บทที่ 1 เวกเตอรในสามมิติ

(vectors in three dimensions)

1.1 เวกเตอรคืออะไร เนื่องจากปริมาณตางๆในโลกนี ้ มีหลายปรมิาณดวยกัน เชน พืน้ที ่ มวล ระยะทาง

การกระจัด ความสงู อุณหภูมิ แรง ความเร็ว ความเรง ความดนั ฯลฯ ปริมาณเหลานี้ บาง

ปริมาณบอกแตเพียงขนาดอยางเดียวก็เขาใจความหมายไดชัดเจน เชน ขณะนี้อุณหภูมิเทากับ

30oC แตปริมาณบางอยางเชนบอกวาบานนกัเรียนอยูหางจากโรงเรียน 2 กิโลเมตร การบอก

แบบนี้ กย็ังไมมีใครทราบวาบานของเรียนอยูทางทิศใดของโรงเรียน ดังนัน้การบอกระยะหาง

(การกระจัด) ตองบอกทิศทางดวยจึงจะเขาใจความหมายไดชัดเจน ปริมาณที่ตองบอกทิศทาง

ดวยจึงจะเขาใจความหมายไดชัดเจนเรียกวาปริมาณเวกเตอร ปริมาณหลายปริมาณเปน

ปริมาณเวกเตอร เชน แรง ความเร็ว ทอรก(แรงบิด) ฯลฯ

(a) (b) (c) รูป 1.1 (a) แรง (b) ความเร็ว (c) ทอรก(แรงบิด)

เวกเตอรในสามมิติ - 2

คณิตศาสตร เลม 1

นักเรียนสามารถศึกษา การทดลองเสมือนจริงเรื่อง เวกเตอร ไดจาก

www.rmutphysics.com/physics1/My%20Webs/chap1/chap1-1/chap1-1.htm

แรงกับปริมาณของเวกเตอร ในการบอกขนาดและทิศทางของปริมาณเวกเตอรใดๆ เราจะแทนดวยขนาดและ

ทิศทางของลกูศร ดังรูป 1.2

รูป 1.2 สัญญลักษณของเวกเตอร

หัวลูกศรอยูทีป่ลายดานหนึง่บอกถงึทิศทางของปริมาณเวกเตอรนัน้ โดยความยาวของเสนตรงจะ

แทนขนาดของเวกเตอร เชน ออกแรงขนาด 4 หนวยผลักวัตถุใหเคลื่อนที่ไปขางหนา ดังรูป 1.3

รูป 1.3 ออกแรงเข็นวัตถ ุ

เวกเตอรในสามมิติ - 3

คณิตศาสตร เลม 1

การรวมแรง เนื่องจากแรงเปนปริมาณเวกเตอรดังนั้นการรวมแรงก็จะเหมอืนกับการรวมเวกเตอรในทาง

คณิตศาสตร ซึ่งการรวมแรงจะเกิดขึ้นก็ตอเมื่อมีแรงมากกวา 1 แรง มากระทําตอวตัถุ เชน

1) แรงสองแรงขนาดเทากัน คือ 5 นิวตนั กระทําตอวัตถุในทิศทางเดียวกนั ผลรวม

ของแรงทั้งสอง(แรงลัพธ)นี้จะเทากับ 10 นิวตนั

2) แรงสองแรงขนาดเทากัน คือ 5 นวิตัน กระทาํตอวัตถใุนทิศตรงขามกัน ผลรวมของ

แรงทั้งสอง(แรงลัพธ)นี้จะเทากับ 0 นวิตัน

3) ตัวอยางของการรวมเวกเตอร สามารถศึกษาไดจากแผนภาพในรูป 1.4

รูป 1.4 แผนภาพการรวมเวกเตอร

เวกเตอรในสามมิติ - 4

คณิตศาสตร เลม 1

นักเรียนสามารถศึกษา การทดลองเสมือนจริงเรื่อง การรวมแรง ไดจาก

www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/lectureonline/ritphysics/kap4/cd082thai.htm

นักเรียนสามารถดู VDO เร่ือง การรวมแรง ไดจาก

www.rmutphysics.com/charud/video/16/vector.htm

การรวมความเร็ว เนื่องจากความเร็วก็เปนปริมาณเวกเตอรเชนเดียวกับแรง เราจงึสามารถนําเอาวิธีการ

รวมแรงมาใชกับการรวมความเร็วได ดังตัวอยางตอไปนี ้

ตัวอยาง 1.1 ถาเครื่องบนิมคีวามเร็ว 100 /km hr เมือ่เทียบกบัพืน้ดิน และกระแสลมมี

ความเร็ว 20 /km hr เราสามารถหาความเร็วผลลพัธในกรณีที ่

ก) เครื่องบินบนิตามลม

ข) เครื่องบินบนิสวนกบักระแสลม วิธีทาํ

ก) กรณีที่เครื่องบินบินตามลม

ความเร็วของเครื่องบินเทยีบกับพืน้ดิน = ความเร็วของเครื่องบิน + ความเร็วของกระแสลม

= 100 /km hr + 20 /km hr = 120 /km hr ตอบ

เวกเตอรในสามมิติ - 5

คณิตศาสตร เลม 1

ข) กรณีที่เครื่องบินบินสวนกระแสลม ความเร็วของเครื่องบินเทยีบกับพืน้ดิน = ความเร็วของเครื่องบิน - ความเร็วของกระแสลม

= 100 /km hr - 20 /km hr

= 80 /km hr ตอบ ตัวอยาง 1.2 ถาเครื่องบินมีความเร็ว 80 /km hr เมื่อเทียบกับพืน้ดิน และกระแสลมมี

ความเร็ว 20 /km hr ถาเครื่องบินมุงหนาไปทางทิศเหนอื แตกระแสลมพัดไปทางทิศ

ตะวันออก จงหาความเรว็ของเครื่องบินเทียบกับพืน้ดิน

วิธีทาํ ความเรว็ผลลัพธของเครื่องบนิ ไดจากการนําความเร็วของเครื่องบินและความเร็วของ

กระแสลมมาบวกการแบบเวกเตอร ดังรูป

ความเร็วผลลพัธของเครื่องบิน = 100 /km hr ไปทางทิศตะวนัออกเฉียงเหนือ ตอบ

นักเรียนสามารถศึกษา การทดลองเสมือนจริงเรื่องการรวมเวกเตอร ไดจาก

www.rmutphysics.com/physics1/My%20Webs/chap1/chap1-2/chap1-2.htm

1.2 ระบบพกิัด (coordinate systems) การศึกษาในทางวิทยาศาสตรในหลายเรื่อง เชนการศึกษาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของ

วัตถุ จําเปนตองทราบตาํแหนงของวัตถทุี่เวลาตางๆ ระบบพิกัดทีน่าํมาใชในการบอกตําแหนงของ

วัตถุที่ใชกันมากในทางวทิยาศาสตรมี 2 ระบบ คือ

เวกเตอรในสามมิติ - 6

คณิตศาสตร เลม 1

1) ระบบพิกัดฉากสามมิติ หรือระบบคารทีเซียน

(rectangular or cartesian coordinate)

2) ระบบพกิัดเชิงขั้ว (polar coordinate ) ในทีน่ี้จะกลาวถึงเฉพาะระบบพิกัดฉากสามมิติหรือระบบคารทีเซียน

ระบบพิกัดฉากสามมิติ หรือระบบคารทเีซียน (rectangular or cartesian coordinate) ระบบนี้ใน 2 มิติ จะมีสองแกนคือแกน x และแกน y ดังรูป 1.5

รูป 1.5 ระบบพิกัดฉาก 2 มติิ

จุดตัดของแกนทัง้สองคือจดุ (0,0) เรียกวาจุดกําเนิด(origin) ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ จะมีสาม

แกนคือแกน x แกน y และแกน z ดังรูป 1.6

เวกเตอรในสามมิติ - 7

คณิตศาสตร เลม 1

รูป 1.6 ระบบพิกัดฉาก 3 มติิ

จุดตัดของแกนทัง้สาม คือจุด (0,0,0) เรียกวาจุดกาํเนิด (origin) การกําหนดทศิของแกนทัง้

สามมี 2 ระบบ คือ ระบบมอืขวา และระบบมือซาย ในหนังสือนี้และหนังสือสวนใหญจะใชระบบ

มือขวา ดังรูป 1.7

รูป 1.7 ระบบมือขวา

เวกเตอรในสามมิติ - 8

คณิตศาสตร เลม 1

การกําหนดทศิของแกนตางๆในระบบระบบมือขวา การกําหนดแกน x , y และ z ในระบบมือขวาทาํไดโดยแบมือออกใหนิ้วทั้งสี่ของมือขวาชี้ไปทางแกน x แลวกํามือโดยใหนิ้วทัง้สี่วนไปทาง

แกน y นิ้วหวัแมมือจะชี้ทิศของแกน z ดังนัน้แกน x , y และ z ในระบบมือขวา จงึเขียนได

3 แบบ ดังนี ้

รูป 1.8 การกาํหนดแกนตางๆในระบบมือขวาทาํไดหลายแบบ

สําหรับระนาบในระบบพกิัดฉาก 3 มิติ ม ี3 ระนาบ คือ

1) ระนาบ xy 2) ระนาบ yz 3) ระนาบ xz ดังรูป 1.9

รูป 1.9 ระนาบในระบบพกิดัฉาก

Z

X

Y

Y

z

x

X

Y

z

เวกเตอรในสามมิติ - 9

คณิตศาสตร เลม 1

ตัวอยาง 1.3 จงเขียนกราฟของ 3x = ในระบบ 1 มิติ 2 มติิ และ 3 มิติ

กราฟของ 3x = ในกราฟ 1 มติิ ตอบ

กราฟของ 3x = ในกราฟ 2 มิติ ตอบ

กราฟของ 3x = ในกราฟ 3 มติิ ตอบ

ตัวอยาง 1.4 จงเขียนกราฟของระนาบ 2y = ในระบบ 3 มติิ วิธีทาํ

เวกเตอรในสามมิติ - 10

คณิตศาสตร เลม 1

ตอบ

ตัวอยาง 1.5 จงเขียนกราฟของระนาบ 5z = ในระบบ 3 มิติ วิธีทาํ

ตอบ

การบอกตําแหนงของจุดในระบบพิกัดฉาก 2 มิติ จะบอกดวยคูลําดับ ( , )x y เชนจุด

(2,3) , ( 3,1)− และ ( 1.5, 2.5)− − ดังรูป 1.10

รูป 1.10 พิกัดของจุดตางๆในระบบพกิัดฉาก 2 มิติ

เวกเตอรในสามมิติ - 11

คณิตศาสตร เลม 1

การบอกตําแหนงของจุดในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ จะบอกดวยพิกัด ( , , )x y z เชนจุด (4,3,2)

และ (4,3,2) ดังรูป 1.11

รูป 1.11 พิกดัของจุดตางๆในระบบพกิัดฉาก 3 มิติ

รูป 1.12 พิกดัของจุด P คือ ( , , )x y z

เวกเตอรในสามมิติ - 12

คณิตศาสตร เลม 1

รูป 1.13 พิกดัของจุดตางๆที่อยูตามมุมของสี่เหลีย่มลูกบาศก ที่มีความยาวดานละหนึง่หนวย

ตัวอยาง 1.6 จงกําหนดจดุ (1,3, 2)− ในระบบพิกัดฉาก 3 มติิ

วิธีทาํ

นักเรียนสามารถศึกษา การทดลองเสมือนจริงเรื่องระบบพิกัดฉาก ไดจาก

www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/coora/Coordinate.htm www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/surendranath/CartCoordApplet.html

เวกเตอรในสามมิติ - 13

คณิตศาสตร เลม 1

1.3 ระยะทางระหวางจุดสองจุดในปริภูมสิองและสามมิติ

รูป 1.14 ระยะทางระหวางจุดสองจุดในปริภูมิสองมิติ

ทฤษฎีบท 1.1 ระยะทางระหวางจุด 1 1 1 1( , , )X x y z และ 2 2 2 2( , , )X x y z มีคา

เทากับ 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z− + − + −

หมายเหต ุ ในกรณี 2 มิติ ใหตัดตัวแปร z ออก

ตัวอยาง 1.7 จงหาระยะทางระหวางจุด (0,0,0)O และจุด (1,1,1)A ดังรูป

วิธีทาํ จากสูตร 2 2 2

2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )OA x x y y z z= − + − + −

2 2 2(1 0) (1 0) (1 0)OA = − + − + −

เวกเตอรในสามมิติ - 14

คณิตศาสตร เลม 1

3 1.732OA = = ตอบ ตัวอยาง 1.8 จากรูป จงหาระยะทางระหวางจุด (4,3)A และจุด (15,8)B

วิธีทาํ จากทฤษฎีบท 1.1 จะไดวา 2 22 1 2 1( ) ( )AB x x y y= − + −

2 2(15 4) (8 3)AB = − + − 12.1AB = ตอบ

เวกเตอรในสามมิติ - 15

คณิตศาสตร เลม 1

เฉลยแบบฝกหัด 3.1 (จากหนังสือแบบเรียนของกระทรวงศกึษาธิการ)

1. จากรูปจงหาพิกัดของจุดมุมที่เหลือ

ตอบ พิกัดของจุด B คือ (3,5,0) พิกัดของจุด C คือ (1,5,0)

พิกัดของจุด D คือ (1,2,0) พิกัดของจุด E คือ (3,5,3) พิกัดของจุด G คือ (1,2,3) พิกัดของจุด H คือ (3,2,3)

2. จากรูป จงหาพิกัดซึ่งเปนภาพฉายของจุด C (3, 3, 1) บนแกนหรือระนาบที่กําหนดให ตอไปนี้

1) บนแกน X 2) บนแกน Y

3) บนแกน Z 4) บนระนาบ XY

5) บนระนาบ YZ 6) บนระนาบ XZ

เวกเตอรในสามมิติ - 16

คณิตศาสตร เลม 1

ตอบ 1) ภาพฉายของจุด C บนแกน X จะปรากฏที่จุด (3,0,0)E

2) ภาพฉายของจุด C บนแกน Y จะปรากฏที่จุด (0,3,0)G

3) ภาพฉายของจุด C บนแกน Z จะปรากฏที่จุด (0,0,1)A

4) ภาพฉายของจุด C บนระนาบ XY จะปรากฏที่จุด (3,3,0)F

5) ภาพฉายของจุด C บนระนาบ YZ จะปรากฏที่จุด (0,3,1)B

6) ภาพฉายของจุด C บนระนาบ XZ จะปรากฏที่จุด (3,0,1)D

3. จงหารูปทั่วไปของพิกัด ของจุดที่อยูบนแกน หรือระนาบที่กําหนดใหตอไปนี้

1) บนแกน X 2) บนแกน Y 3) บนแกน Z

4) บนระนาบ XY 5) บนระนาบ YZ 6) บนระนาบ XZ

ตอบ 1) รูปทั่วไปของพิกัดของจุดใดๆ ที่อยูบนแกน X คือ ( ,0,0)x

2) รูปทั่วไปของพิกัดของจุดใดๆ ที่อยูบนแกน Y คือ (0, ,0)y

3) รูปทั่วไปของพิกัดของจุดใดๆ ที่อยูบนแกน Z คือ (0,0, )z

เวกเตอรในสามมิติ - 17

คณิตศาสตร เลม 1

ระนาบ ,XY YZ และ XZ

4) รูปทั่วไปของพิกัดของจุดใดๆ ที่อยูบนระนาบ XY คือ ( , ,0)x y

5) รูปทั่วไปของพิกัดของจุดใดๆ ที่อยูบนระนาบ YZ คือ (0, , )y z

6) รูปทั่วไปของพิกัดของจุดใดๆ ที่อยูบนระนาบ XZ คือ ( ,0, )x z

4. จงกําหนดจุดตอไปนี้ในระบบพิกัดฉากสามมิติ

A (1, 1, 1) B (1, -1, 2) C (3, 2, -1) D (-1, -1, -2)

ตอบ จุดเหลานั้นมีที่อยูในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ ดังรูป

5. จงหาภาพฉายของจุด (2,2,4)A และ (4,3,2)B บนระนาบ XY, YZ และ XZ ตามลําดับ

เวกเตอรในสามมิติ - 18

คณิตศาสตร เลม 1

ดังรูป

ตอบ ภาพฉายของจุด A (2,2,4) บนระนาบ XY คือ จุด (2,2,0)

ภาพฉายของจุด A (2,2,4) บนระนาบ YZ คือ จุด (0,2,4)

ภาพฉายของจุด A (2,2,4) บนระนาบ XZ คือ จุด (2,0,4)

ภาพฉายของจุด B (4, 3, 2) บนระนาบ XY คือ จุด (4, 3, 0)

ภาพฉายของจุด B (4, 3, 2) บนระนาบ YZ คือ จุด (0, 3, 2)

ภาพฉายของจุด B (4, 3, 2) บนระนาบ XZ คือ จุด (4, 0, 2)

6. จงหาระยะทางระหวางจุด P (1, -2, 7) กับจุด Q (-2, -1, 0)

วิธีทํา ระยะทางระหวางจุด P และ Q หาไดจากสมการ

2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )PQ x x y y z z= − + − + −

2 2 2( 2 1) ( 1 2) (0 7)= − − + − + + −

9 1 49= + + 59PQ =

ระยะทางระหวางจุด P กับจุด Q 59= ตอบ

เวกเตอรในสามมิติ - 19

คณิตศาสตร เลม 1

7. จงพิจารณาวา รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ A (1, 2, 1), B(-3 , 7, 9) และ C (11, 4, 2) เปนรูป

สามเหลี่ยมชนิดใด

วิธีทํา เราสามารถบอกไดวาสามเหลี่ยมที่โจทยกําหนดใหเปนสามเหลี่ยมชนิดใด โดยนํา ความรูเกี่ยวกับเวกเตอรมาใช ดังนี้

จากรูป จะไดวา 3 1 4

7 2 59 1 8

AB− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

หรือ ˆˆ ˆ4 5 8AB i j k= − + +

ความยาวของดาน 2 2 2( 4) (5) (8) 105AB = − + + =

11 1 104 2 22 1 1

AC−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

หรือ ˆˆ ˆ10 2AC i j k= + +

ความยาวของดาน 2 2 2(10) (2) (1) 105AC = + + =

11 3 144 7 32 9 7

BC+⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

หรือ ˆˆ ˆ14 3 7BC i j k= − −

ความยาวของดาน 2 2 2(14) ( 3) ( 7) 254BC = + − + − = จะเหน็วาสามเหลี่ยมนี้มีดานเทากนั 2 ดาน ดังนัน้สามเหลี่ยมนี้เปนสามเหลี่ยมหนาจัว่ตอบ

เวกเตอรในสามมิติ - 20

คณิตศาสตร เลม 1

1.4 เวกเตอร บทนิยาม 1.1 ปริมาณที่มทีั้งขนาดและทิศทางเรียกวาปริมาณเวกเตอร

ในระบบพกิัดฉาก 2 มิติ เวกเตอรที่มีจุดเริ่มตนที่จุดกาํเนิด (0,0) และจุดปลายอยูที่จุด ( , )x y

เรียกวาเวกเตอร xy⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

แทนดวยลูกศร ดังรูป 1.15

รูป 1.15 เวกเตอร xy⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ในระบบพกิัดฉาก 3 มิติ เวกเตอรที่มีจุดเริ่มตนที่จุดกาํเนิดและจุดปลายอยูที่จุด ( , , )a a ax y z

เรียกวาเวกเตอร a

a

a

xyz

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

แทนดวยลูกศร ดังรูป 1.16

เวกเตอรในสามมิติ - 21

คณิตศาสตร เลม 1

รูป 1.16 เวกเตอร a

a

a

xyz

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ตัวอยาง 1.9 เวกเตอรในรูป คือเวกเตอรอะไร

วิธีทาํ เนื่องจากเวกเตอรในรูป มีจุดเริ่มตนที่จุดกาํเนดิ และปลายของเวกเตอรอยูที่จุด (1,2)

ดังนัน้เวกเตอรนี้คือเวกเตอร 12⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ

เวกเตอรในสามมิติ - 22

คณิตศาสตร เลม 1

ตัวอยาง 1.10 เวกเตอรในรูป คือเวกเตอรอะไร

วิธีทาํ เนื่องจากเวกเตอรในรูป มีจุดเริ่มตนที่จุดกําเนิด และจุดปลายอยูที่จุด (1,2,3) ดังนัน้

เวกเตอรนี้คือเวกเตอร 123

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ตอบ

บทนิยาม 1.2 เวกเตอรใดๆจะขนานกนั ก็ตอเมื่อ เวกเตอรนั้นๆมีทิศทางเดียวกันหรือทิศตรง ขามกัน

ดังรูป 1.17

รูป 1.17 เวกเตอรที่ขนานกนั

เวกเตอรในสามมิติ - 23

คณิตศาสตร เลม 1

บทนิยาม 1.3 เวกเตอรใดๆเทากนัก็ตอเมื่อเวกเตอรนัน้ๆมีขนาดเทากันและทิศทางเดียวกัน ดังรูป 1.18

รูป 1.18 เวกเตอรที่เทากัน

จากรูป 1.18 จะเหน็วาเวกเตอรที่เทากันจะเปนเวกเตอรที่ขนานกนัดวย

บทนิยาม 1.4 นิเสธของเวกเตอร A คือเวกเตอรทีมีขนาดเทากับขนาดของเวกเตอร A แตมี

ทิศทางตรงกันขามกับทิศทางของเวกเตอร A เขยีนแทนดวย A−

ดังรูป 1.19

เวกเตอรในสามมิติ - 24

คณิตศาสตร เลม 1

รูป 1.19 นิเสธของเวกเตอร A

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ก

(จากหนังสือแบบเรียนของกระทรวงศกึษาธิการ)

1. จงยกตัวอยาง ปริมาณสเกลารและปริมาณเวกเตอร อยางละ 3 ตัวอยาง ตอบ ตัวอยางปริมาณสเกลาร ไดแก ความดัน มวล ปริมาตร และอุณหภูมิ

ปริมาณสเกลาร

ตัวอยางปริมาณเวกเตอร ไดแก สนามแมเหล็ก สนามไฟฟา ความเร็ว การกระจัด แรง ดังรูป

เวกเตอรในสามมิติ - 25

คณิตศาสตร เลม 1

ปริมาณเวกเตอร

2. จากรูป จงเขียนหัวลูกศรแสดงทิศทางของเวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกัน และเวกเตอรที่มี

ทิศทางตรงกันขามกันอยางละ 4 คู (ใหกําหนดหัวลูกศรตามความเหมาะสม)

ตอบ

เวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกัน คือ เวกเตอร AF กับ BE

เวกเตอรที่มีทิศทางตรงกันขาม คือ เวกเตอรAF กับ DC และ BE กับ DC

3. จงเขียนเวกเตอรตอไปนี้

1) เวกเตอรของระยะทาง 120 เมตร ไปทาง ทิศเหนือ

เวกเตอรในสามมิติ - 26

คณิตศาสตร เลม 1

2) 30 เมตร ไปทางทิศ 0600

3) เวกเตอรของระยะทาง 80 กิโลเมตร ไป ทางทิศ 3000

4) เวกเตอรของระยะทาง 10 กิโลเมตร ไป ทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ

4) จากรูป จงหาเวกเตอรที่มีขนาดเทากับเวกเตอรที่กําหนดใหตอไปนี้

1) AB 2) AE

3) BC− 4) BC

5) ED 6) AE− ตอบ 1) เวกเตอรที่มีขนาดเทากับเวกเตอร AB คือเวกเตอร BA,CD,DC −−

2) เวกเตอรที่มีขนาดเทากับเวกเตอร AE คือเวกเตอร EA,CE −−

เวกเตอรในสามมิติ - 27

คณิตศาสตร เลม 1

3) เวกเตอรที่มีขนาดเทากับเวกเตอร BC− คือเวกเตอร CB,AD−

4) เวกเตอรที่มีขนาดเทากับเวกเตอร BC คือเวกเตอร DA,CB,AD −−

5) เวกเตอรที่มีขนาดเทากับเวกเตอร ED คือเวกเตอร DE,EB −−

6) เวกเตอรที่มีขนาดเทากับเวกเตอร AE− คือเวกเตอร EC,CE −

5) จากรูป

จงหา 1) เวกเตอรที่ขนานกัน 3 คู

2) เวกเตอรที่เทากัน 3 คู 3) เวกเตอรที่เปนนิเสธซึ่งกันและกัน 3 คู

ตอบ 1) เวกเตอรที่ขนานกัน ไดแก

เวกเตอร AD กับ HE BA กับ HG และเวกเตอร CB กับ FG

2) เวกเตอรที่เทากัน ไดแก

เวกเตอร AD กับ HE DC กับ HG และเวกเตอร CB กับ FG 3) เวกเตอรที่เปนนิเสธซึ่งกันและกัน ไดแก

เวกเตอร BA กับ DC BA กับ HG และเวกเตอร AD กับ CB

3) จากรูป ถา a แทนการเดินทาง ไปทางทิศ 0450 ไดระยะทาง 300 เมตร จง

อธิบายเกี่ยวกับเวกเตอร a−

เวกเตอรในสามมิติ - 28

คณิตศาสตร เลม 1

เวกเตอร a− หมายถึงเวกเตอร ที่ชี้ไปทางทิศ 180 45 225o o o+ = และมีระยะทางเทากับ 300 เมตร ตอบ

4) ชายคนหนึ่งเริ่มตนที่จุด A เดินไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือเปนระยะทาง 3

กิโลเมตร จากนั้นเดินไปทางทิศ 315o เปนระยะทางอีก 3 กิโลเมตร เมื่อส้ินสุด

การเดินทางชายคนนี้อยูหางจากจุดเริ่มตนเทาใด และอยูในทิศทางใดของ

จุดเริ่มตน

แผนภาพการเดินทาง

จากแผนภาพการเดินทางเราสามารถหาระยะทาง ไดดังนี้

AC = 22 33 + = 23 ดังนัน้จุดสิ้นสดุการเดินทางอยูหางจากจุดเริ่มตนไปทางทิศเหนือ 23 กิโลเมตร ตอบ

เวกเตอรในสามมิติ - 29

คณิตศาสตร เลม 1

1.5 การบวกและการลบเวกเตอร (Addition and Subtraction of Vectors)

การบวกเวกเตอร

บทนิยาม 1.5 ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ ผลบวกของ u กับ v เขียนแทนดวย

u v+ คือเวกเตอรทีม่ีจุดเริ่มตนที่จดุเริ่มตนของ u และจุดสิ้นสุดอยูที่จุดสิ้นสุดของ v

ดังรูป 1.20

รูป 1.20 u v+

การบวกเวกเตอร สามารถทาํได 2 วิธ ี ดวยกนัคือ

1) การบวกเวกเตอรโดยกราฟ 2) การสรางสี่เหลี่ยมดานขนาน 1) การบวกเวกเตอรโดยกราฟ ทําไดโดยการนาํหางของเวกเตอรที่ตองการจะ

นํามาบวกมาตอกับหัวลกูศรของเวกเตอรตัวแรก เวกเตอรลัพธคือเวกเตอรจากจุดเริ่มตนของ

เวกเตอรแรก ไปยังจุดปลายของเวกเตอรสุดทาย ดังรูป 1.21

เวกเตอรในสามมิติ - 30

คณิตศาสตร เลม 1

รูป 1.21 การบวกเวกเตอรโดยกราฟ

2) การบวกเวกเตอรโดยการสรางสี่เหลี่ยมดานขนาน บวกเวกเตอรวิธีนีท้าํไดโดย

การใหจุดเริ่มตนของเวกเตอรทั้งสองที่ตองการจะบวกกนั มาอยูที่ตําแหนงเดียวกัน จากนั้นสรางสี

เหลี่ยมดานขนานใหเวกเตอรทั้งสองเปนดานขนานของสีเหลีย่มดานขนาน ผลบวกของเวกเตอรทั้ง

สอง มีคาเทากับเสนทแยงมมุของสี่เหลีย่มดานขนานนี ้ ดังรูป 1.22

รูป 1.22 การสรางสี่เหลี่ยมดานขนาน

ถาบวกเวกเตอรมากกวา 2 เวกเตอรจะใชวิธทีี่ 1 คือนําเอาเวกเตอรทั้งหมดมาตอกันดังรูป 1.23

เวกเตอรที่ลากจากจุดเริ่มตนของเวกเตอรแรกไปยังจุดปลายของเวกเตอรสุดทาย คือผลบวกของ

เวกเตอรทัง้หมด

เวกเตอรในสามมิติ - 31

คณิตศาสตร เลม 1

รูป 1.23 การบวกเวกเตอร หลายเวกเตอร

รูป 1.24 0B B+ − =( )

การบวกเวกเตอรเปนไปตามกฎการสลับที่ของการบวก คือ

A B B A+ = + ดังรูป 1.25

เวกเตอรในสามมิติ - 32

คณิตศาสตร เลม 1

รูป 1.25 A B B A+ = +

การบวกเวกเตอรเปนไปตามกฎการเปลี่ยนกลุม คือ

รูป 1.26 ( ) ( )u v w u v w+ + = + +

( ) ( )A B D A B D+ + = + +

รูป 1.27 การเปลี่ยนกลุมการบวก

ตัวอยาง 1.11 ถา 1

ˆ ˆ2 3v i j= + และ 2ˆ ˆ3v i j= + จงหา 1 2v v+

วิธีทาํ

เวกเตอรในสามมิติ - 33

คณิตศาสตร เลม 1

จาก 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(2 3 ) (3 )v v i j i j+ = + + +

1 2ˆ ˆ(2 3) (3 1)v v i j+ = + + +

1 2ˆ ˆ5 4v v i j+ = + ตอบ

บทนิยาม 1.6 เวกเตอรศูนย (zero vector) คือเวกเตอรที่มีขนาดเปนศูนย เขยีนแทนดวย 0 ตัวอยาง ของเวกเตอรศูนยไดแกเวกเตอรที่มีจุดเริ่มตนและจุดสิ้นสุดอยูที่จุดเดียวกนั

ดังรูป 1.28

รูป 1.28 เวคเตอรศูนย

นักเรียนสามารถศึกษา การทดลองเสมือนจริงเรื่องการบวกเวกเตอร ไดจาก

เวกเตอรในสามมิติ - 34

คณิตศาสตร เลม 1

www.edumedia-sciences.com/m98_l2-motion-and-force.html http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add2Vectors.html http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add3Vectors.html http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/Vectors/VectorAddComponents.html www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/applet1/applet%20physics/phe/resultantthai.htm www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/ericksontutor/tutor/2210/vectors/index.htm การลบเวกเตอร (subtracting vectors) บทนิยาม 1.7 ให A และ B เปนเวกเตอรใดๆ ผลลบของ A ดวย B หมายถึง ผลบวกของ

A กับนเิสธของ B หรือ ( )A B A B− = + −

การลบเวกเตอรทําได 2 วธิี คือ 1. การลบเวกเตอรโดยกราฟ 2. การลบเวกเตอรโดยการสรางสามเหลีย่ม

1. การลบเวกเตอรโดยกราฟ การลบเวกเตอร วิธนีี้จะใชบทนยิามขางตน คือ

( )A B A B− = + − ดังรูป 1.29

รูป 1.29 ( )A B A B− = + −

2) การลบเวกเตอรโดยการสรางสามเหลี่ยม ทาํไดโดยการใหจุดเริ่มตนของเวกเตอรทั้ง

สองมาอยูที่ตําแหนงเดียวกนั ผลลบของ

เวกเตอรทัง้สอง มีคาเทากบัเวกเตอรที่ลากจาก

จุดปลายของเวกเตอรทีน่ําไปลบ ไปยังจุด

ปลายของเวกเตอรที่เปนตัวตัง้ ดังรูป 1.30 รูป 1.30 การสรางสามเหลี่ยม

เวกเตอรในสามมิติ - 35

คณิตศาสตร เลม 1

รูป 1.31 เปรียบเทยีบการบวกเวกเตอรกบัการลบเวกเตอร

ตัวอยาง 1.12 แสดงการบวกเวกเตอรที่อยูในแนวเดยีวกนั

วิธีทํา

นักเรียนสามารถศึกษา การทดลองเสมือนจริงเรื่องการลบเวกเตอร ไดจาก

http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Subtract2 Vectors.html

เวกเตอรในสามมิติ - 36

คณิตศาสตร เลม 1

rmutphysics.com/physics1/My%20Webs/chap1/chap1-4/chap1-4.htm

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ข (จากหนังสือแบบเรียนของกระทรวงศกึษาธิการ)

1. จากรูป จงเขียนเวกเตอร

, , , ,AB CA BD DB AF , ,FA AE EA ในรูป ของ เวกเตอร

, , , , ,a b c d e f

ตอบ AB คือเวกเตอร a

CA CD DA c f= + = − BD BC CD b c= + = + DB DA AB f a= + = − + AF AD DF f e= + = −

FA FD DA e f= + = −

AE AD DE f c= + = + EA ED DA c f= + = − − หมายเหตุ เขียนแตกตางจากนี้ก็ได

2. จากรูป จงบอกวาผลบวกของเวกเตอรตอไปนี้ เทากับเวกเตอรใด

1) )SPQS(PQ ++

เวกเตอรในสามมิติ - 37

คณิตศาสตร เลม 1

2) ( )OR QS RO− +

3) )SR)QRPQ( −+

ตอบ 1) เนื่องจากจุดเริ่มตนและจุดปลายของผลบวกของเวกเตอร )SPQS(PQ ++ อยูที่จุดเดียวกัน ดังนั้นผลลัพธจึงเปนเวกเตอรศูนย

2) เนื่องจาก ( )OR QS RO− + = )ROOR(QS ++− = QS− = SO

3) เนื่องจาก )SR)QRPQ( −+ = SRPR− = PR RS PS+ =

3. จากรูป จงบอกวาผลบวก หรือผลลบของเวกเตอรตอไปนี้ เทากับเวกเตอรใด

1) FADECB ++

2) ABGFDC −−

3) เวกเตอรใดบางที่นํามาบวกกันแลวได 0

1) BC DE FA BC CF FA BA+ + = + + =

ผลบวก ของเวกเตอร BC DE FA+ + เทากับเวกเตอร BA ตอบ 2) DC GF AB DC CB BA DA− − = + + =

ผลลบของเวกเตอร DC GF AB− − เทากับเวกเตอร DA ตอบ 3) เวกเตอรที่บวกกันแลวไดเวกเตอรศูนย (0) มีหลายเวกเตอร ในที่นี้จะยกตัวอยาง เพียง 2 แบบ คือ

0AD DE EA+ + = 0BC CF FG GB+ + + = 4. จากรูป จงเขียน FC และ BD ,FD ,AD ในรูปของ w และ v ,u

เวกเตอรในสามมิติ - 38

คณิตศาสตร เลม 1

1) เนื่องจาก AD AB BC CD u v w= + + = − + + ดังนัน้เมื่อเขียนในรูป ของ w และ v ,u คือ AD u v w= − + + ตอบ

2) เนื่องจาก FD FE ED u v= + = − + ดังนั้นเมื่อเขียนในรูป ของ w และ v ,u คือ FD u v= − + ตอบ 3) เนื่องจาก BD BC CD v w= + = −

ดังนั้นเมื่อเขียนในรูป ของ w และ v ,u คือ BD v w= − ตอบ 4)เนื่องจาก FC FD DC u v w= + = − + + ดังนั้นเมื่อเขียนในรูป ของ w และ v ,u คือ FC u v w= − + + ตอบ

1.6 การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร (scalar multiplication )

บทนิยาม 1.8 ให a เปนสเกลาร และ v เปนเวกเตอร ผลคูณของเวกเตอร v ดวยสเกลาร a

เปนเวกเตอร เขียนแทนดวย av โดยที ่

1. ถา 0a = แลว 0av = 2. ถา 0a > แลว av จะมีขนาดเทากับ a v และมีทิศทางเดยีวกับ v 2. ถา 0a < แลว av จะมีขนาดเทากับ a v และมีทิศทางตรงขากับ v

ดังรูป 1.32

เวกเตอรในสามมิติ - 39

คณิตศาสตร เลม 1

รูป 1.32 แผนภาพแสดงการคูณเวกเตอรดวยสเกลาร

(a) (b)

รูป 1.33 (a) เมื่อคูณเวกเตอร A ดวย 3 และ -3

(b) เมื่อคูณเวกเตอร a ดวย 12

, 3 และ -2

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ค

(จากหนังสือแบบเรียนของกระทรวงศกึษาธิการ) 1. ถา 1.1 3 2u v v− = จงหาความสัมพันธระหวางเวกเตอร u กับ v

1.2 2 2 5u w w u+ = + จงหาความสัมพันธระหวางเวกเตอร u กับ w

เวกเตอรในสามมิติ - 40

คณิตศาสตร เลม 1

1.1 วิธีทํา เนื่องจาก 3 2u v v− =

3 3u v= ดังนั้น u v= ตอบ

1.2 วิธีทํา เนื่องจาก 2 2 5u w w u+ = +

3u w− =

ดังนั้น 13

u w= − ตอบ

2. กําหนด u และ v เปนเวกเตอรที่ไมขนานกัน ดังรูป ให ( 4 ) (2 1)w a b u a b v= + + + + และ ( 2 2) (2 3 1)s b a u a b v= − + + − −

ถา 3 2w s= จงหาคาของ a และ b วิธีทํา

เราสามารถหาคาของ a และ b ไดโดยใชเงื่อนไขที่โจทยกําหนดให ดังนี้

จาก 3 2w s=

(3 12 ) (6 3 3)a b u a b v+ + + + (2 4 4) (4 6 2)b a u a b v= − + + − − เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของ u และ v

จะไดวา 3 12a b+ = 2 4 4b a− +

7 10 4a b+ = (1) และ 6 3 3a b+ + = 4 6 2a b− −

2 9 5a b+ = − (2)

เวกเตอรในสามมิติ - 41

คณิตศาสตร เลม 1

(1) 27

× 2027

a b+ = 87

(3)

(2) - (3) 437

b = 437

−

b = 1− (4) แทนสมการ (4) ในสมการ (1) ได

7 10 4a − = 7 14a = 2a = ดังนั้น 2, 1a b= = − ตอบ

3. จากรูป จงพิจารณาวาขอความตอไปนี้ขอใดถูกตอง และขอใดไมถูกตอง 1) v w= 2) DB u v= +

3) 2s u v− = 4) 2AE u v= +

5) AE w s= + 6) 2 2u wAE = −

ตอบ 1) v w= ไมถูกตอง เนื่องจาก v w= −

2) DB u v= + ไมถูกตอง เนื่องจาก DB u v= − + 3) 2s u v− = ไมถูกตอง เนื่องจาก 2s u v− = −

4) 2AE u v= + ถูกตอง

5) AE w s= + ไมถูกตอง เนื่องจาก AE w s= − +

เวกเตอรในสามมิติ - 42

คณิตศาสตร เลม 1

6) 2 2u wAE = − ถูกตอง

4. ทรงสี่เหลี่ยม ดานขนานดังรูปมี X และ Y เปนจุดกึ่งกลางของดาน AD และ CF ตามลําดับ

และ GZ = 31

GF ถา , ,a AB b AD c AH= = =

จงเขียน AX, AZ, EY, XZ ในรูปของ , ,a b c

วิธีทํา

12

AX b= ตอบ

1 1 13 3 3

AZ AB BG GF AB AH AD a c b= + + = + + = + +

AZ เมื่อเขียนในรูป , ,a b c คือ 13

AZ a c b= + + ตอบ

1 1 1 12 2 2 2

EY EF FY DC FC AB HA AB AH a c= + = + = + = − = −

AZ EY เมื่อเขียนในรูป , ,a b c คือ 12

EY a c= − ตอบ

1 2 1 22 3 2 3

XZ XD DC CF FZ AD AB AH FG AD AB AH FG= + + + = + + + = + + +

1 2 1 22 3 2 3

AD AB AH FG b a c b= + + + = + + −

XZ เมื่อเขียนในรูป , ,a b c คือ 1 2 12 3 6

XZ b a c b a b c= + + − = − + ตอบ

5. จากรูป ถา P เปนจุดกึ่งกลางของดาน AB จงแสดงวา 1 ( )2

OP OA OB= +

เวกเตอรในสามมิติ - 43

คณิตศาสตร เลม 1

วิธีทํา 1

2OP OB BA= +

1 ( )2

OB BO OA= + +

1 12 2

OB BO OA= + +

1 12 2

OB OB OA= − +

1 ( )2

OP OA OB= + ตอบ

6. A, B และ C เปนจุดซึ่งอยูบนเสนตรงเดียวกัน โดยจุด C แบง AB

ตามอัตราสวน AC : CB = m : n

เมื่อ O เปนจุด ๆ หนึง่ซึง่ไมอยูบน AB ให ,OA v OB u= =

จงแสดงวา 1 ( )OC nv mum n

= ++

วิธีทํา จากรูป จะไดวา AB AO OB= +

AB v u= − + (1) และ OC OA AC= +

เวกเตอรในสามมิติ - 44

คณิตศาสตร เลม 1

mv ABm n

= ++

( )mOC v u vm n

= + −+

จากสมการ (1) m mOC v u vm n m n

= + −+ +

m mOC u v vm n m n

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( )m m n v mvOC um n m n

+ −⎡ ⎤= + ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

m mv nv mvOC um n m n

+ −⎡ ⎤= + ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

m nOC u vm n m n

= ++ +

1 ( )OC nv mum n

= ++

ตอบ

7. ให ABCD เปนรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส และ M, N เปนจุดกึ่งกลางของดาน BC และ CD ตามลําดับ

ให u AM= และ v AN= จงแสดงวา 4 23 3

AB u v= −

วิธีทํา

จากรูป AB AM MB= +

12

AB u CB= + (1)

12

CB AB u= − (2)

u v NM= +

u v NC CM= + +

1 12 2

v AB CB= + + (3)

เวกเตอรในสามมิติ - 45

คณิตศาสตร เลม 1

แทนสมการ (2) ในสมการ (3) ได 1 ( )2

u v AB AB u= + + −

32

u v AB u= + −

3 22

AB u v= −

4 23 3

AB u v= − ตอบ

เนื้อหาฉบับสมบูรณสามารถดูไดจากหนงัสือ คณิตศาสตร 1 เร่ืองเวกเตอรในสามมติิ เรียบเรียงโดย อ. สุชาติ สภุาพ มีจําหนายท่ีรานหนังสือ ซีเอ็ด บุค แพรพิทยา ศูนยหนังสือจุฬาฯ ดอกหญา ศึกษาภัณฑ หรือติดตอสัง่ซื้อทางไปรษณียไดท่ี สํานักพิมพ science publishing เลขท่ี 111/258 หมูบาน มนวดีกรีนพารค ต.พิมลราช อ.บางบัวทอง จ. นนทบุรี โทร 085-8086712

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)

ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต

ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร

แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ

การทดลองเสมือน

บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส

ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส

การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหัดกลาง

แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ

ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว

การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส

นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส

การทํางานของอุปกรณตางๆ

การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร

การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง

5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร

ฟสิกสราชมงคล