บทที่ี3 - Kasetsart Universitymaths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide3.pdf · L1...

12/27/2011

1

บทท บทท 33 บทท บทท 33

การแกระบบสมการเชงเสนการแกระบบสมการเชงเสน

Engineering Mathematics IV

System of Linear Equations

ระบบสมการเชงเสน จะประกอบดวย สมการเชงเสนตงแต 2 ตวแปรขนไป

จานวนตงแต 2 สมการขนไปจานวนตงแต 2 สมการขนไป

nn

nn

b

bxaxaxabxaxaxa=+++=+++

MM

K

K

22222121

11212111

(1)

mnmnmm bxaxaxa =+++ K2211

12/27/2011

2

System of Linear Equations

เมอนามาเขยนในรปเมตรกซ จะเปน

bA(2)

โดยท

bx =A(2)

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

= n

n

aaaaaa

MOM

L

L

22221

11211

A⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=xx

xM2

1

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=bb

bM2

1

⎥⎦

⎢⎣ mnmm aaa L21

⎥⎦

⎢⎣ nx ⎥

⎦⎢⎣ mb

เมตรกซสมประสทธ

(Coefficient Matrix)เวกเตอรขวามอ

(Right-hand-side Vector)

Gaussian Elimination

การกาจดแบบเกาสหรอการดาเนนการตามแถว (หลก) กบเมตรกซ คอการดาเนนการดงตอไปน

1. สลบทระหวางแถวท กบแถวท เมอ เขยนแทนดวย

2. คณแถวท ดวยจานวนจรง เขยนแทนดวย หรอ

3. แทนทแถวท ดวยผลบวกของแถวท กบ เทาของแถวท โดยท เขยนแทนดวย หรอ

ระบบสมการเชงเสนจะสามารถหาผลเฉลยไดเมอ เมตรกซสมประสทธ ไมเปน Singular Matrix (det 0)

12/27/2011

3


กรณทเราสนใจคอ จะไดเมตรกซแตงเตมมขนาด

:

เราใชการดาเนนการตามแถว โดยกาจดแถวทอยใต ใหเปนศนยทงหมด วธตรง คอ ถา เราจะหา แลวดาเนนการ ทาเชนนสาหรบ

ทกๆ ซงเปนสมาชกบนเสนทแยงมม จะไดเมตรกซแตงเตมเปน


จากเมตรกซขนบนได แทนคายอนกลบได

แทน ยอนกลบไปเพอหา 1 จะได

11

1 11 1

และได ในรป

11 1 1 1

หรอ 1 ∑ 1

12/27/2011

4


82 −=−+− wzyx⎥⎤

⎢⎡ −−− 81211

4342

203322

=++−−=++

−=−+−

wzyxzyx

wzyx

144133122 ,,2 RRRRRRRRR −→−→−→

⎤⎡ −−− 81211⎤⎡ −−− 81211

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣ −−−−−

4341120111203322

Department of Mathematic, Kasetsart University

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

124200611204110081211

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

4200041100

6112081211

344

322RRR

RR+→

↔


ตารางตอไปนสรปจานวนครงในการคานวณ โดยการกาจดแบบเกาสกบเมตรกซขนาด

คณ/หาร บวก/ลบ 3 17 11

10 430 375 50 44150 42875

50 44150 42875 100 343300 338250

12/27/2011

5

Maximum Column Pivoting

ระบบสมการ

17.5914.59003.0 =+ yx

78.4613.6291.5 =− yx มผลเฉลยเปน 10=x และ 1=y สมมตให การกาจดแบบเกาสกบระบบสมการนถกกาหนดความแมนยาแบบเลขคณต 4 ตาแหนง(4 S.D.) พรอมดวยการปดเศษ

17646.1763003.0291.5

21 ≈== ∗m

ดาเนนการ 12122 RmRR −→ และปดเศษได

17.5914.59003.0 =+ yx 104400104300 −=− y

แทนคายอนกลบจะได


001.1≈y คาแทจรงคอ 1=y แต 003.011 =a มคานอยมาก ทาใหเกดความผดพลาดในการแทนคายอนกลบ

( )( ) 10

003.0001.114.5917.59

−=−

=x

ป 10แทนทจะเปน 10=x

กลยทธกาหนดหลกแนวตงสงสด ขนตอนท สมาชกในแนวตงเดยวกนทอยใตเสนทแยงมมและมคาสมบรณมากสด กลาวคอ หาคานอยทสดของ ท | |

12/27/2011

6


ระบบสมการ

0.003 59.14 59.17 5.291 6.13 46.78 หาหลกแนวตงสงสด

max |0.003|, |5.291| |5.291| 21

ดงนน 2 และ 1 จงดาเนนการ จะไดระบบสมการ ดงนน 2 และ 1 จงดาเนนการ 1 2 จะไดระบบสมการ

5.291 6.13 46.78 0.003 59.14 59.17


หา 2121 0.003

5 2910.000567 21

11 5.291

เมอดาเนนการ 2 2 21 1 ไดระบบสมการเปน

5.291 6.13 46.78 59.14 59.14 ผลเฉลยเมอแทนคายอนกลบทความแมนยา 4 S.D. คอ 10 และ 1 ซงป เปนคาทถกตอง

12/27/2011

7


สรปกลยทธหลกแนวตงสงสด 1.ขณะพจารณาแถวท เลอก ( ) ทมคาสมบรณมากทสดเปนสมาชกหลก โดย | |

2 2.สลบสลบแถว กบแถว

Scale-column pivoting

สมการแรกถกคณดวย 104 จะไดระบบสมการ

30 591400 591700

5.291 6.13 46.78

ซงมผลเฉลย 10 และ 1 เชนเดม

แตเมอใชกลยทธหลกแนวตงสงสด จะไดผลเฉลย 1.001 และ 10

12/27/2011

8


กลยทธการหาหลกแนวตงเปนสวน กลยทธการหาหลกแนวตงเปนสวน 1.นยามตวประกอบเปนสวนของแตละแถว

,.., 2.พจารณาการสลบแถวทเหมาะสม โดยการเลอกจานวนเตม ตว

| |แรกท ,…,| |

3.สลบแถว


เมอใชการหาหลกแบบแนวตงเปนสวนกบระบบสมการ . . .

| |, | | | . |, | . | .

แถวท 1 | | .

| |แถวท 2 | | ..

.

ดงนนจงจาเปนตองมการสลบแถว โดยให 1 2 และใชการกาจดแบบเกาส ซงไดคาผลเฉลย 10 และ 1

12/27/2011

9

Triangular Matrix: Definition

นยาม

เมตรกซสามเหลยมบน (Upper-triangular) มสมาชก 0

สาหรบ 1,2, … , และ 1, 2, … , เมตรกซสามเหลยมลาง (Lower-triangular) มสมาชก 0 สาหรบ 1,2, … , และ 1,2, … , 1

Matrix Factorization

จาก ถาแยกตวประกอบของเมตรกซ ในรป จะได

หรอ

ให และ

จะสามารถหา ไดจาก โดยการแทนคาไปขางหนา

ส และหาผลเฉลย จากการแทนคายอนกลบของระบบสมการ

12/27/2011

10

Matrix Factorization

ทฤษฎบท

ถาการดาเนนการตามแถว (Gaussian Elimination) สามารถดาเนนการไดกบระบบสมการเชง

เสน โดยไมมการสลบแถว แลวเมตรกซ จะสามารถตวประกอบไดในรปผลคณของเมตรกซ

สามเหลยมลาง กบเมตรกซสามเหลยมบน

เมอ

111

121

11

0 222

22

0 0

และ

1 0 021 1 0

1 2 1

Example

ระบบสมการเชงเสน 1 2 3 4 4 2 1 2 3 3 4 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 2 3 3 4 4

ดาเนนการตามแถว 2 2 2 1 , 3 3 3 1, 4 4 1 1, 3

3 4 2, 4 4 3 2

ไดระบบสมการสามเหลยมบน ไดระบบสมการสามเหลยมบน

1 2 3 4 4 2 3 5 4 7 3 3 13 4 13 13 4 13

12/27/2011

11

Example

ซงทาใหได

1 1 0 30 1 1 500

00

30

1313

และจากลาดบของการดาเนนการตามแถว เราได 21 2, 31 3, 41 1 และ

32 4, 42 3 ดงนนเราได 1 0 0 02 1 0 031

43

10

01

Example

นนคอ 1 1 0 32 1 1 131

12

10

21

1 0 0 02 1 0 031

43

10

01

1 1 0 30 1 1 500

00

30

1313

จากการแยกตวประกอบทาใหเราสามารถหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนไดงายขน ดงน

1 0 0 02 1 0 031

43

10

01

1 1 0 30 1 1 500

00

30

1313

1234

87147

12/27/2011

12

Example

แทน แลว นนคอ 1 0 0 02 1 0 031

43

10

01

1234

87147

เมอแทนคาไปขางหนา ได 1 8

2 1 2 7 นนคอ 2 9

3 1 4 2 3 14 นนคอ 3 26

1 3 2 4 7 นนคอ 4 26

Example

จากนนหาผลเฉลยของ ซงได 1 1 0 30 1 1 500

00

30

1313

1234

89

2626

เมอแทนคาย อนกลบจะได 4 2, 3 0, 2 1, 1 3

12/27/2011

13

การวดขนาดเวกเตอร

นยาม

คาประจา (norm) ของเวกเตอร X 1. 2,… , คอฟงกชน · : ทมคณสมบตตอไปน

1. X 0 สาหรบทก X

2. X 0 เมอและตอเมอ X 0

X | | X X3. X | | X สาหรบทกสเกลาร และทกเวกเตอร X

4. X Y X Y สาหรบทกเวกเตอร X, Y

การวดขนาดเวกเตอร

คาประจายคลด (Euclidian norm) 2 2 2X 2 12

22 2

คาประจาสงสด (Maximum norm)

X ∞ max | 1|, | 2|, … , | |

เวกเตอร X 1.1, 2 มคาประจา

X 2 1 2 12 2 2 √6 2.45

X ∞ max | 1|, |1|, | 2| 2

12/27/2011

14

ระยะระหวางเวกเตอร

ถา X 1. 2 ,… , และ Y 1. 2, … , 1 2 1 2

ระยะทางระหวาง X และ Y นยามโดย

X Y 2∑ 2

1

X Y ∞ max | |

Example

ระบบสมการเชงเสน 3.333 1 15920 2 10.333 3 15913 2.222 1 16.17 2 9.612 3 28.544 1.5611 1 5.1791 2 1.6852 3 8.4254 มผลเฉลยเปน 1. 2, 3 1,1,1

ใชการกาจดแบบเกาส กลยทธหลกแนวตงสงสด ( 5 S.D.) ไดผลเฉลย 1. 2, 3

1 2001 0 0 92538 1.2001,0.99991,0.92538 X X ∞ max |1 1.20010|, |1 0.99991|, |1 0.92538| 0.20010

12/27/2011

15

การวดขนาดเมตรกซ

คาประจาของเมตรกซ คอฟงกชนคาจรง · ทนยามบนเซตของเมตรกซ และมคณสมบต

1. 0 2. 0 เมอและตอเมอ 0

3. | | A สาหรบทกสเกลาร

4 4. 5. · ·

การวดขนาดเมตรกซ

คาประจาแบบยคลด 2 ∑ ∑ 211

คาประจาสงสด ∞ max1 ∑ 1

กาหนดให 1 2 10 3 15 1 1

2 12 22 1 2 02 32 1 2 52 1 2 12 6.5574 เนองจาก ∑ 1

31 1 2 1 4

∑ 231 0 3 1 4

∑ 331 5 1 1 7

ดงนน ∞ max 4,4,7 7

12/27/2011

16

เศษตกคาง

เวกเตอรตกคาง นยามโดย X

เมอ X มคานอยแลว คาลอง X X ควรมคานอย

ระบบสมการเชงเสนกาหนดโดย

1 21.0001 2

12

33.0001

มผลเฉลยหนงเดยว 1, 2 1,1 ตวประมาณ(ทไมดนก) X 3,0 ใหเวกเตอรตกคาง

3 1 2 3 0 X 33.0001

1 21.0001 2

30

00.0002

ดงนน X ∞ 0.0002

แต X X ∞ 2


1: 1 2 2 3 2: 1.0001 1 2 2 3.0001 จด 3,0 อยบนเสนตรง 1 โดยทเสนตรง 1 และ 2 เกอบขนานกน ทาใหจด 3,0 อยใกล

2 ดวย แมวาจะแตกตางอยางมากจากผลเฉลยของระบบสมการซงคอจดตด 1,1

y

2

( )1,1

( )0,3

x

1

12/27/2011

17


ถา X เปนตวประมาณผลเฉลย X ของระบบสมการ X และ เปนเมตรกซไมเอกฐาน (det 0) แลว

จาก X X A 1AX A 1AX A 1 · AX AX A 1 · B AX X X X 1 และจาก A · X B เราได

X X 1 X · X ·

หรอ X XX

· 1 · X

ตราบเทาท X 0 และ B 0

ปญหาภาวะไมเหมาะสม

ส X X ป คาผดพลาดสมพทธ X

มขอบเขตเปนผลคณของ ·

1 กบเศษตกคางสมพทธของการประมาณ X

12/27/2011

18

Conditional Number

นยาม จานวนชภาวะของ (Conditional number of A) แทนดวย หมายถง

จานวน · 1

ดงนน X X · X

และ X XX

· X

ไ ป (ไ )สาหรบเมตรกซไมเอกฐาน และคาประจาธรรมชาต · (ไมนบ · 2)

Conditional Number และปญหาภาวะไมเหมาะสม

เนองจาก 1 · 1 · 1

เรยกเมตรกซ วาม “ภาวะเหมาะสม” ถา มคาใกล 1 และเรยกวาม “ภาวะไมเหมาะสม” ถา มคาสงกวา 1 มาก ๆ

ตวอยาง 1 2

1.0001 2 ม 1 10000 100005000.5 5000

∞ 3.0001 และ 1∞ 20000

ดงนนจานวนชสภาวะ 3.0001 20000 60002

12/27/2011

19

ระเบยบวธทาซาโดยใชเศษตกคาง

ให X 0 เปนตวประมาณเรมตนของ X ความคลาดเคลอนของการประมาณนยามโดย 0 X X 0 จากการใช X 0 ทาใหไดเวกเตอรเศษตกคาง 0 X 0 เพราะวา 0 X X 0 X 0 0 แกสมการได 0 เปนคาโดยประมาณของ 0 แลวแกไขคาประมาณ X 1 ของ X โดย

X 1 X 0 0

ระเบยบวธทาซาโดยใชเศษตกคาง

จากนน หาคา 1 X 1 1

แกสมการ 1 1 ได 1 ทาซาไปเรอยๆ

ในครงท จาก X หาเศษตกคางในรอบท คอ X แลวแกสมการ เมอได และ

X 1 X

การทาซานจะหยดเมอ มขอบเขตนอยกวาทยอมรบได หรอ 10 เมอ คอการทาซานจะหยดเมอ X มขอบเขตนอยกวาทยอมรบได หรอ

X10 เมอ คอ

หลกทศนยม

12/27/2011

20

Example

แกระบบสมการ X เมอกาหนด

3

1 12

13

12

13

14

13

14

15

, 100

มผลเฉลยแทจรง X 9, 36,30 และม 524

วธทาU โดยใชความแมนยาแบบเลขคณต 4 ตาแหนง

1.0000 0.500 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000

หาผลเฉลยโดยวธกาจดแบบเกาส จนได X 0 9.19, 37.04,31

Example

คานวณเศษตกคาง

0 X 00.0023000.00043200.003027

จาก 0 0 เราไดระบบสมการ

1.0000 0.500 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000

123

0.0023000.00043200.003027

0 1309เมอแกระบบสมการโดยการกาจดแบบเกาส จะได 0

0.13090.73200.7122

ได X 1 X 0 09.059136.308030.2878

12/27/2011

21

Example

1 X 10.000023740 00004360 X 0.000043600.00004197

10.00052700.0016860.001020

และได X 2 X 1 19.0585736.306330.2867

เทคนคการทาซา

แนวคด

คลายกบการหารากของ 0 โดยวธทาซาจดคงท แปลงระบบสมการ X ใหเปนระบบสมการ X CX D

ทฤษฎบท เมตรกซแนวทแยงมมขมแท ( Strictly Diagonally Dominant Matrix) เมตรกซ ขนาด จะถกกลาววาเปน แนวทแยงมมขมแท (Strictly Diagonally Dominant) เมอ

| |1

สาหรบแตละ 1,2,… .

12/27/2011

22

เทคนคการทาซา

ทฤษฎบท เมตรกซแนวทแยงมมขมแท เปนเมตรกซไมเอกฐาน (N i l M t i ) ทฤษฎบท เมตรกซแนวทแยงมมขมแท เปนเมตรกซไมเอกฐาน (Nonsingular Matrix) ยงไปกวานน การดาเนนการตามแถว(หลก) เพอหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน X จะสามารถทาไดและไดผลเฉลยเพยงหนงเดยวโดยไมตองสลบแถว(หลก)

เทคนคการทาซาของ Jacobi

แยกเมตรกซ ออกเปนเมตรกซ โดยท

11 0 00 22 0

0 0

, 0

0 12 1

21 0 2

0

1 2 0

X X หรอ X X

หรอ X 1 X 1 X

12/27/2011

23

เทคนคการทาซาของ Jacobi

ตอไปเลอกคาประมาณเรมตน X 0 แลวใชสตรการทาซา

X 1 CX D, 0,1,2,…

1 ม 0

11, 2, … , โดยท

กระจายออกทละแถวจะได

11 1

1 12 2 13 3 1 1 111 12 2 13 3 1

21 1

222 21 1 23 3 2

1 1

1 1 2 2 1, 1 1

ตวอยาง เทคนคการทาซาของ Jacobi

ระบบสมการกาหนดโดย

10 1 2 2 3 6 1 11 2 3 3 4 25 2 1 2 10 3 4 11 3 2 3 8 4 15 มผลเฉลย X 1,2, 1,1

12/27/2011

24


เปลยนระบบสมการ X เปน X CX D แลวแกสมการหา ได

11 1

106 2 2 3

21 1

1125 1 3 3 4

31 1

1011 2 1 2 4

41 1

815 3 2 3

11 1

106 0 2 0 0.6

X 0 0,0,0,0

21 1

1125 0 0 3 0 2.2727

31 1

1011 2 0 0 0 1.1

41 1

815 3 0 0 1.875


k x1 x2 x3 x40 0 00000000 0 00000000 0 00000000 0 000000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.000000001 0.60000000 2.27272727 -1.10000000 1.875000002 1.04727273 1.71590909 -0.80522727 0.885227273 0.93263636 2.05330579 -1.04934091 1.130880684 1.01519876 1.95369576 -0.96810863 0.973842725 0.98899130 2.01141473 -1.01028590 1.021350516 1.00319865 1.99224126 -0.99452174 0.994433747 0 99812847 2 00230688 1 00197223 1 003594317 0.99812847 2.00230688 -1.00197223 1.003594318 1.00062513 1.99867030 -0.99903558 0.998888399 0.99967415 2.00044767 -1.00036916 1.00061919

10 1.00011860 1.99976795 -0.99982814 0.99978598

10 9∞ 0.23205 10 3

12/27/2011

25

เทคนคการทาซาของ Gauss-Seidel

Gauss-Seidel ไดปรบปรงสตรของ Jacobi โดย ในขนท k+1 จะใช 1, 2, … , 1 ของขนท k+1 กลาวคอ

1 11 1

12 2

1, 1 1

1

, 1 1 , 1

หรอ 1 1 ∑ 111 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1

ตวอยาง เทคนคการทาซาของ Gauss-Seidel

ระบบสมการ 10 1 2 2 3 6 10 1 2 2 3 6 1 11 2 3 3 4 25 2 1 2 10 3 4 11 3 2 3 8 4 15 หาผลเฉลยดวยวธทาซาของ Gauss Seidel

11 1

106 2 2 3

21 1

1125 1

13 3 4

31 1

1011 2 1

12

14

41 1

815 3 2

13

1

12/27/2011

26

เทคนคการทาซาของ Gauss-Seidel

k x1 x2 x3 x40 0 00000000 0 00000000 0 00000000 0 000000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.000000001 0.60000000 2.32727273 -0.98727273 0.878863642 1.03018182 2.03693802 -1.01445620 0.984341223 1.00658504 2.00355502 -1.00252738 0.998350954 1.00086098 2.00029825 -1.00030728 0.999849755 1.00009128 2.00002134 -1.00003115 0.999988106 1.00000836 2.00000117 -1.00000275 0.999999227 1 00000067 2 00000002 1 00000021 0 999999967 1.00000067 2.00000002 -1.00000021 0.999999968 1.00000004 1.99999999 -1.00000001 1.000000009 1.00000000 2.00000000 -1.00000000 1.00000000

10 1.00000000 2.00000000 -1.00000000 1.00000000

5 4∞

5∞

0.000860982.00002134 0.43049 10 3

บทที่ี3 - Kasetsart Universitymaths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide3.pdf · L1...

Documents

Transcript of บทที่ี3 - Kasetsart Universitymaths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide3.pdf · L1...