บทท 1 เทคนคของการหาปรพนธ

1.1 การหาปรพนธโดยการจดรปของปรพทธเขาสตรพนฐาน ของการหาปรพนธ 1.2 การหาปรพนธโดยใชเทคนคของการหาปรพนธ 1.2.1 วธการแทนคาหรอเปลยนตวแปร

1.2.1.1 รปแบบไมแนนอน 1.2.1.2 รปแบบแนนอน

1.2.1.2.1 ตรโกณมต 1.2.1.2.2 แทนคาตรโกณมต

1.2.2 วธแยกเศษสวนยอย 1.2.2.1 ฟงกชนตรรกยะของฟงกชนตรโกณมต 1.2.2.2 ฟงกชนอตรรกยะรปแบบแนนอน

1.2.3 การหาปรพนธทละสวน (Integration by part)

1.3 ปรพนธไมตรงแบบ (Improper Integral)

สตรการหาอนพนธ ก าหนดให u และ v เปนฟงกชนซงสามารถหาอนพนธได และ c เปนคาคงตว

dc0

dx

dx1

dx

d(u v) du dvdx dx dx

d(u v) du dv

u vdx dx dx

2

du dvv vd u dx dx , v 0

dx v v

nn 1du du

nudx dx

d(lnu) 1 dudx u dx

aa

d(log u) 1 dulog u

du u dx

uud(a ) du

a lnadx dx

u

ud(e ) due

dx dx

d(sinu) ducosu

dx dx

d(cosu) dusinu

dx dx

2d(tanu) dusec u

dx dx 2d(cotu) du

cosec udx dx

d(secu) dusecutanu

dx dx

d(cosecu) ducosecucotu

dx dx

2

d(arcsinu) 1 dudu dx1 u

2

d(arccosu) 1 dudu dx1 u

2d(arctanu) 1 du

du dx1 u

2

d(arccotu) 1 dudu dx1 u

2

d(arcsecu) 1 dudu dxu u 1

2

d(arccosecu) 1 dudu dxu u 1

d(sinhu) ducoshu

dx dx

d(coshu) dusinhu

dx dx

2d(tanhu) dusech u

dx dx 2d(cothu) du

cosech udx dx

d(sechu) dusecutanhu

dx dx

d(cosechu) ducosechucotu

dx dx

สตรพนฐานของการหาปรพนธ ก าหนดให c เปนคาคงตวของการหาปรพนธ

F1. 0dx c

F2. 1dx x c kdx kx c เมอ k เปนคาคงตว

F3. n 1

n xx dx c,n 1

n 1

F4. 1

dx ln| x | cx

F5. u

u aa du c ,a 0,a 1

lna

F6. u ue du e c

F7. sinudu cosu c cos(ax)

sin(ax)dx c,a 0a

F8. cosudu sinu c sin(ax)

cos(ax)dx c,a 0a

F9. 2sec udu tanu c 2 tan(ax)sec (ax)dx c,a 0

a

F10. 2csc udu cotu c 2 cot(ax)csc (ax)dx c,a 0

a

F11. secutanudu secu c sec (ax)

sec (ax) tan(ax)dx c,a 0a

F12. cscucotudu cscu c csc(ax)

csc(ax)cot(ax)dx c,a 0a

F13. tanudu ln cosu c ln secu c

ln cos(ax) ln sec(ax)tan(ax)dx c c,a 0

a a

F14. cotudu ln sinu c ln cscu c

ln sin(ax) ln csc(ax)cot(ax)dx c c,a 0

a a

F15. secudu ln secu tanu c ln sec(ax) tan(ax)

sec(ax)dx c,a 0a

F16. cscudu ln cscu cotu c ln csc(ax) cot(ax)

csc(ax)dx ca

F17. 2

duarcsinu c

1 u

2 2

1 xdx arcsin c,a 0

aa x

F18. 2du

arctanu c1 u

2 21 1 x

dx arctan c,a 0a aa x

F19. 2

duarcsec u c

u u 1

2 2

1 1 xdx arcsec c,0 a x

a ax x a

1.1 การหาปรพนธโดยการจดรปปรพนธเขาสตรพนฐาน พยายามจดรปใหเปนฟงกชนทสามรถหาปรพนธได

ตวอยาง จงหา 3

1 22x dx

5 x

วธท า

ตวอยาง จงหา

23

34 x x

dxx

วธท า

ตวอยาง จงหา 21 sin xcsc x dx

วธท า

ตวอยาง จงหา

csc x

dxcsc x sinx

วธท า

ตวอยาง จงหา

2sinx cosxdx

cosx

วธท า

1.2 การหาปรพนธโดยใชเทคนคของการหาปรพนธ 1.2.1.1 วธการแทนคาหรอเปลยนตวแปรทมรปแบบไมแนนอน พจารณาปรพนธในรป f g(x) dx โดยท f เปนฟงกชนหาปรพนธได

และ g เปนฟงกชนหาอนพนธได แลวเราสามารถหาปรพนธไดดงน

ตวอยาง จงหา 2019x 1 dx

วธท า

ก าหนดให u g(x) จะได du

dxg '(x)

จากนนแทนคาตวแปร u และ

dx จะไดปรพนธในรปของตวแปร u เทานน (ไมม x แลว) หากยงไมเปนปรพนธในรปของตวแปร u เทานน ใหพยายามจดรปตอไป และเมอท าการหาปรพนธของตวแปร u เรยบรอยแลวใหแทนคา u g(x) จนเปนฟงกชนของตวแปร x เทานน

ตวอยาง จงหา 22y 1 y dy

วธท า

ตวอยาง จงหา 4cos xsinxdx

วธท า

ตวอยาง จงหา 2 3x 2 x 1 dx

วธท า

ตวอยาง จงหา tan2x 2e sec 2xdx

วธท า

ตวอยาง จงหา

2

dx

x 1 lnx

วธท า

1.2.1.2.1 ปรพนธของฟงกชนตรโกณมตรปแบบแนนอน พจารณา 3 รปแบบดงตอไปน

1. m nsin xcos xdx

2. m ntan xsec xdx หรอ m ncot xcsc xdx

3. sin(mx)cos(nx)dx, sin(mx)sin(nx)dx, และ

cos(mx)cos(nx)dx

สตรพนฐานทควรทราบ

หมายเหต เราสามารถจดกลมของฟงกชนตรโกณมตไดเปน 3 วงศ โดยแตละวงศจะมความสมพนธเชงอนพนธ และมเอกลกษณของ พทากอรส ดงตารางตอไปน

2 2sin u cos u 1

2 21 cot u csc x 2 2tan u 1 sec u

2 2cos2u 2cos u 1 1 2sin u

sin(2u) 2sinucosu

sin( u) sinu

cos( u) cosu

วงศ I วงศ II วงศ III d

(sinx) cos xdx

2d(tanx) sec x

dx 2d

(cot x) csc xdx

d(cos x) sinx

dx d

(sec x) sec x tanxdx

d(csc x) csc xcot x

dx

2 2sin x cos x 1 2 21 tan x sec x 2 21 cot x csc x

1.2.1) m nsin xcos xdx (ดตาราง หนา 23)

กรณ วธการแทนคา เอกลกษณทตองใช m เปนจ านวนเตมบวกค

ให u cos x และ m m 1sin x sin x sinx

ได

dxdx

sinx

2 2sin x 1 cos x

n เปนจ านวนเตมบวกค

ให u sinx และ m m 1cos x cos xcos x

ได du

dxcos x

2 2cos x 1 sin x

m และ n เปนจ านวนเตมบวกค

ลดก าลงของ cos x และ sinx 2 1 cos(2x)cos x

2

2 1 cos(2x)

sin x2

sin(2x)

sinxcos x2

(m n เปนจ านวนเตมลบค) หรอ (m, n เปนจ านวนเตมลบค และ m หรอ n เปนจ านวนลบ)

ให u tanx ได 2du

dx1 u

2 2

u 1sinx ,cos x

1 u 1 u

หรอ ให u cot x ได 2du

dx1 u

2 2

1 usinx ,cos x

1 u 1 u

2 2sin x cos x 1

ก. m nsin xcos xdx เมอ m หรอ n เปนจ านวนเตมบวกค

ก.1) m เปนจ านวนเตมบวกค m 2k 1, k 0

ให u cos x du sinxdx ได

m n 2k nsin xcos xdx sin xsinxcos xdx

k2 n(1 cos x) cos xd( cos x)

2 k n(1 u ) u du

ก.2) n เปนจ านวนเตมบวกค n 2k 1, k 0 ให u sinx du cos xdx ได

m n m 2ksin xcos xdx sin xcos xcosxdx

m 2 ksin x(1 sin x) d(sinx)

m 2 ku (1 u ) du

ขอสงเกต ใชทฤษฎบททวนาม กระจายพจน 2 k(1 u ) ไดดงน

2 k k 2 0 k 1 2 1 k 0 2 k

kp k p 2 p

p 0

k k k(1 u ) 1 (u ) 1 (u ) ( 1) 1 (u )

0 1 k

k ( 1) 1 (u )

p

สรป เราจะประยกตใชเทคนคการเปลยนตวแปรโดยปรบฟงกชน sine และ cosine ทมเลขชก าลงเปนจ านวนคบวก พรอมทงขอสงเกตตอไปน cosxdx d(sinx) และ sinxdx d(cosx)

ตวอยาง จงหา 3 5sin xcos xdx

วธท า

ตวอยาง จงหา 8 7sin xcos xdx

วธท า

ตวอยางท 1.2.8 (หนา 12) จงหา 7 3xcos dx

2

วธท า

ข. m nsin xcos xdx เมอ m และ n เปนจ านวนเตมบวกค

หรอ ตวใดตวหนงเปนศนย

m 2p, p 0 และ n 2q, q 0 หาคา m nsin xcos xdx โดยลดก าลงของ cos x และ sinx

และใชเอกลกษณ 2 1 cos(2x)cos x ,

2

2 1 cos(2x)sin x ,

2

และ sin(2x)

sinxcos x2

ได

m n 2p 2qsin xcos xdx sin xcos xdx

p q1 cos(2x) 1 cos(2x)

dx2 2

จากนนใชทฤษฎบททวนามกระจายและถอดวงเลบ จะไดปรพทธในรปของ cos(2x) ยกก าลงเตมบวกคบาง คบาง แลวใหด าเนนการซ าเพอลดก าลงของ cos(2x) ทมก าลงเปนจ านวนบวกคตอไป สวนพจน cos(2x) ทมก าลงเปนจ านวนเตมบวกคจะอยในกรณ ก.

สรป ลดทอนก าลงคดวยสตรตอไปน

2 1cos x (1 cos(2x))

2 และ 2 1

sin x (1 cos(2x))2

ตวอยาง จงหา 2 2cos xsin xdx

วธท า

ตวอยางท 1.2.10 (หนา 15) จงหา

2

4cos (2x)dx

วธท า

ค. พจารณา m nsin xcos xdx เมอ (m n เปนจ านวนเตมลบค) หรอ

(m, n เปนจ านวนเตมลบค และ m หรอ n เปนจ านวนลบ)

ให m n 2p, p 0 และ

ให u tanx

22

1sec xdx du dx du

1 u

และ 2 2

u 1sinx , cos x

1 u 1 u

หรอ

u cot x

22

1csc xdx du dx du

1 u

และ 2 2

1 usinx , cos x

1 u 1 u

ได

m

m nm n 2

2 22 2

u 1 dusin xcos xdx

1 u(1 u ) (1 u )

m

m n 22 2

udu

(1 u )

m 2 p 1u (1 u ) du

2 k k 2 0 k 1 2 1 0 2 k

k2p

p 0

k k k(1 u ) 1 (u ) 1 (u ) 1 (u )

0 1 k

k u

p

ตวอยาง จงหา 3 11

1dx

sin xcos x

ตวอยางท 1.2.12 (หนา 17) จงหา 2

4sin (3x)

dxcos (3x)

วธท า

1.2.2 m ntan xsec xdx หรอ m ncot xcsc xdx (หนา 33)

กรณ วธการแทนคา เอกลกษณทใช

n เปนจ านวนเตมบวกค

ให u tanx 2du sec xdx

หรอ u cot x 2du csc xdx

2 2sec x 1 tan x

2 2csc x 1 cot x

m เปนจ านวนเตมบวกค

ใหu sec x du secx tanxdx

หรอ u csc x du cscxcot xdx

2 2tan x sec x 1

2 2cot x csc x 1

m เปนจ านวนเตมบวกค และ n เปนจ านวนเตมบวกค

ใชวธการหาปรพนธทละสวน

n 0, m

1. ใชสตรลดทอน

m 1m m 2tan x

tan xdx tan xdxm 1

m 1

m m 2cot xcot xdx cot xdx

m 1

2. แทนคาดวย u tanx

22

11 u ;

cos x 2

dxdu

cos x

3. เปลยนปรพทธเปน p psin x cos x

2 2tan x sec x 1

ก. m ntan xsec xdx หรอ m ncot xcsc xdx

เมอ n เปนจ านวนเตมบวกค

ก.1) ให 2u tanx du sec xdx

และใชเอกลกษณ 2 2sec x 1 tan x ได

m n m n 2 2tan xsec xdx tan xsec xsec xdx

n 2

m 2 2tan x(1 tan x) d(tanx)

n 2

m 2 2u (1 u ) du

ก.2) ให 2u cot x du csc xdx

และใชเอกลกษณ 2 2csc x 1 cot x ได

m n m n 2 2cot xcsc xdx cot xcsc xcsc xdx

n 2

m 2 2cot x(1 cot x) [ d(cot x)]

n 2

m 2 2u (1 u ) du

สรป ลดทอนก าลงดวยสตรตอไปน 2 2sec x 1 tan x และ 2d(tanx) sec xdx

2 2csc x 1 cot x และ 2d(cot x) ( csc x)dx

ตวอยาง จงหา 4 2tan xsec xdx

วธท า

ตวอยาง จงหา 4sec xdx

วธท า

ตวอยางท 1.2.16 (หนา 25) จงหา

32

34

34 2csc (3x)cot (3x)dx

วธท า

ข. m ntan xsec xdx หรอ m ncot xcsc xdx

เมอ m เปนจ านวนเตมบวกค สามารถท าไดโดยเปลยนใหอยในรป p qsin xcos xdx แลวด าเนนการตาม

หวขอ 1.2.1 ข.1) แยกพจน sec x tanx ออกแลวแทนคา

u secx du secx tanxdx ได

และใชเอกลกษณ 2 2tan x sec x 1

m n m 1 n 1tan xsec xdx tan x tanxsec xsec xdx

m 1

2 n 12(sec x 1) sec xd(sec x)

m 1

2 n 12(u 1) u du

ข.2) แยกพจน cot xcsc x ออกแลวแทนคา

u cscx du cscxcot xdx ได

และใชเอกลกษณ 2 2cot x csc x 1

m n m 1 n 1cot xcsc xdx cot xcot xcsc xcsc xdx

m 1

2 n 12(csc x 1) csc x [ d(csc x)]

m 1

2 n 12(u 1) u du

สรป ลดทอนก าลงคดวยสตรตอไปน 2 2tan x sec x 1 และ d(sec x) sec x tanxdx

2 2cot x csc x 1 และ d(csc x) ( csc xcot x)dx

ตวอยาง จงหา 3 5tan xsec xdx

วธท า

ตวอยางท 1.2.19 (หนา 28) จงหา 5 3cot (5x)csc (5x)dx

วธท า

ค. m ntan xsec xdx หรอ m ncot xcsc xdx

เมอ m เปนจ านวนเตมบวกค และ n เปนจ านวนเตมบวกค สามารถหาคาไดโดยใชเทคนคการหาปรพนธทละสวน ซงจะศกษาในหวขอตอไป

ง. m ntan xsec xdx หรอ m ncot xcsc xdx

เมอ n 0, m

พจารณา mtan xdx หรอ mcot xdx

วธท 1 โดยการสรางสตรลดทอน (Reduction formula) m m 2 2tan xdx tan x tan xdx

m 2 2tan x(sec x 1)dx

m 2 2 m 2tan xsec xdx tan x dx

m 2 m 2tan xd(tanx) tan xdx

m 1

m 2tan xtan xdx

m 1

และ

m m 2 2cot xdx cot xcot xdx

m 2 2cot x(csc x 1)dx

m 2 2 m 2cot xcsc xdx cot xdx

m 2 m 2cot x[ d(cot x)] cot xdx

m 1

m 2cot xcot xdx

m 1

วธท 2 หาคา mtan xdx โดยการคณดวย 2

2sec x

sec x ไดดงน

2

m m2

sec xtan xdx tan x dx

sec x

m

22

tan xsec xdx

1 tan x

m

2u

du1 u

เมอ u tanx

จากนนท าการหารยาว m

2u

1 u ใหอยในรปอยางงายตอการหาคาตอไป

และหาคา mcot xdx โดยการคณดวย 2

2csc xcsc x

ไดดงน

2

m m2

csc xcot xdx cot x dx

csc x

m

22

cot xcsc xdx

1 cot x

m

2u

du1 u

เมอ u cotx

จากนนท าการหารยาว m

2u

1 u ใหอยในรปอยางงายตอการหาคาตอไป

วธท 3 เปลยน

m

m m mm

sin xtan xdx dx sin xcos xdx

cos x

แลวหาคาตามกรณท 1

ตวอยาง (สตรลดทอน) จงหา 5tan xdx

วธท า

ตวอยาง (สตรลดทอน) จงหา 6cot (4x)dx

วธท า

1.2.3) sin(mx)cos(nx)dx, sin(mx)sin(nx)dx, และ

cos(mx)cos(nx)dx

สามารถหาคาไดโดยใชเอกลกษณตรโกณมตตอไปน

sin(m n)x sin(mx)cos(nx) sin(nx)cos(mx) (1) sin(m n)x sin(mx)cos(nx) sin(nx)cos(mx) (2) cos(m n)x cos(mx)cos(nx) sin(mx)sin(nx) (3) cos(m n)x cos(mx)cos(nx) sin(mx)sin(nx) (4)

(1)+(2): 1

sin(mx)cos(nx) sin(m n)x sin(m n)x2

(4)-(3): 1

sin(mx)sin(nx) cos(m n)x cos(m n)x2

(3)+(4): 1

cos(mx)cos(nx) cos(m n)x cos(m n)x2

เพอเปลยนตวปรพทธซงอยในรปผลคณของฟงกชนตรโกณมตใหอยในรปผลบวกหรอผลตางของฟงกชนตรโกณมต

ตวอยาง จงหา sin(3x)cos(2x)dx

วธท า

ตวอยาง จงหา cos(4x)cos(7x)dx

วธท า

ตวอยาง จงหา sin(3x)sin(4x)dx

วธท า