บทที่ 6 อะตอมไฮโดรเจน (Hydrogen Atom) SCCH 230 Physical...

1

วทคม ๒๓๐ เคมีเชิงฟสิกส ๑ SCCH 230 Physical Chemistry I

รศ.ดร.อรอุมา เขยีวหวาน

ภาควิชาเคมี คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลัยมหิดล ปการศึกษา ๒๕๕๔ ภาคตน

บทท่ี 6 อะตอมไฮโดรเจน (Hydrogen Atom)ในบทน้ีเราจะมาเรียนรูเกี่ยวกับการนําความรูทางกลศาสตรควอนตัม มาอธิบายโครงสรางอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งเปนอะตอมที่มีอิเล็กตรอนเดียว

ซึ่งสมการชโรดิงเจอรของอะตอมไฮโดรเจนสามารถหาผลเฉลยไดโดยตรงในเชิงวิเคราะห (แกสมการได) อยางแมนตรง (exact)

สําหรับอะตอมทั่วไปท่ีมีหลายอิเล็กตรอน เราแกสมการโดยตรงไมได ตองใชการประมาณ (approximation) (จะเรียนในบทถัดไป)

Hydrogen AtomPage 255:

ความรูท่ีไดจะปูพื้นแนวคิดในการอธิบายโครงสรางอะตอมทั่วไปดวย

6.1 สมการชโรดงิเจอรของอะตอมไฮโดรเจน

ในการพิจารณาปญหาของอะตอมไฮโดรเจน เราจะประมาณวาโปรตอน (ซึ่งมีขนาดใหญกวาอิเล็กตรอน ประมาณ 1800 เทา) อยูน่ิงกับท่ี ท่ีจุดกําเนิด (origin) ของพิกัด

(6.1)

ในขณะท่ีอิเล็กตรอนจะเคลื่อนท่ีไปรอบ ๆ ดวยอันตรกิริยาคูลอมบ (Coulomb interaction)

= −2

0

Ze(r) 4 r

Schrodinger EquationPage 256: :

ดังน้ัน จึงทําใหเราสามารถลดรูปปญหาวัตถุสองช้ิน (two-body problem) คืออิเล็กตรอนและโปรตอน มาเปนปญหาที่มีวัตถุเดียว (อิเล็กตรอน) ได

ภาพแสดงอะตอมไฮโดรเจนในพิกัดทรงกลม

r Nm em


จากสมการชโรดิงเจอรแบบไมขึ้นกับเวลา (time-independent Schrodinger equation):

− + =∇2

2 (x, y,z) E2mและ Laplacian operator, ในพิกัดทรงกลม (spherical coordinates)

2

2 2 22 2

2 21 1 1r sin

r rr r sin r sin= + +∇

2∇


ดังน้ัน สมการชโรดิงเจอรในพิกัดทรงกลม ของอะตอมไฮโดรเจน คือ

(6.2)

โดยท่ี คือ มวลลดรูป (reduced mass) ระหวาง อิเล็กตรอนและนิวเคลียส

+

+ + + =

2

2

2 2 20

2

22

2

1 1r sinr rr r sin

21 ZeE (r, , ) 04 rr sin

=+e N

e N

m mm m


2

ในการหาผลเฉลยของสมการ (6.2) จะใชวิธีแยกตัวแปร โดยจะสมมุติผลเฉลย

(6.3)

แทนคาลงในสมการ (6.2) แลวหารดวย

=(r, , ) R(r) ( ) ( )

R(r) ( ) ( )

+

+ + + =

2

2

2 2 20

2

22

2

1 1 d dR 1 1 d dr sinR(r) dr dr ( ) d dr r sin

21 1 d ZeE 0( ) 4 rr sin d

Schrodinger Equation60: :คูณตลอดดวย เพื่อแยกตัวแปรในฟงกชันของ

กําหนดคา separation constant

(6.4)

22r sin

+

+ + + =

2

22

2 20

2

2

2

sin d dR sin d dr sinR(r) dr dr ( )d d

2 r sin1 d ZeE 0( ) 4 rd

22

21 d m( ) d

= −


ดังน้ันสมการสวนท่ีเหลือจะเปน

หารตลอดดวย

+

+ + =

2

22

20

2

2

2

sin d dR sin d dr sinR(r) dr dr ( )d d

2 r sin ZeE m4 r

+

+ + − =

2

2 20

2

2

2

1 d dR 1 1 d dr sinR(r) dr dr ( )sin d d

2 r Ze mE 04 r sin

2sin


กําหนดให

(6.5)

ดังน้ัน

(6.6)

จะเห็นวาเมื่อแยกตัวแปรสําเร็จ จะไดสมการยอย (6.4) ในฟงกชันของ , (6.5) ในฟงกชัน , และ (6.6) ในฟงกชัน

+ + = +

2

0

222 2 r1 d dR Zer E ( 1)

R(r) dr dr 4 rl l

2

21 1 d d msin ( 1)( )sin d d sin

− = − +l l

( )( ) R(r)


สรุปไดวา สมการชโรดิงเจอรของอะตอมไฮโดรเจนในพิกัดทรงกลม (6.2) สามารถเขียนแยกเปน 3 สมการยอย คือ

22

21 d m( ) d

= −

+ + = +

2

0

222 2 r1 d dR Zer E ( 1)

R(r) dr dr 4 rl l

2

21 1 d d msin ( 1)( )sin d d sin

− = − +l l

(6.4)

(6.5)

(6.6)


−=+

m m1/2(2 + 1) ( m)!( ) P (cos )2 ( m)! l ll l

l

− ++

− −= −+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

r na 2 1n

3

n(n 1)!2 2r 2rR (r) e Lna 2n (n )! na na

ll

ll

ll

เมื่อแกสมการท้ัง 3 แลวจะไดผลเฉลยดังตอไปนี้

หนังสือ : อรอุมา เขียวหวาน, คณิตศาสตรสําหรับเคมีเชิงฟสิกส, 2551

(6.7)

(6.8)(6.9)


= = ± ± imm ( ) 1 2 e , m 0, 1, 2, …

3

ดังน้ัน ผลเฉลยรวมของสมการชโรดิงเจอรของอะตอมไฮโดรเจน คือ

= m

n m n m(r, , ) R (r) ( ) ( )l l l

− ++

− −= −+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

r na 2 1n

3 (n 1)!2 2r 2re Lna 2n (n )! na nall

lll

+ −+

× ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

m1/2(2 1) ( m)! P (cos )2 ( m)! ll l

l

× ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

i m1 e2

(6.10)

=

20

0 2

4; a

e


= 0; a a Z

พหุนามเลอช็องดร (Legendre polynomials)สมการเลอช็องดร

22

2d y dy(1 x ) 2x n(n 1)y 0dxdx

− − + + =

ผลเฉลยของสมการเลอช็องดร ; พหุนามเลอช็องดร N j n 2j

n nj 0

( 1) (2n 2j)!xy(x) P (x)

2 j!(n 2j)!(n j)!

−

=

− −= =

− −

โดยท่ี N = n/2 เมือ่ n เปนเลขคู, N = (n-1)/2 เมื่อ n เปนเลขคี่


พหุนามเลอช็องดรสมทบ (associated Legendre polynomials)

สมการเลอช็องดรสมทบ 2 222 2

d y dy m(1 x ) 2x n(n 1) y 0dxdx 1 x− − + + − =

−

ผลเฉลยของสมการเลอช็องดรสมทบ ; พหุนามเลอช็องดรสมทบ m

nm m 2 m/2 n m

d P (x)y(x) P (x) ( 1) (1 x )

dx= = − −

โดยท่ี เปนเลขจํานวนเต็ม (ถา แลว )m nP (x) 0=≤m n m n>


พหุนามลาแกร (Laguerre polynomials)สมการลาแกร

2

2d y dyx (1 x) ny 0dxdx

+ − + =

ผลเฉลยของสมการลาแกร ; พหุนามลาแกร

=

−= =

−

n jj

n 2j 0

( 1) n!y(x) L (x) x

(n j)!(j!)


พหุนามลาแกรสมทบ (associated Laguerre polynomials)

สมการลาแกรสมทบ 2

2d y dyx (k 1 x) (n k)y 0dxdx

+ + − + − =

ผลเฉลยของสมการลาแกรสมทบ ; พหุนามลาแกรสมทบ

kkn nk

dy(x) L (x) L (x)

dx= =


ตัวอยางฟงกชันคล่ืนของอะตอมไฮโดรเจน

−=

0

3/2

1001 Z ea

−= −

0

3/2 /2200

1 Z (2 )ea4 2−=

0

3/2 /2210

1 Z e cosa4 2

= 0

Z ra

=

20

0 2

4a

e

−= ∓ ±±

0

3/2 /221 1

1 Z e sin ea8

Bohr radius


4

ผลเฉลยรวมของสมการชโรดิงเจอรของอะตอมไฮโดรเจนสามารถแบงออกเปนสองสวน คือสวนท่ีขึ้นกับรัศมีและสวนท่ีขึ้นกับมุม

= m

n m n m(r, , ) R (r) ( ) ( )l l l

m ( , )lY

radial solution

spherical harmonics,

angular solution

= m m

m( , ) ( ) ( )l lYฟงกชันคล่ืนท่ีขึ้นกับมุม เรียกวา spherical harmonics

(6.11)

Schrodinger EquationPage 272: :ตัวอยางฟงกชัน และ ของอะตอมไฮโดรเจน

−= 0

3/2

10ZR 2 ea

−= −

0

3/2 /220

1 ZR (2 )ea2 2−=

0

3/2 /221

1 ZR ea2 6

=± ±∓

1

13 sin e2 2Y

nR (r)l m ( , )lY

=

00

12Y

=

00

12Y

=

01

3 cos2Y

−=

0

3/2 /221

1 ZR ea2 6


6.2 ผลเฉลยตามแนวรัศม,ี

ในหัวขอน้ี เราจะวิเคราะหรูปรางลักษณะของผลเฉลยตามแนวรัศมี (radial solution) ของอะตอมไฮโดรเจน

nR (r)l

จาก slide หนา 273 จะเห็นวา radial solution ทุกตัวประกอบดวย exponential term ท่ีเลขชี้กําลังเปนลบ ซึ่งจะทําใหผลเฉลยมีคาเขาสูศูนย เมื่อรัศมีมคีามากๆ (หางจากนิวเคลียส)

เพื่อใหเห็นภาพของผลเฉลยชัดเจนขึ้น เราจะ plot กราฟ probability density เทียบกับรัศมี ซึ่ง =* d 1all space

Radial SolutionPage 274:

volume element

rddr

rsin d

r sin

d

dr

r sin dr d

z

x

y

dr

sphericalcoordinates

=

2d r sin d d dr


probability density

= =

2

20 0 0

* *d d d sin dr r ( ) 1all space

r *

แตในท่ีน้ี เราสนใจเฉพาะสวนของรัศมี น่ันคือ

= 2

0*r dr 1

2 2rprobability density

2 2nr R (r)l


2 4 6 8 10 12 14

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 16

2 2 2

n 0r R (r) al

0r a

probability density ตามแนวรัศมี 101s (R )

202s (R ) 212p (R )


5

จงคํานวณหาคารัศมีอะตอมของไฮโดรเจนในสถานะ 1s ซึ่งมี normalized wave function เปนตัวอยาง 6.1

03 2

01s

-r a1 1= ea

วิธีทํา เราสามารถคํานวณรัศมีอะตอมไดจากสมการ

เมื่อ คือรัศมีของบอหร (Bohr Radius)0a

*r (operator)= dซึ่งในกรณีน้ี operator คือ รัศมี r

Example 6.1Page 278:

พิกัดท่ีเหมาะสมสําหรับการพิจารณาอะตอมของไฮโดรเจน คือพิกัดทรงกลม (spherical coordinates)

ในพิกัดทรงกลม volume element ท่ีใชในการอินติเกรดมีคาเปนd

d = (r sin d )(r d )(dr)2= r sin dr d d

แทนคา , , และ d*

1s 1s* =

ซึ่งในกรณีน้ี (เน่ืองจาก เปนจํานวนจริง)1s


⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0 0 0

23 2 2

0

2-r ar 1 1= (r)(r sin dr d d )ea

0

0 0 0

-2r a 330

21= e r sin dr d da

0

0 0 0

-2r a 330

21= e r dr sin d da

f( ) f( )f(r)


00

-2r a 3e r dr = ?

ในการอินติเกรตอินติกรัลอันแรกน้ี ใหใชสูตร

0n -bx

n+1n!x e dx =b

ซึ่งในท่ีน้ี และ ดังน้ัน จะได x = r, n = 3 0b = 2/a

0

0

-2r a 34

0

3!e r dr =(2 a )


พิจารณาอินติกรัลท่ีเหลือ

[ ]00

22 2d = =

[ ]0 0sin d = - cos

= -cos( ) - (-cos(0))= -(-1) - (-1)= 2

และ


ดังน้ัน

3 40 0

r 2 21 3!=a (2/a )

0r 3= a2น่ันคือ ระยะหางเฉล่ียของอิเล็กตรอนจากนิวเคลียส ในสถานะ 1s ของอะตอมไฮโดรเจนมีคาเทากับ 3/2 เทาของรัศมีของบอหร a0

อยางไรก็ตาม ‘ระยะหางเฉล่ีย’ น้ีจะไมเทากับ ‘ระยะท่ีจะมีโอกาสพบอิเล็กตรอนมากที่สุด’ (ซึ่งเทากับ a0)


6

2 4 6 8 10 12 14

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 16

2 2 2

n 0r R (r) al

0r a

probability density ตามแนวรัศมี

1s

0a

01.5a


6.3 ผลเฉลยเชิงมุม,

ในหัวขอน้ี เราจะศึกษาผลเฉลยเชิงมุม (angular solution) ของอะตอมไฮโดรเจน

ผลเฉลยสวนน้ีจะมีความซับซอนมากกวาผลเฉลยเชิงรัศมี เพราะประกอบดวยพารามิเตอรถึง 2 ตัว คือ และ

m ( , )lY

สวนใหญจะไมมีสมมาตรทรงกลม (spherical symmetry)

ตัวอยางของ spherical harmonics ในหนา 273 สามารถแสดงดวยsurface plot ไดดังน้ี

Angular SolutionPage 285:

SphericalHarmonics

2 00Y

2 01Y

±

2

11Y

2 02Y

Angular SolutionPage 286:

6.4 ออรบิทัลเชิงอะตอม (Atomic Orbital)

จากความรูท่ีผานมาเราทราบวา เมื่อนําฟงกชันคล่ืนมายกกําลังสอง ( ) จะหมายถึงโอกาสหรือความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนในบริเวณหน่ึงๆรอบนิวเคลียส

เราเรียกบริเวณท่ีมีความนาจะเปนหรือความหนาแนนอิเล็กตรอน (electron density) สูงวา ออรบิทัล (orbital) หรือออรบิทัลเชิงอะตอม (atomic orbital)

2

เราใชเลขควอนตัมในการระบุออรบิทัล เชนเดียวกับการระบุฟงกชันคล่ืน

Atomic OrbitalPage 287:

เลขควอนตัม (Quantum Number)

การแกสมการชโรดิงเงอรเพื่อหาฟงกชันคล่ืน จะมีตัวเลขจํานวนเต็มสามชนิดเขามาเกี่ยวของ คือ

1. เลขควอนตัมหลัก (principal quantum number, n)2. เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมมุ (angular momentum quantum

number, l)3. เลขควอนตัมแมเหล็ก (magnetic quantum number, ml) (ตัว

เดียวกับ m ในหัวขอท่ีผานมา)


แตจากการทดลองของสเติรนและเจอรลาค (Stern-Gerlachexperiment) พบวาอิเล็กตรอนท่ีอาศัยอยูในออรบิทัลมีพฤติกรรมเสมือนเปนแทงแมเหล็กแทงเล็กๆ ท่ีหมุนรอบนิวเคลียสและขณะเดียวกันก็หมุนรอบแกนตัวเองดวย

การหมุนน้ีทําใหประจุลบของอิเล็กตรอนเหน่ียวนําใหเกิดสนามแมเหล็ก

ดังน้ันจึงตองมีเลขควอนตัมตัวท่ี 4 เพื่ออธิบายโมเมนตัมสปนของอิเล็กตรอนที่อยูในออรบิทัล

4. เลขควอนตัมสปน (spin quantum number, ms)


7

1. เลขควอนตัมหลัก (n)

n เปนเลขจํานวนเต็มมีคาตงแต 1, 2, 3, …, เมื่อ n เพิ่มขึ้น ออรบิทัลจะมีขนาดใหญขึ้นในอะตอมท่ีมีอิเล็กตรอนมากกวาหน่ึงตัว อาจมีอิเล็กตรอนที่มีคา n เดียวกัน เรียกวามี ชั้นอิเล็กตรอน (electron shell) เดียวกัน โดยแตละชั้นจะมีอิเล็กตรอนเขาอยูไดจํานวน 2n2

= …n 1 2 3 4 5 6 7 …K L M N O P Q Shell


2. เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมมุ (l)

l เปนเลขจํานวนเต็มมีคา = 0, 1, 2, 3, …, (n-1)l เปนตัวกําหนดรูปรางเฉพาะตัวของออรบิทัลมักแสดงดวยตัวอักษรมากกวาตัวเลข

= …0 1 2 3 4 l…s p d f g Subshell


3. เลขควอนตัมแมเหล็ก (ml)

ml มีคาเปนเลขจํานวนเต็มตั้งแต l ถึง -lml มีจํานวน = 2l + 1 คาใชอธิบายการจัดตัวของออรบิทัลในท่ีวาง

4. เลขควอนตัมสปน (ms)

ms มีคาเทากับ หรือ +

12 −

12

ใชอธิบายโมเมนตัมสปนของอิเล็กตรอนท่ีอยูในออรบิทัล


= − =n 20 0

2 2Z eE , n 1, 2, …8 n a

ระดับพลังงาน (Energy Level)

ในการแกสมการชโรดิงเงอรท่ีขึ้นกับรัศมี สมการ (6.5) นอกจากจะไดฟงกชันคล่ืน R(r) แลว เรายังสามารถคํานวณคาพลังงาน E ออกมาไดดวย ดังน้ี

(6.12)

ซึ่งระดับพลังงานของอะตอมไฮโดรเจนน้ีขึ้นกับเลขควอนตัมหลัก n เพียงตัวเดียวเทาน้ัน (ท่ีเหลือเปนคาคงท่ี)


ระดับพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน

1 1s [1]

2s [1]3s [1]

Energy

2p [3]3p [3] 3d [5]

23

n s p d f

จํานวนออรบิทัล


ออรบิทัล s (s Orbitals)

ออรบิทัล s เปนออรบิทัลท่ีมีพลังงานต่ําสุดมีลักษณะเปนทรงกลมลอมรอบนิวเคลียสความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนมีคาเทากันหมดทุกทิศทาง (มีสมมาตรทรงกลม)มีขนาดใหญขึ้นตามลําดับเลขควอนตัมหลัก n ท่ีเพิ่มขึ้น เน่ืองจาก l = 0 (และ m = 0 เทาน้ัน) ทําให และ ในสมการ (6.10) มีคาเปนคาคงท่ี ดังน้ัน จึงขึ้นกับรัศมี r เทาน้ันn ml

m ml


8

1 2 3 4 50.00 60r a

0.1

0.4

0.2

0.3

2

1s

Orbital 1s= =n 1, 0l

1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.00 6

2 2 2

10 0r R (r) a

0r a1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.00 60r a

1s


0.0

0.1

2 4 6 8 10 12 140

0r a

2s

-0.1

0.2

2 4 6 8 10 12 14

0.05

0.10

0.15

0.20

0 160.00

0.25

2 2 220 0r R (r) a

0r a


2 4 6 8 10 12 14

0.1

0.2

0.3

0 160.0

0.4

0r a

2

2s

> 0

< 0


5 10 15 20 25

0.05

0.10

300

0.15

0.00

2 2 2

30 0r R (r) a

0r a


5 10 15 20 2500.00

0.02

0.04

-0.02

3s

0r a

5 10 15 20 25 300

1

2

3

0

X10-4

0r a

2

3s


ขอสังเกต

ในชวง จะมีความขัดแยงระหวางกราฟ radial distribution และกราฟ probabilityท่ีตําแหนงของนิวเคลียส ขณะท่ี probability มีคาสูงสุด แต radial distribution กลับมีคาเปนศูนย

ทําไมจึงเปนเชนน้ัน กราฟไหนใหคาท่ีถูกตอง?

< < 00 r a

2 2 2

nl 0r R (r) a 2

1s=r 0

กราฟท้ังสองบอกถึงความนาจะเปนท้ังคู แตมีวิธีการคํานวณ(อินติเกรต) ท่ีไมเหมือนกัน


สําหรับ probability อินติเกรต โดยเทียบกับ volume element

สําหรับ radial distribution อินติเกรต โดยเทียบกับ dr

d= *Prob dall space

= 2

0*Prob r dr

เปนการคํานวณ prob ท่ีอยูในเปลือกทรงกลมรัศมี r หนา dr

ซึ่งถา r มีคานอยมากๆหรือเปนศูนย ก็จะทําใหเปลือกทรงกลมท่ีใชในการอินติเกรตน้ันเล็กมาก ทําใหได prob ท่ีนอยมากหรือเปนศูนยได


ซึ่งในความเปนจริงแลว ความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนบริเวณใกลๆนิวเคลียสน้ันมีคาสูงมาก และไมไดเปนศูนย

การท่ีกราฟ radial distribution มีจุดสูงสุดแรกท่ี น้ันเกิดเน่ืองจากอิทธิพลของ term

= 0r a

* exp (-f(r))กับอิทธิพลของขนาดของเปลือกทรงกลม (ยิ่ง r เพิ่ม ยิ่งมีคามาก)

(ยิ่ง r เพิ่ม ยิ่งมีคานอย)

ชวงแรก ขนาดของเปลือกทรงกลมมีอิทธิพลมากกวา (สังเกตไดจาก กราฟท่ีเร่ิมตนจากศูนยและเพิ่มขึ้นเร่ือยๆตามขนาดของรัศม)ี

< 0r a


9

แตเมื่อ term จะมีอิทธิพลมากกวา (จะเห็นวา กราฟเร่ิมมีจุดสูงสูดแลวปรับลดลง)

> 0r a exp(-f(r))

ทําใหเกิดจุดสูงสุด(ชั่วคราว)ท่ี = 0r a

เราไมนับจุด วาเปน node (node คือบริเวณท่ีโอกาสพบอิเล็กตรอนเปนศูนย)

=r 0

ออรบิทัล 1s ไมมี node, ออรบิทัล 2s มี 1 node, ออรบิทัล 3s มี 2 node


ออรบิทัล p (p Orbitals)

ออรบิทัล p ไมมีสมมาตรทรงกลม ดังน้ันความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนจะขึ้นกับท้ังระยะทาง (r) และทิศทาง

มีลักษณะเปนพู (lobe) สองพูอยูคนละขางของนิวเคลียส บางคร้ังเรียกวามีรูปรางแบบดัมเบล (dumbbell shaped)

( , )

ซึ่งอิเล็กตรอนจะเคลื่อนทีอยูในพูท้ังสองเปนเวลาเทาๆ กัน และตรงบริเวณนิวเคลียสจะไมพบอิเล็กตรอนเลยมีทิศทางตางกัน 3 ทิศทาง เรียกวา px, py และ pz ออรบิทัล


xy

z

pzpypx

ออรบิทัล px, py และ pz จะวางตัวในแนวแกน x, y, และ z, ตามลําดับ

xy

zx

y

z

ซึ่งท้ังสามออรบิทัลน้ีจะตั้งฉากซึ่งกันและกัน


http://www.webelements.com/

จงพิสูจนวาฟงกชันคล่ืน orthogonal กับตัวอยาง 6.2

วิธีทํา เงื่อนไขของคุณสมบัติเชิงตั้งฉาก (orthogonality) คือ

เมื่อ


210 200

−= −

0

3/2 /2200

1 Z (2 )ea4 2−=

0

3/2 /2210

1 Z e cosa4 2

=n m n m nn mm* dall space l l ll

โดยท่ี คือ Kronecker delta ซึ่งมีคุณสมบัติ

= i j

i j

0 เมื่อ ≠i j1 เมื่อ =i j

0 0 0

22

r dr sin d d=210 200* dall space

−×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

32

0

/21 Z e cosa4 2−−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

32

0

/21 Z (2 )ea4 2


10

210 200* dall space

−= −

0

0 0 0

3

0 0

Zr/a2

41 Z Zrr dr 2 e cos sin d d32 a a


0

ดังน้ัน =210 200

* d 0

สรุปวา ฟงกชันคล่ืน orthogonal กับ210 200

Problem Set VII

1. จงคํานวณหาความนาจะเปนท่ีจะพบอิเล็กตรอนของอะตอม ไฮโดรเจน ในออรบิทัล 1s ภายในรัศมี 2a0 หางจากนิวเคลียส

Problem Set VII

2. จงหาคาเฉล่ียของ r ในออรบิทัล 2s

3. จงพิสูจน และ สําหรับ อิเล็กตรอนในออรืบิทัล 2p0

= 2 E = −T 2

4. จงคํานวณหาจุดสูงสุดของกราฟ 2 2

20r R (r)

Page 309:

22 (x, y,z) i2m− + = t

สมการชโรดิงเจอรในพิกัดคารทีเซียนสมการชโรดิงเจอรในพิกัดคารทีเซียน คือ

ใชวิธีแยกตัวแปรในการแยกสมการน้ีออกเปน 2 สวน คือสวนท่ีเปนฟงกชันของตําแหนงซึ่งไมขึ้นกับเวลา (time-independent) และสวนท่ีเปนฟงกชันของเวลา (time-dependent)

เร่ิมจากสมมติฟงกชนัคล่ืนในรูป (x, y,z, ) (x, y,z) ( )= Tt t

Insert 1: Schrodinger equation:

time dependenttime independent

หารดวย

ผลเฉลยของสวนท่ีเปนฟงกชันของเวลา คือ

แทนคา ในสมการ (3.1)2

2 d(x, y,z) i2m d− + = TT tT

221 1 d(x, y,z) i E2m d− + = ≡T

T t

( )T t i E( ) exp= −T C tt

(x, y,z, ) (x, y,z) ( )= Tt t


และสวนท่ีเหลือคือ สมการชโรดิงเจอรแบบไมขึ้นกับเวลา (time-independent Schrodinger equation)

ตัวอยางเชน สําหรับตัวแกวงกวัดฮารมอนิก (harmonic oscillator) 1 มิติ ซึ่งมีพลังงานศักย , สมการชโรดิงเจอร (แบบไมขึ้นกับเวลา) จะเขียนดังน้ี

:

22 (x, y,z) E2m− + =

21(x) kx2=

22

2 2d 2m 1E kx 02dx

+ − =


ตัวอยางการคํานวณ 100

= m

n m n m(r, , ) R (r) ( ) ( )l l l

+ −=+

m m1/2(2 1) ( m)!( ) P (cos )2 ( m)! l ll l

l

− ++

− −= −+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

r na 2 1n

3


ll

ll

ll

= = ± ±

im

m1( ) e , m 0, 1, 2, …2

Insert 2: Calculation of Wave Function

11

สําหรับ 100

= = =n 1 ; l 0 ; m 0

= 12

= = ± ±

im

m1( ) e , m 0, 1, 2, …2

= i (0)0

1( ) e2


− ++

− −= −+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

r na 2 1n

3


ll

ll

ll

−= −

r a 11

32 1 e L (2r/a)a 2

− ++

− −= −+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

r a 2(0) 11 0

3 0

10(1 0 1)!2 2r 2rR (r) e La 2 (1 0)! a a

−= −

r a 113/2

2 e L (2r/a)a


คํานวณ

11L (2r/a)

=

−=

−

n jj

n 2j 0

( 1) n!L (x) x

(n j)!(j!)=k

kn nk

dL (x) L (x)

dx

=1

11 11

dL (x) L (x)

dx=

−=

−

1 jj

1 2j 0

( 1) 1!L (x) x

(1 j)!(j!)

− −= +

− −

0 10 1

2 2( 1) 1! ( 1) 1!

x x(1 0)!(0!) (1 1)!(1!)

= −1 x

= −11

dL (x) (1 x)

dx= −1


ดังน้ัน −= −

r a 113/210

2R (r) e L (2r/a)a

−= − − r a3/22 e ( 1)a

−= r a3/22 ea


= −

11L (2r/a) 1

+ −=+

m m1/2(2 1) ( m)!( ) P (cos )2 ( m)! l ll l

l+ −=

+

0 00 0

1/2(2(0) 1) (0 0)!( ) P (cos )2 (0 0)!

= 00

1/21 P (cos )2

= − −

m nm m 2 m/2

n m

d P (x)P (x) ( 1) (1 x )

dx


= − −

0 00 0 2 0/2

0 0

d P (x)P (x) ( 1) (1 x )

dx= 0P (x)

−

=

− −=

− −

N j n 2j

n nj 0

( 1) (2n 2j)!xP (x)

2 j!(n 2j)!(n j)!−

=

− −=

− −

0 j 0 2j

0 0j 0

( 1) (2(0) 2j)!xP (x)

2 j!(0 2j)!(0 j)!−− −

=− −

0 0 2(0)

0( 1) (2(0) 2(0))!x2 0!(0 2(0))!(0 0)!

= 1


12

= 00P (x) 1

=

0 00 0

1/21( ) P (cos )2

= m

n m n m(r, , ) R (r) ( ) ( )l l l

−= r a3/21002 1 1(r, , ) e 2 2a

= 12


=00; P (cos ) 1

−= r a3/2100

1 1(r, , ) ea

แทนคา = 0a a Z

−=

0

0

3/2 rZ a100

1 Z(r, , ) ea

แทนคา = 0Zr a

−= 0

3/2

1001 Z(r, , ) ea


ตัวอยางฟงกชันคล่ืนของอะตอมไฮโดรเจน

Insert 2: Calculation of Wave Function Insert 2: Calculation of Wave Function

บทที่ 6 อะตอมไฮโดรเจน (Hydrogen Atom) SCCH 230 Physical...

Documents

Transcript of บทที่ 6 อะตอมไฮโดรเจน (Hydrogen Atom) SCCH 230 Physical...