ติวสบายคณิต เล่ม 2 บทที่ 5 ฟังก์ชัน ...¸ªรุปเข้ม-M05... · = จานวนฟังก์ชัน a b –
ติวสบายคณิต เล่ม 3 บทที่ 8 ฟังก์ชันตรั...
Transcript of ติวสบายคณิต เล่ม 3 บทที่ 8 ฟังก์ชันตรั...
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
1
เฉลยตะลุยข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั บทที ่ 8 ฟงัก์ชนัตรีโกณมิติ
1. ตอบข้อ 2.
แนวคิด จาก tan 1211 = tan 165o
= – tan (180o – 165o) = – tan 15o = – tan (60o – 45o)
= –
45tan 60tan 145tan 60tan
= –
(1)3 113
tan 1211 = 3 1
3 1
2. ตอบข้อ 3. แนวคิด เน่ืองจากมุม A , B มีค่าระหวา่ง 0 – 90o และจาก tan45o = 1 แต่ tan A = 2 และ tan B = 3 แสดงวา่มุม A และ B มีค่ามากกวา่ 45o ดงันั้น A + B จึงมีค่ามากกวา่ 90o คืออยูค่วอดรันตท่ี์ 2 ( ตรงน้ีจะสามารถตอบขอ้. 4
3π ไดท้นัที เพราะเป็นตวัเลือกเดียวท่ีอยูใ่นควอดรันตท่ี์ 2 )
จาก tan (A + B) = B tan A tan 1B tan Atan
จะได ้ tan (A + B) = (2)(3) 13 2
tan (A + B) = –1 ในควอดรันต ์2 จะได ้ (A + B) = 180o – 45o (A + B) = 135o (A + B) = 4
3π
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
2
3. ตอบข้อ 3.
แนวคิด จาก cos – sin = 35
จะได ้ ( cos – sin )2 = 2
35
cos2 – 2 cos sin + sin2 = 95
( cos2 + sin2) – 2 cos sin = 95
1 – 2 sin cos = 95
1 – 95 = 2 sin cos ( ใชสู้ตร 2sincos = sin2 )
94 = sin2
4. ตอบข้อ 3. แนวคิด จาก osin10
osin30 – ocos10ocos30
=
cos10 sin10
cos30 sin10cos10 sin30 ( ใช้สูตร sin(A – B) = sinA cosB – sinB cosA)
=
cos10 osin10)10 sin(30
=
cos10 osin10
20sin
=
cos10 osin10
)102(sin ( ใช้สูตร sin 2A = 2 sinA cosA )
=
cos10 osin10cos10 10sin 2
= 2
5. ตอบ 2 แนวคิด จาก
25 cot 1x = (1 – cot 20o)
จะได ้ x = (1 – cot 20o) (1 – cot 25o)
x =
20sin 20 cos 1
25sin 25 cos 1
x =
20sin 20 cos 20sin
25sin 25 cos 25sin
x =
20sin 70sin 20sin
25sin 65sin 25sin
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
3
x =
20sin 27020sin 27020 cos 2
25sin 26525sin 26525 cos 2
x =
20sin )25(sin 45 cos 2
25sin )20(sin 45 cos 2
x =
20sin
25sin 45 cos 2
25sin
20sin 45 cos 2
x = 4
22
22
x = 2
6. ตอบข้อ 1.
แนวคิด จาก A 2sin3A 2sin – A 2cos
3A 2cos = 2
จะได ้ A 2cos A 2sin A 2sin 3A 2cos A 2cos 3A 2sin
= 2
A 2cos A 2sinA)sin 3A cos A cos 3A(sin A)sin 3A cos A cos 3A(sin
= 2
A 2cos A 2sinA) (3Asin A) (3Asin
= 2
A 2cos A 2sin2Asin 4Asin
= 2
A 2cos A 2sinA cos Asin 2 2A cos 2Asin 2
= 2
A cos Asin 2A cos 2Asin 2
= 1
A cos Asin 2A cos A) cos Asin (2 2 = 1
cos 2A = 41
7. ตอบข้อ 2. แนวคิด จาก Bsin
Asin = 32
sin A = 32 sin B ( ยกก าลงัสองทั้งสองขา้ง )
sin2A = 34 sin2B
จาก B cosA cos =
21
cos A = 2
1 cos B ( ยกก าลงัสองทั้งสองขา้ง )
cos2A = 21 cos2B
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
4
น า + จะได ้ sin2 A + cos2 A = 3
4 sin2 B + 21 cos2 B ( แทนค่า cos2B = 1 – sin2B ) 1 = 3
4 sin2 B + 21 (1 – sin2 B) ( น า 6 คูณตลอด ) 6 = 8 sin2 B + 3 (1 – sin2 B) 6 = 8 sin2 B + 3 – 3 – sin2 B 3 = 5 sin2 B sin2 B = 53
และจาก cos2 B = 1 – sin2 B จะได ้ cos2 B = 1 – 53 = 52
สุดท้ายจะได ้ tan2 B = B 2cosB 2sin =
5253 = 2
3
8. ตอบข้อ 4. แนวคิด จาก 5 cos 3A cosA + 5 sin 3A sin A = –3 ( น า 5 หารตลอด ) cos 3A cos A + sin 3A sin A = –
53
cos (3A – A) = –53
cos 2A = –53
2 cos2 A – 1 = –53
cos2 A = 51
cos A = 5
1
เน่ืองจาก 0 A 2 คืออยูใ่นควอดรันตท่ี์ 1
ค่า cos A ตอ้งเป็นบวก จึงไดว้า่ cos A = 5
1
จากรูป จะไดว้า่ tan A = 12 = 2
9. ตอบข้อ 3.
แนวคิด จาก cos x = 3 (1 – sin x) เม่ือ x [0 , 4] จะได ้ cos2 x = ( 3 (1 – sin x) )2
5
1
2 A
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
5
cos2 x = 3 (1 – sin x )2 ( แทนค่า cos2x = 1 – sin2x ) 1 – sin2 x = 3 (1 – 2 sin x + sin2 x) 1 – sin2 x = 3 – 6 sin x + 3 sin2 x
0 = 4 sin2 x – 6 sin x + 2 ( เอา 2 หารตลอด ) 0 = 2 sin2 x – 3 sin x + 1
0 = (2 sin x – 1) (sin x – 1) จะได ้ 2 sin x – 1 = 0 และ sin x – 1 = 0
sin x = 21 sin x = 1
x = 30o , 150o x = 90o
แต่ 150o จะท าใหส้มการเป็นเทจ็ จึงไดว้า่ x = 30o , 90o และเน่ืองจากโจทยก์ าหนด 0 x 720o
จึงไดว้า่ x = 30o , 90o , (30o+360o) , (90o+360o) x = 2
5 , 613 , 2 , 6
10. ตอบข้อ 2. แนวคิด โจทยใ์หห้า cos A โดยท่ี 0 A 240o และ 5 – 3 sin 3A มีค่ามากท่ีสุด
เน่ืองจาก –1 sin 3A 1 ค่า 5 – 3 sin 3A จะมีค่ามากท่ีสุด เม่ือ sin 3A = –1 3A = 270o , (270o+360o) , (270o+720o) 3A = 270o , 630o , 990o A = 90o , 210o , 330o ตอบในช่วง 0 A 240o จะได ้ A = 90o , 210o เท่านั้น
สุดทา้ยจะได ้ cos A = cos 90o , cos 210o = 0 , – 23
ค าตอบทั้งสองท่ีไดน้ี้เป็นสับเซตของ { – 23 , – 2
1 , 0 }
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
6
11. ตอบ 0 แนวคิด ขั้นที ่ 1 จาก (sin + cos)2 = 2
3 sin2 + 2 sin cos + cos2 = 2
3 (sin2 + cos2) + 2 sin cos = 2
3 ( แทน 2 sin cos = sin2 ) 1 + sin 2 = 2
3 sin 2 = 2
1 2 = 30o , 150o = 15o , 75o
แต่โจทยก์ าหนด 0 45o ดงันั้นตอ้งตอบ = 15o เท่านั้น
สุดท้าย จะได ้ arccos(tan3) = arccos(tan 3x15o) = arccos(tan 45o) = arccos(1) = 0
12. ตอบ 3 แนวคิด จาก 2 arcsin (x2 – 3x + 1) + 180o = 0
จะได ้ 2 arcsin (x2 – 3x + 1) = –180o arcsin (x2 – 3x + 1) = –90o x2 – 3x + 1 = sin (–90o) x2 – 3x + 1 = –1 x2 – 3x + 2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0
x = 1 , 2 สุดท้ายจะได ้ ผลบวกค าตอบ = 1 + 2 = 3
13. ตอบข้อ 4. แนวคิด จาก tan (arccos x) = – 3 จะได ้ arccos x = 120o ( ใชค่้าในช่วง 0 arccos 180o เท่านั้น ) x = cos 120o
x = – 21
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
7
สุดท้าย จะได ้ x sin(2arccos x) = (– 21 ) sin(2arccos(– 2
1 )) = (– 2
1 ) sin(2x120o) = (– 21 ) (sin240o)
= (– 21 ) (– 2
3 )
= 43
14. ตอบข้อ 4.
แนวคิด ขั้นที ่ 1 สมมติ A = arcsin
51 ( ค่า arcsin เป็นลบแสดงวา่อยูค่วอดรันต ์4 )
จะได ้ sin A = 5
1
จากรูป จะได ้
tan A = ชิดขา้ม – 21
สุดท้ายจะได ้
5
1arcsin 2tan = tan(2A) = A2 tan 1
A tan 2
= 2)21( 1)212(
= – 4
3
15. ตอบ 8.8 แนวคิด ขั้นที ่ 1 สมมติ A = arctan 2
1 จะได ้ tan A = 2
1 จากรูป จะไดว้า่
cos A = 5
2 , sin A = 5
1
และสมมติ B = arcsin 31
จะได ้ sin B = 31
จากรูป จะไดว้า่ cot B = 8
สุดท้ายจะได ้ sin (2 arctan 21 ) + cot2 (arcsin 3
1 ) = sin (2A) + cot2 B = sin (2A) + cot2 B = 2 sin A cos A + cot2 B
1
2
A
5
8
1
B
3
5
2
–1 A
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
8
= 2 (5
1 ) (5
2 ) + ( 8 )2
= 0.8 + 8 = 8.8
16. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่1 หาค่า tan ( arcsin (– 5
3 ) ) ( arcsin เป็นลบ แสดงวา่อยูใ่นควอดรันตท่ี์ 4) สมมุติ arcsin (– 5
3 ) = A จะได ้ – 5
3 = sin A จากรูป จะไดว้า่
tan (arcsin (– 53 ) ) = tan A = ชิด
ขา้ม = – 43
สุดท้ายจะได ้
tan ( 4 + arcsin (– 5
3 )) = tan(45o+A) = A tan 45 tan 1A tan 45tan
= )( (1) 1
)( 1
4
3
4
3
= 7 1
17. ตอบ 3
แนวคิด จาก sec (2 arcsin 31 ) =
)3
1arcsin (2 cos1 ( ใชสู้ตร cos 2A = 1 – 2 sin2A )
จะได ้ = 2
)
31(arcsin sin 2 1
1
= 2
31 2 1
1
sec (2 arcsin 31 ) = 3
A ชิด = 4
ฉาก = 5 ข้าม = –3
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
9
18. ตอบข้อ 2.
แนวคิด จาก cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin2 (arccos x) (ใช ้ arccos x = arcsin 2x1 cos 2A = 1 – 2 sin2 A ) 1 – 2(sin [arcsin x])2 + 2 = 4 (sin (arcsin 2x1 )2
1 – 2x2 + 2 = 4 22x1
– 2x2 + 3 = 4 (1 – x2) – 2x2 + 3 = 4 – 4x2 2x2 = 1
x2 = 21
x = +2
1 , –2
1
สุดท้ายจะได ้ ผลคูณค าตอบ = +2
1 –2
1 = – 21
19. ตอบข้อ 1.
แนวคิด โจทยบ์อก arccos x – arcsin x = 30o และจาก arccos x + arcsin x = 90o น า + จะได ้ 2 arccos x = 120o
arccos x = 60o และ x = cos 60o x = 21
สุดท้ายจะได ้ arccos x – arctan 2x = 60o – arctan 2 ( 21 ) = 60o – arctan 1 = 60o – 45o = 15o = 12
π
20. ตอบข้อ 4. แนวคิด จากรูปจะได ้ Asin
BC = Bsin AC
o60sin
6 = Bsin 1
sin B = 6
1 sin60o A B
C
1 6
60o
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
10
sin B = 23
1 23
sin B = 22
1
สุดท้ายจะได ้ cos 2B = 1 – 2sin2B = 1– 2(22
1 )2 = 43
21. ตอบ 0.75
แนวคิด โจทยบ์อก B = arctan
31 = 30o
จาก ABC จะไดว้า่
3Asin = 2
30sin
sin A = 23 sin 30o
sin A = 23 ( 2
1 )
sin A = 43
สุดท้ายจะได ้ sin (A + B) + sin (A – B) = (sin A cos B + sin B cos A) + (sin A cos B – sin B cos A)
= 2 sin A cos B ( แทนค่า sin A = 43 และ B = 30o )
= 2 ( 43 ) cos 30o
= 2 ( 43 ) ( 2
3 ) = 0.75
22. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่ 1 ใชก้ฎของโคไซน์ b2 = a2 + c2 – 2ac cos B 52 = 82 + 72 – 2(8)(7) cos B 25 = 64 + 49 – 112 cos B
cos B = 1411
B C
A
2
3 30o
A
B C
b = 5 c = 7
a = 8
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
11
ขั้นที ่ 2 หา sin2 2B จาก cos 2( 2B ) = 1 – 2 sin2 ( 2B )
cos B = 1 – 2 sin2 ( 2B ) 1411 = 1 – 2 sin2 ( 2B ) 2 sin2 2B = 14
3 sin2 2B = 28
3
23. ตอบข้อ 1. แนวคิด จาก B + C = arccos ( 15
1 ) จะได ้ cos (B + C) = 15
1
เน่ืองจาก A + B + C = 180o A = 180o – (B + C)
cos A = cos (180o – (B + C)) cos A = cos 180o cos (B + C) + sin 180o sin (B + C) cos A = (–1) ( 15
1 ) + (0) sin (B + C) cos A = 15
1
สุดท้ายจะได ้ BC2 = AB2 + AC2 – 2 (AB)(AC) cosA BC2 = 32 + 52 – 2 (3)(5) ( 15
1 ) BC2 = 32 BC = 32 BC = 216 BC = 4 2
C A
B
5
3
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
12
24. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 คิด ABC ใชก้ฎ cosine
สมมุติความยาว AB = x จะได ้ 72 = x2 + 52 + 2(x)(5) cos 120o 49 = x2 + 25 – 10x (– 2
1 ) 0 = x2 + 5x 24 0 = (x – 3) (x + 8) x = 3 , –8 ใชแ้ต่ค่าบวก จะได ้ x = 3
ขั้นที ่ 2 เพิ่มเติมรูปดงัแสดง คิด BCE จะได ้
sin 30o = 5 y
21 = 5
y 2.5 = y สุดท้าย คิด ACD
พื้นท่ี = 21 (ฐาน) (สูง) = 2
1 (8) (2.5 + 3) = 22
25. ตอบข้อ 2. แนวคิด ลองวาดรูป หนา้จัว่ จะไดด้งัน้ี คิด ACD (คร่ึงขวา) จะได ้
ชิดขา้ม = tan 15o
8AD = tan (60o – 45o)
8AD =
45 tan 60 tan 145 tan 60tan
8AD = (1) )3( 11 3
8AD = 1) 3(1) 3(
1) 3(1) 3(
8AD = 222
1 3
21 32 3
C
A
B 7
5
120o x
C
D A
B
x
5
30o
8
y
3
y
x = 3
A
B C D 8 8 15o 15o
150o
ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ
13
8AD = 232 4
AD = 8 ( 232 4 )
AD = 8 ( 2 – 3 ) สุดท้ายคิด ABC ( ทั้งหมด ) พื้นท่ี ABC = 21 (ฐาน) (สูง) = 21 (16) 8 (2 – 3 ) = 64 (2 – 3 )