1

โครงงาน

โครงงานคืออะไร

ในปจจุบันมีหลายโรงเรียนในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย มีขอกําหนดสําหรับนักเรียนที่จะจบการศึกษา จะตอง

ศึกษาคนควาทางดานวิชาการแลวนํามาเขียนเปนรายงานภายใตการแนะนําของครูในโรงเรียนหรืออาจารย

มหาวิทยาลัย การศึกษาคนควาทางดานวิชาการ อาจกระทําไดในหลายๆ ดานขึ้นอยูกับความสนใจของนักเรียน และ/

หรือ อาจารยที่ปรึกษาทางดานวิชาการนั้นๆ เรียกการศึกษาคนควาทางดานวิชาการและพัฒนาเปนองคความรู และนาํมาเขียนสรุปเปนรายงานภายใตการ

แนะนําของครูหรืออาจารยวา “ โครงงาน ” นักเรียนที่มีโอกาสไดเขาเรียนในโครงการของโรงเรียนที่มีขอกําหนดในการทําโครงงานกอนสําเร็จการศึกษา

นับวามีประโยชนโดยตรงกับนักเรียนเองที่มีโอกาสไดฝกการศึกษาคนควา เพื่อหาองคความรูโดยผานกระบวนการทาง

วิทยาศาสตรหรือทางศาสตรที่เปนที่ยอมรับ

โครงงาน

2

อยางไร…แคไหน…ถึงจะเรียกวาเปนโครงงาน

การหาหัวขอ หัวเรื่องที่เหมาะสมกับนักเรียนแตละคนทีจ่ะทําเปนโครงงาน อาจเปนหัวขอที่

ยากเกนิไปหรืออาจงายเกินไป ซึ่งทั้งสองกรณีถือวาไมเหมาะสม หัวขอที่ดีเหมาะสมจะเปน

โครงงานนั้น จะตองมีความเปนไปไดในการหาขอสรุปในเวลาที่เหมาะสมประกอบกับจะตองใช

เวลาในการศึกษาคนควาและรวบรวมนํามาสรางเปน องคความรูใหม ภายใตกระบวนการ

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 3

องคความรูใหมคืออะไร

เราอาจเคยไดยนิคําวา “องคความรูใหม” ซึ่งอาจหมายถึงผลงานวิจัยทางวิทยาศาสตรหรือ

ผลงานวจิัยทางการแพทย เชน

“คณะแพทยจากโรงพยาบาล…ไดทําการปลูกถายไตจากพอสูลูกไดสําเร็จเปน

ครั้งแรกของทวีปเอเชีย”

โครงงาน

4

“เมื่อวันที่ 23 กรกฎาคม 2553 รองศาสตราจารย ดร. วิเชียร มากตุน

คณบดคีณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยศรีนคริทรวิโรฒ ในฐานะนักวิจัย

ดานมนีวิทยา ซึ่งคนควาวิจยัดานสายพันธุปลา เปดเผยวา ขณะนี ้มศว.ได

คนพบปลาในนาขาวสายพันธุใหมของโลก ไดตั้งชื่อวา

Oryzias Songkhramensis Magtoon, 2010” แตยังไมไดตั้งชื่อเปนภาษาไทย ซึ่งปลาดังกลาวไดถูกคนพบในเขตลุมน้ํา

โขง เขตอําเภอรัตนวาป จังหวัดหนองคาย”

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 5

“ป ค.ศ.1995 Andrew Wiles ไดประกาศวาเขาสามารถพิสูจน Fermat last

theorem ไดแลว: ในป ค.ศ.1637 Pierre de Fermat ไดกลาวอางวาเขา

สามารถพิสูจนไดวา สําหรับจํานวนเตม็บวก n ≥ 3, จะไมมีจํานวนเตม็บวก a, b,

c ที่สอดคลองกับ

an + bn = cn

แต Fermat ไมไดแสดงบทพิสูจนไว อยางไรก็ตามหลังจาก Fermat เสียชีวิตในป

ค.ศ.1665 ไดมีนักคณติศาสตรหลายทานที่พยายามจะหาพิสูจนของทฤษฎีบท

ดังกลาว แตก็ไมมีใครสามารถพสิูจนได จนกระทั่งป ค.ศ. 1995 (มากกวา 350 ป)

Andrew Wiles ไดประกาศวา เขามบีทพิสูจนทฤษฎีบทดังกลาวและจากการ

ตรวจสอบก็ทําใหเชื่อไดวาบทพสิูจนของเขามีความครบถวนสมบูรณ”

โครงงาน

6

Andrew Wiles มีความสนใจศึกษาวิชาคณิตศาสตรตั้งแตเยาววัย ซึง่อาจเปนเพราะวา เขา

ไดรับการสอนคณิตศาสตรจากครูที่ดี เขาจึงชอบครูที่สอนคณิตศาสตร นําไปสูการชอบเรียนวิชานี้

ในขณะที่เขาเรียนอยูระดับประถมศึกษาปที่ 4 (ค.ศ.1963) ครูที่สอนคณิตศาสตรไดกลาวถึง

Fermat last theorem ซึ่งเปนสิ่งที่ไมยากนักสาํหรับเด็กอายุ 10 ขวบที่จะสามารถเขาใจปญหาได และเขามีความตั้งใจตัง้แตนั้นวา เขาจะเรียนคณิตศาสตรและจะหาแนวทางในการพิสูจน

Fermat last theorem ใหได และเขาไดประสบความสําเร็จในป ค.ศ. 1995

(1601 –1665)

(1953 -)

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 7

VIDEO 45 minute: 7 years long for discovering the proof of Fermat’s last theorem. http://www.google.co.th/imgres?imgurl=http://lovedox.com/wp-

content/uploads/2009/09/andrew_wiles.jpg&imgrefurl=http://lovedox.com/fermats-last-theorem-

1996/&h=334&w=546&sz=38&tbnid=rqc2WMHI9YatsM:&tbnh=81&tbnw=133&prev=/images%3Fq%3Dandrew%2Bwiles&zoom=1&q=andre

w+wiles&hl=en&usg=__36EhOCd5O6-cHzY_KBLg7n1RuFo=&sa=X&ei=sTU2TZ7uK5OEvAPjxqWeCw&ved=0CDwQ9QEwBA

โครงงาน

8

“Bertrand’s postulate (1845) กลาววา สาํหรับจํานวนเตม็ n 2

จะมีจํานวนเฉพาะ p อยางนอยหนึ่งจํานวนที่ n < p < 2n

Chebeshev ไดพิสูจนวาขอความขางตนเปนจริงเมื่อ 1850 และหลังจากนั้น Paul Erdős

ไดแสดงบทพิสูจนที่งายกวาในป ค.ศ.1932 ในขณะนั้น Erdős มีอายุ 19 ป”

The Bertrand-Chebyshev-Erdős theorem (1845|1850|1932) states that for any n > 1, there exists a prime number p such that n < p < 2n.

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 9

Évariste Galois (October 25, 1811 – May 30, 1832) was  a  French  mathematician  born  in  Bourg‐la‐Reine.  While  still  in  his  teens,  he  was  able  to determine a necessary and sufficient condition for a  polynomial  to  be  solvable  by  radicals,  thereby solving a  long‐standing problem. His work  laid the foundations  for Galois  theory,  a major  branch  of abstract  algebra,  and  the  subfield  of  Galois 

connections. He was the first to use the word "group" (French: groupe)  as  a  technical  term  in mathematics  to  represent  a group  of  permutations.  A  radical  Republican  during  the monarchy  of  Louis  Philippe  in  France,  he  died  from wounds suffered  in a duel under shadowy circumstance at  the age of twenty.

โครงงาน

10

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 11

โครงงาน

12

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 13

โครงงาน

14

(1877-1947) (1887-1920)

Hardy–Ramanujan number 1729

A common anecdote about Ramanujan relates to the number 1729. Hardy arrived at Ramanujan's residence in a cab numbered 1729. Hardy commented that the number 1729 seemed to be uninteresting. Ramanujan is said to have stated on the spot that it was actually a very interesting number mathematically, being the smallest natural number representable in two different ways as a sum of two cubes:

 

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 15

Generalizations of this idea have spawned the notion of "taxicab numbers".

Taxicab Numbers In mathematics, the nth taxicab number, typically denoted Ta(n) or Taxicab(n), is defined as the smallest number that can be expressed as a sum of two positive cubes in n distinct ways, up to order of summands. G. H. Hardy and E. M. Wright proved in 1954 that such numbers exist for all positive integers n, and their proof is easily converted into a program to generate such numbers. However, the proof makes no claims at all about whether the thus-generated numbers are the smallest possible and is thus useless in finding Ta(n).

So far, the following six taxicab numbers are known (sequence A011541 in OEIS):

 

 

 

 

โครงงาน

16

 

 

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 17

Ramanujan’s identies

 

 

 

 

โครงงาน

18

คิดวานกัเรียนคงเขาใจคําวา “องคความรูใหม” ขึ้นมาบาง สําหรับโครงงานสําหรับนักเรียน เราคง

ไมคาดหวังวานกัเรียนจะตองคนพบองคความรูใหมอยางที่กลาวขางตน เพียงแตตองการให

นักเรียนรูจักการคนควา เพื่อหาองคความรูใหมสําหรับตัวเองและสามารถรวบรวมเพื่อนําเสนอได

ก็เปนการเพียงพอ

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 19

ตัวอยางหวัขอโครงงาน

1. การจัดการแขงขันแบบพบกันหมด

แบบไหนดีกวากัน จงอธิบายพรอมอางเหตุผลประกอบ

Problem จงหาวิธีในการจดัการแขงขันแบบพบกันหมดของผูเขารวมการแขงขัน n ทีม โดย

ที่แตละทีมจะแขงขันไมเกินวนัละ 1 ครั้ง

1 2 1 3 1 2 3 4

2 3 2 4 1 3 2 4

1 4 3 4 1 4 2 3

แบบที่ 1 แบบที่ 2

โครงงาน

20

I II III IV V VI VII VIII

2. FIFA WORLD CUP 2010

จากการแขงขันฟุตบอลระดับโลกที่ผานมาไมนานนักที่ประเทศแอฟริกาใต มีประเทศที่ไดการคัดเลือกเขาแขงขันจํานวน 32

ประเทศ โดยจัดการแขงขันทั้งหมดรวม 4 รอบ โดยที่

รอบที่ 1 แบงสายละ 4 ทีม รวม 8 สาย จัดการแขงขันแบบพบกันหมด

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 21

รอบที่ 2 นําทีมที่ชนะ 2 ทีมในแตละสายรวม 16 ทีม มาจัดการแขงขันแบบ knock out

รอบที่ 3 นําทีมที่ชนะจากรอบที่ 2 รวม 8 ทีม มาจัดการแขงขันแบบ knock out

โครงงาน

22

A B A B

C D C D

รอบที่ 4 นําทีมที่ชนะจากรอบที่ 3 รวม 4 ทีม มาจัดการแขงขันเพื่อหาที่ 1 และ 2 ดังนี้

เมื่อจบการแขงขัน จะมีจํานวนครั้งของการแขงขัน = (6 × 8) + 8 + 4 + 4 = 64 ครั้ง

นําไปสูการศึกษาโครงสรางของ “FIFA WORLD CUP 2010 GRAPH”

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 23

3. การแขงขัน Olympic Games 2010

Problem ใหนักเรียนศึกษาคนควารวบรวมกีฬา และกรีฑาทุกประเภทที่มใีนการแขงขัน

Olympic Games 2008 พรอมทั้งนําเสนอวิธีการจัดการแขงขันจนกระทั่งไดผูชนะของกฬีา

และกรีฑาในแตละประเภท

โครงงาน

24

4. The Four Color Problem

  ในป ค.ศ. 1852 ซึ่งถือเปนจุดกําเนิดของ “ปญหาสี่สี (Four Color Problem)” และตอมาไดกลายเปน “ ขอคาดเดาสี่สี (Four Color Conjecture) ” ฟรานซิส กุททรี (Francis Guthrie) เพิ่งจบการศึกษาทางดานคณิตศาสตรจาก

มหาวทิยาลัยลอนดอน ประเทศอังกฤษ เขาสังเกตวาแผนที่ของประเทศอังกฤษสามารถระบายสีไดโดยใชสีเพียงสี่สีเทานั้นที่ทําใหเมืองสองเมืองใดๆ ที่มีอาณาบริเวณติดกันใชสีตางกันฟรานซิสไดคนพบแผนที่ที่จําเปนตองใชสีสี่สีและเขาพยายามที่จะพิสูจนในกรณีที่เปนแผนที่ใดๆ และเขาไดแสดงแนวทางการพิสูจนให เฟรดเดอริก กุททรี (Frederick Guthrie) ผูซึ่งเปนนองชายของเขาซึ่งฟรานซิสก็ยังไมพอใจการพิสูจนของเขาเอง เฟรดเดอริกไดขออนุญาติฟรานซิส

Augustus De Morgan

1806 – 1871 

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 25

เพื่อนําแนวทางการพิสูจนของฟรานซิสไปปรึกษา เดอ มอรกอง (De Morgan) ผูซึ่งเปนอาจารยของเฟรดเดอริกในขณะนั้น (วันที่ 23 ตุลาคม ค.ศ. 1852) ซึ่ง เดอ มอรกองรูสึกประทับใจและคิดวาเปนปญหาที่ดีและยังไมมีใครทราบคําตอบหรือมีแนวทางการพิสูจนปญหานี้ และในวันเดียวกันนั้น เดอ มอรกอง ไดเขียนจดหมายถงึแฮมลิตัน (W. R. Hamilton) มีใจความวา

“ A student of mine asked me today to give him a reason for a fact which I did not know was a fact and do not yet. He says that if a figure be anyhow divided and the

compartments differently coloured so that figures with any portion of common boundary line are differently coloured four colours may be wanted but not more the following is his case in which four are wanted.

โครงงาน

26

แฮมิลตันไดตอบจดหมายของ เดอ มอรกองเมื่อวันที่ 26 ตุลาคม 1852 วา

“ I am not likely to attempt your quaternion of colours very soon.”

ถึงแมวาปญหานี้ไมไดรับความสนใจจากแฮมิลตนัแตก็เปนปญหาที่ไดรับการกลาวถงึอยูตลอดเวลา ตัวอยางเชน ในการประชุมทางวชิาการในป ค.ศ. 1878 ที่ประเทศอังกฤษ เคยเลยไดถามในที่ประชุมเกี่ยวกับคําตอบของปญหาสี่สี ซึ่งในที่ประชุมนัน้ก็มีเคมพ (A. B. Kempe) รวมประชุมอยูดวย และในปถดัมาเคมพไดประ กาศตอที่สาธารณชนวา เขาสามารถพิสูจนปญหาสี่สีไดแลว และผลงานของเคมพก็ไดรับการยกยองจากนักคณติศาสตรของประเทศอังกฤษมากในขณะนั้น จนกระทั่งในป ค.ศ. 1890 ฮีวูด (P.J. Heawood) ไดตพีิมพผลงานชื่อ “Map colouring theorem” ทีแ่สดงขอบกพรองของการพิสูจนของเคมพ ซึ่งเคมพก็ยอมรับขอบกพรองทีฮ่ีวูดไดกลาวถึง และเคมพไดสงรายงานขอบกพรองดังกลาวตอสมาคมคณิตศาสตรของลอนดอนและไดกลาววา เขาไมสามารถแกไขขอบกพรองของบทพิสูจนของเขาได และฮีวูดก็ไมสามารถแกไข

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 27

ขอบกพรองของบทพิสูจนของเคมพไดเชนกัน ฮีวูดมีความสนใจปญหาสี่สีมากและเขาไดพยายามหาทางพิสูจนปญหานี้ตลอดชวงเวลาเกือบ 60 ปกอนที่เขาจะเสียชีวติหลังจากนัน้ ก็มผีูเสนอแนวทางการพิสูจนออกมาอยูเนอืงๆ แตก็ไมมีผูใดสามารถแสดงบทพิสูจนที่สมบูรณไดจนกระทั่ง ป ค.ศ. 1976 แอปเพล (K. Appel)และฮาเกน (W. Haken) นักคณิตศาสตรจากมหาวิทยาลัยอิลินอยส (University of Illinois; Arbana Champaign) ไดใชเครือ่งคอมพิวเตอรชวยในการแสดงการพิสูจนปญหาสี่สีไดสําเร็จ

โครงงาน

28

Problem ใหนักเรียนคนควาเรื่อง Four Color Theorem ความสัมพันธระหวางกราฟเชิงระนาบ (planar graph) กับการระบายสีแผนที่ในระนาบ หรือการระบายสีแผนที่บนทรงกลม ใหนักเรียนศึกษาขอคลายคลึง ถาเราวาดแผนที่บนพื้นผิวหวงยาง (Torus) และถาเราวาดแผนที่บนพื้นผิว Double Torus

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 29

5. Food Festival (Iron Chef)

รานขายราดหนา 7 รานไดสงราดหนาเขาประกวด โดยมีกรรมการตัดสิน 7 คน จะวางแผนการชิมราดหนาของแตละรานอยางไรจึงจะสามารถตัดสินไดวาราดหนารานใดอรอยที่สุด

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

A 1 2 3 4 5 6 7

B 1 2 3 4 5 6 7

C 1 2 3 4 5 6 7

D 1 2 3 4 5 6 7

E 1 2 3 4 5 6 7

F 1 2 3 4 5 6 7

G 1 2 3 4 5 6 7

ใหคะแนน (–1, 0, 1) ดูคะแนนรวมสูงสุด

P1: 8:00 – 8:30 น.

P2: 8:30 – 9:00 น.

P3: 9:00 – 9:30 น.

P4: 9:30 – 10:00 น.

P5: 10:00 – 10:30 น.

P6: 10:30 – 11:00 น.

P7: 11:00 – 11:30 น.

โครงงาน

30

Problem ใหนักเรียนศึกษาเปรียบเทียบ พรอมใหเหตุผลวา วิธีการใดมีความพยายาม ทีจ่ะคดัเลือกผูชนะและขยายไปสูกรณีทั่วๆ ไป

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

A 1 2 3 4 5 6 7

B 2 3 4 5 6 7 1

C 3 4 5 6 7 1 2

D 4 5 6 7 1 2 3

E 5 6 7 1 2 3 4

F 6 7 1 2 3 4 5

G 7 1 2 3 4 5 6

ใหคะแนน (–1, 0, 1) ดูคะแนนรวมสูงสุด

P1 P2 P3

A 1 2 4

B 2 3 5

C 3 4 6

D 4 5 1

E 5 6 1

F 6 7 2

G 7 1 3

ใหคะแนน (–1, 0, 1) ดูคะแนนรวมสูงสุด

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 31

6. โคง 3 โคง: parabola, cycloid, catenary

ใหนักเรียนศึกษาคนควาสมการของโคงทั้งสามโคงนี้ Parabola Cycloid Catenary

ใหนักเรียนหาสมการของโคงทั้งสี่ที่ผานจุด (–πr, 0), (0, –2r) และ (πr, 0) ใหนักเรียนคนหาการประยุกตของโคงแตละโคง

โครงงาน

32

Brachistochrone Problem (cycloid)

ใหนักเรียนไปศึกษาคนควาจากแหลงขอมูลตางๆ ในเรื่องราวเกี่ยวกับ

Brachistochrone Problem และปญหาที่เกี่ยวของตลอดจน ประวัติความเปนมาของปญหาและผูที่สามารถตอบคําถามไดเปนคนแรก การศึกษาคนควาที่จะนําไปสู การคนพบองคความรูใหมของนักเรียน และทําใหนักเรียนเกิดความศรัทธาเลื่อมใสนักคณิตศาสตรในอดีต เชนพี่นองตระกูล Bernoulli Leibnitz และ Newton และปญหานี้ถูกถามตั้งแตป ค.ศ.1696 (กวา 300 ป)

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 33

โครงงาน

34

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 35

โครงงาน

36

Library Parabola

Everyday Parabolas

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 37

โครงงาน

38

ศาสตราจารย ดร.ณรงค ปนนิ่ม 39

Brachistochrone Problem (อีกครั้ง)

จากสมบัติของ “Cycloid” เรานาจะนํามาสรางโครงงานเกี่ยวกับ “การกรีดยางพารา” ใหนักเรียนศึกษาวิธีการกรีดยางพารา 3 แบบ ใน 3 ชวงเวลา

เปรยีบเทียบปริมาณยางพาราที่ได

P1 P2 P3 P1 P2 P3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 1

1 2 3 3 1 2