สารบัญ - หน้าแรก · ค 6.1 ม.4-6/5...

สารบญ

เรอง หนา

ค าชแจง…………………………………………………………………………………………………..……… ก

บทบาทของครผสอน…………………………………………………..…………………………………… ข

บทบาทของนกเรยน…………………………………………………………………………………………. ค

แบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความนาจะเปน…………………………………………………… 1

ความนาจะเปน ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ………………………………. 9

สาระ/มาตรฐาน/ตวชวด……………………………………………………………………….. 10

จดประสงคการเรยนร…………………………………………………………………………… 11

แบบทดสอบกอนเรยน ชดท 1…………………………………………………………….. 12

ใบความรชดท 1.1 เรอง แผนภาพตนไม………………………………………………… 14

แบบฝกทกษะชดท 1.1………………………………………………………………………… 16

ใบความรชดท 1.2 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(การคณ)…………. 18

แบบฝกทกษะชดท 1.2………………………………………………………………………… 20

ใบความรชดท 1.3 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(การบวก)……….. 21

แบบฝกทกษะชดท 1.3………………………………………………………………………… 24

ใบความรชดท 1.4 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ(ภายใตเงอนไข)… 26

แบบฝกทกษะชดท 1.4………………………………………………………………………… 31

ใบความรชดท 1.5 เรอง ความหมายของแฟกทอเรยล…………………………….. 33

แบบฝกทกษะชดท 1.5………………………………………………………………………… 35

ใบความรชดท 1.6 เรอง แฟกทอเรยล……………………………………………………. 36

แบบฝกทกษะชดท 1.6………………………………………………………………………… 38

แบบทดสอบหลงเรยน ชดท 1……………………………………………………….…….. 40

ความนาจะเปน ชดท 2 ความนาจะเปนของเหตการณ……………..….…….. 42

สารบญ

เรอง หนา

สาระ/มาตรฐาน/ตวชวด………………………………………………………………………… 43

จดประสงคการเรยนร……………………………………………………………………………. 44

แบบทดสอบกอนเรยน ชดท 2……………………………………………………………… 45

ใบความรชดท 2.1 เรอง การทดลองสมและแซมเปลสเปซ……………………….. 48

แบบฝกทกษะชดท 2.1…………………………………………………………………………. 51

ใบความรชดท 2.2 เรอง เหตการณ………………………………………………………… 52

แบบฝกทกษะชดท 2.2…………………………………………………………………………. 55

ใบความรชดท 2.3 เรอง การด าเนนการของเหตการณ……………………………… 58

แบบฝกทกษะชดท 2.3………………………………………………………………………….. 61

ใบความรชดท 2.4 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ……………………………… 64

แบบฝกทกษะชดท 2.4…………………………………………………………………………… 70

ใบความรชดท 2.5 เรอง กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน…………… 74

แบบฝกทกษะชดท 2.5…………………………………………………………………………… 77

แบบทดสอบหลงเรยน ชดท 2………………………………………………………………… 80

แบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปน……………………………………………………… 83

บรรณานกรม……………………………………………………………………………………………………… 91

ภาคผนวก……………………………………………………………………………………………………….…. 92

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 1.1-1.6…………………………………………………………….. 93

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 2.1-2.5…………………………………………………………….. 106

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน เรอง ความนาจะเปน…………………. 123

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน ชดท 1 – ชดท 2…………………………………………… 124

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน ชดท 1 – ชดท 2……………………………………………. 125

สาระ/มาตรฐานการเรยนร/ตวชวด เอกสารประกอบการเรยนการสอนชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

สาระ สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน สาระท 6 ทกษะกระบวนการคณตศาสตร

มาตรฐานการเรยนร มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณ

ไดอยางสมเหตสมผล มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและ

แกปญหาได มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอ

ความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ตวชวด ค 5.2 ม.4-6/1 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และ ผลทไดไปใชในการคาดการณสถานการณทก าหนดให

ค 5.3 ม.4-6/2 ใชความรเกยวกบความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหาได ค 6.1 ม.4-6/1 ใชวธการทหลากหลายในการแกปญหา ค 6.1 ม.4-6/2 ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการ

แกปญหาในสถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม ค 6.1 ม.4-6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม ค 6.1 ม.4-6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย

และการน าเสนอไดอยางถกตอง และชดเจน ค 6.1 ม.4-6/5 เชอมโยงความรตาง ๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ

กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอน ๆ ค 6.1 ม.4-6/6 มความคดรเรมสรางสรรค

10 1

จดประสงคการเรยนร เอกสารประกอบการเรยนการสอนชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

1. ดานความร (K)

1.1 นกเรยนสามารถใชแผนภาพตนไมอยางงายในการหาจ านวนผลลพธทอาจเกดขนของเหตการณตางๆได

1.2 นกเรยนสามารถใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบในการหาจ านวนผลลพธทอาจเกดขนของเหตการณตาง ๆ ได

1.3 นกเรยนสามารถบอกนยาม ความหมายของแฟกทอเรยล n ได 1.4 นกเรยนสามารถน าความรเรองแฟกทอเรยล n ไปใชในการแกปญหาได

2. ดานทกษะกระบวนการ (P) 2.1 นกเรยนมความสามารถในการแกปญหา 2.2 นกเรยนมความสามารถในการใหเหตผล 2.3 นกเรยนมความสามารถในการสอสาร สอความหมายและการน าเสนอ

3. ดานคณลกษณะ (A) 3.1 มระเบยบวนย 3.2 มความรบผดชอบ 3.3 สามารถท างานอยางเปนระบบ 3.4 ตระหนกในคณคาและมเจตคตทดตอคณตศาสตร

11

แบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความนาจะเปน ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ค าชแจง 1) แบบทดสอบกอนเรยนชดท 1 ใชทดสอบความรของนกเรยนกอนเรยน เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ จ านวน 10 ขอ 2) ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองทสดเพยงค าตอบเดยว แลวท าเครองหมาย × ลงใน กระดาษค าตอบ 3) ใชเวลาในการทดสอบ 20 นาท

1. ในการเลนเปายงชบ มผเลน 2 คน แตละคนจะออกมอแทนสงใดสงหนงใน 3 สงตอไปนคอ คอน กรรไกร กระดาษ จ านวนวธทงหมดในการออกมอตรงกบขอใด ก. 3 วธ

ข. 6 วธ ค. 9 วธ ง. 12 วธ

2. ในการนงเรอขามฝากแมน าเจาพระยาทมเรอททาน าอย 5 ล า จ านวนวธนงเรอขามฝากแมน าน ทงไปและกลบไดกวธ ถาขาไปและขากลบลงเรอล าตางกน ก. 5 วธ

ข. 10 วธ ค. 20 วธ ง. 25 วธ

3. มปายเขยนหมายเลขก ากบไวอย 5 ใบ คอ 1, 3, 5, 7 และ 8 ถาน าแผนปายดงกลาวมาเรยงเปน จ านวน 3 หลกจะไดจ านวนทงหมดกจ านวน

ก. 20 วธ ข. 25 วธ ค. 60 วธ ง. 100 วธ

4. ตองการเรยงค าใหมทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จากตวอกษรค าวา math ไมจ าเปนตองม ความหมาย โดยตองขนตนดวยสระไดแตกตางกนทงหมดกวธ

ก. 24 วธ ข. 20 วธ ค. 12 วธ ง. 6 วธ

12

5. ในการท าแบบทดสอบ 20 ขอ แตละขอมตวเลอก 4 ขอ นกเรยนจะมวธเลอกตอบขอสอบ ดงกลาวไดทงหมดกวธ ก. 420 วธ

ข. 80 วธ ค. 4 วธ ง. 204 วธ

6. ลกเสอ 2 คน และเนตรนาร 4 คน เขาแถวเรยงหนากระดานโดยลกเสอตองยนหวแถวและ ทายแถวเสมอ จะมวธยนเขาแถวไดทงหมดกวธ

ก. 72 วธ ข. 48 วธ ค. 24 วธ ง. 12 วธ

7. นายณฐมเพอน 4 คน เขาตองการชวนเพอนไปดหนงไดกวธถาตองการชวนเพอนอยางนอย 1 คน ก. 4 วธ ข. 8 วธ ค. 15 วธ ง. 16 วธ 8. ครมหนงสอทแตกตางกน 3 เลมตองการแจกหนงสอทงหมดใหนกเรยน 5 คน โดยไมใหซ าคนเดม ครจะมวธแจกหนงสอใหนกเรยนไดทงหมดกวธ

ก. 243 วธ ข. 125 วธ

ค. 60 วธ ง. 15 วธ

9. 6!2!8! มคาตรงกบขอใด

ก. 64 ข. 52 ค. 36 ง. 28

10. 101)!(n

n!

มคาตรงกบขอใด

ก. 10 ข. 9 ค. 8 ง. 7

13

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.1 เรอง แผนภาพตนไม

ในชวตประจ าวนจะพบปญหาทเกยวกบการนบจ านวนวธทงหมดทเหตการณอยางใด อยางหนงจะเปนไปได หรอจ านวนวธในการจดชดของสงตาง ๆ เชน การจดการแขงขนกฬา การจดชดเสอผา การจดชดอาหาร เปนตน

พจารณาสถานการณตอไปน

สถานการณ

ณเดชมเสอและกางเกงส าหรบสวมใสไปแสดงละคร 3 ตว และ 2 ตว ตามล าดบ จ านวนวธท ณเดชจะสวมเสอและกางเกงใสไปแสดงละครชดตาง ๆ ทแตกตางกนไดทงหมดกวธ

แผนภาพแสดงจ านวนวธทณเดชจะเลอกสวมใสเสอและกางเกง

จากแผนภาพจะไดวาณเดชสามารถเลอกสวมใสเสอได 3 วธ และในแตละวธทสวมเสอสามารถเลอกสวมกางเกงได 2 วธ

14

ดงนน จ านวนวธทณเดชจะเลอกสวมเสอและกางเกงเปนชดตาง ๆ ทแตกตางกน เทากบ 3×2 = 6 วธ

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.1 เรอง แผนภาพตนไม

เราสามารถหาจ านวนวธ จ านวนผลลพธหรอจ านวนรปแบบในการเกดขนของเหตการณตาง ๆ ทสนใจจากผลทเกดขนทงหมดโดยใชแผนภาพตนไม (Tree diagram) ได

ตวอยาง มถนนจากกรงเทพ ฯ ไปจงหวดกระบ 3 สาย และมถนนจากจงหวดกระบไปจงหวดยะลา 4 สาย ญาญาขบรถจากกรงเทพ ฯ ไปถายละครทจงหวดยะลาโดยตองผานจงหวดกระบ ญาญาจะมวธเลอกเสนทางไดกวธ

วธท า สมมตใหถนนจากกรงเทพฯ ไปกระบ 3 สายคอ ก1, ก2 และ ก3

และสมมตใหถนนจากกระบไปยะลา 4 สายคอ ย1, ย2 ,ย3 และ ย4

เขยนแผนภาพตนไมไดดงน

จากแผนภาพจะไดวา มถนนจากกรงเทพไปจงหวดกระบ 3 สาย แตละสายของถนนทไป

กระบมถนนไปจงหวดยะลา 4 สาย ดงนน จ านวนวธทญาญาจะเลอกเสนทาง เทากบ 3×4 = 12 วธ คอ ก1ย1, ก1ย2, ก1ย3,

ก1ย4, ก2ย1, ก2ย2, ก2ย3, ก2ย4, ก3ย1, ก3ย2, ก3ย3, ก3ย4

จากกรงเทพฯ ไปกระบ จากกระบไปยะลา

ก1

ก2

ก3

ย1

ย2

ย3

ย4

ย1

ย2

ย3

ย4

ย1

ย2

ย3

ย4

ก1ย1 ……………………………(วธท 1)

ก1ย2 ……………………………(วธท 2)

ก1ย3 ……………………………(วธท 3)

ก1ย4 ……………………………(วธท 4)

ก2ย1 ……………………………(วธท 5)

ก2ย2 ……………………………(วธท 6)

ก2ย3 ……………………………(วธท 7)

ก2ย4 ……………………………(วธท 8)

ก3ย1 ……………………………(วธท 9)

ก3ย2 ……………………………(วธท 10)

ก3ย3 ……………………………(วธท 11)

ก3ย4 ……………………………(วธท 12)

15

15

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.1 เรอง แผนภาพตนไม

จดประสงค นกเรยนสามารถใชแผนภาพตนไมอยางงายในการหาจ านวนผลลพธทอาจเกดขน ของเหตการณตาง ๆ ได ค าชแจง ใหนกเรยนหาจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดโดยใชแผนภาพตนไม

1. นกเรยนคนหนงจะตองเลอกเรยนวชาเพมเตมการงานอาชพและภาษาองกฤษอยางละ 1 รายวชา ถาโรงเรยนก าหนดสอนวชาเพมเตมการงานอาชพให 3 รายวชา และวชาภาษา องกฤษ 3 รายวชา จ านวนวธทนกเรยนคนนจะเลอกเรยนวชาเพมเตมทงวชาการงานอาชพและ ภาษาองกฤษไดแตกตางกนทงหมดกวธ

วธท า เขยนแผนภาพตนไมไดดงน

ดงนน จ านวนวธทนกเรยนคนนจะเลอกเรยนวชาเพมเตมทงวชาการงานอาชพและ ภาษาองกฤษ ไดแตกตางกนเทากบ........................ วธ

2. เดกคนหนงตองการเลอกซอไอศกรมทรานไอศกรมแหงหนง โดยทางรานมโคนและถวยใหเลอก ใสไอศกรมไดเพยงอยางละ 1 ลกเทานน ซงมรสวนลา รสมะนาว รสชอกโกแลต และรสสตอเบอร ทเดกคนนชอบจ านวนวธทเดกคนนจะเลอกซอไอศกรมไดแตกตางกนทงหมดกวธ


ดงนน จ านวนวธทเดกคนนจะเลอกซอไอศกรมไดแตกตางกน เทากบ........................ วธ

16

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.1 เรอง แผนภาพตนไม


3. จากเมอง ก ไปยงเมอง ข มเสนทางการเดนทางได 3 วธ คอ รถยนต รถไฟ และเครองบน จากเมอง ข ไป เมอง ค มเสนทางการเดนทางได 2 วธ คอ รถยนตและเรอ จ านวนวธทจะ เดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ค โดยผานเมอง ข เปนเทาใด

วธท า

............................................................................................................................. ...................

............................................................................................................. ...................................

4. มนก 2 ตว เลอกใสกรงนก 5 กรง ไดแตกตางกนทงหมดกวธ วธท า

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

17

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.2 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การคณ)

การใชแผนภาพตนไมสามารถชวยในการหาจ านวนผลลพธหรอจ านวนรปแบบในการเกดขนของเหตการณตาง ๆ ทสนใจจากผลทเกดขนทงหมดทมจ านวนไมมากนก เพอใหการหาจ านวนผลลพธท าไดงายและสะดวกรวดเรว สามารถใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได ดงน

กฎขอท 1 ถาตองการท างานสองอยางโดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ และในแตละวธ ทเลอกท างานอยางแรกน มวธเลอกท างานอยางทสองได n2 วธ จะท างานทงสองอยางนได n1n2 วธ

ตวอยางท 1 โรงเรยนแหงหนงจดอาหารกลางวนเปนอาหารคาว 4 อยางและขนม 3 อยาง ใหนกเรยนเลอกรบประทานชนดละ 1 อยาง อยากทราบวานกเรยนจะมวธเลอก อาหารคาวและขนมไดทงหมดกวธ

แนวคด โจทยขอนตองการใหเลอกอาหารคาว 1 อยาง และขนม 1 อยาง ดงนน การท างานในขอนม 2 ขนตอน

วธท า ขนตอนท 1 เลอกอาหารคาวได 4 วธ (มอาหารคาว 4 อยาง) ขนตอนท 2 เลอกขนมได 3 วธ (มขนม 3 อยาง)

ดงนน จะมวธเลอกอาหารคาวและขนมไดทงหมด 4×3 = 12 วธ

ตวอยางท 2 สนามกฬาแหงหนงมประตอย 5 ประต ถาจะเขาประตหนงแลวออกอกประตหนง ไมใหซ ากบประตทเขามา จะมวธเขาและออกจากสนามกฬาแหงนไดทงหมดกวธ

แนวคด โจทยขอนตองการใหเดนเขาและออกจากสนามกฬา ดงนน การท างานในขอนม 2 ขนตอน

วธท า ขนตอนท 1 เดนเขาสนามได 5 วธ (มประต 5 ประต) ขนตอนท 2 เดนออกสนามได 4 วธ (ไมใหซ าประตทเขามา)

ดงนน จะมวธเขาและออกจากสนามกฬาแหงนไดทงหมด 5×4 = 20 วธ ตวอยางท 3 ในการโยนลกเตาสด า 1 ลก และลกเตาสขาว 1 ลก จ านวนวธทจะไดผลของ แตมบนหนาลกเตามทงหมดกวธ

แนวคด โจทยขอนตองการใหโยนลกเตาสด าและลกเตาสขาว ดงนน การท างานในขอนม 2 ขนตอน

วธท า ขนตอนท 1 มผลของแตมบนหนาลกเตาสด าได 6 วธ (มแตม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6) ขนตอนท 2 มผลของแตมบนหนาลกเตาสขาวได 6 วธ (มแตม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6) ดงนน จ านวนวธทจะไดผลของแตมบนหนาลกเตามทงหมด 6×6 = 36 วธ

18

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.2 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การคณ)

กฎขอท 2 ถาตองการท างานอยางหนงม k ขนตอน ขนตอนทหนงมวธเลอกท าได n1 วธ ในแตละวธของขนตอนทหนงมวธเลอกท าขนตอนทสองได n2 วธ ในแตละวธทท างานของขนตอน ทหนงและขนตอนทสองมวธเลอกท าขนตอนทสามได n3 วธ เชนนเรอยไปจนถงขนตอนสดทาย คอ ขนตอนท k จะท าได nk วธ จะท างาน k ขนตอนนได n1n2… nk วธ

ตวอยางท 4 ชมรมถายภาพมสมาชก 10 คน ถาตองการเลอกประธานชมรม รองประธานชมรม เลขานการชมรมและเหรญญกของชมรม ต าแหนงละ 1 คน จ านวนวธทจะเลอก ต าแหนงตาง ๆ ของชมรมไดทงหมดกวธ

แนวคด โจทยขอนตองการเลอกต าแหนงประธาน รองประธาน เลขานการและเหรญญก ดงนน การท างานในขอนม 4 ขนตอน

วธท า ขนตอนท 1 เลอกต าแหนงประธานได 10 วธ (มสมาชก 10 คน) ขนตอนท 2 เลอกต าแหนงรองประธานได 9 วธ

ขนตอนท 3 เลอกต าแหนงเลขานการได 8 วธ ขนตอนท 4 เลอกต าแหนงเหรญญกได 7 วธ

ดงนน จ านวนวธทจะเลอกต าแหนงตาง ๆ ของชมรมไดเทากบ 10×9×8×7 = 5,040 วธ

ตวอยางท 5 สรางจ านวนคบวกซงมสามหลกไดทงหมดกจ านวน

แนวคด โจทยขอนตองการสรางจ านวนคบวก 3 หลก ไดแก หลกรอย หลกสบ และ หลกหนวย ดงนน การท างานในขอนม 3 ขนตอน เลขโดดทใชในแสดงจ านวนทง 3 หลก คอ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9

วธท า ขนตอนท 1 เลอกเลขโดดในหลกรอยได 9 วธ (ยกเวน 0 เปนหลกรอยไมได)

ขนตอนท 2 เลอกเลขโดดในหลกสบได 10 วธ ขนตอนท 3 เลอกเลขโดดในหลกหนวยได 5 วธ (ตองเปนจ านวนคเทานน) ดงนน สรางจ านวนคบวกซงมสามหลกไดทงหมด = 9×10×5 = 450 จ านวน

หลกหนวย 1,3,5,7,9

หลกสบ 0-9

หลกรอย 1-9

19

(เปนประธานแลว 1 คน เหลอ 9 คน)

(เปนประธานกบรองแลว 2 คน เหลอ 8 คน)

(เปนประธาน, รองและเลขาแลว 3 คน เหลอ 7 คน)

19

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.2 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การคณ)

จดประสงค นกเรยนสามารถใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบในการหาจ านวนผลลพธ ทอาจเกดขนของเหตการณตาง ๆ ได ค าชแจง ใหนกเรยนหาจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

1. ในการรบสมครพนกงาน 2 ต าแหนง เปนพนกงานหญง 1 ต าแหนง พนกงานชาย 1 ต าแหนง ถาผสมครเปนหญง 4 คน เปนชาย 5 คน จะมจ านวนวธรบพนกงานแบบตาง ๆ ไดกวธ

วธท า ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

2. ถา A = {1, 3, 5, 7, 9} จงหาวาจะสามารถน าสมาชกในเซต A มาสรางเปนจ านวนเตมซงม สามหลก โดยทแตละหลกใชเลขโดดไมซ ากนไดทงหมดกจ านวน

วธท า ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

3. บตรเขาชมภาพยนตรของโรงหนงแหงหนงก าหนดหมายเลขทนงเขาชมโดยใชหมายเลข 1-20 และตวอกษรภาษาองกฤษ A – P ตวอยางเชน 1A จงหาจ านวนทนงทงหมดของโรงหนงแหงน

วธท า ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

4. จงน าตวอกษรจากค าวา FATHER มาจดเปนค าใหม โดยไมตองค านงถงความหมาย จะจด เปนค าทแตกตางกนทงหมดไดกวธ

วธท า ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

5. ในการสอบวชาคณตศาสตรซงมขอสอบแบบผด- ถกอย 10 ขอ นกเรยนจะเลอกตอบขอสอบทง 10 ขอไดทงหมดกวธ

วธท า ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

20 20

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.3 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การบวก)

1.3 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การบวก) หลกการบวก ในการท างานอยางหนงมวธการท า k วธ คอ วธท 1 ถงวธท k โดยท

การท างานวธท 1 มวธท า n1 วธ การท างานวธท 2 มวธท า n2 วธ การท างานวธท k มวธท า nk วธ

และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลวจ านวนวธท างานนเทากบ n1+n2+…+nk วธ

ตวอยางท 1 บตองการเดนทางไปเชยงใหม ซงสามารถไปไดโดยขนรถทวร รถไฟ และเครองบน ถาในวนหนง ๆ มรถทวรไปเชยงใหม 5 เทยว รถไฟ 3 เทยว และเครองบน 2 เทยว บมวธในการเดนทางไปเชยงใหมไดแตกตางทงหมดกวธ

แนวคด โจทยขอนตองหาวธการเดนทางไปเชยงใหมโดยรถทวร รถไฟ และเครองบน ดงนน การท างานในขอนม 3 วธ คอ เดนทางโดยรถทวร, เดนทางโดยรถไฟ หรอเดนทางโดยเครองบน

วธท า เลอกเดนทางโดยรถทวรได 5 วธ (ม 5 เทยว)

เลอกเดนทางโดยรถไฟได 3 วธ (ม 3 เทยว)

เลอกเดนทางโดยเครองบนได 2 วธ (ม 2 เทยว)

ดงนน จ านวนวธการในการเดนทางไปเชยงใหมมทงหมด 5+3+2 = 10 วธ

ตวอยางท 2 ตองการสรางจ านวนคทม 3 หลก โดยสรางจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 หรอ 5 โดยเลขโดดแตละหลกไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกจ านวน

แนวคด โจทยขอนตองการสรางจ านวนคทม 3 หลก โดยสรางจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 หรอ 5 ดงนน การท างานในขอนม 2 วธ คอ หลกหนวยมเลขคเปน 0 กบหลกหนวย มเลขคไมเปน 0

วธท า กรณท 1 จ านวนคทหลกหนวยเปน 0 เลอกเลขโดดหลกหนวยได 1 วธ (เลขโดด 0 เทานน)

เลอกเลขโดดหลกรอยได 5 วธ (จากเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ 5)

เลอกเลขโดดหลกสบได 4 วธ (เลขโดดทเหลอจากหลกรอย 4 ตว)

จ านวนวธสรางจ านวนคทหลกหนวยเปน 0 ได 1×5×4 = 20 วธ

หลกหนวย 0

หลกสบ

หลกรอย

21


กรณท 2 เลขคทหลกหนวยไมเปน 0

เลอกเลขโดดหลกหนวยได 2 วธ (จากเลขโดด 2 และ 4)

เลอกเลขโดดหลกรอยได 4 วธ (เลขโดดทเหลอซงไมใช 0 และเลขโดดในหลกหนวย)

เลอกเลขโดดหลกสบได 4 วธ (เลขโดดทเหลอซงทไมใชเลขโดดในหลกหนวยและหลกรอย)

จ านวนวธสรางจ านวนคทหลกหนวยไมเปน 0 ได 2×4×4 = 32 วธ ดงนน สรางจ านวนคทม 3 หลก จากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4 หรอ 5 โดยเลขแตละ

หลกไมซ ากน จะสรางไดทงหมด 20+32 = 52 จ านวน

ตวอยางท 3 มหนงสอ 6 เลม เปนต าราภาษาองกฤษ 2 เลม จะจดเรยงบนชนหนงสอไดกวธ ถาหวแถวและทายแถวเปนต าราภาษาองกฤษ

แนวคด โจทยขอนตองการจดเรยงต าราบนชนหนงสอ โดยหวแถวและทายแถวเปนต ารา ภาษาองกฤษ การท างานในขอนม 2 วธ คอ ถาสมมตใหต าราภาษาองกฤษ แทนดวยตว A และ B จะมวธการจดเรยงไดดงน

วธท า กรณท 1 เลม A อยหวแถวเลม B อยทายแถว เลอกวางต าแหนงหวแถวได 1 วธ (เลม A เทานน )

เลอกวางต าแหนงท 2 ได 4 วธ (จาก 4 เลมทไมใช A และ B)

เลอกวางต าแหนงท 3 ได 3 วธ (เลมทเหลอจากต าแหนงท 2 ทไมใช A และ B)

เลอกวางต าแหนงท 4 ได 2 วธ (เลมทเหลอจากต าแหนงท 2 และ 3 ทไมใช A และ B)

เลอกวางต าแหนงท 5 ได 1 วธ (เลมทเหลอจากต าแหนงท 2, 3 และ 4 ทไมใช A และ B)

เลอกวางต าแหนงทายแถวได 1 วธ (เลม B เทานน )

จ านวนวธจดเรยงหนงสอไดทงหมด 1×4×3×2×1×1 = 24 วธ

หลกหนวย 2,4

หลกสบ

หลกรอย ไมเปน 0

วธท 1

A B

B A วธท 2 หวแถว

ทายแถว

ต าแหนง

ท 2

ต าแหนงท 3



22


กรณท 2 เลม B อยหวแถวเลม A อยทายแถว

เลอกวางต าแหนงหวแถวได 1 วธ (เลม B เทานน )

เลอกวางต าแหนงท 2 ได 4 วธ (จาก 4 เลมทไมใช A และ B)

เลอกวางต าแหนงท 3 ได 3 วธ (เลมทเหลอจากต าแหนงท 2 ทไมใช A และ B)

เลอกวางต าแหนงท 4 ได 2 วธ (เลมทเหลอจากต าแหนงท 2 และ3 ทไมใช A และ B)

เลอกวางต าแหนงท 5 ได 1 วธ (เลมทเหลอจากต าแหนงท 2, 3 และ4 ทไมใช A และ B)

เลอกวางต าแหนงทายแถวได 1 วธ (เลม A เทานน )

จ านวนวธจดเรยงหนงสอไดทงหมด 1×4×3×2×1×1 = 24 วธ

ดงนน จ านวนวธจดเรยงต าราบนชนหนงสอทหวแถวและทายแถวเปนต าราภาษาองกฤษ เทากบ 24 + 24 = 48 วธ

ขอสงเกต

การกระท าใด ๆ ทยงไมสนสด การค านวณหาจ านวนวธการกระท า นนๆ เราใชการคณ การกระท าใด ๆ สามารถแยกไดเปนหลายกรณ แตละกรณสนสดลง แลวในการค านวณหาจ านวนวธส าหรบการกระท านนเราใช การบวกจ านวนวธแตละกรณเขาดวยกน

23

ดงนน …………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.3 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การบวก)

จดประสงค นกเรยนสามารถใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบในการหาจ านวนผลลพธ ทอาจเกดขนของเหตการณตาง ๆ ได ค าชแจง ใหนกเรยนหาจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 1. มเสอ 6 ตว เปนสขาว 4 ตว และสฟา 2 ตว มกางเกง 5 ตว เปนสขาว 1 ตว และสฟา 4 ตว จะมวธเลอกชด 1 ชด ทมเสอและกางกางสเดยวกนไดทงหมดกวธ

วธท า ชดสขาว เลอกเสอสขาวได....................วธ เลอกกางเกงสขาวได....................วธ

จ านวนวธเลอกชดสขาวเทากบ ………………………….วธ ชดสฟา เลอกเสอสฟาได....................วธ เลอกกางเกงสฟาได....................วธ

จ านวนวธเลอกชดสฟาเทากบ ………………………….วธ ดงนน จ านวนวธเลอกชด 1 ชด ทมเสอและกางกางสเดยวกนไดทงหมด…………วธ

2. ถาใชตวอกษร A, B, C และ D ในการสรางรหส 1 หลก หรอ 2 หลก หรอ 3 หลก หรอ 4 หลก โดยทแตละหลกไมใชตวอกษรซ ากน จะสรางรหสไดกแบบ

วธท า กรณท 1 สรางรหส 1 หลก เลอกตวอกษรได..................วธ

สรางรหส 1 ตวไดทงหมด...............แบบ กรณท 3 สรางรหส 3 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได..............วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได..............วธ เลอกตวอกษรตวท 3 ได..............วธ

สรางรหส 3 ตว ไดทงหมด...............แบบ

กรณท 2 สรางรหส 2 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได..........วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได..........วธ

สรางรหส 2 ตว ไดทงหมด.............แบบ กรณท 4 สรางรหส 4 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได..............วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได..............วธ เลอกตวอกษรตวท 3 ได..............วธ

เลอกตวอกษรตวท 4 ได..............วธ

สรางรหส 4 ตว ไดทงหมด...............แบบ

24

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.3 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การบวก)

จดประสงค นกเรยนสามารถใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบในการหาจ านวนผลลพธ ทอาจเกดขนของเหตการณตาง ๆ ได ค าชแจง ใหนกเรยนหาจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 3. ในกลองใบหนงมบตร 10 ใบ แตละใบมหมายเลข 1 ตว คอ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ถาหยบบตรจากกลองมา 2 ใบ โดยหยบครงละ 1 ใบ โดยไมใสคนไป จะสามารถเลอกหยบบตร เหลานไดกวธ โดยผลรวมของหมายเลขบตรทงสองใบเปนจ านวนค

วธท า กรณท 1 จ านวนคเกดจาก จ านวนค+จ านวนค

หยบบตรใบท 1 ได..................วธ หยบบตรใบท 2 ได..................วธ

หยบบตรไดทงหมด................วธ

กรณท 2 จ านวนคเกดจาก …………………… หยบบตรใบท 1 ได..................วธ หยบบตรใบท 2 ได..................วธ

หยบบตรไดทงหมด.......................วธ

ดงนน ……………………………………………………………………………………………………………………

4. น าตวเลขโดด 0 – 9 มาสรางเปนจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนไดทงหมด กจ านวน

วธท า กรณท 1 ……………………………………………………………………….. เลอกเลขโดดหลก…………………………………. วธ

เลอกเลขโดดหลก…………………………………. วธ เลอกเลขโดดหลก…………………………………. วธ เลอกเลขโดดหลก…………………………………. วธ

จ านวนวธสรางจ านวนคท…………………………………………………จ านวน กรณท 2 ………………………………………………………………………..

เลอกเลขโดดหลก…………………………………. วธ เลอกเลขโดดหลก…………………………………. วธ เลอกเลขโดดหลก…………………………………. วธ เลอกเลขโดดหลก…………………………………. วธ

จ านวนวธสรางจ านวนคท…………………………………………………จ านวน

ดงนน ………………………………………………………………………………………………………………

25

25

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.4 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ภายใตเงอนไข)

1.4 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ภายใตเงอนไข) ในบางครงเราตองการนบจ านวนวธทเปนไปไดบางสวนจากจ านวนทเปนไปไดทงหมด

ซงสามารถหาจ านวนวธทเปนไปไดดงกลาว โดยการเขยนแผนภาพตนไมใหเปนไปตามเงอนไข ทก าหนดหรอใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบค านวณตามเงอนไขได ดงน

ตวอยางท 1 โยนเหรยญ 1 เหรยญ และทอดลกเตา 1 ลกพรอมกน จงหาจ านวนวธทเหรยญ จะขนกอยและลกเตาขนแตมค

แนวคด โจทยขอนตองการใหโยนเหรยญ 1 เหรยญ และทอดลกเตา 1 ลก พรอมกน ดงนน การท างานในขอนม 2 ขนตอน โยนเหรยญ 1 เหรยญ ขนหนาไดดงน ทอดลกเตา 1 ลก แตมทหงายมดงน

วธท า ขนตอนท 1 เหรยญขนกอยได 1 วธ ขนตอนท 2 ลกเตาเปนแตมคได 3 วธ (แตมคของลกเตา คอ 1, 3, 5)

ดงนน จ านวนวธทเหรยญจะขนกอยและลกเตาขนแตมคได 1×3 = 3 วธ เขยนแผนภาพตนไมไดดงน

ก าหนดให เหรยญขนหว เขยนแทนดวย H เหรยญขนกอย เขยนแทนดวย T เหรยญ ลกเตา

ดงนน จ านวนวธทเหรยญจะขนกอยและลกเตาขนแตมคได 3 วธ คอ T1, T3, T5

ตวอยางท 2 บรษทแหงหนงมต าแหนงวางอย 2 ต าแหนง มผผานการสมภาษณ 5 คน คอ ก, ข, ค, ง และ จ ผจดการพจารณาแลวเหนเหมาะสมกบต าแหนงท 1 ม 3 คน คอ ก, ค และ ง มผเหมาะสมกบต าแหนงท 2 ม 4 คน คอ ข, ค, ง และ จ จงหาจ านวนวธ ทเปนไปไดทงหมดของการบรรจคนเขาท างาน 2 ต าแหนงน

แนวคด โจทยขอนตองการบรรจคนเขาท างาน 2 ต าแหนง ดงนน การท างานในขอนม 3 วธ คอเลอกนาย ก หรอนาย ค หรอ นาย ง

T 1 3 5

T1

T3

T5

26

บรรจต าแหนงท 1


วธท า กรณท 1

ถาเลอกนาย ก บรรจต าแหนงท 1 จะเลอกบรรจต าแหนงท 2 ได 4 วธ (ข, ค, ง และ จ) กรณท 2

ถาเลอกนาย ค บรรจต าแหนงท 1 จะเลอกบรรจต าแหนงท 2 ได 3 วธ (ข, ง และ จ) กรณท 3

ถาเลอกนาย ง บรรจต าแหนงท 1 จะเลอกบรรจต าแหนงท 2 ได 3 วธ (ข, ค และ จ)

ดงนน จ านวนวธในการบรรจคนเขาท างาน 2 ต าแหนงไดทงหมด 4+3+3 = 10 วธ เขยนแผนภาพตนไมไดดงน ต าแหนงท 1 ต าแหนงท 2 ผลการเลอก

ดงนน จ านวนวธในการบรรจคนเขาท างาน 2 ต าแหนงได 10 วธ คอ กข, กค, กง, กจ, คข, คง, คจ, งข, งค, งจ

ตวอยางท 3 มขอสอบประเภทเลอกตอบ 4 ตวเลอก คอ a, b, c และ d จ านวน 10 ขอ คมเลอกตอบขอสอบไดกวธ ถา 5 ขอหลงไมเลอกขอ a และ d

แนวคด โจทยขอนตองการเลอกตอบขอสอบจ านวน 10 ขอ ดงนน การท างานในขอนม 10 ขนตอน โดยขนตอนท 1-5 คอ 5 ขอแรก เลอกตอบได 4 ตวเลอก และขนตอนท 6-10 คอ 5 ขอหลงเลอกตอบได 2 ตวเลอก

วธท า 5 ขอแรกมวธเลอกตอบในแตละขอได 4 วธ = 4×4×4×4×4 = 45 วธ 5 ขอหลงไมเลอก a และ d มวธเลอกตอบในแตละขอได 2 วธ = 2×2×2×2×2 = 25 วธ

ดงนน จ านวนวธทคมเลอกตอบขอสอบโดย 5 ขอหลงไมเลอกขอ a และ d ได 45×25 = 85 วธ

ก

ค

ง

ข ค ง จ

ข ง จ

ข ค จ

กข กค กง กจ

คข คง คจ

งข งค งจ

ก ข ค ง จ

27


ตวอยางท 4 หองปฏบตการวทยาศาสตรของโรงเรยนแหงหนงตองการสรางรหสทะเบยนอปกรณ เครองมอสอการเรยนวทยาศาสตร ซงประกอบดวยตวอกษรภาษาองกฤษ 1 ตว และเลขโดด 2 ตว ตวอยางเชน A01 อยากทราบวารหสทะเบยนอปกรณเครองมอ สอการเรยนวทยาศาสตรของโรงเรยนแหงนมไดทงหมดกรหส ถา

1. รหสทะเบยนอปกรณตองไมมเลขโดดซ ากน 2. รหสทะเบยนอปกรณมเลขโดดซ ากนได

แนวคด โจทยขอนตองการสรางรหสทะเบยน 3 ตว ไดแก ตวอกษร ภาษาองกฤษ 1 ตว และเลขโดด 2 ตว ดงนนการท างานม 3 ขนตอน

โดยตวอกษรภาษาองกฤษ คอ A-Z มทงหมด 26 ตว และเลขโดดทใช ในแสดงจ านวนทตองการ คอ 0-9

วธท า 1) รหสทะเบยนอปกรณตองไมมเลขโดดซ ากน ขนตอนท 1 รหสตวแรก เลอกอกษรได = 26 วธ (ตวอกษร A-Z )

ขนตอนท 2 รหสตวทสอง เลอกเลขโดดได = 10 วธ (เลขโดด 0-9) ขนตอนท 3 รหสตวทสาม เลอกเลขโดดได = 9 วธ (ไมซ ากบเลขโดดตวแรก) ดงนน สรางรหสทะเบยนทไมมเลขโดดซ ากนไดทงหมด 26×10×9 = 2,340 รหส

2) รหสทะเบยนอปกรณมเลขโดดซ ากน ขนตอนท 1 รหสตวแรก เลอกอกษรได = 26 วธ ขนตอนท 2 รหสตวทสอง เลอกเลขโดดได = 10 วธ

ขนตอนท 3 รหสตวทสาม เลอกเลขโดดได = 10 วธ ดงนน สรางรหสทะเบยนทมเลขโดดซ ากนไดทงหมด 26×10×10 = 2,600 รหส

ตวอยางท 5 มจดหมาย 4 ฉบบทแตกตางกน ตองการไปใสตไปรษณยซงมอย 6 ต จะมวธใส จดหมายลงในตไปรษณยไดแตกตางกนทงหมดกวธ ถา 1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) จดหมายแตละฉบบใสตไมซ ากน

3) จดหมายทกฉบบใสตเดยวกน 4) มจดหมายซองสขาวอยหนงฉบบตองใสตท 1 เทานน

แนวคด โจทยขอนตองการน าจดหมาย 4 ฉบบใสลงในตไปรษณย 6 ต ดงนน การท างานม 4 ขนตอน

28


วธท า 1) ไมมเงอนไขเพมเตม ขนตอนท 1 จดหมายฉบบท 1 เลอกใสตไปรษณยได 6 วธ (ม 6 ต)

ขนตอนท 2 จดหมายฉบบท 2 เลอกใสตไปรษณยได 6 วธ ขนตอนท 3 จดหมายฉบบท 3 เลอกใสตไปรษณยได 6 วธ ขนตอนท 4 จดหมายฉบบท 4 เลอกใสตไปรษณยได 6 วธ ดงนน จ านวนวธน าจดหมาย 4 ฉบบ ใสตไปรษณยได 6 ต ไดทงหมด 6×6×6×6 = 64 วธ

2) จดหมายแตละฉบบใสตไมซ ากน ขนตอนท 1 จดหมายฉบบท 1 เลอกใสตไปรษณยได 6 วธ (ม 6 ต) ขนตอนท 2 จดหมายฉบบท 2 เลอกใสตไปรษณยได 5 วธ ขนตอนท 3 จดหมายฉบบท 3 เลอกใสตไปรษณยได 4 วธ ขนตอนท 4 จดหมายฉบบท 4 เลอกใสตไปรษณยได 3 วธ

ดงนน จ านวนวธน าจดหมาย 4 ฉบบ ใสตไปรษณยได 6 ต โดยไมซ าตกนไดทงหมด 6×5×4×3 = 360 วธ

3) จดหมายทกฉบบใสตเดยวกน ขนตอนท 1 จดหมายฉบบท 1 เลอกใสตไปรษณยได 6 วธ (ม 6 ต) ขนตอนท 2 จดหมายฉบบท 2 เลอกใสตไปรษณยได 1 วธ ขนตอนท 3 จดหมายฉบบท 3 เลอกใสตไปรษณยได 1 วธ ขนตอนท 4 จดหมายฉบบท 4 เลอกใสตไปรษณยได 1 วธ

ดงนน จ านวนวธน าจดหมาย 4 ฉบบ ใสตไปรษณยได 6 ต โดยใสตเดยวกนไดทงหมด 6×1×1×1 = 6 วธ

4) มจดหมายซองสขาวอยหนงฉบบตองใสตท 1 เทานน ขนตอนท 1 จดหมายซองสขาว เลอกใสตไปรษณยได 1 วธ ขนตอนท 2 จดหมายฉบบท 2 เลอกใสตไปรษณยได 6 วธ (ม 6 ต) ขนตอนท 3 จดหมายฉบบท 3 เลอกใสตไปรษณยได 6 วธ (ม 6 ต) ขนตอนท 4 จดหมายฉบบท 4 เลอกใสตไปรษณยได 6 วธ (ม 6 ต)

ดงนน จ านวนวธน าจดหมาย 4 ฉบบ ใสตไปรษณยได 6 ต โดยจดหมายซองสขาว ใสในตท 1 จะใสไดทงหมด 1×6×6×6 = 216 วธ

(ใสไปแลว 1 ต เหลอ 5 ต)



(ใสตเดยวกนกบฉบบแรก)



(ใสต 1 เทานน)

29


ตวอยางท 7 ในการทอดลกเตาสองลกพรอม ๆ กน จงหาจ านวนวธทไดผลลพธเหลาน

1) จ านวนผลลพธของการทอดลกเตา 2 ลก 2) จ านวนแตมตรงกน 3) จ านวนแตมตางกน

แนวคด โจทยขอนตองการทอดลกเตาสองลกพรอมกน ดงนน การท างานม 2 ขนตอน ลกเตาลกท 1 และลกเตาลกท 2

วธท า 1) จ านวนผลลพธของการทอดลกเตา 2 ลก ขนตอนท 1 ลกเตาลกท 1 หงายแตมได 6 วธ (1, 2, 3, 4, 5 และ 6) ขนตอนท 2 ลกเตาลกท 2 หงายแตมได 6 วธ (1, 2, 3, 4, 5 และ 6) ดงนน จ านวนวธของผลลพธจากการทอดลกเตา 2 ลกพรอม ๆ กนไดทงหมด 6×6 = 36 วธ ไดแก (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

2) จ านวนแตมตรงกน ขนตอนท 1 ลกเตาลกท 1 หงายแตมได 6 วธ (1, 2, 3, 4, 5 และ 6) ขนตอนท 2 ลกเตาลกท 2 หงายแตมได 1 วธ (แตมเดยวกนกบลกท 1)

ดงนน จ านวนวธทไดผลลพธทมจ านวนแตมตรงกนไดทงหมด 6×1 = 6 วธ ไดแก (1,1), (2.2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)

3) จ านวนแตมตางกน ขนตอนท 1 ลกเตาลกท 1 หงายแตมได 6 วธ (1, 2, 3, 4, 5 และ 6) ขนตอนท 2 ลกเตาลกท 2 หงายแตมได 5 วธ (แตมทเหลอ ทไมซ าลกท 1)

ดงนน จ านวนวธทไดผลลพธทมจ านวนแตมตางกนไดทงหมด 6×5 = 30 วธ หรอ จ านวนผลลพธทงหมด - จ านวนแตมตรงกน = 36 – 6 = 30 วธ

30

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.4 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ภายใตเงอนไข)


1. ดเจพฒมเพอนสนท 5 คน เขาตองการชวนเพอนสนทไปเทยวไดกวธ ถาตองการชวนเพอนสนท อยางนอย 1 คน

วธท า ดเจพฒเลอกชวนเพอนสนทแตละคนไปเทยวได ………………….วธ (..................) ดเจพฒมวธชวนเพอนสนท 5 คนไปเทยวได .....................วธ

แต ม............วธทไมชวนใครเลย ดงนน ดเจพฒมวธชวนเพอนสนทอยางนอย 1 คนไปเทยวไดทงหมด...................วธ 2. กระเปาเดนทางใบหนง ใชกญแจทมรหสมเลข 3 หลก แตละหลกหมนไดตงแต 0-9 ถาตงรหส

กญแจเปดไดไวเพยงวธเดยว จ านวนวธตงรหสกญแจ 3 หลกทท าใหกญแจเปดไมไดเปนเทาใด วธท า..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

3. จงหาจ านวนวธสรางจ านวนโดยใช 3.1 เลขโดด 2 ถง 9 สรางจ านวนคทมสามหลก

วธท า..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

3.2 เลขโดด 1 ถง 8 สรางจ านวนคทม 4 หลก วธท า..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

31

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.4 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ภายใตเงอนไข)

4. ปเตอรวางแผนมบตร 3 คน จ านวนวธทเขาจะมบตรชาย-หญงไดแตกตางกนทงหมดกวธ ถา

4.1 ไมมเงอนไขเพมเตม วธท า........................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

4.2 ไมมบตรเปนเพศเดยวกนทง 3 คน วธท า........................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

4.3 มบตรคนแรกเปนชาย วธท า.......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

5. น าตวอกษร 5 ตว จากค าวา “TUNSAK” มาสรางค าตาง ๆ ทแตกตางกนไดกค า โดยทแตละค า ไมจ าเปนตองมความหมาย ถา

5.1 พยญชนะไมอยตดกน วธท า.......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

5.2 N ตองเปนตวแรก และพยญชนะอยตดกน วธท า.......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

32

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.5 เรอง ความหมายของแฟกทอเรยล

1.5 ความหมายของแฟกทอเรยล

บทนยาม ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล (factorial) n คอ ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n และเขยนแทนดวย n!

นนคอ n! = 1×2×3×…×(n-1)×n หรอ n! = n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1 สญลกษณ “n!” อานวา “แฟกทอเรยลเอน” หรอ “เอนแฟกทอเรยล”

บทนยามของ n! กลาวถงเฉพาะ n ทเปนจ านวนเตมบวก แตบางครงเรามความจ าเปนตองใช 0! จงตองก าหนดคาไวดวย โดยก าหนดให 0! = 1 ดวยเหตผลดงน

เนองจาก n! = n×(n-1)×(n-2)×… ×3×2×1

(n-1)! ดงนน n! = n(n-1)! ถา n = 1 จะได 1! = 1(1-1)! 1 = 1×0! ( 1 เปนเอกลกษณการคณของจ านวนเตม)

ดงนน 1 = 0!

ตวอยาง 1! = 1 2! = 2×1 = 2 3! = 3×2×1 = 6 4! = 4×3×2×1 = 24 5! = 5×4×3×2×1 = 120

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 5!8!

วธท า 5!8! =

1234512345678

= 8×7×6 = 336

หมายเหต การหาคาของ 5!8!

สามารถท าไดโดยใชความรเกยวกบแฟกทอเรยลไดอกวธหนงคอ

5!8!

= 5!

5!678 = 8×7×6 = 336 1

ในบางครงเราไมจ าเปนตองกระจายถง 1 เชน 8!= 8×7×6×5!

1

33

ขอควรระวง 1. 5!+4! ≠ (5+4)! 2. 6!×3! ≠ (6×3)!

3. 7!3! ≠ !

73

4. (-3)! ไมมนยาม เพราะ -3 I-

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.5 เรอง ความหมายของแฟกทอเรยล

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 8!

4!6!

วธท า 8!

4!6! = 6!78

6!1234

= 78

1234

= 73

ตวอยางท 3 จงหาคาของ 6!-5!

วธท า 6!-5! = 6×5!-5! = (6-1)×5! = 5×5! = 5×5×4×3×2×1 = 600

ใชการดงตวรวม

(6-1)×5! = 6×5!-5!

34

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.5 เรอง ความหมายของแฟกทอเรยล

จดประสงค นกเรยนสามารถบอกนยาม ความหมายของแฟกทอเรยล n ได ค าชแจง จงหาคาของ

1. 7! …………………………………………………………………………………………………………………………………

2. 3!6! …………………………………………………………………………………………………………………………………

3. (4-2)!(8-4)! …………………………………………………………………………………………………………………………………

4. 1!2!3! …………………………………………………………………………………………………………………………………

5. 5!×4! …………………………………………………………………………………………………………………………………

6. 6!3!

………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

7. 8!11!

………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

8. 4!

5!3!

………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

9. 4!+3! …………………………………………………………………………………………………………………………………

10. 5!3!8!

………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

35

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.6 เรอง แฟกทอเรยล

1.6 แฟกทอเรยล (factorial) ตวอยางท 1 จงเขยนผลคณตอไปนใหอยในรปแฟกทอเรยล

1) 12×11×10×…×3×2×1 2) 9×8×7×6 3) n(n-1)(n-2)(n-3) 4) n(n+1)(n+2)…(n+r) วธท า 1) 12×11×10×…×3×2×1 = 12!

2) 9×8×7×6 = 5!

5!6789 = 5!9!

3) n(n-1)(n-2)(n-3) = 4)!-(n

4)!-3)(n-2)(n-1)(n-n(n = 4)!-(nn!

4) n(n+1)(n+2)…(n+r) = (n+r)(n+r-1)( n+r-2)…(n+2)(n+1)n

= 1)!-(n

1)!-1)n(n2)(n2)...(n-r1)(n-rr)(n(n

= 1)!-(nr)!(n

ตวอยางท 2 จงเขยนจ านวนในขอตอไปนในรปซงไมมแฟกทอเรยล

1) 1)!-(n2)!(n 2)

1)!2)(n-(n2)!1)(n(n

วธท า 1) 1)!-(n2)!(n =

1)!-(n1)!-1)n(n2)(n(n

= (n+2)(n+1)n

2) 1)!2)(n-(n

2)!1)(n(n

= 1)!(n2)!-(n

1)!2)(n(n2)!-1)(n-(n

= (n-1)(n+2)

ตวอยางท 3 จงหาคาของ n จากสมการตอไปน

1) 2)!-(n

n! = 380

2) 3)!-(n

n! = 720

3) 3)!-(n1)!-(n = 20

36

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใบความรท 1.6 เรอง แฟกทอเรยล

วธท า 1) 2)!-(n

n! = 380

2)!-(n2)!-1)(n-n(n = 380

n(n-1) = 380 n2-n = 380

n2-n-380 = 0 (n-20)(n+19) = 0

จะได n = 20 หรอ -19 จากนยาม n เปนจ านวนเตมบวก -19 จงใชไมได ดงนน n = 20 ขอสงเกต จากตวอยางขางตน n(n-1) = 380 แสดงวาจ านวนสองจ านวนเรยงกนคณกนได 380 เขยนไดคอ

n(n-1) = 20×19 จะได n = 20

2) 3)!-(n

n! = 720

3)!-(n

3)!-2)(n-1)(n-n(n = 720

n(n-1)(n-2) = 10×9×8 n(n-1)(n-2) = 10×(10-1)×(10-2)

ดงนน n = 10

3) 3)!-(n1)!-(n = 20

3)!-(n

3)!-2)(n-1)(n-(n = 20

(n-1)(n-2) = 5×4

n-1 = 5 หรอ n-2 = 4 จะได n = 6

37

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.6 เรอง แฟกทอเรยล

จดประสงค นกเรยนสามารถน าความรเกยวกบแฟกทอเรยล n ไปใชในการแกปญหาได ค าชแจง จงแสดงวธท า 1. จงเขยนผลคณตอไปนใหอยในรปแฟกทอเรยล

1.1) 15×14×13×…×3×2×1 ………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.2) 5×6×7×8×9 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3) 20×19×18 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.4) n(n+1)(n+2)(n+3) ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.5) n(n-1)(n-2)…(n-k-1) ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงเขยนจ านวนในขอตอไปนใหอยในรปซงไมมแฟกทอเรยล

2.1

n!2)!(n

………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2)

1)!(nn!

………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3)

6)!-(2k3)!-(2k

………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

38

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะท 1.6 เรอง แฟกทอเรยล

จดประสงค นกเรยนสามารถน าความรเกยวกบแฟกทอเรยล n ไปใชในการแกปญหาได ค าชแจง จงแสดงวธท า 3. จงหาคาของ n จากสมการตอไปน

3.1) 2)!-(n

n! = 72

………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

3.2) 1)!-(n1)!(n = 420

………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

39

ไมสง…ตองเขยง....ไมเกง....ตองขยน

แบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปน ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ค าชแจง 1) แบบทดสอบหลงเรยนชดท 1 ใชทดสอบความรของนกเรยนหลงเรยน เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ จ านวน 10 ขอ 2) ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองทสดเพยงค าตอบเดยว แลวท าเครองหมาย × ลงใน กระดาษค าตอบ 3) ใชเวลาในการทดสอบ 20 นาท

1. ในการนงเรอขามฝากแมน าเจาพระยาทมเรอททาน าอย 5 ล า จ านวนวธนงเรอขามฝากแมน าน ทงไปและกลบไดกวธ ถาขาไปและขากลบลงเรอล าตางกน ก. 5 วธ

ข. 10 วธ ค. 20 วธ ง. 25 วธ

2. ในการเลนเปายงชบมผเลน 2 คน แตละคนจะออกมอแทนสงใดสงหนงใน 3 สงตอไปน คอ คอน กรรไกร กระดาษ จ านวนวธทงหมดในการออกมอตรงกบขอใด ก. 3 วธ

ข. 6 วธ ค. 9 วธ ง. 12 วธ

3. ตองการเรยงค าใหมทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จากตวอกษรค าวา math ไมจ าเปนตองม ความหมาย โดยตองขนตนดวยสระไดทงหมดกวธ

ก. 24 วธ ข. 20 วธ ค. 12 วธ ง. 6 วธ

4. มปายเขยนหมายเลขก ากบไวอย 5 ใบ คอ 1, 3, 5, 7 และ 8 ถาน าแผนปายดงกลาวมาเรยงเปน จ านวน 3 หลกจะไดจ านวนทงหมดกจ านวน

ก. 20 วธ ข. 25 วธ ค. 60 วธ ง. 100 วธ

40

5. นายณฐมเพอน 4 คน เขาตองการชวนเพอนไปดหนงไดกวธ ถาตองการชวนเพอนอยางนอย 1 คน ก. 4 วธ ข. 8 วธ ค. 15 วธ ง. 16 วธ

6. ในการท าแบบทดสอบ 20 ขอ แตละขอมตวเลอก 4 ขอ นกเรยนจะมวธเลอกตอบขอสอบ ดงกลาวไดทงหมดกวธ ก. 420 วธ

ข. 80 วธ ค. 4 วธ ง. 204 วธ

7. ครมหนงสอทแตกตางกน 3 เลมตองการแจกหนงสอทงหมดใหนกเรยน 5 คน โดยไมใหซ าคนเดม ครจะมวธแจกหนงสอใหนกเรยนไดทงหมดกวธ

ก. 243 วธ ข. 125 วธ

ค. 60 วธ ง. 15 วธ

8. ลกเสอ 2 คน และเนตรนาร 4 คน เขาแถวเรยงหนากระดานโดยลกเสอตองยนหวแถวและ ทายแถวเสมอ จะมวธยนเขาแถวไดทงหมดกวธ

ก. 72 วธ ข. 48 วธ ค. 24 วธ ง. 12 วธ

9. 101)!(n

n!

มคาตรงกบขอใด

ก. 10 ข. 9 ค. 8 ง. 7

10. 6!2!8! มคาตรงกบขอใด

ก. 64 ข. 52 ค. 36 ง. 28

41

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1 เรอง แผนภาพตนไม


1. นกเรยนคนหนงจะตองเลอกเรยนวชาเพมเตมการงานอาชพและภาษาองกฤษอยางละ 1 รายวชา ถาโรงเรยนก าหนดสอนวชาเพมเตมการงานอาชพให 3 รายวชา และวชาภาษา องกฤษ 3 รายวชา จ านวนวธทนกเรยนคนนจะเลอกเรยนวชาเพมเตมทงวชาการงานอาชพและ ภาษาองกฤษไดแตกตางกนทงหมดกวธ

วธท า สมมตใหวชาเพมเตมการงานอาชพ คอ พ1, พ2 และ พ3 และสมมตใหวชาเพมเตมภาษาองกฤษ คอ อ1, อ2 และ อ3

เขยนแผนภาพตนไมไดดงน การงานอาชพ ภาษาองกฤษ

ดงนน จ านวนวธทนกเรยนคนนจะเลอกเรยนวชาเพมเตมทงวชาการงานอาชพและ ภาษาองกฤษ เทากบ 3×3 = 9 วธ

พ1

พ2

อ1

อ2

อ3

อ1

อ2

อ3

อ1

อ2

อ3

พ3

94

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1 เรอง แผนภาพตนไม

2. เดกคนหนงตองการเลอกซอไอศกรมทรานไอศกรมแหงหนง โดยทางรานมโคนและถวยใหเลอก ใสไอศกรมไดเพยงอยางละ 1 ลกเทานน ซงมรสวนลา รสมะนาว รสชอกโกแลต และรสสตอเบอร ทเดกคนนชอบจ านวนวธทเดกคนนจะเลอกซอไอศกรมไดแตกตางกนทงหมดกวธ


3. จากเมอง ก ไปยงเมอง ข มเสนทางการเดนทางได 3 วธ คอ รถยนต รถไฟ และเครองบน จากเมอง ข ไป เมอง ค มเสนทางการเดนทางได 2 วธ คอ รถยนตและเรอ จ านวนวธทจะ เดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ค โดยผานเมอง ข เปนเทาใด


ดงนน จ านวนวธทจะเดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ค โดยผานเมอง ข เทากบ 3×2 = 6 วธ

ดงนน จ านวนวธทเดกคนนจะเลอกซอไอศกรมไดแตกตางกนทงหมดเทากบ 2×4 = 8 วธ

โคน

ถวย

วนลา

มะนาว ชอกโกแลต

สตอเบอร

วนลา

มะนาว ชอกโกแลต

สตอเบอร

จากเมอง ก ไปเมอง ข จากเมอง ข ไปเมอง ค

รถยนต รถยนต

เรอ

รถไฟ รถยนต

เรอ

เครองบน รถยนต

เรอ

95

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1 เรอง แผนภาพตนไม

4. มนก 2 ตว เลอกใสกรงนก 5 กรง ไดแตกตางกนทงหมดกวธ วธท า สมมตใหนก 2 ตว คอ น1 และ น2 และสมมตใหกรงนก 5 กรง คอ ก1, ก2, ก3, ก4 และ ก5

เขยนแผนภาพตนไมไดดงน นก กรงนก

ดงนน จ านวนวธทจะเลอกนกใสกรงไดแตกตางกนทงหมดเทากบ 2×5 = 10 วธ

น1

น2

ก3

ก5

ก1

ก2

ก4

ก3

ก5

ก1

ก2

ก4

94

96

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การคณ)


1. ในการรบสมครพนกงาน 2 ต าแหนง เปนพนกงานหญง 1 ต าแหนง พนกงานชาย 1 ต าแหนง ถาผสมครเปนหญง 4 คน เปนชาย 5 คน จะมจ านวนวธรบพนกงานแบบตาง ๆ ไดกวธ

วธท า เลอกรบพนกงานหญงได 4 วธ เลอกรบพนกงานชายได 5 วธ ดงนน จ านวนวธรบพนกงานแบบตาง ๆ ได 4×5 = 20 วธ

2. ถา A = {1, 3, 5, 7, 9} จงหาวาจะสามารถน าสมาชกในเซต A มาสรางเปนจ านวนเตมซงม สามหลก โดยทแตละหลกใชเลขโดดไมซ ากนไดทงหมดกจ านวน

วธท า เลอกเลขโดดในหลกรอยได 5 วธ เลอกเลขโดดในหลกสบได 4 วธ

เลอกเลขโดดในหลกหนวยได 3 วธ ดงนน สรางจ านวนเตมทมสามหลกโดยทแตละหลกใชเลขโดดไมซ ากนได ทงหมด 5×4×3 = 60 จ านวน

3. บตรเขาชมภาพยนตรของโรงหนงแหงหนงก าหนดหมายเลขทนงเขาชมโดยใชหมายเลข 1-20 และตวอกษรภาษาองกฤษ A – P ตวอยางเชน 1A จงหาจ านวนทนงทงหมดของโรงหนงแหงน

วธท า เลอกหมายเลขได 20 วธ เลอกตวอกษรได 15 วธ ดงนน จ านวนทนงทงหมดของโรงหนง 20×15 = 300 ทนง

4. จงน าตวอกษรจากค าวา FATHER มาจดเปนค าใหม โดยไมตองค านงถงความหมาย จะจด เปนค าทแตกตางกนทงหมดไดกวธ วธท า เลอกตวอกษรวางต าแหนงท 1 ได 6 วธ

เลอกตวอกษรวางต าแหนงท 2 ได 5 วธ เลอกตวอกษรวางต าแหนงท 3 ได 4 วธ เลอกตวอกษรวางต าแหนงท 4 ได 3 วธ เลอกตวอกษรวางต าแหนงท 5 ได 2 วธ เลอกตวอกษรวางต าแหนงท 5 ได 1 วธ ดงนน จ านวนวธเลอกตวอกษรจากค าวา FATHER มาจดเปนค าใหมได

97

ทงหมด 6×5×4×3×2×1 = 720 วธ

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การคณ)

5. ในการสอบวชาคณตศาสตรซงมขอสอบแบบผด- ถกอย 10 ขอ นกเรยนจะเลอกตอบขอสอบทง 10 ขอไดทงหมดกวธ

วธท า เลอกตอบขอสอบขอท 1 ได 2 วธ เลอกตอบขอสอบขอท 2 ได 2 วธ เลอกตอบขอสอบขอท 3 ได 2 วธ เลอกตอบขอสอบขอท 4 ได 2 วธ เลอกตอบขอสอบขอท 5 ได 2 วธ

เลอกตอบขอสอบขอท 6 ได 2 วธ เลอกตอบขอสอบขอท 7 ได 2 วธ เลอกตอบขอสอบขอท 8 ได 2 วธ เลอกตอบขอสอบขอท 9 ได 2 วธ

เลอกตอบขอสอบขอท 10 ได 2 วธ ดงนน จ านวนวธจะเลอกตอบขอสอบทง 10 ขอไดทงหมด

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 210 วธ

96 98

ดงนน สรางรหสโดยทแตละหลกไมใชตวอกษรซ ากนไดทงหมด 4+12+24+24 = 64 แบบ

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ เฉลยแบบฝกทกษะท 1.3 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การบวก)

จดประสงค นกเรยนสามารถใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบในการหาจ านวนผลลพธ ทอาจเกดขนของเหตการณตาง ๆ ได ค าชแจง ใหนกเรยนหาจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 1. มเสอ 6 ตว เปนสขาว 4 ตว และสฟา 2 ตว มกางเกง 5 ตว เปนสขาว 1 ตว และสฟา 4 ตว จะมวธเลอกชด 1 ชด ทมเสอและกางกางสเดยวกนไดทงหมดกวธ

วธท า ชดสขาว เลอกเสอสขาวได 4 วธ เลอกกางเกงสขาวได 1 วธ

จ านวนวธเลอกชดสขาวไดทงหมด 4×1 = 4 วธ ชดสฟา เลอกเสอสฟาได 2 วธ เลอกกางเกงสฟาได 4 วธ

จ านวนวธเลอกชดสฟาไดทงหมด 2×4 = 8 วธ ดงนน จ านวนวธเลอกชด 1 ชด ทมเสอและกางกางสเดยวกนไดทงหมด 4+8 = 12 วธ

2. ถาใชตวอกษร A, B, C และ D ในการสรางรหส 1 หลก หรอ 2 หลก หรอ 3 หลก หรอ 4 หลก โดยทแตละหลกไมใชตวอกษรซ ากน จะสรางรหสไดกแบบ

วธท า กรณท 1 สรางรหส 1 หลก เลอกตวอกษรได 4 วธ

สรางรหส 1 ตวไดทงหมด 4 แบบ กรณท 3 สรางรหส 3 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได 4 วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได 3 วธ เลอกตวอกษรตวท 3 ได 2 วธ

สรางรหส 3 ตว ไดทงหมด 4×3×2 = 24 แบบ

กรณท 2 สรางรหส 2 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได 4 วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได 3 วธ

สรางรหส 2 ตว ไดทงหมด 4×3 = 12 แบบ กรณท 4 สรางรหส 4 หลก เลอกตวอกษรตวท 1 ได 4 วธ เลอกตวอกษรตวท 2 ได 3 วธ เลอกตวอกษรตวท 3 ได 2 วธ

เลอกตวอกษรตวท 4 ได 1 วธ

สรางรหส 4 ตว ไดทงหมด 4×3×2×1 = 24 แบบ

99

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ เฉลยแบบฝกทกษะท 1.3 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (การบวก)

3. ในกลองใบหนงมบตร 10 ใบ แตละใบมหมายเลข 1 ตว คอ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ถาหยบบตรจากกลองมา 2 ใบ โดยหยบครงละ 1 ใบ โดยไมใสคนไป จะสามารถเลอกหยบบตร เหลานไดกวธ โดยผลรวมของหมายเลขบตรทงสองใบเปนจ านวนค

วธท า กรณท 1 จ านวนคเกดจาก จ านวนค+จ านวนค

หยบบตรใบท 1 ได 5 วธ หยบบตรใบท 2 ได 5 วธ

หยบบตรไดทงหมด 5×5 = 25 วธ

กรณท 2 จ านวนคเกดจาก จ านวนค+จ านวนค

หยบบตรใบท 1 ได 5 วธ หยบบตรใบท 2 ได 5 วธ

หยบบตรไดทงหมด 5×5 = 25 วธ

ดงนน สามารถเลอกหยบบตรโดยทผลรวมของหมายเลขบตรทงสองใบเปนจ านวนค ไดทงหมด 25+25 = 50 วธ

4. น าตวเลขโดด 0 – 9 มาสรางเปนจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนไดทงหมด กจ านวน

วธท า กรณท 1 จ านวนคทหลกหนวยเปน 0 เลอกเลขโดดหลกหนวยได 1 วธ

เลอกเลขโดดหลกสบได 9 วธ เลอกเลขโดดหลกรอยได 8 วธ เลอกเลขโดดหลกพนได 7 วธ

จ านวนวธสรางจ านวนคทหลกหนวยเปน 0 ได 1×9×8×7 = 504 จ านวน กรณท 2 จ านวนคทหลกหนวยไมเปน 0

เลอกเลขโดดหลกหนวยได 4 วธ เลอกเลขโดดหลกพนได 8 วธ เลอกเลขโดดหลกรอยได 8 วธ เลอกเลขโดดหลกพนได 7 วธ

จ านวนวธสรางจ านวนคทหลกหนวยไมเปน 0 ได 4×8×8×7 = 1,792 จ านวน ดงนน สรางเปนจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากนได 1,792+504 = 2,296 จ านวน

100

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ เฉลยแบบฝกทกษะ ชดท 1.4 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ภายใตเงอนไข)


3. ดเจพฒมเพอนสนท 5 คน เขาตองการชวนเพอนสนทไปเทยวไดกวธ ถาตองการชวนเพอนสนท อยางนอย 1 คน

วธท า ดเจพฒเลอกชวนเพอนสนทแตละคนไปเทยวได 2 วธ (ชวน,ไมชวน) ดเจพฒมวธชวนเพอนสนท 5 คนไปเทยวได 2×2×2×2×2 = 32 วธ

แต ม 1 วธทไมชวนใครเลย ดงนน ดเจพฒมวธชวนเพอนสนทอยางนอย 1 คนไปเทยวไดทงหมด 32-1 = 31 วธ

4. กระเปาเดนทางใบหนง ใชกญแจทมรหสมเลข 3 หลก แตละหลกหมนไดตงแต 0-9 ถาตงรหสกญแจเปดไดไวเพยงวธเดยว จ านวนวธตงรหสกญแจ 3 หลกทท าใหกญแจเปดไมไดเปนเทาใด

วธท า หลกท 1 เลอกตงรหสได 10 วธ หลกท 2 เลอกตงรหสได 10 วธ หลกท 3 เลอกตงรหสได 10 วธ

เลอกตงรหสกญแจไดทงหมด 10×10×10 = 1,000 วธ เปนรหสทเปดไดม 1 วธ ดงนน จ านวนเลขรหส 3 หลกทท าใหกญแจเปดไมไดเทากบ 1,000 - 1 = 999 วธ

3. จงหาจ านวนวธสรางจ านวนโดยใช 3.1 เลขโดด 2 ถง 9 สรางจ านวนคทมสามหลก

วธท า เลอกเลขโดดในหลกหนวยได 4 วธ เลอกเลขโดดในหลกสบได 8 วธ เลอกเลขโดดในหลกรอยได 8 วธ ดงนน สรางจ านวนคไดทงหมด 4×8×8 = 256 จ านวน

3.2 เลขโดด 1 ถง 8 สรางจ านวนคทม 4 หลก โดยทแตละหลกไมซ ากน วธท า เลอกเลขโดดในหลกหนวยได 4 วธ

เลอกเลขโดดในหลกสบได 7 วธ เลอกเลขโดดในหลกรอยได 6 วธ เลอกเลขโดดในหลกพนได 5 วธ

ดงนน สรางจ านวนค โดยทแตละหลกไมซ ากนไดทงหมด 4×7×6×5 = 840 จ านวน

101

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แบบฝกทกษะ ชดท 1.4 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ภายใตเงอนไข)

4. ปเตอรวางแผนมบตร 3 คน จ านวนวธทเขาจะมบตรชาย-หญงไดแตกตางกนทงหมดกวธ ถา

4.1 ไมมเงอนไขเพมเตม วธท า บตรคนแรกมได 2 วธ

บตรคนทสองมได 2 วธ บตรคนทสามมได 2 วธ ดงนน ปเตอรมบตรได 2×2×2 = 8 แบบ

4.2 ไมมบตรเปนเพศเดยวกนทง 3 คน วธท า มบตรทง 3 คนเปนเพศเดยวกนมได 2 วธ ดงนนไมมบตรเปนเพศเดยวกนทง 3 คน เทากบ 8-2 = 6 แบบ 4.3 มบตรคนแรกเปนหญง วธท า บตรคนแรกเปนหญงมได 1 วธ

บตรคนทสองมได 2 วธ บตรคนทสามมได 2 วธ ดงนน ปเตอรมบตรได 1×2×2 = 4 แบบ

5. น าตวอกษร 5 ตว จากค าวา “TUNSAK” มาสรางค าตาง ๆ ทแตกตางกนไดกค า โดยทแตละค า ไมจ าเปนตองมความหมาย ถา

5.1 พยญชนะไมอยตดกน วธท า ตวแรกเลอกพยญชนะได 4 วธ

ตวทสองเลอกสระได 2 วธ ตวทสามเลอกพยญชนะได 3 วธ ตวทสเลอกสระได 1 วธ ตวทหาเลอกพยญชนะได 2 วธ ดงนน สรางค าทพยญชนะไมอยตดกนไดทงหมด 4×2×3×1×2 = 48 ค า

5.2 N ตองเปนตวแรก และพยญชนะอยตดกน วธท า ตวแรกเลอกพยญชนะ N ได 1 วธ ตวทสองเลอกพยญชนะได 3 วธ

ตวทสามเลอกพยญชนะได 2 วธ ตวทสเลอกสระได 2 วธ ตวทหาเลอกสระได 1 วธ

ดงนน สรางค าท N ตองเปนตวแรก และพยญชนะอยตดกนไดทงหมด 1×3×2×2×1 = 12 ค า

102

เอกสารประกอบการเรยนการสอน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ เฉลยแบบฝกทกษะท 1.5 เรอง ความหมายของแฟกทอเรยล

จดประสงค นกเรยนสามารถบอกนยามและความหมายของแฟกทอเรยล n ได ค าชแจง จงหาคาของ

11. 7! วธท า 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5,040

12. 3!6! วธท า 3!6! = 3×2×1×6×5×4×3×2×1 = 4,320

13. (4-2)!(8-4)! วธท า (4-2)!(8-4)! = 2!4! = 2×1×4×3×2×1 = 48

14. 1!2!3! วธท า 1!2!3! = 1×2×1×3×2×1 = 12

15. 5!×4! วธท า 5!×4! = (5×4×3×2×1)×(4×3×2×1) = 2,880

16. 6!3!

วธท า 6!3! =

3!4563!

= 456

1

= 120

1

17. 8!11!

วธท า 8!11! =

8!8!91011 = 11×10×9 = 990

18. 4!

5!3!

วธท า 4!

5!3! = 4!

1234!5 = 5×3×2×1 = 30

19. 4!+3! วธท า 4!+3! = 4×3!+3! = 5×3! = 5×3×2×1 = 30

20. 5!3!8!

วธท า 5!3!8! =

1235!5!678 =

123678 = 56

103


เฉลยแบบฝกทกษะท 1.6 เรอง แฟกทอเรยล

จดประสงค นกเรยนสามารถน าความรเกยวกบแฟกทอเรยล n ไปใชในการแกปญหาได ค าชแจง จงแสดงวธท า 1. จงเขยนผลคณตอไปนใหอยในรปแฟกทอเรยล

1.1) 15×14×13×…×3×2×1 ตอบ 15!

1.2) 5×6×7×8

วธท า 5×6×7×8×9 = 4!

4!5678 = 4!8!

1.3) 20×19×18

วธท า 20×19×18 = 17!

17!181920 = 17!20!

1.4) n(n+1)(n+2)(n+3)

วธท า n(n+1)(n+2)(n+3) = 1)!-(n

1)!-n(n1n2)3)(n(n

=

1)!-(n3)!(n

1.5) n(n-1)(n-2)…(n-k-1)

วธท า n(n-1)(n-2)…(n-k-1) =

2)!-k-(n2)!-k-1)(n-k-2)...(n-1)(n-n(n

= 2)!-k-(nn!

2. จงเขยนจ านวนในขอตอไปนใหอยในรปซงไมมแฟกทอเรยล

2.1)

n!2)!(n

วธท า n!

2)!(n = n!

n!1n2)(n = (n+2)(n+1)

2.2) 1)!(n

n! วธท า

1)!(nn!

= 1)!-(n1)!-n(n = n

2.3) 6)!-(2k3)!-(2k

วธท า 6)!-(2k3)!-(2k =

6)!-(2k6)!-5)(2k-4)(2k-3)(2k-(2k = (2k-3)(2k-4)(2k-5)

104


เฉลยแบบฝกทกษะท 1.6 เรอง แฟกทอเรยล

3. จงหาคาของ n จากสมการตอไปน

3.1) 2)!-(n

n! = 72

วธท า 2)!(n

n!

= 72

2)!-(n

2)!-1)(n-n(n = 72

n(n-1) = 72 n(n-1) = 9×8 ดงนน n = 9

3.2) 1)!-(n1)!(n = 420

วธท า 1)!-(n

1)!(n = 420

1)!-(n1)!-1)n(n(n = 420

(n+1)n = 21×20 ดงนน n = 20

105

ไมสง…ตองเขยง....ไมเกง....ตองขยน

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความนาจะเปน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ขอ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ค าตอบ ค ค ก ง ก ข ค ค ง ก

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปน ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ขอ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ค าตอบ ค ค ง ก ค ก ค ข ก ง

สารบัญ - หน้าแรก · ค 6.1 ม.4-6/5...

Documents

Transcript of สารบัญ - หน้าแรก · ค 6.1 ม.4-6/5...