เซ็ต ฟังก์ชัน และความสัมพันธ์

สารบญั

๒ เซ็ต 3

เซ็ต 3

นิยามของเซ็ต 3

สมาชิกของเซ็ต 3

เครื่องหมายของความเป็นเซต็ (notation) 3

การอธิบายเซต็ 3

ทฤษฎีที่ 2.1.3 3

ทฤษฏี 2.1.12 4

๓ ฟังก์ชัน 5

นิยาม 1 5

นิยาม 2 5

นิยาม 2.2.16 6

ฟังก์ชันแบบ onto 6

ฟังก์ชันนแบบ Bijection 6

การประกอบรวมฟังก์ชัน 6

นิยาม 2.2.44 7

นิยาม 2.2.46 7

อันดับและสตริง 7

สตริง 9

ความยาวของสตริง 9

การเช่ือมต่อสตริง 10

สตริงย่อย 10

๔ ความสัมพันธ์ 11

ความสัมพันธ์เชิงไบนาร ี 11

ความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ 12

ความสัมพันธ์แบบอสมมาตร 12

ความสัมพันธ์แบบส่งผ่าน 12

ความสัมพันธ์แบบล าดับส่วน 13

ความสัมพันธ์ผกผัน 13

ความสัมพันธ์ประกอบรวม 14

ความสัมพันธ์สมมลูย ์ 14

ล าดับชั้นของความสมมลูย ์ 16

ทฤษฎี 16

ความสัมพันธ์เชิงเมตริกซ ์ 17

ฐานข้อมูลเชิงความสมัพันธ์ 18

Select 19 Project 20 Join 20

แบบฝึกหัดเกี่ยวกับเซต 23

แบบฝึกหัดส าหรับฟังก์ชัน 23

แบบฝึกหัดเกี่ยวกับอันดับและสตรงิ 24

แบบฝึกหัดเกี่ยวกับ Relation 24

๒ เซ็ต

เซ็ต

นิยามของเซ็ต

ค่อนข้างมีได้หลากหลาย ที่รวมของสิ่งของที่น ามารวมกันโดยที่ใช้กฎเดียวกัน สิ่งของที่ว่าอาจเป็น จ านวนตัวเลข คน รูปร่าง เมือง ช้ินของข้อความ ฯลฯ

จุดหลักท่ีเกี่ยวกับกฎ (rule) หมายถึงต้องเป็นข้อความหรือค าท่ีได้นิยามได้เป็นอย่างดี ที่จะบอกถึงสมาชิกที่อยู่ภายในเซ็ตได้ ถ้าสมาชิกท่ีพูดถึงค าในภาษาอังกฤษค าว่ากฎที่ได้รับการนิยามเป็นอย่างดีอาจได้เป็น

… ต้องมีอย่างน้อย 5 อักขระ เป็นต้น

สมาชิกของเซ็ต

หมายถึงสิ่งของที่อยู่ในเซ็ตเรียกว่าสมาชิกของเซ็ต ตัวอย่างเช่น พระเจ้าเฮนรีที่ 8 เป็นสมาชิกของเซ็ตของกษัตริย์ของอังกฤษ

เครื่องหมายของความเป็นเซ็ต (notation)

หมายถึงเครื่องหมายที่ใช้บ่งบอกถึงขอบเขตของสมาชิกของเซ็ตซึ่งได้แก่ วงเล็บปีกกา “{}” หรือบางครั้งก็มีลักษณะเป็นข้อความเช่น “The set of....”

การอธิบายเซ็ต

ถ้าสมาชิกไม่มากอาจจะอธิบายในลักษณะของสมาชิกทุกตัวเช่น

{-3,-2,-1,0,1,2,3}

หรืออาจจะอธิบายในลักาณะของข้อความ

{integers between -3 and 3 inclusive}

เราอาจใช้ตัวอักขระที่ใช้เป็นตัวบ่งจ าแนก (identifier) เช่น

{x|x is an integer and |x|<4}

หรือ

{x|x∈ℤ,|x|<4}

ซึ่งเป็นการบ่งบอกแบบตามความเข้าใจ (comprehension notation) ซึ่งมีรูปแบบท่ัวไปเป็น

x|P(x) wher P(x) is a statement (ในทางเทคนิคมันฟังก์ชัประพจน์)

ทฤษฎีที่ 2.1.3

if |X| = n then |𝑃(𝑋)| = 2𝑛

การพิสูจน์กระท าได้โดยรูปแบบของเชิงอุปนัย (induction)

ขั้นพื้นฐาน

If n=0, X is the empty set. The only subset of the empty set is the empty set itself; thus

|𝒫(𝑥)| = 1 = 20 = 2𝑛 ∴ 𝑡ℎ𝑒𝑜𝑟𝑦 2.1.3 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑛 = 0

inductive step

สมมติว่าให้ ทฤษฎี 2.1.3 มีสมาชิกจนถึง n ตัว ให้ X เป็นเซ็ตที่มีสมาชิก n+1 ตัว เลือกให้ x∈X เรากล่าวได้ว่าจะมีถึงครึ่งหนึ่งของ subset ของ X ที่จะมี x และครึ่งหนึ่งของ X ที่จะไม่มี x เพื่อที่จะให้เห็นภาพดังกล่าว ขอให้สังเกตว่าแต่ละ subset S ของ X จะมี x จับคู่ได้อย่างเฉพาะกับสับเซตที่ได้โดยการน า x ออกจาก S (ดูรูป 2.1.1) ดังนั้นแน่นอนว่าครึ่งหนึ่งของสับเซตของ X จะมี X และครึ่งหนึ่งของสับเซตของ X ไม่มี x

ถ้าให้ Y เป็นเซ็ตที่ได้จาก X โดยการน าเอา x ออก Y จะมีสมาชิกจ านวน n โดยการสรุปจากการอนุมาน |𝒫(𝑦)| = 2𝑛 แต่สับเซตของ Y เป็นสับเซ็ตของ X ที่ไม่ได้มี x จากอาร์กิวเมนต์ในข้อความก่อนหน้า เราจะสรุปได้ว่า

|𝒫(𝑌)| =|𝒫(𝑋)|

2

ดังนั้น

|𝒫(𝑋)| = 2|𝒫(𝑌)| = 2 ⋅ 2𝑛 = 2𝑛+1

เพราะฉะนั้น (2.1.3) จะมี n+1 และ ในขึ้นตอนการอนุมานนั้นสมบูรณ์ จากหลักการของการอนุมานทางคณิตศาสตร์ (2.1.3) ใช้ได้กับทั้งหมดของ 𝑛 ≥ 0

ทฤษฏี 2.1.12

Let U เป็น universe และ A,B,C เป็นซับเซ็ตใน U คุณสมบัติต่อไปนี้จะเกิดขึ้นได้

a) 2.1 การจัดหมู่ (Associative law)

(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

b) 2.2 การสลับท่ี (communitative law)

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

c) 2.3 การกระจาย (distributive)

𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

d) 2.3 เอกลักษณ์ (identity)

𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴

e) 2.4 การเติมเต็ม (complement)

𝐴 ∪ �̅� = 𝑈, 𝐴 ∩ �̅� = ∅

f) 2.5 Idempotent laws

𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴

g) 2.6 Bound

𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈, 𝐴 ∩ ∅ = ∅

h) 2.7Absorption laws

𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴, 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴

i) 2.8 Involution law

�̅̅� = 𝐴

j) 2.9 0/1 laws

∅̅ = 𝑈 𝑈 = ∅

k) 2.10 De Morgan’s laws

𝐴 ∪ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∩ �̅�, 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� ∪ �̅�

๓ ฟังกชั์น

หมายถึงการก าเนิดของผลลัพธ์ที่ข้ึนกับตัวแปรกลุ่มหนึ่งเรียก สมมุติว่าเราได้ท่องไปตามเวลาที่มีอัตราเร็วท่ีคงที่ เราจะรู้ว่า

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 = rate × t

distance, rate และ t หมายถึงระยะทาง อัตราเร็วและเวลาที่ใช้ไปตามล าดับ

สมมุติว่าเราใช้อัตราเร็ว 55 ไมล์ต่อช่ัวโมง ดังนั้นระยะทางที่ได้ (D) จะเท่ากับ

𝐷 = 55𝑡

นิยาม 1

ให้ X และ Y เป็นเซ็ต ฟังก์ชัน f จาก X ไปยัง Y คือซับเซ็ตของผลคูณทางพิกัดแบบคาร์ทีเชียน 𝑋 × 𝑌 จะมีคุณสมบัติที่ว่าแต่ละ 𝑥 ∈ 𝑋 จะมี 𝑦 ∈ 𝑌 ที่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 บางครั้งเรียกนิยามนี้ว่าเป็นฟังก์ชัน f จาก X ไปยัง Y หรือ

𝑓: 𝑋 → 𝑌

เซ็ต X เรียกว่า โดเมน (domain) ของ f เซ็ต

{𝑦|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓}

ซึ่งเป็นเซ็ตย่อยของ Y จะถูกเรียกว่า range of f

นิยาม 2

ถ้า x เป็นจ านวนเต็มและ y เป็นจ านวนเต็มบวก เรานิยาม x mod y เป็นเศษเมื่อ x ถูกหารด้วย y

Ex1.

6 mod 2 = 0, 8 mod 12 = 8, 199673 mod 2 = 1

Ex2. วันWhat day of the week will it be 365 days from Wednesday?

Seven days after Wednesday, it is Wednesday.

14 days after Wednesday, it is Wednesday again.

if n is positive number, 7n days after Wednesday is Wednesday again.

Thus 365 mod 7 =1

So the day after Wednesday is called Thursday

Note this explained except leap year.

Ex3. (ex 2.1.11)

นักศึกษากลุ่มหนึ่งมี 165 คน 8 คนลงทะเบียนเรียนคอร์ส แคลคูลัส (calculus) จิตวิทยา (Psychology) และวิทยาศาสตร์ตอมพิวเตอร์ (Computer Science) 33 คนเลือกเรียนแคคูลัสและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ 20 คน เลือกเรียนแคลคูลัสและจิตวิทยา 24 คนลงจิตวิทยาและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ 79 คนลงแคลคูลัส 83 ลงจิตวิทยา และ 63 คนลงวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ มีจ านวนกี่คนท่ีไม่ได้เลือกลงวิชาดังกล่าว

นิยาม 2.2.16

floor of x เขียนได้เป็น ⌊𝑥⌋ เป็นจ านวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x และ ceiling of x เขียนได้เป็น ⌈𝑥⌉ เป็นจ านวนเต็มที่เล็กท่ีสุดแต่มากกว่าหรือเท่ากับ x

ตัวอย่าง

⌊8.3⌋ = 8 ⌈9.1⌉ = 10, ⌊−8.7⌋ = −9, ⌈−11.3⌉ = −11

ฟังก์ชันแบบ onto

ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก X ไป Y และ range ของ f คือ Y เราเรียก f ได้ว่าเป็นฟังก์ชันแบบ onto Y หรือ surjective function

ฟังก์ชันนแบบ Bijection

ฟังก์ชันท่ีเป็นทั้งแบบ หนึ่งต่อหนึ่ง (one to one) และ แบบ onto เรียกว่า bijection

การประกอบรวมฟังก์ชัน

ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y และ f เป็นฟังก์ชันจาก Y to Z การประกอบรวม (composition) ของ f ด้วย g เขียนได้เป็น

CALC PSYCH

COMPSCI

34 12 47

8

25 16

14

9

𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

จาก X ไปยัง Z

นิยาม 2.2.44

ฟังก์ชันจาก X×X ไปยัง X เรียกว่าเป็นการด าเนินการแบบไบนารี (binary operator) บน X (binary operator on X)

นิยาม 2.2.46

ฟังก์ชันจาก X ไปยัง X เรียกว่าเป็น unary operator on X

อันดับและสตริง

บริษัท Blue Taxi Inc. คิดค่าบริการแท็กซี 1 ดอลลาร์ในระยะหนึ่งไมล์แรกและ 20 เซนต์ในแต่ละไมล์ต่อไป ตารางข้างล่างนี้แสดงราคาของการเดินทางตั้งแต่ 1-10 ไมล์ โดยทั่วไปราคา 𝐶𝑛 ของการเดินทางระยะทาง n ไมล์ คือ 1.00 (ราคาของการเดินทางไมล์แรก บวกกับ 0.50 ดอลลาร์คูณด้วยจ านวน (n-1) ไมล์ที่เพ่ิมขึ้น นั่นคือ

ระยะทาง ราคา 1 $1.00 2 1.50 3 2.00 4 2.50 5 3.00 6 3.50

7 4.00 8 4.50

9 5.00 10 5.50

𝐶𝑛 = 1 + 0.5(𝑛 − 1)

ตัวอย่างเช่น

𝐶1 = 1 + 0.5(1 − 1) = 1 + 0.5 ⋅ 0 = 1 𝐶5 = 1 + 0.5(5 − 1) = 1 + 0.5 ⋅ 4 = 1 + 2 = 3

รายการระค่าค่าโดยสารเป็นดังนี้

𝐶1 = 1.00, 𝐶2 = 1.50, 𝐶3 = 2.00, 𝐶4 = 2.50, 𝐶5 = 3.00𝐶6 = 3.50, 𝐶7 = 4.00, 𝐶8 = 4.50, 𝐶9 = 5.00, 𝐶10 = 5.50

นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของล าดับ (sequence) ซึ่งเป็นฟังก์ชันชนิดพิเศษชนิดหนึ่งที่ โดยเมนประกอบด้วยเซตของจ านวนเต็มที่ติดกัน ส าหรับอันดับของค่าโดยสาร โดยเมนเป็นเซต {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} เทอมท่ี n ก าหนดให้เป็น 𝐶𝑛 ถึงแม้ว่ามันจะสอดคล้องกับการเรียกเทอมทั่วไปของฟังก์ชันท่ัวไปมันควรที่จะ (และบางครั้งเป็น) ถูกเขียนเป็น 𝐶(𝑛) เราเรียก n เป็นดัชนีของอันดับ

ให้อันดับมีชื่อเรียกเป็น s โดยให้เป็น s หรือ {𝑆𝑛} และ s หรือ {𝑆𝑛} แทนล าดับท้ังหมดได้เป็น

𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, …

เราใช้ 𝑠𝑛 แทนเทอมทั่วไปของอันดับที่มีดัชนีช้ีเป็น n

ตัวอย่าง 2.3.4 ก าหนดอันดับ b โดยที่ 𝑏𝑛 คือตัวอักษรตัวที่ n ของค าว่า digital ถ้าดัชนีของตัวแรกเป็น 1 ดังนั้น 𝑏1 = 𝑑, 𝑏2 = 𝑏4 = 𝑖, และ 𝑏7 = 𝑙 อันดับนี้จะเป็นอันดับแบบจ ากัดซึ่งมันอาจจะเขียนได้เป็น

{𝑏𝑛}𝑘=17

ตัวอย่าง 2.3.6 นิยามอันดับ s เป็น

𝑠𝑛 = 2𝑛 + 4 ⋅ 3𝑛 , 𝑛 ≥ 0

a) จงหา 𝑠0

แทนลงในสมการจะได้ 𝑠0 = 20 + 4 ⋅ 30 = 5

b) จงหา 𝑠1

แทนลงในสมการจะได้ 𝑠1 = 14

c) จงหารูปแบบส าหรับ 𝑠𝑖

แทน n ด้วย i จะได้ 𝑠𝑖 = 2𝑖 + 4 ⋅ 3𝑖

d) จงหารูปแบบส าหรับ 𝑠𝑛−1

แทน n ด้วย n-1 จะได้ 𝑠𝑛−1 = 2𝑛−1 + 4 ⋅ 3𝑛−1

e) จงหารูปแบบส าหรับ 𝑠𝑛−2

แทน n ดว้ย n-1 จะได้ 𝑠𝑛−2 = 2𝑛−2 + 4 ⋅ 3𝑛−2

f) พิสูจน์ว่า {𝑠𝑛} เป็นไปตาม 𝑠𝑛 = 5𝑠𝑛−1 − 6𝑠𝑛−2, ∀𝑛 ≥ 2

ในการพิสูจน์สมการดังกล่าว เราจะแทน 𝑠𝑛−1และ 𝑠𝑛−2ทางด้านซ้ายของสมการดังกล่าวโดยค่าดังกล่าวได้จาก (d) และ (e)

5𝑠𝑛−1 − 6𝑠𝑛−2 = 5(2𝑛−1 + 4 ⋅ 3𝑛−1) − 6(2𝑛−2 + 4 ⋅ 3𝑛−2)

= (5 ⋅ 2 − 6)2𝑛−2 + (5 ⋅ 4 ⋅ 3 − 6 ⋅ 4)3𝑛−2 = 4 ⋅ 2𝑛−2 + 36 ⋅ 3𝑛−2 = 222𝑛−2 + (4 ⋅ 32)3𝑛−2 = 2𝑛 + 4 ⋅ 3𝑛 = 𝑠𝑛

เทคนิคนี้เป็นประโยชน์ในการตรวจสอบค าตอบของความสัมพันธ์แบบก่อก าเนิดขึ้นอีก (recurrence relation) ที่จะใช้ในบทที่ 7

นิยามที่ 2.3.14 ถ้า {𝑎𝑖}𝑖=𝑚𝑛 เป็นอันดับ

เราจะนิยามมันด้วย

∑𝑎𝑖

𝑛

𝑖=𝑚

= 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 +⋯+ 𝑎𝑛 , ∏𝑎𝑖

𝑛

𝑖=𝑚

= 𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑚+1 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑛

ส าหรับสูตร

∑𝑎𝑖

𝑛

𝑖=𝑚

เรียกว่าเครื่องหมายผลรวม (หรือซิกมา) และ

∏𝑎𝑖

𝑛

𝑖=𝑚

คือเครื่องหมายผลคูณ i เรียกกว่าดัชนี m เรียกว่าขีดจ ากัดล่าง (lower limit) และ n เรียกว่าขีดจ ากัดบน

ตัวอย่าง 2.3.16 ผลคูณเรขาคณิต

𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛 เขียนเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เชิงผลรวมได้เป็น

∑𝑎𝑟𝑖𝑛

𝑖=0

ตัวอย่าง 2.3.19 ถ้า S หมายถึงเซ็ตของเลขจ านวนเฉพาะที่น้อยกว่า 20

∑1

𝑖𝑖∈𝑆

=1

2+1

3+1

5+1

7+1

11+1

13+1

17+1

19= 1.455

สตริง

สตริง (string) คืออันดับจ ากัดของตัวอักขระ ในทางภาษาของโปรแกรม สตริงอาจใช้แทนข้อความได้ ในจาวา

“Let’s read Rolling Stone.”

แทนสตริงท่ีประกอบด้วยอันดับของอักขระ Let’s read Rolling Stone.

(เครื่องหมาย double quote (“”) ใช้ส าหรับบ่งถึงจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของสตริง

ภายในคอมพิวเตอร์ สตริงของบิต (bit string) คือสตริงที่ประกอบด้วยอันดับของเลข 0 และ 1 ที่ใช้แทนข้อมูลหรือค าสั่งที่จะใช้ด าเนินการ ซึ่งต่อไปจะเห็นในบทที่ 5 สตริงบิต 101111 จะใช้แทนเลข 47

นิยาม 2.3.20 สตริงบน X เมื่อ X คือเซ็ตอันดับจ ากัดของสมาชิกจาก X

ตัวอย่าง 2.3.21 ให้ X={a, b, c} ถ้าเราให้ 𝛽1 = 𝑏, 𝛽2 = 𝑎, 𝛽3 = 𝑎, 𝛽4 = 𝑐

เราจะได้สตริงบนเซ็ต X ซึ่งสตริงนี้จะเขียนได้เป็น baac

เนื่องจากสตริงเป็นอันดับ ดังน้ันล าดับของมันจึงมีความส าคัญ baac ไม่เท่ากับ acab

ล าดับที่ซ้ าอาจระบุในลักษณะของตัวสคริปยกได้ ตัวอย่างเช่น bbaac อาจเขียนเป็น 𝑏2𝑎3𝑐

สตริงที่ไม่มีสมาชิกเรียกว่าสตริงเปล่า (null string) แทนด้วย 𝜆 เราให ้𝑋∗ แทนเซ็ตของสตริงบน 𝑋 รวมสตริงเปล่าและให ้𝑋+ แทนสตริงท่ีไม่ว่างเปล่า (nonnullstring) บน 𝑋

ตัวอย่าง 2.3.22 ให้ 𝑋 = {𝑎, 𝑏} สมาชิกบางตัวของมันใน 𝑋∗ เป็น

𝜆, 𝑎, 𝑏, 𝑎𝑏𝑎𝑏, 𝑏20𝑎5𝑏𝑎

ความยาวของสตริง

ความยาวของสตริง (length) 𝛼 หมายถึงจ านวนสมาชิกที่มีอยู่ใน 𝛼 เขียนแทนด้วย |𝛼| หมายถึงความยาวของมัน

ตัวอย่าง 2.3.23 ให ้𝛼 = 𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏 และ 𝛽 = 𝑎3𝑏4𝑎32

จะได้ว่า |𝛼| = 5 และ |𝛽| = 39

การเช่ือมต่อสตริง

ถ้า 𝛼 และ 𝛽 เป็นสตริงสองสตริง สตริงที่ประกอบด้วยทั้ง 𝛼 และ 𝛽 เขียนเป็น 𝛼𝛽 เรียกว่าการเชื่อมต่อกัน (concatenation) ของ 𝛼 และ 𝛽

ตัวอย่าง 2.3.24 ให ้𝛾 = 𝑎𝑎𝑏 และ 𝜃 = 𝑐𝑎𝑏𝑑

จะได้ว่า 𝛾𝜃 = 𝑎𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑑, 𝜃𝛾 = 𝑐𝑎𝑏𝑑𝑎𝑎𝑏, 𝛾𝜆 = 𝛾 = 𝑎𝑎𝑏, 𝜆𝛾 = 𝛾 = 𝑎𝑎𝑏

ตัวอย่าง 2.3.25 ให้ X={a,b,c} ถ้านิยาม

𝑓(𝛼, 𝛽) = 𝛼𝛽

เมื่อ 𝛼, 𝛽เป็นสตริงบน 𝑋 จะได้ว่า f เป็นตัวด าเนินการไบนารีบน 𝑋∗

สตริงย่อย

สตริงย่อย (substring) หมายถึงสตริงที่สร้างขึ้นได้จากสตริงอื่นโดยการเลือกสมาชิกทั้งหมดจากบางส่วนหรือทั้งหมดที่สมาชิกต่อเนื่องกัน โดยนิยามของมันเป็นดังนี้

ให้ 𝛽เป็นสตริงย่อยของ 𝛼 ถ้ามีสตริง 𝛾 และ 𝛿 อยู่ใน 𝛼 ด้วยจะได้ว่า 𝛼 = 𝛾𝛽𝛿

Ex. 𝛽 = 𝑎𝑑𝑑 𝛼 = 𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑑

ถ้าให้ 𝛾 = 𝑎𝑎 และ 𝛿 = 𝑎𝑑 จะได้

𝛼 = 𝛾𝛽𝛿

๔ ความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์ (relation) โดยค าเรียกทั่วไปหมายถึงฟังก์ชัน ซึ่งมันจะน าเสนอออกมาในรูปของคู่ล าดับ (a,b) ซึ่งมันมีความหมายถึงความสัมพันธ์จาก a ไป b แบบจ าลองของฐานข้อมูลของความสัมพันธ์ (relation database model) จะมีส่วนช่วยให้ผู้ใช้งานเข้าถึงข้อมูลในฐานข้อมูล (ที่เก็บระเบียนท่ีจัดการโดยคอมพิวเตอร์) จะขึ้นอยู่กับแนวคิดของเรื่องของความสัมพันธ์นี้เอง

ความสัมพันธ์ของเซ็ตหนึ่งไปยังอีกเซ็ตหนึ่งอาจมองได้ในรูปแบบของตารางที่สมาชิกในหลักแรกของตารางมีความสัมพันธ์กับสมาชิกใดๆของหลักท่ีสอง ดังแสดงได้ในตารางที่ 3.1.1

student Course Bill CompSci

Mary Math Bill Art

Beth History Beth CompSci Dave Math

ตารางแสดงความสมัพันธ์ของนักเรียนกับคอรส์ที่ลง จากตารางคงพูดได้ว่า Bill มีความสัมพันธ์กับ CompSci และ Art Marry ลงเรียนวิชา Math เป็นต้นเราคงจะนิยามได้ว่า

ความสัมพันธ์ก็คือสมาชิกคู่ล าดับของหลักแรกกับสมาชิกของคู่ล าดับของหลักท่ีสอง

ความสัมพันธ์เชิงไบนารี

ความสัมพันธ์เชิงไบนารี (binary relation) R จากเซ็ต X ไปยังเซ็ต Y คือเซ็ตย่อยของผลคูณของคู่พิกัดคาร์ทีเชียน X×Y ถ้า (x,y)∈R เราจะเขียนได้เป็น x R y และพูดว่า x มีความสัมพันธ์กับ y ถ้า X=Y เราจะเรียกความสัมพันธ์ R นี้ความเป็นความสัมพันธ์เชิงไบนารีบน X (R on X)

และเซ็ต

{𝑥 ∈ 𝑋|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 for some 𝑦 ∈ 𝑌}

เรียกว่าโดเมนของ R และเซ็ต

{𝑦 ∈ 𝑌|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 for some 𝑥 ∈ 𝑋}

ว่าเป็นเรนจ์ (range) ของ R

ข้อสังเกต ฟังก์ชันท่ีได้กล่าวถึงก่อนหน้าก้เป็นรูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ ฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y คือความสัมพันธ์จาก X ไปยัง Y ซึ่งมันจะมีคุณสมบัติเป็น

(a) โดเมนของ f เท่ากับ X

(b) for each x∈X จะมี y∈Y เพียงหน่ึงเดียวเท่านน้ันซึ่ง (x,y) ∈ f\

ตัวอย่าง

𝑋 = {𝐵𝑖𝑙𝑙,𝑀𝑎𝑟𝑟𝑦, 𝐵𝑒𝑡ℎ, 𝐷𝑎𝑣𝑒}

𝑌 = {𝐶𝑜𝑚𝑝𝑆𝑐𝑖,𝑀𝑎𝑡ℎ, 𝐴𝑟𝑡, 𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦}

จากตารางก่อนหน้าจะได้ชุดความสัมพันธ์เป็น

𝑅 = {(𝐵𝑖𝑙𝑙, 𝐶𝑜𝑚𝑆𝑐𝑖), (𝑀𝑎𝑟𝑦,𝑀𝑎𝑡ℎ), (𝐵𝑖𝑙𝑙, 𝐴𝑟𝑡), (𝐵𝑒𝑡ℎ, 𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦), (𝐵𝑒𝑡ℎ, 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑆𝑐𝑖), (𝐷𝑎𝑣𝑒,𝑀𝑎𝑡ℎ)}

𝑋 = {2,3,4} และ 𝑌 = {3,4,5,6,7}

นิยามความสัมพันธ์จาก X ไปยัง Y โดยที่

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 𝑖𝑓 𝑥 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑠 𝑦

เราจะได้

𝑅 = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}

โดเมนจะได้เป็น {2,3,4} เรนจ์จะได้เป็น {3,4,6}

ให้ R เป็นความสัมพันธ์บน X={1,2,3,4} นิยามโดย (x,y) ∊ R ถ้า x≤y, x,y∊X จะได้ว่า

R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}

ทั้งโดเมนและเรนจ์ของ R มีค่าเท่ากันกับ X

จากความสมัพันธ์ดังกล่าวอาจเขียนโดยการใช้กราฟไดด้ังแสดงดังภาพ (เกี่ยวกับกราฟจะได้กล่าวถึงในบทของกราฟอีกครั้ง)

ความสัมพนัธ์แบบสะท้อนกลับ

ความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ (Reflexive) เป็นความสัมพันธ์ที่สมาชิกในโดเมนและเรนจ์เปลี่ยนไปมากันได้ โดยนิยามของมันเป็นดังนี ้

ความสัมพันธ์ R บนเซ็ต X เรียกว่าเป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ ถ้า (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑋

ความสัมพันธ์แบบอสมมาตร

ความสัมพันธ์แบบอสมมาตร (antiasymmetric) เป็นความสัมพันธ์ที่ไม่มีสมาชิกใดที่เหมือนกันอยู่ในเซตของความสัมพันธ์เดี่ยวกัน

นิยาม

∀𝑥∀𝑦 ∈ 𝑋, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 𝑖𝑓 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 𝑎𝑛𝑑 𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅

ความสัมพันธ์แบบส่งผ่าน

4 3

2 1

ความสัมพันธ์แบบส่งผ่าน (transitive) จะมีรูปแบบของความสัมพันธ์ที่ส่งผ่านจากความสัมพันธ์หนึ่งไปยังอีกความสัมพันธ์หนึ่ง

นิยาม ให้ R เป็นความสัมพันธ์บนบนเซ็ต X ถ้า ∀𝑥∀𝑦∀𝑧 ∈ 𝑋

ถ้า (𝑥, 𝑦) และ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅

ความสัมพันธ์แบบล าดับส่วน

ความสัมพันธ์แบบล าดับส่วน (partial order)

นิยาม ความสัมพันธ์ R บนเซต X จะเรียกเป็นล าดับส่วน (Partial Order) ถ้า R เป็น reflexive, antisymmetric และ transitive

ตัวอย่าง 3.1.21 Task Scheduling

ลองพิจารณาเซต T ของภารระงานท่ีต้องส าเร็จเพื่อท่ีจะได้ภาพที่ถ่ายด้วยแฟล็ชด้วยกล้องเฉพาะ

1. Remove the cap

2. Focus camera

3. Turn off safty lock

4. Turn on flash unit

5. Push photo button

บางภาระบางต้องส าเร็จก่อนภาระงานอ่ืน ตัวอย่างเช่น ภาระงาน 1 ต้องเสร็จก่อนภาระงาน 2 ในทางตรงกันข้าม ภาระงานอ่ืนๆอาจเสร็จก่อนภาระงานใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น ภาระ 2 และ ภาระ 3 อาจเสร็จอันใดก่อนก็ได้

ความสัมพันธ์ R นิยามบน T โดย

iRj if i=j or task I must be done before task j

จะได้ล าดับของภาระงานเป็น

R={(1,1),{2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)}

เพราะว่า R เป็น reflexive, antisymmetric และ transitive มันจึงเป็นลักษณะของ partial order ด้วย ค าตอบของปัญหาของตารางภาระงานท าให้เราถ่ายภาพจะต้องจัดเป็นล าดับของภาระงานที่สอดคล้องกันในลักษณะของ partial order หรือพูดให้ตรงกว่านี้ก็คอืต้องล าดับขั้นตอนทั้งหมดของภาระงานเป็น

𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, 𝑡4, 𝑡5

ซึ่งถ้า 𝑡𝑖𝑅𝑡𝑗 และ 𝑖 = 𝑗 หรือ 𝑡𝑖 มาก่อน 𝑡𝑗ภายในรายการดังกล่าว ระหว่างค าตอบต่างๆอาจมีค าตอบได้เป็น

1,2,3,4,5

และ

3,4,1,2,5

ความสัมพันธ์ผกผัน

ความสัมพันธ์ผกผัน (reverse relation) คือถ้าให้ความสัมพันธ์ R จาก X ไปยัง Y เราอาจนิยามความสัมพันธ์จาก Y ไปยัง X โดยกลับล าดับของแต่ละคู่ล าดับใน R ความสัมพันธ์ผกผันของ R รูปทั่วไปคือฟังก์ชันผกผันซึ่งมีรูปแบบเป็นดังนี้

นิยาม 3.1.22 ให้ R เป็นความสัมพัน์จาก X ไปยัง Y ค่าผกผันของ R เขียนเป็น 𝑅−1 คือความสัมพันธ์จาก Y ไปยัง X โดยนิยามได้เป็น

𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}

ตัวอย่าง ให้ R เป็นความสัมพันธ์จาก X={2,3,4} ไปยัง Y ={3,4,5,6,7} โดย (x,y)∊R ถา้ x หารดว้ย y

∴ R={(2,4),(2,6), (3,3), (3,6),(4,4)}

และความสัมพันธ์ผกผันของมันเป็น

𝑋 ∈ {3,4,5,6,7} และ 𝑌 ∈ {2,3,4}

𝑅−1 = {(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)}

ในทางค าพูดแล้วส าหรับ 𝑅−1 คือ “หารด้วย (is divisble by)”

ความสัมพันธ์ประกอบรวม

ความสัมพันธ์รวม (composite relation) คือการรวมความสัมพันธ์เข้าด้วยกัน

ให้ 𝑅1เป็นความสัมพันธ์จาก X→Y และ 𝑅2 เป็นความสัมพันธ์จาก Y→Z ความสัมพันธ์รวมของ 𝑅1 และ 𝑅2 (𝑅1 ∘ 𝑅2) จะเขียนได้เป็น

𝑅1 ∘ 𝑅2 = {(𝑥, 𝑧)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅1𝑎𝑛𝑑 (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅2, ∃𝑦 ∈ 𝑌} ตัวอย่าง

𝑅1 = {(1,2), (1,6), (2,4), (3,4), (3,6), (3,8)} และ

𝑅2 = {(2, 𝑢), (4, 𝑠), (4, 𝑡), (6, 𝑡), (8, 𝑢)} ∴ 𝑅1 ∘ 𝑅2 = {(1, 𝑢)(1, 𝑡), (2, 𝑠), (2, 𝑡), (3, 𝑠), (3, 𝑡), (3, 𝑢)}

ทดสอบ จากตัวอย่า (1, 𝑢) ∈ 𝑅1 ∘ 𝑅2 เพราะ (1,2) ∈ 𝑅1และ (2, 𝑡) ∈ 𝑅2

ความสัมพันธ์สมมูลย์

ความสัมพันธ์ที่เป็นแบบ reflexive, symmetric และ transitive บนเซต X จะถูกเรียกว่าเป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลย์ (equivalence relation) บน X

สมมติว่ามีเซต X ซึ่งเป็นเซตของลูกบอล 10 ลูก แต่ละลูกของมันอาจมีสี แดง เขียว น้ าเงิน สีใดสีหนึ่ง ถ้าแบ่งลูกบอลออกเป็นเซต R G และ B โดยใช้สีของมันชุด {R, G, B} เป็นส่วนหน่ึงของ X (ย้อนกลับไปดูเกี่ยวกับเซตนิยามส่วนของเซต (partition of a set) X จะเป็นชุด 𝒮 ของเซตย่อยที่ไม่เป็นเซตว่างของ X ซึ่งแต่ละสมาชิกของ X เป็นของสมาชิกใดสมาชิกหนึ่งของ 𝒮

เซตหนึ่งของสีลูกบอลจ านวน 10 ลูก

ส่วนหนึ่งดังกล่าวอาจถูกใช้ในการนิยามความสัมพันธ์ ถ้า 𝒮 เป็นส่วนของ X เราอาจที่จะนิยาม xRy หมายความว่า มีบางเซตสมาชิก 𝑆 ∈ 𝒮 ทั้ง x และ y เป็นของ S ตัวอย่างของภาพที่ แสดง ความสัมพันธ์ที่ได้อาจอธิบายได้เป็น “มีสีเดียวกันกับ (is the same color as)”

ทฤษฎี

ให ้𝒮 เป็นส่วนหน่ึงของเซต X นิยาม xRy หมายถึงมีบางสมาชิกของเซต S ใน 𝒮 ทั้ง x และ y เป็นของ S จะได้ความสัมพันธ์ R ว่า เป็นทั้ง Reflexive, symmetric และ transitive

ตัวอย่าง 1. ตัวอย่าง

พิจารณาส่วนเซตส่วน 𝑆 = {{1,3,5}, {2,6}, {4}}

โดยที่ 𝑋 = {1,2,3,4,5,6} ความสัมพันธ์ R บน X ก าหนดตามทฤษฎีดังกล่าวจะมีคู่ล าดับ (1,1), (1,3), และ (1,5) เพราะ {1,3,5} เพราะ {1,3,5} ∈ 𝑆 ความสัมพันธ์ R ที่สมบูรณ์คือ

𝑅 = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5), (2,2), (2,6), (6,2), (6,6), (4,4)}

ตัวอย่าง 2.

R คือความสัมพันธ์จากตัวอย่างก่อนหน้า เป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลย์บนเซต {1,2,3,4,5,6} เพราะเป็นไปตามทฤษฎี ซึ่งพิสูจน์ได้ว่า R เป็นความสัมพันธ์แบบ Reflexive, symmetric, และ transitive

ไดกราฟของความสัมพันธ์ R แสดงได้ดังรูป เช่นเดิมจากกราฟพบว่า R เป็นแบบ reflexive (มีลูปในทุกจุด) symmetric (มี

เส้นขอบจาก v ไป w และ w ไป v ) transitive (มีเส้นโดยตรงจาก x ไป y และ y ไป z และ x ไป z)

ตัวอย่าง 3.

พิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้

𝑅 = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (5,1), (5,3), (5,5)}

บน {1,2,3,4,5}

ความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็น Reflexive เพราะ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)∊R

ความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็น symmetric เพราะเมื่อ (x,y)∊R,(y,x)∊R ด้วย

ความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็น transitive เพราะ เมื่อ (x,y)∊R,(y,x)∊R และ (x,z)∊R ด้วย

ดังนั้น R จะเป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลย์

ทฤษฎี

ให้ R เป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลย์บน X ส าหรับแต่ละ a∈X .ให ้

[𝑎] = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑥𝑅𝑎}

[a] เป็นเซตของทุกสมาชิกใน X ที่มีความสัมพันธ์ไปยัง a ดังนั้น

𝒮 = {[𝑎]|𝑎 ∈ 𝑋}

จะเป็นส่วนหนึ่งของ X

ล าดับชั้นของความสมมูลย์

ให้ R เป็นความสัมพันธ์บนเซต X เซต [a] ที่นิยามตามทฤษฎีดังกล่าวจะเรียกเป็นล าดับช้ันความสมมูลย์ (equivalence classes) ของ X ที่ให้โดย R

ตัวอย่าง จากตัวอย่าง Digraph ก่อนหน้า ซึ่ง R จะเป็น

𝑅 = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5), (2,2), (2,6), (6,2), (6,6), (4,4)}

บน X={1,2,3,4,5,6} เป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลย์ ความสัมพันธ์สมมูลย์คลาส [1] จะมี 1 เป็นสมาชิกด้วย กับทุก x ที่จะได้ว่า (x,1)∊R ดังนั้น

[1] = {1,3,5} ส าหรับล าดับชั้นสมมูลย์อื่นเช่น [3], [5] จะได้เป็น

[3] = [5] = {1,3,5} และ

[2] = [6] = {2,6}, [4] = {4}

ตัวอย่าง

ให้ X={1,2,…,10} นิยาม xRy หมายถึง 3 หาร (x-y) จงพิสูจน์ว่า R ดังกล่าวเป็นความสัมพันธ์สมมูลย์ ถ้าเป็นให้พิจารณาสมาชิกของมันเพื่อหาล าดับช้ันความสมมูลย์ของแต่ละสมาชิกด้วย

(พิสูจน์ได้ว่าเป็น reflexive, symmetric, และ transitive) ดังนั้นเป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลย์

[1] = {x∊X|3 หาร (x-1)} = {1,4,7,10}

[2] = {x∊X|3 หาร (x-2)} = {2,5,8}

[3]={x∊X|3 หาร (x-3)}={3,6,9}

[4]=[7]=[1]=[10]

[5]=[8]=[2]

[6]=[9]=[3]

ทฤษฎี

ให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูลย์บนเซตจ ากัด X ถ้าแต่ละล าดับชั้นสมมูลย์มีจ านวนสมาชิก r จะได้ว่า |X|/r ค าล าดับชั้นสมมูลย์

พิสูจน์

ให้ 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 แทน ล าดับชั้นสมมูลย์ที่แตกต่างกัน เพราะว่ามันเป็นส่วนของ X ดังนั้น

|𝑋| = |𝑋1| + |𝑋2| + ⋯ |𝑋𝑘| = 𝑟 + 𝑟 + 𝑟 +⋯+ 𝑟 = 𝑘𝑟

ความสัมพันธ์เชิงเมตริกซ์

ในการใช้เมตริกซ์จะเป็นวิธีท่ีสะดวกในการแทนความสัมพันธ์ R จาก X ไปยัง Y ซึ่งการแทนอาจใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการวิเคราะห์ได้ ในทีนี้อาจใช้แถวแทนสมาชิกของ X และแนวหลักแทนสมาชิกของ Y และจะให้ค่าของสมาชิกของเมตริกซ์เป็น 1 ถ้า x R y และ 0 ในกรณีอื่น

ตัวอย่าง

R={(1,b),(1,d),(2,c),(3,c),(3,b),(4,a)}

โดยที่ X={1,2,3,4}, Y={a,b,c,d} ซึ่งความสัมพันธ์ในลักษณะของล าดับ 1,2,3,4 และ a,b,c,d จะเขียนได้เป็น

1234 (

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑0 1 0 10 0 1 00 1 1 01 0 0 0)

หรือถ้าต้องการแสดงความสัมพันธ์ในลักษณะของ 2,3,4,1 และ d, b, a, c ก็จะเขียนได้เป็น

2341 (

𝑑 𝑏 𝑎 𝑐0 0 0 10 1 0 10 0 1 01 1 0 0)

ตัวอย่าง

ให้ 𝑅1เป็นความสัมพันธ์จาก X={1,2,3} ไปยัง Y={a,b} นิยามโดย

𝑅1 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏), (3, 𝑎), (3, 𝑏)}

ให้ 𝑅2เป็นความสัมพันธ์จาก Y ไปยัง Z={x,y,z} นิยามโดย

𝑅2 = {(𝑎, 𝑥), (𝑎, 𝑦), (𝑏, 𝑦), (𝑏, 𝑧)}

เมตริกซ์ท่ีมีล าดับ 1,2,3 และ a, b จะได้เป็น

𝐴1 =123

(

𝑎 𝑏1 00 11 1

)

และ

𝐴2 = 𝑎𝑏

(𝑥 𝑦 𝑧1 1 00 1 1

)

ผลคูณของ 𝐴1𝐴2จะได้เป็น

𝐴1𝐴2 = (1 1 00 1 11 2 1

)

ต าแหน่งใดที่มีค่าไม่เท่ากับศูนย์แสดงว่าต าแหน่งนั้นมีคู่ล าดับของความสัมพัน์จาก x→z

ให้ i,k เป็นต าแหน่งใดๆของ 𝐴1𝐴2จะค านวณจากผลรวมของผลคูณของสมาชิกในแนวแถว i ของ 𝐴1และ หลักที่ k ของ 𝐴2 หรือ

𝐴1𝐴2𝑖,𝑘 =∑𝐴1(𝑖, 𝑗) ∗ 𝐴2(𝑗, 𝑘)

𝑛

𝑗=0

ถ้ามีค่าไม่เท่ากับ 0 แสดงว่าต าแหน่งดังกล่าวจะเป็นสมาชิกของ 𝑅1 ∘ 𝑅2

ทฤษฎี

ให้ 𝑅1เป็นความสัมพันธ์จาก X ไปยัง Y และ 𝑅2 เป็นความสัมพันธ์จาก Y ไปยัง Z การเลือกล าดับของ X, Y และ Z ให้ 𝐴1 เป็นเมตริกซ์ของ 𝑅1 และ 𝐴2 เป็นเมตริกซ์ของ 𝑅2 เมตริกซ์ของความสัมพันธ์ 𝑅1 ∘ 𝑅2 คือผลคูณของ 𝐴1𝐴2 โดยการแทนค่าที่สมาชิกแต่ละต าแหน่งเป็น 1

ตัวอย่าง

𝑅 = {(𝑎, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐), (𝑑, 𝑑), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏)}

บน {a,b,c,c} และให้เมตริกซ์ที่แทนความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็น

𝐴 = (

1 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 1

)

ยกก าลังสองได้เป็น

𝐴2 = (

1 0 0 00 2 2 00 2 2 00 0 0 1

)

จะเห็นได้ว่าที่ใดก็ตามที่มีค่าไม่เท่ากับศูนย์เมื่อยกก าลังก็จะไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น R เป็น transitive

ตัวอย่าง

ให้ R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(c,b)}

บน {a,b,c,d}

𝐴 = (

1 0 1 00 1 0 00 1 1 00 0 0 1

)

และ

𝐴2 = (

1 1 1 00 1 0 00 2 1 00 0 0 1

)

ณ.ต าแหน่งแถวที่ 1 หลักท่ี 2 เดิมใน A มีค่าเป็น 0 และ 𝐴2 มีค่าเป็น 1 ดังนั้นแสดงได้ว่า R ไม่เป็นความสัมพันธ์แบบสง่ผา่น

ฐานข้อมูลเชิงความสัมพันธ์

จากเดิมที่มีความสัมพันธ์ในเชิงคู่อันดับซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างสองสิ่ง ในความเป็นจริงอาจที่จะน ามาใช้กับความสัมพันธ์ที่มากกว่าสองสิ่งได้ ซึ่งเดิมเคยได้เขียนเป็นตารางขนาดสองหลัก ก็อาจที่จะเป็นประโยชน์เพิ่มขึ้นเมื่อการเป็นการเขียนท่ีมากกว่าสองหลักข้ึนไป เรียกความสัมพันธ์ที่มากกว่าคู่อันดับว่าความสัมพันธ์ระดับ n (n-ary relation)

ตัวอย่าง

ID number Name Position Age

22012 Johnsonbaugh c 22 93831 Glover of 24

58199 Battey p 18 84341 Cage c 30

01180 Homer 1b 37 26710 Score p 22

61049 Johnsonbaugh of 30 39826 Singleton 2b 31

ตารางที่ ๔-๑ PLAYER จากตารางดังกล่าวใช้ในการสร้างความสัมพันธ์ระดับ n-ary ได้หรือมีลักษณะที่เรียกว่าเป็น n-tuples ดังนี ้

{(22012,Johnsonbaugh,c,22),(93831,Glover,of,24),(58199,Battey,p,18),(84341,Cage,c,30),(01180,Homer,1b,37),(26710,Score,p,22),(61049,Johnsonbaugh,of,30),(39826,Singleton,2b,31)}

ความสัมพันธ์ดังกล่าวมีลักษณะเป็นแบบ 4-tuples

ในเชิงฐานข้อมูล (database) มีความหมายถึงชุดข้อมูลของระเบียน (record) ที่ถูกจัดการโดยคอมพิวเตอร์ ตัวอย่างเช่น ฐานข้อมูลสายการบิน จะประกอบด้วยระเบียนที่เกี่ยวข้องกับผู้โดยการ การจองตั๋ว ตารางการบิน อุปกรณ์เครื่องมือ และอื่นๆ ระบบคอมพิวเตอร์จะเหมาะสมกับการเก็บข้อมูลที่ขนาดของสารสนเทศจ านวนมากในฐานข้อมูล ข้อมูลนั้นใช้งานได้กับโปรแกรมใช้งานหลายรูปแบบอาทิเช่น ระบบการจัดการฐานข้อมูล (database management system) ที่จะช่วยให้ผู้ใช้งานได้เข้าถึงสารสนเทศในฐานข้อมูล แบบจ าลองของความสัมพันธ์ในฐานข้อมูล ถูกคิดค้นโดย E.F.Codd โดยขึ้นอยู่กับแนวคิดของความสัมพันธ์ในระดับ n-ary

ในแนวหลักของความสัมพันธ์จะเรียกว่าเป็นอาร์ทริบิวต์ (attribute) หรือคุณสมบัติที่สนใจ โดเมนของอาร์ทริบิวต์หนึ่งคือเซตที่ทุกสมาชิกในอาร์ทริบิวต์นั้นเป็นเจ้าของอยู่ ตัวอย่างเช่นในตารางข้างบน อาร์ทริบิวต์ Age ควรจะเป็นเซตของตัวเลขจ านวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 100 อาร์ทริบิวต์ Name ควรที่จะมีลักษณะเป็นสตริง ท่ีมีความยาวไม่มากกว่า 30 อักขระ

อาร์ทริบิวต์หนึ่งหรืออาร์ทริบิวต์ที่ร่วมกันส าหรับความสัมพันธ์หนึ่งจะเป็นคีย์ (key) ถ้าค่าของอาร์ทริบิวต์นั้นๆมีความเป็นหนึ่งเดียวหรือนิยามเพียงอย่างเดียวใน n-tuples ตัวอย่างเช่นอาจใช้ ID เป็นคีย์ อาร์ทริบิวต์ Name ไม่เหมาะที่จะใช้เป็นคีย์ทั้งนี้เพราะช่ือๆหนึ่งอาจมีหลายคนได้

ตัวฐานข้อมูลจะตอบสนองต่อค าสั่งสอบถาม (queries) ค าสั่งสอบถามคือความต้องการสารสนเทศจากฐานข้อมูล ตัวอย่างเช่น “Find all person who play outfield” เป็นค าสั่งที่มีความหมายส าหรับความสัมพันธ์ที่ให้ในตารางข้างบน ซึ่งจะได้กล่าวถึงตัวอย่างของค าสั่งที่ใช้ในฐานข้อมูลต่อไป

Select

ตัวด าเนินการ Select หรือตัวด าเนินการเลือกในฐานข้อมูล เป็นการเลือกหาสมาชิกแบบ n-tuples จากความสัมพันธ์ ตัวเลือก (choice) อาจถูกท าขึ้นโดยการให้เง่ือนไขไปยังอาร์ทริบิวต์ที่สนใจ ตัวอย่างเช่น ส าหรับตารางความสัมพันธ์ PLAYER ที่แสดงไว้ด้านบน

PLAYER[Position=c]

ก็จะได้สมาชิกของความสัมพันธ์เป็น

(22012,Johnsonbauge, c,22) ,(84341,Cage,c,30)

Project

ขณะที่ตัวด าเนินการ Select เลือกสมาชิกจากความสัมพันธ์ (ระเบียน) ในลักษณะแถว ตัวด าเนินการ Project จะเลือกในลักษณะของหลัก (field) ตัวอย่างจากความสัมพันธ์ในตาราง PLAYER

PLAYER [Name, Position]

จะได้เป็น

(Johnsonbaugh,c),(Glover,of), (Battey,p), (Cage,e), (Homer,1b), (Score,p), (Johnsonbaugh, of), (Singleton, 2b)

Join

ทั้งตัวด าเนินการ Select และ Projection จะจัดการกับความสัมพันธ์เพียงความสัมพันธ์เดียว Join จะจัดการกับความสัมพันธ์สองความสัมพันธ์ โดยด าเนินการกับ R1 และ R2 เริ่มจากการพิจารณาขนาดของ tuples ของ R1 และ R2 ถ้าการด าเนินการ Join ใช้ได้ก็จะเกิด tuple ใหม่ขึ้นมา เงื่อนไขการเช่ือมต่อจะก าหนดความสัมพันธ์ของทั้ง R1 และ R2 ร่วมกัน ตัวอย่างเช่น

ให้ท าการเช่ือมต่อความสัมพันธ์จากตารางที่ ๔-๑ กับตารางที่ ๔-๒ โดยก าหนดเง่ือนไขเป็น

ID Number = PID

PID Team 39826 Blue Sox

26710 Mutts 58199 Jackalopes

01180 Mutts

ตารางที่ ๔-๒ ASSIGNMENT การด าเนินการเริ่มจากดูแถวของตารางด้านบนกับตารางที่ให้ และถ้า ID Number = PID ให้เช่ือมทั้งแถวเข้าหากัน

ตัวอย่างเช่น ID Number 01180 ในแถวที่ 5 (01180, Homer, 1b,37) ตรงกับ PID ในแถวที่ 5 (01180,Mutts) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นการ เขี ยนตามขนาดของ tuples ของตารา งซ้ า ยแล้ วต่ อด้ วยตารา งที่ ข ว า หรื อสมา ชิกที่ ย กตั วอย่ า งจะมี ค่ า เ ป็ น (01180,Homer,1b,37,Mutts) ในการด าเนินการลักษณะของการสั่งอาจเป็น

PLAYER [ID Number = PID] ASSIGNMENT

ผลที่ได้จะเป็น

ID number Name Position Age Team 58199 Battey p 18 Jackalopes 01180 Homer 1b 37 Mutts

26710 Score p 22 Mutts

39826 Singleton 2b 31 Blue Sox

ตารางที่ ๔-๓ PLAYER [ID Number = PID] ASSIGNMENT การสอบถามส่วนใหญ่ไปยังฐานข้อมูลความสัมพันธ์ต้องการการด าเนินการที่จะได้ค าตอบได้

ตัวอย่าง อธิบายการด าเนินการเพื่อให้ได้ค าตอบของการสอบถาม “Find the names of all persons who play for some team”

ถ้าเริ่มแรกมีการเช่ือมความสัมพันธ์ของตารางทั้งสองโดยเป็นไปตามเง่ือนไข ID Number = PID และด้านผลลัพธ์ดังแสดงด้วยตารางข้างบน ซึ่งเป็นรายการของทุกบุคคลที่เล่นให้กับบางทีมและสารสนเทศอื่นๆ เพื่อที่จะให้ได้มาถึงช่ือ จ าเป็นต้องด าเนินการ Project ไปยังอาร์ทริบิวต์ Name ซึ่งจะได้ข้อมูลเป็น

Name

Battey Homer Score Singleton

ซึ่งในลักษณะของค าสั่งก็จะด าเนินการได้โดย

TEMP := PLAYER [ID Number = PID] ASSIGNMENT

TEMP [Name]

ตัวอย่าง อธิบายการด าเนินการที่ให้ค าตอบต่อค าสอบถาม “Find the names of all persons who play for Mutts”

ถ้าเริ่มจากใช้การด าเนินการ Selection เพื่อที่จะให้ได้ค่าตามแถวจากตารางที่ ๔-๒ ที่อ้างอิงถึงผู้เล่นของ Mutts จะได้ความสัมพันธ์เป็น

PID Team 26710 Mutts 01180 Mutts

TEMP1

ถ้าจากน้ีต้องการเช่ือมตารางที่ ๔-๑ กับความสัมพันธ์ TEMP1 อันเนื่องมาจาก ID Number = PID จะได้ความสัมพันธ์

ID number Name Position Age Team

01180 Homer 1b 37 Mutts 26710 Score p 22 Mutts

TEMP2 ถ้าท าการด าเนินการ project ความสัมพันธ์ TEMP2 บนอาร์ทริบิวต์ Name จะได้ความสัมพันธ์

Name Homer Score

ซึ่งจะระบุการด าเนินการต่างๆได้ดังนี้

TEMP1 := ASSIGNMENT [Team = Mutts]

TEMP2 :=PLAYER [ID Number = PID] TEMP1

TEMP2 [Name]

แบบฝึกหัดเกีย่วกับเซต

1.ให้ 𝑈 = {1,2,3, … ,10}, 𝐴 = {1,4,7,10}, 𝐵 = {1,2,3,4,5} และ 𝐶 = {2,4,6,8} จงหาสมาชิกของเซตตามเงื่อนไขเหล่านี้ a) 𝐴 ∪ 𝐵 b) 𝐵 ∩ 𝐶 c) �̅� d) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) e) �̅� ∩ (𝐶 − 𝐴) f) (𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶

2. จงเขียน Venn diagram และให้ระดับสี (shade) กับเง่ือนไขของเซตต่อไปนี้ a) 𝐴 ∩ �̅� b) 𝐵 ∪ (𝐵 − 𝐴) c) (𝐵 − 𝐶̅) ∪ ((𝐵 − �̅�) ∩ (𝐶 ∪ 𝐵))

3. ให้ X={1,2} และ Y={a,b,c} แจกแจงสมาชิกของเซตต่อไปนี้ a) X×Y b) Y×X c) Y×Y

แบบฝึกหัดส าหรับฟังก์ชัน

1.พิจารณาว่าแต่ละเซตในหัวข้อต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันหรือไม่จาก X={1,2,3,4}, to Y={a,b,c,d} ถ้ามันเป็นฟังก์ชันให้หาโดเมน และ เรนจ์ วาดภาพไดอะแกรมการจับคู่ และพิจารณาว่ามันเป็นแบบ one-to-one, on-to หรือทั้งสอง ถ้ามันเป็นทั้งแบบ one-to-one และ on-to ให้หาฟังก์ชันผกผันและเซตของคู่ล าดับ พร้อมทั้งเขียนไดอะแกรมและโดเมนและเรนจ์ของมันด้วย

a) {(1,a), (2,a), (3, c), (4,b)} b) {(1,c), (2,a), (3,b), (4,c), (2,d)} c) {(1,c),(2,d), (3,a), (4,b)}

2. พิจารณาว่าฟังก์ชันในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็น one-to-one โดยที่โดเมนของมันเป็นเซตของจ านวนจริง ถ้าฟังก์ชันไม่ใช่ one-to-one ให้พิสูจน์ พร้อมท้ังพิจารณาด้วยว่า f เป็น onto เซตของจ านวนจริงทั้งหมด ถ้า f ไม่ใช่ onto ให้พิสูจน์ a) 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 9

b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 3𝑥 + 1 c) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥

1+𝑥2

3. ให้ g={(1,b), (2,c), (3,a)}, ฟังก์ชันหนีงจาก X={1,2,3} ไปยัง Y={a,b,c,d} และ f={(a,x), (b,x), (c,z), (d,w)} และอีกฟังก์ชันหนึ่งจาก Y ไปยัง Z = {w,x,y,z} เขียน 𝑓 ∘ 𝑔 เป็นเซตของคู่ล าดับและเขียนไดอะแกรมของ 𝑓 ∘ 𝑔

4. ให้ f และ g เป็ฟังก์ชัจากจ านวนเต็มบวกไปยังจ านวนเต็มบวกท่ีนิยามโดยสมการ

𝑓(𝑛) = 2𝑛 + 1, 𝑔(𝑛) = 3𝑛 − 1

หาฟังก์ชันคอมโพซิชัน 𝑓 ∘ 𝑓, 𝑔 ∘ 𝑔, 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑔 ∘ 𝑓

5. แยกฟังก์ชัน (decompose) ต่อไปนี้ให้เป็นฟังก์ชันอย่างง่าย

a) 𝑓(𝑥) = log2(𝑥2 + 2)

b) 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥

c) 𝑓(𝑥) = (3 + sin 𝑥)4

แบบฝึกหัดเกี่ยวกับอันดับและสตริง

1. ให้อันดับ s ต่อไปนี้นิยามสมาชิกได้เป็น c, d, d, c, d, c a. หา 𝑠1 b. หา 𝑠4 c. เขียน s ในรูปของสตริง

2. อันดับ t นิยามโดย 𝑡𝑛 = 2𝑛 − 1, 𝑛 ≥ 1 จงหา a. 𝑡3 b. 𝑡100 c. ∑ 𝑡𝑖

3𝑖=1

d. ∑ 𝑡𝑖7𝑖=3

e. ∏ 𝑡𝑖3𝑖=1

3. จากสตริงท่ีให้ดังต่อไปนี้ 𝛼 = 𝑏𝑎𝑎𝑏, 𝛽 = 𝑐𝑎𝑎𝑏𝑎, 𝛾 = 𝑏𝑏𝑎𝑏 จงหาสตริง a. 𝛼𝛽 b. 𝛽𝛼 c. |𝛽𝛼| d. 𝜆𝛽 e. 𝛼𝛽𝛾

แบบฝึกหัดเกี่ยวกับ Relation

1. สร้าง R จากตาราง 8840 Hammer 9921 Pliers 452 Paint 2207 Carpet

2. เขียนความสัมพันธ์ R จากกราฟต่อไปนี้

a.

b.

c

a b

d

4 5

3

2 1

c.

d. 3. จงหาว่าความสัมพันธ์ที่ให้ต่อไปนี้มีลักษณะของความสัมพันธ์สมมูลย์บน {1,2,3,4,5} หรือไม่

a. {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)} b. {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} c. {(x,y)|1≤x≤5 และ 1≤y≤5} d. {(x,y)|4 หาร x-y} e. {(x,y)|3 หาร x+y}

4. พิจารณาว่าความสัมพันธ์ที่ให้ต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์สมมูลย์บนเซตของบุคคลเหล่านี้ a. {(x,y)|x และ y เป็นบุคคลที่มีความสูงเท่ากัน} b. {(x,y)|x สูงกว่า y} c. {(x,y)|x และ y มีสีผมเดียวกัน}

5. ให้ X={1,2,3,4,5}, Y={3,4}และ C={1,3} นิยามความสัมพันธ์ R บน 𝒫(𝑋) คือเซตของทุกเซตย่อยของ X และ 𝐴 𝑅 𝐵 ถ้า 𝐴 ∪ 𝑌 = 𝐵 ∪ 𝑌

a. จงแสดงให้เห็นว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูลย์ b. แสดงทุกสมาชิกของ [C] หรือล าดับช้ันสมมูลย์ที่มี C

6. ให้ X={San Francisco, Pittsburgh, Chicago,Sandiago,Philadelphia, Los Angeles} นิยาม R บน X เป็น x R y ถ้า x และ y อยู่ในสถานะเดียวกัน

a. จงแสดงว่า R เป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลย์ b. แสดงล าดับชั้นสมมูลย์ของ X

7. สร้างเมตริกซ์ของความสัมพันธ์ R จาก X ไปยัง Y ของล าดับที่ให้ต่อไปนี้ a. 𝑅 = {(1, 𝛿), (2, 𝛼), (2, Σ), (3, 𝛽)(3, Σ)} ล าดับของ X เป็น 1,2,3 ล าดับของ Y :𝛼, 𝛽, Σ, 𝛿

8. แสดงความสัมพันธ์ที่ให้จากตารางต่างๆ ดังต่อไปนี ้ ID Name Manager 1089 Suzuki Zamora 5620 Kaminski Jones 9551 Ryan Washington 3600 Beaulieu Yu 0285 Schmidt Jones 0684 Manacotti Jones ตารางที่ ๔-๔ EMPLOYEE

Dept Manager

23 Jones 04 Yu 96 Zamora 66 Washington

ตารางที่ ๔-๕ DEPARTMENT

1 2

b a c d

Dept Part No Amount

04 335B2 220 23 2A 14

04 8C200 302 66 42C 3 04 900 7720

96 20A8 200 96 1199C 296

23 772 39

ตารางที่ ๔-๖ SUPPLIER United Supplies 2A

ABC Unlimited 8C200 United Supplies 1199C

JCN Electronics 2A United Supplies 335B2

ABC Unlimited 772 Danny’s 900

United Supplies 772 Underhanded Sales 20A8 Danny’s 20A8 DePaul University 42C ABC Unlimited 20A8

ตารางที่ ๔-๗ BUYER 9. จากตารางดังกล่าว

a. หาช่ือพนักงานทุกคน (employee) ไม่รวมผู้จัดการ (manager) b. หาช่ือผู้จัดการทั้งหมด c. หาหมายเลขของช้ินส่วนอะไหล่ (part number) d. หาช่ือพนักงานทุกคนท่ีถูกจัดการโดย Jones e. หาหมายเลขอะไหล่ทั้งหมดและปริมาณ (amount) ส าหรับห้างสรรพสินค้า Zamora

10. อธิบายถึงการด าเนินการแบบยูเนียนกับฐานข้อมูลความสัมพันธ์ แสดงถึงตัวด าเนินการท างานอย่างไรโดยการตอบค าส่งค าถาม (query) โดยใช้ความสัมพันธ์ในตารางในข้อ 8 หาช่ือของพนักงานทุกคนที่ท างานในแผนก (department) 23 หรือแผนก 96 รวมถึงเขียนล าดับของการด าเนินการที่ควนใช้ในการตอบค าถามของค าส่งค าถามด้วย

11. จงเขียนความสัมพันธ์ R จากเมตริกซ์ท่ีให้ต่อไปนี้

a. 𝑎𝑏𝑐𝑑 (

𝑤 𝑥 𝑦 𝑧1 0 1 00 0 0 00 0 1 01 1 1 1)

b. 12

(1 2 3 41 0 1 00 1 1 1

)

12. ให้ 𝑅1 = {(1, 𝑥), (1, 𝑦), (2, 𝑥), (3, 𝑥)}; 𝑅2 = {(𝑥, 𝑏), (𝑦, 𝑏), (𝑦, 𝑎), (𝑦, 𝑐)} a. เมตริกซ์ 𝐴1 ของความสัมพันธ์ 𝑅1(สัมพันธ์ในลักษณะของล าดับที่ให้) b. เมตริกซ 𝐴2 ของความสัมพันธ์ 𝑅2(สัมพันธ์ในลักษณะของล าดับที่ให้) c. หาผลคูณของ 𝐴1𝐴2 d. ใช้ข้อมูลที่ได้จาก c ในการหาเมตริกซ์ของความสัมพันธ์ 𝑅1 ∘ 𝑅2 e. ใช้ผลที่ได้จาก d ในการหาความสัมพันธ์ 𝑅1 ∘ 𝑅2 (ในรูปของคู่ล าดับ)

13. จากค าถามข้อย่อยต่างๆในข้อ 12 เมื่อ 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑠 𝑦}; 𝑅1 𝑖𝑠 𝑓𝑟𝑜𝑚 𝑋 𝑡𝑜 𝑌 14. 𝑅2 = {(𝑦, 𝑧)|𝑦 > 𝑧}; 𝑅2 𝑖𝑠 𝑓𝑟𝑜𝑚 𝑌 𝑡𝑜 𝑍 ล าดับของ X และ Y เป็น 2,3,4,5 ล าดับของ Z เป็น 1,2,3,4