ទស្សនាវដ្តីកម្ពុជសុរិយាឆ្នាំទី១(១៩២៦-២៧) Kambuja suriya 1926 1927
บทที่ี3 - Kasetsart Universitymaths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide3.pdf · L1...
26
12/27/2011 1 บทที่ บทที่ 3 บทท บทท 3 การแกระบบสมการเชิงเสน การแกระบบสมการเชิงเสน Engineering Mathematics IV System of Linear Equations ระบบสมการเชิงเสน จะประกอบดวย สมการเชิงเสนตั้งแต 2 ตัวแปรขึ้นไป จํานวนตั้งแต 2 สมการขึ้นไป จานวนตงแต 2 สมการขนไป n n n n b b x a x a x a b x a x a x a = + + + = + + + M M K K 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1) m n mn m m b x a x a x a = + + + K 2 2 1 1
Transcript of บทที่ี3 - Kasetsart Universitymaths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide3.pdf · L1...
12/27/2011
1
บทท บทท 33 บทท บทท 33
การแกระบบสมการเชงเสนการแกระบบสมการเชงเสน
Engineering Mathematics IV
System of Linear Equations
ระบบสมการเชงเสน จะประกอบดวย สมการเชงเสนตงแต 2 ตวแปรขนไป
จานวนตงแต 2 สมการขนไปจานวนตงแต 2 สมการขนไป
nn
nn
b
bxaxaxabxaxaxa=+++=+++
MM
K
K
22222121
11212111
(1)
mnmnmm bxaxaxa =+++ K2211
12/27/2011
2
System of Linear Equations
เมอนามาเขยนในรปเมตรกซ จะเปน
bA(2)
โดยท
bx =A(2)
⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎢⎡
= n
n
aaaaaa
MOM
L
L
22221
11211
A⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎢⎡
=xx
xM2
1
⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎢⎡
=bb
bM2
1
⎥⎦
⎢⎣ mnmm aaa L21
⎥⎦
⎢⎣ nx ⎥
⎦⎢⎣ mb
เมตรกซสมประสทธ
(Coefficient Matrix)เวกเตอรขวามอ
(Right-hand-side Vector)
Gaussian Elimination
การกาจดแบบเกาสหรอการดาเนนการตามแถว (หลก) กบเมตรกซ คอการดาเนนการดงตอไปน
1. สลบทระหวางแถวท กบแถวท เมอ เขยนแทนดวย
2. คณแถวท ดวยจานวนจรง เขยนแทนดวย หรอ
3. แทนทแถวท ดวยผลบวกของแถวท กบ เทาของแถวท โดยท เขยนแทนดวย หรอ
ระบบสมการเชงเสนจะสามารถหาผลเฉลยไดเมอ เมตรกซสมประสทธ ไมเปน Singular Matrix (det 0)
12/27/2011
3
Gaussian Elimination
กรณทเราสนใจคอ จะไดเมตรกซแตงเตมมขนาด
:
เราใชการดาเนนการตามแถว โดยกาจดแถวทอยใต ใหเปนศนยทงหมด วธตรง คอ ถา เราจะหา แลวดาเนนการ ทาเชนนสาหรบ
ทกๆ ซงเปนสมาชกบนเสนทแยงมม จะไดเมตรกซแตงเตมเปน
Gaussian Elimination
จากเมตรกซขนบนได แทนคายอนกลบได
แทน ยอนกลบไปเพอหา 1 จะได
11
1 11 1
และได ในรป
11 1 1 1
หรอ 1 ∑ 1
12/27/2011
4
Gaussian Elimination
82 −=−+− wzyx⎥⎤
⎢⎡ −−− 81211
4342
203322
=++−−=++
−=−+−
wzyxzyx
wzyx
144133122 ,,2 RRRRRRRRR −→−→−→
⎤⎡ −−− 81211⎤⎡ −−− 81211
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣ −−−−−
4341120111203322
Department of Mathematic, Kasetsart University
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
124200611204110081211
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
4200041100
6112081211
344
322RRR
RR+→
↔
Gaussian Elimination
ตารางตอไปนสรปจานวนครงในการคานวณ โดยการกาจดแบบเกาสกบเมตรกซขนาด
คณ/หาร บวก/ลบ 3 17 11
10 430 375 50 44150 42875
50 44150 42875 100 343300 338250
12/27/2011
5
Maximum Column Pivoting
ระบบสมการ
17.5914.59003.0 =+ yx
78.4613.6291.5 =− yx มผลเฉลยเปน 10=x และ 1=y สมมตให การกาจดแบบเกาสกบระบบสมการนถกกาหนดความแมนยาแบบเลขคณต 4 ตาแหนง(4 S.D.) พรอมดวยการปดเศษ
17646.1763003.0291.5
21 ≈== ∗m
ดาเนนการ 12122 RmRR −→ และปดเศษได
17.5914.59003.0 =+ yx 104400104300 −=− y
แทนคายอนกลบจะได
Maximum Column Pivoting
001.1≈y คาแทจรงคอ 1=y แต 003.011 =a มคานอยมาก ทาใหเกดความผดพลาดในการแทนคายอนกลบ
( )( ) 10
003.0001.114.5917.59
−=−
=x
ป 10แทนทจะเปน 10=x
กลยทธกาหนดหลกแนวตงสงสด ขนตอนท สมาชกในแนวตงเดยวกนทอยใตเสนทแยงมมและมคาสมบรณมากสด กลาวคอ หาคานอยทสดของ ท | |
12/27/2011
6
Maximum Column Pivoting
ระบบสมการ
0.003 59.14 59.17 5.291 6.13 46.78 หาหลกแนวตงสงสด
max |0.003|, |5.291| |5.291| 21
ดงนน 2 และ 1 จงดาเนนการ จะไดระบบสมการ ดงนน 2 และ 1 จงดาเนนการ 1 2 จะไดระบบสมการ
5.291 6.13 46.78 0.003 59.14 59.17
Maximum Column Pivoting
หา 2121 0.003
5 2910.000567 21
11 5.291
เมอดาเนนการ 2 2 21 1 ไดระบบสมการเปน
5.291 6.13 46.78 59.14 59.14 ผลเฉลยเมอแทนคายอนกลบทความแมนยา 4 S.D. คอ 10 และ 1 ซงป เปนคาทถกตอง
12/27/2011
7
Maximum Column Pivoting
สรปกลยทธหลกแนวตงสงสด 1.ขณะพจารณาแถวท เลอก ( ) ทมคาสมบรณมากทสดเปนสมาชกหลก โดย | |
2 2.สลบสลบแถว กบแถว
Scale-column pivoting
สมการแรกถกคณดวย 104 จะไดระบบสมการ
30 591400 591700
5.291 6.13 46.78
ซงมผลเฉลย 10 และ 1 เชนเดม
แตเมอใชกลยทธหลกแนวตงสงสด จะไดผลเฉลย 1.001 และ 10
12/27/2011
8
Scale-column pivoting
กลยทธการหาหลกแนวตงเปนสวน กลยทธการหาหลกแนวตงเปนสวน 1.นยามตวประกอบเปนสวนของแตละแถว
,.., 2.พจารณาการสลบแถวทเหมาะสม โดยการเลอกจานวนเตม ตว
| |แรกท ,…,| |
3.สลบแถว
Scale-column pivoting
เมอใชการหาหลกแบบแนวตงเปนสวนกบระบบสมการ . . .
| |, | | | . |, | . | .
แถวท 1 | | .
| |แถวท 2 | | ..
.
ดงนนจงจาเปนตองมการสลบแถว โดยให 1 2 และใชการกาจดแบบเกาส ซงไดคาผลเฉลย 10 และ 1
12/27/2011
9
Triangular Matrix: Definition
นยาม
เมตรกซสามเหลยมบน (Upper-triangular) มสมาชก 0
สาหรบ 1,2, … , และ 1, 2, … , เมตรกซสามเหลยมลาง (Lower-triangular) มสมาชก 0 สาหรบ 1,2, … , และ 1,2, … , 1
Matrix Factorization
จาก ถาแยกตวประกอบของเมตรกซ ในรป จะได
หรอ
ให และ
จะสามารถหา ไดจาก โดยการแทนคาไปขางหนา
ส และหาผลเฉลย จากการแทนคายอนกลบของระบบสมการ
12/27/2011
10
Matrix Factorization
ทฤษฎบท
ถาการดาเนนการตามแถว (Gaussian Elimination) สามารถดาเนนการไดกบระบบสมการเชง
เสน โดยไมมการสลบแถว แลวเมตรกซ จะสามารถตวประกอบไดในรปผลคณของเมตรกซ
สามเหลยมลาง กบเมตรกซสามเหลยมบน
เมอ
111
121
11
0 222
22
0 0
และ
1 0 021 1 0
1 2 1
Example
ระบบสมการเชงเสน 1 2 3 4 4 2 1 2 3 3 4 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 2 3 3 4 4
ดาเนนการตามแถว 2 2 2 1 , 3 3 3 1, 4 4 1 1, 3
3 4 2, 4 4 3 2
ไดระบบสมการสามเหลยมบน ไดระบบสมการสามเหลยมบน
1 2 3 4 4 2 3 5 4 7 3 3 13 4 13 13 4 13
12/27/2011
11
Example
ซงทาใหได
1 1 0 30 1 1 500
00
30
1313
และจากลาดบของการดาเนนการตามแถว เราได 21 2, 31 3, 41 1 และ
32 4, 42 3 ดงนนเราได 1 0 0 02 1 0 031
43
10
01
Example
นนคอ 1 1 0 32 1 1 131
12
10
21
1 0 0 02 1 0 031
43
10
01
1 1 0 30 1 1 500
00
30
1313
จากการแยกตวประกอบทาใหเราสามารถหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนไดงายขน ดงน
1 0 0 02 1 0 031
43
10
01
1 1 0 30 1 1 500
00
30
1313
1234
87147
12/27/2011
12
Example
แทน แลว นนคอ 1 0 0 02 1 0 031
43
10
01
1234
87147
เมอแทนคาไปขางหนา ได 1 8
2 1 2 7 นนคอ 2 9
3 1 4 2 3 14 นนคอ 3 26
1 3 2 4 7 นนคอ 4 26
Example
จากนนหาผลเฉลยของ ซงได 1 1 0 30 1 1 500
00
30
1313
1234
89
2626
เมอแทนคาย อนกลบจะได 4 2, 3 0, 2 1, 1 3
12/27/2011
13
การวดขนาดเวกเตอร
นยาม
คาประจา (norm) ของเวกเตอร X 1. 2,… , คอฟงกชน · : ทมคณสมบตตอไปน
1. X 0 สาหรบทก X
2. X 0 เมอและตอเมอ X 0
X | | X X3. X | | X สาหรบทกสเกลาร และทกเวกเตอร X
4. X Y X Y สาหรบทกเวกเตอร X, Y
การวดขนาดเวกเตอร
คาประจายคลด (Euclidian norm) 2 2 2X 2 12
22 2
คาประจาสงสด (Maximum norm)
X ∞ max | 1|, | 2|, … , | |
เวกเตอร X 1.1, 2 มคาประจา
X 2 1 2 12 2 2 √6 2.45
X ∞ max | 1|, |1|, | 2| 2
12/27/2011
14
ระยะระหวางเวกเตอร
ถา X 1. 2 ,… , และ Y 1. 2, … , 1 2 1 2
ระยะทางระหวาง X และ Y นยามโดย
X Y 2∑ 2
1
X Y ∞ max | |
Example
ระบบสมการเชงเสน 3.333 1 15920 2 10.333 3 15913 2.222 1 16.17 2 9.612 3 28.544 1.5611 1 5.1791 2 1.6852 3 8.4254 มผลเฉลยเปน 1. 2, 3 1,1,1
ใชการกาจดแบบเกาส กลยทธหลกแนวตงสงสด ( 5 S.D.) ไดผลเฉลย 1. 2, 3
1 2001 0 0 92538 1.2001,0.99991,0.92538 X X ∞ max |1 1.20010|, |1 0.99991|, |1 0.92538| 0.20010
12/27/2011
15
การวดขนาดเมตรกซ
คาประจาของเมตรกซ คอฟงกชนคาจรง · ทนยามบนเซตของเมตรกซ และมคณสมบต
1. 0 2. 0 เมอและตอเมอ 0
3. | | A สาหรบทกสเกลาร
4 4. 5. · ·
การวดขนาดเมตรกซ
คาประจาแบบยคลด 2 ∑ ∑ 211
คาประจาสงสด ∞ max1 ∑ 1
กาหนดให 1 2 10 3 15 1 1
2 12 22 1 2 02 32 1 2 52 1 2 12 6.5574 เนองจาก ∑ 1
31 1 2 1 4
∑ 231 0 3 1 4
∑ 331 5 1 1 7
ดงนน ∞ max 4,4,7 7
12/27/2011
16
เศษตกคาง
เวกเตอรตกคาง นยามโดย X
เมอ X มคานอยแลว คาลอง X X ควรมคานอย
ระบบสมการเชงเสนกาหนดโดย
1 21.0001 2
12
33.0001
มผลเฉลยหนงเดยว 1, 2 1,1 ตวประมาณ(ทไมดนก) X 3,0 ใหเวกเตอรตกคาง
3 1 2 3 0 X 33.0001
1 21.0001 2
30
00.0002
ดงนน X ∞ 0.0002
แต X X ∞ 2
เศษตกคาง
1: 1 2 2 3 2: 1.0001 1 2 2 3.0001 จด 3,0 อยบนเสนตรง 1 โดยทเสนตรง 1 และ 2 เกอบขนานกน ทาใหจด 3,0 อยใกล
2 ดวย แมวาจะแตกตางอยางมากจากผลเฉลยของระบบสมการซงคอจดตด 1,1
y
2
( )1,1
( )0,3
x
1
12/27/2011
17
เศษตกคาง
ถา X เปนตวประมาณผลเฉลย X ของระบบสมการ X และ เปนเมตรกซไมเอกฐาน (det 0) แลว
จาก X X A 1AX A 1AX A 1 · AX AX A 1 · B AX X X X 1 และจาก A · X B เราได
X X 1 X · X ·
หรอ X XX
· 1 · X
ตราบเทาท X 0 และ B 0
ปญหาภาวะไมเหมาะสม
ส X X ป คาผดพลาดสมพทธ X
มขอบเขตเปนผลคณของ ·
1 กบเศษตกคางสมพทธของการประมาณ X
12/27/2011
18
Conditional Number
นยาม จานวนชภาวะของ (Conditional number of A) แทนดวย หมายถง
จานวน · 1
ดงนน X X · X
และ X XX
· X
ไ ป (ไ )สาหรบเมตรกซไมเอกฐาน และคาประจาธรรมชาต · (ไมนบ · 2)
Conditional Number และปญหาภาวะไมเหมาะสม
เนองจาก 1 · 1 · 1
เรยกเมตรกซ วาม “ภาวะเหมาะสม” ถา มคาใกล 1 และเรยกวาม “ภาวะไมเหมาะสม” ถา มคาสงกวา 1 มาก ๆ
ตวอยาง 1 2
1.0001 2 ม 1 10000 100005000.5 5000
∞ 3.0001 และ 1∞ 20000
ดงนนจานวนชสภาวะ 3.0001 20000 60002
12/27/2011
19
ระเบยบวธทาซาโดยใชเศษตกคาง
ให X 0 เปนตวประมาณเรมตนของ X ความคลาดเคลอนของการประมาณนยามโดย 0 X X 0 จากการใช X 0 ทาใหไดเวกเตอรเศษตกคาง 0 X 0 เพราะวา 0 X X 0 X 0 0 แกสมการได 0 เปนคาโดยประมาณของ 0 แลวแกไขคาประมาณ X 1 ของ X โดย
X 1 X 0 0
ระเบยบวธทาซาโดยใชเศษตกคาง
จากนน หาคา 1 X 1 1
แกสมการ 1 1 ได 1 ทาซาไปเรอยๆ
ในครงท จาก X หาเศษตกคางในรอบท คอ X แลวแกสมการ เมอได และ
X 1 X
การทาซานจะหยดเมอ มขอบเขตนอยกวาทยอมรบได หรอ 10 เมอ คอการทาซานจะหยดเมอ X มขอบเขตนอยกวาทยอมรบได หรอ
X10 เมอ คอ
หลกทศนยม
12/27/2011
20
Example
แกระบบสมการ X เมอกาหนด
3
1 12
13
12
13
14
13
14
15
, 100
มผลเฉลยแทจรง X 9, 36,30 และม 524
วธทาU โดยใชความแมนยาแบบเลขคณต 4 ตาแหนง
1.0000 0.500 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000
หาผลเฉลยโดยวธกาจดแบบเกาส จนได X 0 9.19, 37.04,31
Example
คานวณเศษตกคาง
0 X 00.0023000.00043200.003027
จาก 0 0 เราไดระบบสมการ
1.0000 0.500 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000
123
0.0023000.00043200.003027
0 1309เมอแกระบบสมการโดยการกาจดแบบเกาส จะได 0
0.13090.73200.7122
ได X 1 X 0 09.059136.308030.2878
12/27/2011
21
Example
1 X 10.000023740 00004360 X 0.000043600.00004197
10.00052700.0016860.001020
และได X 2 X 1 19.0585736.306330.2867
เทคนคการทาซา
แนวคด
คลายกบการหารากของ 0 โดยวธทาซาจดคงท แปลงระบบสมการ X ใหเปนระบบสมการ X CX D
ทฤษฎบท เมตรกซแนวทแยงมมขมแท ( Strictly Diagonally Dominant Matrix) เมตรกซ ขนาด จะถกกลาววาเปน แนวทแยงมมขมแท (Strictly Diagonally Dominant) เมอ
| |1
สาหรบแตละ 1,2,… .
12/27/2011
22
เทคนคการทาซา
ทฤษฎบท เมตรกซแนวทแยงมมขมแท เปนเมตรกซไมเอกฐาน (N i l M t i ) ทฤษฎบท เมตรกซแนวทแยงมมขมแท เปนเมตรกซไมเอกฐาน (Nonsingular Matrix) ยงไปกวานน การดาเนนการตามแถว(หลก) เพอหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน X จะสามารถทาไดและไดผลเฉลยเพยงหนงเดยวโดยไมตองสลบแถว(หลก)
เทคนคการทาซาของ Jacobi
แยกเมตรกซ ออกเปนเมตรกซ โดยท
11 0 00 22 0
0 0
, 0
0 12 1
21 0 2
0
1 2 0
X X หรอ X X
หรอ X 1 X 1 X
12/27/2011
23
เทคนคการทาซาของ Jacobi
ตอไปเลอกคาประมาณเรมตน X 0 แลวใชสตรการทาซา
X 1 CX D, 0,1,2,…
1 ม 0
11, 2, … , โดยท
กระจายออกทละแถวจะได
11 1
1 12 2 13 3 1 1 111 12 2 13 3 1
21 1
222 21 1 23 3 2
1 1
1 1 2 2 1, 1 1
ตวอยาง เทคนคการทาซาของ Jacobi
ระบบสมการกาหนดโดย
10 1 2 2 3 6 1 11 2 3 3 4 25 2 1 2 10 3 4 11 3 2 3 8 4 15 มผลเฉลย X 1,2, 1,1
12/27/2011
24
ตวอยาง เทคนคการทาซาของ Jacobi
เปลยนระบบสมการ X เปน X CX D แลวแกสมการหา ได
11 1
106 2 2 3
21 1
1125 1 3 3 4
31 1
1011 2 1 2 4
41 1
815 3 2 3
11 1
106 0 2 0 0.6
X 0 0,0,0,0
21 1
1125 0 0 3 0 2.2727
31 1
1011 2 0 0 0 1.1
41 1
815 3 0 0 1.875
ตวอยาง เทคนคการทาซาของ Jacobi
k x1 x2 x3 x40 0 00000000 0 00000000 0 00000000 0 000000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.000000001 0.60000000 2.27272727 -1.10000000 1.875000002 1.04727273 1.71590909 -0.80522727 0.885227273 0.93263636 2.05330579 -1.04934091 1.130880684 1.01519876 1.95369576 -0.96810863 0.973842725 0.98899130 2.01141473 -1.01028590 1.021350516 1.00319865 1.99224126 -0.99452174 0.994433747 0 99812847 2 00230688 1 00197223 1 003594317 0.99812847 2.00230688 -1.00197223 1.003594318 1.00062513 1.99867030 -0.99903558 0.998888399 0.99967415 2.00044767 -1.00036916 1.00061919
10 1.00011860 1.99976795 -0.99982814 0.99978598
10 9∞ 0.23205 10 3
12/27/2011
25
เทคนคการทาซาของ Gauss-Seidel
Gauss-Seidel ไดปรบปรงสตรของ Jacobi โดย ในขนท k+1 จะใช 1, 2, … , 1 ของขนท k+1 กลาวคอ
1 11 1
12 2
1, 1 1
1
, 1 1 , 1
หรอ 1 1 ∑ 111 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1
ตวอยาง เทคนคการทาซาของ Gauss-Seidel
ระบบสมการ 10 1 2 2 3 6 10 1 2 2 3 6 1 11 2 3 3 4 25 2 1 2 10 3 4 11 3 2 3 8 4 15 หาผลเฉลยดวยวธทาซาของ Gauss Seidel
11 1
106 2 2 3
21 1
1125 1
13 3 4
31 1
1011 2 1
12
14
41 1
815 3 2
13
1
12/27/2011
26
เทคนคการทาซาของ Gauss-Seidel
k x1 x2 x3 x40 0 00000000 0 00000000 0 00000000 0 000000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.000000001 0.60000000 2.32727273 -0.98727273 0.878863642 1.03018182 2.03693802 -1.01445620 0.984341223 1.00658504 2.00355502 -1.00252738 0.998350954 1.00086098 2.00029825 -1.00030728 0.999849755 1.00009128 2.00002134 -1.00003115 0.999988106 1.00000836 2.00000117 -1.00000275 0.999999227 1 00000067 2 00000002 1 00000021 0 999999967 1.00000067 2.00000002 -1.00000021 0.999999968 1.00000004 1.99999999 -1.00000001 1.000000009 1.00000000 2.00000000 -1.00000000 1.00000000
10 1.00000000 2.00000000 -1.00000000 1.00000000
5 4∞
5∞
0.000860982.00002134 0.43049 10 3
