บทท 8 พลศาสตรของวตถแขงเกรง 1. การเคลอนทแบบหมน

วตถทมระยะระหวางอนภาคทประกอบกนเปนวตถมคาคงทเสมอ เมอถกแรงกระทากยงไมมการเปลยนระยะหรอรปราง เราเรยกวตถทมลกษณะดงกลาววา วตถแขงเกรง Rigid Body และวตถมการเคลอนทหมนไปรอบแกนใด ๆ สามารถแบงพจารณาไดเปน แกนหมนอยกบท เชน การหมนรอบแกนของลอและเพลา การหมนเคลอนทในทศขนานกบทางเดม เชนการหมนลอรถยนต แกนหมนตามไปดวย เชน การหมนของลกขาง

1.1 การเคลอนทเปนวงกลมกบการกระจดเชงมม นยามไววา การกระจดเชงมม มคาเทา

กบระยะทเคลอนทไดตามเสนรอบวง หารดวยรศมของวงกลม radianr

S=θ มหนวยเปน เรเดยน

θ

1.2 ความเรวเชงมม นยามไววา ความเรวเชงมม มคาเทา

กบ การเปลยนแปลงระยะกระจดในหนงหนวยเวลา secradiant /∆

∆= θω มหนวยเปน เรเดยนตอวนาท θ

y

x

Physics 825113

1

ความเรวเชงมมขณะใด ๆ ไดวา secradiantdd

tt/lim

0

θθω =∆∆=

→∆

ความเรวเชงมมมทศตงฉากกบระนาบของการหมน มทศดงน

θdr

ωv

vvωv

ωv

จากสมการ rS=θ ทาการอนพนธไดวา θθ rddSr

dSd == ; จากความสมพนธ dt

dSv= แทนดวยสมการขางตนไดวา ωθ rdt

rdv == สามารถเขยนในรปเวกเตอรไดดงน

rvvr vvvvvv ×=×= ωω ; โดยท อตราเรวเชงมม สมพนธกบความถและคาบดงสมการ

fT

ππω 22 ==

Physics 825113

2

1.3 ความเรงเชงมม

2ωv

1ωv

1vv

2vv

r r

นยามไววา ความเรงเชงมม มคาเทากบ การเปลยนแปลงความเรวเชงมมในหนงหนวยเวลา

212 /secradiantt ∆∆=∆

−= ωωω

α มหนวยเปน เรเดยนตอวนาท2

และความเรงเชงมมขณะใดขณะหนง คอ 2

0/lim secradiantd

dtt

ωωα =∆∆=

→∆

จากสมการ tddωα = สามารถเขยนไดใน 2 รปแบบสมการ คอ

2

2)(

)(

tdd

tdd

tdd

tdd

tdd

tdd

dd

tdd

θθωα

θωθθωωα

===

===

จากสมการความเรง tdvdavv = สามารถแกสมการไดวา

CTaavra

tdrdrtd

da

tdrd

tdvda

vvvvvvv

vvvvv

vvvv

+=×+×=

×+×=

×==

)()(

)()(

)(

ωα

ωω

ω

จากการแกสมการ จะเหนไดวา เมอมการเคลอนทแบบหมน จะทาใหเกดความเรง 2 พจน คอ ความเรงในแนวสมผสกบการเคลอนท

Tav และ

ความเรงเขาสศนยกลาง Cav

Physics 825113

3

2. โมเมนตความเฉอยและกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน พจารณาอนภาคมวล ของวตถซงอยหางจากจดหมนระยะ ถกแรง

ภายนอก im

ir

iF กระทาเปนมม

iθ กบ และถกแรงภายในกระทาเนองจาก

อนภาคตาง ๆ ของวตถขนาด ทามม ir

if

iφ กบ ทาใหเกดการเคลอนทดวย

ความเรงเชงเสน ดงสมการ ir

ia

iiiamfF

ivvv

=+ วตถเมอโดนแรงกระทา จะเคลอนทหมน

รอบจดกาเนด ดงนน แรงกระทาในแนวสมผสกบแนวทางการเคลอนท คอ

o

iφ

iθ

ifv

iFv

im

irv

o

αφθ iiTiiiiii rmamfF ==+ sinsin พจารณาแรงในแนวสศนยกลาง คอ

riiiiii amFf =− θφ coscos คณสมการแรงในแนวสมผสดวย จะไดวา

ir

αφθ 2sinsin iiiiiiii rmrfrF =+ ผลรวมของแรงลพธภายใน 0sin =Σ iiirf φ เปนศนย ไดวา

αθ 2sin iiiii rmrF Σ=Σ α)( 2

iii rmΣ=ΣΓ เทอม เรยกวา โมเมนตความเฉอยของวตถ (Moment of inertia) 2

iirmΣ I vสามารถเขยนใหมไดวา αα vII =Γ=ΣΓ ;

Physics 825113

4

2.1 การคานวณหาคาโมเมนตความเฉอยของวตถแขงเกรง ถาทราบตาแหนงของมวลยอยจากแกนหมนจะหาจากสมการ

2iirmI Σ=

หรออาจทราบคาโมเมนตของแรงหรอทอรคและความเรงเชงมมหาไดโดยตรงจากสมการ

αΓ=I

ในกรณทวตถมลกษณะเปนรปทรงเรขาคณต ใชแคลคลสเขาชวย ∫=∆Σ=

→∆dmrmrI

t

220

lim จาก dmdV ,,ρ คอความหนาแนน ปรมาตร และมวล ตามลาดบ จะไดวา

∫= dVrI ρ2 ในกรณทวตถเปนเนอเดยว ρ มคาคงทอาจเขยนไดวา ∫= dVrI 2ρ

2.2 รศมไจเรชน พจารณา วตถจะมรปรางอยางไรกตาม มองภาพรวมวามโมเมนต

ความเฉอย ทมลกษณะเหมอนวตถกอนเลก ๆ หมนรอบแกนหมนทกาหนดเปนระยะ k แลวยงคงมคาโมเมนตความเฉอยเทาเดม เราเรยกระยะจากแกนหมน k นวารศมไจเรชน (radius of gyration) เขยนไดวา

2mkI =

mIk =

Physics 825113

5

2.3 ทฤษฎแกนตงฉาก พจารณาวตถมวล เคลอนทหมนรอบแกน เปนระยะ ดงรป

จากทฤษฎโมเมนตความเฉอยจะไดวา โมเมนตความเฉอยรอบแกน มความสมพนธกบโมเมนตความเฉอยรอบแกน และ

dm z r

z

x y ดงน

dVydVxI

dVyxI

dVrI

z

z

z

∫+∫=∫ +=∫=

22

22

2

)(

ρρ

ρ

ρ

จะไดสมการวา

yxzIII +=

x

xyy

z

dm

2.4 ทฤษฎแกนขนาน พจารณาวตถมวล เคลอนทรอบแกนหมน และจดศนยกลางมวลของวตถหางจากแกนหมนเปนระยะ a ดงรป

m o

.CM

o.CM

x

yz

Physics 825113

6

o

.CM

x

y

a

.CMx x′

y′

.CMy

),( yxdm

r TOP Vi EW

พจารณา อนภาคมวล หางจากแกนหมนเปนระยะ r ดงรป dm

โมเมนตความเฉอยของอนภาค รอบแกน คอ dm z

∫++∫ ′+∫ ′+∫ ′+′=

∫ ′++∫ ′+=∫+∫=

∫ +=∫=

dmyxdmyydmxxdmyxI

dmyydmxxI

dmydmxI

dmyxI

dmrI

CMCMCMCM

CMCM

)(22])()[(

)()(

)(

2.

2...

22

2.

2.

22

22

2

จากนยาม ของจดศนยกลางมวล 0=∫ ′=∫ ′ dmydmx จะไดวา ∫++∫ ′+′= dmyxdmyxI

CMCM)(])()[( 2.

2.

22 2

.maII

CM+=

ดงนน โมเมนตความเฉอยของวตถ จงสามารถหาไดจาก 2 พจน คอ โมเมนตความเฉอยรอบจดศนยกลางมวล กบ มวลคณระยะ2จากแกนหมน

Physics 825113

7

โมเมนตความเฉอยของวตถรปทรงเรขาคณต

2MRICM

= )( 22

212

1 RRMICM

+= 221MRI

CM=

231MLI

CM=2

121 MLI

CM=

)( 22121 baMI

CM+=2

121 MbI

CM=

252MRI

CM= 2

32MRI

CM=

Thin spherical shellรศม R

Solid sphere รศม R

Long thin rod ยาว L

Long thin rod ยาว L

Rectangular plate กวาง a ยาว b

Rectangular plate กวาง a ยาว b

Solid cylinder or disk รศม R

Hollow cylinder รศม R1, R2

Cylindrical shell รศม R

Physics 825113

8

3. พลงงานจลน งาน และกาลงในการหมน 3.1 พลงงานจลน การหมนของวตถแขงเกรง พจารณาอนภาคเลก ๆ หมนรอบแกน

im z

ดวยความเรวเชงมม ω พลงงานจลนของแตละอนภาคมคาเทากบ 2

21

iiivmK = y

จากความสมพนธ v rω= ไดวา 2)(

21 ω

iiirmK =

พลงงานทงหมดของวตถแขงเกรงคอ 2)(

21 ω

iiirmKK Σ=Σ=

22)(21 ω

iirmK Σ=

im

ir

iv

xOθ

)(; 2221

iirmIIK Σ≡= ω

ดงนนพลงงานในการหมนของวตถเทากบ 221 ωIK =

3.2 งาน

im

r

Fv

sdv

Oθd

φ

พจารณาการหมน ของวตถแขงเกรงรอบจด โดยมแรงกระทา O F

v ทาใหอนภาค มการเคลอนทไป

im sd v ดงรป

จากความสมพนธ งานเทากบ θφ rdFsdFdW )(sin=⋅= vv

Physics 825113

9

จากทอรก เทากบ φτ sinrF= จะไดความสมพนธวา θddW Γ=

ฉะนน งานในการหมนของวตถเทากบ ∫ Γ= 2

1

θθ

θdW

หรอมองในอกรปแบบของความสมพนธคอ จาก θωωα

ddII ==Γ

∫=∫ Γ 2

1

2

1

ωω

θθ

ωωθ dId ดงนนจากความสมพนธของงาน-พลงงานในการเคลอนทเชงมม คอ

KIIW ∆=−= 21

22 2

121 ωω

3.3 กาลง จากอตราการเปลยนแปลงงานในหนงหนวยเวลา คอ กาลง ดงนนไดวา

dtd

dtdW θΓ=

ωΓ=P 3.4 การกลงของวตถ พจารณาการกลงของวตถ จดศนยกลางมวลจะเดนทางเปนเสนตรง แต

จดทอยบนขอบของวตถ ไดมการเคลอนทแบบ Cycloid ดงรป

.CM .CM

Physics 825113

10

θR

θRs=

จากรป จะเหนไดวา จดศนยกลางมวลของวตถน เคลอนทไดระยะ θRs= ในเวลา t ดงนน ความเรวของจดศนยกลางมวล เทากบ

ωθ RdtdR

dtdsv

CM===

และความเรงของจดศนยกลาง คอ

αω RdtdR

dtdv

a CMCM

===

พจารณาการเลอน การหมน และการกลง ของวตถ เปนดงน

CM CM CM

P′

P P P

P′ P′

CMv

CMv

CMv

ωRv =

ωRv =

ωRvvCM

+=

CMv

0=v

การเลอน การหมน การกลง

Physics 825113

11

พจารณาการกลง จะเหนไดวา จด P สมผสพนขณะวตถกลงไป จะทาหนาทเปนจดหมนชวขณะ ดงนนจากความทฤษฎแกนขนานของโมเมนตความเฉอยสามารถเขยนไดวา 2II

CMpMR+=

จากสมการพลงงานจลน 2

21 ω

pIK =

22)(21 ωMRIK

CM+=

22221

21 ωω MRIK

CM+=

ดงนน พลงงานจลนในการกลงท จด P เทากบ

.CM

P

P′

2221

21 MvIK

CM+= ω

สมมตให แรง F กระทาตอวตถผานจดศนยกลางมวล วตถกลงเนองจากแรงเสยดทาน f โดยไมมการไถล

2221

21 MvIK

CM+= ω

22

22

21

21 Mv

RvMkK +=

FR

f

)(2

222

21

RRkMvK +=

sfWK =∑=

Physics 825113

12

3.1 การกลงกบหลกการทรงพลงงานกล พจารณาการกลงของวตถบนพนเอยง จากระดบความสง เปน จะเหนวาพลงงานทอยในวตถประกอบไปดวย พลงงานศกยโนมถวง พลงงานจลนจากความเรว และพลงงานจลนจากการหมน ในทน ไมคานงถงการไถลของวตถ

1h 2h

CMv1h

θ

M

2h

S

ตามหลกของงาน-พลงงาน สามารถเขยนสมการไดวา 12 EEW −=′ )()( 2

1212

121

1222

1222

12 ωω ImvmghImvmghW ++−++=′

กรณแรงภายนอกเปนศนยหรอเปนแรงอนรกษ จะเปนไปตามหลกคงตวของพลงงาน 21;0 EEW ==′

)()( 222

1222

12

212

1212

11 ωω ImvmghImvmgh ++=++

หรอสามารถกลาวไดวา ttanConsImvEP =++ 2212

21.. ω

สมมต ปลอย วตถจากระดบความสง h เปน สามารถเขยนสมการไดวา 1 2h

)()00( 222

1222

121 ωImvmghmgh ++=++

จากเงอนไขทวไป RvmkI == ω;2

)()(2

222

212

2212

221

21 RkRmvmghImvhhmg +=→+=− ω

แกสมการหาความเรว hkR

Rg )(222

22v

+= และจากสมการ asvv 22

02 +=

ความเรงทไดคอ 22

2 sinkR

gR+

= θa จากเงอนไข θsin;00 Syv ==

Physics 825113

13

4. โมเมนตมเชงมม พจารณา วตถมวล เคลอนทดวยความเรว vm v รอบแกน z

mrv pv

φ

o

prL vvv×=

x

y

z

จากความสมพนธ แรง เทากบ dtpd

dtvdmamF

vvvv

===

จากความสมพนธทอรกเทากบ dtpdrFrv

vvvv×=×=Γ

จากเงอนไขเวกเตอร )()()(dtpdrp

dtrd

dtprd v

vvvvv

×+×=×

)()()(dtpdrvmv

dtprd v

vvvvv

×+×=×

)(0)(dtpdr

dtprd v

vvv

×+=×

ดงนนไดสมการวา dtld

dtprd

vvvv=×=Γ )(

โดยท l เรยกปรมาณนวา โมเมนตมเชงมม pr vvv×=

ในกรณทเปนระบบอนภาค สามารถเขยนไดวา ilLvv

Σ= v

โมเมนตของแรงภายนอกกระทาตอวตถคอ dtLdv

=Γ

Physics 825113

14

สาหรบวตถแขงเกรงทหมนรอบแกนเดมเสมอ

dtLd

dtId

dtdII

vvvvv

====Γ )( ωωα vvฉะนน ωIL=

Lv

rv vv

m

จากรป สามารถเขยนไดวา

mvrmrL == ω2 prvmrL vvvvv

×=×= จาก

dtLdv

v=Γ เขยนใหมไดวา

∫ Γ=− t dtLL00

vvv จากสมการ อธบายไดวา การเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมมของวตถแขง

เกรง เทากบ การดลเชงมม (angular impulse) ถาไมมแรงภายนอกมาเกยวของ ทอรกเปนศนย ไดวา 0

0=∫ Γ

t dtv

00 ; ωω IILL ==vv

จงกลาวไดวาเปน การอนรกษโมเมนตมเชงมม ตวอยางเชน นกยมนาสตก หมนตวกลางอากาศ ไดวา

21 ωω II =

Physics 825113

15

21 ωω <

21 II >

2 1

5. การหมนรอบแกนเคลอนท ไจโรสโคป

y

rv

Lv

gM v

CM

nv

oΓv

x

zO′ O ′′

พจารณาการหมนของลกขาง ลกขางจะหมนรอบตวเองดวยความเรว ωสมมาตรในแกน ในขณะเดยวกนกจะหมนวนรอบแกน ดวยอตราเรวเชงมม Ω ทเรยกวา การสาย (Precession motion)

O′ O ′′

ลกขางหมนรอบแกน O′ จะเกดโมเมนตมเชงมม ปลายของลกขางวางอยบนจด ทาใหเกดแรงปฏกรยา

Lv

O nv กระทาตอลกขาง จากจดศนยกลางมวลของลกขางไมไดอยบนแกน O ′′ ทาใหเกดทอรกในระนาบ yx−

gMr vvv×=Γ

จากความสมพนธ dtLdv

v=Γ จะเหนไดวา

ทอรกมคาไมเทากบศนย ดงนนจะมการเปลยนแปลง ซงเทากบ Ld

vifLLLdvvv

−= ดงรป จงเกดการสายรอบแกน O ′′

Physics 825113

16

iL fL

L∆

กรณ ขนาดของโมเมนตมเชงมมไมเปลยนแปลง |fLv|=| | จะเกดการสาย

รอบแกนไมหยด โดยทศการสายเปนไปตามทศของ iLv

Ldv

หากกรณ การหมนคอย ๆ ชาลง คาโมเมนตมเชงมม | | จะลดลงดวย ดงนน จะทาให มทศลง ไมอยในระนาบ

fLv

Ldv

yx− เหมอนเดม และคอย ๆ สายมากขน จนเสยสมดลไป พจารณากรณ ขนาดของโมเมนตมเชงมมไมเปลยนแปลง

φ∆

Lv

∆ Ω

กาหนดให φ∆ φ∆ เปนมมทกวาดไปในเวลา ไดสมการวา t∆

LLvv

∆=∆φ เมอมมเลกมาก เวลา เขาใกลศนย t∆

เขยนสมการไดวา

dtdLLtt1lim

0=∆

∆=Ω→∆

φ จาก

dtLdv

v=Γ ดงนน ωIL

Γ=Γ=Ω ซงจะเหนไดวา ขนาดของความเรวในการสาย Ω ขนกบอตราเรวของการหมน ω หากหมนชา การสายกจะยงเรวขน สอดคลองกบลกขางทกาลงจะลมลง สามารถ เขยนสมการไดใหมวา L

vvv×Ω=Γ

Physics 825113

17

gMv

Lv

rv

nv

GYROSCOPE

ตวอยางไจโรสโคป หลกการ

ทางานเหมอนลกขาง โดยใชประโยชนในการกาหนดทศทางทแนนอน เชน ขนเรอไมใหเรอลม

Physics 825113

18

หนงสออเลกทรอนกส

ฟสกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสกส 1 (ความรอน)

ฟสกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวทยาฟสกส เอกสารคาสอนฟสกส 1ฟสกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสกสดวยภาษา c ฟสกสพศวง สอนฟสกสผานทางอนเตอรเนต

ทดสอบออนไลน วดโอการเรยนการสอน หนาแรกในอดต แผนใสการเรยนการสอน

เอกสารการสอน PDF กจกรรมการทดลองทางวทยาศาสตร

แบบฝกหดออนไลน สดยอดสงประดษฐ

การทดลองเสมอน

บทความพเศษ ตารางธาต)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานกรมฟสกส ลบสมองกบปญหาฟสกส

ธรรมชาตมหศจรรย สตรพนฐานฟสกส

การทดลองมหศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหดกลาง

แบบฝกหดโลหะวทยา แบบทดสอบ

ความรรอบตวทวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐ( คดปรศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คาศพทประจาสปดาห ความรรอบตว

การประดษฐแของโลก ผไดรบโนเบลสาขาฟสกส

นกวทยาศาสตรเทศ นกวทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพศวง การทางานของอปกรณทางฟสกส

การทางานของอปกรณตางๆ

การเรยนการสอนฟสกส 1 ผานทางอนเตอรเนต

1. การวด 2. เวกเตอร3. การเคลอนทแบบหนงมต 4. การเคลอนทบนระนาบ5. กฎการเคลอนทของนวตน 6. การประยกตกฎการเคลอนทของนวตน7. งานและพลงงาน 8. การดลและโมเมนตม9. การหมน 10. สมดลของวตถแขงเกรง11. การเคลอนทแบบคาบ 12. ความยดหยน13. กลศาสตรของไหล 14. ปรมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอทหนงและสองของเทอรโมไดนามก 16. คณสมบตเชงโมเลกลของสสาร

17. คลน 18.การสน และคลนเสยง การเรยนการสอนฟสกส 2 ผานทางอนเตอรเนต

1. ไฟฟาสถต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตวเกบประจและการตอตวตานทาน 5. ศกยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหลก 8.การเหนยวนา9. ไฟฟากระแสสลบ 10. ทรานซสเตอร 11. สนามแมเหลกไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเหน13. ทฤษฎสมพทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นวเคลยร

การเรยนการสอนฟสกสทวไป ผานทางอนเตอรเนต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตม 4. ซมเปลฮารโมนก คลน และเสยง

5. ของไหลกบความรอน 6.ไฟฟาสถตกบกระแสไฟฟา 7. แมเหลกไฟฟา 8. คลนแมเหลกไฟฟากบแสง9. ทฤษฎสมพทธภาพ อะตอม และนวเคลยร

ฟสกสราชมงคล