A1 B1 CCSS
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A1 B1 MATRICES (JUNIO 2020 A1)
Se considera la ecuación matricial:
ðŽ â ð = ðŽ! â ðµððððððŽ = +1 2 â10 1 21 2 0
0 ðŠðµ = +1020
1. ¿Qué dimensión debe tener la matriz X? 2. Resuelve la ecuación matricial
(JULIO 2020 B1)
Sean las matrices ðŽ = 20 1 21 2 34 ðŠðµ = 22 1
0 â14.
1. Calcular la inversa de la matriz (ðŽ â ðŽ!) 2. ¿Admite inversa la matriz (ðŽ â ðŽ!)? 3. Calcular cuando sea posible ðŽ â ðµðŠðŽ! â ðµ
(JUNIO 2019 B1)
Sena las matrices ðŽ = 22 00 14 ,ðµ = 21 0
1 24 ðŠð¶ = 210 114 7 4
a) Determina la matriz inversa de la matriz ðŒ + ðµ, sienod ðŒ la matriz identidad de orden 2. b) Calcula las matrices X e Y que verifican que:
?ðŽð + ðµð = ð¶ðŽð = ð
CON SOLUCIÃN
(JULIO 2019 A1)
Sean A y B las siguientes matrices; ðŽ = 23 â10 2 4 , ðµ = 2 1 â2
â1 1 4
a) Hallar la matriz inversa de ðŽ â ðµ b) Hallar la matriz X tal que ð(ðŽ â ðµ) = 2ðŽ â 3ðµ
CON SOLUCIÃN
(JUNIO 2018)
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a) Dadas las matrices ð = B ð¥ 3â1 + ð¥ 3ðŠD ðŠð = 21 â15
0 36 4,determina el valor de las
componentes ð¥ > 0ððŠ para que se verifique ð " = ð, donde ð " = ð â ð . b) Se conoce la longitud, ð = 2, ð = 3ðŠð = 5, de un lado de cada rectangulo de la
figura X, Y, Z y la otra medida es x, y, z. Determinar x, y, z para que se cumpla: a. La suma del area de los tres rectangulos vale 64. b. La suma de los perimetros de los rectagunlos X e Y vale 34 c. La suma del perimetro de X mas dos veces el area de Y vale 48.
ð¹ððð¢ððð¹ððð¢ðððð¹ððð¢ððð
(JULIO 2018)
a) Calcula los paremtros a, b, c, d para que se cumpla la igualdad ð¹ â ðº = ð» â ðŸ con las siguientes matrices:
ð¹ = 21 + ð â ð â12 + ð 1 4 ,ðº = 2â2 1
4 3 â ð4 ð» = 22ð + 2 â2ð â24 ,ðŸ
= 2â1 2ð 34
b) Determina el exponente n de la matriz A para que se cumpla :
ðŽ# = 2â2048 00 â20484 , ððððððŽ = 20 â2
1 0 4
CON SOLUCIÃN
(JUNIO 2017)
Sean las matrices ðŽ = 2 ð¥ 6â3 â54 , ðµ = B3 2
ðŠ â1D , ð¶ = 2 9 ð§âð§ â14 ðŠðž = 21 2
2 â14
c) ¿qué valores deben tomar los parametrois desconococidos x,y,z para que se verifique la igualdad matricial ðŽ â ðµ = ð¶?
d) Calcula las componentes de la matriz ðž"$.Pista: aprovecha las simetrias en la matriz E o el calculo de sus primera potencias para identificar un patron.
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(JULIO 2017)
Dadas las matrices ðŽ = 22 00 â14 , ðµ = 2 1 3
â2 24 ðŠð¶ = 214 â6â9 â114. encontrar las
componentes de las matrices de dimensión 2x2, ð = 2ð ðð ð 4 ðŠð» = 2ð ð
â ð4 para que se
cumplan las siguientes igualdades matriciales:
a) ðŽððµ = ð¶ b) ðŽð»ðµ%& = ð¶
CON SOLUCIÃN
(JUNIO 2016)
Considerense las siguinetes matrices y los parametros desconocidos ð¢ðŠð£:
ðŽ = 2 2 â1â3 3 4 ,ðµ = 2 0 2
â1 24 ,ð¶ = 2â2 0â1 44 ,ð· = 22 ð¢
ð£ â24
a) Determinar los valores de los parametros ðŒ, ðœ, ð¢ðŠð£ para que se cumpla la siguiente igualdad matricial, siendo ðµ! la matriz traspuesta de B.
ðŽ BðŒ 00 ðœDðµ
! + ð¶ B0 ðŒðœ 0D = ð·
b) Siendo ðŽ%& la matriz inversa de A, encontrar los valores de las constantes a y b que verifiquen:
ðŽ%& 2ðð4 = ðµ 2ðð4 + 2124
CON SOLUCIÃN
(JULIO 2016)
a) Dada la matriz ðŽ = 23 â3ð ð 4, determinar los valores de los parametros a y b para que
se verifique la ecuacion matricial ðŽ" = 2ðŽ.
b) Dadas las matrices ðµ = 2 1 0â1 14 ðŠð¶ = 21 2
0 14,calcula la matriz ð· = ðµ'$ â ð¶!
(JUNIO 2015)
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a) Sean las matrices ðŽ = 22 10 â14 , ðµ = 21 â1
2 0 4 , ð¶ = 2â2 41 â14.Calcular la matriz X
para la que se verifica la ecuacion matricial ðŽð = ðµ â ð¶ b) Halla la matriz Y para la que se verifica la ecuacion matricial ððŽ = ðµ"
CON SOLUCION
(JULIO 2015)
a) Calcular los valores de a, b, c, d, que verifiquen la siguiente ecuacion matricial:
22ð â 2 2ðð + 1 ð + 24 + 2
4 ð â 22ð 2ð 4 = 2ð ð
4 04
b) Dada la matriz ðŽ = 2 1 0â1 14,calcular ðŽ"$.Razona tu respuesta.
CON SOLUCION
(JUNIO 2014 A1)
Sean las matrices ðŽ = 2â1 01 â14 ðŠðµ = 2â1 â1
2 â24.Calcular la matriz X para la que se verifica
la ecuación matricial ððŽ" = ðµ
Hallar la matriz ðŽ&(. Razona el procedimiento.
CON SOLUCIÃN
(JULIO 2014 B1).- Calcular las matrices X e Y que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matricial:
dð â 2ð = 25 â5
1 â34
2ð + ð = 20 52 44
Hallar la matriz ð" + ð"
CON SOLUCIÃN
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(JULIO 2013 B1) Sean las matrices ðŽ = 2 0 10â3 â64 ðŠðµ = 2â7 6
15 â54. Hallar las matrices X, Y,
para que se cumpla el siguiente sistema matricial:
? 2ð + ð = ðŽâ3ð + 2ð = ðµ
Siendo ðŽ! la matriz traspuesta de la matriz A, calcular el producto ðŽ â ðµ â ðŽ!
CON SOLUCIÃN
JUNIO 2013 B1.- Sea la matriz ðŽ = 2â2 13 â14, y la ecuación 2ðŽ" + ð¥ðŽ â ðŠðŒ = 0. Calcular los
valores de x e y para los que se verifica dicha ecuación.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuación matricial:
ðŽ + 2ð = 3ðŽ!
CON SOLUCIÃN
JUNIO 2012 B1.- Sean las matrices:
ðŽ = 2 1 2â3 â14 ðŠðµ = 2â1 1
â2 14
Encuentra la matriz X que cumpla la ecuación ðµð = ðŽ + ðµ
Siendo ðŽ! la matriz traspuesta de la matriz A, calcula ðŽððŽ!
CON SOLUCIÃN
JULIO 2012 B1.- Sea la matriz ðŽ = 2 2 2â2 14,y la ecuacion ðŽ" â ð¥ðŽ â ðŠðŒ = 0 . Calcular los
valores de x e y para que se verifique la ecuación.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuación matricial:
21 2 30 â1 24 +
32ð = 22 3 â5
0 7 8 4 + 2ð
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JULIO 2011 A1.- Un individuo invirtió un total de 60000 ⬠en tres empresas (A, B , C) y obtuvo 4500 ⬠de beneficio. Averiguar cuanto invirtió en cada una de ellas, sabiendo que la cantidad invertida en A fue el doble que en B y C juntas y que las rentabilidades fueron; el 5% en A, el 10% en B y el 20% en C.
JUNIO 2011 B1.- Dada la matriz:
ðŽ = 23 11 24
Hallar la matriz inversa de ðŽ â ðŒ
Hallar la matriz B tal que ðŽ + ðµ = ðŽðµ
CON SOLUCIÃN
JUNIO 2010 B1.- En la exposición de un establecimiento de material de oficina hay 400 unidades, entre lámparas, sillas y mesas, con un valor total de 15000â¬. Si el valor de una lámpara es de 16â¬, el de una silla 50⬠y el de una mesa 80â¬, y , además, hay tantas lámparas como sillas y mesas juntas, ¿Cuantas lámparas, sillas y mesas hay en la exposición?.
JULIO 2010 B1.- Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se vende a 30â¬; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50â¬. Se van a poner a la venta al menos 20 lotes de la oferta A y al menos 10 lotes de la B. Averiguar cuantos lotes debe vender de cada tipo para la ganancia sea máxima.
JUNIO 2010 A1.-Dadas las matrices:
ðŽ = 2ð 21 ð4 , ðµ = 21 1
1 24 , ð¶ = 2â11 4
Las matrices ðµðŽð¶ðŠðŽ!ð¶
Los valores que deben tener a y b para que se cumpla que ðµðŽð¶ = ðŽ!ð¶
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SOLUCIONES
(JUNIO 2019)
Sena las matrices ðŽ = 22 00 14 ,ðµ = 21 0
1 24 ðŠð¶ = 210 114 7 4
c) Determina la matriz inversa de la matriz ðŒ + ðµ, siendo ðŒ la matriz identidad de orden 2. d) Calcula las matrices X e Y que verifican que:
?ðŽð + ðµð = ð¶ðŽð = ð
Lo primero que tienes que hacer es calcular la matriz ðŒ + ðµ
ðŒ + ðµ = 21 00 14 + 2
1 01 24 = 22 0
1 34
Ahora tienes que hacer la inversa de esa matriz, puedes elegir el procedimiento que te de la gana, yo voy a aplicar la definicion de inversa:
(ðŒ + ðµ)%&(ðŒ + ðµ) = ðŒ
2ð ðð ð4 â 2
2 01 34 = 21 0
0 14 â 22ð + ð 3ð2ð + ð 3ð4 = 21 0
0 14
Ahora con lo que te acabo de subrayar (Azul y Verde) vas hacer un sistema de ecuaciones para despejar los parametros:
f2ð + ð = 13ð = 0 â ð = 0 â ð =
12
Ahora con los otros colores (Rojo y Amarillo) haces otro sistema para sacar el resto de parametros:
f2ð + ð = 03ð = 1 â ð =
13â ð =
â16
Entonces;
(ðŒ + ðµ)%& = g
12 0â16
13
h
Ahora para el siguiente apartado, tienes que resolver un sistema de ecuaciones matriciales:
?ðŽð + ðµð = ð¶ðŽð = ð â ðâðððððð ððð£ððŠððððððððððð¡ðððððð ð¢ð ð¡ðð¡ð¢ððóð:
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ðŽð + ðµð = ð¶ â ð + ðµð = ð¶ â (ðŒ + ðµ)ð = ð¶ â ð = (ðŒ + ðµ)%&ð¶
ð = g
12 0â16
13
h 210 114 7 4 = g
5112
â13
12
h
Ahora lo siguiente que tienes que hacer para terminar es calcular el valor de la incognita X;
ðŽð = ð â ðŽ%&ðŽð = ðŽ%&ð â ð = ðŽ%&ð
¡Cuidado! Ahora tienes que calcular la inversa de la matriz A, usa el procedimiento que quieras;
ðŽ%&ðŽ = ðŒ â 2ð¥ ðŠð§ ð¡4 2
2 00 14 = 21 0
0 14 â 22ð¥ ðŠ2ð§ ð¡4 = 21 0
0 14 â ðŽ%& = +
12
0
0 10
ð = ðŽ%&ð â ð = +12
0
0 10g
5112
â13
12
h = g
52
114
â13
12
h
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(JULIO 2019)
Sean A y B las siguientes matrices; ðŽ = 23 â10 2 4 , ðµ = 2 1 â2
â1 1 4
c) Hallar la matriz inversa de ðŽ â ðµ d) Hallar la matriz X tal que ð(ðŽ â ðµ) = 2ðŽ â 3ðµ
Lo primero que tienes que hacer es calcular la matriz A menos la matriz B:
23 â10 2 4 â 2
1 â2â1 1 4 = 22 1
1 14
Para calcular la inversa puedes hacerlo siguiendo el procedimiento que mas te interese o el que mejor sepas hacer, en este caso voy a utilizar la definición de inversa:
(ðŽ â ðµ)%&(ðŽ â ðµ) = ðŒ â
2ð ðð ð4 2
2 11 14 = 21 0
0 14 â 22ð + ð ð + ð2ð + ð ð + ð4 = 21 0
0 14 â
Ahora con lo que te acabo de subrayar (Azul y Verde) vas hacer un sistema de ecuaciones para despejar los parametros:
?2ð + ð = 1ð + ð = 0 âðŽâðððððððððð¢ðððóð â ð = 1 â ð = â1
Ahora con los otros colores (Morado y Amarillo) haces otro sistema para sacar el resto de parametros:
?2ð + ð = 0ð + ð = 1 âð ððð¢ðððóðððððððð ððð£ðððð â ð = â1 â ð = 2
(ðŽ â ðµ)%& = 2 1 â1â1 2 4
Ahora tienes que resolver la siguiente ecuacion matricial;
ð(ðŽ â ðµ) = 2ðŽ â 3ðµ
ð(ðŽ â ðµ)(ðŽ â ðµ)%& = (2ðŽ â 3ðµ)(ðŽ â ðµ)%&
ð = (2ðŽ â 3ðµ)(ðŽ â ðµ)%&
ð = m2 23 â10 2 4 â 32
1 â2â1 1 4n â 2
1 â1â1 2 4 = 23 4
3 14 â 21 â1â1 2 4 = 2â1 5
2 â14
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a) Dadas las matrices ð = B ð¥ 3â1 + ð¥ 3ðŠD ðŠð = 21 â15
0 36 4,determina el valor de las
componentes ð¥ > 0ððŠ para que se verifique ð " = ð, donde ð " = ð â ð . b) Se conoce la longitud, ð = 2, ð = 3ðŠð = 5, de un lado de cada rectangulo de la
figuraX, Y, Z y la otra no x, y, z. Determinar x, y, z para que se cumpla: a. La suma del area de los tres rectangulos vale 64. b. La suma de los perimetros de los rectagunlos X e Y vale 34 c. La suma del perimetro de X mas dos veces el area de Y vale 48.
ð¹ððð¢ððð¹ððð¢ðððð¹ððð¢ððð
Lo primero que tienes que hacer en este ejercicio que a simple vista puede asustar, es leerlo detenidamente y empezar por el principio, paso por paso.
Lo primero que quiere que calcules es los valores de los parámetros, x e y para que se cumpla la siguiente igualdad:
ð " = ð â ð â ð = ð â B ð¥ 3â1 + ð¥ 3ðŠDB
ð¥ 3â1 + ð¥ 3ðŠD = 21 â15
0 36 4
o ð¥" + 3ð¥ â 3 3ð¥ + 9ðŠâð¥ + ð¥" â 3ðŠ + 3ð¥ðŠ â3 + 3ð¥ + 9ðŠ"
p = 21 â150 36 4
â©âš
⧠ð¥" + 3ð¥ â 3 = 13ð¥ + 9ðŠ = â15
âð¥ + ð¥" â 3ðŠ + 3ð¥ðŠ = 09ðŠ" + 3ð¥ â 3 = 36
â ð ðð ððð£ððððððððððððððððð¢ðððóð â ð¥ = 1ðŠð¥ = â4
ððððððððððððð¢ðððððððððððð¢ðððð¥ð¡ðððððð¢ðð ðððððŠðððð¢ððððð, ððð¢ððððð ððð¢ððóððð
ð¥ = 1
Ahora sabiendo el valor del parámetro x tienes que calcular el valor de y;
3ð¥ + 9ðŠ = â15 â ðŠ =â15 â 3ð¥
9â ðŠ =
â15 â 39
â ðŠ = â2
Ahora viene lo que quizás te de un poco de miedo, resolver la segunda parte del ejercicio:
Este ejercicio para llegar a la solución correcta solo requiere de paciencia.
La suma del area de los tres rectangulos vale 64 â 2ð¥ + 3ðŠ + 5ð§ = 64
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La suma de los perimetros de los rectagunlos X e Y vale 34 â 4 + 2ð¥ + 6 + 2ðŠ = 34 â 2ð¥ +2ðŠ = 24
La suma del perimetro de X mas dos veces el area de Y vale 48 â 4 + 2ð¥ + 6ðŠ = 48 â 2ð¥ +6ðŠ = 44
Ahora si quieres puedes utilizar el método de reducción con las dos ultimas ecuaciones y sacar los parámetros x e y:
2ð¥ + 2ðŠ = 24
2ð¥ + 6ðŠ = 44
â4ðŠ = â20 â ðŠ = 5
Sabiendo que ðŠ = 5 â 2ð¥ + 2ðŠ = 24 â 2ð¥ = 24 â 10 â ð¥ = 7
Por ultimo, para sacar el valor de z, tienes que ir a la primera ecuación y sustituir:
2ð¥ + 3ðŠ + 5ð§ = 64 â 2(7) + 3(5) + 5ð§ = 64 â ð§ = 7
(JULIO 2018)
a) Calcula los paremtros a, b, c, d para que se cumpla la igualdad ð¹ â ðº = ð» â ðŸ con las siguientes matrices:
ð¹ = 21 + ð â ð â12 + ð 1 4 ,ðº = 2â2 1
4 3 â ð4 ð» = 22ð + 2 â2ð â24 ,ðŸ
= 2â1 2ð 34
b) Determina el exponente n de la matriz A para que se cumpla :
ðŽ# = 2â2048 00 â20484 , ððððððŽ = 20 â2
1 0 4
Lo primero que tienes que hacer son las multiplicaciones a ambos lados de la igualdad para poder posteriormente, igualar las dos matrices y determinar el valor de los parámetros:
ð¹ â ðº = ð» â ðŸ â 21 + ð â ð â12 + ð 1 4 â 2
â2 14 3 â ð4 = 22ð + 2 â2
ð â24 â 2â1 2ð 34
2â2 â 2ð + 2ð â 4 1 + ð â ð â 3 + ðâ4 â 2ð + 4 2 + ð + 3 â ð 4 = 2â2ð â 2 â 2ð 4ð + 4 â 6
âð â 2ð 2ð â 6 4 â
tâ2ð + 2ð â 6 = â2ð â 2ð â 2
ð â ð + ð â 2 = 4ð â 2â2ð = âð â 2ð
ð â ð + 5 = 2ð â 6
â ððððððððððððððð¢ðððóð â 4ð = 4 â ð = 1
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Sabiendo que el parámetro b tiene valor 1, puedes despejar de la tercera ecuación, el valor de c;
â2ð = âð â 2ð â ð = 0
Ahora en la ultima ecuación; ð â ð + 5 = 2ð â 6 â 1 â ð + 5 = â6 â ð = 12
Por último, en la segunda ecuación: ð â ð + ð â 2 = 4ð â 2 â â3ð = ð â ð + 2 â 2 â
ð =113
NO DUDES NUNCA DE ESTE TIPO DE RESULTADOS Y MENOS EN LA SELECTIVIDAD, LO HACEN PARA QUE PIERDAS EL TIEMPO Y TE PONGAS NERVISO.
Para terminar con el ejercicio, en el apartado b, quiere que le digas cual tiene que ser el exponente de la matriz A para que se cumpla;
ðŽ# = 2â2048 00 â20484 , ððððððŽ = 20 â2
1 0 4
ðŽ" = ðŽ â ðŽ = 20 â21 0 4 â 2
0 â21 0 4 = 2â2 0
0 â24
ðŽ) = ðŽ" â ðŽ = 2â2 00 â24 â 2
0 â21 0 4 = 2 0 4
â2 04
ðŽ* = ðŽ) â ðŽ = 2 0 4â2 04 â 2
0 â21 0 4 = 24 0
0 44
ðŽ' = ðŽ* â ðŽ = 24 00 44 â 2
0 â21 0 4 = 20 â8
4 0 4
ðŽ+ = ðŽ' â ðŽ = 20 â84 0 4 â 2
0 â21 0 4 = 2â8 0
0 â84
Como puedes comprobar, dependiendo de si el exponente es par o impar, tienes un resultado o un patron diferente, por eso, quiero que te centres unicamente en el que a ti te interesa, que es un exponente par, ya que 20 es un numero par. Y ademas de eso, tambien quiero que preste especial atención al signo, ya que en los exponentes pares el signo es alterno. Entonces;
Como tu estas trabajando con una matriz de exponente par y el resultado del signo es negativo, la vas a comparar con ðŽ", ðŽ+âŠ
ðŽ# = oâ2#" 0
0 â2#"p
ðŽ# = 2â2048 00 â20484
â2#" = â2048 â 2
#" = 2048 â
ð2= log" 2048 â
ð2= 11 â ð = 22
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Sean las matrices ðŽ = 2 ð¥ 6â3 â54 , ðµ = B3 2
ðŠ â1D , ð¶ = 2 9 ð§âð§ â14 ðŠðž = 21 2
2 â14
a) ¿qué valores deben tomar los parametrois desconococidos x,y,z para que se verifique la igualdad matricial ðŽ â ðµ = ð¶?
b) Calcula las componentes de la matriz ðž"$.Pista: aprovecha las simetrias en la matriz E o el calculo de sus primera potencias para identificar un patron.
Lo primero que tienes que hacer, es plantear la igualdad y realizar los cálculos:
2 ð¥ 6â3 â54 â B
3 2ðŠ â1D = 2 9 ð§
âð§ â14 â B3ð¥ + 6ðŠ 2ð¥ â 6â9 â 5ðŠ â1 D = 2 9 ð§
âð§ â14
Ahora lo siguiente que tienes que hacer, es igualar las dos matrices, para componente a componente ir determinando los parámetros:
3ð¥ + 6ðŠ = 9
2ð¥ â 6 = ð§
â9 â 5ðŠ = âð§ â ð§ = 9 + 5ðŠ
â1 = â1
Con las dos ecuaciones que tienes en amarillo; 2ð¥ â 6 = 9 + 5ðŠ
Ahora con las dos ecuaciones que están subrayadas en verde, puedes hacer un sistema para determinar el valor del parámetro x e y;
f3ð¥ + 6ðŠ = 92ð¥ â 5ðŠ = 15 ððððððððððððð¢ðððóð â ð¥ = 3 â 2ðŠ â 2(3 â 2ðŠ) â 5ðŠ = 15 â â9ðŠ = 9
â ðŠ = â1
Por tanto, ð¥ = 3 â 2(â1) â ð¥ = 5
Ahora sabiendo estos parámetros, puedes calcular el valor de z;
ð§ = 2ð¥ â 6 â ð§ = 10 â 6 â ð§ = 4
En el apartado b, el ejercicio quiere que calcules la potencia 20 de la matriz E, por tanto,
ðž" = ðž â ðž = 21 22 â14 â 2
1 22 â14 = 25 0
0 54
ðž) = ðž" â ðž = 25 00 54 â 2
1 22 â14 = 2 5 10
10 â54
ðž* = ðž) â ðž = 2 5 1010 â54 â 2
1 22 â14 = 225 0
0 254
Como puedes comprobar, tal y como te adelanta el enunciado, tienes que diferenciar entre las matrices de potencia par y de las que tienen potencia impar:
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ðž# â ð: ððð â ðž# = o5#" 00 5
#"p
Como el enunciado quiere que calcules ðž"$ = 25&$ 00 5&$
4
(JULIO 2017)
Dadas las matrices ðŽ = 22 00 â14 , ðµ = 2 1 3
â2 24 ðŠð¶ = 214 â6â9 â114. encontrar las
componentes de las matrices de dimensión 2x2, ð = 2ð ðð ð 4 ðŠð» = 2ð ð
â ð4 para que se
cumplan las siguientes igualdades matriciales:
a) ðŽððµ = ð¶ b) ðŽð»ðµ%& = ð¶ â ðŽð» = ð¶ðµ
Lo primero que vas hacer en este caso es calcular la matriz inversa de B y la inversa de A, ya que las vas a necesitar, en este caso lo hare aplicando la definicion de inversa:
ðµ â ðµ%& = ðŒ
2 1 3â2 24 â 2
ð ðð ð4 = 21 0
0 14
2 ð + 3ð ð + 3ðâ2ð + 2ð â2ð + 2ð4 = 21 0
0 14 â dð + 3ð = 1â2ð + 2ð = 0ð + 3ð = 0â2ð + 2ð = 1
Ahora con lo que esta subrayado de amarillo vas hacer un sistema y con lo que esta de verde otro sistema para sacar los elementos que forman la matriz inversa de B:
Sistema amarillo:
ð = 1 â 3ð â â2(1 â 3ð) + 2ð = 0 â â2 + 6ð + 2ð = 0 â ð =14
ð = 1 â 314â ð =
14
Sistema verde:
ð = â3ð â â2(â3ð) + 2ð = 1 â 6ð + 2ð = 1 â ð =18
ð = â3 â18â ð =
â38
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Por tanto,
ðµ%& = g
14
â38
14
18
h
Ahora tienes que calcular la inversa de la matriz A, para este caso voy a utilizar un procedimiento diferente, lo hare con GAUSS (hacer ceros):
22 00 â1 y
1 00 14 â ðððððððððððððððð¡ðð2ðŠððð ððð¢ðððððððððð¡ðð â 1 â +1 0
0 1 z12
0
0 â10
Por tanto la inversa de la matriz A:
ðŽ%& = +12
0
0 â10
Ahora con toda esta informacion lo unico que tienes que hacer es despejar bien de cada una de las ecuaciones matriciales la incognita correspondiente:
ðŽððµ = ð¶ â ð = ðŽ%&ð¶ðµ%&
ð = +12
0
0 â10 â 214 â6
â9 â114 â g
14
â38
14
18
h = 21 â35 â24
ðŽð»ðµ%& = ð¶ â ð» = ðŽ%&ð¶ðµ
ð» = +12
0
0 â10 â 214 â6
â9 â114 â 21 3â2 24 = 2 13 15
â13 494
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(JUNIO 2016)
Considerense las siguinetes matrices y los parametros desconocidos ð¢ðŠð£:
ðŽ = 2 2 â1â3 3 4 ,ðµ = 2 0 2
â1 24 ,ð¶ = 2â2 0â1 44 ,ð· = 22 ð¢
ð£ â24
a) Determinar los valores de los parametros ðŒ, ðœ, ð¢ðŠð£ para que se cumpla la siguiente igualdad matricial, siendo ðµ! la matriz traspuesta de B.
ðŽ BðŒ 00 ðœDðµ
! + ð¶ B0 ðŒðœ 0D = ð·
b) Siendo ðŽ%& la matriz inversa de A, encontrar los valores de las constantes a y b que verifiquen:
ðŽ%& 2ðð4 = ðµ 2ðð4 + 2124
ðŽBðŒ 00 ðœDðµ
! + ð¶ B0 ðŒðœ 0D = ð·
â ð¿ððððððððððð¡ððððððððððððððððððððððð¢ðð¡ððððð ððððððð¢ððððð:
2 2 â1â3 3 4 B
ðŒ 00 ðœD 2
0 2â1 24
!+ 2â2 0
â1 44 B0 ðŒðœ 0D = 22 ð¢
ð£ â24
Bâ2ðŒ âðœâ3ðŒ 3ðœD 2
0 â12 2 4 + B
0 â2ðŒ4ðœ âðŒ D = 22 ð¢
ð£ â24
Bâ2ðœ 2ðŒ â 2ðœ6ðœ 3ðŒ + 6ðœD + B
0 â2ðŒ4ðœ âðŒ D = 22 ð¢
ð£ â24
Bâ2ðœ â2ðœ10ðœ 2ðŒ + 6ðœD = 22 ð¢
ð£ â24 â t
â2ðœ = 2â2ðœ = ð¢10ðœ = ð£
2ðŒ + 6ðœ = â2
â ðœ = â1; ð¢ = 2; ð£ = â10ðŒ = 2
Para el segundo apartado es algo muy parecido, pero con otro tipo de operaciones:
ðŽ%& 2ðð4 = ðµ 2ðð4 + 2124
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Primero tienes que calcular la inversa de A:
2 2 â1â3 3 4 â 2
ð ðð ð4 = 21 0
0 14 â d2ð â ð = 1â3ð + 3ð = 02ð â ð = 0â3ð + 3ð = 1
â ð ðð ððð£ððððð ⶠg1
13
123
h = ðŽ%&
Ahora cuando ya tienes la inversa, hacer los cálculos es relativamente sencillo:
g1
13
123
h2ðð4 = 2 0 2â1 24 2
ðð4 + 2
124 â g
ð +ð3
ð +2ð3
h = 2 2ð + 1âð + 2ð + 24
tð +
ð3 = 2ð + 1
ð +2ð3= âð + 2ð + 2
â ? 3ð + ð = 6ð + 33ð + 2ð = â3ð + 6ð + 6 â ?3ð â 5ð = 3
6ð â 4ð = 6 â ?6ð â 10ð = 66ð â 4ð = 6
Ahora aplicando el método de reducción y restando la primera ecuación con la segunda:
â6ð = 0 â ð = 0ððð¡ððððð ð = 1
(JUNIO 2015)
c) Sean las matrices ðš = 2ð ðð âð4 ,ð© = 2ð âð
ð ð 4 , ðª = 2âð ðð âð4.Calcular la matriz X
para la que se verifica la ecuacion matricial ðšð¿ = ð©â ðª d) Halla la matriz Y para la que se verifica la ecuacion matricial ððš = ð©ð
Estos ejercicios los puedes hacer de dos formas diferentes:
1. Reolviendo la ecuacion matricial utilizando la definicion de inversa: ðŽð = ðµ â ð¶ â ð = ðŽ%&(ðµ â ð¶)
2. Realizando un sistema:
22 10 â14 2
ð ðð ð4 = 21 â1
2 0 4 2â2 41 â14
Tu decides el metodo que mejor sabes hacer, pero ambos caminos tienen que llevarte al mismo resultado. Yo lo hare en este caso siguiendo el segundo camino:
22 10 â14 2
ð ðð ð4 = 21 â1
2 0 4 2â2 41 â14
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22ð + ð 2ð + ðâð âð 4 = 2â3 5
â4 84 â d2ð + ð = â3âð = â42ð + ð = 5âð = 8
â ð = 4; ð = â8; ð =â72; ð =
132
ð = oâ7
2ᅵ13
2ï¿œ4 â8
p
En el siguiente apartado tienes que calcular la matriz Y. En este caso voy a utilizar el calculo de la inversa para hacerlo.
ððŽ = ðµ" â ð = ðµ"ðŽ%&
ðµ" = 21 â12 0 4 2
1 â12 0 4 = 2â1 â1
2 â24
El calculo de la inversa de la matriz A:
ðŽðŽ%& = ðŒ â 22 10 â14 2
ð ðð ð4 = 21 0
0 14 â 22ð + ð 2ð + ðâð âð 4 = 21 0
0 14
d2ð + ð = 1âð = 0
2ð + ð = 0âð = 1
â ð = 0; ð =12; ð = â1; ð =
12â ðŽ%& = +
12
12
0 â10
ð = 2â1 â12 â24+
12
12
0 â10 = +â
12
12
1 30
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(JULIO 2015)
c) Calcular los valores de a, b, c, d, que verifiquen la siguiente ecuacion matricial:
2ðð â ð ððð + ð ð + ð4 + 2
ð ð â ððð ðð 4 = 2ð ð
ð ð4
d) Dada la matriz ðš = 2 ð ðâð ð4,calcular ðšðð.Razona tu respuesta.
22ð â 2 2ðð + 1 ð + 24 + 2
4 ð â 22ð 2ð 4 = 2ð ð
4 04
22ð + 2 2ð + ð â 23ð + 1 2ð + ð + 24 = 2ð ð
4 04 â d2ð + 2 = ð â ð = â23ð + 1 = 4 â ð = 1
2ð + ð â 2 = ð â ð + ð = 2 â ð = 02ð + ð + 2 = 0 â ð = 2
Para realizar el segundo apartado de este ejercicio tienes que ver el patron que se da en las primera potencias de la matriz de A:
ðŽ" = ðŽðŽ â 2 1 0â1 14 2
1 0â1 14 = 2 1 0
â2 14
ðŽ) = ðŽ"ðŽ â 2 1 0â2 14 2
1 0â1 14 = 2 1 0
â3 14
Practicamente ya puedes ver el patron que se esta desarrollando;
ðŽ# = 2 1 0âð 14 â ð ðððððð 20 â ðŽ"$ = 2 1 0
â20 14
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(JUNIO 2014 A1)
Sena las matrices ðŽ = 2â1 01 â14 ðŠðµ = 2â1 â1
2 â24.Calcular la matriz X para la que se verifica
la ecuación matricial ððŽ" = ðµ
Hallar la matriz ðŽ&(. Razona el procedimiento.
Para resolver la primera pregunta que nos hace el ejercicio, tienes que despejar la incógnita X de la siguiente ecuación matricial:
ððŽ" = ðµ â ð = ðµ(ðŽ")%&
Date cuenta que primero tienes que calcula ðŽ" = ðŽ â ðŽ
ðŽ" = ðŽ â ðŽ = 2â1 01 â142
â1 01 â14 = 2 1 0
â2 14
Ahora tienes que calcular la inversa de la matriz que acabas de calcular, puedes hacer el procedimiento que te de la gana:
(ðŽ")%& â ðŽ" = ðŒ â 2ð ðð ð4 2
1 0â2 14 = 21 0
0 14 â 2ð â 2ð ðð â 2ð ð4 = 21 0
0 14
Ahora con lo que te acabo de subrayar (Azul y Verde) vas hacer un sistema de ecuaciones para despejar los parametros:
?ð â 2ð = 1ð = 0 âð = 0 â ð = 1
Ahora con los otros colores (Morado y Amarillo) haces otro sistema para sacar el resto de parametros:
?ð â 2ð = 0ð = 1 âð = 1 â ð = 2
(ðŽ")%& = 21 02 14
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ð = ðµ(ðŽ")%& â ðµ = 2â1 â12 â242
1 02 14 = 2â3 â1
â2 â24
Ahora tienes que hallar la matriz ðŽ&(, para eso tienes que realizar varios cálculos: ðŽ", ðŽ), ðŽ*, âŠ
ðŽ" = ðŽ â ðŽ = 2 1 0â2 14
ðŽ) = ðŽ" â ðŽ = 2 1 0â2 14 2
â1 01 â14 = 2â1 0
3 â14
ðŽ* = ðŽ" â ðŽ" = 2 1 0â2 14 2
1 0â2 14 = 2 1 0
â4 14
ðŽ' = ðŽ* â ðŽ = 2 1 0â4 14 2
â1 01 â14 = 2â1 0
5 â14
Entonces, tienes que diferenciar cuando el exponente es par e impar:
ð â ððð â 2 1 0âð 14 ð â ððððð â 2â1 0
ð â14
Entonces; ðŽ&( â ððð ðððððððð¡ððððð â 2â1 017 â14
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(JULIO 2014 B1).- Calcular las matrices X e Y que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matricial:
dð â 2ð = 25 â5
1 â34
2ð + ð = 20 52 44
Hallar la matriz ð" + ð"
Para resolver este sistema de ecuaciones matriciales, el metodo que te aconsejo que utilices es el de reducción;
dð â 2ð = 25 â5
1 â34
2ð + ð = 20 52 44
â ðð¢ðð¡ððððððððð2ðððð ððð¢ðððððð¢ðððóð dð â 2ð = 25 â5
1 â34
4ð + 2ð = 20 104 8 4
5ð = 25 55 54 â ð = 21 1
1 14
Sabiendo ahora que la matriz X tiene ese valor, solo tienes que despejar la incognita ââyââ;
ð â 2ð = 25 â51 â34 â ð =
25 â51 â34 â ð
â2â ð =
25 â51 â34 â 2
1 11 14
â2â
ð = 2â2 30 24
Ahora el ejercicio quiere que hagamos una operación muy sencilla;
ð" + ð"
ð" = 21 11 14 2
1 11 14 = 22 2
2 24
ð" = 2â2 30 24 2
â2 30 24 = 24 0
0 44
ð" + ð" = 22 22 24 + 2
4 00 44 = 26 2
2 64
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(JULIO 2013 B1) Sean las matrices ðŽ = 2 0 10â3 â64 ðŠðµ = 2â7 6
15 â54. Hallar las matrices X, Y,
para que se cumpla el siguiente sistema matricial:
? 2ð + ð = ðŽâ3ð + 2ð = ðµ
Siendo ðŽ! la matriz traspuesta de la matriz A, calcular el producto ðŽ â ðµ â ðŽ!
Lo primero que vas hacer es resolver el problema utilizando en este caso el metodo de reduccion:
? 2ð + ð = ðŽâ3ð + 2ð = ðµ â ð¥(â2)ððððððððððððð¢ðððóð â ?â4ð â 2ð = â2ðŽ
â3ð + 2ð = ðµ
â7ð = â2ðŽ + ðµ
Ahora tienes que hacer las operaciones correspondientes para despejar el valor de la matriz X, recuerda que un numero si que puede pasar dividiviendo al otro lado de la igualdad:
ð =1â7
mâ22 0 10â3 â64 + 2
â7 615 â54n â ð = 2 1 2
â3 â14
Ahora sabiendo X despejamos de cualquiera de las dos ecuaciones la matriz Y:
2ð + ð = ðŽ â ð = ðŽ â 2ð â ð = 2 0 10â3 â64 â 22
1 2â3 â14 â ð = 2â2 6
3 â44
Para terminar con el ejercicio, quiere que hagas una operación muy sencilla, multiplicar tres matrices;
ðŽ â ðµ â ðŽ! = 2 0 10â3 â64 â 2
â7 615 â54 â 2
0 â310 â64 = 2150 â50
111 12 4 â 20 â310 â64
= 2â500 â150120 135 4
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JUNIO 2013 B1.- Sea la matriz ðŽ = 2â2 13 â14, y la ecuación 2ðŽ" + ð¥ðŽ â ðŠðŒ = 0. Calcular los
valores de x e y para los que se verifica dicha ecuación.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuación matricial:
ðŽ + 2ð = 3ðŽ!
Antes de empezar con este ejercicio, quiero que recuerdes que, en este tipo de ejercicios, cuando las letras son minúsculas representan números, cuando las letras son mayúsculas, representan matrices.
Una vez recordado lo anterior, adelante con los cálculos de la siguiente ecuación matricial:
2ðŽ" + ð¥ðŽ â ðŠðŒ = 0
FÃjate que primeramente necesitas calcular ðŽ" = ðŽ â ðŽ = 2â2 13 â14 â 2â2 1
3 â14 =
2 7 â3â9 4 4
Sabiendo el resultado de esta operación ya casi tienes el ejercicio resuelto, plantea toda la ecuación y resuelve la igualdad:
2ðŽ" + ð¥ðŽ â ðŠðŒ = 0 â 22 7 â3â9 4 4 + 2
â2ð¥ ð¥3ð¥ âð¥4 â B
ðŠ 00 ðŠD = 20 0
0 04
B14 â 2ð¥ â ðŠ â6 + ð¥â18 + 3ð¥ 8 â ð¥ â ðŠD = 20 0
0 04 â t
14 â 2ð¥ â ðŠ = 0â6 + ð¥ = 0â18 + 3ð¥ = 08 â ð¥ â ðŠ = 0
â ð¥ = 6; ðŠ = 2
La segunda parte del ejercicio quiere que calcules la matriz X para que se verifique la siguiente ecuación matricial:
ðŽ + 2ð = 3ðŽ! â 2ð = 3ðŽ! â ðŽ â ð =12(3ðŽ! â ðŽ)
ð =12m3 2â2 3
1 â14 â 2â2 13 â14n â ð = 2â2 4
0 â14
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JUNIO 2012 B1.- Sean las matrices:
ðŽ = 2 1 2â3 â14 ðŠðµ = 2â1 1
â2 14
Encuentra la matriz X que cumpla la ecuación ðµð = ðŽ + ðµ
Siendo ðŽ! la matriz traspuesta de la matriz A, calcula ðŽððŽ!
ðµð = ðŽ + ðµ
Lo primero que tienes que hacer es despejar de forma correcta la matriz X aplicando la inversa de la matriz B, recuerda que el calculo de la matriz inversa lo puedes hacer siguiendo el procedimiento que te de la gana, usa el que mejor sepas hacer;
ðµð = ðŽ + ðµ â ðµ%&ðµð = ðµ%&(ðŽ + ðµ) â ð = ðµ%&(ðŽ + ðµ)
¿Cómo calcula la inversa de la matriz B?
2â1 1â2 1 y
1 00 14 â ð¹ððð1ððððð ðððð2 â 2 1 0
â2 1 y1 â10 1 4 â ð¹ððð2ððð ððð ð£ðððð ðððð1
21 00 1 y
1 â12 â14 â ðµ%& = 21 â1
2 â14
ð = ðµ%&(ðŽ + ðµ) â ð = 21 â12 â14o2
1 2â3 â14 + 2
â1 1â2 14p â ð = 21 â1
2 â14 20 3â5 04
ð = 25 35 64
Ahora el ejercicio quiere que hagas unas multiplicaciones entre matrices muy sencilla, el problema de este apartado es que para hacerlo, tienes que tener bien el apartado anterior.
ðŽððŽ! â 2 1 2â3 â14 2
5 35 64 2
1 2â3 â14
!â 2 1 2
â3 â14 25 35 64 2
1 â32 â14
= 2 15 15â20 â154 2
1 â32 â14 = 2 45 â60
â50 75 4
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JULIO 2012 B1.- Sea la matriz ðŽ = 2 2 2â2 14,y la ecuacion ðŽ" â ð¥ðŽ â ðŠðŒ = 0 . Calcular los
valores de x e y para que se verifique la ecuación.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuación matricial:
21 2 30 â1 24 +
32ð = 22 3 â5
0 7 8 4 + 2ð
Lo primero que tienes que hacer es plantear la matriz ðŽ":
ðŽ" = ðŽ â ðŽ = 2 2 2â2 14 â 2
2 2â2 14 = 2 0 6
â6 â34
2 0 6â6 â34 â 2
2ð¥ 2ð¥â2ð¥ ð¥ 4 â 2
ðŠ ðð ðŠ4 = 20 0
0 04 â
t
â2ð¥ â ðŠ = 06 â 2ð¥ = 0â6 + 2ð¥ = 0â3 â ð¥ â ðŠ = 0
â ð¥ = 3; ðŠ = â6
Ahora tienes que despejar la incognita X de la siguiente ecuación matricial:
21 2 30 â1 24 +
32ð = 22 3 â5
0 7 8 4 + 2ð
+32ð â 2ð = 22 3 â5
0 7 8 4 â 21 2 30 â1 24 â â
12ð = 21 1 â8
0 8 6 4 â
ð = 2â2 â2 160 â16 â124
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JUNIO 2011 B1.- Dada la matriz:
ðŽ = 23 11 24
Hallar la matriz inversa de ðŽ â ðŒ
Hallar la matriz B tal que ðŽ + ðµ = ðŽðµ
Lo primero que tienes que hacer es la resta de la matriz A menos la matriz identidad:
23 11 24 â 2
1 00 14 = 22 1
1 14
Ahora que ya sabes cual es la matriz resultante, tienes que hacer su inversa, recuerda que puedes hacer el procedimiento que te de la gana, elige el que mejor sepas hacer:
22 11 1 y
1 00 14 â ð¹ððð1 â ð¹ððð2 â 21 0
1 1 y1 â10 1 4 â ð¹ððð2 â ð¹ððð1 â 21 0
0 1 y1 â1â1 2 4
Por tanto, despues dehacer las transformaciones necesarias, ya tienes la inversa: 2 1 â1â1 2 4
Para terminar tienes que calcula la matriz B para que cumpla la siguiente expresión:
ðŽ + ðµ = ðŽðµ â 23 11 24 + 2
ð¥ ðŠð§ ð¡4 = 23 1
1 24 â 2ð¥ ðŠð§ ð¡4 â 23 + ð¥ 1 + ðŠ
1 + ð§ 2 + ð¡4
= B3ð¥ + ð§ 3ðŠ + ð¡ð¥ + 2ð§ ðŠ + 2ð¡D
t
3 + ð¥ = 3ð¥ + ð§1 + ð§ = ð¥ + 2ð§1 + ðŠ = 3ðŠ + ð¡2 + ð¡ = ðŠ + 2ð¡
â
â2ð¥ â ð§ = â3âð¥ â ð§ = â1â2ðŠ â ð¡ = â1âðŠ â ð¡ = â2
â ðððððð ððð ðððððððð ððð¢ððððððð â ð¥ = 2; ð§ = â1
ð¶ððððð ððð ð¢ðð¡ðððð ððð¢ððððððð â ðŠ = â1; ð¡ = 3ðððð¡ððð¡ð; ðµ = 2 2 â1â1 3 4
Otro procedimiento mas sencillo: ðŽ + ðµ = ðŽðµ â ðŽ = ðŽðµ â ðµ â ðŽ = (ðŽ â ðŒ)ðµ â (ðŽ âðŒ)%&ðŽ = ðµ
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JUNIO 2010 A1.-Dadas las matrices:
ðŽ = 2ð 21 ð4 , ðµ = 21 1
1 24 , ð¶ = 2â11 4
Las matrices ðµðŽð¶ðŠðŽ!ð¶
Los valores que deben tener a y b para que se cumpla que ðµðŽð¶ = ðŽ!ð¶
Para empezar tienes que calcular las dos multiplicaciones entre matrices por separado:
ðµðŽð¶ = 21 11 24 â 2
ð 21 ð4 â 2
â11 4 = 2ð + 1 2 + ð
ð + 2 2 + 2ð4 â 2â11 4 = 2 âð â 1 + 2 + ðâð â 2 + 2 + 2ð4
ðŽ!ð¶ = 2ð 21 24
!2â11 4 = 2ð 1
2 ð4 2â11 4 = 2âð + 1â2 + ð4
Ahora tienes que igualar los dos resultados que has obtenido y asi poder despejar los valores de los parametros:
2 âð â 1 + 2 + ðâð â 2 + 2 + 2ð4 = 2âð + 1â2 + ð4 ââð â 1 + 2 + ð = âð + 1âð â 2 + 2 + 2ð = â2 + ð â ððŒðððžððŽ â ð = 0
ð = 2