40

บทท่ี 3

การวิเคราะห์แบบฟริูเยร์

Fourier analysis

ทฤษฏีของฟูริเย์นั้นถูกพฒันาและน าไปใชอ้ยา่งกวา้งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ โดยฟูริเย์

กลา่วไวว้า่ ฟังกช์นัจ านวนมากสามารถเขียนให้อยูใ่นรูปของอนุกรมอนันต์ (infinite series) หรือ

อินทิกรัล (integral) ของฟังกช์นัตรีโกณมติิได ้ โดยอนุกรมซ่ึงใชแ้สดงแทนฟังกช์นัจะถูกเรียกวา่

“อนุกรมฟูริเย์” (Fourier series) ในขณะท่ีฟังกช์นัซ่ึงถูกเขียนในรูปของอินทิกรัลจะถูกเรียกวา่

“ฟูริเย์อินทิกรัล” (Fourier integral) แนวคิดดงักลา่วไดเ้ป็นสว่นส าคญัในการสร้างแบบจ าลอง

ของปรากฏการณ์มากมายทางฟิสิกส์และทางวศิวกรรม โดยเฉพาะการน าทฤษฏีของฟูริเยร์ไป

ประยุกต์ใชใ้นงานวศิวกรรมไฟฟ้า (ตวัอยา่งเชน่การวเิคราะห์การตอบสนองดา้นความถ่ีของตวั

กรองสัญญาณ) รวมทั้งการน าเอาอนุกรมฟูริเย์และฟูริเย์อินทิกรัลไปใชใ้นการหาผลเฉลยเชิง

วเิคราะห์ในการแกปั้ญหาสมการเชิงอนุพนัธ์ยอ่ยซ่ึงจะกลา่วตอ่ไป

ฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ และฟังก์ชันแบบคาบ (Even, odd, and periodic functions)

กอ่นท่ีจะศึกษาทฤษฏีของฟูริเยร์ เราจ าเป็นตอ้งท าความเขา้ใจกบันิยามของฟังกช์นัคู ่

ฟังกช์นัค่ี และฟังกช์นัแบบคาบ ซ่ึงจะกลา่วตอ่ไปน้ี

สมมติให้ f ถูกนิยามบน x ส าหรับชว่ง ใดๆ ซ่ึงมศูีนย์กลางท่ี 0x เราจะเรียก f วา่

เป็นฟังกช์นัคู ่(even) ถา้

)()( xfxf , (3.1)

หรือฟังกช์นัค่ี (odd) ถา้

)()( xfxf , (3.2)

41

ส าหรับทุกๆคา่ x บนชว่งท่ีก าหนด หรืออีกนัยหน่ึง f จะสมมาตร(symmetric) รอบแกน x ถา้

f เป็นฟังกช์นัคู ่ ตวัอยา่งเชน่ ,,,2 2 xx และ )cos(x หรือ f จะปฎิสมมาตร(antisymmetric)

รอบแกน x ถา้ f เป็นฟังกช์นัค่ี ตวัอยา่งเชน่ ,3,, 53 xxx และ )sin(x ตวัอยา่งกราฟของฟังกช์นั

คูแ่ละฟังกช์นัค่ีสามารถแสดงไดด้งัรูปท่ี

(a) ฟังกช์นัคู ่

(b) ฟังกช์นัค่ี

รูปที ่3.1 ฟังกช์นัคูแ่ละฟังกช์นัค่ี

คณุสมบติัทางพีชคณิตท่ีส าคัญของฟังกช์นัคูแ่ละฟังกช์นัค่ีสามารถแสดงได้ดงัตอ่ไปน้ี

1. eveneveneven

2. oddoddodd

3. evenoddodd

4. eveneveneven

5. oddevenodd

ตวัอยา่งเชน่

)cos(2 x eveneveneven

3xx oddoddodd

x

f

x=const.

x

f

f=

x

42

)sin(3 xx evenoddodd

)cos(xx eveneveneven

22)tan( xx oddevenodd

นอกจากน้ี สองคณุสมบติัท่ีส าคญัของฟังกช์นัคูแ่ละฟังกช์นัค่ีในรูปของอินทิกรัลสามารถแสดงได้

เป็น

6.

LL

L

dxxfdxxf0

)(2)( ถา้ f เป็นฟังกช์นัคู ่

7. 0)(

L

L

dxxf ถา้ f เป็นฟังกช์นัค่ี

โดยทัว่ไปแลว้ ฟังกช์นัใดๆ ไมจ่ าเป็นท่ีจะตอ้งเป็นฟังกช์นัคูห่รือฟังกช์นัค่ี อยา่งไรกต็าม

ฟังกช์นัใดๆ สามารถเขียนให้อยูใ่นรูปผลรวมของฟังกช์นัคูแ่ละฟังกช์นัค่ีไดซ่ึ้งสามารถแสดงไดด้งั

สมการตอ่ไปน้ี

2

)()(

2

)()()(

xfxfxfxfxf

)()( xfxf oe (3.3)

โดยท่ี )(xf e คือฟังกช์นัคู ่และ )(xfo คือฟังกช์นัค่ี

ตัวอย่างที ่3.1 สมมติ xexf )( จงเขียนให้อยูใ่นรูปผลรวมของฟังกช์นัคูแ่ละฟังกช์นัค่ี

2

)()(

2

)()()(

xfxfxfxfxf

22

xxxx eeee

)sinh()cosh( xx

พิสูจน์ )cosh()cosh( xx Even

)sinh()sinh( xx Odd

43

ในกรณีฟังกช์นัแบบคาบ (Periodic function) จะเป็นไปตามนิยามตอ่ไปน้ี

)()( xfPxf (3.4)

โดย P คือคาบ (period) ของฟังกช์นั ตวัอยา่งของฟังกช์นัแบบคาบสามารถแสดงไดด้งัรูปท่ี

รูปที ่3.2 ฟังกช์นัแบบคาบ

คณุสมบติัอยา่งหน่ึงของฟังกช์นัชนิดน้ีกคื็อคาบของฟังกช์ ันจะสามารถแสดงไดเ้ป็น 2P,

3P, 4P, … ตวัอยา่งเชน่ )()())(()2( xfPxfPPxfPxf โดยคาบท่ีขนาด

เล็กท่ีสุดจะถูกเรียกวา่ “คาบพื้นฐาน”(fundamental period)

แบบฝึกหัด 3.1

1. พิสูจน์ (3.3)

2. จงหาคาบพื้นฐาน )(xf e และ )(xfo ของฟังกช์นัตอ่ไปน้ี

(a) x

e (b) )tan( x

(c) (d)

-1 -2 2 1

3

f

x

-1

-2 2

1

3 f

x

f

x P

44

อนุกรมฟริูเยร์(Fourier series)

สมมติให้ f เป็นฟังกช์นัซ่ึงสามารถอินทิเกรทไดใ้นชว่ง LL, โดยเราตอ้งการให้

ฟังกช์นัดงักลา่วสามารถเขียนไดใ้นรูปของอนุกรมอนันต์ของฟังกช์นัตรีโกณมิติตอ่ไปน้ี

1

0 )]sin()cos([)(n

nn xL

nbx

L

naaxf

(3.5)

โดยท่ี ,...,...,,, 2110 bbaa คา่คงท่ีซ่ึงท าให้สมการ (3.5) เป็นจริง

หากสังเกตจะเห็นไดว้า่สมการ (3.5) เป็นการรวมเชิงเส้น (linear combination)ของ

ฟังกช์นั sin และ cosine ซ่ึงเป็นฟังกช์นัแบบคาบซ่ึงมคีาบพื้นฐานเทา่กบั 2 อยา่งไรกต็าม

ฟังกช์นัซ่ึงเขียนในรูปของอนุกรมฟูริเย์ดงัสมการท่ี (3.5) จะมคีาบพื้นฐานเทา่กบั L2 โดย L คือ

ระยะคร่ึงคาบ (half period) ของฟังกช์นั f (x)

ส าหรับคา่คงท่ี ,...,...,,, 2110 bbaa ในสมการ (3.5) สามารถค านวณหาไดโ้ดยอาศยั

คณุสมบติัเชิงตั้งฉาก (orthogonality) ของฟังกช์นั sin และ cosine โดยแสดงไดด้งัสูตรของออย

เลอร์ (Euler formulas) ดงัน้ี

L

L

dxxfL

a )(2

10

(3.6a)

,cos)(1

L

L

n dxL

xnxf

La

...,2,1n (3.6b)

,sin)(1

L

L

n dxL

xnxf

Lb

...,2,1n (3.6c)

ตัวอย่างที ่ 3.2 หาอนุกรมฟูริเยร์ของฟังกช์นัแบบ “square wave” f แสดงดงัรูปท่ี โดย )(xf

เป็นฟังกช์นัแบบคาบ นิยามบน ],[ ดงัน้ี

x

xxf

0,4

0,0)( (3.7)

45

รูปที ่3.3 ฟังกช์นั square wave

ฟังกช์นั square wave ในรูปของอนุกรมฟูริเยร์ดงัสมการ (3.5) สามารถหาโดยการค านวณ

คา่คงท่ี ,...,...,,, 2110 bbaa ไดด้งัน้ี

dxxfa )(2

10

2402

1

0

0

dxdx

(หมายเหตุ: หากสังเกตสมการ (3.6a) จะเห็นไดว้า่สมการท่ีให้เป็นการค านวณหาคา่เฉล่ียของ

ฟังกช์นัภายในหน่ึงคาบของฟังกช์นั ],[ LL )

,cos)(1

nxdxxfan

0

0

cos4cos01

nxdxnxdx

0sin4

0

n

nx

ในขณะท่ี

,sin)(1

nxdxxfbn

0

0

sin4sin01

nxdxnxdx )cos1(4cos4

0

nnn

nx

0 2 3

4

x

f

46

-6 -4 -2 0 2 4 6-1

0

1

2

3

4

5

x

f(x

)

n=5

n=50

n=0

รูปที ่3.4 ฟังกช์นั square wave โดยอนุกรมฟูริเยร์

อนุกรมฟริูเย์ส าหรับฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

ในบางกรณี เราสามารถลดการค านวณของหาคา่สัมประสิทธ์ิของอนุกรมฟูริเยร์ได ้ โดยการ

ใชค้ณุสมบติัท่ี 6 และ 7 ของฟังกช์นัคูแ่ละฟังกช์นัค่ี โดยเมือ่ )(xf เป็นฟังกช์นัคูซ่ึ่งถูกนิยามบน

ชว่ง LL, คา่สัมประสิทธ์ิโดยสูตรของออยเลอร์สามารถเขียนใหมไ่ดเ้ป็น

L

dxxfL

a0

0 )(1 (3.8a)

,cos)(2

0

L

n dxL

xnxf

La

...,2,1n

(3.8b)

,0sin)(2

0

L

n dxL

xnxf

Lb

...,2,1n (3.8c)

หรือ )(xf เป็นฟังกช์นัค่ีซ่ึงนิยามบน ],[ LL สูตรของออยเลอร์สามารถเขียนใหมไ่ดเ้ป็น

47

0)(2

10

L

L

dxxfL

a (3.9a)

,0cos)(1

L

L

n dxL

xnxf

La

...,2,1n (3.9b)

,sin)(2

0

L

n dxL

xnxf

Lb

...,2,1n (3.9c)

จากสมการขา้งตน้จะเห็นไดว้า่เราสามารถลดขั้นตอนการค านวณคา่สัมประสิทธ์ิของ

อนุกรมฟูริเยร์ลงไดห้ากวา่ฟังกช์นัเป็นแบบฟังกช์นัคูห่รือค่ี เน่ืองจากคา่ของฟังกช์นัค่ีใน ]0,[ L

จะมขีนาด(Magnitude) เทา่กนัแตม่เีคร่ืองหมาย (sign) ตรงขา้มกบัคา่ของฟังกช์นัใน ],0[ L

ดงันั้นคา่อินทิกรัลของฟังกช์นัค่ีใน ],[ LL มคีา่เป็นศูนย์ ในขณะท่ีอินทิกรัลของฟังกช์นัคูใ่น

]0,[ L จะมขีนาดเทา่กบั คา่อินทิกรัลของฟังกช์นัใน ],0[ L ดงันั้น คา่อินทิกรัลของฟังกช์นัค่ีใน

],[ LL มคีา่เป็นสองเทา่ของอินทิกรัลใน ],0[ L

ดงันั้นหากเปรียบเทียบสมการ (3.3) และ (3.5)

)()(

1

0 )sin()cos()(

xf

n

xf

n

n

oe

xL

nbx

L

naaxf

(3.10)

จะเห็นวา่ฟังกช์นัคูจ่ะถูกเขียนแทนโดยอนุกรมของฟังกช์นัโคซายน์และฟังกช์นัค่ีถูกเขียนแทนใน

เทอมของอนุกรมของฟังกช์นัซายน์ หรืออีกนัยหน่ึงหากตอ้งการเขียนอนุกรมฟูริเยร์ของฟังกช์นัคู ่

เราตอ้งการเฉพาะอนุกรมของฟังกช์นัโคซายน์ ในขณะท่ีอนุกรมฟูริเยร์ของฟังกช์นัค่ี เราตอ้งการ

เฉพาะอนุกรมของฟังกช์นัซายน์

ตัวอย่างที ่ 3.3 หาอนุกรมฟูริเยร์ของฟังกช์นั 2)( xxf แสดงดงัรูปท่ี โดย )(xf เป็นฟังกช์นั

แบบคาบ นิยามบน ]1,1[

เน่ืองจาก )()()( 22 xfxxxf บน ]1,1[ ดงันั้น )(xf คือฟังกช์นัคู ่ดงันั้น

ในรูปของอนุกรมฟูริเยร์ คา่สัมประสิทธ์ิสามารถค านวณไดจ้ากสมการ(2.8) ไดด้งัน้ี

48

3

11

0

2

0 dxxa

2222

1

0

2 )1(4)cos(4)cos(2

nn

ndxxnxa

n

n

ดงันั้นอนุกรมฟูริเยร์ของฟังกช์นั 2x สามารถเขียนไดเ้ป็น

122

)cos()1(4

3

1)(

n

n

xnn

xf

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

f(x

)

f(x)=x2

รูปที ่3.5 ฟังกช์นั 2x โดยอนุกรมฟูริเยร์

แบบฝึกหัด 3.2

1. จงเขียนอนุกรมฟูริเยร์ของฟังกช์นัโคซายน์และพล็อตกราฟ จากนั้นเขียนอนุกรมฟูริเยร์ของ

ฟังกช์นัซายน์และพล็อตกราฟ ส าหรับฟังกช์นัซ่ึงนิยามบน [0, L] ตอ่ไปน้ี

(a) xxxf 0),4sin(1)(

(b)

21,0

10,)(

x

xexf

x

49

(c) 10,)( 2 xxxf

(d)

42,1

20,)(

x

xxxf

2. จงเขียนฟังกช์นัตอ่ไปน้ีในรูปของอนุกรมฟูริเยร์

(a) xxxf ),4sin(1)(

(b)

x

xxf

0,1

0,1)(

(c) 11,)( xexf x

(d)

xx

xxf ),sin(

2cos)(

ฟริูเยร์อินทกิรัล (Fourier Integral)

ในกรณีท่ี f ถูกนิยามบน ],[ เราจะเห็นวา่ f ไมใ่ชฟั่งกช์นัแบบคาบ

(Nonperiodic function) ท าให้เราไมส่ามารถเขียนฟังกช์นัดงักลา่วในรูปของอนุกรมฟูริเยร์ได้

อยา่งไรกต็ามหากใชแ้นวคิดในแบบเดียวกนัโดยสมมติให้ L สมการ (3.5) สามารถเขียน

ใหมไ่ดเ้ป็น

0

)]sin()cos([lim)(n

nnL

xL

nbx

L

naxf

(3.11)

จะเห็นไดว้า่เมือ่ L เพิ่มขั้น คา่สเปคตรัมความถ่ี (Frequency spectrum หรือ Ln / ) มคีา่ลดลง

จนกลายเป็นคา่ความถ่ีแบบตอ่เน่ือง (continuous spectrum หรือ LnL

/lim

) ดงันั้นผลรวม

ของอนุกรมใน (3.10) สามารถเขียนแสดงไดใ้หมโ่ดยใชค้า่อินทิเกรทของฟังกช์นั f เทียบกบั

เมือ่ L กลา่วคือ

0

sin)(cos)()( xdbxaxf (3.12)

เราเรียกสมการ (3.12) วา่ “ฟูริเยร์อินทิกรัล” ของฟังกช์นั f โดยท่ี

50

xdxxfa

cos)(1

)( (3.13)

xdxxfb

sin)(1

)( (3.14)

ตัวอย่าง 3.4 หาอฟริูเยร์อินทกิรัลของฟังก์ชันแบบ “rectangular pulse” f แสดงดงัรูปท่ี โดย

)(xf นิยามบน ],[ ดงัน้ี

x

x

x

xf

1,0

11,1

1,0

)( (3.15)

รูปที ่3.6 ฟังกช์นั rectangular pulse

ฟังกช์นั Rectangular pulse ในรูปของฟูริเยร์อินทิกรัลดงัสมการ (3.12) สามารถหาโดยการ

ค านวณคา่ )(a และ )(b ไดด้งัน้ี

xdxxfa

cos)(1

)(

1

1

1

1

cos0coscos01

xdxxdxxdx

sin2sin1

1

x

เน่ืองจาก f เป็นฟังกช์นัคู ่ ดงันั้นอินทิแกรนด์ (Integrand) ของอินทิกรัลส าหรับ )(b จีงเป็น

ฟังกช์นัค่ีเชน่กนั ท าให้ )(b มคีา่เป็นศูนย์เมือ่ท าการอินทิเกรทบน ],[

1

x

f

-1 1

51

ดงันั้นฟูริเยร์อินทิกรัลของ f สามารถเขียนไดเ้ป็น

0

cossin2

)(

xdxf

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

1.5

x

f(x

)

รูปที ่3.7 ฟังกช์นั rectangular pulse โดยฟูริเยร์อินทิกรัล

แบบฝึกหัด 3.3

1. จงหาฟูริเยร์อินทิกรัลของฟังกช์นัโคซายน์และพล็อตกราฟ จากนั้นเขียนฟูริเยร์อินทิกรัลของ

ฟังกช์นัซายน์และพล็อตกราฟ ส าหรับฟังกช์นัซ่ึงนิยามบน [0, ) ตอ่ไปน้ี

(a)

x

xxxf

,0

0),sin()(

(d)

x

xxxf

2,1

20,)(

2. จงเขียนฟังกช์นัซ่ึงนิยามบน )( x ตอ่ไปน้ี ในรูปของฟูริเยร์อินทิกรัล

(a) x

exf )(

(b) 2)( xxf