ตอนที 3.1 การแกว่งกวัดแบบฮาร์มอน...
Transcript of ตอนที 3.1 การแกว่งกวัดแบบฮาร์มอน...
หน่วยที� 3 การกวดัแกว่ง
ตอนที� 3.1 การแกวง่กวดัแบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว
ตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีวตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว
ตอนที� 3.1การแกวง่กวดัแบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว
• สมการการเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว
• แนวเทยีบวงกลมอา้งองิกบัฮารม์อนิกเชงิเดยีว• แนวเทยีบวงกลมอา้งองิกบัฮารม์อนิกเชงิเดยีว
• พลงังานของตวัแกวง่กวดั
m
สมการการเคลือนทีแบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว
P�
xkF�
�
−=
m
m P
การเคลื�อนที�แบบนี&เรยีกวา่ การเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชิงเดียว
(simple harmonic motion) SHM
1x 2xx0 x
xkF�
�
−=
กฎของฮกุ (Hooke’s law)
k คอืคา่คงตวัของสปรงิมหีน่วยเป็นนิวตนัต่อเมตร )/( mN
x
xkF�
�
−=
mx0 x
amF�
�
=∑
k คอืคา่คงตวัของสปรงิมหีน่วยเป็นนิวตนัต่อเมตร )/( mN
จากกฎขอ้ที�สองของนิวตนั จะได้
2
2
dt
xdmkx =−
makx =−ในกรณ ี1 มติิ
022
2
=+ xdt
xdω
???)( =tx
02
2
=+ kxdt
xdm
m
k=2ω
เดาคาํตอบ
สมการการเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว
( )φω += tAtx sin)(
เดาคาํตอบ
φω +t มมุเฟส
A แอมปลจิดูω ความถี�เชงิมมุ เรเดยีน ต่อ วนิาท ี(rad/s)
ถกูกาํหนดด้วยการกระจดั และความเรว็ในตอนเริ�มต้น
φ เฟสเริ�มตน้
( )φω += tAtx cos)(หรอื
( )φω += tAtx sin)(
( )φωω +== tAdt
dxtv cos)(
( )φωω += tAtv cos)(
( )φωω +−=== tAxddv
ta sin)( 22
การกระจดั
ความเรว็
ความเร่ง ( )φωω +−=== tAdt
xd
dt
dvta sin)( 2
2
( )φωω +−= tAta sin)( 2
ความเร่ง
( )φωω +−= tAta sin)( 2
)()( 2 txta ω−=
In[3]:= Plot@Sin@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®[email protected]<<D
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
A@D9- p 7 p= 88 @D<<E
In[3]:= Plot@Sin@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®[email protected]<<D
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
In[8]:= Plot@Cos@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®[email protected]<<D
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
In[6]:= PlotACos@aD,9a, - p
2,7 p
2=,PlotStyle®[email protected]<<E
2 4 6 8 10
-1
-0.5
0.5
1
In[7]:= PlotASinAa+p
2E,8a,0,4 p<,PlotStyle®[email protected]<<E
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
In[8]:= Plot@Cos@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®[email protected]<<D
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
แนวเทยีบวงกลมอา้งองิกบัฮารม์อนิกเชงิเดยีว
http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/shm/phase0.html
พลงังานของตวัแกวง่กวดั
( )φω += tAtx cos)(
ระบบประกอบด้วยพลงังานศกัย ์และพลงังานจลน์
พลงังานศกัย์พลงังานศกัย์
2
2
1kxEp = [ ]2)cos(
2
1φω += tAk )(cos
2
1 22 φω += tkA
พลงังานศกัยม์คีา่ตํ�าสุดเทา่กบั 0 ณ ตําแหน่งสมดุล
พลงังานศกัยม์คีา่สงูสดุเทา่กบั 2
2
1kA ณ ตําแหน่งที�มกีารกระจดัเป็น A±
พลงังานจลน์ 2
2
1mv
( )φω += tAtx cos)(
( )φωω +−== tAdt
tdxtv sin
)()(
( )[ ]22 sin11
φωω +−== tAmmvE )(sin1 222 φωω += tmA
m
k=2ω
พลงังานจลน์มคีา่สงูสดุเทา่กบั 2
2
1kA ณ ตําแหน่งสมดุล
( )[ ]22 sin2
1
2
1φωω +−== tAmmvEk )(sin
2
1 222 φωω += tmA
ณ ตําแหน่งที�มกีารกระจดัเป็นพลงังานจลน์มคีา่ตํ�าสุดเทา่กบั 0 A±
)(sin2
1 22 φω += tkA
พลงังานศกัย์
พลงังานจลน์ )(sin2
1)( 22 φω += tkAtEk
)(cos2
1)( 22 φω += tkAtEp
พลงังานรวม
11)(sin
2
1)(cos
2
1)()( 2222 φωφω +++=+= tkAtkAtEtEE kp
[ ])(cos)(sin2
1 222 φωφω +++= ttkAE
2
2
1kAE =
In[11]:= Plot@Cos@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®[email protected]<<D
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
In[1]:= Plot@Sin@aD,8a,0,4 p<,PlotStyle®[email protected]<<D
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
In[10]:= PlotACos@aD2,8a,0,4 p<,PlotStyle®[email protected]<<E
2 4 6 8 10 12
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[2]:= PlotASin@aD2,8a,0,4 p<,PlotStyle®[email protected]<<E
2 4 6 8 10 12
0.2
0.4
0.6
0.8
1
พลงังานศกัย์
พลงังานจลน์ )(sin2
1)( 22 φω += tkAtEk
)(cos2
1)( 22 φω += tkAtEp
2
2
1kAE =
กราฟแสดงพลงังานจลน์ พลงังานศกัย ์ และพลงังานรวมที�เป็นฟงักช์นัของเวลา
0=φ
พลงังานศกัย์ พลงังานจลน์
)(sin2
1)( 22 φω += tkAtEk)(cos
2
1)( 22 φω += tkAtEp
2,
1kAE MAXp =
2, 2
1kAE MAXk =
, 2kAE MAXp =
0, =MINpE
22, 4
1
2
1
2
1kAkAE AVEp =
=
, 2kAE MAXk =
0, =MINkE
22, 4
1
2
1
2
1kAkAE AVEk =
=
กราฟแสดงพลงังานจลน์ พลงังานศกัย ์ และพลงังานรวมที�เป็นฟงักช์นัการกระจดั
ตวัอย่างที � 1 การเคลื�อนที�แบบ SHM ซึ�งแทนดว้ยสมการ
−=3
20sin5)(π
ttx
โดยที� x มหีน่วยเป็นเมตร t มหีน่วยเป็นวนิาท ีและเฟสมหีน่วยเป็นเรเดยีน จงคาํนวณหา
1. ความถี�2. คาบ2. คาบ3. การกระจดัสงูสดุ4. อตัราเรว็สงูสดุ5. อตัราเรง่สงูสดุ6. การกระจดั อตัราเรว็ และอตัราเรง่ ที�เวลา และ วนิาที
40
π=t0=t
ตวัอย่างที � 2 มวล 1 กโิลกรมัเคลื�อนที�แบบ SHM ดว้ยแอมพลจิดู 0.05 เมตร และคาบ 5 วนิาท ีจงหา
1. อตัราเรว็ของมวลที�จุดซึ�งหา่งจากจุดกึ�งกลางของการแกว่งกวดัเป็นระยะ 0.03 เมตร มคีา่เป็นเทา่ใด
2. พลงังานศกัยท์ี�จุดซึ�งอยูห่า่งจากจุดกึ�งกลางของการกวดัแกวง่เป็น ระยะ 0.03 เมตรมคีา่กี�จลู
J10 0.72 2)
m/s106.1)142
2
−
−
×
×
π
π
ตวัอย่างที �3 มวล m = 2.0 kg ตดิที�ปลายสปรงิเบา เมื�อออกแรง F = 20.0 N ดงึที�ปลายทาํใหส้ปรงิยดืออกเป็นระยะ x(0) = 40 cm หลงัจากนั &นเริ�มจบัเวลาพรอ้มกบัปล่อยใหม้วลเคลื�อนที� และถา้ไมม่แีรง เสยีดทานในการเคลื�อนที� และกาํหนดใหส้มการแสดงตําแหน่งของมวลที�เวลาใดๆคอื จงหา)cos()( φω += tAtx
• คา่คงตวั (k) ของสปรงิ • อมัพลจิดู (A) • อมัพลจิดู (A) • ความถี�เชงิมมุ ( ) • มมุเฟส ( ) เริ�มตน้ • จงหาความเรว็สงูสุดในการเคลื�อนที�ของมวลที�ปลายสปรงินี& • จงหาพลงังานรวมของระบบ
ω
φ
หน่วยที� 3 การกวดัแกว่ง
ตอนที� 3.1 การแกวง่กวดัแบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว
ตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีวตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว
ตอนที� 3.2 ระบบที�มกีารเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว
• ลกูตุม้เชงิเดยีว
ลกูตุม้เชงิเดยีว
θsin mgFt −=
2
2
dt
sdmmaFt == θls =
2
2
dt
dmlFt
θ=
θθ
sin 2
mgd
ml −= θθ
sin 2
mgdt
dml −=
0sin 2
2
=+ θθ
l
g
dt
d
พิจารณาการสั �นที�มีมมุแคบๆ
...!7!5!3
sin 753
+−+−=θθθ
θθ
เนื�องจาก
θθ ≈sin
0sin 2
2
=+ θθ
l
g
dt
d
พิจารณาการสั �นที�มีมมุแคบๆ θθ ≈sin
0 2
2
=+ θθ
l
g
dt
d
022
2
=+ xdt
xdω
สมการการเคลื�อนที�แบบฮารม์อนิกเชงิเดยีว
l
g=2ω
l
g=ω g
lT π
ωπ
22
==
ตวัอย่างที � 1 ลกูตุม้เชงิเดยีวมคีาบของการแกวง่กวดัเป็น 2.50 วนิาทจีงหา1. ความยาวของเชอืกเสน้นี&2. จงหาคาบของการแกว่งของลกูตุม้เชงิเดยีวเมื�ออยูบ่นดวงจนัทร์
กาํหนดให ้ 2/67.1 smgM =
ตวัอย่างที � 2 จงหาความถี�และคาบ ของลกูตุม้เชงิเดยีวที�มคีวามยาวเชอืกเป็น 10 เมตร )/10( 2smg =