DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za MATEMATIKUstudijski programi:MATEMATIKA-druga godina OASDVOPREDMETNA NASTAVA- cetvrta godina OAS

MATEMATICKA ANALIZA 3(pismeni deo,JANUAR 2015,DRUGI KOLOKVIJUM)

1. Data je funkcija f(x, y) =

5x3y − 4xy3

x2 + y2, za (x, y) 6= (0, 0)

0 za (x, y) = (0, 0).Ispitati tacnost jednakosti

∂2f(0, 0)

∂x∂y=

∂2f(0, 0)

∂y∂x. 20

2. (a)Neka je g ∈ C1(R) i funkcija f definisana sa f(x, y) = xg(x2 + y2).Dokazati da je tada

xy∂f(x, y)

∂x− x2∂f(x, y)

∂y= yf(x, y)

10

(b)Neka je z fukcija od x i y definisana jednakoscux− 1

z − 2= F

(y − 1

z − 2

),gde je F proi-

zvoljna diferencijabilna funkcija na R.Dokazati da je tada

∂2z

∂x2.∂2z

∂y2−(

∂2z

∂x∂y

)2

= 0

20 .

3. (a)Dokazati da je jednacinom

3x3 + y2z3 − 2xyz + z3 − 1 = 0u okolini tacke(0, 0) implicitno definisana funkcija z = f(x, y)za koju je f(0, 0) = 1 i naci

parcijalne izvode∂f

∂x,∂f

∂y,∂2f

∂x2,∂2f

∂y2i

∂2f

∂x∂yu tacki (0, 0) 10 .

(b)Primenom teoreme o implicitnoj funkciji(ili na neki drugi nacin)naci lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2,gde

(x, y) zadovoljava jednacinuy5 + 3 4x = 1 + 2x− 3y

20

4. Ispitati prirodu stacionarnih tacaka i odrediti tacke lokalnih ekstrema funkcije

u(x, y, z) = 8x2 − 2xy + 4xz − y + y3 + z2

za x > 0 20∑100

bodovanje 55 do 64 ocena 6 65 do 74 ocena 775 do 84 ocena 8 85 do 94 ocena 9 95 do 100 ocena 10