เอกสารแนะแนวทางท่ี 1 เรื่องลิมติของลำาดับ** จุดมุง่หมายสำาหรบัหวัขอ้นี้ต้องการดวูา่พจน์ในลำาดับ มสีภาพเป็นเชน่ไร ในขณะท่ี n มคี่ามากขึ้นเรื่อย ๆ อยา่งไมม่ท่ีีสิน้สดุ **กำาหนดลำาดับอนันต์ จงเขยีนกราฟ พรอ้มกับพจิารณาลักษณะของ ในขณะที่ n มค่ีามากขึ้นอยา่งไมม่ท่ีีสิน้สดุ***ลำาดับ เขยีนแบบแจกแจงสมาชกิได้ดังน้ี …………………………………………………………….หรอืเขยีนในรูปเซตของคู่อันดับ ได้ดังน้ี ………………………………………………………………………นำามาเขยีนกราฟได้ดังน้ี

จากรูปจะเหน็วา่ ขณะท่ี n มค่ีามากขึ้น ค่าของ จะมีลักษณะ…………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………… เขยีนแทนด้วยสญัลักษณ์…………………………………………………………………………………………………………………ต.ย.1 กำาหนดลำาดับอนันต์ต่อไปน้ี จงเขยีนแสดงลำาดับในรูปของเซตของคู่อันดับและเขยีนกราฟ และพจิารณาวา่ลำาดับน้ี เขา้ใกล้จำานวนจรงิใด เมื่อ n มค่ีามากขึ้นอยา่งไมม่ท่ีีสิน้สดุ

2)

สรุปได้วา่…………………………………………..สรุปได้วา่…………………………………………..

3) 4)

1

สรุปได้วา่………………………………………… สรุปได้วา่…………………………………………5)

สรุปได้วา่…………………………………………สรุปกันอีกครัง้

การหาลิมติของลำาดับ คือ การพจิารณาค่าของ ของลำาดับ เมื่อ n มค่ีามากขึ้นเรื่อย ๆ ไมม่ท่ีีสิน้สดุ (ซึ่งใชส้ญัลักษณ์ n ) วา่มลัีกษณะอยา่งไร ซึ่งพจิารณาได้ดังน้ีลักษณะท่ี 1 เมื่อ n ค่าของ เขา้ใกล้ค่าคงท่ีค่าหน่ึง เชน่ ลำาดับ จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ เขา้ใกล้ 0 เขยีนแทนด้วย

ลักษณะท่ี 2 เมื่อ n ค่าของ เท่ากับค่าคงท่ีค่าหน่ึง เชน่ ลำาดับ 2 , 2 , 2 , …. , 2 , …. จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ = 2เขยีนแทนด้วย

ลักษณะท่ี 3 ค่าของ เพิม่ขึ้นหรอืลดลงไมม่ขีอบเขตเมื่อ n เชน่1. ลำาดับ 1 , 2 , 3 , 4 , … , n , … จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ 2. ลำาดับ -1 , -2 , -3 , -4 , … , -n , … จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ จากลำาดับทัง้ 2 จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ เพ่ิมขึ้นหรอืลดลงอยา่งไมม่ขีอบเขต ลักษณะอยา่งน้ี กล่าวได้วา่ ลำาดับน้ีไมม่ลิีมติ หรอืหาลิมติไมไ่ด้

ลักษณะท่ี 4 ค่าของ เพิม่ขึ้นและลดลงสลับกันไป เมื่อ n เชน่ลำาดับ 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , … จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ ไมเ่ขา้ใกล้หรอืเท่ากับค่าใดค่าหน่ึง หรอืลำาดับ 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , … จะเหน็วา่เมื่อ n ค่าของ มีค่าเพิม่ขึ้นและลดลงอยา่งมรีะเบยีบ แต่ไมเ่ขา้หรอืเท่ากับค่าคงที่ค่าใดค่าหน่ึงลำาดับลักษณะน้ี ถือวา่ไมม่ลีิมติ หรอืหาค่าลิมติของลำาดับไมไ่ด้

ลักษณะท่ี 5 เมื่อ n ค่าของ เปล่ียนแปลงโดยไมม่กีฎเกณฑ์ท่ีแน่นอน เชน่ ลำาดับ 2 , 5 , -8 , 7 , 11 , … เป็นลำาดับซึ่งเราบอกไมไ่ด้วา่ เมื่อ n แล้วค่าของ

มค่ีาเป็นอยา่งไรลำาดับลักษณะน้ีหาลิมติไมไ่ด้ หรอืเป็นลำาดับท่ีไมม่ลีิมติ

จากท่ีกล่าวมาแล้วขา้งต้นพอสรุปได้วา่

2

1.ลำาดับที่มลิีมติ คือ ลำาดับที่มค่ีาของ เขา้ใกล้หรอืเท่ากับค่าคงท่ีค่าใดค่าหนึ่ง เมื่อ n เรยีกลำาดับท่ีหาลิมติได้วา่ ลำาดับลู่เขา้หรอืลำาดับคอนเวอรเ์จนต์ (Convergent Sequence)2. ลำาดับที่หาลิมติไมไ่ด้คือ ลำาดับท่ีค่าของ ไมเ่ขา้ใกล้หรอืเท่ากับค่าคงท่ีค่าใดค่า

หน่ึง เมื่อ n เรยีกลำาดับท่ีหาลิมติไมไ่ด้วา่ ลำาดับลู่ออกหรอืลำาดับไดเวอรเ์จนต์ (Divergent Sequence)

นัน่คือ ถ้าลำาดับ มลิีมติเท่ากับ L เมื่อ n เขยีนแทนด้วย

เอกสารแนะแนวทางท่ี 2 เรื่องทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมติทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมติให ้ เป็นลำาดับของจำานวนจรงิ และ เป็นค่าคงตัว จะได้วา่1. ถ้า แล้ว

เชน่ = ………… = …………… = ………… = …………2. 3. 4.

5. เมื่อ สำาหรบัทกุจำานวนเต็มบวก

6. ให ้ เป็นจำานวนจรงิบวกใด ๆ จะได้วา่ และ

เชน่

7. ให้ เป็นจำานวนจรงิ ถ้า แล้ว

ถ้า แล้ว เชน่

8. ถ้า (ลำาดับไดเวอรเ์จนต์) และ เป็นค่าคงตัว แล้ว = ………… เชน่ แล้ว = ………………….

3

9. เมื่อ เป็นลำาดับของจำานวนจรงิท่ีมากกวา่หรอืเท่ากับ 0 และ เป็นจำานวนเต็มท่ี มากกวา่ 2 เชน่ = …………………… = ……………………10. ถ้า หาค่าได้ และ k เป็นจำานวนตรรกยะ แล้ว เชน่ = …………………… จงหาค่าของ1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

4

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

5

เอกสารฝึกหัดตรวจสอบดวูา่ลำาดับ ท่ีกำาหนดให้ เป็นลำาดับลู่เขา้หรอืลู่ออก ถ้าเป็นลำาดับลู่เขา้ จงหาลิมติของลำาดับ

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

6

เอกสารแนะแนวทางท่ี 3 เรื่องผลบวกอนุกรมอนันต์พจิารณาอนุกรมอนันต์ต่อไปน้ี ให ้ เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมอนันต์ จะได้ S2 = S3 = S4 = S5 = 1.96875 S10 = 1.99902344 S15 = 1.99996948 S25 = 1.99999997ใหนั้กเรยีนสงัเกตค่าของ n และค่าของ Sn มลัีกษณะเป็นอยา่งไร..............................................................................เรยีก วา่ลำาดับผลบวกยอ่ย

ผลบวกของอนุกรมอนันต์ใด คือ ลิมติของลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรมนัน้ เมื่อลำาดับนัน้มลิีมติ

ลิมติของลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรม คือ

นัน่คือ ผลบวกของอนุกรมอนันต์ คือ

จากตัวอยา่งขา้งต้น ลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรม คือ................................................ตัวอยา่งท่ี 1 จงหาผลบวกของอนุกรม

ตัวอยา่งท่ี 2 จงหาผลบวกของอนุกรม

7

**** สำาหรบัอนุกรมอนันต์ท่ีมผีลบวกเรยีกวา่ อนุกรมลู่เขา้หรอือนุกรมคอนเวอร์เจนต์ และ อนุกรมอนันต์ท่ีไมม่ผีลบวก เรยีกวา่ อนุกรมลู่ออกหรอือนุกรมไดเวอรเ์จนต์ *****จากตัวอยา่งที่กล่าวมาแล้ว จะเหน็วา่อนุกรมอนันต์ใดจะเป็นอนุกรมลู่เขา้ หรอือนุกรมลู่ออก นัน้หาได้ดังนี้1. หา ของอนุกรมนัน้

2. หา ถ้าหา ได้แสดงวา่อนุกรมนัน้เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรอือนุกรมอนันต์

นัน้หาผลบวกได้

แต่ถ้า หาไมไ่ด้ อนุกรมนัน้เป็นอนุกรมลู่ออก หรอือนุกรมอนันต์นัน้หาผลบวก

ไมไ่ด้สำาหรบัอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ อาจพจิารณาหาได้ดังน้ีกำาหนด เป็นอนุกรมเรขาคณิตในกรณีท่ี ถ้า r = 1 จะได้ลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คือ ซึ่งไมม่ลิีมติถ้า r = -1 จะได้ลำาดับผลบวกยอ่ยของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คือ ซึ่งไมม่ลิีมติในกรณี จะได้ หรอื จากอนุกรมเรขาคณิต จะได้ = = ………………………………………………………………………………….

= …………………………………………………………………………………………………………..

ถ้า หาไมไ่ด้ นัน่คือ ไมม่ ี อนุกรมเรขาคณิตน้ีไมม่ลิีมติ

ถ้า = 0 นัน่คือ

นัน่คือ ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิต เมื่อ

*****เขยีนแทนผลบวกอนันต์ของอนุกรมด้วย S******** สำาหรบัอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ จะได้ S

เมื่อ

8

ตัวอยา่งท่ี 3 จงหาผลบวกของอนุกรม ตัวอยา่งท่ี 4 จงหาผล

บวกของอนุกรม

ตัวอยา่งท่ี 5 จงหาผลบวกของอนุกรม

เอกสารฝึกหัด1. จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ (ถ้าม)ี ในแต่ละขอ้ต่อไปนี้1. 2. 4 – 1.6 + 0.64 + ...

3. 4.

5. 6.

2. จงใชค้วามรูเ้รื่องอนุกรม เขยีนจำานวนต่อไปน้ี ใหอ้ยูใ่นรูปเศษสว่นของจำานวนเต็ม 1) 2) 3)

9

3. จงหาค่า ท่ีทำาให ้

4. สามเหล่ียมด้านเท่ารูปหน่ึง มด้ีานยาวด้านละ เซนติเมตร สามเหล่ียมด้านเท่ารูปที่สอง เกิดจากการเชื่อมจุดกึ่งกลางด้าน ทัง้สามของสามเหล่ียมด้านเท่ารูปแรกและสามเหล่ียมด้านเท่ารูปท่ีสามเกิดจากการเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านทัง้สามของ สามเหล่ียมด้านเท่ารูปที่สอง เป็นเชน่น้ีเรื่อย ๆ ไป จงหาผลบวกของความยาวของเสน้รอบรูปของรูปสามเหล่ียมทัง้หมด ถ้ากระบวนการสรา้งสามเหล่ียมน้ีเกิดต่อเน่ืองโดยไมม่ทีี่สิน้สดุ

5. อนุกรมเรขาคณิตอนันต์อนุกรมหน่ึงมผีลบวกของ 4 พจน์แรกเท่ากับ และหาผลบวกของอนุกรมน้ีเท่ากับ จงหาอนุกรมน้ี

6. ลกูบอลยางลกูหน่ึงถกูปล่อยลงมาจากท่ีสงู 90 เซนติเมตร ลกูบอลเมื่อกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นสงู ของความสงูท่ีตกลง มาทกุครัง้ จงหาระยะทางที่ลกูบอลเคล่ือนท่ีจนกวา่มนัจะหยุดนิ่ง

10

7. เหมอืงทองคำาแหง่หน่ึง ขุดทองคำาได้น้อยลงรอ้ยละ 13 ของปีก่อนๆ ถ้าในปีแรกขุดทองคำาได้เป็นมูลค่า 26 ล้านบาท จงหามูลค่าของทองคำาที่ขุดได้ตลอดกาล

เอกสารแนะแนวทางท่ี 4 เรื่องอนุกรม ( Series )

บทนิยาม ถ้า เป็นลำาดับจำากัด เราจะเรยีก วา่เป็นอนุกรมจำากัด ถ้า เป็นลำาดับอนันต์ เราจะเรยีก วา่เป็นอนุกรมอนันต์สญัลักษณ์แทนการบวก

= อ่านวา่ การบวก เมื่อ ถึง

เรยีก วา่ พจน์ท่ี ของอนุกรม เมื่อ

= อ่านวา่ การบวก มค่ีาตัง้แต่ 1 ขึ้นไป

เรยีก วา่ พจน์ท่ี ของอนุกรม เมื่อ

ตัวอยา่งท่ี 1 จงเขยีนจำานวนต่อไปน้ีแทนด้วยสญัลักษณ์แทนการบวก1. 2. 1+2+3+4+…..

3. 9+12+15+18+21 4. 1+4+9+…+121

5. 6.

7. 8.

ตัวอยา่งท่ี 2 จงหาค่าของจำานวนต่อไปนี้

1.

…………………………………………………………………………….

11

2.

…………………………………………………………………………….

3.

…………………………………………………………………………….

4. …………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

5. …………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

6. …………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

7. ………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………….

เอกสารแนะแนวทางท่ี 5 เรื่องสมบติัของสญัลักษณ์แทนการบวกสมบติัของสญัลักษณ์แทนการบวก

1. เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

เชน่ = ………………………………….. = …………………………………..

12

2.

เชน่

=…………………………………………………………………………………………………….

3. เชน่ ……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………….………………………………………………….…………………………………………………….………………………………………………….…………………………………………………….………………………………………………….…………………………………………………….………………………………………………….ตัวอยา่งท่ี 1 ถ้า f(x) = 5x - 7 จงหาค่าของ

ตัวอยา่งท่ี 2 ให ้f(x) = จงหา

2.1 2.2

การใช ้ เป็นสญัลักษณ์แทนการบวก จำานวนท่ีใชเ้ป็นจำานวนเริม่ต้นไมจ่ำาเป็นต้องเป็น 1 เสมอไป อาจเป็นจำานวนเต็มใดก็ได้ เชน่ =

เอกสารแนะแนวทางท่ี 6 เรื่องสตูรผลบวกของอนุกรมจำากัด

13

สตูรผลบวกของอนุกรมจำากัด

1. = 2. =

3. =

ตัวอยา่งท่ี 1 จงหาค่าของ

1. = 2. =

3. =

4. 1 + 2 + 3 +…. + 89

5.

6. =

7. 8.

9. 10.

ตัวอยา่งท่ี 2 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมและผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม

14

ตัวอยา่งท่ี 3 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1(2+3)+4(4+3)+9(6+3)+16(8+3)+...+n2(2n+3)+…

ตัวอยา่งท่ี 4 ถ้า 1+2+3+4+...+n = 153 แล้วจงหาค่าของ n

ตัวอยา่งท่ี 5 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม

15

ตัวอยา่งท่ี 6 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม

ตัวอยา่งท่ี 7 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม

ตัวอยา่งท่ี 8 จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้8.1

8.2

16

8.3

เอกสารแนะแนวทางเรื่อง 7 อนุกรมผสมระหวา่งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต

เชน่ , เป็นต้นอนุกรมผสมระหวา่งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต จะเป็นอนุกรมลู่เขา้ เมื่อ เมื่อ คือ อัตราสว่นรว่มของอนุกรมเรขาคณิต แต่ถ้า อนุกรมน้ีเป็นอนุกรมลู่ออกตัวอยา่ง จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1. 2.

17

3. 4.

เมื่อ

เอกสารฝึกหัดจงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1. 2.

3. 4.

18

5. 6.

ใบความรูเ้รื่อง 7 อนุกรมผสมระหวา่งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิตเชน่ , เป็นต้นอนุกรมผสมระหวา่งอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต จะเป็นอนุกรมลู่เขา้ เมื่อ เมื่อ คือ อัตราสว่นรว่มของอนุกรมเรขาคณิต แต่ถ้า อนุกรมน้ีเป็นอนุกรมลู่ออกตัวอยา่ง จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1. 2.

3. 4. เมื่อ

19

เอกสารฝึกหัดจงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1. 2.

3. 4.

5. 6.

20

เอกสารแนะแนวทาง 8 เรื่องอนุกรมอื่น ๆท่ีควรทราบ1.อนุกรมพ ี(p-series)

ถ้า อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เขา้ เชน่

ถ้า อนุกรม เป็นอนุกรมลู่ออก เชน่

2. อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เขา้ตัวอยา่ง จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้1.

2.

3.

4.

21

22