การหมุน - PM-School · คงที่...
Transcript of การหมุน - PM-School · คงที่...
![Page 1: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/1.jpg)
ฟสกสราชมงคล
177
บทท 8 การหมน
ไจโรสโคปเปนอปกรณทนาพศวงงงงวยเปนอยางยง เพราะการหมนของมนคอนขางแปลก และคลายกบวา มนทาทายกบแรงโนมถวงได คณสมบตอนพเศษน สามารถน าไปประยกตใชไดตงแตรถจกรยาน จนถงยานขนสงอวกาศ เครองบนโดยสารทกประเภทมไจโรสโคป ไวส าหรบท าเปนเขมทศ และระบบน ารองอตโนมต สถานอวกาศ Mir ของรสเซย ใชไจโรสโคปจ านวน 11 อน เพอบงคบใหแผงโซลารเซลลหนไปในทศทางเดยวกบดวงอาทตยตลอดเวลา การหมนแบบไจโร จะเกดกบมวลทกชนดในโลกทมการหมน ฟสกสราชมงคลจะไขปรศนานให โดยจะโยงใหคณไดทราบเหตและผลทเกดจากการหมนแบบน ซงจะท าใหคณยงมหศจรรยเพมขนไปอก เพราะการประยกตของไจโรมมากมายนบไมถวน ทงๆ ทความรพนฐานนน งายแสนจะงาย กดทนเพอดรายละเอยดทงหมด
การเคลอนทของวตถตามสภาพจรงคอนขางซบซอน เนองเพราะขณะเคลอนทวตถอาจเปลยนแปลงรปรางได ตวอยางเชน ยบ แตก และราว ฯลฯ หรออาจจะหมนและเคลอนยายต าแหนงไปพรอมกน บททผานมาเราพยายามลดขนาดของวตถใหเปนเพยงจด เพอหลกเลยงผลเหลาน ส าหรบบทนเราจะเรมตนอธบายการหมนและการเลอนต าแหนง อยางไรกตามยงจ ากดไมใหวตถเปลยนรปรางขณะเคลอนท ซงเราเรยกวตถแบบนวา วตถแขงเกรง พรอมกบเพมแนวคดใหม เชน ทอรค, โมเมนตความเฉอย และโมเมนตมเชงมม
วดโอเพอการศกษา
ดวดโอการควงของลอจกรยาน เปนเวลา 30 วนาท คลกทนครบ
![Page 2: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/2.jpg)
ฟสกสราชมงคล
178
8-1 ความเรวเชงมม______________________________________________
รป 8-1 a) เวลาเปดประตทกอนภาคบนประตจะมความเรว และความเรงเชงมม เทากน แตความเรวและความเรงเชงเสนแตกตางกนขนอยกบระยะท หางจากแกนหมน b) ภาพดานบนของบานประต จด P หางจากจดหมนเทากบ R เคลอนท เปนสวนโคงของวงกลม S พจารณาวตถแขงเกรงหมนรอบจดคงทหนง ดงรป 8-1 เวลาเปดบานประต OP คอแนวเสนบนขอบประตทเราจะศกษาการเคลอนท คอมมทท ากบระดบมหนวยเปนเรเดยน เรเดยนคอ สวนโคงของ วงกลมหารดวยรศม ดงนน 1 เรเดยน (rad) คอสวนโคงของวงกลม (S) ทมขนาดเทากบรศม 2 rad (1 รอบ) = 360o
1 rad = 2
360 o
= 57.3o
360o = 2 rad = 6.28 rad 180o = rad = 3.14 rad
90o = 2
rad = 1.57 rad
60o = 3
rad = 1.05 rad
45o = 4
rad = 0.79 rad
รป 8-2 R กบ S สามารถเขยนเปนความสมพนธไดดงน S = R
![Page 3: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/3.jpg)
ฟสกสราชมงคล
179
มชอเรยกเฉพาะวา ต าแหนงเชงมม (Angular position) มเครองหมายเปนบวกเมอวดทวนเขมนาฬกา และเปนลบเมอวดตามเขมนาฬกา จากนยามของต าแหนงเชงมม
= RS
; S = R ................... (8-1)
ถา = 2 rad กแสดงวา S คอเสนรอบวงของวงกลม เรเดยนเปนอตราสวนระหวางความยาวตอความยาว ดงนน จงไมมหนวย ถา S = 1.5 m และ R = 1 m จะไดมม = 1.5 rad นยมเขยน = 1.5 ไมตองมหนวยก ากบกเขาใจ
รป 8-3 ระยะกระจดเชงมม ของวตถทก าลงหมน
การหมนสามารถอธบายไดดวยอตราการเปลยนระยะกระจดตอเวลา ดงรป 8-3 ใหเวลา t ต าแหนงเชงมมของแนวเสน OP อยท 1 วดจากแกน OX เวลาผานไปเปน t2 ต าแหนงเชงมมของแนวเสน OP อยท 2 ความเรวเชงมมเฉลย จะเปน
av = ttt 12
12
ความเรวเชงมมชวขณะ เปน
= dtd
tim
0t
................... (8-2)
หนวยของความเรวเชงมม คอ เรเดยนตอวนาท ( 1 rad s-1 หรอ 1 s-1) บางครงนยมใชรอบตอนาท (revmin-1) rev เปนตวยอของ revolution 1 revs-1 = 2 rads-1 และ 1 revmin-1 = 1 rpm = (2/60) rads-1
![Page 4: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/4.jpg)
ฟสกสราชมงคล
180
8-2 ความเรงเชงมม______________________________________________ ถาความเรวเชงมมไมคงท แสดงวาอนภาคมความเรงเชงมม ให 1 และ 2 เปนความเรวเชงมมชวขณะทเวลา t1 และ t2 ความเรงเชงมมเฉลยจะเปน
av = ttt 12
12
ความเรงเชงมมชวขณะจะเปน
= dtd
tim
0t
................... (8-3)
หนวยของความเรงเชงมม คอ เรเดยนตอวนาท2 (1 rads -2 หรอ 1 s-2)
เพราะ = dtd
ความเรงเชงมมจงสามารถเขยนอยในรปของอนพนธอนดบทสองไดเปน
= dtd
dtd
= 2
2
dtd
................... (8-4)
เปรยบเทยบกบการเคลอนทเชงเสน คอต าแหนงเชงมม x คอระยะกระจดเชงเสน คอความเรวเชงมม เปรยบเทยบกบ v คอความเรวเชงเสน คอความเรงเชงมม a คอความเรงเชงเสน
8-3 การหมนดวยความเรงเชงมมคงท_______________________________ เราสามารถหาความสมพนธระหวางระยะกระจดเชงมม อตราเรวเชงมม และความเรงเชงมมได ในกรณทความเรงเชงมมคงท โดยใชวธเดยวกนกบการหาความสมพนธระหวางระยะกระจดเชงเสน ความเรวเชงเสน และความเรงเชงเสนในกรณทความเรงคงท ดงทไดวเคราะหมาแลวในบทท 2
dt
d = = คงท
อนทเกรตจะได d = dt , = t + C1 C1 เปนคาคงททไดจากอนทเกรต ใหเวลาเรมตน t = 0 อนภาคมความเรวเชงมม 0 แทนคาลงในสมการบน จะได C1 = 0 ดงนน = 0 + t ................... (8-5)
แทน = dtd
และอนทเกรตอกครงจะได
d = 0 dt + tdt, = 0t + 21t2 + C2
![Page 5: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/5.jpg)
ฟสกสราชมงคล
181
C2 เปนคาคงททไดจากการอนทเกรต ใหเวลาเรมตน t = 0 อนภาคมต าแหนงเชงมม 0 แทนคาลงในสมการบน จะได C2 = 0
ดงนน = 0 + 0t + 21t2 ................... (8-6)
จากสมการ (8-5) จะได t =
0 แทนคาลงไปในสมการ (8-6)
2 =
020 -2 ................... (8-7)
ตาราง 8-1 เปรยบเทยบสตรทไดจากสมการ (8-5) (8-6) และ (8-7) ส าหรบการหมนดวยความเรงเชงมม คงท กบสตรทไดจากการเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท ตาราง 8-1
การเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท การหมนทมความเรงเชงมมคงท a = คงท v = v0 + at
x = x0 + v0 t + 21 at2
v2 = )x2a(xv 020
= คงท = 0 + t
= 0 + 0t + 21t2
2 = )( 020 2
ตวอยาง 8-1 ลอจกรยานหมนดวยความเรงเชงมมคงท 2 rads-2 ใหเวลาเรมตน t = 0 ซลอ OP อยในแนวระดบ มความเรวเชงมม = 4 rad.s-1 ก) ณ เวลา t = 3.0 s ซลอจะท ามมกบแนวระดบเทาไร ข) ความเรวเชงมม หลกการค านวณ ก) จากสมการ (8-6)
= 0 + 0t + 21t2
t = 3.0 s, = 0 + (4.0 rad.s-1) (3.0 s) +21
(2.0 rads-2)(3.0 s)2
= 21 rad =2
21 รอบ = 3.34 รอบ
ซลอจะหมนไป 3 รอบ บวกกบอก 0.34 รอบ หรอ (0.34 รอบ)(2 radrev-1) = 2.15 rad = 123o ข) จากสมการ (8-5) = 0 + t t = 3.0 s , = 4.0 rads-1 + (2.0 rads-2)(3.0 s) = 10 rads-1
![Page 6: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/6.jpg)
ฟสกสราชมงคล
182
หรอใชสมการ (8-7) 2 = 0
20 2
= (4 rads-1)2 + 2(2 rads-2)(21 rad) 2 = 100 rad2
s-2 = 10 rads-1 ค าตอบเทากน
บทความออนไลน
เมอแมวตกลงจากทสง มนมความสามารถทจะลงบนพนโดยใชเทาได ทงๆทตอนเรมตนตกมนหงายทองเกงลงมา การถายภาพความเรวสงเปนชอตๆ ในปจจบนชวยใหเราเหนขนตอนตางๆ ขณะทแมวก าลงตกลงมาได อานตอครบ
![Page 7: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/7.jpg)
ฟสกสราชมงคล
183
8-4 ความสมพนธระหวางปรมาณเวกเตอรของการเคลอนทเชงเสนและการเคลอนทเชงมมของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม____________________
รป 8-4 S = r
รป 8-5 ถาวตถหมนดวยความเรวไมสม าเสมอรอบจด O จะเกดความเรงขน 2 แนวคอ ความเรงแนวสมผสทจด P = r ; และแนวตงฉาก = 2r จด P หางจากจดหมนเปนระยะ r เคลอนทเปนวงกลม โดยมต าแหนงกระจดเชงมมเรมตนเทากบ เพมขนเปน ในชวงเวลา t อนภาคทจด P จะเคลอนทเปนสวนโคงของวงกลม s = r อตราเรวเฉลยของอนภาคหาไดจาก
vav = ts
=
tr
.................. (8-8)
ให t เขาใกลศนย จะได
v = dtd
r
= r .................. (8-9)
ความเรว v สมผสกบเสนทางการเคลอนท ความสมพนธระหวางความเรวของอนภาคทเปลยนไป v กบความเรวเชงมมทเปลยนไป เขยนไดดงน v = r
O x
r
a= 2r
a= r
P a
![Page 8: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/8.jpg)
ฟสกสราชมงคล
184
หาร t ทง 2 ขาง tv
=
tr
ให t เขาใกลศนยจะได
a = dtd
r
= r ................... (8-10)
a คอ ความเรงในแนวเสนสมผสกบเสนทางการเคลอนท
ความเรงในแนวตงฉาก หรอรศม แทนดวย a = r
v 2
จากสมการ (8-9) เขยนใหมไดเปน
a = r
v 2
= 2r ................... (8-11)
ถาวตถหมนดวยความเรวทไมสม าเสมอรอบจด O จะเกดความเรงขน 2 แนว คอ a กบ a ความเรงลพธหาไดจาก
a = 2II
2 aa
ตวอยาง 8-2 นกขวางจานโอลมปคเหวยงจานขาวออกไปดวยความเรงเชงมม = 50 rads-2 จงหา
ความเรงแนวสมผสและตงฉากขณะทความเรวเชงมม = 10 rads-1 ก าหนดให แขนของนกขวางยาว 0.80 m หลกการค านวณ จากสมการ (8-10) และ (8-11)
a = 2r = (10s-1)2(0.80 m) = 80 ms-2 a = r = (0.80 m)(50s-2) = 40 ms-2 ขนาดของความเรง
a = 22IIaa
= 89 ms-2
8-5 พลงงานจลนของการหมน_____________________________________ ขณะทวตถหมน อนภาคตาง ๆ ทประกอบขนเปนวตถกหมนพรอมไปกบวตถดวย สมมตใหอนภาคตวหนงมวล mi อยหางจากจดหมนเปนระยะทาง ri ความเรวเชงเสนของอนภาคจะเปน vi = ri และมพลงงานจลนเปน
Ki = 22ii
2ii rm2
1vm21
เนองจากพลงงานจลนเปนปรมาณสเกลาร พลงงานจลนรวมของวตถจะเทากบผลรวม พลงงานจลนของแตละอนภาค
K = .....rm21
rm21
rm21 22
3322
2222
11
![Page 9: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/9.jpg)
ฟสกสราชมงคล
185
อนภาคภายในวตถกอนเดยวกน จะม เทากน จงแยก ออกมาเปนตวรวมได
K = 2...)rmrmr(m21 2
33222
211
= 22ii )rm(
21
mi
2ir คอผลบวกมวลของอนภาคคณดวยระยะทางก าลงสองจากมวลไปยงจดหมน ถาแทน
ดวยปรมาณ จะได = mi
2ir .................... (8-12)
เรยกคา วาเปนความเฉอยของการหมน หรอโมเมนตความเฉอยของวตถ สมพทธกบแกนหมน คา ของวตถจะขนกบแกนหมน รปรางของวตถ และลกษณะการเรยงตวของวตถ รอบแกนหมน มหนวยเปน กโลกรม-เมตร2 (kgm2) คาพลงงานจลนสามารถเขยนใหมไดวา
K = 21
2 ................... (8-13)
เปรยบเทยบกบการเคลอนทเชงเสน K = 21
Mv2
สมการ (8-12) และ (8-13) แสดงใหเหนวาพลงงานการหมนของวตถ ส าหรบความเรวเชงมมคาหนง ๆ นน ไมเพยงแตขนอยกบขนาดของมวลเทานน แตยงขนอยกบการกระจายของมวลนน ๆ รอบแกนหมน ดงรป 8-6 เสนลวดอลมเนยมซงมขนาดเทากนและเหมอนกนทงสามเสน แตละเสนมวตถมวล M ท าดวยตะกวผกตดอย รป (a) มวลอยใกลกบแกนหมนมากทสด ดงนน คา ri ในสมการ (8-12) จงมคานอย สวนรป (b) อนภาคอยหางจากแกนหมนแตยงนอยกวารป (c)
รป 8-6 จากการทดลองพบวา a < b < c วตถตะกวทงสามมมวลเทากน แตการกระจายของมวลรอบแกนหมนตางกน
![Page 10: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/10.jpg)
ฟสกสราชมงคล
186
ใหมวลทงสามหมนดวยความเรวเชงมม เทากน พบวารป a ใชงานนอยทสด และรป c ใช
งานมากทสด เนองจากงานทใหวตถแตละอนมคาเทากบพลงงานจลน 21
2 ของวตถนน ๆ ท าใหคา
Ka < Kb < Kc และเนองจากแตละอนมคา เทากน ดงนน คา a < b < c จากนยามของสมการ (8-13) จงอาจเรยก M วาเปนคาความเฉอยเนองจากการเคลอนทแบบเลอนต าแหนง (translational inertia) ซงเปนการวดความตานทานของวตถทมตอการเปลยนแปลงการเคลอนทในแนวเสนตรง และเรยก วาเปนความ เฉอยเนองจากการหมน (rotational inertia) ซงเปนการวดความตานทานของวตถทมตอการหมน ตวอยาง 8-3 โมเมนตความเฉอยของสวนประกอบชนหนงของเครองจกร ดงรป 8-7 จะเปนเทาไร
รป 8-7 สวนประกอบชนหนงของเครองจกร (ก) รอบแกนหมน A ตงไดฉากกบระนาบ ABC (ข) ให BC เปนแกนหมน (ค) จากขอ (ก) ถามความเรวเชงมม = 40 rads-1 พลงงานจลนการหมนจะเปนเทาไร หลกการค านวณ (ก) มวลทจด A อยทแกนหมนพอด ระยะจากจดหมนเปนศนย โมเมนตความเฉอยของมวล ทจดนจงเปนศนย จากสมการ (8-12) A = miri
2 = (0.10 kg)(0.50 m)2 + (0.20 kg)(0.40 m)2 = 0.057 kgm2
(ข) มวลทจด B และ C อยทแกนหมนพอด ระยะจากจดหมนเปนศนย โมเมนตความเฉอย บนแกนนจงเปนศนย จากสมการ (8-12) BC = miri
2 = (0.30 kg)(0.40 m)2 = 0.048 kgm2 สรปไดวา โมเมนตความเฉอยขนอยกบแกนหมน แกนหมนเปลยนคากเปลยน (ค) จากสมการ (8-13)
K = 21
2 = 21
(0.057 kgm2)(40 rads-1)2
= 45.6 J
![Page 11: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/11.jpg)
ฟสกสราชมงคล
187
)R(Rm2
1 22
21
การค านวณหาคาโมเมนตความเฉอยของตวอยางทผานมา มวลมลกษณะเปนจด แตถาวตถมรปทรงขนาดใหญ มวลกระจายอยางตอเนองเชนทรงกระบอกหรอจาน การหาโมเมนตความเฉอย จะตองใชวธการอนทเกรต ตวอยางการค านวณจะอธบายในหวขอถดไป รป 8-8 คอตารางโมเมนตความเฉอยของมวลรปทรงตาง ๆ
รป 8-8 โมเมนตความเฉอยของมวลรปทรงตาง ๆ รอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวล
ขอสงเกต การหาโมเมนตความเฉอยโดยใชมวลคณกบระยะจดศนยกลางมวลหางจากจดหมน ยกก าลงสอง เพราะคดวาจดศนยกลางมวลเปนตวแทนของมวลทงกอน แตจรง ๆ แลวผด ตวอยางเชนแทงกลมขนาดเลกยาว L มมวล M ใหจดหมนอยทปลายของแทงโลหะ โมเมนตความเฉอยของแทงโลหะทจดหมนน
(จากตาราง) คอ 3
ML2
ถาใชมวลคณกบระยะจากจดศนยกลางมวลถงจดหมนซงเทากบ 2Lสามารถ
ค านวณหา I ไดเทากบ 4
ML2LM
22 คาทไดไมตรงกน การหาดวยวธนจงท าไมได
ตวอยาง 8-4 ลกรอกมวล 50 kg เสนผาศนยกลาง 0.12 m หมนอยรอบแกนไดโดยไมมความฝด พนเชอกรอบลกรอก ดงปลายเชอกดวยแรงคงท 9 N เปนระยะ 2 m ถาลกรอกเรมตนจากหยดนง จงหาความเรวเชงมมและเชงเสนของเชอกทระยะน หลกการค านวณ พลงงานจลนของลกรอกทเพมขน = งานทกระท ากบลกรอก
21
2 = Fd
= (9.0 N)(2.0 m) = 18 J จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของลกรอก
= 21
MR2
= 21
(50 kg)(0.060 m)2
= 0.090 kgm2 แทนลงไปในสมการบน จะได
21
(0.090 kgm2) 2 = 18 J
2ml12
1 )b(am
12
1 22 2mR
2
1 mR2
2mR
5
2
![Page 12: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/12.jpg)
ฟสกสราชมงคล
188
= 20 rads-1 ความเรวเชงเสนของเชอกจะเทากบความเรวสมผสของลกรอก จากสมการ (8-9) v = r = (0.060 m)(20 rads-1) = 1.2 ms-1 ตวอยาง 8-5 ลกรอกมวล M หมนรอบแกนโดยไมมความฝด พนเชอกรอบลกรอก ใหปลายเชอกขางหนงผกตดกบมวล m ในแนวดง ปลอยมวล m จากความสง h จงหาความเรวเชงมมและเชงเสนของลกรอก ขณะทมวล m ถงพน
รป 8-9 หลกการค านวณ เรมตนปลอยมวล m พลงงานจลนยงเปนศนย (K1 = 0) มแตพลงงานศกย U1 = mgh ขณะทมวล m ถงพน พลงงานจลนของการเคลอนทเชงเสนเปน K2 พลงงานศกยเปนศนย (U2 = 0) แตเนองจากลกรอกหมนจงมพลงงานจลนของการหมนบวกเพมเขามา
K2 = 21
mv2 + 21
2 ................... (8-14)
จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของลกรอก
= 21
MR2
จาก = R ความเรวเชงเสนของมวล m จะเทากบความเรวสมผสของลกรอก จากกฎการคงตวของพลงงาน จะได
K1 + U1 = K2 + U2
mgh + 0 = 21
mv2 + 21
2 + 0
mgh = 21
mv2 + 21
(21
MR2)2
Rv
= 21
(m + 21
M)v2
![Page 13: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/13.jpg)
ฟสกสราชมงคล
189
v =
2mM
1
2gh
วเคราะหโจทย ถามวลของลกรอก M มากกวา m มาก ๆ v จะมคานอย ในทางกลบกน M นอยกวา m มาก ๆ v ของมวล m จะเกอบเทากบความเรวของการตกอยางอสระทระยะความสง h ดงนนโจทยทมรอกประกอบจากบททผานมา จงตองก าหนดใหมวลของรอกนอยมาก เพอหลกเลยงผลของการหมนนนเอง
8-6 วธค านวณหาโมเมนตความเฉอย________________________________ = mi
2ir เปนสมการทหาโมเมนตความเฉอยในกรณทมวลเปนจด ดงตวอยาง 8-3 แตถา
มวลมรปทรงขนาดใหญ และเนอวตถกระจายอยางสม าเสมอ จะตองใชวธการอนทกรลแทน โดยแบงมวลของวตถออกเปนชนเลก ๆ มคา dm อยหางจากแกนหมนเปนระยะ r โมเมนตความเฉอยของอนภาคเลกๆ นจะเปน d = r2dm โมเมนตความเฉอยของวตถทงกอน = dmr 2
................... (8-15) ถา เปนความหนาแนนของวตถ และ dV เปนปรมาตรเลก dm = dV แทนในสมการบน จะได
= dVr 2ρ การกระจายของมวลเปนเนอเดยวสม าเสมอ ความหนาแนนจะคงท สามารถน าออกนอกเครองหมาย อนทกรลได = dVr 2
................... (8-16) dV คอปรมาตรเลก ๆ ของมวล dm จงมลกษณะเหมอนจด ตวอยาง 8-6
รป 8-10 วธค านวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงกลมขนาดเลก สวนทแรเงาคอ มวล dm เลก ๆ ทแบงในชวง dx
![Page 14: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/14.jpg)
ฟสกสราชมงคล
190
แทงกลมขนาดเลก มวล M ยาว เนอวตถกระจายสม าเสมอ แกนหมนตงฉากกบจด O หางจากปลายแทงขางหนงเปนระยะ h แบงแทงกลมเปนชวงเลก ๆ dx หางจากจด O เปนระยะ x อตราสวน
ของมวลกอนเลก ๆ dm ตอมวลทงกอน M จะเทากบ อตราสวนของ dx กบความยาวทงหมด ดงน
Mdm
=
dx
dm =
Mdx
แทนคา dm ลงในสมการ (8-15) และอนทเกรตบนแกน x จาก -h ถง -h ดงน
0 = dmx 2
=
h-
h
2dxxM
= 3xM 3
h
h
= 31
M(2-3h+3h2)
สมการบนทได สามารถหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนไดทก ๆ แกน ตวอยางเชน ถาแกนหมนอยทปลายแทงดานซาย, h = 0 จะได
= 31
M2 ................... (8-17)
แกนหมนอยทปลายแทงดานขวา , h = จะได
= 31
M2
เทากนเพราะมวลมลกษณะสมมาตร ทงซายขวา
ถาแกนหมนผานจดศนยกลางมวล h = /2
I = 121
M2 ................... (8-18)
ตรงกบรป 8-8
ตวอยาง 8-7 ทรงกระบอกกลวง ยาว มเสนผาศนยกลางในและนอกเปน R1 และ R2 ตามล าดบ ใหแกนหมนผานจดศนยกลางมวลของทรงกระบอก แบงปรมาตรของทรงกระบอกกลวงเปนเปลอกเลก ๆ dV หาง
จากแกนหมนเปนรศม r หนา dr ยาว (บรเวณแรเงาในรปภาพ) ปรมาตรของเปลอกเลก ๆ dV =
2rdr มวลของเปลอกเลก ๆ dm = dV = 2rdr
![Page 15: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/15.jpg)
ฟสกสราชมงคล
191
หลกการค านวณ
รป 8-11 วธค านวณหาโมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกกลวง สวนทแรเงาคอปรมาตร
ของเปลอกเลก ๆ dV = 2 rdr
แทนคา dm ในสมการ (8-15) และอนทเกรตในแนวรศมจาก R1 ถง R2 ดงน = dVr 2
= 2 2R
1R
3drr
= 41
42 RR
2
= 21
22
21
22 RRRR
2
................... (8-19)
ปรมาตรทงหมดของทรงกระบอก V = ( 21
22 RR )
มวลทงหมดของทรงกระบอก M = ( 21
22 RR )
แทน ( 21
22 RR ) ดวย M ลงในสมการ (8-19) จะได
= )RM(R21 2
221 ................... (8-20)
ถาเปนทรงกระบอกตน R1 = 0 ให R2 = R ดงนน ตรงกบรป 8-8
โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกตน รศม R = 2MR21
.................... (8-21)
ตรงกบรป 8-8 หรอถาเปนทรงกระบอกกลวงบาง R1 และ R2 เกอบจะเทากน ใหแทน R1 = R2 = R = MR2 ตรงกบรป 8-8
ขอสงเกต โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกไมวาจะกลวงหรอตน ไมขนอยกบความยาว ตวอยางเชน ทรงกระบอกทท าจากไมหรอทองเหลองมมวลเทากน ถามรศมนอก และในเทากน จะม เทากนดวย ถงแมวาจะมความยาวไมเทากนกตาม สรปไดวาโมเมนตความเฉอยขนอยกบการกระจายของมวลแนวรศมรอบแกนหมน ไมใชแนวเดยวกบแกนหมน
r
dr
![Page 16: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/16.jpg)
ฟสกสราชมงคล
192
ตวอยาง 8-8
รป 8-12 วธค านวณหาโมเมนตความเฉอยของทรงกลม ; สวนทแรเงาคอ ปรมาตรของจานหนา dx
ทรงกลมรศม R ใหแกนหมนผานจดศนยกลางมวล แบงปรมาตรของทรงกลมใหเปนรปจานหนา dx รศม r ดงรป 8-12
r = 22 xR ปรมาตรของจาน คอ dV = r2dx = (R2 - x2)dx ;
มวลของจาน คอ dm = dV
จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกตน รศม R = 2MR21
น ามาใชกบจานได จากขอสงเกตในตวอยาง 8-7 ดงนน โมเมนตความเฉอยของจาน คอ
d = dx)x(R2
222
อนทเกรต จาก O ถง R ไดดงน
= R
0dx)x(R
2(2) 222
หลงจากอนทเกรตจะได
= 15
R8 5
มวลทงหมดของทรงกลม
M = v = 3R4 3
แทนลงในสมการบนจะได
= 2MR52
ตรงกบรป 8-8
![Page 17: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/17.jpg)
ฟสกสราชมงคล
193
8-7 ทฤษฎแกนขนาน_____________________________________________ รป 8-8 เปนโมเมนตความเฉอยของวตถรปทรงตาง ๆ รอบแกนทผานจดศนยกลางมวล แทนดวย cm แตถาเราตองการหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนใหมทขนานกบแกนหมนเดมเปนระยะ d กสามารถค านวณหาได โดยใชทฤษฎของสไตเนอร (steiner’s theorem) หรอทฤษฎแกนขนาน (parallel axis theorem) ซงเขยนเปนรปของสมการไดวา = cm + Md2 ................... (8-22) cm คอโมเมนตความเฉอยของวตถมวล M รอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวล คอ โมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนซงขนานกบแกนทผานจดศนยกลางมวล และหางเปนระยะ d
การทดลองเสมอนจรง
การทดลองนเปนการหาโมเมนตความเฉอยโดยการหมนมวล คณสามารถวางมวลบนกลางโตะ หรอมมของโตะกยอมได และท าการทดลองหาความเรงของระบบ เมอไดความเรงแลว น าไปหาโมเมนตความเฉอยไดจากสตร
m = มวลทใชแขวนในระบบ R = คอรศมของโตะหมน ในหองทดลองเสมอนจรงน R = 0.25 เมตร เมอค านวณหาโมเมนตความเฉอยไดแลว ใหน าคา 0.03 kg.m2 ซงกคอโมเมนตความเฉอยของโตะ ลบออก คาทไดกคอโมเมนตความเฉอยของมวลทน าไปหมน กดทรปภาพหรอทนเพอเขาสการทดลอง
![Page 18: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/18.jpg)
ฟสกสราชมงคล
194
รป 8-13 การพสจนทฤษฎแกนขนาน ถาทราบคาโมเมนตของความเฉอยทผานจด C กจะสามารถหาคาโมเมนตของความเฉอยทผานจด P ได การพสจนหาความสมพนธของสมการ (8-22) เราจะก าหนดใหจด C เปนจดศนยกลางมวลของวตถรปใด ๆ มพนทภาคตดขวางดงรป 8-13 มพกดท (xcm , ycm , zcm = 0) ใหแกนหมนทผานจด C มทศตงฉากกบระนาบของกระดาษและแกนหมนทจด P ซงมแกนขนานกบแกนทผานจดศนยกลางมวล P จะมจด
พกดอยท (xcm+a ; ycm+b , zcm = 0) และระยะระหวางแกนทงสองมคา d ซงเทากบ 22 ba อนภาคมวล
mi อยหางจากจด C = 2i
2i yx และจด P = 2
i2
i b)(ya)(x คาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนทผานจด P มคาเทากน = mi {(xi -a)2 + (yi - b)2} = mi )y(x 2
i2i - 2amixi - 2bmiyi + (a2 + b2)mi
เนองจาก คา xcm และ ycm เปน 0 เพราะเปนจดศนยกลางมวล ดงนน mixi = xcmmi = 0 miyi = ycmmi = 0 = mi i
222i
2i m)b(a)y(x
= cm + Md2 พสจนสมการ (8-22) ตามตองการ ตวอยาง 8-9 จงหาโมเมนตความเฉอยของแทงกลม ใหแกนหมนอยทปลายแทง
หลกการค านวณ จากรป 8-10 แกนหมนอยทปลายแทง = 31
M2 ซงไดมาจากการอนทเกรต อยางไร
กตามเราสามารถใชสมการ (8-22) ไดโดยไมตองผานการอนทเกรตกได
จากรป 8-8 cm = 12
M 2 และ d =
2 แทนลงในสมการ (8-22) จะได
= 12
M 2 + M
4
2 =
3M 2
P(Xcm + a, Ycm + b)
(Xcm ,Ycm)
mi
b yi d
C xi
a
Y
Ycm
X o Xcm
![Page 19: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/19.jpg)
ฟสกสราชมงคล
195
ตวอยาง 8-10 จงหาโมเมนตความเฉอยของจานบางสม าเสมอ แกนหมนอยในแนวตงฉากกบ ขอบจาน
หลกการค านวณ cm = 2
MR2
และ d = R ดงนน
= 2
MR2
+ MR2
= 2
3MR2
8-8 ทอรค______________________________________________________ ทอรค คอแรงทกระท าใหวตถหมน ขนอยกบขนาดของแรงและต าแหนงทแรงกระท าตวอยางเชน มนงายกวากนมากทจะออกแรงผลกประตทลกบดมากกวาทบานพบ
รป 8-14 แรง F1 และ F2 กระท าบนระนาบของวตถ ท าใหวตถหมนไดรอบจด O ในรป 8-14 แรง F1 ท าใหวตถหมนรอบแกน O อตราการหมนจะขนอยกบขนาดของแรง F1
และระยะทตงฉากกบแรง 1 แตถา 1 = 0 วตถจะไมมการหมน ระยะ 1 เปรยบเทยบไดกบดามจบของ
ประแจเราสามารถขนนอตดวยประแจทมดามยาวไดงายกวาดามทมขนาดสน ระยะ 1 จงมชอเรยกวา
แขนโมเมนตของแรง F1 และ F1 1 เรยกวา ทอรคหรอโมเมนตของแรงรอบจด O แทนดวยอกษรกรก (แกมมา)
= F ................... (8-23)
แขนของโมเมนต F1 คอ ระยะทลากจากจดหมนตงฉากกบแรง F1 แทนดวย 1
แขนของโมเมนต F2 คอ ระยะทลากจากจดหมนตงฉากกบแรง F2 แทนดวย 2 แรง F1 ท าใหวตถหมนทวนเขมนาฬการอบจด O ขณะทแรง F2 ท าใหวตถหมนตามเขมนาฬการอบจด O ถาก าหนดใหทอรคหมนทวนเขมเปนบวก และตามเขมเปนลบ ดงนน
1 = +F1 1
และ 2 = -F2 2 ถาแรงทกระท าผานแกนหมน แขนของโมเมนตจะเปนศนย ทอรคกจะเปนศนยดวย หนวยของทอรคคอ นวตน-เมตร (Nm)
F1
แขนโมเมนตของ F1 ทศทางของแรง F1
แขนโมเมนตของ F2
ทศทางของแรง F2
A
O
B
F2
1 2
![Page 20: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/20.jpg)
ฟสกสราชมงคล
196
รป 8-15 = r F รปนทศทางของ ชลงไปในกระดาษ
แรง F สามารถแตกออกเปน 2 แนว คอ F1 ในแนวขนานกบ r และ F2 ในแนวตงฉากกบ r ; F1 = Fcos ไมเกดทอรค เพราะแขนโมเมนตผานจดหมน สวน F2 = F sin ท าใหเกดทอรค ขนาดของ = rF2 = rFsin สามารถเขยนอยในรปของสมการทางเวกเตอรไดดงน = r F ................... (8-24)
r sin = ดงนน ขนาดของ เทากบ F จากรป 8-15 ทอรคมทศชลงไปในกระดาษ ซงเราสามารถหาไดจากกฎของมอขวา
8-9 ทอรคและความเรงเชงมม______________________________________ ใหอนภาคมวล m อยหางจากแกนหมนเปนระยะ r แรงสทธทกระท าตออนภาคเทากบ F แยกออกเปน 2 แรงคอ F ในแนวตงฉาก หรอรศม และ F สมผสกบเสนทางการเคลอนท จากกฎขอทสองของนวตน จะได F = ma ................... (8-25) จากสมการ (8-10) a = r แทนลงในสมการ (8-25) คณสมการทง 2 ขางดวย r จะได Fr = mr2 ................... (8-26) Fr คอทอรค และ mr2 คอโมเมนตความเฉอยของอนภาค เขยนใหมไดเปน = อนภาค
สมการบนเปนทอรคของอนภาคเพยงตวเดยว ถาตองการหา ของอนภาคทกตวบนวตถ กตองบวกทอรคของแตละอนภาค ซงแตละอนภาคทอยในวตถแขงเกรงเดยวกนจะมความเรงเชงมม เทากนหมด ดงนนทอรครวมจะไดวา
= วตถ ................... (8-27) คอ ทอรครวมทเกดจากแรงกระท าจากภายนอก สวนทอรคทเกดจากแรงภายในจะ หกลางกนหมด เพราะเปนแรงคกรยาและปฏกรยา สมการ (8-27) ใชส าหรบกรณของการหมน ซงทจรง กมาจากกฎขอทสองของนวตน F = ma รปลกษณะของสมการจงคลาย ๆ กน
F F1
r F2
O
![Page 21: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/21.jpg)
ฟสกสราชมงคล
197
ตวอยาง 8-11 ลกกลงมวล 50 kg รศม 0.1 m หมนรอบแกนไดโดยไมมความฝด พนเชอกรอบ ลกกลงทรงกระบอกตน จงหาความเรงเชงมม เมอดงปลายเชอกดวยแรงคงท 20 N หลกการค านวณ = (20 N)(0.1 m)
= 2.0 Nm
ความเรงเชงมม =
= 2m)kg)(0.1(50
21
mN2.0 = 8 rads-2
ตวอยาง 8-12 จงหาความเรงของมวล m และความเรงเชงมมของลกกลง รป 8-16 แผนภาพแทนแรงของตวอยาง 8-12 หลกการค านวณ เขยนแผนภาพแทนแรงของวตถทงสองอสระจากกน ดงรป 8-16 จากกฎขอทสอง mg – T = ma จากสมการ (8-27) จะได
RT = ลกกลง = 2MR21
การทดลองเสมอนจรง
การทดลองเรองทอรค กดทรปภาพหรอทนเพอเขาสการทดลอง
![Page 22: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/22.jpg)
ฟสกสราชมงคล
198
ความเรวลงของมวลจะเทากบความเรวแนวเสนสมผสของลกกลง เชนเดยวกน ความเรงของมวล m กจะเทากบ ความเรงแนวเสนสมผสของลกกลง จากสมการ (8-10) จะได a = R แทนลงไปใน
สมการทสอง จะได RT = 21
MRa , T = Ma แทนลงไปในสมการแรกจะได
mg - 21
Ma = ma
a =
2M
m
mg
=
2mM
1
g
ขอสงเกต แรงตง T จะไมเทากบน าหนก mg และความเรง a กนอยกวา g แตถา M = 0 , T = 0 และ a = g มวล m จะตกลงมาแบบอสระ มวล m เรมตกจากทระดบความสง h ความเรว v หาไดจากสมการ 2
02 vv = 2ah
กรณน ความเรวตน v0 = 0 จะได v = 2ah
=
2mM
1
2gh
เทากบตวอยางท 8-5 ตวอยาง 8-13 มวล m1 คลองผานรอกผกตดเขากบมวล m2 ท าใหมวล m1 ไถลไปบนพนทไมมแรงเสยดทาน ก าหนดใหรอกท าจากทรงกระบอกกลวงบางมมวล M รศม R ขณะหมนเชอกไมไถล จงหาความเรงของมวลแตละกอน ความเรงเชงมมของรอก และความตงของเสนเชอก
หลกกา
รป 8-17 (a) ระบบในตวอยาง 8-13 (b) แผนภาพแยกแรง
![Page 23: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/23.jpg)
ฟสกสราชมงคล
199
หลกการค านวณ รป 8-17 (b) ใสแรงทกแรง ตงแกนพกดและก าหนดทศทางบนมวลแตละกอนใหครบ สงเกตวา T1 และ T2 ไมเทากน แมจะเปนเสนเชอกเสนเดยวกน เหตผลเนองจากรอกมมวล จากกฎขอทสอง สมการการเคลอนทบนมวล m1 และ m2 T1 = m1a1 .................. (8-28) และ m2g - T2 = m2a2 .................. (8-29) แรงปฏกรยา N2 กระท าผานจดศนยกลางมวลของรอก ดงนน จงไมมทอรคเกดขน สมการ การเคลอนทแบบหมนบนรอกกคอ T2R - T1 R = = (MR2) .................. (8-30)
เพราะเชอกไมลนไถล ดงนน a1 = a2 = R ................... (8-31)
แทนลงในสมการ (8-30) จะได T2R - T1R = MRa1
จากสมการ (8-29) และ (8-30) ตวแปร 3 สมการ 3
amTmg
amT
MaTT
122
111
112
จากสมการทง 3 มตวแปร 3 ตว จ านวนสมการเทากบจ านวนตวแปรจงสามารถแกสมการหา T1 , T2 และ a1 ไดดงน
a1 = Mmm
gm
21
2
แทนคากลบลงไปในสมการ (8-28) และ (8-29) จะได
T1 = Mmm
gmm
21
21
T2 = Mmm
gm M)(m
21
21
วเคราะหโจทย ถามวล m1 หรอ M มวลใดมวลหนงมากกวา m2 มาก ๆ ความเรงจะมคานอย และ T2 กจะมขนาดเกอบเทา m2g ในทางกลบกนถา m2 มากกวา m1 หรอ M มวลใดมวลหนงมาก ๆ ความเรงของ m2 เกอบจะเทากบ g หรอเหมอนกบการตกแบบอสระ
![Page 24: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/24.jpg)
ฟสกสราชมงคล
200
8-10 งานและก าลงของการหมน___________________________________
รป 8-18 งานของลกกลงทเกดจากการกระท าของแรง F แรง F ท าใหลกกลงรศม R เคลอนทไดระยะกระจดเชงมม ถามมนมขนาดเลกมาก ๆ แรงจะคงทในชวงเวลาสน ๆ งานทท าโดยแรง F คอ dW = Fds แต ds = Rd ดงนน dW = FRd FR คอทอรค ( ) แทนลงไปเราจะได dW = d ................... (8-32) ใหทอรคคงทระหวางทลกกลงหมนจาก 1 ไป 2 จะได W = (2 - 1) = ................... (8-33) สรปไดวา งานทท าโดยทอรคคงทจะเทากบผลคณของทอรคกบระยะกระจดเชงมม
ทอรค มหนวยเปน Nm แรงในรป 8-18 ถาเปนแรงในแนวสมผส จะท าใหเกดงานได แตถาเปนแรงในแนวรศมจะไมมงานและทอรค เพราะไมมระยะกระจดและแขนของโมเมนตในแนวรศม จากสมการ (8-32) หารสมการทง 2 ขางดวย dt จะได
dt
dW =
dtd
dt
dW คออตราการท างาน หรอก าลง (P)
dtd
คอความเรวเชงมม () ดงนน
P = ................... (8-34) เปนสตรส าหรบการเคลอนทแบบวงกลม เปรยบไดกบ P = Fv ซงเปนกรณการเคลอนท แบบเชงเสน
![Page 25: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/25.jpg)
ฟสกสราชมงคล
201
ตวอยาง 8-14 เพลาของเครองยนตหมนดวยความเรว 3,600 rpm ขณะสงก าลง 80 hp ไปยงลอหลง จงค านวณหาทอรค หลกการค านวณ
= 1
1-1
s.min60
)rad.rev)(2rev.min(3600
= 120. rads-1 80hp = (80hp)(746 Whp-1) = 59,700 W แทนลงในสมการ(8-34) = P/ = 59700 W/120 rads-1 = 158 Nm
ตวอยาง 8-15 มอเตอรไฟฟาขบหนเจยรโดยใหทอรค 10 N.m โมเมนตความเฉอยของใบเจยร = 2 kg.m2 ถาเรมหมนจากหยดนง จงหางาน พลงงานจลน และก าลงเฉลยของมอเตอรหลงจากหมนไปได 8 วนาท หลกการค านวณ จาก = ค านวณหาความเรงเชงมมไดเทากบ 5 s-2 ความเรวเชงมมหลงจาก 8 s หาจาก = t = (5s-2)(8s) = 40 s-1
พลงงานจลนของการหมน K = 21
2
= 21 (2 kgm2)(40 s-1)2 = 1,600 J
ระยะกระจดเชงมมเมอหมนไปได 8 s คอ
= 21t2 =
21 (5s-2)(8s)2 = 160 rad
งานของมอเตอรคอ W =
= (10 Nm) (160 rad) = 1,600 J
ก าลงเฉลย Pav = 8s
J1,600
= 200 Js-1 = 200 W ขอสงเกต ใชสมการ P = ไมไดเนองเพราะ ไมคงท
![Page 26: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/26.jpg)
ฟสกสราชมงคล
202
อยางไรกตาม สามารถค านวณหางานทงหมดได โดยวธการอนทเกรต ก าลง P จาก 0 ถง 8 s ดงน W = Pdt
= dt
= dtt)(
= )tdt8s
0sm)(5N(10 2
= 1,600 J ก าลงชวขณะ ณ เวลา 8s คอ = (10 Nm)(40 s-1) = 400 W เนองเพราะความเรวเชงมมเพมขนเปนเชงเสน ดงนน ก าลงเฉลยเปนครงหนงของคาสงสด
= 2
400 = 200 W
8-11 แกนหมนคงท______________________________________________ ถาแกนหมนไมไดหยดนงอยกบท เพราะมการเลอนต าแหนงและหมนไปพรอม ๆ กนตวอยางเชน ลกบอลไหลลงมาตามพนเอยงโดยไมไถล เปนตน การเคลอนทในลกษณะน พลงงานจลนทงหมดของวตถจะเทากบพลงงานจลนเลอนต าแหนงบวกกบพลงงานจลนของการหมน ก าหนดใหมวล M กลงไปดวยความเรว v และหมนดวยความเรวเชงมม พลงงานจลนทงหมด
K = 21 Mv2 +
21 c
2
c คอ โมเมนตของความเฉอยของทรงกระบอกรอบแกนหมนผานจดศนยกลางมวล
วดโอเพอการศกษา
ไจโรสโคป มคณสมบตชไปในทศทางเดยวตลอดเวลา โดยไมตองค านงถงต าแหนงของฐานวาจะเอยงไปอยางไร ในวดโอมการทดลองใหเหนอยางชดเจน บนกระสวยอวกาศจงใชไจโรสโคปน าวถ เพอน ายานกลบสโลก คลกครบ
![Page 27: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/27.jpg)
ฟสกสราชมงคล
203
ตวอยาง 8-16 พนเชอกรอบทรงกระบอกหลายรอบ ยดปลายเชอกไว ปลอยใหทรงกระบอกตกลงมา จงหาความเรงและความตงในเสนเชอกของทรงกระบอก
รป 8-19 ปลอยใหทรงกระบอกตกลงมา โดยจบปลายเชอกไวดานหนง
หลกการค านวณ จากกฎขอท 2 (เคลอนยายต าแหนง) F = ma Mg - T = Ma ................... (8-35) สมการการหมน =
TR = = 21
(MR2) ................... (8-36)
ถาเชอกไมลนไถลขณะคลายตวออก ความเรงเชงเสน a = R ................... (8-37)
แทน = Ra ลงไปในสมการ (8-36) แกสมการหา a และ T ไดดงน
a = g32
T = Mg31
ตวอยาง 8-17 โบวลงลกหนงก าลงกลงลงมาโดยไมมการลนไถลบนพนเอยงท ามม กบระดบ จงหาความเรงของลกโบวลงตามแนวพนเอยง
รป 8-20 แผนภาพแทนแรงของลกโบวลงขณะทก าลงกลงลงมาบนพนเอยง
![Page 28: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/28.jpg)
ฟสกสราชมงคล
204
หลกการค านวณ จากกฎขอท 2 mg sin -f = ma จากสมการการหมน
fR = =
2mR52
ถาลกโบวลงไมลนไถล จาก a = R แทน = a/R ลงในสมการบน แกสมการหา a และ f ไดดงน
a = 75
g sin
f = 72
mg sin
วเคราะหโจทย ความเรงทค านวณไดเทยบไดกบ 75เทาของมวลทไถลลงบนพนเอยง ท ามม กบระดบ
โดยทไมมแรงเสยดทาน ถงกระนนทบอลกลงไดโดยไมลนไถลกเพราะพนมแรงเสยดทาน และสมประสทธ
ความเสยดทาน (s) จะตองมคาเทากบ tan72
cosmg
sinmg72
Nf
เปนอยางนอย ดงนนถาพนเอยง
มาก s กจะตองมากตามเพอปองกนการลนไถล
8-12 โมเมนตมและการดลเชงมม___________________________________
รป 8-21 โมเมนตมเชงมม
พจารณามวล m เคลอนทบนระนาบดวยความเรว v รอบแกนหมน O มโมเมนตมเชงเสน = mv เราจะนยามโมเมนตมเชงมม L ของอนภาค รอบแกนหมน O มทศทางตงฉากกบระนาบ เปนผลจากการคณของโมเมนตมเชงเสนกบระยะจากแกนหมนตงฉากกบเสนทางการเคลอนทของอนภาค
โมเมนตมเชงมม = L = mvr ................... (8-38)
![Page 29: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/29.jpg)
ฟสกสราชมงคล
205
ในท านองเดยวกบทอรค อาจเรยกโมเมนตมเชงมมวา เปนโมเมนตของโมเมนตมเชงเสน ใหอนภาคมวล m ภายในกอนวตถก าลงหมนรอบจด O ดงรป 8-21b ดวยความเรวเชงเสน v ซงความเรวเชงเสนมความสมพนธกบความเรวเชงมม ดงน v = r แทนคาลงไปในสมการ (8-38) จะได L = mr2 เปนโมเมนตมเชงมมของอนภาคเดยว จะหาโมเมนตมเชงมมของอนภาคทงหมดไดจากผลรวมของอนภาคทงหมดในวตถ แตอนภาคภายในวตถกอนเดยวกน จะม เทากน จงแยก ออกเปนตวรวมได mr2 = mr2 mr2 คอโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนหมน ( ) จะได L = เปนโมเมนตมเชงมมของวตถ ................... (8-39) เมอเทยบกบโมเมนตมเชงเสน P = mv มสวนคลายกน มคาเปนบวกเสมอ ดงนน L จะมทศทางเดยวกบ ทอรคคงทกระท าบนวตถทมโมเมนตความเฉอย ในชวงเวลา t1 ถง t2 ท าใหความเรวเชงมมเปลยนจาก 1 ไปเปน 2 จะได
= = )t(t
)(
12
12
จดรปสมการใหม
(t2 - t1) = 2 - 1 = L2 - L1 = L ................... (8-40) ทอรคคณกบเวลาเรยกวา การดลเชงมม แทนดวยสญลกษณ J
การดลเชงมม = J = (t2 - t1) ................... (8-41) การดลเชงมม คอการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมม ในกรณททอรคไมคงท
J = 2
1
t
tdt ................... (8-42)
จากสมการ (8-40) สรปความสมพนธไดดงน
J = 2 - 1 = L2 - L1 ................... (8-43) จากสมการ (8-39) สามารถเขยนอยในรปของสมการอนพนธ
![Page 30: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/30.jpg)
ฟสกสราชมงคล
206
dtdL
= dtd
=
เทยบกบสมการ (8-27)
= dtdL
................... (8-44)
รป 8-22 อธบายโมเมนตมเชงมมในรปของเวกเตอร
L = r p = r mv ................... (8-45) r เปนเวกเตอรบอกต าแหนงของอนภาคเทยบกบจด O L เปนเวกเตอรตงฉากกบระนาบของรป มขนาดเทากบ mvr
8-13 การคงตวของโมเมนตมเชงมม________________________________
รป 8-23 การดลเชงมมของจานหมนแตละใบ คอการเปลยนแปลงของโมเมนตม
L = r x p
![Page 31: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/31.jpg)
ฟสกสราชมงคล
207
จานหมน 2 ใบดงรป 8-23 มโมเมนตความเฉอย และ และมความเรวเชงมมเรมตน 0 และ 0 ตามล าดบ ประกบจานทงสองเขาหากนดวยแรงในแนวระดบ แรงนจะไมท าใหเกดทอรค เพราะวาอยแกนเดยวกนกบแกนหมน รอสกครจานทงสองจะมความเรวเชงมมเทากบ ขณะทจานประกบกน จานใบใหญใหทอรค กบจานใบเลก สวนจานใบเลกกจะให กบ จานใบใหญ หลงจากทจานมความเรวเชงมมรวมกน ทอรครวมเปนศนย ซงกเปนไปตามกฎขอทสามของ นวตน เหตผลกเพราะวา เปนแรงกรยาและคกรยา กระท าทจดเดยวกน มขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขามกน ดงนน ทอรคของจานใบใหญจะเทากบทอรคของจานใบเลก แตทศทางแตกตางกน = - หรอเขยนอยในรปของการดลเชงมม J = - J จากสมการ (8-43) J = - 0 J = - 0 เพราะ J = - J ดงนน - 0 = -( - 0) จดรปใหม 0 + 0 = (+) ................... (8-46) ขางซายของสมการ (8-46) เปนโมเมนตมเชงมมรวมกอนประกบจาน สวนสมการดานขวาเปนโมเมนตมเชงมมรวมหลงประกบจาน ไมมทอรคภายนอกมากระท ากบระบบ สามารถสรปไดวา ถาไมมทอรคภายนอกกระท ากบระบบหรอทอรคสทธของระบบเปนศนย โมเมนตมเชงมมของระบบจะคงท เราเรยกวา กฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม
รป 8-24 พสจนกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม รป 8-24 นกกายกรรมปลอยมอจากเชอก ตลงกากลางอากาศ ขาและแขนของเขาเหยยดตรง ถาขณะนนเขาหดตวลงโดยยอเขาและมอ ท าใหโมเมนตความเฉอยรอบจดหมนของตวเขาลดลง เมอระบบไมมทอรคกระท าจากภายนอก โมเมนตมเชงมมของระบบจะคงท และความเรวเชงมมจะเพมขน นนคอ นกกายกรรมจะหมนตวกลางอากาศไดเรวขน
![Page 32: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/32.jpg)
ฟสกสราชมงคล
208
ตวอยาง 8-18 จากรป 8-23 ก าหนดใหจานใบแรกมมวล 2 kg มรศม 0.2 m ความเรวเชงมม
เรมตน 50 rads-1 จานใบทสองมมวล 4 kg มรศม 0.1 m ความเรวเชงมมเรมตน 200 rads-1 จงหาความเรวเชงมมสดทายหลงจากจานประกบกน อยากจะทราบวาพลงงานจลนของระบบอนรกษหรอไม หลกการค านวณ
โมเมนตความเฉอยของจานใบแรก = 21
(2 kg)(0.2 m)2 = 0.04 kgm2
โมเมนตความเฉอยของจานใบทสอง = 21
(4 kg)(0.1 m)2 = 0.02 kgm2
จากกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม จะได (0.04 kgm2)(50 rads-1) + (0.02 kgm2)(200 rads-1) = (0.04 kgm2 + 0.02 kgm2) = 100 rads-1 พลงงานจลนเรมตนกอนประกบ
K0 = 21
(0.04 kgm2)(50 rads-1)2 + 21
(0.02 kgm2)(200 rads-1)2
= 450 J พลงงานจลนสดทายหลงประกบ
K = 21
(0.04 kgm2 + 0.02 kgm2)(100 rads-1)2
= 300 J ขอสงเกต พลงงานจลนสญเสยไป 150 J ระหวางการประกบ สรปไดวาพลงงานจลนอาจจะไมคงท ถงแมวาไมมแรงและทอรคจากภายนอกมากระท ากบระบบ ตวอยาง 8-19 นกกลามหนงามคนหนงนงอยบนจดศนยกลางของเกาอหมน กางแขนออกไปในแนวระดบมอแตละขางถอมวล 5 kg เกาอหมน 1 รอบในเวลา 2 วนาท จงหาความเรวเชงมมเมอเขาหบแขนเขาหาตว ก าหนดใหนกกลามผนมโมเมนตความเฉอยเทากบ 6 kg.m2 ระยะวดจากน าหนกถงแกนหมนขณะเหยยดแขนคอ 1 m และหบแขนคอ 0.2 m
วดโอเพอการศกษา
การทดลองกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมมบนเกาอหมน คลกครบ
![Page 33: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/33.jpg)
ฟสกสราชมงคล
209
หลกการค านวณ
รป 8-25 ถาเกาอหมนไมมแรงเสยดทาน ทอรคจากภายนอกระบบไมมจะเปนศนยโมเมนตมเชงมมคงตวหรออนรกษ นนคอ โมเมนตมเชงมมเรมตน = โมเมนตมเชงมมสดทาย ii = ff i และ i คอโมเมนตความเฉอย และความเรวเชงมมเรมตน f และ f คอโมเมนตความเฉอยและความเรวเชงมมสดทาย โมเมนตความเฉอยรวม = คน + น าหนก i = 6 kgm2 + 2(5 kg)(1.0 m)2 = 16 kgm2 f = 6 kgm2 + 2(5 kg)(0.2 m)2 = 6.4 kgm2
i = 2 (21
rads-1)
f = f
ii
= rads-1 2
2
mkg6.4
mkg16
= 2.5 rads-1 = 7.85 rads-1 ความเรวเชงมมสดทายมากกวาเรมตน
พลงงานจลนเรมตน K0 = 21
(16 kgm2)( rads-1)2
= 79 J
พลงงานจลนสดทาย K = 21
(6.4 kg.m2)(2.5 rads-1)2
= 197 J ค าถาม พลงงานจลนสดทายมากกวาเรมตนถกตองหรอไม
![Page 34: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/34.jpg)
ฟสกสราชมงคล
210
ตวอยาง 8-20 ประตกวาง 1 m มวล 1.5 kg หมนไปมารอบบานพบโดยไมมแรงเสยดทาน ยงลกปนมวล
10 กรม ดวยความเรว 400 ms-1 ตงฉากกบบานประต ฝงเขาไปบรเวณจดกงกลางของประต จงหาความเรวของประตหลงจากถกยง อยากทราบวาพลงงานจลนของระบบอนรกษหรอไม หลกการค านวณ โมเมนตมเชงมมเรมตน L = mvr = (0.01 kg)(400 ms-1)(0.5 m) = 2.0 kgm2
s-1 โมเมนตมเชงมมสดทาย รวม โดยท รวม = ประต + ลกปน
ประต = 3
ML2
= 3
m)kg)(1.0(15 2
= 5.0 kgm2 ลกปน = mr2 = (0.01 kg)(0.5 m)2 = 0.0025 kgm2 ไมมทอรคกระท าจากภายนอก ดงนน โมเมนตมเชงมมของระบบคงท mvr = รวม 2.0 kgm2
s-1 = (5.0 kgm2 + 0.0025 kgm2) = 0.4 rads-1 ลกปนฝงลงไปในบานประต ลกษณะแบบนพลงงานจะไมอนรกษ
พลงงานจลนเรมตน Ki = 21
mv2
= 21
(0.01 kg)(400 ms-1)2
= 800 J
พลงงานจลนสดทาย Kf = 21
2
= 21
(5.0025 kgm2)(0.4 rads-1)2
= 0.4 J
![Page 35: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/35.jpg)
ฟสกสราชมงคล
211
8-14 เวกเตอรเชงมม_____________________________________________
รป 8-26 เวกเตอรทศทางของความเรวเชงมม
รป 8-27 เวกเตอร L คอการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมมในชวงเวลา t เนองจาก
มทอรคซงเกดจากน าหนกมากระท ากบระบบ ; เวกเตอร L มทศเดยวกบ
ความเรวเชงมม โมเมนตมเชงมม และทอรค ปรมาณเหลานสามารถแสดงดวยสญลกษณ เวกเตอร สวนทศทางหาไดจากกฎของมอขวา ตวอยางเชน ถาตองการทราบทศทางของความเรวเชงมมกใหใชมอขวาหรอสกร ก ารอบแกนหมน หมนมอตามทศทางการหมน นวโปงและสกรจะชไปในทศทางของ ไจโรสโคป ดงรป 8-27 สามารถหมนรอบแกนหมน O ไดอยางอสระ แรงทกระท าบนไจโรสโคป มอยเพยงแรงเดยว คอ น าหนกของลกขาง w มทศลงทจดศนยกลางมวลของไจโรสโคป ทอรค จากน าหนก w มทศทางตามรป ขณะทลกขางหมน(วธจะท าใหลกขางหมน ใหพนเชอกบนแกนของลกขางหลาย ๆ รอบ ดงลง ลกขางกจะหมนดวยความเรวเชงมม ) ไจโรสโคบจะมโมเมนตมเชงมมเรมตน L = ทอรคสทธจะท าใหโมเมนตมเชงมมเปลยนแปลงไป (L) และท าใหไจโรหมนไปเปนมม ดงสมการ
= LL การเคลอนทของลกขางรอบแกน O เรยกวา การควง (precession)
t เรยกวา ความเรวเชงมมของการควง ใชสญลกษณ (โอเมกา) แทน
ทศทางการหมน
![Page 36: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/36.jpg)
ฟสกสราชมงคล
212
= t
= tL/L
=
L
=
wR ................... (8-47)
ความเรวเชงมมของการควง เปนสดสวนกลบกบความเรวเชงมมของลกขาง ถาลกขางหมนเรว การควงจะชา แตถาลกขางหมนชาการควงจะเรว อยางไรกตามถาลกขางไมหมน กไมมโมเมนตมเชงมม L ตงแตเรมตนแลว ไจโรสโคปกจะไมมการควง
ตวอยาง 8-21 จากรป 8-27 ลกขางหมนรอบตวเองในทศทางทวนเขมนาฬกา ดวยอตราเรว 30 รอบ
ตอวนาท มวลของลกขาง 0.5 kg มโมเมนตความเฉอย = 5 10-4 kgm2 จดศนยกลางมวลของลกขางหางจากจดหมน 4 cm จงค านวณหาความเรวเชงมมของการควง หลกการค านวณ จากสมการ (8-47)
=
wR =
mgR
= )revrad 2srev)(30mkg10(5
m))(4x10sm kg)(9.8(0.51124
2-2
= 2.1 rads-1 ตามกฎมอขวา จะมทศทวนเขมนาฬกา เมอมองจากดานบน
บรรยายลงในกระดานฟสกสราชมงคล
เมอไมมแรงบดหรอทอรคกระท าจากภายนอกโมเมนตมเชงมมทงขนาดและทศทางจะคงท ดงเชน เขมทศไจโรสโคปทหมนอยในเรอ ถาไมมทอรคภายนอกไปกระท ามนจะไมเปลยนทศทาง แมวาเรอล านนจะเคลอนทรอบโลกไปทใดกตามดงรป เขมทศไจโรจงน าไปใชในระบบน ารอง ปจจบนมระบบคอมพวเตอรในการค านวณ ดงนนเมอเรอเปลยนต าแหนงไป คอมพวเตอรจะค านวณเทยบกบต าแหนงของเขมทศไจโร พรอมไปกบขอมลจากตววดความเรง คอมพวเตอรจะค านวณหาระยะทางจากจดเรมตนได แมนย าไมมผดพลาด ใหนกศกษาวจารณภาพนลงใน กระดานฟสกสราชมงคล
![Page 37: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/37.jpg)
ฟสกสราชมงคล
213
1. ก) จงหามมในหนวยเรเดยนทสวนโคงยาว 1.50 m บนเสนรอบวงของวงกลมรศม 2.50 m รองรบทจด
ศนยกลาง มมนมคาเทาใดในหนวยองศา [ ตอบ 0.600 rad = 34.4 องศา ] ข) สวนโคงยาว 14.0 cm บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนงรองรบมม 128 องศา ทจดศนยกลาง วงกลม
นมรศมเทาใด [ ตอบ 6.27 cm ] ค) มมระหวางเสนรศมสองเสนของวงกลมรศม 1.50 m มคาเทากบ 0.700 rad จงหาความยาวของสวน
โคงบนเสนรอบวงของวงกลมระหวางต าแหนงทเสนรศมสองเสนนตดกบเสนรอบวง [ ตอบ 1.05 m ]
2. มม ทลอรถจกรยานลอหนงหมนไปมคา 2 3( )t a bt ct โดยท a , b และ c เปนคาคงตวบวกทท าให มหนวยเปนเรเดยนเมอเวลา t มหนวยเปนวนาท
ก) จงค านวณความเรงเชงมมลอในรปของฟงกชนของเวลา [ ตอบ ( ) 2 6t b ct ] ข) ทเวลาใดความเรวเชงมมของลอมคาไมเปลยนแปลงชวขณะ [ ตอบ / 3b c ]
3. ลอจกรยานลอหนงก าลงถกทดสอบทรานซอม ความเรวเชงมมของลอมคา 4.00 rad/s ทเวลา t = 0 และ ความเรงเชงมมของลอมคาคงตว -1.20 rad/s2 ซลอ OP ซหนงของลอทบซอนกบแกน +x ท t = 0 ดงรป
ก) ความเรวเชงมมของลอท t = 3.00 s มคาเทาใด [ ตอบ 0.40 rad/s ]
ข) ซลอ OP ท ามมเทาใดกบแกน +x ทเวลาน [ ตอบ 6.60 rad ]
แบบฝกหดเรองการหมน
ทดสอบกอนและหลงเรยน
วธท า ให ใสชอ สกล เลอกวชาทสอบ และจ านวนขอ แตตองไมเกนจากทก าหนดไว เชน ก าหนดไว 10 ขอ เวลาเลอกจ านวนขอ ใหเลอก 5 และ 10 ขอไมเกนจากน เปนตน เมอ
ท าเสรจสามารถดคะแนนจากรายละเอยดผท าขอสอบไดทนท เรอง การหมน
คลกเขาส ทดสอบกอนและหลงเรยน
แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย
แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย คลกครบ
![Page 38: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/38.jpg)
ฟสกสราชมงคล
214
4. ใบมดป นอาหารเครองหนงหมนดวยความเรงเชงมมคงตว 1.50 rad/s2 ก) ถาใบมดเรมหมนจากหยดนง นานเทาใดใบมดจงจะมความเรวเชงมม 36.0 rad/s [ ตอบ 24.0 s] ข) ใบมดหมนไปไดกรอบในชวงเวลาน [ ตอบ 68.8 รอบ ] 5. ท t = 0 ลอฝนมดลอหนงมความเรวเชงมม 24.0 rad/s ลอฝนมดมความเรงเชงมมคงตว 30.0 rad/s2
จนกระทงอปกรณตดไฟท างานท t = 2.00 s จากนนลอหมนทอตราเรงเชงมมคงตวไปเปนมม 432 rad เมอหยด
ก) ลอหมนไปเปนมมทงหมดเทาใดในระหวาง t = 0 จนกระทงหยด [ ตอบ 540 rad ] ข) ลอหยดหมนทเวลาเทาใด [ ตอบ 12.3 s ] ค) ความเรงในขณะทลอหมนชาลงมคาเทาใด [ ตอบ -8.17 rad/s2 ] 6. ลอๆ หนงหมนดวยความเรวเชงมมคงตวท 6.00 rad/s ก) จงหาความเรงในแนวรศมของจดๆ หนงซงอยหาง 0.500 m จากแกนโดยใชความสมพนธ
2
rada r [ ตอบ rada = 18.0 m/s2 ] ข) จงหาอตราเรวในแนวเสนสมผสของจดนและค านวณหาความเรงในแนวรศมจากความสมพนธ
2 /rada v r [ ตอบ v = 3.00 m/s, rada = 18.0 m/s2 ] 7. ลกกลมมวล 1 kg กลงไปบนพนราบดวยความเรว 20 m/s แลวเคลอนทข นไปบนพนเอยงซงท ามม 30
องศา กบแนวระดบ ก) พลงงานจลนทงหมดของลกกลมเปนเทาใดขณะอยบนพนราบ [ ตอบ 280 J ] ข) ลกกลมจะขนไปบนพนเอยงไดไกลเทาใด [ ตอบ 57.2 m ] 8. ไมเมตรอนหนงมมวล m ยาว ตงตรงบนพนดวยปลายขางหนง ถาปลอยใหไมเมตรนลมลงมาโดยให
ถอวาปลายไมทแตะพนคงอยทต าแหนงเดม ไมจะฟาดพนดวยอตราเรวเชงมมเทาใด [ ตอบ 3g ]
9. ไมคทาทอนหนงท าจากทรงกระบอกโลหะเรยวมวล M และยาว L ทปลายแตละขางมปลอกยางมวล m สวมอย และแตละปลอกสามารถมองไดวาเปนอนภาคในปญหาขอน จงหาโมเมนตความเฉอยทงหมดของไมคทารอบแกนหมนโดยปกต (ตงฉากกบไมคทาผานจดกงกลางของไม)
[ ตอบ 2( /12 / 2)M m L ]
10. ทรงกลมเหลก 4 ลก แตละลกมองวาเปนจดมวล 0.200 kg ได วางทรงกลมทงสเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 0.400 m และตอกนดวยแทงเบา ดงรป จงหาโมเมนตความเฉอยของระบบรอบแกน
ก) ทผานจดศนยกลางของสเหลยมจตรสและตงฉากกบระนาบสเหลยม (แกนทผานจด O ในรป) ข) ทแบงครงดานตรงขามสองดานของสเหลยมจตรส (แกนตามเสน AB ในรป) ค) ทผานจดศนยกลางของทรงกลมทดานบนซายและดานลางขวาและผานจด O
![Page 39: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/39.jpg)
ฟสกสราชมงคล
215
11. สวนหนงของขอตอชนหนง ดงรป มมวล 3.6 kg เราวดโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนทอยหาง 0.15 m จากจดศนยกลางมวลของวตถได IP = 0.132 kg.m2 โมเมนตความเฉอย Icm ของวตถรอบแกน ขนานทผานจดศนยกลางมวลของวตถมคาเทาใด [ ตอบ 0.051 kg.m2 ]
12. จากรป แทงไมบางสม าเสมอมวล M ยาว L แทงนอาจเปนไมคทาทคนน าขบวนแหถอ (ไมมปลอกยางทปลายสองขาง) จงค านวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงนรอบแกนผาน O ทระยะหาง h ใดๆ จาก
ปลายดานหนง [ ตอบ 1
3M(L2 – 3Lh + 3h2) ]
13. ชางประปาคนหนงไมสามารถหมนเกลยวขอตอออกได กเลยเอาเศษทอเกา (“ตวโกง”) สวมไปบนมอจบประแจของเขา แลวเขากใชน าหนกตวทงหมดของเขา 900 N ท าตอปลายของตวโกงโดยการยนบนตวโกง ระยะจากจดศนยกลางของขอตอไปยงจดทน าหนกกระท าคอ 0.80 m และมอจบประแจและตวโกงท ามม 19 องศา กบแนวระดบ ดงรป จงหาขนาดและทศของทอรคทเขากระท าตอขอตอทอ [ ตอบ 680 N.m มทศพงเขาไปในระนาบของรป ]
14. เปลอกทรงกระบอกมวล M และรศม R กลงโดยไมไถลดวยอตราเรว vcm บนผวเรยบแบน พลงงานจลน
ของวตถมคาเทาใด [ ตอบ Mvcm2 ]
15. โฆษณาชนหนงอางวาก าลงจายออกของเครองรถยนตคนหนงมคาเทากบ 200 hp ท 6000 rpm ทอรค ขณะนนมคาเทาใด
![Page 40: การหมุน - PM-School · คงที่ กับสูตรที่ได้จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีความเร่งคงที่](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040708/5e0a156d9b10d075742510f6/html5/thumbnails/40.jpg)
ฟสกสราชมงคล
216
16. พดลมกงหนในเครองยนตไอพนเครองหนง ดงรป มโมเมนตความเฉอยขนาด 2.5 kg.m2 รอบแกนหมนของเครอง ในขณะทกงหนเรมหมน ความเรวเชงมมของกงหนในรปฟงกชนของเวลาคอ
= (400 rad/s3)t2
ก) จงหาโมเมนตมเชงมมของใบพดในรปของฟงกชนของเวลา และใหหาคาของโมเมนตมเชงมมน
ทเวลา t = 3.0 s [ ตอบ 9000 kg.m2/s ] ข) จงหาทอรคสทธทกระท าตอใบพดในรปฟงกชนของเวลา และจงหาทอรคทเวลา t = 3.0 s
[ ตอบ 6000 N.m ] 17. ประตกวาง 1.0 m มวล 15 kg ตดบานพบทดานหนงท าใหสามารถหมนโดยไมมความเสยดทานรอบ
แกนดง ประตนไมไดใสกลอนไว ต ารวจนายหนงยงลกปนมวล 10 g และอตราเรว 400 m/s เขาไปทตรงกลางประตพอดในทศตงฉากกบระนาบของประต จงหาอตราเรวเชงมมของประตหลงจากทลกปนฝงเขาไปในประตพอด พลงงานจลนมคาคงตวหรอไม [ ตอบ 0.40 rad/s พลงงานจลนสดทายมคาเพยง 1/2000 ของคาเดม ]
18. ชายคนหนงยนอยกลางแปนหมน มอทงสองถอกอนน าหนกมอละ 2 kg และเหยยดแขนตรงใหกอน
น าหนกหางแกนหมน 1 m และหมนแปนนนดวยอตรา 6 รอบ/นาท โมเมนตความเฉอยเมอเขายนมอเปลารอบแกนหมนเทากบ 10 kg/m2 ถาเขาหดแขนเขามากอนน าหนกทงสองหางแกนหมน 0.2 m เขาจะหมนในอตรากรอบ/นาท [ ตอบ 8.3 รอบ/นาท ]
19. จงค านวณหาโมเมนตมเชงมมของเขมวนาทบนนาฬการอบแกนทผานจดศนยกลางของหนาปดนาฬกา
เขมนาฬกายาว 15.0 cm และมมวล 6.00 g ใหพจารณาวาเขมนาฬกาเปนแทงวตถผอมบางซงก าลงหมนดวยความเรวเชงมมคงตวรอบปลายขางหนง [ ตอบ 4.71 x 10-6 kg.m2/s ]
20. เมอใชทอรคลพธขนาด 20 N.m กระท าทลออนหนงท าใหลอนนหมน จากหยดนงเปน 100 รอบ/นาท ใน
เวลา 10 วนาท ก) ใหหาโมเมนตความเฉอยของลอนน [ ตอบ 19.2 kg.m2 ] ข) เมอใชทอรคครบ 10 วนาท นบจากถอนทอรคนนออก ลอนนกหมนชาลง จนหยดนงในเวลา 100 วนาท นบจากถอนทอรค ทอรคเนองจากความฝดในการหมนมคาเทาใด [ ตอบ 2 N.m ] ค) หาจ านวนทงหมดทลอนนหมนไดจากเรมตนจนหยดนงสนท [ 92 รอบ ]