A. Stefanel - M - L'energia meccanica 1 Lenergia meccanica.
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A. Stefanel - M - L'energia meccanica
1
L’energia meccanica
A. Stefanel - M - L'energia meccanica
2
Lavoro di una forza
R
F F
L = F·R= F R cos
Equazione dimensionale
[lavoro] = [forza][lunghezza] = [massa][lunghezza]2[tempo]-2= [massa][lunghezza]2[tempo]-2 = = [massa][velocità]2
u.m.: joule (simbolo J)
un juole è il lavoro compiuto da una forza costante di 1 N nello spostare il suo punto di applicazione di 1 m nella direzione della forza.
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3
Traiettoria
x
y
R1
F1
L1 = F1· R1 = F1 R1 cos 1
1
A. Stefanel - M - L'energia meccanica
4
Traiettoria
x
y
Ri
Fi
i
L = L1 + L2 +……+ Li +….. Ln = i Li
Li= Fi· Ri = Fi Ri cos i
L = i Fi· Ri
L = i Fi Ri cos i
n
Li 0 dL
n
Li 0
L = F· dR
L = F dR cos
A. Stefanel - M - L'energia meccanica
5
F
x
x
y
z
x
Fx
Fxx
x0 x1x1 -x0
Fx
A. Stefanel - M - L'energia meccanica
6
F
x
x
y
z
xi
Fx
Fxixi L = i Fxi xi
n --
x 0
xnx1
L = Fx · dxi
x0 x1x1 -x0
A. Stefanel - M - L'energia meccanica
7
Fx
x
x
y
z
L
Interpretazione geometrica del lavoro
L = Fx · dxi
x0 x1x1 -x0
x0 x1x1 -x0
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Teorema dell’energia cinetica
L = i Fi· Ri L = i mai· Ri L = m i (vi/t) · Ri
L = m i (vi/t) · vi t L = m i vi · vi
L = m i vi · vi = m i (vix · vix + viy · viy + viz · viz)
Se n --, x 0
vx
vxvxo vxf
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Teorema dell’energia cinetica
L = i Fi· Ri L = i mai· Ri L = m i (vi/t) · Ri
L = m i (vi/t) · vi t L = m i vi · vi
L = m i vi · vi = m i (vix · vix + viy · viy + viz · viz)
L = ½ m (vxf + vx0) (vx1 – vx0) + ½ m (vyf + vy0) (vyf – vy0)+ ½ m (vzf + vz0) (vzf – vz0)=
=½ m {[(vxf)2 – (vx0) 2] + [(vyf)2 – (vy0) 2] + [(vzf)2 – (vz0) 2]}=
=½ m {[(vxf)2 +(vyf)2 +(vzf)2 ] – [(vx0)2 + (vy0)2 + (vz0) 2]}=
=½ m {(vf)2 – (v0)2}
L = ½ m (vf)2 – ½ m (v0)2
Se n --, x 0
vx
vxvxo vxf
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Teorema dell’energia cinetica
L = F· dR = m a· dR = t0tf m (dv/dt)· v dt
= t0tf m dv· v = t0
tf m (vx dvx + vy dvy + vz dvz) = ½ m [v 2(tf) - v 2(to)]
x
y
z
dR
F
L = ½ m (vf)2 – ½ m (v0)2
Ha validità generale (per qualsiasi tipo di forza) nella meccanica del punto materiale.
Energia cinetica: Ec = ½ m v2u.m.: J
L = Ecf – Ec0= Ec
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Teorema dell’energia cinetica
L = K (i Fi· Ri)
Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ
Somma su K = A, B,…..ZSomma dei contributi relativi
a ciascuna massa
Somma sugli spostamenti Ri cui è soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro della risultante delle forze agenti sulla massa K-esima).
L = K (1/2 mK vKf2
- 1/2 mK vKo2)
L = K (1/2 mK vKf2) - K (1/2 mK vKo
2)
Ec = K (1/2 mK vK2) L = Ecf – Ec0= Ec
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Energia cinetica di un sistema
Ec = K (1/2 mK vK2)
x
y
zMB
MK
MZMA
G
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Energia cinetica di un sistema
Ec = K (1/2 mK VK2)
x
y
z
MK
G
RK
rK
RG
RK = RG + rK
RK RG ri
t t tVK = ------ = ----- + -----
VK = vG + vK
Velocità del centro di massa
Velocità della massa i-esimarispetto a G
VK2 = (VK ·VK ) = (vG+ vK) · (vG+ vK) = vG
2 + vK
2 +2 (vK · vG)
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Energia cinetica di un sistema
Ec = K (1/2 mK VK2)
VK2 = vG
2 + vK
2 +2 (vK · vG)
x
y
z MB
MK
MZMA
G
Ec = K (1/2 mK [vG2
+ vK2
+2 (vK · vG)]=
= K (1/2 mK vG2) + K (1/2 mK vK
2)+K mK (vK · vG)]=
= 1/2 ( K mK) vG2
+ K (1/2 mK vK2)+ ( K mK vK) · vG] =
= 1/2 ( K mK) vG2
+ K (1/2 mK vK2)
Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK
2)
L’energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell’energia cinetica del centro di massa + l’energia cinetica rispetto al centro di massa
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Energia cinetica di un sistema
Ec = K (1/2 mK VK2)
VK2 = vG
2 + vK
2 +2 (vK · vG)
x
y
z MB
MK
MZMA
G
Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK
2)
L’energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell’energia cinetica del centro di massa + l’energia cinetica rispetto al centro di massa.
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Energia cinetica di un corpo rigido.
Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ, per i quali non cambia la distanza tra di essi.
Energia cinetica di rotazione rispetto a un asse che passa per il centro di massa.
L’energia cinetica è solo energia cinetica di rotazione.
Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK
2)
= K (1/2 mK vK2)
Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocità angolare v = r.
r v
R
= 1/2 (K mK rK2)
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Energia cinetica di un corpo rigido.
Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ, per i quali non cambia la distanza tra di essi.
Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocità angolare v = r.
r v
Ec = 1/2 (K mK rK2)2
Ec = 1/2 I 2
I = K mK rK2
Momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione
È una grandezza che caratterizza come è distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse.
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Momenti di inerzia rispetto ad assi di simmetria di alcuni corpi rigidi.
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Teorema di Huygens- Steiner
A1AG
d
Corpo rigido di massa M
Momento di inerzia IG rispetto all’asse AG passante per il baricentro del sistema.
IA1 = IG + M d2
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Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso
(es un cilindro che rotola su un piano inclinato).
Ec = ½ M vG2 + ½ I 2
vG: velocità del centro di massa
M : massa del sistema
I : momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro)
: velocità angolare di rotazione intorno all’asse (in generale non è costante)
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RV = RP
V: Cilindro vuoto P: Cilindro pieno
MV = MP
hv hP
hV = hP
D1: Quale delle due arriva prima?
D2: per quale delle due è maggiore la velocità del centro di massa?
R: Il lavoro della forza peso è in entrambi i casi pari a Mgh.
La variazione di energia cinetica è la stessa nei due casi.
Dato che IV >IC; la frazione di energia cinetica rotazionale è maggiore per V arriva prima P, dato che deve essere maggiore la frazione di energia cinetica associata al moto traslatorio del baricentro.
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RV = RP = R
V: Cilindro vuoto P: Cilindro pieno
MV = MP =M
hv hP
hV = hP = h
Mgh = ½ MVGV2 + ½ M R2 v
2
VGV = VR(Condizione di rotolamento)
Mgh = ½ MVGV2 + ½ M VGV
2= MVGV
M VGV2 =Mgh
Mgh = ½ MVGP2 + 1/4 M R2 P
2
Mgh = ½ MVGP2 + 1/4 M VGP
2= 3/4VGP
3/4M VGP2 =Mgh
I = MR2I = ½ MR2
VGP= PR
VGV2 =gh
VGV2 =4/3 ghgh = VGV
2 <
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m
m
mg
h
L = mgh
Ec = ½ I 2
Disco di raggio r e massa M
I = ½ M r2
Dal teorema dell’energia cinetica:
L = Ec
mgh = ½ I 2 = ¼ Mr2 2
2 = 4 (mgh)/(Mr2)
m = 0,1 kg
M = 2 kg
h = 1 m
r = 0,1 m
= 14,0 rad s-1
= 2,2 Hz
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m
m
mg
h
L =- Fattrito N2 r’
Ec =0 -½ I 2 = -½ I 2
r’: raggio del pignone
Dal teorema dell’energia cinetica:
L = Ec
- Fattrito N2 r’ = -½ I 2 = -¼ Mr2 2
Il disco, una volta che il filo si è staccato, ruota per N giri e poi si ferma
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Principio di conservazione dell’energia meccanica
mg
A
B
L = i mg hi = mg i hi = mg hAB
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Principio di conservazione dell’energia meccanica
mg
B
A
B
L = i mg li cos i = mg i hi = mg hAB 1
l1
li cos i = hi
Il lavoro effettuato dalla forza peso è indipendente dal percorso seguito dal corpo
Velocità finali uguali
Durata della discesa diversa
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dd cos
L = Ec Velocità massima del pendolo
mg (d-dcos) = ½ m vmax2
vmax2 = 1/ [2gd(1-cos)]
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Il lavoro della forza elastica
F = -kx
x0 x
Posizione a riposo della molla
0 x
F
Li = Fi·xi = -k xi xi
L = i Li = i -k xi xi= -k i xi xi
L = -(k/2) x2
L = dL = (-k x) dx= -k x dx = -(k/2) x2 Anche in questo caso il lavoro è indioendente dal percorso
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Energia potenziale
Forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punti iniziale e finale dello spostamento.
Forze conservative (forza peso e forza gravitazionale in generale, forza elastica…)
L = - (Uf – Ui)
Il lavoro si può esprimere come meno la differenza tra l’energia potenziale del sistema nella posizione finale e l’energia potenziale nella posizione iniziale.
Ui = mghi Uf = mghf
Ui = 1/2 k xi2 Ui = 1/2 k xf
2
Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo
En. Pot. gravitazionale
En. Pot. elastica
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Principio di conservazione dell’energia meccanica
Dal teorema dell’energia cinetica : L = Ecf – Eci
Nel caso in cui si abbiano forze conservative:
L = - (Uf – Ui)
- (Uf – Ui) = Ecf – Eci
Eci + Ui = Ecf + Uf
E = Ec + U = costante
Punto materiale: E = U + ½ M v2
Corpo rigido in rotazione intorno a un asse baricentrico che trasla:
E = U + ½ M vG2 + ½ I 2
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Applicazione della conservazione dell’energia
x0 x
Posizione a riposo della molla
0 x
F
Massa dell’oscillatore M
Posizione iniziale xo
Velocità iniziale 0 m/s
Velocità massima dell’oscillatore (per x =0)
Ei = Ui + Ec i = 1/2 k xo2
Ef = Uf + Ecf = 1/2 M vmax2
1/2 M vmax2 = 1/2 k xo
2
vmax2 = k xo
2/M vmax = k /M xo