A váltakozó áramú hálózatok - atw.hu

Szekér: Villamosságtan BMF-KVK-VEI1

A váltakozó áramú hálózatok

Az egyenáramú hálózatokkal foglalkozó fejezeteinkben a vizsgált áramkörökbenminden ág árama és feszültsége az idő függvényében állandó volt, vagyis sem az irányuk, sema nagyságuk nem változott (l. az 1. fejezetben). A váltakozó áramú hálózatokban a feszültségiránya (polaritása) és a nagysága is változik az idő függvényében. Azt a feszültséget, melynekváltozik az iránya, váltakozó feszültségnek és a hatására kialakuló áramot váltakozó áramnaknevezzük.

1. A váltakozó áram és feszültség fogalma, jellemzői

Az iparban, valamint a háztartásokban használt hálózati feszültség alakja szinuszos,tehát iránya és nagysága is ismétlődően, azaz periodikusan változik. A váltakozó áram elneve-zés alatt a gyakorlatban szinuszos váltakozó áramot értünk (1. ábra).

A váltakozó mennyiség periodikus, tehát egy adott időtartam eltelte után a jelalakazonosan megismétlődik. Tehát a változó áramú körökben az áram és a feszültség értékepillanatról pillanatra változik, ezért az idő függvényeként adható meg ( u(t), i(t) ). A változóáramnak, illetve feszültségnek egy adott időponthoz (t0) tartozó értéke a pillanatérték, melyetmindig kis betűvel jelölünk). A pillanatérték az időfüggvény t = t0-beli helyettesítési értéke:u(t0), i(t0), stb. A két egymáshoz legközelebb eső azonos fázishelyzetű pillanatérték közti tar-tomány a periódus, vagy teljes hullám, s az ehhez tartozó idő a periódusidő, amelyet T-vel je-löljük (1a ábra). Egy jel periodikussága azt jelenti, hogy az áram nemcsak egyszer veszi felugyanazt a pillanatértéket, hanem valamennyi T idő múlva periodikusan megismétlődik a jelértéke és a fázishelyzete is. Azonos fázishelyzetről akkor beszélünk, amikor nemcsak apillanatérték, hanem abban a pillanatban változási sebessége is megegyezik.

A két egymáshoz legközelebb eső azonos fázishelyzetű pillanatérték közti tartomány aperiódus, vagy teljes hullám, s az ehhez tartozó idő a periódusidő. Az egy másodperc alattlétrejövő teljes hullámok száma a frekvencia, jele f.

fT

=1 . A frekvencia egysége: [ ]f

T=

= =1 1

sHz .

Az Európában alkalmazott hálózati feszültség frekvenciája 50 Hz, melynek periódusideje:

A szinuszos áram illetve feszültség időfüggvényével adható meg, mely legegyszerűbb alakjapéldául az áramra: titi m ωsin)( ⋅= ,

ahol ω az áram körfrekvenciája.

1 ábra

i

-im

im

t (ωt)

T(2π) a) b)

i

-im

im

t

(ωt)

T(2π)

α/ω = T/8

α = π/4t0

i(t0)

ms 20=s 02,0Hz 50

11===

fT


Az 50 Hz frekvenciájú jel körfrekvenciája:

Az 1a ábrán megadott áramnak a t = 0 pillanatban pozitív nullátmenete van, azaz a negatívértékből a pozitívba való átmenet során értéke éppen zérus (kezdeti fázisszöge zérus). Az 1bábrán egy α =π/4 fázisszögű szinuszos váltakozó áram látható. Ennek a függvénynek a t = 0pillanathoz képest előbb van pozitív nullátmenete, azaz siet, és az ilyen jel fázisszöge pozitív:

)4/sin()( πω +⋅= titi mA legnagyobb - az abszolút értékben a legnagyobb - pillanatérték a maximális érték,

melyet az időfüggvény csúcsértékének, vagy amplitúdójának nevezünk. Jele: um, im, de anemzetközi szakirodalomban Up, Ip-vel jelölik (peak).

Egy jel fázisát nem csak a t = 0-hoz viszonyíthatjuk, hanem egy másik jelhez is. A 2.ábrán megrajzolt i1 áram nulla fázisszögű. Az a ábrán látható i2 áram pozitív nullátmeneteelőbb következik be, tehát i2 siet az i1 áramhoz képest. Az áram siet, ha időfüggvénye amásiktól balra található. A b ábrán látható i3 áram görbéje jobbra esik az i1-hez képest, azazkésőbb veszi fel a pozitív nullátmenetét, tehát i3 késik i1-hez képest, így i3 fázisszöge negatív.

2. Az időfüggvények összegzése, a komplex számításmód

Ha egy áramkörben valamennyi generátor ugyanolyan frekvenciájú, tiszta szinuszosfeszültséget (áramot) állít elő és a hálózat valamennyi eleme lineáris, akkor valamennyi ágárama, illetve elem feszültsége ugyanolyan frekvenciájú, tiszta szinuszos mennyiség lesz, deaz egyes mennyiségek nagyságban és fázisszögben különbözhetnek.

Vizsgáljuk meg, hogy két szinuszosan változó mennyiség eredőjét hogyan tudjukmeghatározni. A 3a ábrán két azonos (nulla) fázisszögű szinuszosan váltakozó feszültségeredőjét kell meghatározni. Az azonos fázishelyzet miatt az eredő feszültség is nulla fázis-

rad/s. 3145022 =⋅=⋅= ππω f

ue(t)

u1(t)

u2(t)

u

ue(t) = u1(t) + u2(t)

ωt

α2

αe

3. ábra a) b)

ue(t)

u1(t)

u2(t)

u

um1

ume

um2

ωt

2.ábra

(ωt)

siet i1

i2

i

t

α késik

i1

i3

i

t

(ωt)α

b.)a.)


szögű lesz, és a maximális értékét a két maximális érték összege – ume=um1+um2 - adja meg(azonos időpillanatban lépnek fel!). A 3b ábrán az u2 feszültség késik α2 szöggel az u1-hezképest, tehát az előbbi összegzés már nem alkalmazható, mivel sem a nullátmenetek, sem amaximumok nem azonos időpillanatban lépnek fel. Az időfüggvényeket pontról pontraösszegezve megrajzolhatjuk az eredő időfüggvényt, de hogyan határozhatjuk meg maximálisértékének és fázisszögének pontos értékét?

Ennek elvégzéséhez egy – középiskolákból már ismert – fogalom, a szinuszosan válta-kozó függvények származtatásának felelevenítésére van szükség. Eszerint egy egyenletesszögsebességgel forgó szögszár (tkp. vektor) vetületei állítják elő a keresett időfüggvényt. Haa kiindulási helyzetet, a α1 = 0 szöget vízszintesen vesszük fel (4a ábra), akkor az um1hosszúságú forgó vektor függőleges vetületének hossza minden időpillanatban megegyezik azugyanazon időpillanathoz tartozó u1(t) feszültség pillanatértékével. Az u2(t) időfüggvény α2

szöggel késik u1(t)-hez képest, ezért um2 forgó vektor a t=0 időpillanatban α2 szöget zár be avízszintessel (4b ábra). Tehát a forgó síkvektor egyértelműen leképezi a szinuszos jelet!

Láttuk, hogy a szinuszos jelet egyértelműen jellemzi annak csúcsértéke, fázisszöge ésfrekvenciája. Nyilvánvaló, hogy már a t = 0 pillanathoz felvett vektor is megadja a jel csúcs-értékét és a fázisszögét. Ez azt jelenti, hogy elegendő a szinuszos jelet egyetlen, a t = 0pillanatbeli (álló) vektorral jellemezni, ha megadjuk a vektorhoz a szinuszos feszültség,illetve áram körfrekvenciáját. Ebből következik, hogy a két időfüggvény összegzése vektorokösszegzéseként is elvégezhető. A vektor megadásakor vég-pontjának helyzetét kell megadni (5. ábra). Tehát az x és ytengelyekkel megadott koordináta-rendszerben az a vektortmegadhatjuk végpontjának koordinátáival a jólismert A(4,3)alakban. Másrészt a komplex számsíkon, ahol valós (+) ésképzetes (+j) tengelyeket definiálunk, megadhatjuk az avektort komplex számként az )34( ja += alakban. A komp-lex számok között is értelmezhetők a valós számok körébenalkalmazott matematikai műveletek, így a két vektor összeg-zése egyszerű eszközökkel elvégezhető.

Példaként végezzük el a két feszültség összegzését,ha V sin10)(1 ttu ω⋅= és V )4/sin(5)(2 πω −⋅= ttu !

A 6. ábrán léptékhelyesen megrajzoltuk mindkét időfüggvényhez a forgó síkvekto-rokat a t=0 időpillanatra. Ezek az időfüggvények maximális (csúcs) értékével arányosak, ezértkomplex csúcsértékeknek nevezzük. Írjuk fel mindkét mennyiséget komplex számként, atengelyek irányába eső vetületeik segítségével:

[ ] V 100sin0cos101 =+⋅= jU m illetve

( ) V j3,54-3,5422

225

4sin

4cos52 =

−⋅=

−+

−⋅= jjU m

ππ.

u

-um1

um1

4. ábra

α1 = 0

t = 0 ω

(ωt)

t um1

u

-um2

um2

(ωt)

tα2

t = 0

ω

um2

b.)a.)

α2

A

x

y

-

-j

4

3a

+j

+

5. ábra


Az eredő függvényhez tartozó forgó síkvektor a kétvektor összege (l. az ábrán), amit a két komplex szám össze-adásával komplex alakban is megkaphatunk:

V j3,54)-13,54(54,354,31021 =−+=+= jUUU mmmeEz alapján már az eredő időfüggvény jellemzőit is

meghatározhatjuk (l. a 3b ábrát):

V 14 3,5413,54 22 =+== meme Uu illetvea fázisszög a vektornak a valós tengellyel bezárt szöge:

rad 256,0 65,1454,1354,3ctg 0==

−= areα

Tehát az eredő feszültség időfüggvénye: V )256,0sin(14)( −⋅= ttue ω .

Ellenőrző kérdések:

1. Mit nevezünk váltakozó feszültségnek?2. Ismertesse a szinuszosan váltakozó mennyiségek jellemzőit!3. Hogyan ábrázolhatjuk a szinuszos jeleket?4. Mi a kapcsolat a szinuszos jel és a hozzárendelt síkvektor között?7. Milyen jel lesz az azonos frekvenciájú szinuszos jelek összege?8. Hogyan összegezhetjük az azonos fázisú jeleket?9. Hogyan összegezhetjük az eltérő fázisú jeleket?10. Hogyan összegezhetjük a vektorokat?

3. Az R, L, C elemek jellemzői váltakozó áramú körben

Az egyenáramú körökben fogyasztóként csak az ellenállásokat vettük figyelembe,mert időben állandó egyenáram esetén a tekercsben nem indukálódik feszültség, illetve akondenzátoron nem folyik áram, ha az már feltöltődött. Ez azt jelenti, hogyha van tekercs azegyenáramú körben, azt rövidzárral, és ha van kondenzátor, azt szakadással kell figyelembevenni. Tehát az egyenáramú hálózatban a fogyasztókat elegendő volt csak ellenállássalhelyettesíteni.

A váltakozó áramú hálózatok ideálisnak tekintett (és egyben lineáris) hálózati elemeiaz ellenállás (jele: R), a tekercs (jele: L) és a kondenzátor (jele: C). A váltakozó áramú kö-rökben a fogyasztók áramköri viselkedése mindig meghatározható úgy, ha az adott fogyasztótR, L, C elemekkel helyettesítjük.

3.1. Az ohmos fogyasztó vizsgálata

Az ohmos ellenálláson átfolyó áram és a sarkain lévő feszültség között minden pilla-natban az Ohm-törvény jelenti a kapcsolatot: iRu ⋅=

Tehát az azonos időpillanathoz (t0) tartozó feszültség és áram pillanatértékek hányado-sa állandó, és az ellenállás értékével egyenlő. Mivel valamennyi pillanatban igaz az Ohm-törvény, ezért igaz az időfüggvényekre is.

Ha az áram időfüggvénye: i(t) = im⋅sin ωt,akkor az ellenálláson a feszültség: u(t) = R⋅im⋅sin ωt = uRm⋅sin ωt.

Az áram és a feszültség alakja tehát azonos, és fáziseltérés sincs közöttük (7. ábra). Azábrából kitűnik, hogy ellenállás esetén az áram és a feszültség csúcsértéke ugyanazonidőpillanatban lép fel, ezért felírható, mint azonos idejű pillanatértékekre az Ohm-törvény:

-j

+j

+

6. ábra

Um1

Um2 Ume

10 V

-4 V


Ri

u

m

Rm = .

Az ábrán megadtuk az ellenállás áramának és feszültségének vektorát, melyek (mivel azonosfázisúak) mindig párhuzamosak egymással.

Ha egy ellenálláson áram folyik keresztül, akkor melegszik az. - az áram időbeli válto-zásától függetlenül. Az egyenáramú hálózatokban úgy számoltuk az ellenállás teljesítményét,hogy az áramát és a feszültségét összeszoroztuk. Váltakozó feszültség esetén, mivel az áramés a feszültség folyamatosan változik, csak azok azonos pillanatértékeit szorozhatjuk össze,ami az adott pillanat teljesítményét adja. Ennek időbeli alakulását leíró függvény a teljesít-mény időfüggvénye:

tiRtitutp mR ω22 sin)()()( ⋅⋅=⋅=ami mindig pozitív, mert 0 és uRm·im között periodikusan változó kétszeres frekvenciájú jel.Nyilván az ellenállás csak fogyaszt, bármilyen is a feszültség alakja, mert a teljesítménymindig pozitív. Míg sima egyenáram esetén az ellenállás teljesítménye állandó, itt változónag-ságú, de mindig pozitív, akár ellenkező irányú áram esetén is. A 8. ábrán jól látható,hogy a teljesítmény időfüggvénye is periodikus, de periódusideje az áram illetve a feszültségperiódusidejének a fele, tehát a teljesítmény időfüggvénye kétszeres frekvenciájú jel.

A jólismert trigonometrikus azonosság - 22cos1sin 2 tt ϖω −

= - figyelembe vételével

megállapíthatjuk, hogy az ellenállás teljesítmény-időfüggvénye egy középérték (P) körül vál-tozik kétszeres frekvenciával. Ez a középérték a teljesítmény egy periódusra vett átlaga,amit hatásos teljesítménynek nevezünk és P-vel jelölünk:

22

2mRmm iuiR

P⋅

=⋅

= .

Ahhoz, hogy az ellenállás teljesítményét váltakozó áramú körben is ugyanúgy számol-hassuk, mint az egyenáramú hálózatokban, bevezetjük az effektív érték fogalmát.A váltakozó áram effektív értéke azt az egyenáramot jelenti, amely egy ellenálláson egyperiódusidő alatt a váltakozó áram által termelt hővel azonos mennyiségű hőt termel.

Egyenáramon az ellenállás teljesítménye: P R I= ⋅ 2 , váltakozó áramon: 2

2miR

P⋅

= .

Az effektív érték definíciója értelmében a két teljesítmény azonos:

2

22 miR

IR⋅

=⋅ , amiből:2

22 miI = , tehát:

azaz a szinuszos váltakozó áram effektív értéke a csúcsérték 2 -ed része.

7. ábra

u , i

i(t)

t

u(t)

URIR

2miI =

8.ábra

0

u , i, p

i(t)

p(t)

T

t

u(t)

P


A továbbiakban a váltakozó áram és feszültség effektív értékét, mint a leggyakrabbanhasznált jellemzőt, index nélküli nagybetűvel jelöljük. A vektoros ábrázoláskor is a jel effektívértékének megfelelő hosszúságú vektorokat fogunk rajzolni, melyeket nagybetűvel, indexnélkül, de felülhúzással jelölünk (pl. U ).Az azonos idejű pillanatértékekre, így ellenállás esetén a csúcsértékekre is, felírható az Ohm-

törvény:22

⋅⋅

==I

Ui

uR

m

Rm ahonnan: .

Az ellenálláson fellépő hatásos teljesítmény: IUiuiu

P mRmmRm ⋅=⋅=⋅

=222

Az U I R= ⋅ figyelembe vételével:

Tehát az ellenálláson fellépő hatásos teljesítmény megegyezik az ellenállás sarkainmért szinuszos feszültség effektív értékének és a rajta átfolyó szinuszos áram effektív értéké-nek szorzatával. Az összefüggés alakilag teljesen megegyezik az egyenáramú körök teljesít-ményeinek számításánál használt képletekkel.

3.2. Az induktív fogyasztó vizsgálata

A korábbi tanulmányainkból már ismerjük, hogy a tekercs kapcsain fellépő indukáltfeszültség nagysága arányos a tekercsben folyó áram változásának sebességével:

dtdiLtu ⋅=)(i .

ahol az L arányossági tényezőt azelrendezés önindukció együttható-jának neveztük.

Ha az L induktivitás áramaiL(t) = im⋅sin ω·t

alakú (9. ábra), akkor a szinuszosáram hatására indukálódó feszültségidőfüggvénye - ennek meredekség-függvénye - cos ω·t jellegű.Tehát a tekercs kapcsain fellépő feszültség is ugyanolyan frekvenciájú szinuszos jel, csaknegyed periódusnyit, azaz 900-ot siet az áramhoz képest. Másképp: váltakozó áramkörben atekercs árama 900 -kal késik a feszültségéhez képest.

A 9. ábrán megrajzoltuk a tekercs áram- és feszültségvektorát is. A feszültségvektorderékszöget zár be az áramvektorral úgy, hogy a feszültségvektor siet. Mivel a fáziseltérést azáramhoz viszonyítjuk, és a tekercs feszültsége siet, ami pozitív fázisszöget jelent, az induktívfogyasztó fázisszöge pozitív és +900.

Már ismerjük az indukált feszültség alakját, kérdés az amplitúdója. Ha nagyobb azáram frekvenciája, akkor nagyobb az áram változási sebessége is. Mivel a szinusz argumentu-mának változása az ω körfrekvenciával arányos, az indukált feszültség csúcsértéke egyenesenarányos a körfrekvenciával is: mLm iLu ⋅⋅= ω ,

Ha osztjuk az egyenlet mindkét oldalát 2 -vel, a fenti összefüggést felírhatjuk atekercs áramának és feszültségének effektív értékeivel is:

R UI

=

RUIRP

22 =⋅=

U L I= ⋅ ⋅ω

9. ábra

u , i

T/4

i(t)t

u(t)ω

•

UL

IL


Ha képezzük az U/I hányadost, az adott frekvencián egy állandó értéket kapunk: LI

U⋅= ω .

Az L ⋅ω kifejezés neve induktív reaktancia, jele: XL.

Tehát szinuszos gerjesztésű áramkörben a tekercsre is felírhatjuk az Ohm-törvényt areaktancia bevezetésével. A reaktanciát nevezik a tekercs látszólagos ellenállásának is, mivelmérték-egysége: 1 H/s = 1 V/A = 1 ohm, megegyezik az ohmos ellenállás mértékegységével.Ez a reaktancia önmagában csak az effektív értékek viszonyát adja meg, a fázishelyzetről nemad felvilágosítást. Mivel a fázisszög a fogyasztó jellemzője, az induktív fogyasztó két adattalírható le, a reaktancia nagyságával és fázisszögével, mely +900.

A már ismert komplex számításmód segítségével ez a kétjellemző egyszerűen megadható (10. ábra). Ha az áram vektora avalós tengelybe esik, akkor a tekercs feszültségének vektoraéppen a képzetes tengelybe eső, így a két komplex effektív értékarányára felírhatjuk:

LL jXLj

IILj

IU

==⋅⋅

= ωω .

Ez a mennyiség már nem csak a két mennyiség arányát,hanem a 900-os fáziseltérést is tartalmazza, tehát helyesen írja lea tekercs viselkedését váltakozó áramú körökben.

Vigyázat! A tekercset reaktanciájával és fázisszögével kizárólag szinuszos áramkörök-ben jellemezhetjük, csak ott hasonló az áram és feszültség alakja!

Az induktív fogyasztó áramának és feszültségének szorzataként az induktív fogyasztóteljesítményének időfüggvényét felírhatjuk:

ttiutitutp mmL ωω sincos)()()( ⋅⋅⋅=⋅=A jólismert trigonometriai azonosság

felhasználásával:

tIUtiu

tp mm ωω 2sin2sin2

)( ⋅⋅=⋅⋅

=

A 11 ábrán megrajzoltuk az induktívfogyasztó áramának és feszültségének,valamint ezek szorzataként teljesítményénekidőfüggvényét. A 0< t < T/4 időtartomány-ban az áram és feszültség azonos irányú, ateljesítmény pozitív, vagyis a tekercs ener-giát vesz fel a hálózatból. Ekkor nő atekercs árama, azaz nő a mágneses energiája. Tehát a hálózat által befektetett munka a tekercsáltal létrehozott mágneses térben mágneses energiaként halmozódik fel. Legnagyobb amágneses energia értéke a t = T/4 pillanatban (ekkor a legnagyobb a tekercs árama):

2maxmax 2

1 iLW ⋅⋅=

A következő negyed periódusnyi időben az áram csökken, ezért az indukált feszültségnegatív, tehát az áram és a feszültség ellentétes irányú. Ezért a kettő szorzata, tehát a pillanat-nyi teljesítmény negatív, ami termelt teljesítményt jelent. Ekkor csökken az induktivitásárama és vele együtt a mágneses energiája is (a mágneses tér leépül!), azaz visszaadja azenergiát a hálózatnak.

Ez a hálózat és a tekercs közti energialengés periodikusan ismétlődik, az induktivitáspillanatnyi teljesítménye kétszeres frekvenciával változik. Mivel a felvett és a visszaadottenergia megegyezik, a lengés a nulla átlagérték körül történik, tehát a hatásos teljesítménye

LX L ⋅= ω

-j

+j

+ I

UL=jωL·I

10. ábra

)

11.ábra

u , i, p

i(t)

p(t)

T

t

uL(t)

Q+

- -

+

4T


zérus (vagyis az induktivitás összességében nem fogyaszt). Ezért azt mondjuk, hogy a tekercsmeddő fogyasztó.

Ha az induktivitás áramának és feszültségének effektív értékét összeszorozzuk, a lengőteljesítmény csúcsértékét kapjuk meg. A zérus átlagértékű teljesítményt a csúcsértékéveljellemezzük. Ez a meddő teljesítmény, melyet Q-val jelölünk:

A meddő teljesítmény egységét - bár ez is V A⋅ - a hatásos teljesítmény egységétőlmegkülönböztetve var-ral jelöljük és vár-nak mondjuk. A meddő teljesítmény nagyságát, azaza lengés amplitúdóját azért kell ismerni, mert az energialengés árama a hálózatot terheli.Jellegzetesen meddő teljesítményt is igénylő fogyasztók a villamos gépek (pl. transzfor-mátorok, aszinkron motorok), ahol a meddő teljesítmény segítségével a gép a működéséhezszükséges mágneses teret hozza létre.

3.3. A kapacitív fogyasztó vizsgálata

A kondenzátor két, szigetelőanyaggal elválasztott fém elektród, amely töltések tárolá-sára alkalmas. A felhalmozott töltés a rákapcsolt feszültséggel arányos:

,uCq ⋅=ahol a C a kondenzátor kapacitása, amely azt mutatja meg, hogy egységnyi feszültség

rákapcsolásakor mekkora töltés halmozódik fel a kondenzátor fegyverzetein.Ha időben változik a kondenzátor töltése, akkor változni fog a feszültsége is:

,dtduC

dtdq

⋅= amiből dtdqi = figyelembe vételével:

dttduCti )()( ⋅= .

Változzon a kondenzátor árama most is időben i(t) = im⋅sin ωt szerint (12a ábrán szaggatottgörbe)! Hogyan fog alakulni a kondenzátor feszültsége, azaz melyik jelnek lesz a meredek-sége sin ωt-vel arányos? Mint tudjuk a szinuszfüggvény meredeksége a nullátmenetkor alegnagyobb, és a szélsőértékeknél nulla. Ennek megfelelően, akkor folyik a körben maximálisáram, ha a feszültségnek nullátmenete van, és abban a pillanatban lesz nulla az áramerősségértéke, amikor a feszültség a csúcsértékét veszi fel (12a ábra). Ha a kapacitás feszültségeszinuszos, akkor az árama is ugyanolyan frekvenciájú szinuszos jel lesz.

Az elmondottak alapján már könnyen kitalálhatjuk, hogy a –cosωt = sin(ωt-π/2) jelle-gű függvény meredeksége arányos sin ωt-vel. Tehát a kondenzátor kapcsain fellépő feszültségis ugyanolyan frekvenciájú szinuszos jel, csak negyed periódusnyit, azaz 900-ot késik az

Q U I I X UXL

L= ⋅ = ⋅ =2

2

12. ábra

90°

UC

IC

T4

i(t) t

uC(t)

u , i

T

a) b)


áramhoz képest. Másképp: váltakozó áramkörben a kondenzátor árama 900-kal siet afeszültségéhez képest.

A 12a ábrán együtt ábrázoltuk a kapacitás áram- és feszültség időfüggvényét úgy,hogy az áramot vettük fel nulla fázishelyzetűnek. Mivel a fáziseltérést az áramhozviszonyítjuk, és a kondenzátor feszültsége késik az áramához képest, ami negatív fázisszögetjelent, a kapacitív fogyasztó fázisszöge negatív és -900. Ennek megfelelően rajzoltuk meg akapacitás áramának és feszültségének vektorát, tehát az ω forgásirányával megegyezőirányban 900-kal visszaforgatva rajzoltuk meg a feszültségvektort az áramvektorhoz képest(12b ábra).

Ha nagyobb a frekvencia, akkor nagyobb lesz a kondenzátor feszültségének változásisebessége is. Ha a kondenzátor feszültsége gyorsan változik, vele együtt gyorsan változik atöltése is, és ehhez nagyobb áramerősség szükséges, tehát az áram csúcsértéke egyenesenarányos a körfrekvenciával is:

mm uCi ⋅⋅= ω .Ha képezzük a kondenzátor kapcsain megjelenő feszültség és a rajta átfolyó áram

effektív értékének a hányadosát, akkor az adott frekvencián egy állandó értéket kapunk:

ahol, XC a kapacitás reaktanciája (látszólagos ellenállása).A kapacitív reaktancia mértékegysége: 1 s/F = 1 V/A = 1 ohm. A reaktancia nagysága

a kapacitásnak csak az egyik jellemzője, a másik jellemző a kapacitás fázisszöge. Mivel afáziseltérést az áramhoz viszonyítjuk, és a kondenzátor feszültsége késik (l. az ábrát), aminegatív fázisszöget jelent, a kapacitív fogyasztó fázisszöge negatív és -900.

A már ismert komplex számításmód segítségével ez a kétjellemző egyszerűen megadható (13. ábra). Ha az áram vektora avalós tengelybe esik, akkor a kondenzátor feszültségének vek-tora éppen a negatív képzetes tengelybe eső, így a két komplexeffektív érték arányára felírhatjuk:

CjjX

IIjX

IU

CCC

ω1

−=−=⋅−

= .

Ez a mennyiség már nem csak a két mennyiség arányát,hanem a 900-os fáziseltérést is tartalmazza, tehát helyesen írja lea kondenzátor viselkedését váltakozó áramú körökben.

A kapacitív fogyasztó áramának és feszültségének szorzataként a kapacitív fogyasztóteljesítményének időfüggvényét felírhatjuk:

tIUtiu

ttiutitutp mmmmC ωωωω 2sin2sin

2sincos)()()( ⋅⋅−=⋅

⋅−=⋅⋅⋅−=⋅=

A 14 ábrán megrajzoltuk a kapacitív fogyasztó áramának és feszültségének, valamintezek szorzataként teljesítményének időfüggvényét. A kondenzátor is energiatároló elem,hiszen periodikusan feltöltődik a rákapcsolt feszültség maximális értékére, majd kisül. Akondenzátorban tárolt energia maximális, ha a kondenzátor feszültsége maximális:

2maxmax 2

1cuCW ⋅⋅=

A 0< t < T/4 időtartományban csökken a kondenzátor feszültsége (kisül), akkor azárama és feszültsége ellentétes irányú, tehát a teljesítménye negatív, a kondenzátor az addig

Cm

m XCI

Uiu

=⋅

==ω

1

-j

+j

+ I

UC= -jXC·I

13. ábra


felhalmozott energiáját visszaadja a hálózatnak (termelő). Az ezt követő negyed periódusbana kondenzátor ellentétes irányban feltöltődik a feszültség maximumára. A folyamat során afeszültség és áram iránya azonos (a teljesítmény pozitív),tehát úgy viselkedik mint egyfogyasztó (energiát vesz fel a hálózatból). A görbe alatti területek azonosak, tehát a felvettenergia megegyezik az előző negyed periódusban leadottal.

A kondenzátor egy periódusra vett teljesítményének átlaga nulla, azaz a kondenzátorhatásos teljesítménye is zérus. Ezért aztmondjuk, hogy a kondenzátor meddőfogyasztó, - ugyanúgy, mint a tekercs -csak energia tárolására képes. Ezért akondenzátort is a meddő teljesítményéveljellemezzük, mely a pillanatnyi teljesít-mény időfüggvényének maximális értéke.Megállapodás szerint a kondenzátormeddő teljesítménye negatív:

Q U I I X UXC C

C= − ⋅ = − ⋅ = −2

2

Ez a kifejezés megegyezik alakilag atekercs vizsgálata során kapott kifejezéssel, csak az előjele negatív. Tehát itt is ugyanolyanenergialengés alakul ki mint a tekercsnél, csak ahhoz képest ellenütemben. Erre akésőbbiekben (fázisjavítás) még visszatérünk.


1. Milyen kapcsolat van az ohmos fogyasztó árama és feszültsége között?2. Hogyan alakul időben az ohmos fogyasztó által felvett teljesítmény?3. Mi a hatásos teljesítmény?4. Mit nevezünk a váltakozó áram effektív értékének?5. Milyen kapcsolat van a szinuszosan váltakozó mennyiségek csúcsértéke és effektív értékeközött?6. Hogyan írható fel az Ohm törvény az ellenállás esetén?7. Hogyan határozhatjuk meg az ohmos fogyasztó hatásos teljesítményét?8. Milyen kapcsolat van a tekercs árama és feszültsége között?9. Mit értünk a fogyasztó fázisszöge alatt, és mekkora az értéke induktivitás esetén?10. Mi az induktív reaktancia, és hogyan határozhatjuk meg?11. Hogyan változik az induktív fogyasztó teljesítménye az idő függvényében?12. Mi a meddő teljesítmény, és hogyan határozhatjuk meg tekercs esetén?13. Milyen kapcsolat van a kondenzátor árama és feszültsége között?14. Mit értünk a fogyasztó fázisszöge alatt kondenzátor esetén?15. Mi a kapacitív reaktancia, és hogyan határozhatjuk meg?16. Hogyan változik a kapacitív fogyasztó teljesítménye az idő függvényében?17. Hogyan határozhatjuk meg a kondenzátor meddő teljesítményét?

4. Összetett váltakozó áramú körök számítása

A Kirchhoff-törvények, a csomóponti és a huroktörvény, a hálózatok számításánaklegáltalánosabb törvényei, melyekből – mint az 1.fejezetben már láttuk - további hálózat-számítási módszerek vezethetők le. A bennük megfogalmazott állítások minden időpilla-natban igazak, függetlenül az áram és feszültség hullámalakjától. A pillanatértékek összes-

14. ábra

u , i, p

i(t)

p(t)

T

t

uC(t)

Q+

- -

+

4T


sége a jel időfüggvénye, tehát Kirchhoff csomóponti és huroktörvénye az időfüggvényekrefelírva is érvényes.

A korábbiakban már láttuk, hogy az időfüggvények összegzése általában igen nehéz-kes, s ezt egyszerűsítendő vezettük be a vektoros ábrázolást. Tehát az időfüggvények helyettaz azokat leképező vektorokat összegezzük, akár grafikusan (léptékhelyes ábrát rajzolunk),akár numerikusan (komplex számokkal). A váltakozó áramú körökben a Kirchhoff-törvények és a hálózatszámítási módszerek, tételek ugyanúgy érvényesek mint azegyenáramú körökben, de csak a vektoros (fázishelyes) alakokra.

Az eddigiek során azt láttuk, hogy a váltakozó áramú hálózatokban az ideális R, L, Celemek mindegyikére alkalmazható az Ohm-törvény:

UI

R= , UI

X L= , UI

XC= .

Az ellenállás, az induktív reaktancia és a kapacitív reaktancia közös elnevezése: impedancia.Jelölése: Z, mértékegysége az ohm. Ha a fogyasztót nem egy, hanem több ideális elem képezia váltakozó áramú körben, akkor is képezhetjük a fogyasztón átfolyó áram és a kapcsainmegjelenő feszültség hányadosát, amely a fogyasztó impedanciájával egyenlő:

Az Ohm-törvény fenti alakja csak az impedancia nagyságát adja meg. Az impedanciaa nagyságával és a szögével jellemezhető, amelyet a komplex alakok adnak meg:Az eddigiek során megismert ideális elemek impedanciái:

illetve az Ohm-törvény: ZI

U=

Az impedancia reciprokát admittanciának hívjuk, a jele: Y, mértékegysége a siemens.Az ideális elemek admittanciái:

,1 GR

YR ==LjjX

YL

L ⋅==

ω11 , Cj

jXY

CC ⋅=

−= ω1 .

4.1. A soros R-L kapcsolás

Vizsgáljuk meg a 15a ábrán látható soros R-L tag váltakozó áramú viselkedését!

Ehhez rajzoltuk meg a kapcsolás vektorábráját (b ábra). A két elem közös áramábólindulunk ki. Az ohmos ellenállás feszültsége az árammal fázisban van, a tekercs feszültségepedig siet 900-ot az áramhoz képest. A két feszültség vektoriális összege a generátor feszült-

UI

Z=

CL jX=Z=jXZRZ −= ,

15 ábra

a)

ϕ•UR

UL

U

I

R

L

∼U

UL

UR

I

b)


ségét adja meg. A vektorábrából nyilvánvaló, hogy a feszültségek derékszögű háromszögetalkotnak, tehát a vektorok hosszai (ami egyenlő az effektív értékükkel) közti összefüggés aPythagoras-tétellel felírható:

U U UR L2 2 2+ = .

Az ábrából látható, hogy a tekercs miatt az áram most is késik az eredő feszültséghezképest, de a szög kisebb 900-nál, mert ellenállás is van a körben. A ϕ szög értékét a derék-szögű háromszögből meghatározhatjuk:

illetve ahol: 0 < ϕ < 900

Irjuk fel a feszültségeket a közös áram segítségével, azaz alkalmazzuk az egyeselemekre az Ohm-törvényt! U I RR = ⋅ és U I XL L= ⋅

A Pythagoras-tételbe behelyettesítve: I R I X UL2 2 2 2 2⋅ + ⋅ =

Emeljük ki bal oldalon az I2-et, és vonjunk gyököt az egyenlet mindkét oldalából:

( )I R X UL⋅ + =2 2 , majd képezzük az U/I hányadost: UI

R X L= +2 2 .

Tehát a soros R-L tag impedanciája:.

Nyilvánvaló, hogy az impedancia nagyságának a négyzetét képezve: Z R X L2 2 2= + ,

ugyancsak egy Pythagoras-tétel adódik. Tehát az R, az XL és a Z hosszúságú oldalakkalderékszögű háromszög szerkeszthető.

A 16a ábrán ismételten megrajzoltuk a feszültségvektorok háromszögét. Írjuk fel afeszültségvektorokat az áram segítségével. Mivel mindhárom feszültséget ugyanazzal az Iárammal szoroztuk, ezért az I árammal történő osztás után is hasonló derékszögű három-szöget kapunk, amit impedancia-diagramnak nevezünk (3.16b ábra). Azt is mondhatjuk, hogya megfelelő feszültségvektorok hossza az impedancia-háromszög megfelelő oldalának azáramszorosa. A feszültségvektorokat összegezve:

ZIjXRIjXIRIUUU LLLR ⋅=+⋅=⋅+⋅=+= )(

Az impedancia is vektormennyiség, tehát nemcsak nagysága: 22LXRZZ +== ,

hanem szöge is van:RL

RX L ωϕ ==tg .

Az áram és a feszültség közti szög egyenlő az impedancia szögével, a fázisszöggel (l.az ábrákon fentebb). A ϕ szög az impedancia fázisszöge, amit az impedancia jellemzőibőlközvetlenül számolhatunk:

Z R X L= +2 2

sinϕ =UU

L tgUU

L

Rϕ =

ZjXL

R

ϕ

b) 16 ábra

ϕ• I

a)

UR= I·R

U = I·ZUL= I·jXL


22cos

LXR

RZR

+==ϕ illetve

22sin

L

LL

XR

XZ

X

+==ϕ .

Ezek segítségével a fogyasztó teljesítményei közvetlenül számolhatók.A számítás során felhasználjuk, hogy a kapocsfeszültség nagysága U=I·Z alapján számolható.A hatásos teljesítmény: ϕϕϕ coscoscos22 ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= IUZIIZIRIP

A meddő teljesítmény: ϕϕϕ sinsinsin22 ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= IUZIIZIXIQ L

Egyenáramú körökben a fogyasztó teljesítményét a fogyasztó feszültségének és áramánakszorzata adja. Az így képzett szorzatnak a váltakozó áramú körben nincs fizikai tartalma, bárteljesítményt jelent, de nem valóságosat, ezért látszólagos teljesítménynek nevezzük.Tehát a feszültség és áram effektív értékének szorzata a látszólagos teljesítmény.Jele: S, egysége: VA.

Foglaljuk össze a váltakozó áramú fogyasztó teljesítményeit:

Ezek alapján a látszólagos teljesítménnyel kifejezhetjük a hatásos és a meddő teljesítményt is:

A három teljesítmény közötti kapcsolat a sin cos2 2 1ϕ ϕ+ = azonosság figyelembevételével:

Mivel az impedancia hatásos teljesítményét az áram és a feszültség effektív értékénkívül a kettő közötti fázisszög határozza meg, a cosϕ-t teljesítménytényezőnek nevezzük.A teljesítmények definíciójából:

Váltakozó áramon a valóságos (veszteséges) légmagos tekercs soros R-L taggal helyet-tesíthető, ahol R a tekercshuzal ohmos ellenállása, és L a tekercs önindukció tényezője. Azellenálláson hatásos teljesítmény keletkezik, ami a valóságos tekercs vesztesége. Azt, hogy avalóságos tekercs mennyire veszteséges a jósági tényezővel fejezzük ki, amelynek a jele: Q, ésegy mértékegység nélküli szám, ugyanis a tekercs meddő teljesítményének és az ellenállásonkeletkező hatásos teljesítménynek a hányadosa:

QQP

I X

I R

LR

L

R

L= =⋅

⋅=

⋅2

2ω , tehát

RLQ ⋅

=ω

.

Tehát a jósági tényező a valóságos tekercs frekvenciától függő jellemzője, amely asoros helyettesítő elemekkel is kifejezhető. Nyilván minden tekercs jósági tényezője nagyobblesz a frekvencia növekedésével.

A jósági tényezőt felírhatjuk a teljesítmények általános összefüggéseivel is:

QQP

U IU I

tgL

R= =

⋅ ⋅⋅ ⋅

= =sincos

sincos

ϕϕ

ϕϕ

ϕ .

ϕcos⋅⋅= IUP [W] hatásos teljesítményϕsin⋅⋅= IUQ [var] meddő teljesítmény

IUS ⋅= [VA] látszólagos teljesítmény

S U I= ⋅

Q S= ⋅ sinϕQ S= ⋅ sinϕP S= ⋅ cosϕ

P Q S2 2 2+ =

cosϕ =PS


Ebben a formában a jósági tényező azt mutatja meg, hogy a valóságos tekercs feszültsége ésaz árama közti fázisszögnek mekkora a tangense.

Kapcsoljuk sorba egy légmagos tekercset (R = 6 Ω, XL = 8 Ω) egy R1 = 10 Ω-os ellenállással(17a ábra), és kapcsoljunk az elrendezésre 24 V effektív értékű 1 kHz-es váltakozó feszült-séget! Mekkora feszültség mérhető a valóságos tekercs kapcsain?

A 17b ábrán feltüntettük a kapcsolás vektorábráját, amiből jól látható, hogy az ellenállás és atekercs feszültsége nem azonos fázisú, tehát csak fázishelyesen (vektorosan) összegezhetők.Ennek alapján az eredő impedancia és a kör árama:

Ω+=++=++= )816(86101 jjjXRRZ Le és A )6,02,1( )816(

V 24 jjZ

UIe

−=Ω+

== .

A tekercs feszültsége a tekercs impedanciájával arányos:V )612(8,46,96,32,7)86()6,02,1( jjjjjZIU TT +=++−=+⋅−=⋅= .

Tehát a tekercs kapcsain mérhető feszültség nagysága:

V 13,4612 22 =+== TT UU .A feladat természetesen megoldható komplex számok használata nélkül is:Az áramkör eredő impedanciájának a nagysága:

( ) ( ) Ω=++=++= 9,178610 22221 LXRRZ .

Így a kör árama: A 34,1 9,17V 24

=Ω

==ZUI .

Tehát a tekercs feszültségének komponensei: V 05,8 6A 34,1 =Ω⋅=⋅= RIU R V 7,10 8A 34,1 =Ω⋅=⋅= LL XIU .

A tekercs kapcsain mérhető feszültség nagysága:

V 13,47,1005,8 2222 =+=+= LRT UUU .

Az ellenállás kapcsain mérhető feszültség: V 4,13 10A 34,1 =Ω⋅=⋅= RIU R

Nyilvánvaló, hogy V 24V 13,4V 4,13 >+=+ LR UU , hiszen a háromszög két oldalánakösszege mindig nagyobb mint a harmadik oldal! (l. a 3.17b ábrát!)

4.2. A párhuzamos R-L kapcsolás

A párhuzamos R-L tagot a 18a ábrán, a vektorábráját a 18b ábrán rajzoltuk meg. Avektorábra rajzolását a közös feszültségből kezdtük. Az ellenállás árama ezzel azonos fázisú,tehát vektora párhuzamos a feszültségvektorral, míg az ideális tekercs árama 900-kal késik,tehát vektora merőleges az előbbiekre. Az ábrából látható, hogy az ellenállás és az ideálistekercs áramvektora 900-os szöget zár be, azaz az eredő áram:

17. ábrab.)a.)

RR1

I

UR1 UR UL

L

U

UT

UT

IUR1

U

UR

UL


YUYGUXU

RUIII L

LLR ⋅=+⋅=+=+= 22

2

2

2

222 ,

ahol R

G 1= , Y

XLL

=1 , tehát Y G YL

2 2 2= + .

Tehát ellenállás és ideális tekercs párhuzamos kapcsolásakor az áramok adódnak összenégyzetesen. Az áram nem az impedanciával, hanem annak a reciprokával, az admittanciávalarányos, ezért az admittanciák adódnak össze négyzetesen.

Az eredő impedancia nagysága:22

11

LYGYZ

+== ,

fázisszögének nagysága a 18b ábra vektorábrája alapján:

LR

RUL

U

II

R

Lω

ωϕ ===tg kifejezéssel számolható.

A fázisszög most is pozitív, mivel az áram most is késik a feszültséghez képest.

A komplex írásmód alkalmazásával az áramvektorokat összegezve:

ZU

jXRU

jXU

RUIII

LLLR =+⋅=⋅+=+= )11( .

Ebből az impedancia nagysága: LL

L

L

L

L

jXRjXRjXR

jXRjXR

jXR

Z ⊗=+⋅

=

⋅+

=+

=1

111

Tehát a párhuzamosan kapcsolt fogyasztók eredő impedanciája ugyanúgy számolhatómint a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője (l. az 1. fejezetben), de csak a komplexalakokkal.

Figyelem! Párhuzamos kapcsolás esetén nem rajzolhatunk impedancia-háromszöget, mivel azimpedanciák nem adhatók össze!

Határozzuk meg a párhuzamosan kapcsolt 200 Ω-os ellenállás és a 100 mH-s ideális (veszte-ségmentes) tekercs eredő impedanciájának nagyságát és fázisszögét az ω = 103 rad/s kör-frekvencián!A tekercs reaktanciája a megadott körfrekvencián: Ω=⋅⋅= − 1001010010 33

LX .

18. ábra

IL LRIR∼U

Iϕ•

I

IL

IR

U

a) b)


Az egyes elemek admittanciája:

mS 5 200

11=

Ω==

RG illetve mS 10

10011

=Ω

==L

L XY .

Az eredő impedancia nagysága:

Ω=Ω=Ω+

=+

= 4,89k 18,111k

105

112222

LYGZ ,

A fázisszögének nagysága:

2100200tg ===

LR

ωϕ amiből rad 1,14,632ctg === oarϕ .

Az eredő impedanciát úgy is meghatározhatjuk, hogy a megadott körfrekvenciájú, tet-szőleges nagyságú feszültséget kapcsolunk az R-L tagra, és meghatározzuk az eredő áramot,majd képezzük a feszültség és áram hányadosát! Legyen a feszültség effektív értéke 100 V!

Ekkor: A 118,1A 25,1A 15,0A100100

200100 22

2222 ==+=

+

=+= LR III .

A feszültség és az áram ismeretében az impedancia: Ω=== 4,89A 118,1

V 100I

UZ .

Az impedancia fázisszöge megegyezik az eredő áram és a feszültség által bezártszöggel, tehát a 18b ábra vektorábrája alapján:

2A 5,0

A 1tg ===R

LII

ϕ amiből rad 1,14,632ctg === oarϕ ..


1. Milyen alakokra érvényesek a Kirchhoff törvények váltakozó áramú körökben?2. Milyen értékekre írhatók fel a hálózatszámítási tételek összefüggések? Mi az impedancia,és mi a mértékegysége?3. Milyen adatokkal jellemezhető az impedancia?4. Mi az admittancia, és mi a mértékegysége?5. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-L kapcsolás impedanciájának nagyságát ésfázisszögét?6. Hogyan határozható meg egy fogyasztó hatásos teljesítménye?7. Hogyan határozható meg egy fogyasztó meddő teljesítménye?8. Mit értünk látszólagos teljesítmény alatt?9. Milyen kapcsolat van a váltakozó áramú teljesítmények között?10. Mit értünk teljesítménytényező alatt, és hogyan határozhatjuk meg?11. Mit értünk egy tekercs jósági tényezője alatt?12. Hogyan határozható meg egy tekercs jósági tényezője?13.Hogyan függ a jósági tényező értéke a frekvenciától?14. Hogyan határozható meg a párhuzamos R-L kapcsolás eredő árama?15. Hogyan határozható meg a párhuzamos R-L kapcsolás eredő impedanciája?


4.3. A soros R-C kapcsolás

A 19a ábrán a soros R-C kapcsolás, a 19b ábrán annak vektorábrája látható. Mivel azellenállás és a kondenzátor feszültségének vektora derékszöget zár be, összegzésüket aPythagoras-tétellel végezhetjük:

( )U U U I R I X I R XR C C C2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + .

Vonjunk gyököt az egyenlet mindkét oldalából, majd képezzük az U/I hányadost!

( )22CXRIU +⋅= , ahonnan ZIU ⋅= alapján az impedancia:

Vegyük észre, hogy a soros R-C tag impedanciájának nagyságára a soros R-L tagnálkapotthoz hasonló kifejezés adódott. Ennek értelmében a 20a ábrán ismételten megrajzoltuk afeszültségvektorok háromszögét, és a feszültségvektorokat felírtuk az áram segítségével.

Mivel mindhárom feszültséget ugyanazzal az I árammal szoroztuk, ezért az I árammaltörténő osztás után is hasonló derékszögű háromszöget kaptunk, amit impedancia-diagramnakneveztünk (20b ábra). Az impedancia-diagram alapján a fázisszög:

tgXR

I XI R

UU

C C C

Rϕ = − = −

⋅⋅

= − , és: -900 < ϕ <.0

A fázisszög negatív, mivel most az áramhoz képest késik az eredő feszültség.

A feszültségvektorokat összegezve:ZIjXRIjXIRIUUU CCCR ⋅=−⋅=−⋅+⋅=+= )()(

Az impedancia is vektormennyiség: CjXRZ −=

tehát nemcsak nagysága: 22CXRZZ +== , hanem szöge is van:

CRRX C

ωϕ 1tg −=

−= .

Z R X C= +2 2

19. ábra

R

C

∼U

UC

UR

I

ϕ•

U

UR

UC

I

a) b)

20.ábra

ϕR

-jXC

Z

a) b)

ϕ•

I

UR=R·I

UC=-jXC·IU=Z·I


4.4. A párhuzamos R-C kapcsolás

A 21a ábrán a párhuzamos R-C kapcsolás, a 21b ábrán annak vektorábrája látható.Mivel az ellenállás és a kondenzátor áramának vektora derékszöget zár be, összegzésüket aPythagoras-tétellel végezhetjük:

I I I U

R

U

XU

R XU YR C

C C

= + = + = ⋅ + = ⋅2 22

2

2

2 2 21 1 .

Tehát ellenállás és ideális kondenzátor párhuzamos kapcsolásakor is az áramok adód-nak össze négyzetesen. Mivel az áram nem az impedanciával, hanem annak a reciprokával, azadmittanciával arányos, az admittanciák adódnak össze négyzetesen.

Az eredő impedancia nagysága:22

11

CYGYIUZ

+=== .

Az impedancia fázisszögének nagysága a 21b ábra vektorábrája alapján:

CRXR

RUXU

II

C

C

R

C ωϕ ====tg kifejezéssel számolható.

A fázisszög most is negatív, mivel az áram most is siet a feszültséghez képest.

A komplex írásmód alkalmazásával az áramvektorokat összegezve:

ZU

jXRU

jXU

RUIII

CCCR =

−+⋅=⋅

−+=+= )11( .

Ebből az impedancia nagysága: )()(

)(

111

1C

C

C

C

C

C

jXRjXRjXR

jXRjXR

jXR

Z −⊗=−−⋅

=

−⋅−

=

−+

=

Tehát a párhuzamosan kapcsolt fogyasztók eredő impedanciája ugyanúgy számolhatómint a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője (l. az 1. fejezetben), de csak a komplexalakokkal.

Figyelem!Párhuzamos kapcsolás esetén most sem rajzolhatunk impedancia-háromszöget, mivel azimpedanciák most sem adhatók össze!

Egy párhuzamosan kapcsolt R-C tagra 230 V effektív értékű, 50 Hz frekvenciájú váltakozófeszültséget kapcsolunk. Az áramkör eredő árama: 30 mA, az ellenállás árama: 23 mA.

21.ábra

ICCR

IR∼U

I

ϕ•

IIC

IR U a) b)


Mekkora az eredő impedancia nagysága és a fázisszöge, valamint az ellenállás értéke és akondenzátor kapacitásának értéke?

A rendelkezésre álló adatok: U = 230 V, I = 30 mA, IR = 23 mA.Ezekből az impedancia és az ellenállás értéke közvetlenül számolható:

Ω=== k 67,7mA30

V 230I

UZ illetve Ω=== k 10mA 23

V 230

RIUR ,

A kondenzátor árama a Pythagoras-tétel felhasználásával a 21b ábra alapján:

mA 26,19mA2330 2222 =−=−= RC III ,

Így a kondenzátor reaktanciája: Ω=== k 94,11mA 26,19V 230

CC I

UX .

A kapacitás értéke C

X C ω1

= alapján: nF 7,266F1094,11314

113 =

⋅⋅=

⋅=

CXC

ω

A fázisszöget a 21b ábra vektorábrájából határozzuk meg:

837,0mA 23

mA 19,26tg −=−=−=R

CII

ϕ , ahonnan: ϕ = -39,94 0.

Váltakozó feszültségen a valóságos kondenzátor feszültsége 900-nál kisebb szöggelkésik az áramához képest, tehát a kondenzátoron hatásos teljesítmény is fellép, ami a konden-zátor vesztesége (a szigetelőanyag melegszik). Ezt figyelembe véve a valóságos kondenzátoregy R-C taggal helyettesíthető, mely lehet akár soros, akár párhuzamos kapcsolású.A gyakorlatban általában a párhuzamos helyettesítő képet használjuk (22a ábra).

Itt a jósági tényező helyett annak reciprokát használjuk:PQ

U IU I tg

tg=⋅ ⋅⋅ ⋅

= =cossin

ϕϕ ϕ

δ1 ,

ahol a tgδ a kondenzátor veszteségi tényezője, és azt mutatja meg, hogy a kondenzátorbankeletkező hatásos teljesítmény (veszteség) a kondenzátor meddő teljesítményének hányadrésze. Értéke minél kisebb, annál jobban közelít a kondenzátor az ideálishoz (veszteség-menteshez).A vektorábra (22b ábra) alapján értékét kifejezhetjük a kondenzátor jellemzőivel:

CRRX

XURU

II

pp

C

C

P

C

R⋅⋅

====ω

δ 1tg , tehát CRp ⋅⋅

=ω

δ 1tg .

22.ábra

RPIR∼U

I

IC CIIC

U

IR

ϕ•

δ

a) b)


Tehát párhuzamos helyettesítés esetén a veszteségi tényező értéke nagyfrekvenciáncsökken. A gyakorlatban használt kondenzátorok veszteségi tényezője 10-3 - 10-4 nagyság-rendű, tehát párhuzamos helyettesítés esetén az ellenállás igen nagy értékű.

A kondenzátorok vesztesége lényegesen kisebb, mint a tekercseké, ezért a valóságoskondenzátor gyakorlatilag ideális áramköri elemnek tekinthető.


1. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-C kapcsolás impedanciájának nagyságát?2. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-C kapcsolás impedanciájának fázisszögét?3. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-C kapcsolás áramának nagyságát?4. Rajzoljuk fel a soros R-C kapcsolás vektorábráját!5. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-C kapcsolás eredő áramának nagyságát?6. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-C kapcsolás impedanciájának nagyságát?7. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-C kapcsolás impedanciájának fázisszögét?8. Rajzoljuk fel a párhuzamos R-C kapcsolás vektorábráját!9. Mit értünk a kondenzátor veszteségi tényezője alatt?10. Hogyan határozhatjuk meg a veszteségi tényező értékét?11. Hogyan helyettesíthető a valóságos kondenzátor?

4.5. A soros R-L-C kapcsolás

Soros R-L-C kapcsolást kapunk sorba kapcsolt valóságos tekercs és kondenzátorhelyettesítő képének (kapcsolásának) felrajzolásakor (23a ábra). A kapcsolás vektorábráját a23b ábrán rajzoltuk meg.

A vektorábra alapján a feszültségvektorok alkotta derékszögű háromszögre felírhatjuka Pythagoras-tétel felhasználásával:

( ) ( ) ( )U U U U I R I X I X I R X XR L C L C L C2 2 2 2 2 2 2 2 2= + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ + −

,

ahonnan az áramkör eredő impedanciájának nagysága: ( )Z R X XL C= + −2 2 .Az impedancia fázisszöge a derékszögű háromszög alapján:

RXX

RIXIXI

UUU CLCL

R

CL −=

⋅⋅−⋅

=−

=ϕtg .

A fázisszög pozitív, ha CL XX > , és negatív, ha CL XX < , tehát értéke +900 és –900 között

változhat. Mivel LX L ω= és C

X C ω1

= , tehát mindkettő frekvenciafüggő, ezért az elemek

23.ábra

ϕ UR

UL U

IUC

UR

UC

UL - UCR∼ IU

UR UL UC

CL

a) b)


értékei mellett a feszültség frekvenciája határozza meg az áramkör jellegét. Erre a rezgőkörökvizsgálatakor a későbbiekben visszatérünk.

4.6. A párhuzamos R-L-C kapcsolás

A valóságban a tekercsnek mindig van ellenállása, és a kondenzátornak is van - bárkevésbé számottevő - vesztesége. Vizsgáljunk meg egy olyan párhuzamos kört, amelyben aveszteségeket az ideális rezgőkörrel párhuzamosan kapcsolt ellenállással vettük figyelembe(24a ábra). Az elrendezést veszteséges párhuzamos rezgőkörnek is nevezzük (l. később).

A vektorábra alapján az áramvektorok alkotta derékszögű háromszögre felírhatjuk aPythagoras-tétel felhasználásával (24b ábra):

( ) ( ) ( )[ ]222222222CLCLCLR YYGUYUYUGUIIII −+⋅=⋅−⋅+⋅=−+= ,

ahonnan az áramkör eredő admittanciájának nagysága: ( )22CL YYGY −+= .

Az eredő impedancia fázisszöge a derékszögű háromszög alapján:

GYY

GUYUYU

III CLCL

R

CL −=

⋅⋅−⋅

=−

=ϕtg .

A fázisszög pozitív, ha CL YY > azaz CL XX < , és negatív, ha CL YY < azaz CL XX > ,tehát értéke most is +900 és –900 között változhat. Természetesen az energiatároló elemekreaktanciája frekvenciafüggő, ezért itt is az elemek értékei mellett a feszültség frekvenciájahatározza meg az áramkör jellegét. Erre a következő pontban részletesen kitérünk.


1. Rajzoljuk fel a soros R-L-C kör vektorábráját!2. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-L-C kör eredő impedanciáját?3. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-L-C kör fázisszögét?4. Rajzoljuk fel a párhuzamos R-L-C kör vektorábráját!5. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-L-C kör eredő admittanciáját6. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-L-C kör fázisszögét?

L CR1

IR∼U

I

IL IC

IL

IC

U

IC

I

• IR

ϕ

IR

•

3.24. ábra a) b)


5. Rezgőkörök

A váltakozó áramú teljesítmények vizsgálatakorláttuk, hogy a tekercs illetve a kondenzátor ellen-ütemben vételezi az energiát a hálózatból, tehát atekercset és kondenzátort tartalmazó áramkörbenenergialengések keletkeznek. A korábbiakból márismert, hogy a tekercs reaktanciája a frekvencianövelésekor nő, a kondenzátoré viszont csökken(3.25. ábra). Az impedanciák értéke megegyezik,ha: X XL C= .A feltételt kielégítő ún. rezonancia körfrekvencia:

ωωo

oL

C⋅ =

⋅1 , ahonnan: ω o L C

=⋅

1 .

5.1. A soros L-C kapcsolás

A 26a ábrán ideális tekercset és kondenzátort kapcsoltunk sorosan váltakozófeszültségre. Először rajzoljuk meg a közös jellemzőből, az I áramból kiindulva a vektorábrát!Mivel a tekercs feszültsége 900-ot siet, és a kondenzátor feszültsége 900-ot késik az áramhozképest, az árammal derékszöget zár be mindkét feszültség és az eredő feszültség is (26b és cábra). Azonban a két reaktancia feszültsége ellenfázisú, tehát összegzéskor a feszültségekeffektív értékeit ki kell vonnunk egymásból.

A vektorábra (b ábra) alapján, ha a tekercs reaktanciája a nagyobb:( )U U U I X I X I X XL C L C L C= − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − , ahonnan: Z X XL C= − .

A generátor U feszültségéhez képest az I áram 900-kal késik, tehát a kör induktív, azeredő impedancia fázisszöge +900, az L-C tag egy induktívitással helyettesíthető.

Ha a kapacitás reaktanciája a nagyobb (c ábra):( )U U U I X I X I X XC L C L C L= − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − , ahonnan: Z X XC L= − .

A generátor U feszültségéhez képest az I áram 900-kal siet, tehát a kör kapacitív, azeredő impedancia fázisszöge -900, az L-C tagot egy kondenzátor helyettesíti.

Ha a reaktanciák értéke azonos, akkor 0=−= LC XXZ , tehát az L-C tag rövidzár-ral helyettesíthető! Azt mondjuk, hogy ezen a frekvencián soros rezonancia lépett fel. Az L-Ckapcsolást ideális (veszteségmentes) soros rezgőkörnek nevezzük.

i

LX L ω=

CX C ω

1=

X

ωο ω

25. ábra

26.ábra

C

L

∼UUL

UC

I

a) b) c)

UC

UC

UL U I

XL > XC

•

ω > ω 0

U

I

UC

XL < XC

UL

UL•

ω < ω 0


A soros L-C rezgőkör rezonancia-frekvenciája:

LC

fo π21

=

Az összefüggést Thomson-képlet-nek is nevezzük.

Tehát rezonancia esetén azimpedancia nagysága zérus, az áramerőssége pedig végtelen lesz(lenne).(27. ábra) Az ωo-nál kisebbkörfrekvenciákon az impedanciaközel hiberbolikusan csökken, mertXC így csökken, míg ωo-nálnagyobb körfrekvenciákon az impe-dancia közel lineárisan - XL-hez hasonlóan – növekszik. ω = 0 esetén az áramkör akondenzátor miatt szakadt, ω → ∞ esetén pedig a tekercs miatt szakadt. Így a két szélsőfrekvencián az impedancia végtelen, tehát az áram zérus (l. az ábrán).

Ha a tekercs veszteségeit leképező soros ellenállást is figyelembe vesszük, akkor sorosR-L-C kapcsolást (veszteséges soros rezgőkör) kapunk (l. a 3.23a ábrán). Az eredő impedan-

cia nagysága: ( )2

222 1

−+=−+=

CLRXXRZ CL ω

ω .

Az impedancia nagysága most is függ a frekvenciától, és . az ω0 rezonancia körfrekvenciánlesz minimális (28. ábra):

( )Z Z Romin = = =ω ω .Rezonancia esetén, mivel az impe-dancia minimális, az áramnak maxi-mális értéke lesz, és ekkor lesz fázis-ban az eredő feszültséggel (3.29aábra). ω>ωo esetén a kör induktívjellegű, a fázisszög 090 >>+ ϕo

tartományban változik (b ábra).ω<ωo a kör induktív jellegű, afázisszög o900 −>> ϕ tartomány-ban változik (c ábra).

29. ábra

ϕ UR

UL U

IUC

UR

UC

UL

I

UC

UR= U ϕ

UR

UC U

IUL

ULUR

ω < ω0ω > ω0ω = ω0

a) b) c)

0Z

I

ZI

ωωο

27. ábra

Z

I

ZI

ωωο

28. ábra


Soros rezonancia esetén a kialakuló áramot csak a kör ohmos ellenállása korlátozza(29a ábra), ezért az energiatároló elemek kapcsain fellépő feszültség a generátorfeszültségtöbbszöröse is felléphet.

Határozzuk meg egy soros R-L-C kör elemeinek kapcsain fellépő feszültségek értékét, ha:R = 10 Ω, L = 100 mH, C = 40 µF. A körre U = 100 V effektív értékű, ω = 500 rad/s kör-frekvenciájú jelet kapcsolunk.A reaktanciák értéke: Ω=⋅⋅== − 5010100500 3LX L ω

Ω=⋅⋅

==−

501040500

116C

X C ω.

Az eredő impedancia: ( ) ( ) Ω=−+=−+= 10505010 2222CL XXRZ .

A kör árama: A 1010100

===ZUI .

Az egyes elemek kapcsain fellépő feszültségek: V 1001010 =⋅=⋅= RIU R ,!!! V 5005010 UXIU LL >>=⋅=⋅= !!! V 5005010 UXIU CC >>=⋅=⋅=

Tehát az energiatároló elemek kapcsain a rákapcsolt feszültség ötszöröse lépne fel!


1. Hogyan függ a frekvenciától az energiatároló elemek reaktanciájának értéke?2. Mi a rezonancia-körfrekvencia, és hogyan határozhatjuk meg értékét?3. Hogyan helyettesíthetjük a soros L-C kapcsolást kisfrekvenciákon és nagyfrekvenciákon?4. Hogyan jellemezhetjük a soros L-C kapcsolást rezonancia frekvencián?5. Hogyan alakul a soros L-C kapcsolás impedanciája és árama a frekvencia függvényében?6. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-L-C kapcsolás impedanciájának értékét?7. Rajzoljuk fel a soros R-L-C kapcsolás vektorábráját különböző körfrekvenciák esetén?8. Hogyan alakul a soros R-L-C kapcsolás impedanciája és árama a frekvencia függvényében?9. Mekkora feszültségek léphetnek fel az egyes elemek kapcsain rezonancia frekvencián?

5.2. A párhuzamos L-C kapcsolás

A párhuzamos L-C kör (ideális párhuzamos rezgőkör) kapcsolása a 30 ábrán látható.A rezgőkör impedanciája nyilván függ a frekvenciától.Ha XL< XC,, akkor IL > IC (31a ábra), tehát az eredőáram 900-ot fog késni a közös feszültséghez képest. Ezazt jelenti, hogy ebben az esetben az ideális párhuzamosrezgőkör egyetlen ideális tekerccsel helyettesíthető.Ha pedig XL > XC, úgy IL < IC (31c ábra), tehát az eredőáram 900-ot fog sietni a közös feszültséghez képest. Ezazt jelenti, hogy ebben az esetben az ideális párhuzamosrezgőkör egyetlen ideális kondenzátorral helyettesíthető.Ha a reaktanciák nagysága azonos, az eredő áramerősség értéke zérus, az ideális párhuzamosrezgőkör szakadással helyettesíthető (31b ábra). Tehát rezonancia esetén, bár az eredő áramzérus, a reaktanciákon folyik áram, melyek nagysága azonos, de irányuk ellentétes.Mivel irányuk ellentétes - belátható -, hogy ezek az áramok a rezgőkörön belül folynak.Másképp: a rezgőkörben folyó áram a tekercsben létrejövő mágneses és a kondenzátorbankialakuló villamos energia periodikus átalakulását közvetíti. (Ha a tekercs építi a mágneses

30. ábra

IC CLIL∼U

I


terét, azaz fogyaszt, a kondenzátor termel, vagyis kisül, leépül a villamos tere. Ha akondenzátor villamos tere épül, tehát a kondenzátor fogyaszt, akkor a tekercs termel, leépíti amágneses terét. A reaktanciák energiát tudnak tárolni, és azt egymásnak periodikusan át istudják adni, mivel ellenütemben dolgoznak. – l. a teljesítmények időfüggvényeit a 11. és 14.ábrákon).

Azt a frekvenciát, ahol XL = XC, , itt isa rezgőkör rezonanciafrekvenciájának hívják,és értéke:

ω o L C=

⋅1 és f

L Co =⋅ ⋅

12π

.

Figyeljük meg, addig míg ideális sorosrezgőkörnél rezonanciafrekvencián az impe-dancia zérus (27. ábra), ideális párhuzamosrezgőkörnél rezonanciafrekvencián az áram-erősség zérus (32. ábra). (Ezért szoktuk ezt arezonanciafrekvenciát antirezonancia-frek-venciának nevezni. Azt mondhatjuk, hogysoros rezgőkörnél feszültségrezonancia van,míg párhuzamos rezgőkörnél áramrezonancia van.)

Tehát rezonancia esetén (ω=ωo) az áram értéke nulla. Az ω=0 esetén az eredőimpedancia nulla (a tekercs rövidzár), míg ω → ∞ esetén azért lesz ismét nulla, mert akondenzátor lesz rövidzár. Igy a két szélső körfrekvencián az eredő impedancia zérus, tehát azáram végtelen nagy lenne (l. a 32. ábrán).

A valóságban a tekercsnek mindig van ellenállása, és a kondenzátornak is van - bárkevésbé számottevő - vesztesége. Először vizsgáljunk meg egy olyan párhuzamos kört,amelyben a veszteséget az ideális rezgőkörrel párhuzamosan kapcsolt ellenállással vettük

figyelembe (25a ábra). Az elrendezést veszteséges párhuzamos rezgőkörnek is nevezzük.

31. ábra

a) b) c)

IL

IC U

••

XL = XC

ω = ω0

•

IL

IC

IL

I U

XL > XC

ω > ω0

IL

IC U

•

IC

I

XL < XC

ω < ω0

33. ábra

a) b) c)

IL

IC U

••

XL = XC

ω = ω0

IR = I

IL

IC

IL

IU

XL > XC

ω > ω0

•

IR

IR

ϕ•IL

IC U

IC

I

XL < XC

ω < ω0

• IR

ϕ

IR

•

I

Z

ZI

ωωο

32. ábra


Ha XL< XC,, akkor IL > IC,, és az L-C tagot egyetlen tekercs helyettesíti, tehát az eredőegy párhuzamos R-L tag lesz. Az ennek megfelelő vektorábra látható a 33a ábrán. Ha pedigXL > XC,, akkor IL < IC , és az eredő egy pár-huzamos R-C tag lesz (c ábra). Rezonancia eseténaz L-C tag szakadást jelent, tehát az eredő az R ellenállás (b ábra), és ez jelenti az impedanciamaximális értékét (34. ábra). Tehát rezonancia esetén (ω=ωo) az áram minimális értéke: Imin =U/R, amely fázisban van az U feszültséggel. Az ω=0 esetén az eredő impedancia nulla (atekercs rövidzár), míg ω → ∞ esetén azértlesz ismét nulla, mert a kondenzátor leszrövidzár. Igy a két szélső körfrekvencián azimpedancia zérus, tehát az áram végtelennagy lenne (l. a 3.34. ábrán).

A korábbiakban már láttuk, hogy aveszteséges tekercs soros R-L körrel képez-hető le, míg a kondenzátor veszteségei agyakorlatban elhanyagolhatóak. Ezértvizsgáljunk meg egy olyan párhuzamosveszteséges rezgőkört, amelyben a veszte-séget az induktivítással sorba kapcsoltellenállással vesszük figyelembe (35a ábra).A gyakorlatban így helyettesíthetők a veszteséges párhuzamos rezgőkörök.

A kapcsolás vektorábráját a b ábránrajzoltuk meg az alábbiak szerint: A közösU kapocsfeszültségből indultunk ki, ezt raj-zoltuk meg vízszintesen. A kondenzátorárama 900-kal siet a feszültséghez képest,míg az R-L ág árama késik, de 900-nálkisebb szöggel. A két áram fázishelyes ere-dője (a vektorok összege) adja meg az Ieredő áramot. A soros R-L ág részfeszült-ségeit az U feszültség merőleges kompo-nensekre történő felbontásával kapjuk meg.Ehhez Thales-kört kell emelnünk az Ufeszültségvektorra. A felbontást úgy kell

I

Z

ZI

ωωο

34. ábra

35. ábra

C∼

I

U IC

R

LIL

a) b)

••

I

U

UL

UR

IC

IL

0

IZ

Z

R

ωο ω

I

36. ábra


elvégezni, hogy az IL árammal azonos, illetve arra merőleges irányú komponenseket kapjunk.Az IL-lel azonos irányú feszültség az ellenállás feszültsége, míg az arra merőleges a tekercsé,mert a tekercsen a feszültség 900-kal siet az áramához képest.

Az eredő impedancia illetve áram frekvenciafüggése az előzőhöz hasonló, de lényegeseltérés, hogy kis frekvenciákon az ellenállás szerepe jelentős (36. ábra). Egyenfeszültségrekapcsolva az eredő ellenállás értéke R, így a kör árama is véges, U/R értékű lesz.


1. Hogyan helyettesíthetjük a párhuzamos L-C kapcsolást kis- és nagyfrekvenciákon?2. Mit értünk antirezonancia körfrekvencián?3. Hogyan jellemezhetjük a párhuzamos L-C kapcsolást antirezonancia frekvencián?4. Hogyan alakul a párhuzamos L-C kapcsolás impedanciája és árama a frekvenciafüggvényében?5. Rajzoljuk fel a párhuzamos R-L-C kapcsolás vektorábráját különböző körfrekvenciákesetén?6. Hogyan alakul a párhuzamos R-L-C kapcsolás impedanciája és árama a frekvenciafüggvényében?7. Hogyan helyettesítjük a veszteséges párhuzamos rezgőköröket?8. Rajzoljuk fel a veszteséges párhuzamos rezgőkör vektorábráját!9. Hogyan alakul a veszteséges párhuzamos rezgőkör impedanciájának és áramának értéke a

körfrekvencia függvényében?

6. Fázisjavítás

A váltakozó áramú körökben a fogyasztóra kapcsolt, időben szinuszosan változófeszültség hatására kialakuló áram is hasonló időbeli lefolyású lesz lineáris áramkörökben dea feszültség és az áram időfüggvényei között fáziseltérés lép fel, amit az impedanciafázisszöge (ϕ) határoz meg (l. a 4.1. pontban). Ezért a fogyasztó által felvett teljesítmény isidőben periodikusan változik, amit az átlagértékével jellemeztünk:

ϕcos⋅⋅= IUP ,és hatásos teljesítménynek neveztünk. Az összefüggésben U a fogyasztó kapcsain fellépőfeszültség, I a fogyasztó áramának effektív értéke, és ϕ a két mennyiség közötti fáziseltérés. A

cosϕ-t teljesítménytényezőnek nevezzük: SP

IUP

=⋅

=ϕcos .

A fogyasztók általában induktív jellegűek, azaz a hatásos teljesítmény mellett induktív meddőteljesítményt is vesznek fel. Ez sokszor szükségszerű (pl. egy villamos motornál ez hozza létrea motor működéséhez szükséges mágneses teret). A meddő teljesítmény felvétele következté-

37. ábra

∼U

Ie

IF ICC

F

FogyasztóVezetékTáplálásϕ

IC

Ie

IF

U

a) b)


ben megnő az eredő áram (lásd: S P Q U I= + = ⋅2 2 ), és a hatásos teljesítmény általigényeltnél nagyobb áram (IF) terheli a hálózatot (37a ábra). Ez a fogyasztóhoz vezetővezetéken többlet veszteséget és nagyobb feszültségesést hoz létre. A fázisjavítás célja, hogya meddő teljesítményt ott és olyan mértékben állítsuk elő, ahol és amilyen mértékben ezszükséges. Így a vezetéket kisebb árammal, lehetőleg csak a hatásos teljesítmény általigényelt árammal terheljük.

A fázisjavítás szokásos megvalósítását a 37b ábra mutatja, amikor az induktívfogyasztóval kondenzátort kapcsolunk párhuzamosan. Mivel a kondenzátor ellenütembentárol energiát a tekercshez képest, kompenzálja, mintegy megtermeli az induktív fogyasztómeddő teljesítményét.

Egy fogyasztó jellemzői: Un = 230 V; Pn = 2,4 kW; cos ϕF = 0,75.Mekkora kapacitású kondenzátorral biztosítható a cos ϕe = 1 érték?A számításokat a 38a ábra alapján végezhetjük el. A fogyasztó áramának nagysága a

megadott jellemzők alapján:

FFn IUP ϕcos⋅⋅= , amiből A 9,1375,0230

2400cos

=⋅

=⋅

=F

nF U

PI

ϕ.

A fázisjavítás után az eredő áram a fogyasztó áramának wattos összetevőjével egyezik meg:A 43,1075,09,13cos =⋅=⋅== FFFwe III ϕ

A kondenzátor árama az áramvektorok derékszögű háromszögéből:

( ) A 2,975,019,13cos1sin 22 =−⋅=−⋅=⋅== FFFFmC IIII ϕϕ .A kondenzátor kapacitása:

CUXU

I nC

nC ⋅⋅== ω , amiből F 127,4F

3142302,9 µ

ω=

⋅=

⋅=

n

CU

IC .

Mekkora kapacitású kondenzátorra van szükség, ha a fázisjavítást cos ϕe = 0,95 értékre kellelvégeznünk?

Az ehhez szükséges számításokat a 38b ábra alapján végezzük el. Az ábra alapján a ϕeszögű derékszögű háromszögre felírhatjuk:

Fw

CFme I

II −=ϕtg , amiből eFwFmC III ϕtg⋅−= .

( )328,0

95,0312,0

95,095,01

coscos1

cossin

tg22

==−

=−

==e

e

e

ee ϕ

ϕϕϕ

ϕ

38. ábra a) b)

ϕF

IC

Ie

IF

Uϕe

IC

IeIF

UϕF

IFm

IFw


A kondenzátor árama: A 77,5328,043,102,9tg =⋅−=⋅−= eFwFmC III ϕ

A kondenzátor kapacitása: F 79,9F314230

77,5 µω

=⋅

=⋅

=n

CU

IC

Az eredő áram nagysága: e

Fwe I

I=ϕcos , amiből A 98,10

95,043,10

cos===

e

Fwe

II

ϕ.

A kapott eredményeket összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy a második esetbenlényegesen kisebb értékű kapacitás is elegendő, ugyanakkor az eredő áram nem lesz lénye-gesen nagyobb. A gyakorlatban a fázisjavítást elegendő a második feltétel szerint teljesíteni(cosϕe=0,9..0,95).


1. Mit értünk fázisjavítás alatt?2. Hogyan biztosíthatjuk a megfelelő meddő teljesítményt?3. Hogyan határozhatjuk meg a szükséges kapacitás értékét cosϕe=1 esetén?4. Hogyan határozhatjuk meg a szükséges kapacitás értékét cosϕe=0,95 esetén?

7. A háromfázisú hálózatok

Az olyan szinuszos mennyiségekből felépített váltakozó áramú rendszert, amelyben aszinuszos mennyiségek frekvenciája egyenlő, és azok egymáshoz képest fázisban el vannaktolva, többfázisú rendszernek nevezzük. A többfázisú hálózatok olyan több gerjesztést(generátort) tartalmazó hálózatok, amelyekben a generátorok feszültsége azonos frekvenciájú,de eltérő fázishelyzetű. A többfázisú feszültség-rendszer szimmetrikus, ha a feszültségeknagysága azonos, és az egymást követő feszültségek közötti fáziskülönbség is azonos.

Elvben a többfázisú rendszer fázisainak száma tetszőleges lehet, de gyakorlatijelentősége csak a háromfázisú rendszernek van, ezért a továbbiakban részletesen csak ezzelfoglalkozunk. Ha homogén mágneses térben állandó szögsebességgel vezető keretet forga-tunk, akkor a keretben szinuszos váltakozó feszültség indukálódik. Ha három teljesen egyfor-ma, egymástól 120°-ra elforgatott és egymáshoz képeströgzített keretet forgatunk, akkor azok mindegyikében azonoscsúcsértékű és periódusú - de kölcsönösen 120°-os szöggeleltolt - feszültség keletkezik. Tehát a szimmetrikus három-fázisú feszültségrendszer fázisfeszültségei közötti fáziseltérés120o (2π/3 rad):

tUtu csR ωsin)( ⋅= )120sin()( ocsS tUtu −⋅= ω

)120sin()( ocsT tUtu +⋅= ω

A fázisfeszültségek komplex effektív értékeit az

23

213

2

jeaj

+−==π

forgató egységvektorral felírva:

UU R = UjUaU S ⋅−−=⋅= )23

21(2 UjUaUT ⋅+−=⋅= )

23

21(

A három feszültség összege 0)1( 2 =⋅++=++ UaaUUU TSR , ami a vektorábra alapján iskönnyen belátható (39. ábra).

2

UU

U

T

S

R

+j

-j

+a

a 1

39. ábra


A termelői oldalon R,S,T, a fogyasztói oldalon 1,2,3 indexeket használunk.Szimmetrikus háromfázisú rendszerről akkor beszélünk, ha mind a termelői, mind a

fogyasztói oldal szimmetrikus. Afogyasztói oldal szimmetriája aztjelenti, hogy az egyes fázisokimpedanciája azonos nagyságú ésjellegű (fázisszögük azonos):

ZZZZ === 321 .Csillag-csillag kapcsolású rend-szer (40. ábra) esetén a termelőiés a fogyasztói csillagpont közöttnincs poteciálkülönbség, A Millmann-tételt felírva:

( )0

3 '00'0000 =

+⋅⋅++

=+++

⋅+⋅+⋅=′ YY

YUUUYYYY

YUYUYUU TSRTSR .

Tehát a fogyasztói impedanciák feszültsége rendre megegyezik a generátorfázisfeszültségével. ezért a fogyasztói fázisfeszültségek:

TSR UUUUUU === 321 .

A fogyasztói fázisáramok:3

32

21

1 ZU

IZU

IZ

UI TSR ===

is szimmetrikus háromfázisú rendszert alkotnak.Tehát szimmetrikus rendszer esetén a három fogyasztói fázisáram összege nulla, ezért

a nullvezetőn nem folyik áram (I00’=0). Ebből következik, hogy szimmetrikus terhelésnélnullvezetőre nincs szükség, az energia továbbításához elegendő három vezető is.

A gyakorlatban alkalmazott kisfeszültségű energiaelosztóhálózat fázisfeszültsége 230 V.Így a termelői fázisfeszültségek komplex effektív értéke:

V 230=RU V 200115 jU S −−=

V 200115 jUT +−=Csillag-delta kapcsolás esetén a fogyasztói

fázisáramok meghatározásához ismerni kell a fogyasztóiimpedanciákra jutó feszültséget. A fogyasztóifázisfeszültség a rendszer vonalfeszültségével egyezik meg aháromszög kapcsolás miatt (l. a fázorábrát!). Kirchhoffhuroktörvénye alapján:

01 =−+ SR UUU , amiből V 200345V 230V)200115(1 jjUUU RS −−=−+−=−= .

Háromszög kapcsolású fogyasztó esetén a fogyasztói fázisfeszültség a rendszer vonalifeszültségével egyezik meg (l. a 41. ábrát). Kirchhoff huroktörvénye alapján:

V 200345V 230V)200115(1 jjUUU RS −−=−−−=−= .V 400V )200115(V)200115(2 jjjUUU ST =−−−+−=−=

V 200345V)200115(-V 2303 jjUUU TR −=+−=−= .

A háromfázisú rendszerek névleges feszültsége alatt mindig a vonali feszültségetértjük. Pl. az U=3x400 V olyan szimmetrikus (kisfeszültségű) hálózatot jelent, amelynekmindhárom vonali feszültsége 400 V.

U1

U3

U2

UT

UR

US

Z1

U00’

I1

I2

I3 I00’

Z2

Z3

Z00’

40. ábra

U

U

U

T

S

R

U1

U2

U3

+j

-j 41. ábra


Az eredő hatásos teljesítmény egy fázis teljesítményének háromszorosa:ϕcos33 ⋅⋅⋅=⋅= fffe IUPP

A vonaljellemzőkkel felírva csillagkapcsolású fogyasztó esetén: 3V

fU

U = és Vf II = ,

tehát ϕϕϕ cos3cos3

3cos3 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= VVVV

ffe IUIU

IUP .

A háromszög kapcsolású fogyasztó esetén: Vf UU = és 3

Vf

II = .

ϕϕϕ cos3cos3

3cos3 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= VVV

Vffe IUI

UIUP .

Ez alapján a vonaljellemzők ismeretében - a fogyasztó kapcsolási módjától függetlenül -közvetlenül számolhatjuk a szimmetrikus háromfázisú fogyasztó teljesítményét.Tehát a háromfázisú fogyasztó teljesítményei:

VVe

VVe

VVe

IUS

IUQ

IUP

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

3

sin3

cos3

ϕ

ϕ

ahol ϕ az impedancia fázisszöge!

A csillag illetve háromszög kapcsolású fogyasztók teljesítményének arányáról akövetkezőket állapíthatjuk meg: Ha az ugyanolyan fázisimpedanciákból álló, szimmetrikusfogyasztót csillagból háromszögbe kapcsoljuk, akkor a fogyasztói fázisimpedanciákra avonali feszültség jut. Ezért áramuk 3 -szor nagyobb lesz. Mivel a fogyasztó teljesítményei arajta átfolyó áram négyzetével arányosak, ez azt jelenti, hogy a fogyasztó által felvettteljesítmény háromszor nagyobb lesz háromszög kapcsolású fogyasztó esetén.

A háromfázisú rendszer aszimmetrikus, ha akár a termelői, akár a fogyasztói oldalonlép fel aszimmetria. A termelő aszimmetrikus, ha az amplitúdó- vagy a fázisszög-feltételközül legalább az egyik nem teljesül. A fogyasztó aszimmetrikus, ha az impedanciáknagysága vagy fázisszöge különböző.

Ilyenkor az egyes fázisok mennyiségei között sem írható fel általános érvényűkapcsolat. Minden jellemzőt külön-külön kell meghatározni a már ismert számítási szabályok,hálózatszámítási tételek alkalmazásával.


1. Milyen hálózatokat tekintünk többfázisú hálózatoknak?2. Hogyan jellemezhető a szimmetrikus többfázisú feszültségrendszer?3. Mikor tekinthető egy háromfázisú rendszer szimmetrikusnak?4. Milyen mennyiségi kapcsolat van a szimmetrikus rendszer fázis- és vonalfeszültségeiközött?5. Mit értünk csillag illetve háromszög kapcsolás alatt?6. Milyen kapcsolat van a fázis- és vonaláramok között szimmetrikus csillag illetveháromszög kapcsolású fogyasztó esetén?7. Hogyan határozható meg a szimmetrikus fogyasztó teljesítménye a vonaljellemzőkkel?8. Mikor beszélhetünk aszimmetrikus háromfázisú hálózatról?9. Hogyan számolhatunk aszimmetrikus háromfázisú hálózatokban?

A váltakozó áramú hálózatok - atw.hu

Documents

Transcript of A váltakozó áramú hálózatok - atw.hu