1, -8 และ -27 ไดถูกตอง 6. นักเรียนทุกคนบอกไดวารากที่ 4 ของจํานวนจริงมีทั้งหมด 4 จํานวน จากการเดินดูการทํางานของนักเรียนแตละคนพบวานักเรียนทุกคน หาคําตอบของรากที่ 4 ของ 16 และ 81 ไดถูกตอง แตมีนักเรียนประมาณ 10 คน ไมสามารถเขียนกราฟแสดงรากที่ 4 ของ 16 และ 81 ได เมื่ออธิบายเพิ่มเติมโดยเขียนเวกเตอรแรกที่แสดงรากที่ 4 ของ 16 ให นักเรียนสามารถเขียนกราฟและบอกพิกัดของจุดบนกราฟไดถูกตอง และสังเกตการหารากที่ 4 ของจํานวนจริง ของนักเรียนโดยการพูดคุยเปนรายบุคคล พบวานักเรียนเขียนเวกเตอรแสดงรากที่ 4 ของ 1 ไดถูกตอง แตนักเรียนบอกพิกัดไดไมถูกตอง จึงทบทวนเกี่ยวกับการหาพิกัดของจุด และฟงกชันตรีโกณมิติ ตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนอีกครั้งดวยการพูดคุยกับนักเรียนเปนการสวนตัว

39

พบวานักเรียนดังกลาวมีมโนมติที่ถูกตอง แตมีนักเรียนที่เรียนชาบางคนที่ตอบคําถามไดไมถูกตองและลังเลที่จะตอบคําถาม 7. นักเรียนสวนใหญเขียนรากที่ 3 ของ 8 ใหอยูในรูปตรีโกณมิติไดถูกตอง เมื่ออธิบายเกี่ยวกับรูปตรีโกณมิติของจํานวนที่เปนรากที่ 3 ของ 27 กับนักเรียนแลว พบวานักเรียนสวนใหญ เขียนรากที่ 3 รากที่ 4 ของจํานวนจริง จากกราฟที่ครูกําหนดใหอยูในรูปตรีโกณมิติไดถูกตอง 8. จากผลการสอบเรื่องรากที่ n ของจํานวนจริงพบวานักเรียน 7 คน ทําไดถูก ตองทั้ง 3 ขอ นักเรียน 32 คน ทําไดถูกตอง 2 ขอ นักเรียน 2 คน ทําไดถูกตองเพียง 1 ขอ และไมมีนักเรียนที่ตอบผิดทั้ง 3 ขอ จากการวินิจฉัยขอผิดพลาดในการทําขอสอบพบวานักเรียนเขียนเวกเตอรแสดงรากที่ n ของจํานวนจริงที่กําหนดได แตบอกความยาวของเวกเตอรเปนจํานวนลบ นักเรียนบางคนบอกความยาวของเวกเตอรถูก แตบอกมุมของเวกเตอรผิด ดังภาพ

ภาพ 14 ตัวอยางขอผิดพลาดของนักเรียนจากการหารากที่ 5 ของ -3 ปญหาที่พบระหวางการทําวิจัยในวงจรที่ 3 คือ 1. นักเรียนบางสวนบอกพิกัดของจํานวนที่เปนรากที่ 3 รากที่ 4 ของจํานวนที่กําหนดไมได เนื่องจากมีความรูพื้นฐานเกี่ยวกับการหาพิกัดบนระนาบ ไมเพียงพอ 2. ไมสามารถแกไขขอผิดพลาดในระหวางการเรียนการสอนไดเนื่องจากปญหาดานเวลาที่มีจํากัด และแผนการสอนที่วางไวนั้นไมไดเนนการใหนักเรียนทํากิจกรรมจึงไมเห็นผลทันทีวานักเรียนเขาใจมากนอยเพียงใด เมื่อพบปญหานักเรียนไมเขาใจจึงไมไดแกไขไดทันที ตองติดตามแกไขในคาบเรียนตอไป

40

จากการดําเนินการวิจัยในวงจรนี้ ที่ตองการใหนักเรียนมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับ รากที่ 2 , 3 , 4 และ 6 ของจํานวนจริง โดยใหนักเรียนหาจํานวนแรกที่เปนรากที่ 2 , 3 , 4 ของจํานวนจริงที่กําหนดใหไดหนึ่งจํานวนกอน และเขียนเวกเตอรแสดงจํานวนดังกลาวนั้น แลวใหนักเรียนหาจํานวนที่เปนรากที่ 2 , 3 , 4 ของจํานวนที่กําหนด โดยอาศัยเวกเตอรที่แบงวงกลมออกเปน 2 , 3 , 4 สวนเทา ๆ กัน ตามลําดับ พบวานักเรียนทั้งหมดมีมโนมติที่ถูกตองวารากที่ 2 , 3 , 4 ของจํานวนจริงมีทั้งหมด 2 , 3 , 4 จํานวน ตามลําดับ นักเรียนสวนใหญหารากที่ 2 , 3 , 4 ของจํานวนจริงโดยอาศัยกราฟได โดยนักเรียนเขียนกราฟของแตละจํานวนที่เปนรากที่ 2 , 3 , 4 ของจํานวนจริงที่กําหนดใหไดถูกตอง แตนักเรียนบางสวนบอกพิกัดและขนาดของมุมของเวกเตอรที่แสดงรากที่ 3 , 4 ของจํานวนจริงที่กําหนดใหไมไดในตอนแรก ซ่ึงแสดงใหเห็นวานักเรียนดังกลาวนั้นมีพื้นฐานความรูเกี่ยวกับการหาพิกัดบนระนาบ และฟงกชันตรีโกณมิติ ไมเพียงพอ เมื่ออธิบายเพิ่มเติมและสังเกตการทําแบบฝกหัดของนักเรียนในคาบเรียนตอมา พบวานักเรียนดังกลาวบอกพิกัดและบอกคา r ไดถูกตอง แตยังมีนักเรียนอีกบางสวนบอกพิกัดของเวกเตอรที่แสดงรากที่ n ของจํานวนจริงที่กําหนดไมได ทั้งนี้เนื่องมาจากนักเรียนไมได มาเรียนในคาบเรียนที่มีการสอนและทบทวนความรูในเรื่องการหารากที่ n ของจํานวนจริง ทําใหนักเรียนไดรับความรูไมตอเนื่อง หมายเหตุ การดําเนินการเรียนการสอนในวงจรที่ 3 นี้ไมไดปฏิบัติตามแผนไดครบถวน เนื่องจากการทบทวนความรูเดิมของนักเรียนที่ใชเวลาคอนขางมาก ประกอบกับในวันที่เรียนตามแผนการสอนที่ 3 นั้นมีความผิดพลาดของทางโรงเรียนที่ประกาศยายหองเรียนไมตรงกับที่แจงไวกับทางผูสอน จึงตองใหนักเรียนนํากิจกรรมบางสวนไปทําที่บาน เชน การหารากที่ 6 ของจํานวนจริง เปนตน วงจรที่ 4 ขั้นวางแผน เปาหมายของการวิจัยในวงจรนี้คือ นักเรียนมีมโนมติของจํานวนเชิงซอนและรูปเชิงขั้ว โดยใชจุดและเวกเตอรบนระนาบเชิงซอน และนักเรียนมีมโนมติที่เกี่ยวของกับการหารากที่ 2 การหาคา nz และรากที่ n ของจํานวนเชิงซอน โดยใชสัญลักษณและสูตร ดําเนินการสอนการหารากที่สอง การหาคา nz และรากที่ n ของจํานวนเชิงซอน ทีละมโนมติ โดยใชสัญลักษณและสูตร รวบรวมขอมูลดวยวิธีการทํานองเดียวกับวงจรที่ 2

41

ขั้นปฏิบัติการและสังเกตผลการปฏิบัติ ผูวิจัยดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนตามแผนการเรียนรูที่ 6 – 8 เร่ืองจํานวนเชิงซอน รูปเชิงขั้ว การหาคา nz รากที่ n ของจํานวนเชิงซอน ขนาดและสังยุคของจํานวนเชิงซอน โดยเริ่มจากการใหมโนมติของจํานวนเชิงซอนโดยอาศัยการยูเนียนกันของเซตของจํานวนจริง และจํานวนจินตภาพ และใหมโนมติเกี่ยวกับรูปเชิงขั้วโดยอาศัยกราฟเวกเตอรแสดงจํานวนเชิงซอน 1 + i3 ใชความรูเร่ืองความยาวของเวกเตอร และฟงกชันตรีโกณมิติในการใหมโนมติเร่ืองรูปเชิงขั้วของ 1 + i3 จากนั้นใหนักเรียนนําความรูไปใชหารูปเชิงขั้วของจํานวนเชิงซอนอื่น ๆ จากนั้นใหมโนมติเกี่ยวกับคา nz จากการคูณในรูปเชิงขั้วของ [r(cosθ + i sinθ)]2 เพื่อพิสูจนเปนทฤษฎีบทของเดอมัวร ทบทวนการเขียนรูปเชิงขั้วของจํานวนที่เปนรากที่ 3 ของ 8 และใหมโนมติรากที่ n ของจํานวนเชิงซอนโดยอาศัยสูตร ตรวจสอบสูตรกับการหารากที่ 3 ของ 8 ซ่ึงนักเรียนรูคําตอบแลว จากนั้นใหนักเรียนในสูตรไปใชในการหารากที่ n ของจํานวนเชิงซอนอื่น ๆ สวนมโนมติเกี่ยวกับขนาดและสังยุคของจํานวนเชิงซอนอาศัยกราฟเวกเตอรที่แสดงจํานวนเชิงซอน (3 , 2) อาศัยหลักการสะทอนของจุดและเวกเตอรซ่ึงมีแกนจริงเปนแกนสะทอน ซ่ึงจะไดวาสังยุคของ 3 + 2 i คือ 3 - 2i ใชความรูเร่ืองความยาวและทฤษฎีบทปทากอรัสในการใหมโนมติของขนาดของจํานวนเชิงซอน จากนั้นเชื่อมโยงความรูเร่ืองสังยุค กับการหาผลหารของจํานวนเชิงซอน ซ่ึงนักเรียนไดเรียนเรื่องการหารจํานวนจินตภาพมากอนนี้ เพียงแตมากําหนดชื่อเรียกจํานวนดังกลาวและบอกคุณสมบัติเกี่ยวกับขนาดและสังยุคของจํานวนเชิงซอน ขั้นสะทอนความคิด ผูวิจัยวิเคราะหขอมูลทั้งหมดที่ไดบันทึกไวทั้งการสังเกตพฤติกรรมการเรียน การตอบคําถามตลอดจนผลการตรวจแบบฝกหัด ไดขอสรุปดังนี้ 1. นักเรียนสวนใหญตอบไดวานอกเหนือจากจํานวนจริงแลวยังมีจํานวนอีกชนิดหนึ่งคือจํานวนจินตภาพ จากการใหมโนมติเกี่ยวกับจํานวนเชิงซอนวาเปนเซตของจํานวนที่เกิดจากการยูเนียนกันของจํานวนจริงและจํานวนจินตภาพพรอมเขียนแผนผังระบบจํานวนเชิงซอนประกอบ และไดตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน พบวานักเรียนสวนใหญตอบวาจํานวนเต็ม

เปนจํานวนเชิงซอน แตพอถามนักเรียนอีกวา 722 เปนจํานวนเชิงซอนหรือไม มีนักเรียนอยู 2

คน ตอบวาไมเปน เมื่ออธิบายมโนมติของจํานวนเชิงซอนดวยแผนภาพดังนี้

42

ภาพ 15 จํานวนเชิงซอน โดยกําหนดวาแผนภาพนี้เปนจํานวนเชิงซอน จํานวนจริงเปนจํานวนเชิงซอน และจํานวนจินตภาพก็เปนจํานวนเชิงซอน คราวนี้นักเรียนตอบคําถามไดถูกตองวาจํานวน ทุกชนิดเปนจํานวนเชิงซอน และนักเรียนสวนใหญบอกความแตกตางระหวางจํานวนจริงกับจํานวนจินตภาพไดถูกตอง 2. นักเรียนสวนใหญบอกสวนจริงและสวนจินตภาพของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดไดถูกตอง พบนักเรียนเพียง 1 คนที่บอกสวนจินตภาพคือ bi เชน 2 + 3i มีสวน จินตภาพคือ 3i เปนตน เมื่ออธิบายความแตกตางระหวางจํานวนจินตภาพกับสวนจินตภาพเพิ่มเติม แลวสังเกตผลทําแบบฝกหัดพบวานักเรียนสวนใหญหาสวนจริงและสวนจินตภาพไดถูกตอง มีเพียง 1 คนเทานั้นที่เขียนสวนจริงกับสวนจินตภาพสลับกัน ทั้งนี้อาจเนื่องมาจากคําถามเปนภาษาไทยและในวงเล็บเปนภาษาอังกฤษจึงทําใหนักเรียนสับสน 3. นักเรียนสวนใหญตอบคําถามเกี่ยวกับการเขียนรูปเชิงขั้วของจํานวนจินตภาพ

1 + 3 i , i22

22 + และ i

311+− ในชั้นเรียนไดถูกตอง เมื่อตรวจแบบฝกหัด พบวา

นักเรียนทุกคนเขียนรูปเชิงขั้วของจํานวนที่กําหนดไดถูกตองทุกขอ 4. นักเรียนสวนใหญสรุปไดวา ( )nbia + หาคาไดโดยการเปลี่ยนเปนรูปเชิงขั้วแลวใชสูตร ( ) ( )θnsiniθncosrbia nn +=+ หลังจากตรวจแบบฝกหัดพบวา นักเรียนสวนใหญเขียนรูปเชิงขั้วของจํานวนที่กําหนดไดถูกตอง แตมีนักเรียนบางคนไมสามารถหาคา

θcos และ θsin เมื่อมุม θ มีคามากกวา o360 ได และจากการตรวจแบบฝกหัดเรื่อง nz พบวา นักเรียน 37 คน ทําแบบฝกหัดไดถูกตองอยางนอย 5 ขอ จากแบบฝกหัดทั้งหมด 6 ขอ ตามเกณฑที่วางไวนักเรียนทําไดถูกตองสวนนักเรียนที่ไมผานเกณฑนั้นมีสาเหตุมาจากความรู

จํานวนจริง จํานวนจินตภาพ

จํานวนเชิงซอน

43

พื้นฐานเกี่ยวกับตรีโกณมิติไมเพียงพอทําใหนักเรียนเขียนรูปเชิงขั้วผิดเพราะบอกมุม θ ผิด เมื่อคํานวณหาคา nz จึงผิดตาม 5. นักเรียนสวนใหญสนใจเรียนและแทนคาตามสูตร เพื่อหารากที่ 3 ของ 8 , -27 และรากที่ 4 ของ -16 ไดอยางถูกตอง นักเรียนสวนใหญบอกไดวารากที่ 3 ของ 8 , -27 มีทั้งหมด 3 จํานวน และบอกไดวารากที่ 4 ของ -16 มีทั้งหมด 4 จํานวน นักเรียนทุกคนสรุปไดวารากที่ n ของจํานวนเชิงซอน มีทั้งหมด n จํานวน นักเรียนสวนใหญสนใจเรียนและคิดคํานวณ หารากที่ 4 ของ i322+ ไดถูกตอง จากการใหนักเรียนทํากิจกรรมนอกหองเรียนพบวานักเรียนสวนใหญทํางานที่ไดรับมอบหมายไดอยางถูกตอง โดยนักเรียนหารากที่ 5 ของจํานวนเชิงซอน i31+ , 2i32 + หารากที่ 3 ของ i31212− และรากที่ 4 ของ i22 −

i22 −− ไดอยางถูกกตอง แตนักเรียนบางสวนคํานวณหาคา θcos และ θsin ไมได และมีนักเรียนบางคนคํานวณหาคําตอบไดไมถูกตองเพราะความรูพื้นฐานในการคิดคํานวณ ยังไมเพียงพอ อีกทั้งนักเรียนมีความสะเพรา และนักเรียนบางคนแทนในสูตรผิดเปน

z k = nr ( cosn

k360 θ+o + i sin n

k360 θ+o ) เปนตน

6. จากกทบทวนการเขียนเวกเตอรแสดงจํานวนเชิงซอน 3 + 2i โดยใหนักเรียนทําลงในสมุดของตนเอง เมื่อเดินดูการทํางานของนักเรียนพบวานักเรียนสวนใหญเขียนไดถูกตอง มีนักเรียน 2 คน ที่เขียนผิดดังนี ้

ภาพ 16 ขอผิดพลาดของนักเรียนเกี่ยวกับการเขียนกราฟแสดงจํานวน 3 + 2i แตนักเรียนทั้งสองคนไดแกไขใหถูกตองดวยตนเองกอนที่ครูจะบอกวาผิด เมื่อกําหนดใหแกนนอนเปนแกนสะทอนนักเรียนสวนใหญบอกเวกเตอรที่เกิดจากการสะทอนที่แกนนอนไดอยางถูกตอง นักเรียนสวนใหญบอกสังยุคของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหไดอยางถูกตอง จากการทบทวนการหาผลหารจํานวนเชิงซอนที่กําหนดพบวานักเรียนบอกสังยุคของตัวคูณไดอยาง

2

3

44

ถูกตอง เชน จํานวนที่ตองนํามาคูณกับจํานวน 2i3

i7++− คือ

2i32i3

−− เมื่อตรวจแบบฝกหัด

นักเรียนรอยละ 100 หาสังยุคของจํานวนที่กําหนดใหไดถูกตองทุกขอ 7. จากการใหนักเรียนตอบคําถามเกี่ยวกับขนาดของจํานวนเชิงซอนนักเรียนสวนใหญบอกขนาดของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหไดอยางถูกตอง อีกทั้งสรุปไดวาขนาดของจํานวนเชิงซอนคือความยาวของเวกเตอรที่แสดงจํานวนเชิงซอน a + bi ผลการตรวจแบบฝกหัดพบวานักเรียนรอยละ 100 หาขนาดของจํานวนเชิงซอนไดถูกตองทุกขอ จากการดําเนินการวิจัยในวงจรนี้ เพื่อตองการใหนักเรียนมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับ จํานวนเชิงซอน รูปเชิงขั้ว การหาคา nz รากที่ n ของจํานวนเชิงซอน ขนาดและสังยุคของจํานวนเชิงซอน พบวา 1. ในเรื่องจํานวนเชิงซอน นักเรียนสวนใหญมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับจํานวนเชิงซอน นักเรียนบอกไดวาจํานวนที่กําหนดเปนจํานวนเชิงซอนหรือไมเปนจํานวนเชิงซอนได 2. ในเรื่องรูปเชิงขั้ว นักเรียนสวนใหญมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับรูปเชิงขั้วของ

จํานวนเชิงซอน และหารูปเชิงขั้วของจํานวนของจํานวน 1 + 3 i , i22

22 + และ

i3

11+− ที่กําหนดใหไดถูกตอง แตก็พบปญหาเรื่องการหาคํานวณหาคามุม θ ของรูปเชิงขั้ว

นักเรียนบางสวนคํานวณหาคา θcos และ θsin ไมได ซ่ึงเนื่องมาจากนักเรียนมีพื้นฐานความรูเร่ืองฟงกชันตรีโกณมิติไมเพียงพอ 3. ในเรื่องการหาคา nz นักเรียนสวนใหญมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับการหาคา nz โดยที่นักเรียนสวนใหญบอกสูตรการหาคา nz ได แทนคาตามสูตรไดถูกตอง นักเรียนสวนใหญหาคา 4) i3 ( + โดยทํารวมกันกับผูสอนไดถูกตอง จากการทําแบบฝกหัดนักเรียนสวนใหญ

หาคา ( i 344 −− )12 , ( 2 + 2i ) 4 และ ( i 31+ ) 3 ไดถูกตอง แตมีนักเรียนบางสวนที ่

คํานวณผิดพลาด บอกมุมผิด และนักเรียนบางคนไมสามารถหาคา θcos และ θsin เมื่อมุม θ

คามากกวา o360 ได ทําใหนักเรียนหาคา nz ไดไมถูกตอง 4. ในเรื่องรากที่ n ของจํานวนเชิงซอน นักเรียนสวนใหญมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับรากที่ n ของจํานวนเชิงซอน นักเรียนบอกไดวารากที่ n ของจํานวนเชิงซอนมีทั้งหมด n จํานวน บอกสูตรการหารากที่ n ของจํานวนเชิงซอนได และแทนคาตามสูตรไดอยางถูกตอง แตมีนักเรียนบางสวนที่บางสวนที่คํานวณผิดพลาด และบอกมุมผิด และมีนักเรียนบางสวนที่จํา

สูตรผิด เปน z k = nr (cosn

k360 θ+o + i sin n

k360 θ+o )

45

5. ในเรื่องขนาดและสังยุคของจํานวนเชิงซอน นักเรียนสวนใหญมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับขนาดของจํานวนเชิงซอน นักเรียนหาขนาดของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหไดถูกตอง

เชน ขนาดของ 5 + 3i คือ 2325 + และขนาดของ 4 + 4i คือ 2424 + เปนตนนักเรียนสวนใหญทําแบบฝกหัดไดถูกตอง นักเรียนบางสวนทําแบบฝกหัดผิดเนื่องจากนักเรียนสะเพราในการคํานวณหาขนาดของจํานวนเชิงซอนที่กําหนด แตก็พบนอยมากที่นักเรียนจะทําผิด นักเรียนทุกคนมีมโนมิที่ถูกตองเกี่ยวกับสังยุคของจํานวนเชิงซอน โดยการสังเกตการเรียนการสอนในหองเรียนพบวา นักเรียนทั้งหมดทําแบบฝกหัดเรื่องสังยุคของจํานวนเชิงซอนไดถูกตองทุกขอ และจากการทดสอบพบวานักเรียนสวนใหญหาสังยุคของจํานวน 2 – 7 i และสังยุคของ 8 ไดถูกตอง วงจรที่ 5 ขั้นวางแผน เปาหมายของการวิจัยในวงจรนี้คือ ตองการใหนักเรียนสามารถนํามโนมติเกี่ยวกับจํานวนเชิงซอน ไปใชในการแกปญหาการคิดคํานวณและการแกสมการพหุนาม ดําเนินการสอนโดยใชคําถาม และใหผูเรียนสังเกตลักษณะรวมกันของจํานวนจริง และจํานวน จินตภาพ สมบัติตาง ๆ ของจํานวนเชิงซอนเพิ่มเติม ทาํการรวบรวมขอมูลในทํานองเดียวกันกับวงจรที่ 2 ขั้นปฏิบัติการและสังเกตผลการปฏิบัติ ผูวิจัยดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนตามแผนการเรียนรูที่ 9 – 10 เร่ือง รากที่ 2 ของจํานวนเชิงซอน และสมการพหุนาม โดยเริ่มจากการใหสูตรการหารากที่ 2 ของจํานวนเชิงซอนกอน แลวใหนักเรียนทํากิจกรรมหารากที่ 2 ของจํานวนที่กําหนดใหโดยอาศัยสูตร จากนั้นอธิบายการประยุกตใชกับการหาคําตอบของสมการพหุนามโดยการยกตัวอยางประกอบ แลวใหทฤษฎีที่เกี่ยวของเพื่อชวยในการหาคําตอบของสมการพหุนามที่มีความซับซอนมากขึ้น ขั้นสะทอนความคิด ผูวิจัยวิเคราะหขอมูลทั้งหมดที่ไดบันทึกไวทั้งการสังเกตพฤติกรรมการเรียน การตอบคําถามตลอดจนผลการตรวจแบบฝกหัด ไดขอสรุปดังนี้ 1. จากการทบทวนการเขียนรูปเชิงขั้วของ -1 + i 3 นักเรียนสวนใหญเขียนกราฟของเวกเตอรแสดงจํานวน -1 + i 3 ไดถูกตอง บอกขนาดของเวกเตอรและมุมของ

46

เวกเตอรไดอยางถูกตอง นักเรียนหารากที่ 2 ของ -1 + i 3 จากรูปเชิงขั้วของ -1 + i 3 โดยการใชสูตร

z k = n r ( cosn

θ+ok360 + i sin n

θ+ok360 ) และ k = 0 , 1 , 2 , …., n -1

พบวานักเรียนสวนใหญจําสูตรไมได เมื่อบอกสูตรแกนักเรียนแลวนักเรียนสามารถทําตามสูตรไดถูกตอง แตพบปญหาเรื่องการคํานวณเพื่อหารูปที่งายที่สุดซึ่งนักเรียนบางสวนมีความลังเล ไมมั่นใจวาคําตอบที่ตนเองตอบนั้นถูกตองหรือไม หลังจากเฉลยคําตอบแลวนักเรียนมีความมั่นใจ กลาที่จะคิดและทําแบบฝกหัดดวยตนเองมากขึ้น 2. เมื่ออธิบายหลักการใชสูตรการหารากที่ 2 ของจํานวนเชิงซอนโดยใชสูตรราก

ที่ 2 ของ biaz += คือ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+±

22ariar เมื่อ b≥ 0 หรือ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

+±

22ariar

เมื่อ b < 0 แลวสังเกตการทํากิจกรรมหารากที่ 2 ของจํานวน -1 + i 3 ของนักเรียนทั้งชั้น พบวานักเรียนทุกคนมีความตั้งใจและตอบคําถามไดถูกตอง เชน คา a และ b ของจํานวน -1+ i 3 คืออะไร เปนตน 3. หลังจากอธิบายหลักการใชสูตรการหารากที่ 2 ของจํานวนเชิงซอน ทั้งสองสูตร แลวสังเกตการรวมกิจกรรมของนักเรียนพบวา นักเรียนสวนใหญบอกไดถูกตองวาการหาร

ที่ 2 ของ -7 -24 i ใชสูตร ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

+±

22ariar และบอกเหตุผลที่เลือกใชสูตรนี้ไดถูกตองวา

เพราะ -24 < 0 จากการเดินดูการทําแบบฝกหัดของนักเรียน พบวานักเรียนสวนใหญหารากที่ 2 ของ -7-24 i ไดถูกตอง แตก็มีนักเรียนบางสวนที่เก ๆ กัง ๆ ไมยอมเขียนอะไร เมื่อเฉลยพรอมกันนักเรียนสวนใหญตอบคําถามขณะที่เฉลยได 4. นักเรียนสวนใหญเลือกใชสูตรในการหาคําตอบของสมการพหุนามดีกรีสองไดอยางถูกตอง และคํานวณหาคําตองไดถูกตอง เชน คําตอบของสมการ

086x2x =++ คือ { 2,4 } ซ่ึงหาคําตอบจากสูตร a2

ac4bb 2−±− และที่เลือกใชสูตรนี้

เพราะ 04(1)(8)26 ≥− เปนตน 5. นักเรียนสวนใหญตั้งใจและสนใจฟงครูอธิบายการหาคําตอบของสมการ พหุนาม 01x32x =+− โดยใชทฤษฎีบทการตัวประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ

47

6. นักเรียนบางสวนหาคําตอบของสมการ 01x22x32x =+++ ไดอยางถูกตอง สวนนักเรียนที่เหลือหาคําตอบไดถูกตองเชนเดียวกันแตทําชาและครูตองคอยใหคําแนะนําในการหาคําตอบ 7. นักเรียนสวนใหญพิสูจนไดวา 2 + i3 เปนคําตอบของสมการ

014207 =++− xxx 24 และ 2 − i3 เปนคําตอบของสมการ 014207 =++− xxx 24 แตในการทํากิจกรรมดังกลาวนี้ใชเวลาทั้งคาบเรียน เนื่องจากนักเรียนเห็นวาโจทยยาวและตองอาศัยความรูเร่ืองเลขยกกําลัง นักเรียนมีความลังเลไมแนใจวาคําตอบที่ตนเองตอบนั้นถูกหรือไม ซ่ึงจากการตรวจสอบพบวานักเรียนบางสวนตอบถูก บางสวนสะเพราในการคูณ และการบวกลบจํานวน และจากการพูดคุยกับนักเรียนพบวานักเรียนสวนใหญเห็นโจทยมีตัวแปรและโจทยยาว แลว รูสึกทอ ไมมีกําลังใจที่จะหาคําตอบ จากการดําเนินการวิจัยในวงจรนี้ เพื่อตองการใหนักเรียนมีมโนมติที่ถูกตองเกี่ยวกับรากที่สองของจํานวนเชิงซอน และสมการพหุนาม โดยการใชสูตรและทฤษฎี พบวานักเรียนมีมโนมติของการหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนที่ถูกตอง และนักเรียนหาคําตอบของสมการพหุนามไดถูกตอง ซ่ึงถือวาการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในวงจรนี้ประสบความสําเร็จ แตยงัตองมีการปรับปรุงแผนการจัดการเรียนรูเพื่อตอบสนองความตองการและระดับความสามารถของผูเรียน เนื่องจากนักเรียนยังมีความเชี่ยวชาญในการแกปญหาคอนขางนอย ซ่ึงพบมากในกลุมนักเรียนที่เรียนออน หลังจากดําเนินการวิจัยครบทุกวงจรแลวผูวิจัยทําการวัดความรูและความเขาใจในมโนมติเร่ืองจํานวนเชิงซอน โดยนําขอสอบไปทดสอบกับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5/4 โรงเรียนนวมินทราชูทิศ พายัพ จํานวน 43 คน แตในวันที่ทดสอบนักเรียนนั้นมีนักเรียนขาดเรียนจํานวน 4 คน จึงมีผูเขาสอบทั้งสิ้น 39 คน ใชเวลาในการทําขอสอบ 50 นาที ผลการทดสอบ ปรากฏดังแผนภูมิ ตอไปนี ้

48

แผนภูม ิ 1 รอยละของนักเรียนท่ีทําขอสอบไดถูกตอง

87.1897.44

82.0589.74

76.9269.23

97.4492.31

76.92

61.54

97.44

74.36

43.59

0

20

40

60

80

100

120

1จุดประสงคท่ี

รอยละ

แผนภูม ิ 1 รอยละของนักเรียนท่ีทําขอสอบไดถูกตอง

87.1897.44

89.7497.4492.31 97.44

43.59

82.05 76.9269.23

76.92

61.54

74.36

0

20

40

60

80

100

120

1จุดประสงคท่ี

รอยละ

จากแผนภูมิแสดงใหเห็นวานักเรียนมีความรูความเขาใจมโนมติของจํานวนเชิงซอนและนําความรูไปใชในการคิดคํานวณไดดีมาก แตนักเรียนหาคําตอบของสมการพหุนามไดเพียงรอยละ 43.59 จากการวิเคราะหขอผิดพลาดของนักเรียนแยกตามจุดประสงค พบวา

1. ดานมโนมติของจํานวนเชิงซอน จุดประสงคที่ 1 นักเรียนบอกไดวาจํานวนที่กําหนดเปนจํานวนเชิงซอน นักเรียนเขาใจวาจํานวนเชิงซอนตองมี i เชน 78 ไมเปนจํานวนเชิงซอน

2. ดานการคิดคํานวณ จุดประสงคที่ 2 นักเรียนหาผลบวกของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดได ความสะเพรา เชน ( 3+6i ) + ( 2+10i ) = 6+16i จุดประสงคที่ 3 นักเรียนหาผลลบของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดได 1. สะเพราเครื่องหมาย + , - จุดประสงคที่ 4 นักเรียนหาผลคูณของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดได คูณจํานวนเชิงซอนไดแตหาผลบวกและลบที่เกิดจากการคูณแตละพจนไมได

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

การคิดคํานวณ มโนมติของจํานวนเชิงซอน

สมการพหุนาม

แผนภูมิ 1 รอยละของนักเรียนที่ทําขอสอบไดถูกตอง

49

จุดประสงคที่ 5 นักเรียนหาผลหารของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดได หารจํานวนเชิงซอนไดแตสะเพราในเรื่องของเครื่องหมาย + , - นักเรียนบางคนหาผลหารไดแลวแตลืมใสตัวสวนของผลหาร จุดประสงคที่ 6 นักเรียนบอกสวนจริงและสวนจินตภาพของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดได 1. นักเรียนสะเพราในการคํานวณหาคําตอบ 3 คน 2. นักเรียนไมมีมโนมติ จํานวน 3 คน จุดประสงคที่ 7 นักเรียนหาสังยุคของจํานวนที่กําหนดได ไมมี จุดประสงคที่ 8 นักเรียนหาขนาดของจํานวนที่กําหนดได 1. ใชสัญลักษณผิด เชน 333273333i33 +=+=+=+

2. สะเพรา คํานวณถูกแตตอบผิด จุดประสงคที่ 9 นักเรียนเขียนรูปเชิงขั้วของจํานวนที่กําหนดได 1. บอกมุมผิด 2. คํานวณผิดพลาด 3. ไมมีมโนมติเกี่ยวกับรูปเชิงขั้ว จุดประสงคที่ 10 นักเรียนหาคา Z n ได 1. หาคา θsin และ θcos ไมถูก 2. บอกมุมผิด 3. คํานวณผิดพลาด จุดประสงคที่ 11 นักเรียนหารากที่ n ของจํานวนจริงได นักเรียนหารากที่เปนรากหลักไมได จุดประสงคที่ 12 นักเรียนหารากที่ n ของจํานวนจินตภาพได 1. บอกมุมผิด 2. คํานวณตามสูตรแตคํานวณมุมผิด

3. ดานความรูเก่ียวกับสมการพหุนาม จุดประสงคที่ 13 นักเรียนหาเซตคําตอบของสมการที่กําหนดได สะเพราในการแทนคาตามสูตรการหาคําตอบสมการกําลังสอง

50

จากขอมูลขางตนจะเห็นไดวาขอบกพรองของนักเรียนในการเรียนรูเร่ือง จํานวนเชิงซอนนั้น เนื่องมาจากนักเรียนมีความรูพื้นฐานการลบ และฟงกชันตรีโกณมิติที่ไมเพียงพอ ประกอบกับความสะเพราของนักเรียน ทําใหผลสัมฤทธิ์ในการเรียนในเนื้อหาที่ตองใชความรูพื้นฐานดังกลาวไมประสบผลสําเร็จตามที่คาดหวังไว เชน เร่ืองการหาคา Z n การหาเซตคําตอบของสมการที่กําหนด เปนตน จากการประเมินผลดานพุทธิพิสัย ดานทักษะพิสัยและดานจิตพิสัย พบวานักเรียนไดคะแนนดานพุทธิพิสัยอยางนอย 3 ใน 5 คะแนน จํานวน 88.37 % นักเรียนไดคะแนนดานทักษะพิสัยอยางนอย 3 ใน 4 คะแนน จํานวน 100 % และนักเรียนไดคะแนนดานทัศนะคติอยางนอย 4 คะแนน ใน 5 คะแนน จํานวน 90.7 % (ภาคผนวก ข หนา 189 - 206)