บทท 4 กฎการเคลอนทของนวตน

จากทไดศกษาการเคลอนทของวตถในบททแลว ซงไมไดพจารณาถงสาเหตทท าใหวตถเกด

การเคลอนท ซงในทนกคอ แรง เมอมแรงมากระท ากบวตถ จะท าใหวตถสามารถเคลอนท เซอรไอแซค นวตน (Sir Isaac Newton, 1642-1727) นกวทยาศาสตรผมชอเสยงชาวองกฤษไดตพมพผลงานในป ค.ศ. 1686 ชอ Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (ภาษาองกฤษ The Mathematical Principles of Natural Science) แมวากอนหนานเคยมการศกษามากอนกตาม โดยเฉพาะกาลเลโอ (Galileo Galilei, 1564-1642) ไดท าการศกษาลกษณะการเคลอนทของวตถแบบมความเรง ผลการศกษาไดกลายมาเปนรากฐานส าคญของกฎการเคลอนทของนวตน 4.1 แรง (Forces)

กจกรรมทเราท าในแตละวนจะตองมความเกยวของกบแรงเสมอ เชน การกด การผลกหรอการลากวตถ โดยแรงทใชกระท าตอวตถเหลานนท าใหวตถเคลอนทได แตแรงไมไดเกยวของกบ การเคลอนทเสมอไป เชนในขณะทนงท ากจกรรมใดๆ จะมแรงโนมถวงกระท ากบเราตลอดเวลา โดยทเราไมไดเคลอนทไปไหน หรอการออกแรงผลกกอนหนทมขนาดใหญ กอนหนดงกลาวอาจไมเคลอนท เปนตน

นวตนเสนอวาการเปลยนแปลงสภาวะในการเคลอนทของวตถมสาเหตมาจากแรง โดยทวไปสามารถสรปคณสมบตของแรงไดดงน

1) แรงเปนปรมาณเวกเตอร นนคอ การผลกหรอการฉดวตถจะมทงขนาดและทศทางของแรง

2) แรงจะปรากฏในลกษณะทเปนค กลาวคอถาวตถ A ออกแรงกระท ากบวตถ B ในทางกลบการวตถ B กจะออกแรงกระท าโตตอบตอวตถ A ดวย

3) แรงเปนตนเหตทท าใหความเรวของวตถเปลยนไป คอท าใหวตถมความเรง 4) แรงสามารถท าใหวตถเปลยนภาพรางได

4.2 กฎการเคลอนทของนวตน (Newton’s law of motion)

เมอวตถเคลอนทจะมแรงภายนอก (External force) มากระท าเสมอ เชนการออกแรงผลก

กลองใบหนงซงวางไวบนโตะ ถาแรงทผลกมขนาดมากกวาแรงเสยดทานระหวางกลองกบพนโตะ กลองจะเคลอนทไปไดระยะหนงแลวจงหยด เมอท าใหพนโตะลนขนโดยทาดวยน ามนแลวผลกดวยแรงขนาดเทาเดมพบวา ระยะทกลองเคลอนทไดจะมากกวาครงแรก ถาสามารถท าใหผวสมผสระหวางกลองกบพนโตะไมมแรงเสยดทานแลว กลองจะเคลอนทตลอดไปในทศของแรงผลกจนกวาจะชนกบผนง เราเรยกแรงทใชผลกกลองใหเคลอนทวา “ แรงภายนอก” ซงเปนแรงจากทอนหรอจากวตถอนมากระท าตอวตถทก าลงพจารณา

92

พจารณาวตถ 2 ชนด ซงมขนาดเทากนทกประการ เชน วตถอนแรกท าจากเหลกสวนอกอนหนงท าจากไม เมอออกแรงผลกหรอยกวตถทงสองจะรสกวาวตถทท าจากเหลกตองใชแรงมากกวา แสดงวาในขณะทเราออกแรงกระท าวตถจะตอตานการเปลยนแปลงเรยกวา “สภาพการตานทานหรอตอตานการเปลยนสภาวะการเคลอนท” ของวตถ หรอเรยกวา “ความเฉอย” (Inertia) ของวตถ ถาออกแรงกระท าตอวตถทงสองดวยแรงขนาดเทากนพบวาวตถทมมวลมากจะมความเรงนอย ดงนนมวลของวตถสามารถใชบอกปรมาณของความเฉอยได

เมอวตถชนกนจะท าใหความเรวของมนมการเปลยนแปลง ในป ค.ศ. 1668 จอหน วลลส (John Willis) ครสโตเฟอร เวรน (Christopher Wren) และ ครสเตยน ฮอยเกนส (Christian Huygens) ไดศกษาความสมพนธดงกลาวเพอเสนอตอราชสมาคมแหงลอนดอน (Royal society of London) จากผลงานการศกษาของทงสาม นวตนสรปไววา “เมอวตถอสระสองกอนชนกน อตราสวนของการเปลยนแปลงความเรวของวตถทงสองกอนและหลงชนในแนวเสนผานจดศนยกลางจะมคาคงท” สามารถเขยนสมการได

122

1

2'2

1'1 k

v

v

vv

vv

Δ

Δ (4.1)

เมอ k12 เปนคาคงท เครองหมายลบแสดงวา v1 และ v2 มทศทางตรงขามกนและเมอ

m1 และ m2 เปนมวลของวตถทงสองกอนจะได

1

212 m

mk (4.2)

หรอ

1

2

2

1

m

m

v

v

Δ

Δ (4.3)

สรปไดวา “ระหวางการชนของอนภาคอสระ การเปลยนแปลงความเรวของอนภาคทงสอง

จะมทศตรงขามกนและอตราสวนของความเรวทเปลยนไปจะแปรผกผนกบอตราสวนของมวลของอนภาคทงสอง”

โดยทวไปแลวเรามกจะหาคามวลจากน าหนกของวตถ ซงเกยวของกบความโนมถวงของโลก และเรยกมวลในกรณนวา “มวลจากความโนมถวง (Gravitational mass)” สวนการหามวลจากความเฉอย (Inertial mass) พจารณาไดจากภาพท 4.2 รถสองคนยดกนไวดวยสปรงเบาและวางอยบนพนทไมมความฝด เมอสปรงขาดจากกนรถทงสองจะวงไปคนละทาง โดยชวงเวลาท สปรงขาดความเรวของรถเปลยนจากศนยไปเปน 1v และ 2v ถาให m1 เปนมวลของรถคนทหนงจะสามารถหามวลของรถอกคนหนงไดจากสมการ (4.3) ซงไมเกยวของกบน าหนกและแรงโนมถวงเลย

93

สามารถก าหนดนยามของมวลไดวา “มวลเปนคณสมบตเฉพาะตวของวตถซงไมขนกบสภาพแวดลอมของวตถนน อกทงยงไมขนกบวธวดมวล นอกจากนมวลยงเปนตวบงบอกหรอเปนตวแทนของความเฉอย” โดยขนาดของมวลไมวาจะหาไดจากความเฉอยหรอความโนมถวงจะมคาเทากน

กฎขอท 1 ของนวตน (Newton’s first law) กลาววา “วตถทกชนดจะคงสภาพหยดนงหรอเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรวคงท

ถาไมมแรงจากภายนอกมากระท า” หรอเรยกอกชอหนงวา “กฎของความเฉอย (Law of inertia)” โดย “ความเฉอย” หมายถงสภาพตานการเคลอนทดงทกลาวมาแลว ถาวตถเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรวคงทในกรอบอางองเฉอยอนหนง พบวาความเรงและแรงภายนอกสทธกระท าบนวตถดงกลาวเปนศนย นนคอ

0...FFFF 321

(4.4) เมอ 1 F

, 2 F

, ... เปนแรงอสระจากภายนอกทกระท าบนวตถ

กฎขอท 2 ของนวตน (Newton’s second law) กฎขอนจะเกยวของกบการเคลอนทของวตถทมความเรงเมอแรงภายนอกสทธทมากระท า

ตอวตถไมเปนศนย ซงกลาวไววา “แรงลพธทกระท ากบวตถจะแปรผนโดยตรงกบความเรง โดยวตถทมมวลมากจะมความเรงนอย หรอ ความเรงของวตถจะแปรผนกบมวล” ดงนน

amF (4.5)

นนคอแรงลพธทกระท าบนวตถมวล m จะเทากบมวลของวตถนนคณกบความเรง สามารถใชกฎขอนก าหนดนยามของแรงได กลาวคอ “แรงเปนสาเหตทท าใหวตถมความเรง โดยแรงเดยวทกระท ากบวตถจะท าใหวตถมความเรงในทศของแรงดงกลาว และขนาดของแรงจะเปนสดสวนโดยตรงกบความเรง” ในกรณทปลอยวตถใกลๆ ผวโลก วตถจะมแรงมากระท าเนองจากความโนมถวงของโลก ท าใหวตถตกดวยความเรง 9.8 m/s2 ตวอยางท 4.1 แรง F กระท าบนวตถมวล m1 ท าใหเกดความเรง 3 m/s2 และถาแรง F ดงกลาวกระท าวตถมวล m2 จะท าใหเกดความเรง 1 m/s2 จงหา

ก) อตราสวนระหวางมวล m1 และ m2 ข) ถาน ามวล m1 ผกตดกบมวล m2 แรง F ดงกลาวจะท าใหมวลเหลานเกดความเรงเทาใด

94

วธท า ก) จากกฎขอทสองของนวตน จะไดวา

F1 = m1a1 (1)

และ F2 = m2a2 (2) น าสมการ (1) (2) จะไดวา

3

1

a

a

m

m

2

1

2

1

ข) F = (m1+m2)a = m1a2

3 N = (1+3)a a = 0.75 m/s2

กฎขอท 3 ของนวตน (Newton’s third law) กฎขอนกลาววา “แรงทวตถหนงกระท าตอวตถอนทสองเรยกวาแรงกรยา (Action) จะ

มขนาดเทากบแรงทวตถอนทสองกระท าตอวตถอนทหนงแตมทศทางตรงกนขาม และเรยกแรงทวตถอนทสองกระท าตอวตถอนทหนงวา แรงปฏกรยา (Reaction)” หมายความวา ถาวตถ A ออกแรง AF

กระท ากบวตถ B แลว วตถ B จะออกแรง B F

กระท าตอวตถ A ในทศทางทตรงขามกน โดย

BA FF

(4.6)

ตวอยางท 4.2 ในบรเวณทไมมแรงโนมถวงแหงหนง เมอออกแรงขนาดคงท 10 N ผลกกลอง A ซง

วางอยชดกบกลอง B ดงภาพประกอบตวอยางท 4.2 (ก) จงเขยนคของแรงกรยา - ปฏกรยา ของระบบ (ข) ถากลอง A มมวล 5 kg และกลอง B มมวล 10 kg จงหาความเรงของกลองทงสองและ

แรงทกระท ากบกลอง B วธท า (ก) สามารถเขยนแผนภาพของแรงทกระท าไดดงภาพประกอบตวอยางท 4.2 (ข)

95

A BH A B

AHF

ABF

BAF

AmBmHAF

H

AHF BA mm

HAF

H

ภาพท 4.1 ภาพประกอบตวอยางท 4.2

เมอ HA F

คอแรงปฏกรยาทกลอง A กระท ากบมอ AHF

คอแรงกรยาทมอกระท ากบกลอง A และ AHF

= - HA F

ABF

คอแรงกฏกรยาทกลอง B กระท ากบกลอง A BA F

คอแรงกรยาทกลอง B กระท ากบกลอง A และ BA F

= - ABF

(ข) ส าหรบแรงทกระท ากบกลอง B จะมทศไปทางขวามอและมขนาดเปน

BBBA amF

โดยขนาดของแรงสทธทกระท ากบกลอง A คอ AHF = - ABF และจากสมการ (4.4) จะได AAABAH amFF

จากสมการทงสองน เมอกลอง A และ B อยชดกน จงมขนาดของความเรงเทากน นนคอ aaa BA จากกฎขอท 3 ของนวตน พบวา ABF

และ BA F

มขนาดเทากน ดงนน

a mmF BAAH

)(

เนองจากกลอง A และ B อยชดกนและเคลอนทในทศทางเดยวกน จงพจารณาไดเปนมวล

เดยวทเคลอนทไปดวยความเรง a เนองจากแรงภายนอก AHF

ดงภาพประกอบตวอยางท 4.2 (ค) โดยมขนาดเทากบ

2

BA

AH m/s 5

1

kg 10kg 5

N 10

)m(m

Fa

)(

สวนขนาดของแรงทกลอง A กระท ากบกลอง B คอ

N 2)m/s 5

1kg)( (10a mF 2

BBA

96

4.3 มวลและน าหนก (Mass and weight)

ในหวขอนจะพจารณาเกยวกบมวลและคณสมบตทส าคญบางประการซงเกยวของกบ แรงโนมถวงของโลก “แรงโนมถวง (The gravitational force)” เปนแรงพนฐานทส าคญทนวตนไดเสนอไวในทฤษฎความโนมถวง กลาวกนวาทฤษฎนมจดก าเนดจากการทนวตนสงเกตเหนผลแอปเปลตกลงมา ซงเปนการพจารณาในลกษณะเดยวกบการโคจรของดวงจนทรรอบโลกพบวาดวงจนทรจะเคลอนทเขาหาโลกดวยความเรงสศนยกลาง ผลแอปเปลทตกลงมากมลกษณะเดยวกบดวงจนทรจะแตกตางกนทขนาดของมวลและระยะทางเทานน โดยผลแอปเปลตกหางจากจดศนยกลางของโลกประมาณไดเทากบรศมของโลก 6,378 km ซงมความเรงสศนยกลางเทากบ 9.81 m/s2 ในขณะท ดวงจนทรอยหางออกไปเปนระยะทางเฉลย 384,440 km และมคาบการโคจรรอบโลกเทากบ 27.3 วน จะมความเรงสศนยกลางเทากบ 2.73 × 10-3 m/s2 เมอเปรยบเทยบอตราสวนระหวางระยะทางทดวงจนทรตกเขาหาโลกกบระยะทแอปเปลตกเขาหาโลกไดเทากบ 60.07 ในขณะทอตราสวนระหวางความเรงสศนยกลางของแอปเปลกบดวงจนทรไดเทากบ 3,593.4 จากอตราสวนทงสองจะเหนวาก าลงสองของอตราสวนระหวางระยะทางทคาใกลเคยงกบอตราสวนระหวางความเรงสศนยกลางแสดงวาแรงโนมถวงแปรผกผนกบระยะทางก าลงสอง

จากแนวคดในลกษณะดงกลาว นวตนไดตงสมมตฐานไววาวตถคใดๆยอมจะมแรงโนมถวงกระท าซงกนและกน โดยทขนาดของแรงจะเปนสดสวน โดยตรงกบมวลของวตถทงสองและเปนสดสวนผกผนกบก าลงสองของระยะทางระหวางวตถ สามารถเขยนเปนสมการไดดงน

2g

R

mMGF (4.7)

เมอ m, M และ R เปนมวลและระยะหางระหวางวตถทงสอง สวน G เปนคาคงทซงเรยกวา “คาคงทโนมถวงเอกภพ (Universal gravitational constant) ” มคาเทากบ 6.673 x 10-10 N.m2/kg2

การหามวลของโลก สามารถพจารณาไดจากแรงโนมถวงทโลกมมวลเปน ME กระท า ตอมวล m ใดๆซงวางอยบนผวโลก คอ

2E

Eg

R

mMGF

เมอ RE เปนรศมของโลก สวนวตถมวล m ใดๆ ทอยใกลๆ ผวโลก จะถกกระท าดวยแรงโนมถวงของโลก จากกฎขอทสองของนวตนจะได Fg = mg

97

เมอสมการทงสองนเทากน สามารถหาคามวลของโลกได

G

gRM

2E

E (4.8)

เมอ g = 9.8 m/s2 , R = 6.378 x 106 m และ G = 6.673 x 10-11 N.m2/kg2 จากสมการ (4.8) จะไดมวลของโลกเทากบ 5.974 x 1024 kg

พจารณาวตถทมมวล m ทวางอยบนผวโลกดงภาพท 4.2 (ก) วตถดงกลาวจะมแรงกระท าสองแรงคอ แรงโนมถวง ( gF

) และแรงสมผสทพนหรอเรยกกนทวไปวาแรงปกต ( N

) ดงภาพท 4.2

(ข) เนองจากวตถอยในสภาวะหยดนงเมอเทยบกบโลก ดงนน 0NFg

หรอ NFg

(4.9)

และโลกจะมแรงกระท าสองแรงเชนกนคอ แรงกดทพน ( W

) โดยวตถและแรงโนมถวง ( gf

) ดงภาพท

4.2 (ค) เมอไมมการเคลอนทท าให 0fW g หรอ

gfW

(4.10)

ตองระมดระวงไวอยางหนงวา แรงทปรากฏในสมการ (4.9) และ (4.10) ไมใชแรงคกรยา - ปฏกรยา แตเปน “แรงค (Force pairs)” คอ gg fF

หรอ WN

(4.11)

เมอเปรยบเทยบสมการ (4.11) กบสมการ (4.9) และ (4.10) พบวาแรง gF

, gf

, N

และ W

มขนาด

เทากน

98

gM

m

gf

W

gF

Nวตถ

) ก ( ) ข ( ) ค (

ภาพท 4.2 (ก) วตถทอยนงเมอเปรยบเทยบกบโลก (ข) แรงทกระท าบนวตถ (ค) แรงทกระท ากบโลกแรงกระท าตามภาพ (ข) และ (ค) ไมใชแรงคกรยา – ปฏกรยา

ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 1996, หนา 115)

เมอพจารณาแรง W

และ N

ในสมการ (4.9) และ (4.10) พบวาแรง W

ทวตถกระท าบนสวนรองรบใดๆ คอ “น าหนก (Weight)” ของวตถซงเปนแรงทกระท าบนพนโลก เนองจากวตถอยนงๆท าให W

เทากบแรงโนมถวง gF

ทกระท ากบวตถ เมอ gF

เปนแรงทกระท าบนวตถ และ W

เปนแรงทวตถกระท ากบผวโลกขนาดของ W

คอ W = mg

N

W

a

N

W

a

) ก ( ) ข (

ภาพท 4.3 วตถทวางอยในลฟต (ก) เมอลฟตเคลอนทดวยความเรงคงท และ (ข) เมอลฟตเคลอนทลงดวยความเรงคงท

ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 116)

พจารณาภาพท 4.3 เมอวางมวล m บนพนลฟตซงสามารถท าใหมความเรงในทศทางขนหรอลงได ถาลฟตก าลงเคลอนทขนดวยความเรงคงท a และไมคดถงแรงโนมถวงของโลกกระท าตอลฟต จากกฎขอทสองของนวตน จะไดขนาดของแรงลพธทกระท ากบวตถเปน

N – Fg = ma หรอ N = Fg + ma = mg +ma = ma = m(g + a)

99

เมอ N

เปนแรงทพนลฟตกระท ากบวตถ และ gF

เปนแรงโนมถวงทโลกกระท ากบวตถ แรงปฏกรยา

ของ N

คอ W

ซงเปนน าหนกของวตถทกระท ากบพนลฟต ดงนนน าหนกของวตถในกรณนคอ W = m(g + a) (4.12ก) จะเหนวาขณะลฟตเคลอนทขนดวยความเรงคงท a น าหนกของวตถจะมากขนเปนจ านวน ma ถาลฟตเคลอนทลงดวยความเรงคงท a จะได )a-m(gW (4.12ข) แสดงวาน าหนกของวตถจะลดลงเมอเทยบกบขณะลฟตหยดนง

สมมตวาลวดสลงทยดลฟตขาด ลฟตจะตกอยางอสระและมความเรงเทากบ g จากสมการ (4.12ข) จะได W = 0 โดย a= g ซงสถานการณอยางนเรยกวา “สภาพไรน าหนก” 4.4 แรงเสยดทาน (Frictional force)

เมอวตถเคลอนท ในตวกลางทมความหนด เชน น า หรอ อากาศ จะมการตอตาน การเคลอนทของวตถ เนองจากอนตรกรยา (Interaction) ระหวางวตถกบสงแวดลอม เรยกแรงตานนวา “แรงเสยดทาน” ซงเปนแรงทมความส าคญตอชวตประจ าวนของเรามาก ถาไมมแรงเสยดทานแลวเราคงจะหกลมในขณะเดนหรอวง และวตถคงมการชนกนตลอดเวลา

พจารณากลองมวล m เคลอนทในแนวราบดวยอทธพลของแรงภายนอก F

ซงเปนแรงทมขนาดใหญพอ โดยมขนาดอยางนอยตองเทากบแรงเสยดทาน f จงท าใหวตถสามารถเคลอนทได เมอกลองมวล m อยนงจะเรยกแรงเสยดทานในขณะนนวา “แรงเสยดทานสถต (Force of static friction; fs)” ถาคอยๆเพมแรง F

จนกระทงกลองเรมจะเคลอนทซงเปนจดทแรงเสยดทานสถตมคา

มากทสด เมอกลองเคลอนทแลวจะเรยกแรงเสยดทานวา “แรงเสยดทานจลน (Force of kinetic friction; fk)” ซงมคานอยกวาแรงเสยดทานสถตเลกนอย และมขนาดคงทตลอดการเคลอนท ดงแสดงในภาพท 4.4

100

N

W

sf

F

) ก (

N

W

kf

F

) ข (

Ffs Nf kk μ

Nf smax s μf

Fบรเวณสถต บรเวณจลน

) ค (

ภาพท 4.4 (ก) แรงเสยดทานสถตเทากบแรงทใหกบวตถ (ข) แรง F ทใหกบวตถมคามากกวาแรงเสยดทานสถต และ (ค) กราฟของแรงทใหกบวตถและแรงเสยดทาน

ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 1996, หนา 125)

จากการทดลองพบวาทงแรงเสยดทานสถตยและแรงเสยดทานจลนจะเปนสดสวนโดยตรงกบแรงปกต (Normal Force) ทกระท ากบวตถ และขนกบความขรขระของผววตถ สามารถสรปผลการสงเกตจากการทดลองไวดงน

(1) แรงเสยดทานสถตระหวางผวสมผสสองผวใดๆสามารถเขยนเปนสมการไดดงน

Fs sN

เมอ s เปนปรมาณท ไมมหนวย เรยกวา “สมประสทธของความเสยดทานสถต (Coefficient of static friction)” และแรง fs มทศตรงขามกบแรงภายนอกทมากระท าตอวตถ

(2) แรงเสยดทานจลนมทศตรงขามกบการเคลอนทของวตถและก าหนดไวเปน

fk = kN (4.13)

เมอ k คอ “สมประสทธของความเสยดทานจลน (coefficient of kinetic friction)”

101

(3) คาของ s และ k ขนกบธรรมชาตของผว โดยทวไปแลว k จะนอยกวา s เลกนอย ดงนนจงเรยกรวมๆวา เปนสมประสทธของความเสยดทาน

N

T

fx

y

x

m

gmFg

ภาพท 4.5 แสดงแนวคดเกยวกบการเขยนแรงยอย ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 1997, หนา 125)

พจารณาภาพท 4.4 กลองมวล m ทวางบนพนฝดผกดวยเชอกเบา เมอออกแรงดงเชอกท าใหกลองเคลอนทไปเปนระยะทาง x ดวยความเรง a ในชวงเวลา t จากภาพแสดงใหเหนแรงตางๆ ทกระท ากบกลองและมกรอบอางองซงเปนพกด x-y เขามาเกยวของดวย ในกรณนแรงกระท าจะอยในทศของแกน x และแกน y อยแลวจากกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน สามารถเขยนสมการของแรงลพธในแตละแกนได Fx = T – f = ma Fy = N – mg = 0

ถาแรงยอยไมไดอยในแนวแกน x และ y กลาวคอ แรงท ามมกบแกนทงสอง ดงภาพท 4.6 (ก) กอนทจะใชกฎขอทสองของนวตนจ าเปนตองแตกแรงใหเปนองคประกอบของแรงในแตละแกนดงภาพท 4.6 (ข)

x

y

F

θx

y

F

θFsin

θFcos

θ

) ก ( ) ข (

ภาพท 4.6 แรงตางๆ บนวตถท ามมกบแกน x-y ตองแตกแรงกอน ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 64)

102

การแกปญหาทางกลศาสตรโดยใชกฎการเคลอนทของนวตนมขนตอนดงน

1) เขยนภาพของปญหาแลวใสแรงกระท าทเปนไปไดทงหมด 2) น าวตถทเปนปญหามาเขยนแยกอสระพรอมทงใสกรอบอางองทเหมาะสม 3) ถาแรงกระท าไมไดอยในแนวแกนของระบบ ใหแตกเปนแรงยอย 4) ใชกฎขอทสองเพอเขยนเปนสมการของแรงลพธในแตละแกน

ตวอยางท 4.3 กลองมวล 5 kg ถกผกตดไวกบผนง และวางซอนอยบนมวล 10 kg ซงมแรง 45 N กระท าอยดงภาพท 4.7 สมประสทธความเสยดทานจลนระหวางมวลทงสองเทากบ 0.2 จงหาแรงตงในเสนเชอก และความเรงของมวล 10 kg

ภาพท 4.7 ภาพประกอบตวอยางท 4.3

วธท า ใชกฎขอทสองของนวตน จะได ส าหรบมวล 5 kg, Fx = ma

N1 = 5g = 5(9.8) N1 = 49 N Fy = 0 f1 – T = 0 T = f1 = mg = (0.2)(5)(9.8) = 9.8 N

ส าหรบมวล 10 kg, Fy = 0

N2 – N1 - 10g = 0 N2 = N1 + 10g Fx = ma 45 – f1 – f2 = 10a (1)

103

แต f2 = N2 เมอแทนคา N2 = N1 + 10g จะได

f2 = ( N1 + 10g) = 0.2(49 + 98) = 29.4 N

แทนคา f1 และ f2 ลงในสมการ (1) จะได

45 – 9.8 – 29.4 = 10a a = 0.58 m/s2

ตวอยางท 4.4 จงค านวณหาแรงตงในเสนเชอกแตละเสน

1T 2T

3T

04 05

kg0.5

ภาพท 4.8 ภาพประกอบตวอยางท 4.4

วธท า จากกฎขอทหนงของนวตน สามารถเขยนสมการไดคอ Fx = 0 T2cos50 - T1cos40 = 0 (1) Fy = 0 T2sin50 - T1sin40 - 49 N= 0 (2)

เมอแกสมการจะได T1 = 31.5 N, T2 = 37.5 N และ T3 = 49 N ตวอยางท 4.5 กลองมวล m = 2 kg ถกปลอยจากหยดนงจากดานบนของพนเอยงลน ซงท ามม 30 กบแนวระดบ และมความสง h = 0.5 m จากพนโตะทมความสง H = 2 m ดงภาพท 4.9 จงหา

ก) ความเรงของกลองเมอเคลอนทลงจากพนเอยง ข) ความเรวของกลองหลงจากเคลอนทพนพนเอยง ค) เมอกลองเคลอนทเลยพนเอยง จะตกลงบนพนหางจากโตะเทาใด ง) เวลาทงหมดทกลองเคลอนท

104

ภาพท 4.9 ภาพประกอบตวอยางท 4.5 วธท า ก) a = gsin a = (9.8)sin30 = 4.90 m/s2 ข) v2 = v0

2 + 2a(x – x0) v2 = 0 + 2(4.90)(1) v = 3.13 m/s หลงจากเวลาผานไป

ts = s639.013.3

12

v

x2

ค านวณหาการตกอยางเสรของกลองจากปลายพนเอยง

y – y0 = voyt + 2

1ayt

2

- 2 = (- 3.13)sin30 t - 2

1(9.8)t2

(4.9)t2 + (1.56)t -2 =0

t = )9.4(2

)2)(9.4(4)56.1(56.1 2

t = 0.499 s ง) x = vxt = (3.13) cos30(0.499) x = 1.35 m ค) เวลารวม = ts + t = 0.639 + 0.499 = 1.14 s

105

ตวอยางท 4.6 มวล 4 kg, 1 kg และ 2 kg ผกตดกนดวยเชอกเบา และคลองผานรอกลน ถาโตะมสมประสทธความเสยดทานเปน 0.35 ดงภาพท 4.10 จงหา

ก) ความเรง และการเคลอนทของมวลแตละกอน ข) แรงตงเชอก

ภาพท 4.10 ภาพประกอบตวอยางท 4.6

วธท า ก าหนดให T12 และ T23 เปนแรงตงในเสนเชอกดานซายและขวา ตามล าดบ จากกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน จะไดวา ส าหรบมวล m1, Fy = may T12 – m1g = -m1a ส าหรบมวล m2, Fx = max -T12 + kn + T23 = -m2a และ Fy = may n – m2g = 0 ส าหรบมวล m1, Fy = may T23 – m3g = -m3a เมอแทนคาตวแปรลงในสมการจะได -T12 + 39.2 = 4a (1) T12 – 0.35(9.8) – T23 = a (2) T23 – 19.6 = 2a (3)

106

ก) เมอแกสมการ (1), (2) และ (3) จะได 39.2 – 3.43 -19.6 = 7a a = 2.31 m/s2 ทศทางพงลงส าหรบมวล m1, ทศไปทางซายส าหรบมวล m2 และทศทางพงขนส าหรบมวล m3 ข) แทนคาความเรง a = 2.31 m/s2 ลงในสมการ (1) จะได -T12 + 39.2 = 4(2.31) T12 = 30 N T23 – 19.6 = 2(2.31) T23 = 24.2 N ตวอยางท 4.7 กลองอลมเนยมมวล m1 = 2 kg และกลองทองแดงมวล m2 = 6 kg ผกตดกนดวยเชอกเบา และคลองผานรอก และสามารถเคลอนทไดอยางอสระบนพนเหลกเอยงท ามม 30 ดงภาพท 4.11 ถาก าหนดใหสมประสทธความเสยดทานจลนระหวางกลองอลมเนยมกบพนเหลก และกลองทองแดงกบพนเหลกมคาเทากบ 0.47 และ 0.36 ตามล าดบ จงหา

ก) ความเรงของมวลทงสองกอน ข) แรงตงในเสนเชอก

ภาพท 4.11 ภาพประกอบตวอยางท 4.7

วธท า ก) จากกฎขอทสองของนวตน ส าหรบมวล m1, T – 1m1g = m1a ส าหรบมวล m2, -T - 2m2gcos + m2gsin = m2a น าสมการทงสองมารวมกนจะได

(m1 + m2)a = m2gsin - 2m2gcos - 1m1g

107

ดงนน

gmmm

)cos(sinma 11

21

22

แทนคาจะได

8.9)2(47.08

)30cos36.030(sin6a

a = 0.232 m/s2 ข) แทนคา a = 0.232 m/s2 ลงในสมการ T – 1m1g = m1a จะได T = 2(0.232 + 0.47(2)) = 9.68 N 4.5 การประยกตกฎขอทสองของนวตนกบการเคลอนทเปนวงกลม (Application of Newton’s second law with circular motion)

v

m

R

0

ra

ru

ภาพท 4.12 ลกบอลเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, p. 138) เมออนภาคมการเคลอนทเปนวงกลมรศม R ดวยความเรวคงท v จะมความเรงสศนยกลางเทากบ

r

2

r uR

va ˆ

พจารณาลกบอลมวล m ผกดวยเชอกเบายาว R แกวงใหเคลอนทเปนวงกลมดงภาพท 4.6

สมมตวาลกบอลเคลอนทดวยความเรวคงทตามแนวเสนประ จะมแรงกระท ากบลกบอลในแนวรศมทเรยกวา “แรงสศนยกลาง (Central forces)” จากกฎขอทสองของนวตนจะได

108

r

2

rr uR

mvamF ˆ (4.14)

ซงแรงทไดจะเหมอนกบแรงสศนยกลาง เนองจากเปนแรงทกระท าผานจดศนยกลางของ

วงกลมและเปนแรงทท าใหทศทางของความเรวเปลยนแปลง กรณของดาวเทยมทมวงโคจรเปนวงกลมรอบโลกแรงผานศนยกลางทกระท ากบดาวเทยมกคอแรงโนมถวง หรอกรณของรถทวงอยในทางโคงแรงสศนยกลางกคอแรงเสยดทานระหวางถนนกบยางรถนนเอง ตวอยางท 4.8 วตถมวล 0.4 kg ผกตดกบเชอกยาว 0.5 m แลวถกท าใหเคลอนทเปนวงกลมในแนวระดบดวยความเรวสม าเสมอ 4 m/s จงหาแรงตงในเสนเชอก เมอวตถเคลอนทไปอยในต าแหนงสงสดของวงกลม

วธท า mgmmgr

mvT 2

2

T = (0.4)(8)2(0.5) – (0.4)(9.8) = 8.88 N ตวอยางท 4.9 รถไฟเหาะจะมมวล 500 kg เมอบรรทกผโดยสารเตมคน ดงภาพท 4.13 จงหา

ก) ถารถไฟเหาะมความเรว 20 m/s ณ จด A จงหาแรงทรางรถไฟกระท าตอตวรถ ข) ความเรวสงสดเมอรถไฟเหาะอยทจด B โดยยงคงวงอยบนราง

ภาพท 4.13 ภาพประกอบตวอยางท 4.9

วธท า ก) ก าหนดให n เปนแรงทรางรถไฟกระท าตอตวรถ

F = R

Mv2= n-Mg

ดงนน

n = Mg + R

Mv2 = (500 kg)(9.8 m.s-2) +

m10

)s.m20)(kg500( 21

n = 2.49 x 104 N

109

ข) ทจด B ความเรวสงสดของรถไฟจะมากทสดเมอ n = 0 จากสมการ

n – Mg = R

Mv2

จะไดวา

– Mg = R

Mv2max

vmax = s/m1.12)8.9(15Rg ตวอยางท 4.10 รถยนตคนหนงมวล 1500 kg แลนอยบนถนนเรยบและก าลงวงเขาสทางโคงทมรศมความโคงเทากบ 35 m ดงภาพท 4.14 ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางถนนกบยางรถเทากบ 0.5 จงหาอตราเรวสงสดทรถสามารถวงไดโดยไมหลดโคง วธท า แรงผานศนยกลางทกระท ากบรถคอแรงเสยดทานสถต จะได

uR

mv2

s ˆf

(1)

ดงนนอตราเรวสงสดทรถสามารถวงไดโดยไมหลดโคงเมอแรงเสยดทานสถตมคาสงสดคอ

N(max)

μsf (2)

ร เส นสถต

gm

N

sf

ภาพท 4.14 ภาพประกอบตวอยางท 4.10

เมอแรงปกตคอน าหนกของรถ จะไดขนาดของแรงเสยดทาน คอ fs(max) = mg = (0.5)(1500 kg)(9.8 m/s2) = 7350 N

และแทนคาในสมการ (1) จะไดอตราเรวสงสดเทากบ

110

m/s 13.1kg 1500

m) N)(35 (7350

m

(max)Rfv s

max

ตวอยางท 4.11 วศวกรโยธาตองการออกแบบถนน ซงมความลาดเอยงเพอความปลอดภยในการขบข โดยก าหนดใหรถสามารถใชอตราเรวในทางโคงได 13 m/s และมรศมความโคงเทากบ 50 m จะตองออกแบบใหถนนมความลาดเอยงกองศา

N

gm

θ

Nsinθ

Ncosθ

gm

N

θ

θ

ภาพท 4.15 ภาพประกอบตวอยางท 4.11

วธท า จากโจทยเขยนเปนแผนภาพของแรงทกระท ากบรถไดดงภาพท 4.15

R

mv)Nsin(

2

(1)

mg)Ncos( (2) เมอหารสมการ (1) ดวยสมการ (2) จะได

Rg

v)tan(

2

19)m/s m)(9.8 (50

)m/s (13tan

2

21

θ

ตวอยางท 4.12 ดาวเทยมดวงหนงมมวล m และมวงโคจรรอบโลกเปนภาพวงกลมทสงจากพนดนเทากบ h ดวยอตราเรวคงท จงหา (ก) อตราเรวของดาวเทยม (ข) คาบเวลาในการโคจร

111

ER

r

F

v

h

ภาพท 4.16 ภาพประกอบตวอยางท 4.12

วธท า (ก) แรงภายนอกทกระท าตอดาวเทยมคอแรงดงดดระหวางโลกกบดาวเทยม ซงมทศชเขาหาจดศนยกลางของโลก ดงนน

r

2

r2E

r ur

mvu

r

mMGF ˆˆ

โดย r = RE + h สามารถหาอตราเรวไดเปน

hR

GM

r

GMv

E

EE

เมอ ME และ RE เปนมวลและรศมของโลกตามล าดบ

(ข) ดาวเทยมโคจรครบหนงรอบเปนระยะทาง 2r = 2 (RE + h) ก าหนดให TP เปนคาบเวลา จะได

3/2

EEP r

GM

2

/rGM

r 2

v

r 2T

πππ

ตวอยางท 4.13 นกบนคนหนงมมวล m ขบเครองบนเปนวงกลมในแนวตงรศม 2.7 km ดวยอตราเรวคงท 225 m/s ดงภาพท 4.17 จงหาแรงกระท าตอทนงนกบนเมอ (ก) เครองบนอยทต าแหนงลางสด (ข) เมอนกบนอยทต าแหนงบนสด

112

gm

BotN

gm

TopN

(ก) ต าแหนงเครองบนอยทต าสด (ข) ต าแหนงเครองบนอยทสงสด

ภาพท 4.17 ภาพประกอบตวอยางท 4.13

วธท า (ก) จากภาพท 4.17 (ก) แสดงแรงทกระท ากบทนงนกบนทต าแหนงต าสด เมอน าหนกของนกบนคอ mg จะมทศเขาศนยกลางของโลก ในขณะเดยวกนแรงปฏกรยาทเกาอกระท ากบนกบนจะเปนแรงสศนยกลางของการเคลอนท ดงนน

r

mvmgN

2

Bot

rg

v1mg

r

mvmgN

22

Bot

เมอแทนคาลงไปจะได

mg 3.46)m/s m)(9.8(2.7x10

m/s) (2551mgN

23

2

Bot

แรงกระท าตอนกบนทต าแหนงต าสดมคามากกวาน าหนกนกบน 3.46 เทา

(ข) จากภาพท 4.17 (ข) พบวาความเรงสศนยกลางในขณะทเครองบนอยทต าแหนงสงสด คอ Ntop + mg และจากกฎขอทสองของนวตน จะได

r

mvmgN

2

top

1

rg

vmgmg

r

mvN

22

top

mg 1.461)m/s m)(9.8 (2.70x10

m/s) (255mg

23

2

113

ในกรณนแรงทกระท ากบทนงนกบนจะนอยกวาน าหนกตวของนกบน ท าใหนกบนจะมความรสกตวเบาขนเมอบนอยทต าแหนงสงสด

4.6 การเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวทเปลยนแปลงตามเวลา (Circular motion with variable speed)

การเคลอนทเปนวงกลมของอนภาคซงมอตราเรวทเปลยนแปลงตามเวลาเมอขนาดของ

องคประกอบของความเรงในแนวสมผสกบวงกลมเปน dt

dv จะท าใหความเรงสทธเปนตามสมการ

(4.25) หรอ uauaa rr ˆˆ และมแรงสทธทกระท ากบอนภาคซงแสดงดงภาพท 4.18 คอ

uFuFF rr ˆˆ เปนองคประกอบของแรงในแนวรศมและแนวสมผสเสนรอบวงตามล าดบ

โดยเฉพาะ F

เปนสาเหตใหอตราเรวของอนภาคมการเปลยนแปลงไปตามเวลา

F

rF

F

ภาพท 4.18 แสดงอนภาคเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวทเปลยนแปลง ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 1996, หนา 150) ตวอยางท 4.14 ถาแกวงทรงกลมขนาดเลกมวล m ซงผกดวยเชอกเบายาว R ดงภาพท 4.19 จงหาแรงตงเชอกในขณะททรงกลมมอตราเรวเปน v และอยในต าแหนงทท ามม กบแนวดง

TopT

BotT

gm

gm

Topv

Botv

0

R

0

θT

gm

cosθgm sinθgm

(ก) ทต าแหนงใดๆ (ข) ทต าแหนงสงสดและต าสด ภาพท 4.19 ภาพประกอบตวอยางท 4.14

114

วธท า จากภาพท 4.19 ขนาดขององคประกอบของแรงในแนวรศมคอ mgcos() และขนาดขององคประกอบของแรงในแนวสมผสเสนรอบวงคอ mgsin() เมอใชกฎขอสองของนวตนกบองคประกอบแรงลพธทสมผสเสนรอบวงจะได Fy = mgsin() = ma a = gsin()

จะไดองคประกอบของความเรงทท าใหอตราเรวเปลยนแปลงคอ dt

dva ส าหรบ

องคประกอบของแรงลพธในแนวรศม สามารถหาไดโดยใชกฎขอสองของนวตน จะได

R

mvma)mgcos(TF

2

rr

)]gcos(R

vm[T

2

ในกรณททรงกลมอยทต าแหนงสงสด แรงตงเชอกจะมขนาดเปน

g]R

vm[T

2top

top

และทรงกลมอยทต าแหนงต าสด แรงตงเชอกจะมขนาดเปน

g]R

vm[T

2bot

bot

พบวา แรงตงเชอกจะมคามากทสดเมอทรงกลมอยทต าแหนงต าสด และมคานอยทสดเมอทรงกลมอยทต าแหนงสงสด

115

สรป

1. กฎการเคลอนทขอทสองของนวตน amF

2. โมเมนต หรอทอรก Fr

3. โมเมนตความเฉอย

2ii

irmI

4. พลงงานจลนของการหมนของวตถแขงเกรง

2k I2

1E

5. ส าหรบวตถทก าลงกลง พลงงานจลนของวตถมคาตามสมการ

22k I

2

1mv2

1E

6. ความสมพนธระหวางทอรก และความเรงเชงมม I 7. โมเมนตมเชงมม หรอโมเมนตโมเมนตม vrmL

8. ถาไมมทอรกของแรงภายนอกมากระท า โมเมนตมเชงมมของระบบจะมคาคงตว ii

iI คาคงตว

116

แบบฝกหด

1. จากภาพประกอบแบบฝกหดท 1 (ก) เมอมแรง 8 N กระท าตอวตถท าใหวตถมความเรง 2 m/s2 จงหามวลของวตถ (ข) ถาแรง 6 N กระท าในทศทตงฉากกบแรง 8 N จงหาความเรงของวตถ

R F

α

kg 4m

N 6 F 2

N 8 F 1

ภาพท 4.20 ภาพประกอบแบบฝกหดท 1 ตอบ (ก) 4 kg (ข) 2.5 m/s2 2. แขวนกลองหนก 100 N ดวยเคเบล ดงภาพท 4.21 จงหาแรงตงในเสนเชอกทงสามเสน

1T

2T

3T

037 035

ภาพท 4.21 ภาพประกอบแบบฝกหดท 2 ตอบ T1 = 60.1 N T2 = 79.93 N T3 = 100 N 3. กลองมวล m ไถลลงมาจากพนเอยงทไมมความฝด ดงภาพประกอบแบบฝกหดท 3

(ก) จงหาความเรงของการลนไถล (ข) ถาพนเอยงมระยะทางเทากบ d และกลองไถลลงมาถงพนลางแลวหยดนงจงหาเวลาใน

การเคลอนทและอตราเรวขณะถงพนลาง

117

m

d

θ

N

y

x

θ

θ mgcos

θmgsin

a

gm

) ก ( ) ข (

ภาพท 4.22 ภาพประกอบแบบฝกหดท 3

ตอบ (ก) gsin() (ข) )gsin(

2d

a

2dt

, )2gdsin(2adv

4. เครองกลของแอตวด (Atwood’s Machine) เปนเครองกลอยางงายทประกอบดวยรอกเดยวเบา

ไมมความฝด มมวลสองกอนผกยดดวยเชอกเบาคลองอยกบรอก ดงภาพท 4.23 (ก) ถาทราบคา g แลว จงหาขนาดของความเรงของมวลและแรงตงเชอก

1m

2m

1m

T

gm1

a

2m

T a

gm2

) ก ( ) ข (

ภาพท 4.23 ภาพประกอบแบบฝกหดท 4

ตอบ g mm

m-ma

21

12

, g

mm

m2mT

21

21

118

5. กลองใบหนงวางบนพนเอยงลนและผกตดกบมวลอนหนงดวยเชอกเบาและคลองผานรอกคลองซงมมวลนอยมาก ดงภาพท 4.24 (ก) ถากลองลนไถลลงมาตามพนเอยง จงหาขนาดของความเรงของวตถทงสองและแรงตงเชอก

1m

2m

θ

1m

T

gm1

a

T

a

N

gm2

θcosgm2

θsingm2

y

x

θ

) ก ( ) ข (

ภาพท 4.24 ภาพประกอบแบบฝกหดท 5

ตอบ 21

12

mm

gm)gsin(ma

,

21

21

mm

)]sin(g[1mmT

6. พจารณาระบบดงภาพท 4.25 (ก) จงหาสมประสทธของความเสยดทาน

1m

2m

F

θ

2m

gm2

T

N

gm1

kf

T

F θsinF

θcosFθ

ภาพท 4.25 ภาพประกอบแบบฝกหดท 6

ตอบ )]Fsin(g[m

amg)(am)Fcos(

1

12

μ หรอ

)]Fsin(g[m

gm)am(m)Fcos(

1

221

μ

7. ผกลกเหลกมวล 1.0 kg ผกกบเชอกเบายาว 2.0 m แลวแกวงเปนวงกลมในแนวราบ ถาเชอกเสน

นทนแรงตงไดสงสด 50 N อยากทราบวาอตราเรวสงสดของลกเหลกจะเปนเทาไร กอนทเชอกจะขาด

ตอบ 10 m/s

119

8. ลกบอลมวล m ผกกบเชอกเบายาว L เมอดงเชอกใหท ามม กบแนวดง แลวใหมวลแกวงเปนวงกลมทมรศม r ดงภาพท 4.26 เรยกระบบนวา conical pendulum จงหาอตราเรวของลกบอลและคาบเวลาของการแกวงเปนวงกลม

Tsinθ

Tcosθ

θ

T

gm

ภาพท 4.26 ภาพประกอบแบบฝกหดท 8

ตอบ ))tan(Lgsin(v , g

)Lcos(2T

π

9. แรง N)j2i2(F1 , N)j3i5(F2 และ N)i45(F3 กระท าบนวตถอนหนง ท าให

เกดความเรงทมขนาด 3.75 m/s2 จงหา ก) ทศทางของความเรงทกระท าตอวตถ ข) มวลของวตถ ค) องคประกอบของความเรวของวตถ เมอเวลาผานไป 10 s ง) ถาวตถอยในสภาพหยดนง ความเรวของวตถหลงผานไป 10 s มคาเทาใด

ตอบ ก) 181o ข) 11.2 kg ค) j833.0i5.37 m/s ง) 37.5 m/s 10. ขบวนตสนคามวล 1.5 x 107 kg ถกลากดวยหวรถจกรดวยแรงคงทขนาด 7.5 x 105 N จงหาวา

ตองใชเวลาเทาใดทตสนคาถกลากดวยหวรถจกรจากหยดนงใหมความเรว 80 km/hr ตอบ 444 s 11. ลกกระสนปนมวล 12 g เคลอนทดวยความเรว 400 m/s ทะลผานแผนไมไดระยะ 15 cm จงหา

แรงตานทแผนไมกระท าตอกระสน ตอบ – 6,400 N

120

12. รถยนตคนหนงขบดวยความเรว 50 km/hr ก) ในวนทฝนตก สมประสทธความเสยดทานระหวางลอกบพนถนนมคา 0.1 จงหาวาระยะเบรค

ทนอยทสด ข) ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางลอกบพนถนนมคา 0.5 ในวนทฝนไมตก จงหาวาระยะ

เบรคทท าใหรถหยด ตอบ ก) 256 m ข) 42.7 m 13. ภายในเครองซนโครตรอน อนภาคดวเทอรอนสามารถถกเรงใหมความเรวสดทายเปน 10 % ของ

ความเรวแสง ในขณะทอนภาคดวเทอรอนเคลอนทเปนวงกลมทมรศม 0.48 m ดวยแรงจากสนามแมเหลก อยากทราบตองใหแรงสนามแมเหลกขนาดเทาใด จงท าใหอนภาคดวเทอรอนเคลอนทเปนวงกลมดวยความเรวสดทายได

ตอบ 6.22 x 10-12 N 14. มาหมนเคลอนทเปนวงกลมครบ 1 รอบ ใชเวลา 12 s ถามเดกมวล 45 kg นงบนมาหมนซงอย

หางจดศนยกลาง 3 m จงหา ก) ความเรวของเดก ข) แรงเสยดทานทกระท าตอเดกในแนวราบ ค) สมประสทธความเสยดทานสถตทนอยทสด ทท าใหเดกยงนงอยบนมาหมนไดโดยไมไถล

ตอบ ก) 1.57 m/s ข) 37 N ค) 0.084

121

เอกสารอางอง

พงษศกด ชนนาบญ และวระชย ลมพรชยเจรญ. (2549). ฟสกส มหาวทยาลย เลม 1 (พมพครงท 1). กรงเทพฯ: วทยพฒน.

สมพงษ ใจด. (2548). ฟสกส มหาวทยาลย 1 (พมพครงท 6). กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมชปถมภ. (2543). ฟสกส เลม 1 (พมพครงท 2 ฉบบปรบปรงแกไข). กรงเทพฯ.

Halliday, D. , Resnick, R. , & Walker, J. (1997). Fundamental of physics (5th ed.). New York: John Wiley & Sons. . (2001). Fundamental of physics (6th ed.). New York: John Willey & Sons. . (2007). Fundamental of physics (8th ed.). New York: John Willey & Sons. Serway, R. A. (1996). Physics for scientists & engineers with modern physics

(4th ed.). Philadelphia: Saunders College. . (2008). Physics for scientists & engineers with modern physics (7th ed.).

Philadelphia: Saunders College.