โปรแกรมเชื่อมต อกับผู ใช ทางกราฟ...
Transcript of โปรแกรมเชื่อมต อกับผู ใช ทางกราฟ...
โปรแกรมเชอมตอกบผใชทางกราฟกในการหาสมการการเคลอนทของหนยนตดวยโปรแกรม MATLAB
ปรญญานพนธ ของ
วรช สรทรพยไพบลย เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา
ตามหลกสตรปรญญาวศวกรรมศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาวศวกรรมเครองกล เมษายน 2551
โปรแกรมเชอมตอกบผใชทางกราฟกในการหาสมการการเคลอนทของหนยนตดวยโปรแกรม MATLAB
ปรญญานพนธ ของ
วรช สรทรพยไพบลย เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา
ตามหลกสตรปรญญาวศวกรรมศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาวศวกรรมเครองกล เมษายน 2551
ลขสทธเปนของมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ
โปรแกรมเชอมตอกบผใชทางกราฟกในการหาสมการการเคลอนทของหนยนตดวยโปรแกรม MATLAB
บทคดยอ ของ
วรช สรทรพยไพบลย เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา
ตามหลกสตรปรญญาวศวกรรมศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาวศวกรรมเครองกล เมษายน 2551
วรช สรทรพยไพบลย (2551). โปรแกรมเชอมตอกบผใชทางกราฟกในการหาสมการการเคลอนทของหนยนตดวยโปรแกรม MATLAB. ปรญญานพนธ วศ.ม. (เครองกล). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. คณะกรรมการควบคม : พนโท ผชวยศาสตราจารย ดร.ทววชร วระแกลว, พนโท ผชวยศาสตราจารย ดร.อโณทย สขแสงพนมรง.
ในงานวจยนมวตถประสงคเพอออกแบบและสรางโปรแกรม Graphical User Interface
สาหรบรบคาอนพตคาตวแปรตางๆ ทใชในการคานวณเพอหาสมการการเคลอนทของหนยนต รวมถงการแสดงผลเอาทพตหลงการคานวณในรปแบบทเหมาะสมดวยโปรแกรม MATLAB และสามารถหาคา Moment of Inertia ของแขนกลรปทรงเรขาคณตอยางงายเพอนามาชวยใหหาสมการการเคลอนทไดถกตองยงขน
การดาเนนการวจยนไดออกแบบและสรางสมการการเคลอนทของหนยนตดวยทฤษฎของ ออยเลอร-ลากรานซ และวเคราะหปญหาของหนยนตแบบ Forward Kinematics ผใชตองมขอมลทเปนตาราง D-H (Denavit-Hartenberg) อนพตทโปรแกรมโดยทผใชสามารถอนพตคาทเปนเชงตวเลขหรอคาทเปนตวแปรกได ซงโปรแกรมจะนาคาทไดไปคานวณตอโดยใชฟงกชน Symbolic ถาคาทอนพตเปนตวแปร คาผลลพธคาตอบทไดจะตดเปนตวแปรเชนกน ในสวนการอนพตคาโมเมนตความเฉอยทเปนรปทรงเรขาคณตอยางงาย ผใชสามารถเลอกไดงายโดยมรปภาพมาประกอบใหเลอกและใสคาตวแปรตางๆ ดงรป การแสดงผลของผลลพธคาตอบสามารถแสดงออกมาไดหลายโปรแกรม แลวแตผใชจะเปนผเลอก เพอทสามารถนาไปประยกตกบโปรแกรมอนเพอหาคาตอบทเปนเชงตวเลขไดอกครง
จากการทดสอบโปรแกรมพบวาวธการหาสมการการเคลอนทของหนยนตดวยโปรแกรมนนมความถกตอง เมอแสดงใน โปรแกรม แตเมอผลทไดออกมาใหรปแบบของ Microsoft Office Word หรอโปรแกรมอน จะไมสามารถทาใหอยในรปของสมการทเขาใจไดงาย ดงนนจงตองเขาใจในตวแปรของสมการดงกลาวดวย
THE GRAPHIC USER INTERFACE FOR THE EQUATIONS OF MOTION ROBOT USING MATLAB PROGRAM
AN ABSTRACT
BY WIRAT SIRISAPPAIBUN
Presented in Partial Fulfillment of the Requirements for the Master of Engineering Degree in Mechanical Engineering
at Srinakharinwirot University April 2008
Wirat Sirisappaibun. (2008). The Graphic User Interface for The Equations of Motion Robot Using MATLAB Program. Master thesis, M.Eng. (Mechnical Engineering). Bangkok: Graduate School, Srinakharinwirot University. Advisor Committee : Lt.Col. Asst. Prof. Dr. Tawiwat Veeraklaew , Lt.Col. Asst. Prof. Dr. Anotai Suksangpanomrung.
In this thesis have the objective for designs and construction Graphical User Interface for input the variable at use in the computation for find dynamic equation of a robot include outcome calculation show in the format that is appropriate with a program MATLAB and find inertia momentum of arm simply geometric for bring to help give can seek dynamic equation is correct increasingly. Operation researched this design and construction equation of robot motion describing by Euler-Lagrange equations and analytical robotic manipulators in term of Forward Kinematics, D-H (DENAVIT-HARTENBERG) can be incorporated to the program including the digital and variable inputs. MATLAB program determines the data by symbolic function, if input is the variable then the outcome is also the variable, in case of input the inertia momentum is simply geometry the user simply chose by have the picture assemble and input variable follow picture the expression of result can be illustrated in many programs base on user preference which aims to apply with the other program that generates the result as digital once again. From program tested discover that the method find dynamic equation of a robot with program has the justice, when show in program but when at get come out give the format of MS. Word or a program is other will can not display in format of the equation that simply understand thus then must understand in the variable of the equation with.
ปรญญานพนธ เรอง
โปรแกรมเชอมตอกบผใชทางกราฟกในการหาสมการการเคลอนทของหนยนตดวยโปรแกรม MATLAB
ของ วรช สรทรพยไพบลย
ไดรบอนมตจากบณฑตวทยาลยใหนบเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตร
ปรญญาวศวกรรมศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาวศวกรรมเครองกล ของมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ
........................................................................ คณบดบณฑตวทยาลย
(ผชวยศาสตราจารย ดร.เพญสร จระเดชากล) วนท….. เดอน เมษายน พ.ศ. 2551
คณะกรรมการควบคมปรญญานพนธ คณะกรรมการสอบปากเปลา ........................................ ประธาน ........................................ ประธาน (พ.ท.ผศ.ดร.ทววชร วระแกลว) (รศ.ดร.เศรษฐพงค มะลสวรรณ) …………………………… กรรมการ …………………………… กรรมการ (พ.ท.ผศ.ดร.อโณทย สขแสงพนมรง) (พ.ท.ผศ.ดร.ทววชร วระแกลว) .….…............................... กรรมการ (พ.ท.ผศ.ดร.อโณทย สขแสงพนมรง) ........................................ กรรมการ (ผศ.วชต บวแกว)
ประกาศคณปการ ปรญญานพนธฉบบน สาเรจไดดวยความกรณาของ พนโท ผชวยศาสตราจารย ดร. ทววชร วระแกลว ประธานกรรมการควบคมการทาปรญญานพนธ และ พนโท ผชวยศาสตราจารย ดร. อโณทย สขแสงพนมรง กรรมการควบคมการทาปรญญานพนธ ทกรณาใหคาปรกษา แนะนาและใหความชวยเหลอแกไขความบกพรองและปญหาตางๆ อกทงใหกาลงใจขณะดาเนนการทาปรญญานพนธ ผวจยขอกราบขอบพระคณเปนอยางสงตลอดไป ขอขอบพระคณ ผชวยศาสตราจารย วชต บวแกว ทชวยตรวจแกปรญญานพนธ และใหขอเสนอแนะทเปนประโยชนตองานวจย ขอขอบคณบดา มารดา ตลอดจนเพอนรวมงานทกทาน ในความสนบสนน ชวยเหลอและใหกาลงใจ เปนอยางดตลอดเวลา ขอขอบคณเพอนรวมชนรนท 3 และรนพรนนองในโครงการความรวมมอหลกสตรปรญญาโท มศว. และ รร.จปร. สาขาวชาวศวกรรมเครองกล ทกทานทใหความชวยเหลอและเปนกาลงใจตลอดมา
วรช สรทรพยไพบลย
สารบญ
บทท หนา 1 บทนา................................................................................................................ 1 ความเปนมาและความสาคญของปญหา...................................................... 1 วตถประสงคของการวจย............................................................................ 1 ขอบเขตของการวจย................................................................................... 2 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ.......................................................................... 2 2 งานวจยและทฤษฎทเกยวของ........................................................................... 3 ทบทวนงานวจยทเกยวของ.......................................................................... 3 ทฤษฎทเกยวของ........................................................................................ 4 3 วธดาเนนการวจย.............................................................................................. 24 การกาหนดปญหาหนยนต……………………………................................... 24 การแกปญหาเชงสญลกษณ........................................................................ 28 ลาดบขนตอนการทางานของโปรแกรม…………………................................ 30 4 ผลการทดสอบและวเคราะหผลการทดสอบ..................................................... 31 ผลการทดสอบ........................................................................................... 31 วเคราะหผลการทดสอบ............................................................................... 39 5 สรปและวจารณ................................................................................................. 40 สรปและวจารณผลการทดสอบ.................................................................... 40 ขอเสนอแนะ............................................................................................... 41 บรรณานกรม................................................................................................................. 42
สารบญ(ตอ)
บทท หนา ภาคผนวก…...……………………………………………….…………………………… 44 อภธานศพท………………………………………………….…………………………… 70 คาอธบายสญลกษณ……………………………………..…….………………………… 72 ประวตยอผวจย……................................................................................................. 73
บญชตาราง ตาราง หนา
1 คาตวแปร D-H ของหนยนตแบบแขนกลทมลกษณะเปนขอตอแบบงอ ……….....……. 25 2 คาตวแปร D-H ของหนยนตสเตมฟอดร ………………………………..………………. 27 3 คาตวแปร D-H ของหนยนตสกาลาร ……………………………………...……………. 28
บญชภาพประกอบ ภาพประกอบ หนา
1 แสดงตาแหนงจดศนยกลางมวล ……….…………………………... …………………. 5 2 แทงกลมขนาดเลก สวนทแรเงาคอมวล dm เลก ๆ ทแบงในชวง dx …………………. 6 3 แสดงภาพประกอบทฤษฎแกนขนาน ……………………………….…………………. 8 4 แสดงแกนทตดกบเฟรมของแขนกลรปทรงคลายขอศอก ………………………………. 10
5 แสดงการตงเฟรมตามวธเดนาวต-ฮารเทนเบอรก ……………...………………………. 12 6 แขนกลทมลกษณะเปนขอตอแบบงอ 2 ขอตอ ………………..………………..……… 24
7 กาหนดพกด DH เฟรมสาหรบหนยนตสเตมฟอดร ………………..……………………. 26 8 กาหนดพกด DH เฟรมสาหรบหนยนตสกาลาร …..………………………….…………. 27 9 แสดงลาดบขนตอนการทางานของโปรแกรมแบบยอ …….………………….…………. 30 10 แสดงตวแปรทมในแขนกลทมลกษณะเปนขอตอแบบงอ 2 ขอตอ ………….…………. 31 11 แสดงตวแปรทมในหนยนตสเตมฟอดร …....………….…………………..….…………. 36 12 แสดงตวแปรทมในหนยนตสกาลาร .………………………………………...…………. 38
บทท 1 บทนา
1.1 ความเปนมาและความสาคญของปญหา ในยคสมยทเทคโนโลยมการพฒนาเจรญกาวหนานน งานภาคอตสาหกรรมกลบมความตองการจางแรงงานจานวนมาก ทาใหตนทนการผลตของแตละโรงงานเพมสงขน ประกอบกบงานอตสาหกรรมบางอยางอนตรายและมความเสยงสง หรอเปนงานทตองการความรวดเรวและแมนยาในการผลต ทาใหหนยนตกลายมาเปนทางออกของงานภาคอตสาหกรรม หนยนตสามารถทางานไดแบบอตโนมต โดยมอปกรณควบคมใหหนยนตทางานตามเปาหมายทกาหนด ในกระบวนการทางานทดาเนนไปอยางชา ๆ นน จะสามารถควบคมตวแปรดวยมอหรอเครองมอพนฐานได แตสาหรบกระบวนการทตองการความรวดเรวและถกตองสง เราไมอาจสามารถควบคมดวยมอได เพอหลกเหลยงความลาชาและไมสมาเสมอของมนษย จงมผนาเอาคอมพวเตอรมาประยกตเขากบหนยนต ทาใหเกดผลสาเรจของการควบคมอยางรวดเรว เทยงตรง และมเสถยรภาพ
ในการควบคมการเคลอนทของหนยนตนน มตวแปรหลายอยางทเขามาเกยวของ และมการคานวณทซบซอนหลายขนตอน อาจทาใหเกดความผดพลาดไดงาย การนาโปรแกรมคอมพวเตอรมาใชจงเปนอกวธหนงในการแกไขปญหา และสงผลใหการควบคมการเคลอนทถกตอง แมนยา และรวดเรวมากยงขน
1.2 วตถประสงคของการวจย
1.2.1 เพอออกแบบและสรางโปรแกรมเชอมตอกบผใชทางกราฟกสาหรบรบคาอนพตคาตวแปรตางๆ ทใชในการคานวณเพอหาสมการการเคลอนทของหนยนต รวมถงการแสดงผลเอาทพตหลงการคานวณในรปแบบทเหมาะสมดวยโปรแกรม MATLAB
1.2.2 เพอออกแบบและสรางโปรแกรมเชอมตอกบผใชทางกราฟกจาก MATLAB เพอหาคาโมเมนตความเฉอยรปทรงเรขาคณตอยางงาย
2 1.3 ขอบเขตของการวจย 1.3.1 โปรแกรมเชอมตอกบผใชทางกราฟกสามารถรองรบจานวนแขนตอ (Link) ทมใน
ระบบไดไมจากดจานวน แตงในงานวจยนจะทดสอบเพยง 6 แขนตอ 1.3.2 สรางและแสดงผลสมการการเคลอนทใหออกมาในรปแบบของ MATLAB และ
Microsoft Office Word 1.3.3 วเคราะหปญหาของหนยนตแบบหาจลศาสตรไปขางหนา (Forward Kinematics) 1.3.4 ใสรปแบบของโมเมนตความเฉอยของแขนตอทมรปทรงเรขาคณตอยางงายได เชน
ทรงวงกลม ทรงวงรทรงกระบอก ทรงพระมด ทรงพาราโบลอย เปนตน 1.3.5 สามารถหาโมเมนตความเฉอยของแขนตอทแกนหมน ณ จดใด ๆ 1.4 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ
1.4.1 ชวยในดานการเรยนการสอน โดยผทกาลงศกษาหรอสนใจเรองหนยนตสามารถนาสมการการเคลอนท ทไดจากการคานวณดวยมอมาตรวจสอบกบโปรแกรม
1.4.2 ผลของการวจยจะทาใหโปรแกรมคอมพวเตอรสามารถหาสมการการเคลอนทไดอยางรวดเรว แมนยาและถกตอง
1.4.3 ผลของการวจยจะทาใหโปรแกรมคอมพวเตอรทสามารถหาคาโมเมนตความเฉอยรปทรงตางๆ ทงทมรปทรงเรขาคณตอยางงาย
1.4.4 เปนการสรางองคความรพนฐาน เพอทจะพฒนาไปสความรทางวชาการและวทยาการทสงขน
1.4.5 เปนแนวทางในการสรางและพฒนาโปรแกรมทเกยวกบหนยนตในอนาคต 1.4.6 สามารถนาเอาขอมลทฤษฎทไดจากการศกษางานวจยน นาไปวเคราะหรวมกบ
งานวจยอนทมลกษณะคลายคลงกนได
บทท 2 งานวจยและทฤษฎทเกยวของ
ในการวจยครงน ไดศกษาเอกสารและงานวจยทเกยวของ และนาเสนอตามหวขอตอไปน 1. ทบทวนงานวจยทเกยวของ 2. ทฤษฎทเกยวของ 2.1 ทบทวนงานวจยทเกยวของ ในการออกแบบหนยนตจะตองมการคานวณหาสวนตางๆมากมาย หนงในนนมการหาสมการการเคลอนทของหนยนต ซงถอวาสาคญอยางมาก โดยสมการการเคลอนทจะเปนตวกาหนดเสนทางการเคลอนทของหนยนตใหเปนไปตามทตองการ จงไดมการคดคนพฒนาโปรแกรมเพอชวยในการคานวณหา อาทเชน เครองมอทใชเกยวกบหนยนตในโปรแกรม MATLAB (Robotics Toolbox for MATLAB) , 2000 มฟงกชนใหเลอกใชมากมายและเปนประโยชนในเรองหนยนต เชน จลนศาสตร (Kinematics) การเคลอนทและการสรางเสนทางการเคลอนท เครองมอนยงมประโยชนสาหรบการจาลองผลการวเคราะหจากการทดลองดวยหนยนตจรง โดยหลกๆใชวธของจลนศาสตรและการเคลอนทของการผสมผสานจดตอหลายรปราง ซงแบบหนยนตทใชกรจกกนดเชน พมา560 (Puma 560) และ สแตมฟอรดอาม (Stanford Arm) ฟงกชนของเครองมอทใชเชน เวกเตอร การเปลยนรปของวตถทประกอบเขากนและการแบงภาคระนาบทงสซงจาเปนกบการแทนคาของจดสามมตและการพลกหกเห จะสงผลใหการแสดงภาพกราฟกทาทางของหนยนตไดดอกดวย เพยงใหคา DH (Denavit and Hartenberg Parameters) หนยนตกจะสามารถเคลอนเปนลาดบจากจดขอตอไปหาจดอางองผลทไดรบจากโปรแกรมคอ จดตาแหนงทแสดงในกราฟฟกซงสามารถนาไปเปรยบเทยบกบวธการอนทหาไดและไดภาษาโปรแกรมหลก (Source Code) ซงนนจะเปนประโยชนสาหรบการทาความเขาใจและการเรยนการสอน Web Enabled Robot Design and Dynamic Control Simulation Software Solutions From Task Points Description โดย ทาเลค โซบ สาโรดร พาเทลและไบล หวง (Tarek Sobh, Sarosh Patel and Bei Wang) แหงมหาวทยาลยบรจพอรต, 2005 ไดรวมกนสรางเวบไซดสาหรบการออกแบบหนยนต และการจาลองการเคลอนท โดยไดจากรายละเอยดของจดงาน การรวมโปรแกรมตางๆ และการคานวณอยางมประสทธภาพดวยการใชหลกคณตศาสตรและความสามารถของ MATLAB การกาหนดตาแหนงและความเรวของแตละจด โปรแกรมจะออกแบบหนยนต 3 ระดบขนความเสรให
4
เรยบรอย โดยใชหลกการคานวณของตวแปรทางการเคลอนททเหมาะสมอาทเชน ความยาวของขอตอ มวลและโมเมนตความเฉอย สรปจากการศกษางานวจยทเกยวของทาใหทราบวามการพยายามสรางโปรแกรมชวยในการออกแบบหนยนตใหมความถกตองและงายตอการศกษาเรยนร ซงสวนใหญจะสรางจากการอางองรปแบบหนยนตทเปนมาตรฐาน จากดจานวนขอตอ (Link) ของแขนหนยนตและออกแบบเปนแบบสาเรจรป โดยไมสามารถจะบงบอกหรอแสดงสมการการเคลอนททคานวณไดดวยโปรแกรม ซงจะนามาศกษาเปรยบเทยบความถกตองหลงคานวณไดดวยมอจากทศกษามา จงทาใหผวจยมความสนใจทจะศกษาและสรางโปรแกรมทสามารถคานวณหาสมการการเคลอนท ใหแสดงอยในรปแบบตาง ๆ เพอสะดวกตอการนาไปใชงาน โดยโปรแกรมสามารถหาจานวนขอตอไดไมจากดจานวน อกทงสามารถกาหนดรปทรงของขอตอ ในรปทรงเรขาคณตอยางงายในรปทรงตาง ๆ ไดดวย ซงจะทาใหสมการการเคลอนทมความถกตองมากยงขน 2.2 ทฤษฎทเกยวของ 2.2.1 โมเมนตความเฉอยของวตถ (Moment of Inertia of the Mass) 2.2.1.1 จดศนยกลางมวล (Center of Mass; CM) จดศนยกลางมวลถอวาเปนจดเสมอนมวลสาหรบวตถขนาดใหญ หรอระบบอนภาครวมอยทจดนน โดยปกตจดศนยกลางมวลและจดศนยกลางความถวง จะเปนจดเดยวกนและอาจอยภายในหรอภายนอกวตถกได ถาวตถมขนาดใหญมาก ในทานองเดยวกนกบจดศนยกลางความถวงกจะหาจดศนยกลางมวล
..mcx = ∑∑
mmx ii (2.1)
..mcy = ∑∑
mmy ii (2.2)
..mcz = ∑∑
mmz ii (2.3)
ให ..mcx , ..mcy , ..mcz คอ จดพกดของจดศนยกลางมวล ถาให rv เปนเวกเตอร ตาแหนงของจดศนย
กลางมวล จะได ..mcrv =
mrm ii∑ เทยบกบแกนพกด xyz กบแกนพกด ..mcx , ..mcy , ..mcz จะมจด
กาเนดทจดศนยกลางมวล
5
ภาพประกอบ 1 แสดงตาแหนงจดศนยกลางมวล (CM)
2.2.1.2 วธคานวณหาโมเมนตความเฉอย (Moment of Inertia) 2
ii rmI ∑= เปนสมการทหาโมเมนตความเฉอยในกรณทมวลเปนจด แตถามวลมรปทรงขนาดใหญและเนอวตถกระจายอยางสมาเสมอจะตองใชวธการอนทกรลแทนโดยแบงมวลของวตถออกเปนชนเลก ๆ มคา dm อยหางจากแกนหมนเปนระยะ r โมเมนตความเฉอยของอนภาคเลกๆ นจะเปน
dI = dmr 2 (2.4) โมเมนตความเฉอยของวตถทงกอน
I = ∫ dmr 2 (2.5) ถา ρ เปนความหนาแนนของวตถ และ dV เปนปรมาตรเลก
dm = ρdV (2.6) แทนในสมการ(2.5) จะได
6
I = ∫ 2r ρdV (2.7)
การกระจายของมวลเปนเนอเดยวสมาเสมอ ความหนาแนนจะคงท สามารถนาออกนอกเครองหมาย อนทกรลได
I = ρ∫ 2r dV (2.8) dV คอปรมาตรเลก ๆ ของมวล dm จงมลกษณะเหมอนจด ดงเชน วธคานวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงกลมขนาดเลก มวล m ยาว l เนอวตถกระจายสมาเสมอ แกนหมนตงฉากกบจด O หางจากปลายแทงขางหนงเปนระยะ h แบงแทงกลมเปนชวงเลก ๆ dx หางจากจด O เปนระยะ x อตราสวนของมวลกอนเลก ๆ dm ตอมวลทงกอน m จะเทากบ อตราสวนของ dx กบความยาวทงหมด l ดงน
ภาพประกอบ 2 แทงกลมขนาดเลก สวนทแรเงาคอมวล dm เลก ๆ ทแบงในชวง dx
ดงนนจะได
ldx
mdm
= (2.9)
lmdxdm = (2.10)
แทนคา dm ลงในสมการ (2.5) และอนทเกรตบนแกน x จาก h− ถง hl − ดงน
h hL −
7
0I = ∫ dmx 2 = dxx
lm hl
h∫−
−
2
= hlh
xlm −
−3
3
= )3ln3(31 22 hlm +− (2.11)
สมการ (2.11) ทได สามารถหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนไดทก ๆ แกน ตวอยางเชน ถาแกนหมนอยทปลายแทงดานซาย 0=h จะได
2
31mlI = (2.12)
แกนหมนอยทปลายแทงดานขวา lh = จะได
2
31mlI =
เทากนเพราะมวลมลกษณะสมมาตร ทงซายขวา ถาแกนหมนผานจดศนยกลางมวล h =
2l
2
121 mlI = (2.13)
2.2.1.3 ทฤษฎแกนขนาน (Parallel Axis Theorem) รอบแกนทผานจดศนยกลางมวล แทนดวย ..mcI แตถาเราตองการหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนใหมทขนานกบแกนหมนเดมเปนระยะ d กสามารถคานวณหาได โดยใชทฤษฎของสไตเนอร (Steiner's Theorem) หรอทฤษฎแกนขนาน (Parallel Axis Theorem) ซงเขยนเปนรปของสมการไดวา
I = ..mcI + 2md (2.14)
8
..mcI คอโมเมนตความเฉอยของวตถมวล m รอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวล I คอโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนซงขนานกบแกนทผานจดศนยกลางมวลและหางเปนระยะ d
ภาพประกอบ 3 แสดงภาพประกอบทฤษฎแกนขนาน การพสจนหาความสมพนธของสมการ (2.14) เราจะกาหนดใหจด C เปนจดศนยกลางมวลของวตถรปใด ๆ มพนทภาคตดขวางดงภาพประกอบ 3 มพกดท ( ..mcx , ..mcy , ..mcz = 0) ใหแกนหมนทผานจด C มทศตงฉากกบระนาบของกระดาษและแกนหมนทจด P ซงมแกนขนานกบแกนทผานจดศนยกลางมวล P จะมจดพกดอยท ( ax mc +.. , by mc +.. , ..mcz = 0) และระยะระหวางแกนทงสองมคา d ซงเทากบ 22 ba + จะทาใหอนภาคมวล im อยหางจากจด 22
ii yxc += และจด 22 )()( byaxP ii −+−= คาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนทผานจด P มคาเทากน
∑ −+−= })(){( 22 byaxmI iii
∑ ∑ ∑ ∑++−−+= iiiiiiii mbaymbxmayxm )(22)( 2222 เนองจากคา ..mcx และ ..mcy เปน 0 เพราะเปนจดศนยกลางมวล ดงนน ∑ ∑ == 0icmii mxxm ∑ ∑ == 0icmii myym
..mcY
..mcX O
Y
X
ix
iy
ab
d C ),( .... mcmc yx
),( .... byaxP mcmc ++ im
9
I = ∑ ∑+++ iiii mbayxm )()( 2222 I = 2MdIcm + (2.15)
2.2.2 สมการการเคลอนทของหนยนต (Dynamic Equations for Robot)
2.2.2.1 ทฤษฎจลนศาสตร (Kinematics Theory) จดมงหมายของการวเคราะหจลนศาสตร เหมอนกบหนยนตสามารถคดได ตามทกาหนดขอตอเชอมตอดวยกนทขอตอตางชนดกน ถาขอตอสามารถเหมอนกนไดยงทาใหงายยงขน เชน จดตอหมน (Revolute Joint) หรอ จดตอเลอน (Prismatic Joint) หรอนอกจากนนเปนรปทรงซบซอนกวาได เชน ลกบอลและจดตอทเปนเบา (จากทกลาวมา จดตอหมน เปนเหมอนจดแกวงและหมนรอบแกนเดยว จดตอเลอน เคลอนทเปนเสนตรงตามแกนๆ เดยว กลาวคอ ยดหรอหดเขา) ความแตกตางระหวาง 2 อยางนนคอ ประการแรก ขอตอมเพยง หนงระดบขนความเสรของการเคลอนท มมของการหมนในกรณของจดตอหมนและถาเปนการเคลอนทแบบเสนตรงในกรณของจดตอเลอน ในทางตรงกนขาม ลกบอลและขอตอแบบเบามสองระดบขนความเสร สมมตใหหนยนต มขอตอจานวน 1+n ขอตอ จาก 0 ถง n เรมตนจากฐานของหนยนต เปนขอตอท 0 จานวนจดตอเรมจาก 1 ถง n และลาดบจดตอท i เปนจดในชองวางทขอตอ
1−i และ i ทตอกน จดตอท i เปลยนมาใชแทนเปน iq ในกรณของจดตอหมน iq เปนมมของการหมนและในกรณของจดตอเลอน iq เปนระยะจดตอเคลอนท สมมตให iA เปนโฮโมจเนยเมตรกนนเปลยนรปตาแหนงของจดจากเฟรม i ถงเฟรม 1−i เมตรก iA ไมคงทแตจะแตกตางตามรปรางของหนยนตทเปลยนไป อยางไรกตามสมมตใหทกจดตอทงทหมนหรอเลอนเปน iA คอทม iq เปนฟงกชนของจดตอเดยวทเปลยนแปลงเทานน จะได
)( iii qAA = (2.16)
ขณะทโฮโมจเนยเมตรกนนเปลยนรปตาแหนงของจดจากเฟรม j ถงเฟรม i เรยกไดวาเปน ทรานฟอรมเมชนเมตรก และใชแทนเปน j
iT จะไดวา
jjiiji AAAAT 121 ... −++= if ji < (2.17)
IT ji = if ji = (2.18)
1)( −= ij
ji TT if ij > (2.19)
10
ภาพประกอบ 4 แสดงแกนทตดกบเฟรมของแขนกลรปทรงคลายขอศอก
ตาแหนงและการหกเหของจดรบแรงสดทายดวยสวนของจดตงตนหรอฐานเฟรมทสามเวกเตอร nd0
และเปน 3x3 โรเตชนเมตรก nR0 โดยลาดบและกาหนดเปนโฮโมจเนยสเมตรก
=
1000nn dR
H (2.20)
ดงนนตาแหนงและการหกเหของจดรบแรงสดทายในสวนของเฟรมตงตนจะแสดงไดวา
)()...( 110 nnn qAqATH == (2.21)
แตละโฮโมจเนยสทรานฟอรมเมชน iA เปนแบบน
= −−
1011ii
ii
idR
A (2.22)
== + 10
...1
ji
ji
jiji
dRAAT (2.23)
เมตรก j
iR แสดงการหกเหของเฟรม j สมพนธกบโครง i และใหสวนทหมนของเมตรก Aตามท
11
jj
ii
ji RRR 1
1... −+= (2.24)
เวกเตอร j
id จะยอมใหตดกนไปตามหลก ทงหมดนจะถกใชในเรองของเมตรกจาโคเบยน
jj
ji
ji
ji dRdd 1
11−
−− += (2.25) 2.2.2.2 เดนาวต-ฮารเทนเบอรก (Denavit-Hartenberg) Denavit-Hartenberg หรอ แบบแผน D-H ในความเปนแบบแผนแตละโฮโมจเนยส ทรานฟอรมเมชน iA เปนการนาเสนอตามทผลคณของสลกษณะพนฐานในการเปลยนรป
iiiiiiii xaxdzzi RotTransTransRotA αθ= (2.26)
=
−
−
100000000001
100001000010
001
1000100
00100001
110011000000
ii
iiii
ii
cssc
a
dcssc i
i αα
ααθθ
θθ
=
−
−
10000 i
i
i
dcssascccscasscsc
ii
iiiiii
iiiiii
αα
θαθαθθ
θαθαθθ
(2.27)
ทสขนาด iiii da αθ ,,, เปนตวแปรของขอตอ i และจดตอ i เปนตวแปรตางๆใน (2.26) โดยปกตจะแทนความหมายตามน ia ใชเรยกแทนความยาว iα ใชเรยกแทนการบด id ใชเรยกแทนระยะทเยอนออกมาและ iθ ใชเรยกแทนมม เมอเมตรก iA เปนฟงกชนของตวแปรเดยวซงเกดขนมาจากสามสงทนอกเหนอไปกวาสขนาดของคาคงททไดมาจากขอตอ ในขณะทสตวแปรจะม iθ ของจดตอหมนและ id ของจดตอเลอนเปนคาไมคงทของจดตอนนๆ
12
ภาพประกอบ 5 แสดงการตงเฟรมตามวธเดนาวต-ฮารเทนเบอรก (DENAVIT-HARTENBERG)
เปนการตงเฟรมบนขอตอตางๆ โดยใชวธของเดนาวต-ฮารเทนเบอรก (DENAVIT-HARTENBERG) จดกาเนดของเฟรมท )0( ii จะอยบนจดตดระหวางจดตอ 1+i กบเสนตงฉากระหวางจดตอ i กบ 1+i แกน ix จะอยบนจดตอ 1+i แกน iy จะอยบนเสนตงฉากระหวางจดตอ i กบ จดตอ 1+i แกน iz จะเปนไปตามกฎมอขวา ia คอ ความยาวของเสนตงฉากระหวาง 1−iz กบ iz id คอ ระยะระหวาง 1−ix กบ ix ตามแนวแกน 1−iz iα คอ มมระหวาง 1−iz กบ iz วดรอบแกน ix ตามกฎมอขวา iθ คอ มมระหวาง 1−iz กบ iz วดรอบแกน 1−iz ตามกฎมอขวา 2.2.2.3 จาโคเบยน (Jacobian) การพจารณาหลกจลศาสตรของแขนกล จะนาไปสความเรวของหนยนตซงมความสมพนธของความเรวจะหาไดโดยการใชจาโคเบยน ซงจะแปลงคาระหวางอนพตทจดเรมตนกบเอาทพตทปลายแขนกล จาโคเบยน มความสาคญมากในการวเคราะหและการควบคมการเคลอนไหวของหนยนตเพราะจะทาใหไดมาซงสมการการเคลอนทของหนยนตไดในทสด สาหรบหนยนตทมขอตอจานวน n ขอตอ จะสามารถหาจาโคเบยน ไดโดยการแปลงคาระหวางเวกเตอรความเรวของจดตอจานวน n เวกเตอร กบ 6 เวกตอรความเรวของจดปลายแขนกล ซงจะมทงความเรวเชงเสนและความเรวเชงมม เมอพจารณาหนยนตทมขอตอจานวน n ขอตอ จะทาใหมการเปลยนของจดตอจานวน nqq ,...,1 จะไดวา
13
=
10)()(
)(00
0 qPqRqT nn
n (2.28)
เมอ T
nqqq ),...,( 1= ซงเปนเวกเตอรของตวแปรจดตอ เมอหนยนตมการเคลอนท )(tqi จะทาใหมการเปลยนแปลงสองลกษณะคอ การเลอนตาแหนงและการหมน ดงนนจงสามารถหา
ความเรวเชงเสนและความเรวเชงมมดวยการคดเทยบกบเวลาทเปลยนแปลงไปคอ
qJV
ii
i &=
ω
(2.29)
จะไดวา
=
i
vi
i
J
JJ
ω
L
โดยท เมตรก iJ ถกเรยกวาจาโคเบยนซงจะมขนาดเทากบ n×6 เมอ n คอจานวนของขอตอ 2.2.2.4 สมการออยเลอร-ลากรานซ (Euler-Lagrange Equations) ในหวขอนไดอธบายการหาสมการในหวขอเรองโฮโลโมนกคอนสเทรน (Holomonic Constraints) เมอแรงบงคบมคาสอดคลองกบงานทเกดขน ซงเปนการเคลอนทแบบออยเลอร – ลา กรานซ (Euler-Lagrange Equations) ม 2 วธเปนอยางนอยทจะหาสมการน วธทนาเสนอ ณ ทนอาศยการแทนท แตอยางไรกตามสามารถหาสมการนไดดวยหลกการของฮามนตน เมอระบบประกอบดวย k อนภาค ซงสมพนธกบ krr ,...,1 ถาอนภาคเหลานเคลอนทอสระโดยไมมขอจากดแลว กเปนการงายทจะอธบายการเคลอนทของอนภาคนนๆโดยการเปลยนแปลงโมเมนตมของวตถมคาเทากบแรงภายนอกทมตอสงนน อยางไรกดถาการเคลอนทของอนภาคถกบงคบ แรงทนามาคดจะประกอบดวยแรงภายนอกและแรงบบบงคบ ซงนนกคอยงตองการแรงบงคบเพมอกหนงแรง อธบายงายๆกคอ สมมตวาระบบประกอบดวย 2 อนภาค ซงมาเชอมตอกนดวยเชอกทไรนาหนก ความยาวเทากบ l ดงนน 1r และ 2r เทากบ
121 lrr =− or ( ) ( ) 22121 lrrrr T =−− (2.30)
ถามแรงจากภายนอกมากระทาตอแตละอนภาคแลว อนภาคเหลานจะถกกระทาไมแตเฉพาะจากแรงภายนอกนเทานน ยงรวมไปถงแรงทมาจากเชอกดวยทศทาง 12 rr − ประกอบกบขนาดทเหมาะสม ดงนนเพอทจะหาการเคลอนทของอนภาคทงสองน สามารถทาไดโดย วธแรก
14
คานวณจากแรงภายนอกแตละแรงทมากระทาโดยแรงบงคบทเกดขนอยในลาดบของสมการ วธทสองคานวณจากวธวเคราะหซงไมอาศยแรงบงคบ (ซงไมจาเปนตองรแรงบงคบ) ซงวธทสองนเปนทนยมมากวาวธแรกเพราะวาโดยทวไปแลวตองคานวณหาแรงบงคบทเกดขน จดประสงคของหวขอนคอศกษาวธทสอง เรมตนจากการอธบายคา “Holonomic” คอ แรงบงคบทเกดบนของคาพกด k เปน
krr ,...,1 เมอแรงนเทากนจะเกดสมการ
lirrg k ,...,1,0),...,( 11 == (2.31) ถาสงทเกดขนมลกษณะตรงกนขามกบสงทกลาวมา จะเรยกวา “Nonholonomic” แรงบงคบดงกลาว (2.30) กาหนดโดยการเชอมตอกนของ 2 อนภาค ดวยเชอกทไรนาหนก ซงนนกคอโฮโลโมนกคอนสเทรน สวนตวอยางของนอนโฮโลโมนกคอนสเทรนพจารณาจากการเคลอนทของอนภาคหนงๆ ภายใน หนงความยาวรศมของทรงกลม ρ ทจดศนยกลาง บรเวณจดเรมตนของระบบคาพกดในกรณนคาพกดเวคเตอร r ของอนภาค สมพนธกบแรงบงคบ
ρ≤r (2.32) การเคลอนทของอนภาค จะมแรงบงคบ ดงนนอนภาคยงคงรกษาระยะหางจากพนผววตถทรงกลม แตเมอใดกตามทอนภาคเขาใกลจนสมผสกบพนผววตถทรงกลม มนกเทากบแรงบงคบนนเอง ถาระบบขนอยกบโฮโลโมนกคอนสเทรน l เมอนนใหคานงถงนยามของระบบคอนสเทรนทม l ระดบขนความเสรมากกวาระบบอนคอนสเทรนเลกนอย ในกรณน กอาจเปนไปไดทจะแสดงคา คาพกดของ k อนภาคในเทอม ของ n คาพกดทวไป nqq ,...,1 สวนในความหมายอน เราคาดวาคาพกดของอนภาคทแตกตางกน ขนอยกบชดของแรงบงคบ ซงสามารถแสดงดงลกษณะตอไปน
kiqqrr nii ,...,1),,...,( 1 == (2.33) โดยท nqq ,...,1 เปนอสระจากกน จรงๆแลวแนวคดของคาพกดทวไปถกนามาใชเมออนภาคมปรมาณมากมายไมจากดจานวน ตวอยางเชน วตถคงตวรปแบบแทนทมอนภาคอยมากมาย แตเนองจาก
15
ระยะหางระหวาง 2 อนภาคถกจากดตลอดการเคลอนทของแทนวตถดงกลาว ดงนนเพยงแคคาพกด 6 จดกเพยงพอทเราจะระบคาพกดของอนภาคใดๆ ในแทนวตถขางตนไดอยางสมบรณแบบ โดยเฉพาะอยางยงสามารถใช คาพกด 3 จด เพอบงชตาแหนงจดศนยกลางมวลของแทนวตถ และใชมมออยเลอร 3 มมเพอกาหนดทศทางของแทนวตถ และเพอใหงายตอการอธบายเราจะสมมตใหจานวนของอนภาคถกจากด โดยทวไปคาพกดทวไป กคอตาแหนงทตง หรอมม เปนตน เราสามารถกาหนดความหมายของตวแปรของจดตอสญลกษณ nqq ,...,1 ไวอยางชดเจน เพราะตวแปรของจดตอเหลานจะแสดงสญลกษณเปนชดของคาพกดทวไป สาหรบหนยนตทมขอตอจานวน n ขอ เมอเรากลาวถงเวอชวลดสพเลซเมนต (Virtual Displacements) (การแทนททเกดขนจรง) มนคอชดของ krr δδ ,...,1 ของการแทนททไมสามารถนบได โดยสอดคลองกนกบแรงบงคบ ตวอยางเชน เมอพจารณาถงแรงบงคบอยางเชนในสมการ (2.30) และสมมตให 21,rr ถกกระจายเปน
,, 2211 rrrr δδ ++ ตามลาดบ ดงนนเพอทจะใหสมพนธกบแรงบงคบ เราตองทาใหอยในสมการดงน
222112211 )()( lrrrrrrrr T =−−+−−+ δδδδ (2.34)
จากนนเมอเรากระจายสมการดงกลาวขางตน และถอเอาความจรงทวาคาพกดเดม 21,rr สมพนธกบแรงบงคบ ทาใหเราตดพจนกาลงสองของ 21 , rr δδ จะไดวา
0)()( 2121 =−− rrrr T δδ (2.35) ดงนนตาแหนงทยงยากของสองอนภาคตองสอดคลองกบสมการขางตน เพอวาตาแหนงทยงยากจะไดสมพนธกบแรงบงคบ (2.30) คของเวกเตอร ทไมสามารถวดคาได 21 , rr δδ ซงสมพนธกบ (2.35) นนประกอบดวย ชดของเวอชวลดสพเลซเมนต เหตผลของการใชคาพกดทวไปกเพอทจะหลกเลยงการจดการความสมพนธทซบซอน ดงเชนในสมการ (2.35) และถายงมสมการ (2.33) อยจะพบวาชดของเวอชวลดสพเลซเมนต คอนขางกระชบดงเชน
∑=
=∂∂
=n
jj
j
i kiqqr
r1
1 ,...,1,δδ (2.36)
โดยทเวอชวลดสพเลซเมนต nqq δδ ,...,1 ของคาพกดทวไป คอการไมมแรงบงคบ (ซงนนกทาใหกลายเปน คาพกดทวไป)
16
ตอนไปจะอธบายระบบแรงบงคบในสภาวะสมดล โดยกาหนดใหแตละอนภาคอยในภาวะสมดล จากนนใหแรงสทธของแตละอนภาค เปนศนย ซงกเทากบวา งานททาในแตละชดของ เวอรชอลดสพเลซเมนตเปนศนย ดวยดงนน
∑=
=k
ii
Ti rF
10δ (2.37)
โดยท iF คอ แรงทงหมดตออนภาค i ตามทไดอางไวขางตน แรง iF จงเปนคารวมของสองแรง หนงคอ แรงทกระทาตออนภาคจากภายนอก if และสองคอแรงบงคบ )(a
if โดยสมมตใหงานทงหมดกระทาดวยแรงบงคบซงสมพนธหรอเกยวของกบชดของเวอชวลดสพเลซเมนตใดๆทเปนศนย ดงสมการ
∑=
=k
ii
Tai rf
1
)( 0)( δ (2.38)
สงทกลาวมาขางตนจะถกตองกตอเมอ แรงบงคบระหวางคของอนภาค มงตรงไปตามเสนรศมซงเชอมตอกนระหวางสองอนภาคนนๆ โดยการแทนทสมการ (2.38) เขาไปใน (2.37) จะไดผลลพธดงในสมการ
∑=
=k
ii
Ti rf
10δ (2.39)
ความสมบรณแบบของสมการดงกลาวคอ จะไมมแรงบงคบทไมรคามาเกยวของกบในสมการนเลย แตจะใชเฉพาะแรงภายนอกทรคา สมการนแสดงหลกการของงานทเกดขนจรง ซงกลาวไววา งานททาโดยแรงภายนอกสมพนธกบชดของเวอชวลดสพเลซเมนตทเปนศนย จาไววา หลกการนใชไมไดกบทกงาน แตสมการ (2.38) ตองยงคงอย นนคอแรงบงคบทไมทางาน ฉะนนถากลาวถงหลกการของงานทเกดขนจรงกสามารถวเคราะหกลศาสตรของระบบโดยปราศจากการหาคาแรงบงคบ มนงายทจะพสจนหลกการของงานทเกดขนจรง เมอไหรกตามแรงบงคบระหวางคของอนภาค มงตรงไปตามแรงทเชอมกนระหวางตาแหนงทคาพกดของอนภาคทงสอง โดยเฉพาะอยางยงเมอถกบงคบในรปแบบสมการ (2.30) ซงเปนหลกการของการประยกตใช เมอพจารณาถง แรงบงคบแรงเดยวจากสมการ (2.30) จะตองออกแรงโดยเชอกทไรนาหนก ดงนนแรงตองมงตรงไปตามเสนรศมระหวางอนภาคทงสอง หรออาจกลาววา แรงทกระทาตออนภาคทหนงดวยเชอก จะตองอยในฟอรมของ
17
)( 21
)(1 rrcf a −= (2.40)
สาหรบคาคงตว c (ซงจะเปลยนแปลงเมอ อนภาคมการเคลอนท) ตามกฎของแรงกระทาและแรงปฏกรยา, แรงทกระทาตออนภาคทสองดวยเชอกตองมคาเปนลบ หรอตรงกนขามกบสมการขางตน นนคอ
)( 21)(
2 rrcf a −−= (2.41) ตอนนทราบแลววา งานทกระทาโดยแรงบงคบซงสมพนธกบชดของเวอชวลดสพเลซเมนต คอ
)()()()( 21212)(
21)(
1 rrrrcrfrf TTaTa δδδδ −−=+ (2.42)
แตในสมการ (2.35) แสดงใหเหนชดของเวอชวลดสพเลซเมนต สวนสมการขางบนผลลพธตองเปนศนย ดงนนหลกการของงานทเกดขนจรงซงนาไปใชในระบบใดๆ จะถกบงคบโดยสมการ (2.30) เหตผลเดยวกนสามารถนาไปใชกบระบบทประกอบดวยหลายอนภาค ซงแตละคของอนภาคเชอมกนดวยเชอกทไรนาหนกซงจากดความยาวเชนในกรณของระบบทถกกาหนดไวสาหรบหลายแรงบงคบเหมอนในสมการ (2.30) สวนขอกาหนดทวา การเคลอนทของวตถทมความคงตวสามารถแสดงไดเทากบขอบงคบทวาระยะทางระหวางคของจดใดๆตอวตถยงมคาคงตว แมวาวตถจะมการเคลอนท เหมอนกบการบงคบทไมจากดในแบบสมการ (2.30) ดงนนหลกการของงานทเกดขนจรงถกนาไปใชเมอ ความแขงคงตวเปนเพยงแรงบงคบตอการเคลอนไหว มบางสถานการณทหลกการนไมไดถกนาไปใชเชน เมออยในสนามแมเหลก อยางไรกตาม ในทกเหตการณทกลาวขนน เราสมมตใหหลกการของงานทเกดขนนนใชไดจรง ในสมการท (2.39) เวอชวลดสพเลซเมนต irδ ไมเปนอสระตอกน ดงนนเราไมสามารถสรปไดจากสมการน ซงแตละสมประสทธ if เทากบศนย โดยไมขนตรงตอกน และเพอทจะประยกตเหตผลดงกลาว ตองเปลยนรปเปนคาพกดทวไป และกอนทจะเปลยนรป เราถอวาระบบนนไมจาเปนตองอยในสมดล ซงเรยกระบบดงกลาววา “หลกการของ D’Alembert” ไดกลาวไววา เมอมการใหแรงซงสมมตขนเปนคา ip กระทาตออนภาค i โดยแตละ i ท ip คอ แรงเคลอนทของอนภาค i เมอแตละอนภาคอยในสมดล ดงนนถามการดดแปลงสมการ (2.37) ดวยการแทนท iF โดย ii pF &−
18
เมอนน ผลลพธของสมการจะใชไดจรงสาหรบระบบทเราเลอก และทาใหสามารถตดแรงบงคบกอนทจะใชหลกการของงานทเกดขนจรง ดงแสดงใน
∑ ∑= =
=−k
i
k
ii
Tii
Ti rprf
1 10δδ & (2.43)
สมการขางตนไมไดหมายความถงวา แตละสมประสทธของ irδ เทากบศนย แตมวตประสงคแสดงแตละ irδ ในเทอมทเกยวของกบเวอชวลดสพเลซเมนตของคาพกดทวไป อยางเชนททาในสมการ (2.36) ดงนนงานทเกดขนจรงกระทาโดยแรง if จะได
∑=
=k
ii
Ti rf
1
δ ∑∑∑== =
=∂∂ n
jjjj
k
i
n
j j
iTi qqqr
f11 1
δψδ (2.44)
โดยท
∑= ∂
∂=
k
i j
iTij q
rf
1
ψ (2.45)
ซงถกเรยกวา แรงทวไป ลาดบท j จาไววา jψ ไมจาเปนตองมมตของแรง ขณะเดยวกบท jq กไมตองมมตของความยาว อยางไรกตาม jj qδψ ตองมมตของงานเสมอ จากนนทาใหเราศกษาถงผลรวมลาดบท 2 ของสมการ (2.43) เนองจาก iii rmp &=
∑∑∑ ∑= == = ∂
∂==
k
i
n
jj
j
iTii
k
i
k
ii
Tiii
Ti q
qrrmrrmrp
1 11 1
δδδ &&&&&
(2.46) จากนนเมอนาผลลพธของการดฟเฟอเรนเชยล (Differentiate) มาใช จะเหนไดวา
∂∂
−
∂∂
=∂∂ ∑∑
== j
iTii
k
i j
iTii
k
i j
iTji q
rdtdrm
qr
rmdtd
qr
rm &&&&11
(2.47)
เมอดฟเฟอเรนเชยล สมการ (2.33) ดวยการใชกฎลกโซ (Chain Rule) ทาใหได
19
j
n
j j
iij q
qr
rv && ∑= ∂∂
==1
(2.48)
สงเกตจากสมการขางบนซง
j
i
j
i
qr
qv
&& ∂∂
=∂∂ (2.49)
และ
∑= ∂
∂=
∂∂∂
=
∂∂ n
i j
il
lj
i
j
i
qv
qqqr
qr
dtd
1
2
& (2.50)
โดย สมการ (2.40) เลยนแบบสมการ (2.48) การแทนทของสมการ (2.49) และ (2.50) เขาไปในสมการ (2.47) และให ii vr =& จะได
∂∂
−
∂∂
=∂∂ ∑∑
== j
iTii
k
i j
iTji
k
i j
iTii q
vvm
qv
vmdtd
qr
rm11 &
&& (2.51)
เมอเรากาหนดให พลงงานจลน (พลงงานของการเคลอนท) เปนปรมาณทนบได
iTii
k
ivvmK ∑
=
=1 2
1 (2.52)
ดงนนผลรวมขางตนสามารถแสดงใหกระชบขนดวย
jjj
iTi
k
ii q
KqK
dtd
qr
rm∂∂
−∂∂
=∂∂∑
= &&&
1
(2.53)
การแทนทของ สมการ (2.53) เขาไปในสมการ (2.46) พบวา ผลรวมลาดบท 2 ใน สมการ (2.43) คอ
20
∑ ∑= =
∂∂
−∂∂
=k
i
n
jj
jji
Ti q
qK
qK
dtdrp
1 1δδ
&& (2.54)
และสดทาย เมอรวมสมการ (2.54) และ สมการ (2.34) จะให
∑=
=
−∂∂
−∂∂n
jjj
jj
qqK
qK
dtd
10δψ
& (2.55)
เนองจากเวอชวลดสพเลซเมนต jqδ เปนคาอสระ ดงนนเราสามารถสรปไดวา แตละสมประสทธในสมการ (2.45) เทากบศนย นนกคอ
njqK
qK
dtd
jjj
,...,1, ==∂∂
−∂∂ ψ&
(2.56)
ถาแรงทวไป jψ คอผลรวมของแรงทวไป ทถกกระทาจากภายนอกและแฝงอย ถาหากวา มฟกชน jτ และ )(qV ดงนน
jj
j qV τψ +
∂∂
−= (2.57)
ทาใหสมการ (2.56) เขยนอยในรปของ
jjj qL
qL
dtd τ=
∂∂
−∂∂&
(2.58)
โดยท VKL −= คอ ลากรานซเจยน (Lagrangian) ของระบบฟงกชน V คอ พลงงานศกยของระบบ และฟงกชน K คอพลงงานจลนของระบบ จาไววา สมการ (2.56) และ (2.58) คอ สมการลากรานซเจยน หรอ สมการออยเลอร-ลากรานซของการเคลอนท 2.2.2.5 สมการของการเคลอนท (Equation of Motion) ในทนเราใชสมการออยเลอร-ลากรานซ ทหาไดในหวขอผานมา เพอนามาเปนกรณศกษา เมอกาหนดใหม 2 เงอนไขคอ อนดบแรกพลงงานจลนคอฟงกชนยกกาลงสองของเวคเตอร q& ซงอยในรปแบบของ
21
qqDqqqqdK Tj
n
jiiij &&&& )(
21:)(
21
,== ∑ (2.59)
โดยท nn× “เมตรกความเฉอย” )(qD คอ คาสมมาตรและเปนบวก สาหรบแตละ
nIRq∈ อนดบสองพลงงานศกย )(qVV = ไมขนอยกบคา q& ไดกลาวถงการควบคมหนยนตทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาวนไปเรยบรอยแลว สมการออยเลอร-ลากรานซ สาหรบระบบขางตนสามารถหาไดดงน เนองจาก
∑ −=−=ji
jiij qVqqqdVKL,
)()(21
&& (2.60)
จงได
∑=∂∂
ijkj
k
qqdqL
&&
)( (2.61)
และ
∑ ∑ ∂
∂+=
∂∂
i jiji
i
kjjkj
k
qqqd
qqdqL
dtd
,)( &&&&
& (2.62)
∑ ∂∂
−∂
∂=
∂∂
ji kji
k
ij
k qVqq
qd
qL
,21
&& (2.63)
ดงนนสมการออยเลอร-ลากรานซ สามารถเขยนไดเปน
kk
jij ji k
ij
i
kjjkj q
Vqqqd
qd
qqd τ=∂∂
−
∂
∂−
∂
∂+∑ ∑ &&&&
, 21)(
nk ,...,1= (2.64) อาศยการสลบ ลาดบของผลรวมและสมบตการสมมาตรทาใหเราได
jiji ji j
ki
i
kjji
i
kj qqqd
qd
qqqd
&&&&∑ ∑
∂∂
+∂
∂=
∂
∂
, ,21 (2.65)
22
เนองจาก
∑∑
∂
∂−
∂∂
+∂
∂=
∂
∂−
∂
∂
jiji
k
ij
j
ki
i
kj
jiji
k
ij
i
kj qqqd
qd
qd
qqqd
qd
,, 21
21
&&&& (2.66)
ดงนนจะได
∂
∂−
∂∂
+∂
∂=
k
ij
j
ki
i
kjijk q
dqd
qd
c21 (2.67)
หรอทเรยกกนวา “สญลกษณครซโทฟ” สาหรบคาคงตว k เราให jikijk cc = ซงจะชวยลดการคานวณสญลกษณเหลาน สดทายถาให
k
k qV
∂∂
=φ (2.68)
ดงนนเราสามารถเขยนสมการออยเลอร-ลากรานซ ไดเปน
∑ ∑ =++j ji
kkjiijkjkj qqqqcqqd,
,)()()( τφ&&&& nk ,...,1= (2.69)
จากสมการขางตน สามารถแบงไดออกเปน 3 เทอม เทอมแรก เกยวของกบ อนพนธอนดบสองของคาพกดทวไป เทอมทสอง คอ สมการกาลงสองในเทอมของอนพนธอนดบหนงของ q โดยทคาสมประสทธขนอยกบ q จากนนทาใหสามารถจดแบงออกเปน 2 กลมยอย คอเทอมทเกยวของกบผลคณของ 2
iq เรยกวา “เหวยงออกจากศนยกลาง” ในขณะทอกเทอมหนงเกยวของกบผลคณของ ji qq เมอ ji ≠ หรอเรยกวา “Coriolis” สวนเทอมทสามเกยวของกบเฉพาะคา q แตไมรวมอนพนธของ q ซงจะเขาใจงายขนเมอทาการดฟเฟอเรนเชยลพลงงานจลน และทาใหสามารถเขยน (2.69) ใหอยในเมตรกรปแบบดงน
τ=++ )(),()( qgqqqCqqD &&&& (2.70)
23
โดยท thjk, เปนสวนของเมตรก C ),( qq & ถกนยามใหเปน
∑=
=n
iiijkkj qqcc
1
)( &
∑=
∂
∂−
∂∂
+∂
∂=
n
ii
k
ij
j
ki
i
kj qqd
qd
qd
1 21
& (2.71)
จากนนเราหาความสมพนธระหวาง เมตรกความเฉอย )(qD และเมตรก C ),( qq & ทปรากฏอยใน (2.70) ซงเปนความสมพนธขนพนฐานของปญหาทเกดขนกบการผสมการควบคม
บทท 3 วธดาเนนการวจย
ในการวจยครงน ผวจยไดดาเนนการตามขนตอนดงน 1. การกาหนดปญหาหนยนต (State of The Problem Robot) 2. การแกปญหาเชงสญลกษณ (Symbolic Methods) 3. ลาดบขนตอนการทางานของโปรแกรม (Workflow Program) 3.1 การกาหนดปญหาหนยนต (State of the Problem Robot) กาหนดปญหาของหนยนตทมลกษณะและรปแบบทแตกตางกน โดยนามาแกปญหาในรปของโปรแกรมเพอใชเปนตวอยางตงตนและทดสอบโปรแกรม กรณท 1 เปนหนยนตแบบแขนกลทมลกษณะแบนและมขอตอแบบงอ โดยมลกษณะเปนขอตอ 2 ขอตอ โดยใหเฟรมหลกคอ 0000 zyxo เปนจดกาเนด ดงภาพประกอบ 6
ภาพประกอบ 6 แขนกลทมลกษณะเปนขอตอแบบงอ 2 ขอตอ
จากตาราง 1 คา D-H จะมตวแปรเพยงตวเดยวเปนตวแปรของมมคอ θ ดงนนเพอใหงายในการเขยนจงเปน ic ใชสาหรบ iθcos ถาเปน 21 θθ + กใหเปน 12θ และ )cos( 21 θθ + เปน 12c โดยกาหนดให
0000 zyxo
25
−
=
10000100
00
1111
1111
1
sacscasc
A (3.1)
−
=
10000100
00
2222
2222
2
sacscasc
A (3.2)
จากคาทไดจากเมตรกทงสอง จะทาใหสามารถหาตาราง D-H ของหนยนต จากท ia คอ ความยาวของเสนตงฉากระหวาง 1−iz กบ iz เรยกวา Link Length ในกรณนแขนกลท 1 มคาคงทเปน
1l สวนแขนกลท 2 มคาคงทเปน 2l ตามรป id คอ ระยะระหวาง 1−ix กบ ix ตามแนวแกน 1−iz เรยกวา Link Offset ในกรณนมคาเปน 0 ทงสองแขน iα คอ มมระหวาง 1−iz กบ iz วดรอบแกน ix ตามกฎมอขวา เรยกวา Link Twist ในกรณนมคาเปน 0 ทงสองแขน iθ คอ มมระหวาง 1−iz กบ iz วดรอบแกน 1−iz ตามกฎมอขวา เรยกวา Joint Angle ในกรณนมแขนกลท 1 มคาเปลยนแปลงตามเวลาเปน )(1 tq สวนแขนกลท 2 มคาเปลยนแปลงตามเวลาเปน )(2 tq นาไปใสในตารางจะได
ตาราง 1 คาตวแปร D-H ของหนยนตแบบแขนกลทมลกษณะเปนขอตอแบบงอ
Link link offset ( id ) link length ( ia ) link twist ( iα ) joint angle ( iθ ) 1 2
0 0
1l 2l
0 0
)(1 tq )(2 tq
กรณท 2 เปนหนยนตสเตมฟอดร โดยมลกษณะเปนรปทรงกลมทมรปแบบของขอตอแรกเปนแบบหมน ขอตอทสองเปนแบบหมน ขอตอทสามเปนแบบเลอน (Revolute Revolute Prismatic) ดวยการทแตละขอตอเปนทรงกลม หนยนตมระยะตงฉากของขอตอตาแหนงทเปนไหลนนมความซบซอนเลกนอยซงจะคลายกบการปญหาทางจลนศาสตรแบบไปขางหนาและแบบยอนกลบ ดงภาพประกอบ 7
26
ภาพประกอบ 7 กาหนดพกด DH เฟรมสาหรบหนยนตสเตมฟอดร
โดยกาหนดให
−
−
=
100000100000
11
11
1
cssc
A (3.3)
−
=
1000010
0000
2
22
22
2 dcssc
A (3.4)
=
1000100
00100001
33 dA (3.5)
−
−
=
100000100000
44
44
4
cssc
A (3.6)
−
=
100000100000
55
55
5
cssc
A (3.7)
27
−
=
1000100
0000
6
66
66
6 dcssc
A (3.8)
ตาราง 2 คาตวแปร D-H ของหนยนตสเตมฟอดร
Link link offset ( id ) link length ( ia ) link twist ( iα ) joint angle ( iθ ) 1 2 3 4 5 6
0
2d )(td
0 0 0
0 0 0 0 0 0
-90 +90
0 -90 +90
0
)(tθ )(tθ
0 )(tθ )(tθ )(tθ
กรณท 3 เปนหนยนตสกาลาร โดยมลกษณะรปแบบของแขนขอตอแรกเปนแบบหมน ขอตอทสองเปนแบบหมน ขอตอทสามเปนแบบเลอน (RRP) และขอตอมหนงระดบขนความเสร ซงเคลอนทเปนวงรอบแกนแนวตง ขนแรกเปนทตงและตดกบแกนของจดตอ เมอทกแกนของจดตอขนานกนจะทาใหมความอสระบางในตาแหนงเรมตน ดงภาพประกอบ 8
ภาพประกอบ 8 กาหนดพกด DH เฟรมสาหรบหนยนตสกาลาร
โดยกาหนดให
28
−
=
10000100
00
1111
1111
1
sacscasc
A (3.8)
−
=
10000100
00
2222
2222
2
sacscasc
A (3.9)
−−
=
1000110
00100001
33 dA (3.10)
−
=
1000100
0000
4
44
44
4 dcssc
A (3.11)
ตาราง 3 คาตวแปร D-H ของหนยนตสกาลาร
Link link offset ( id ) link length ( ia ) link twist ( iα ) joint angle( iθ ) 1 2 3 4
0 0
)(td 4d
1a 2a
0 0
0 0
180 0
)(tθ )(tθ
0 )(tθ
3.2 การแกปญหาเชงสญลกษณ (Symbolic Methods) ในการแกปญหาทางคณตศาสตรดวยโปรแกรมมวธการมากมายหลายแบบ ซงในแตละแบบจะใชวธการทแตกตางกนซงผลลพธทไดกแตกตางกนตามวธการนน ๆ สวนใหญจะใชการกระทาทเปนตวเลขเพอหาคาตอบของผลลพธทตองการทาใหยงยากและเสยเวลา ในงานวจยนไดเลอกใชวธการแบบเชงสญลกษณ (Symbolic Methods) ซงสามารถหาคาตางๆ เหลานโดยไมตองกาหนดคาทเปนตวเลขหรอจานวนใหเปนคาเชงตวเลขแตจะกาหนดคาตวแปรหรอจานวนใหเปนสญลกษณทเรยกวา Symbolic กอนแลวจงใชฟงกชนหาคาผลลพธทตองการ จะทาใหไดผลลพธทเปนคาตอบทเปนจรงไดสมการหรอคาทยงตดเปนตวแปรทเปนเชงสญลษณและผลลพธทเปนจานวนจรงทงนกเพอความ
29
สะดวกรวดเรวในการหาคาผลลพธทตองการ โดยสามารถนาไปประยกตใชกบโปรแกรมอนๆ หรอนามาแทนคาเพอหาคาตอบทเปนจานวนจรงได อกทงจะทาใหการสรางโปรแกรมและตรวจสอบความถกตองของโปรแกรมทาไดงายมาก ในงานวจยนไดใชวธการแบบเชงสญลกษณ ในรปทเปนแบบเมตรก สมการ ฟงกชน ดงน
จากลกษณะของตารางคา D-H parameter จะเปนเมตรกขนาด 4 คณจานวนของแขนกล ( n ) เปนเมตรกทรบคาจากโจทย โดยสามารถใสคาทเปนทงเชงตวเลขและเชงตวแปรได จะทาใหเปนในรปแบบของเชงสญลกษณไดโดยการสรางเมตรกเตรยมไวทเปนเชงสญลกษณ ทมขนาด 4 x n และมคาเรมตนทศนย จากนนจงทาการรบคาเขามาใสในเมตรกอกครง
])0([):1,4:1( symndh =
คาของมวล กเชนกนสามารถใสคาไดทงเชงตวเลขและเชงตวแปร เพอใหงายขนจงสรางเปนเมตรกไวรบคาและนาไปคานวณตอ
])0([),1( symnm =
หรอเมตรกทไดจากการคานวณในโปรแกรมกอน จงตองไดทาการเตรยมเมตรกทเปนเชงสญลกษณ กอนแลวจงรบคาทไดจากการคานวณมาใสอกครงเชน ในเมตรกจาโคเบยน ทมขนาด 6 x n
])0([),6( symnJ =
ในงานวจยนสวนใหญไดนาเอาฟงกชน Symbolic มาใชรวมกบฟงกชนใน Evalution ซงจะทาใหตวอกษรสามารถทาใหเปนสมการได และนาเอาตวแปรทเปนเชงสญลกษณ มาคานวณตอในสมการนนอยางเชน ในการคานวณหาคาพลงงานศกยของแตละแขนกล
]))''('''0)(''([' nmndGtransposegnVeval ×××−=
โดยม V 0)( dGtransposeg ××−= (m× และ ) ทเปนตวอกษรเพอสรางสมการ ซงในคาตวอกษรนนมคาทเปนเชงสญลกษณ อยเมอนาไปคานวณตอกจะไดคาผลลพธไดเลย
30
3.3 ลาดบขนตอนการทางานของโปรแกรม (Workflow Program)
Input D-H parameter
Input Mass and Moment of Inertia
Input Gravity
Homogeneous Transformations
Homogeneous Transformations
iiiiiiii xaxdzzi RotTransTransRotA αθ=
Jacobian
Moment of Inertia of Mass
Christoffel symbols
kk q
V∂∂
=φ
Euler-Lagrange equation
∑ ∑ =++j ji
kkjiijkjkj qqqqcqqd,
)()()( τφ&&&&
Display Output And Send to File
ภาพประกอบ 9 แสดงลาดบขนตอนการทางานของโปรแกรมแบบยอ
บทท 4 ผลการทดสอบและวเคราะหผลการทดสอบ
ในการวจยศกษาครงน ผวจยนาเสนอผลงาน ดงน 1. ผลการทดสอบ 2. วเคราะหผลการทดสอบ 4.1 ผลการทดสอบ ผลการทดสอบในงานวจยนคอความถกตองของโปรแกรม การทจะหาความถกตองของโปรแกรม กอนอนเราตองทราบถงผลลพธสดทายหรอคาตอบทไดจากกระบวนการคานวณกอน หลงจากนนแลวจงนาเอามาเปรยบเทยบกบคาตอบทไดจากโปรแกรม และการทดสอบผลคาตอบระหวางทโปรแกรมกาลงดาเนนการหรอตรวจคาตอบของสมการบางชวงในโปรแกรมเพอเปนการทดสอบความถกตองทงหมดของโปรแกรม ดงนนจงแบงปญหาเปน 3 กรณใหผลของปญหาทดสอบไมใหตรงจดกนโดยขอแรกหาผลลพธสดทายทเปนสมการการเคลอนท กรณทสองหาเวกเตอร iz ทจะเตรยมไปหาเมตรกจาโคเบยน กรณทสามหาเมตรกจาโคเบยน จากกรณท 1 เปนหนยนตแบบแขนกลทมลกษณะแบนและมขอตอแบบงอ โดยมลกษณะเปนขอตอ 2 ขอตอ โดยใหเฟรมหลกคอ 0000 zyxo เปนจดกาเนด ดงภาพประกอบ 10
ภาพประกอบ 10 แสดงตวแปรทมในแขนกลทมลกษณะเปนขอตอแบบงอ 2 ขอตอ
0000 zyxo
32
จะไดเมตรก T ดงน 1
10 AT =
++−
==
10000100
00
122111212
122111212
2120
slslcsclclsc
AAT
ทสาคญสองคาทใสเขาในทายหลกของ 2T คอคา x และ y สวนประกอบของจด 2o ในเฟรมหลก จะเปน
12211 clclx += 12211 slsly +=
คาทไดคอคาพกดของจดปลายในเฟรมหลก การหมนของสวนทสองของ 2T จะใหสวนกลบของเฟรม 2222 zyxo สมพนธมายงเฟรมหลก เมอขอตอทงสองเหมอนกนคอแบบหมน เมตรกจาโคเบยนในกรณนจะเปน 6x2 ในรปแบบ
−×−×=
10
121020 )()()(
zzoozooz
qJ
แสดงการคานวณได
=000
0o
=
011
11
1 slcl
o
++
=0
12211
12211
2 slslclcl
o
==100
10 zz
33
แสดงการคานวณจากความตองการจะได
+
−−−
=
1100000012212211
12212211
clclclslslsl
J
พจารณาจากภาพประกอบ 10 ให iq เปนมมของขอตอ , im เปนมวลของขอตอ i , il เปนความยาวของขอตอ i , cil เปนระยะจากขอตอกอนหนาถงจดกงกลางมวลของขอตอ i และ iI เปนโมเมนตความเฉอยของขอตอ i จากเงอนไขของจาโคเบยนในการคานวณพลงงานจลน จะได
qJvcvc &11 =
−=
000cos0sin
11
11
1qlql
J c
c
vc
ในทานองเดยวกน
qJvcvc &22 =
++++−+−−
=00
)cos()cos(cos)sin()sin(sin
21221211
21221211
2qqlqqlqlqqlqqlql
J cc
cc
vc
ดวยเหตนสวนการเคลอนยายของพลงงานจลนเปน
{ }qJJmJJmqvvmvvm
cccc vTvv
Tvc
Tcc
Tc &&
2211 21222111 21
21
21
+=+ การหมนของพลงงานจลนทงหมดของระบบเปน
34
qIIqT &&
+
1111
0001
21
21
ขณะนเรมเขาสรปแบบของเมตรกความเฉอย )(qD ตามทมงหมายโดยการแทนคา 2 เมตรกใน (3.18) และ (3.19) ตามลาดบ ดงนน
+++=
22
22121 2211
)(IIIII
JJmJJmqDcccc v
Tvv
Tv
ทาใหไดผลลพธจากการคณและใชกฎของเมตรกเอกลกษณ ของสมการ 1sincos 22 =+ θθ ,
)cos(sinsincoscos βαβαβα −=+ จะได
2122122
212
21111 )cos2( IIqllllmlmd ccc +++++=
22212222112 )cos( Iqlllmdd cc ++==
222222 Ilmd c +=
สามารถคานวณหาสญลกษณครซโทฟ โดยกาหนดใหเปน
021
1
11111 =
∂
∂=
qd
c
hqllmqd
cc c =−=∂∂
== 22122
11211121 sin
21
hqd
qdc =
∂∂
−∂∂
=1
22
2
12221 2
1
hqd
qdc −=
∂∂
−∂∂
=2
11
1
21112 2
1
021
1
22212122 =
∂∂
==qdcc
021
2
22222 =
∂∂
=qdc
ตอมาเปนพลงงานศกยใชผลรวมของทงสองขอตอ สาหรบพลงงานศกยตอละขอตอใชมวลคณความเรงของแรงโนมถวงและความสงของจดกงกลางมวล ดงนน
35
1111 sin qglmV c=
))sin(sin( 2121122 qqlqlgmV c ++= )sin(sin)( 21221121121 qqglmqglmlmVVV cc +++=+=
จากนไปฟงกชน kφ แทนคา
kk q
V∂∂
=φ
จะได
)cos(cos)( 2122112111
1 qqglmqglmlmqV
cc +++=∂∂
=φ
)cos( 21222
2 qqglmqV
c +=∂∂
=φ
สดทายสามารถเขยนสมการการเคลอนทของระบบในรปของสมการ ออยเลอร-ลากรานซ
kk
jij ji k
ij
i
kjjkj q
Vqqqd
qd
qqd τ=∂∂
−
∂
∂−
∂
∂+∑ ∑ &&&&
, 21)(
nk ,...,1= แทนคาตวแปรในสมการและตดเทอมสมการทเปนศนย จะได 11
222212121121121212111 τφ =+++++ qcqqcqqcqdqd &&&&&&&&&
2221112222121 τφ =+++ qcqdqd &&&&&
ถาในกรณทเปนเมตรก ),( qqC & จะไดเปน
−
+=
01
122
qhqhqhqh
C&
&&&
36
กรณท 2 เปนหนยนตสเตมฟอดร โดยมลกษณะเปนรปทรงกลมทมรปแบบของขอตอเปนแบบหมน หมน เลอน (RRP) ดวยการทแตละขอตอเปนทรงกลม หนยนตมระยะตงฉากของขอตอตาแหนงทเปนไหลนนมความซบซอนเลกนอยซงจะคลายกบการปญหาทางจลนศาสตรแบบไปขางหนาและแบบยอนกลบ ดงรป
ภาพประกอบ 11 แสดงตวแปรทมในหนยนตสเตมฟอดร
60T จะได
6160 ...AAT =
=
1000333231
232221
131211
z
y
x
drrrdrrrdrrr
ท
)(])([ 646541652646542111 ccccsscsssscccccr +−−−= )(])([ 646541652646542121 ccccsccssssccccsr ++−−= 65264654231 )( cscsscccsr −−−= )(])([ 646541652646542112 ccscssssscssccccr +−−++−= )(])([ 646541652646542122 ccscscssscsscccsr +−+++−= 65264654232 )( ssccssccsr ++= 54152542113 )( ssscsscccr −+= 54152542123 )( ssccssccsr ++= 5254233 ccscsr +−=
37
)( 5412515421621321 ssssccscccddsdscd x −++−= )( 2155142541621321 sscssccsscddcdssd y ++++=
)( 52452632 sscccddcdz −+=
ม 3 ขอตอทเปนแบบเลอน (Prismatic) และท 543 ooo == ซงเปนผลมาจากขอตอทเปนรปทรงกลมและการกาหนดเฟรม โดยมจดรวมกาเนดท o จะไดรปแบบของจาโคเบยนเปน
−−−−−−−−−×=
54310
6564632161060
0)()()()()(
zzzzzoozoozoozzoozooz
J
ท j
oR เปนสวนทหมนของ joT ดวยเหตนจงเปนสงเดยวทจาเปนดวยการคานวณเมตรก j
oT ดวยการคานวณจาโคเบยน นาออกมาคานวณตามเงอนไขสาหรบหนยนตสเตมฟอดร
−++++−−++−
==)(
)()(
),,(
52452632
2155142541621321
5412515421621321
6
sscccddcsscssccsscddcdssssssccscccddsdsc
dddo Tzyx
+−
===
32
21321
21321
543
dcdcdssdsdsc
ooo
จะไดเวกเตอร iz เปน
=100
0z
−=
01
1
1 cs
z
=
2
21
21
2
csssc
z
38
=
2
21
21
3
csssc
z
+−−−
=
42
41421
41421
4
ssccscscsscc
z
+−+++−
=
52542
5215415421
5215415421
5
ccscscsssscsccscscssssccc
z
กรณท 3 เปนหนยนตสกาลาร โดยมลกษณะรปแบบของแขนขอตอเปนแบบหมน หมน เลอน (RRP) และขอตอมหนงระดบขนความเสร ซงเคลอนทเปนวงรอบแกนแนวตง ขนแรกเปนทตงและตดกบแกนของจดตอ เมอทกแกนของจดตอขนานกนจะทาใหมความอสระบางในตาแหนงเรมตนดงภาพ
ภาพประกอบ 13 แสดงตวแปรทมในหนยนตสกาลาร จากสมการ Forward Kinematic ดงนนจะได
−−+−−−++−+
==
100010000
...43
12211412412412412
12211412412412412
4140 dd
sasaccsssccscacacsscsscc
AAT
39
เมอขอตอ 1,2 และ 4 เปนแบบหมนและขอตอ 3 เปนแบบเลอน และตงแต 34 oo − ขนานตาม 3z รปแบบของจาโคเบยนจะได
−×−×=
312
2141040
00)()(zzz
zoozoozJ
แสดงการคานวณได
=
011
11
1 saca
o
++
=0
12211
12211
2 sasacaca
o
−++
=
43
12211
12211
4
ddsasacaca
o
ในทานองเดยวกน kzz == 10 และ kzz −== 32 ดงนนจาโคเบยนของหนยนตสกาลารคอ
−
−−
−−−
=
10110000000001000000
12212211
12212211
cacacacasasa
J
4.2 วเคราะหผลการทดสอบ จากคาตอบของปญหาทง 3 กรณทได เมอนาไปเปรยบเทยบกบคาตอบจากโปรแกรมแลวตรงกน จงวเคราะหไดวาโปรแกรมถกตอง สวนเรองของความยากงายในการใชงานโปรแกรม ขนอยกบผใชมประสบการณการใช MATLAB มากนอยและมความรเรองตวแปรสมการการเคลอนหนยนตเพยงใด ซงในโปรแกรมไดมเมนสาหรบชวยเหลอในสวนของตวแปรของสมการ
บทท 5 สรปและวจารณ
5.1 สรปและวจารณผลการทดสอบ จากปญหาเปน 3 กรณใหผลของปญหาทดสอบไมใหตรงจดกนโดยกรณแรกเปนเปนหนยนตแบบแขนกลทมลกษณะแบนและมขอตอแบบงอ โดยมลกษณะเปนขอตอ 2 ขอตอ จะทาการหาผลลพธสดทายทเปนสมการการเคลอนท จากผลการทดสอบปรากฏวาไดสมการทคานวณคอ
11222212121121121212111 τφ =+++++ qcqqcqqcqdqd &&&&&&&&&
ซงตรงกบทไดจากโปรแกรมจากนนทาการทดสอบกรณท 2 เปนหนยนตสเตมฟอดร โดยมลกษณะเปนรปทรงกลมทมรปแบบของขอตอเปนแบบหมน หมน เลอน (RRP) ดวยการทแตละขอตอเปนทรงกลม หนยนตมระยะตงฉากของขอตอตาแหนงทเปนไหลนนมความซบซอนเลกนอย จะทาการหาเวกเตอร iz ทจะเตรยมไปหาเมตรกจาโคเบยน จากผลการทดสอบปรากฏวาไดสมการทคานวณคา iz ตรงกบ
ทไดจากโปรแกรมจากนนทาการทดสอบกรณท 3 เปนหนยนตสกาลาร โดยมลกษณะรปแบบของแขนขอตอเปนแบบหมน หมน เลอน (RRP) และขอตอมหนงระดบขนความเสร ซงเคลอนทเปนวงรอบแกนแนวตง ดวยการหาเมตรกจาโคเบยน จากผลการทดสอบปรากฏวาไดสมการทคานวณคอ
−
−−
−−−
=
10110000000001000000
12212211
12212211
cacacacasasa
J
ซงตรงกบทไดจากโปรแกรม จากการทดสอบทง 3 กรณจงสรปไดวาโปรแกรมสามารถใหผลลพธคาตอบของสมการการเคลอนของหนยนตไดอยางถกตอง โดยทวไปการสรางโปรแกรมจะมหลกในการทดสอบหลายรปแบบขนอยกบลกษณะของการใชงานในโปรแกรมนนๆ ในงานวจยนจะเลอกหลกในการทดสอบโปรแกรม 2 หลกคอ คานวณถกตองและใชงานงาย สะดวก จากผลการทดสอบทาใหทราบไดวาวธการหาสมการการเคลอนทของหนยนตดวยโปรแกรมนนมความถกตอง เมอแสดงใน โปรแกรม แตเมอผลทไดออกมาใหรปแบบของ
41
Microsoft Office Word หรอโปรแกรมอน จะไมสามารถทาใหอยในรปของสมการทเขาใจไดงาย ดงนนจงตองมคมอการใชงานโปรแกรมและตวชวยเหลอสาหรบอธบายคาความหมายของตวแปรตางๆ ในสมการและอธบายทมาการหาคาตวแปรนนๆ เพอไมใหผใชใสคาผดพลาดและไดผลคาตอบทไมถกตอง ในสวนการใชงานจากการออกแบบหนาจอททาใหผใชโปรแกรมสะดวกและงาย โดยการออกแบบใหแสดงผลคาตอบทนททหนาจอนนเลยเพอตรวจทานคาตอบและงายตอการปรบเปลยนคาทปอนใหในตอนแรก อกสวนของการออกแบบโปรแกรมใหสะดวก โดยการนารปภาพมาประกอบใหผใชเปนผเลอกเงอนไขแลวโปรแกรมจะแสดงรปภาพตามเงอนไขทเลอกและใสคาตวแปรตามรปภาพประกอบ 5.2 ขอเสนอแนะ 5.2.1 ขอเสนอแนะทวไป การทางานวจยครงนไดดาเนนการหาโมเมนตความเฉอยของแขนกลทเปนรปทรงเรขาคณตอยางงาย ซงจะถกจากดใหสามารถเลอกใชไดแตเฉพาะในโปรแกรมทกาหนดให ไมสามารถเพมเตม หรอแกไขไดจงทาใหบางปญหาไมสามารถตอบโจทยได 5.2.2 ขอเสนอแนะงานวจยครงตอไป ในการพฒนาครงตอไปอาจทาใหสามารถหาโมเมนตความเฉอยของแขนกลทเปนรปทรงใดๆ กไดขนอยกบผใชกาหนด ซงอาจสามารถรบคาขอมลทเปนภาพจากแบบหรอภาพ 3 มตจากโปรแกรมทใชสาหรบออกแบบ หรอเพมเตมโปรแกรมในเรองของการควบคมแรงของหนยนตในการเคลอนท จะทาใหหนยนตเคลอนทไดอยางมประสทธภาพมากขนจากเดมอก
บรรณานกรม
บรรณานกรม มนส สงวรศลป; และ วรรตน ภทรอมรกล. (2543). คมอ MATLAB ฉบบสมบรณ. กรงเทพฯ:
สานกพมพอนโฟเพรส. Spong, MW.; & Vidyasagar, M. (1986). Robot Dynamics and Control, John Wiley and Sons. Tarek Sobh, Sarosh Patel and Bei Wang (2005) .Web Enabled Robot Design and Dynamic
Control Simulation Software Solutions From Task Points Description. School of Engineering University of Bridgeport.
P.I. Corke. (1996). A Robotics Toolbox for MATLAB. IEEE Robotics and Automation Magazine. Volume 3(1), March 1996 P. 24-32
Mark, WS. (1989). Robot Dynamics and Control. University of Illinois at Urbana-Champaign.
ภาคผนวก
อภธานศพท
71
อภธานศพท
Holomonic Constraints แรงบงคบทเกดขน Homogeneous Matrix โฮโมจเนยสเมตรก Jacobian จาโคเบยน Jacobian Matrix จาโคเบยนเมตรก Lagrange Method วธของลากรางจ Lagrange Multipliers ตวคณลากรางจ Nonholonomic Constraints แรงทเกดขนตรงขามกบแรงบงคบ Numerical Method วธเชงตวเลข Optimum คาทเหมาะสมทสด Prismatic Joint จดตอแบบเลอน Revolute Joint จดตอแบบหมน Rotation Matrix เมตรกทไดจากการทวตถหมนรอบแกนใด ๆ Symbolic Method วธเชงสญลกษณ Transformation Matrix เมตรกทไดจากการเปลยนรปของวตถ Virtual Displacements การเคลอนททเกดขนจรง
72
คาอธบายสญลกษณ
iA คอโฮโมจเนยเมตรก (Homogeneous Matrix) D คอเมตรกความเฉอย if คอแรงทกระทาตออนภาคจากภายนอก )(a
if คอแรงบงคบ iF คอแรงทงหมดตออนภาค i iI คอโมเมนตความเฉอยของขอตอ i iJ คอจาโคเบยนเมตรก (Jacobian Matrix) K คอพลงงานจลน L คอลากรานซเจยน (Lagrangian) im คอมวลของขอตอ i ip คอแรงเคลอนทของอนภาค i nR0 คอเมตรกทไดจากการทวตถหมนรอบแกนใด ๆ (Rotation Matrix) j
iT คอทรานฟอรมเมชนเมตรก (Transformation Matrix) V คอพลงงานศกย irδ คอการเคลอนททเกดขนจรง (Virtual Displacements) jψ คอผลรวมของแรงทวไปทถกกระทาจากภายนอกและแรงทแฝงอยภายใน kφ คอสญลกษณครซโทฟ (Christoffel Symbols)
ประวตยอผวจย
74
ประวตยอผวจย
ชอ ชอสกล นายวรช สรทรพยไพบลย วนเดอนปเกด 10 สงหาคม 2522 สถานทเกด กรงเทพมหานคร สถานทอยปจจบน 56/113 ถ.พหลโยธน สายไหม กทม. 10220 ประวตการศกษา
พ.ศ. 2537 มธยมศกษาตอนตน จากโรงเรยนฤทธยะวรรณาลย กรงเทพมหานคร
พ.ศ. 2538 มธยมศกษาตอนปลาย จากโรงเรยนดอนเมองทหารอากาศบารง กรงเทพมหานคร
พ.ศ. 2542 อดมศกษาประกาศณยบตรวชาชพชนสง จากสถาบนเทคโนโลยราชมงคล วทยาเขตนนทบร จ.นนทบร
พ.ศ. 2546 อดมศกษาอตสาหกรรมศาสตรบณฑต (อส.บ. อตสาหการ) จากสถาบนเทคโนโลยราชมงคล วทยาเขตนนทบร จ.นนทบร
พ.ศ. 2551 บณทตศกษาวศวกรรมศาสตรมหาบณฑต (วศ.ม. เครองกล) จากมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ