A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

14
A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat ¯ux Xu Wang * , Ya-Peng Shen Department of Engineering Mechanics, Xi'an Jiaotong University, Xi'an, Shannxi Province, People's Republic of China 710049 Received 13 June 1999; in revised form 12 March 2000 Abstract An analytical solution to the problem of an elliptic piezoelectric inclusion embedded in an in®nite matrix with dierent thermal/elastic/electric properties under a uniform heat ¯ow at in®nity is presented by employing the complex variable method in assistance with the techniques of conformal mapping and analytical continuation. First, the holo- morphic functions characterizing the thermal/elastic/electrical ®elds are obtained, then expressions are derived for the heat ¯ow, stress and electric displacement in the inclusion, along the interface and in the matrix. It is shown that a uniform heat ¯ow at in®nity induces a linear stress and electric displacement distribution within the inclusion. The ®nal numerical example demonstrates that continuity conditions at the interface are indeed satis®ed and shows the eects of material mismatch between the two phases. Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Piezothermoelasticity; Elliptical inclusion; Heat ¯ow; Holomorphic function; Analytic continuation 1. Introduction The recently surged considerable attention to piezoelectric materials stems from their potential appli- cations in intelligent and adaptive structure systems. The coupling phenomenon between thermal/elastic/ electric ®elds provides a mechanism of sensing the temperature and mechanical disturbance from the measurement of induced electric potential and of changing mechanical response via the applied electric ®eld. The fundamental theoretical research which addressed the non-isothermal behavior of piezoelectric media include the works of Tiersten 1971) who derived non-linear equations for thermoelectroelasticity and Chandrasekharaiah 1988) who obtained the formulation of generalized linear piezothermoelasticity. Similar to the thermoelastic problem, the most often adopted model in the analysis of the thermal/elastic/ electric behavior of a heterogeneous material is an in®nite piezothermoelastic matrix containing an in- clusion with dierent piezothermoelastic properties. Although the problem of a piezoelectric inclusion under mechanical and electrical loadings has been studied thoroughly see for example the works of Meguid and Zhong 1997)), the similar problem under thermal loading conditions has rarely been studied in the International Journal of Solids and Structures 38 2001) 2503±2516 www.elsevier.com/locate/ijsolstr * Corresponding author. Fax: +86-29-323-7910. E-mail address: [email protected] X. Wang). 0020-7683/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII:S0020-768300)00123-2

Transcript of A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

Page 1: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

� �������� � �� ������� �������� ��� �� ������ ������� ����������� ��� ���

�� ���� �� ������� ���

���������� ��� ���� �� ������ ��� � ��� � ���� �� ���� ��� � ���� ������ ��� ���� ������� ������ � � �� !"##$%

�� �� �� !" #��� !$$$% �� �� ���� ��� !& '�� &(((

��������

�� ����)�� �� �������� �� �� ������� � �� ������� �������� ��� �� ������ �������� �� �� ��*���� ������ +��

��,����� ������-������ -��� ��� ���������� ����� � ������ ��� ��+ �� ��*���) �� ��������� �) �����)��� �� ������

������� ����� �� �������� � +�� �� �� ��.��� � ������� ������� ��� ����)�� �� �����������/ 0����� �� ����

����� �� ����� ��� �������� �� ������-������ -��� ��� �� *���� ��� ��������� ��� ����������� ��� ���� �� �� ��

��� ��+� ������ ��� ��� ��� ������ ����� �� �� �� ������� ����� �� ������ � ��� �� �� ������/ 1� �� ��+� ��� �

������ ��� ��+ �� ��*���) ���� �� � ������ ������ ��� ��� ��� ������ ����� ������������ +���� �� �� ������/ 2� *���

������ �� ������� ������������ ��� ��������) ��������� �� �� ������ � ��� ������ �����*�� ��� ��+� �� �,� �� �

�������� ������ ���+��� �� �+� �����/ � &((! 3��� ��� � ��� � 4��/ ��� ����� ����� ��/

&��'�(�) ���������������� ��)% 3������ �� �� ������% 5��� ��+% 5�������� �� ����% ����)�� �����������

� ���� ������

2� �� ����) ������ ����������� ��������� �� �������� ��� ��������� ����� ��� ���� ��������� ������ ������ �� ����������� ��� ������ � ���� ���� �)�����/ 2� ������� ��������� ���+��� ������-������ -��� ��� *���� ��� ���� � �� ����� � ������� �� ����������� ��� �� ��� �� ��������� � ��� ������������� � ���� �� ��� ��� ��������� ��� � ������ �� ��� �� �������� �� �� ������� ��� ��� *���/ 2� ���������� ������� �� ������ +� ��������� �� ������������� ��� ��� � �������� ��� ����� �� ���� �� +��6� � 2������� 7!$8!9 +� ���� �� ���������� �.������� �� �������� ��������� ��)��� :�������6����� 7!$;;9 +� �������� �� ���������� � ����������� ������ ���������������� ��)/

������� �� �� ����������� �������� �� ���� ���� ������� ����� �� �� ����)��� � �� ������-������ -��� ��� ��� ��� � � ������������ �������� �� �� ��*���� ���������������� ������ ��������� �� ��� ������ +�� ��,����� ���������������� ����������/ ������ �� ������� � � �������� ��� �� ����������� �� ��� �� ��� ��� ��� �� �������� �� ���� ������� �������) 7��� �� ������� �� +��6� � '�������� <��� 7!$$899� �� ������� ������� ����� ������ ������� ��������� �� �����) ���� ������� �� ��

1������������ #������ � ������ ��� ���� ����� "; 7&((!9 &=(">&=!?

+++/���� ���/ ��-�� ���-�@������

� :������������ �����/ 0��A B;?�&$�"&"�8$!(/

�*�� � �((����) �$8C=(!D������/�@��/���/ � 7�/ ����9/

((&(�8?;"-(!-E � ��� ���� ������ � &((! 3��� ��� � ��� � 4��/ ��� ����� ����� ��/

�11A �((&(�8?;" 7(( 9((!&"�&

Page 2: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

���������� ��� �� �� �� ������ ��������)/ ��� � ���� ����� ���� ������������ ���+��� �� �� �������.������� � �� ��� �� *��� ��� ��� ��� *���� �� ������������� � ����������� �� ������ ������� ��)�� ���� �� � �� �� ����) � �� ���������������� �� ������ �������/

'������ ��� :����� 7!$=(9 ��������� �� ������� ������ �� ������ ����� � ������ ����������� ����/2��� ������ ��+�� ��� � ������ ����������� ���� ������� �� � ������ ������ *��� +���� �� ��� ������/ F����� ��� '����� 7!$$=9 �������� �� �������� �� �� ������� � �� ������� ������ �� ������ ������ ������ ��� ��+ �� ��*���)/ 2�) ��+�� ��� � ������ ��� ��+ ���� �� � ������ ������ ������������+���� �� �� ������/

2��� ����� �� ������ �������� �� ��G ������ �� �� ����) � ���������������� �� ������ ������� ����� ���� ���������� ������ ��� �� ������� ���+��� ������-��� ��� -������ *����/ 1� ��� ������ +� ���������� �� ������� � �� ������� ���������������� �� ������ ����� ��������� ���� ��� ������� ��� ��� ��� ����������� *���� �) ����� � ������ ������� �����/ 1� �� ������ ��������� �������������� ���� �� ��� ������ �� ��� ������� ������� �� ��������� �� ����� � ��� �������� �� ����� +����� ���������������� ������� �� ��������� �� ����� � � �+������������� �������� �� ���� � ���/1� �� ����)���� *���� �� ���� � �� �������� �� ����� ��*��� ������ �� �� ������ ��� �������� ����� ������ ������ 7������� �� �������9 � �� �)�� �� ����� 7+������9 �� ��������) ������ �� �� �������������� � � ���� �� �� � ������ ����� 7�������9� ��� �� �������� �� ����� �� �� ������ ��*��� ���� ��+ ����� ��� ����)�� ���) �������� �� �� ������ ������ � �� ���� �� ��� ��� �� ����)�� �� �� ������� �� ���� � ���� �� �� �� ������ ��� ������ �� �� ���������� ����� �� ��������) ��������� �������� ��� ��� ��� �� ��� �� .��������� �� �� ������ �/ 2� �������� ������ ��+� ��� � ������ �����+ �� ��*���) ���� �� � ������ ������ ��� ��� ��� ������������ +���� �� �� ������� +� �� ������� �� �� ��� � �� ������ �� ������ �� ����� ����������� ��)/

� ������� ��������� ������������ ��� ��� ������������ ���������� �� �������� ��� � �� �� ������� ���� �����

��� ������

,-"- ����� ����� �� � ��� ����������� .��(

H� ������ *��� �.������

���� � ���� � (� �!�2� ��������� � �.������

�� � ����� �� � ����� � �&������������� 3./ 7&9 ���� 3./ 7!9 )�����

�&� � (� �"�0��� 3./ 7"9� �� �� �� ��+� ���

� � &1����� �� � �� ���� �C������������� 3./ 7C9 ���� 3./ 7&9� +� �� ���� � ��

�� � �&� 1������ �� � �&��������� �=�0��� 3./ 7=9� +� �� ��� �� ����+��� �.������A

�� � ��� � �&������� �?�1������ ��� � ��������� �� ���� � +� �����*�� �� ����+��� ������������A

�� � ��� �� � ���� � �8�

&=(C �- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9

Page 3: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

0��� 3.�/ 7=9 ��� 789� �� �� �� ��+� ���

� � �&�������� �;�0��� 3.�/ 7C9 ��� 7;9� +� �� ������ �� �������) ��������� �� �� ����������� *���

� � &1������� � �&��������

��$�

,-,- ����� ����� ��� � ��� ������ ��� ��( ������ � .��(�

H� ������ *��� �.�������

����� � ����� � (� ���� � ���� � (� �!(�2� ��������� � �.�������

���

��

� �� �CC !=

!= ��!!

� ������

� �� (

�!

� �� � �

�����

� �� ��� �!!�

���

��

� �� �CC !=

!= ��!!

� ������

� �� (

�!

� �� � �

�����

� �� ��� �!&�

+��� ' �� �� ����������� ������ ����� ��� � �� �� ��� ��� ���������/������������ 3.�/ 7!!9 ��� 7!&9 ���� 3./ 7!(9� +� �� ���

��&�&�

� �� ����� ���� � � (� �!"�

4�� �� ��� � � ����� ���� �������� �� 3./ 7!"9 �� ����+�

� �� !

��������� �!C�

������������ 3./ 7!C9 ���� 3./ 7!"9� � �� �� �������� �� ��

� � �!C��!�!� ���� �!=�

2�� �� ������� �������� �� 3./ 7!"9 ��

� �

� �� &1� � ���

�� �������

�� �!?�

������������ 3./ 7!?9 ���� 3.�/ 7!!9 ��� 7!&9� +� �� ������

���

��

� �� &��� � ����

�� ����� � ��������

�� ����!� ������� �!8�

���

��

� �� &� 1� � ����

�� ����� � ��������

�� � 1��!� ������� �!;�

0��� 3.�/ 7!89 ��� 7!;9� +� ���� � ��

��� � ����

�� � ���

� �� &� � ����

�� ������ � ��������

�� ��!� ������� �!$�

1������ ��� � ��������� � ��� +� �����*�� �� ����+��� ������������

�- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9 &=(=

Page 4: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

���

��

� �� ���

���

��

� �� ���� � �&(�

0��� 3.�/ 7!89 ��� 7!;9� +� �� ������

� � &��� � ����

� ��������� ����!� ��

�������� �&!�

0��� 3.�/ 7!?9 ��� 7&!9� +� ���� � �� �� �������) ��������� �� �� �� ��� �� ��� ��� ��� *���� ������+�A

� &1� � ��� � �������� �

� � &��� � ��� � �������� �

� ����!� �� � �������

� �&&�

� ��� ������������ ���������� �� �������� ��� � �� ��� ���������� ��������� �� �� ��� ������

3-"- ��������� ��� ������

:������� �� ��*���� ���������������� ������ ��������� �� ������� �� ������ +�� ��,����� ������-�� ��� ��-��� ��� ���������� ����� ������ ��� ��+ �� ��*���)/ 2� ������� �� ������� +��� ��@�� �������� ��������� ��� �! ��� �& �� �������� +�� ��� ��@�� ��� ����� ���� ����� �� � ��� � ����� ����� �� ��)7�� �� ��������) �������� �� ������� �� ������� �� �� ��� �� ��������) +����� ��) ����� ��G ���)9/ 2��� ������ ��� �� ������ ��� ������� �� �� ������� ���� ��) ����� �� ������ � �� � ������ � ������������% ��� ���� �� ���� � ���� � ������ ���� � ���+��� �� �+� ���������/ �� ��*���)� �� ������ �����@� ��� �� � ������ ��� ��+ �� � ���� ���� � C=� +�� �� � ����/ 70��/ !9 1� �� �� ��+� �� ������+��� ����)��� ��� ���) ����� ��� ���� ���� �� �� ��� ���� +��� �� ������ ��� ��� ��� ������ ����� ������������ ���� �� ��*���)/ 2� ������� � ����� �) �� �� ������ ��� �� ������ ��� ������� �� ! ��� &������ �� ��)% �� ������ ���������� ��*��� �� ��� ���� ����� �� ������������ ���� �����/

3-,- :���� � ��� ������ ����� ��� � ��� ���� � �� �.� �� ��( ��� ������� � ��� ������ ����� ����� ' �� � ��� ����� �

1 �� ������ ��� ��� ��� ������ ����� ��� �� �� ���� �� ��*���)� ��� �� ��) ����� ���� �� ���������������� �&��� ��� �&��� � � �� ����+��� ���A

0��/ !/ �� ������� ������������� ��� �� ������ �������� �� �� ��������� ������/

&=(? �- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9

Page 5: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

�&��� � � �(&�&

�!� ���� ��!���� �&"�

�&��� � ��!& �&�(C�&

�& � � �� �� ����� �&C�

+��� �( ���������� �� �������� � � ������ ��� ��+ �� �� � �� +��� �� � ���� ����� �� ������� � � ������� ���� �� ���� �� � �� �&��� �� ��� �� �� ������ ���+��� �� ��� ������� ��G ����� �� �� ��� ������ ��� �� ������/

1������ ��� �� ����+��� ������� ������� �� ����A

� � ��� ���! ��

� �! � �&

&� � �! � �&

&

� �&=�

�� ������� �� ���� ��������� �) 3./ 7&=9 �� ��������) ��� �� ������ ������� �� ������� +��� ��������� ��� �! ��� �& � + ����� ���� �� �������� ������ � � ���� �� �� � � �����/

2��� +�� ��� ������ �� ��*���) 7��� 9

�&��� � �!� ���� ����!�� �&?�

�&��� � ��& � � �� �� ����� �&8�1� 3.�/ 7&?9 ��� 7&89�

� � �(�&�&

� � � !

&��!

& �&��

�������� �� ������ ���������� +���� �� �� ������ �� � � �� ����+��� ����A

�!��� � ��� �!��� � ��& �&;��� �� ��� � �.������� � � � ��� � � �& ��� �� �� ����������/

2�� �� �� ������ � ��� � !� +� �� ���

�!��� � ��� � ����!� �!��� � ��&�& � ��&��& � �� �&$�

3-3- ;�� ����������� .��(� � ��� ����� � ��( ��� ���� �

1������ ��� �� ����+��� ����)�� �� �����������A

�&��� � ��&�!��� ���� � !�� �"(��� ����������� ��������) �������� ����� �� ������ � ��� � ! �� �� ��������� ��

��& � ��& � ����� ���� � ����� �����!� �"!�0��� �� ������@ ������� +� �� ��� �� ���������� �� �&��� �� ����+�A

�&��� � ����� ����� �!� ���� �!� ����! ��� � !����� ������! � �!� ���� �!� ����! ��� � !�

��"&�

2� ������ ��� ��+ ��������) �������� ����� �� ������ � ��� � ! �� �� ��������� ��

��& � ��& � �!�&

����

� ����� � ����� �����!�� �""�

��������)� +� �� ��� ������ ���������� �� �&��� ��� �� ������@ ������

�- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9 &=(8

Page 6: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

�&��� ��!�&���� ������ �!� ���� �!� ����! ��� � !�

�!�&���� ������! � �!� ���� �!� ����! ��� � !�

��"C�

2� �+� ����������� � �&��� �������� ��� �� ����������� ��������) �������� ��� �� ������ �����+ ��������) �������� ���� �� �� ���� ���� ��� �) �������� 3.�/ 7"&9 ��� 7"C9� +� �� ������ ������+��� �.������A

�!�&� !

� � �!

�&� !

� �

�!�&� !

� � �!

�&� !

� �

��

�� �

��

� �� !� �

!� �

� �&� �"=�

0��� �� ��� � �.������� +� �� ���� � ��

���

� �� !

�!�&� !

� &

�& � �!�&� !

� &

�&

�!�&� !

� � � �!

�&� !

� �

� �!�&� !

� � �!

�&� !

� �

��

�� !� �

!� �

� �&� �"?�

0��� 7"&9 ��� 7"C9� +� �� ���

�&��� � �!�� �&��!� �"8�+���

�! � �!� ���

�&��&

� �� � ��

�� �

� ����

� �� ( !

! (

� ��!��!

� ��

2� �+� �������� �� ����� �!��� ��� �&��� +� ��� ������ �� ����������� *���� �� �� �� �������� +��� �� �� �� ������ � � ���� ��� �� ��������)/

3-$- ;�� ������ ��� ��( ������ � .��(� � ��� ����� � ��( ���� �

1������ ��� �� ����+��� ����)�� �� �����������A

�&��� � ��&�!��� ���� � !�� �";��� ������ ����� ��������) ��� ��� ��� ��������� ��������) ��������� ����� �� ������ � ��� � ! �� ����������� �� ����+�A

� �& � � �

& � ���&�

� ��& � ���!��� �!����� �&�!�� ��&��&���& � ���&

�� ��& � ���!��� �!����

� �&�&�� ��&��!����&� �"$�

2� ���������� � �&��� �� ��� ��*������ ������ ���� � !� �� �� �������� ����� �� ������@ ������

�&��� � ���& � ���& � ��!�� ��!������ ��&��!�� �&�&� ��& � ����& � ��& � �� ���� �C(��� �� ��� � ����������� � � �& �� �� �� ����������/

2� ��� ���� ��������) ��� ������ ��� ��� ������ ����� ��������) ��������� ����� �� ������ � ��� � ! �� �� ��������� �� ����+�A

� �& � � �

& � ���& � ���& � &�� �� �� �C!�+���

&=(; �- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9

Page 7: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

� � ��!& �! ��&

�� ���& � ��!�� ��!�����

�� ��&�&�� ��&��!�� � ��!

& �!&

�!�

� �� ��&

&� �!� �� ���

&

&

� ��!& �&&

�!�

� �� �&�&

� �!� �� ��!�&

�� �C&�

� � ��!& �&C

�!�

� ����&�� �!�� � �!� �����&�� ��!���� �C"�

������ ���������� � �&��� �� ��� ��*������ ������ ���� � !� �� �� ��������) �������� ����� ��������@ ������

�&��� � ���& � ����& � ��& � �� �� �� �CC�2� �+� ����������� � �&��� �������� ��� �� ��� � �+� ��,����� 6���� � ��������) ��������� �� ��

������ � ����� �� �� ���� ���/ �� �� ���� � �� �� ����+��� �.������� ����� ��������� � 3.�/ 7C(9��� 7CC9A

� � � � �C=�

��& � ���& � ��!�� ��!������ ��&��!�� �&�&�� �� � �� ��� �C?�I) ������������ 3./ 7C&9 ���� 3./ 7C?9 ��� ���� ���� �������������� +� �� ������

�� � ��!& �!��& � �� � ��!

& �!��&��� � ��!

& �!��& �� � ��!& �!��&

� ����

� �

� ���!& �! � ���!��� ��!

&�!�&

C�!� �� ���!

& �! � ����!��� ��!&

�!�&

C�!� ��

���!& �! � ���!��� ��!

&�!�&

C�!� �� ���!

& �! � ����!��� ��!&

�!�&

C�!� ��

� ����

� �

� � ��!&

�&�C

�!� �� (

( � ��!&

�&�C

�!� ��

� ��&��&

� �

� ( � &��&�� ��!&

�&�C

�!� ���&�&�� ��!

&�&�C

�!� �� (

� ��!��!

� �� &�

&�

� ��

�C8�

1������ ��� �� ����������� �� �� �!� �& ��� < ���� �� ��� � �.������� ��� ���� ���� ������� ��� ���� ��������� ����������� �� ��� � �.������ �� �� *����) ������*�� �� �� ����+��� ���A

��& � �!��& ���& � �!��&���& � �!��& ��& � �!��&

� ����

� �� �! � �&�

�! � �&�

� �

�!�&� !

� &

�& � �!�&� !

� &

�&

��&&��� ���

�&&��� ���

� �� �C;�

+���

�! � �!�&

�� !

�� �& � &�!���& � �!

�&

�� !

�� �&� � �!���& � �!�"

��

�& � �!�&

�� !

�� �& � &�&�

�!! �!��&�� �!

�&

�� !

�� �&� � �!��" � �!�&�

��

�- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9 &=($

Page 8: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

2� �+� �������� �� ���� � ���� �!��� ��� �&��� +� ��� ������ �� �� ��� �� ��� ��� ��� *���� �� �� �� ������ ��� ������ � � ��+ ���� ��������/

� ������� �� ���� �� ����� !���������

$-"- ;�� ( ��� ��� � ���� ='� ������ ��( ������ � ( ���������� ' �� � ��� ����� �

2� ��� ��+ ������������ +���� �� �� ������ �� �� �������� ��� 3./ 7?9 ��

�� � ��� � �&�!�� �C$�0��� �� ��� � �.������� �� �� �� ��+� ��� �� ��� ��+ �� ������ +���� �� �� ������/2� ������������ � ������ ��� ��� ��� ������ ����� +���� �� �� ������ �� �� �������� ��� 3./ 7!$9 ��

��� � ����

�� � ���

� �� C�!�� � �!�!� ������ &�!��!�� ��!������ �=(�

0��� �� ��� � �.������� �� �� �� ��+� ��� ���� ������ � ������ ������������ � ������ ��� ��� ��� ������ ����� +���� �� �� ������/

$-,- ;�� ( ��� ��� � ���� ='� ������ ��( ������ � ( ���������� ���� ��� ������� ��� ����� � ��( ������� � 5��� � "6

2� ������������ � ��� ��+ ����� �� ������ � �� �� ��������� ��

��� � ����� � &�!�����! � ������ ���&� � �=!�

��� � ����� � &�&��&��! � �!����� ���&� � �=&�

+��� �� ���� ���� � ������ �� �� ���������� ��������� ��� ���� ���� � ������ �� �� ������ ���������/

2� ������������ � ������ ��� ��� ��� ������ ����� ����� �� ������ � �� �� ��������� ��

��� � ����

�� � ���

� ��� ��&��& � �( � �&�&

��� ���&� � �="�

��� � ����

�� � ���

� ��� ��&��& � �( � �&�&

��� ���&� � �=C�

+��� �� �� ����������� � 3.�/ 7="9 ��� 7=C9

��& � �C�! ���

� ��!���& �����!������

�( � C�!��& � �&�����!���

�& � C�! ���

� ��!���& �����!������

&=!( �- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9

Page 9: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

��& � &�&

�� �&�&�� ��&�&�& � ��!��� &��� ���

��

�( � C�&��& � �&�����&���

�& � &�& �&�!��

� ��&��&���

$-3- ;�� ( ��� ��� � ���� ='� ������ ��( ������ � ( ���������� � ��� ���� �

2� ������������ � ��� ��+ �� �� ������ �� �� ����+�A

�� � ��� � &�&��&��! � �!����� ���!

� �==�

2� ������������ � ������ ��� ��� ��� ������ ����� �� �� ������ �� �� ����+�A

��� � ����

�� � ���

� �� ��&��& � �( � �&�&

��� ���!�=?�

�� �� ��� � �.������

� � ���� ��� !�

0��/ &/ J����������� � ��� ��+ ��� ���� ��� �� � ����������� ����� �� ������ �/

�- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9 &=!!

Page 10: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

��& � &�&

�� �&�&��& � ��&�&�& � ��!�&��� &��� ���

��

�( � C�&�� �&��!�

� ��&����! � ���� � �&���& � �&��&���

�& � &�& �&�!���&�

� ��&��&���&��

1� ����� �� ����� ��� +�� � � !� ��& � ��&� �( � �(� �& � �&/1� �� �� �����) ���� ��� +�� �� ������ ��� �� ������ ������� �� ���� �������� ����������� ��

�������� ������ ���������� +��� ���� �� ���� ������ ��� ��� ��� ������ ����� +���� �� �� ������ �� +��� ���� ������ ��� ��� �� ������ ��� ��� ��� ������ ����� �� ���� ��) ������ �� �) �!�

�!& � ��� �� ��� ������

����� �) �� �������� ���� � �! �� �&/

" #�������� �������

2� �������� �������� �� �� �� ������ ���

�CC � !�(� !(!( K��&� != � !( :��&� �!! � !�=!� !(�; :&K�!��&� �! � �?� !(�? :F�!��&�

2� �������� �������� �� �� ������ ���

�CC � "�="� !(!( K��&� != � !( :��&� �!! � !�=!� !(�; :&K�!��&� �! � �"� !(�? :F�!��&�

0��/ "/ J����������� � ���� ������ ��� ��� ��� ������ ����� ����� �� ������ �/

&=!& �- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9

Page 11: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

��� �� �� ����� ������� ��� �!��& � &� �!��& � =/2� ��� ��+ �� ���������� +�� ����� � �� �(� �� ������ ��� ��� ��� ������ ����� ��� ���������� +��

����� � �� �(�&��&/ 2� ������������ � ��� ��+� ������ ��� ��� ��� ������ ����� ����� �� ������ � �����+� �� 0���/ & ��� "/ 1� �� �� ����� �� ��� ���� *����� ��� �� ������ ��������� � ��� ��+������� ��� ��� ��� ������ ����� ��� ��������� � ���� �� ������ �� +��� ���� ���������� ��������� � �� @��� � ���� �� ������ �� +� ������ �� �� ���� ����� �������) ���������/ 0���/ C>$ ��+ �� ������� � ������� ��� ��+� ���� ������ ��� ��� ��� ������ ����� �� �� ������/ 5��� �� �� ����������� �� �������� � � ���� �� ���� �) !(( ��� �� ��� ��� ������ ������ � � ���� ���������� �) !(8/ 1� ���� ����� �� ��� �� ���� ������ ��� ��� ��� ������ ����� ��� ���� �� ��*���)/

0��/ C/ :������ ���� � ������� ��� ��+ �� �� �� ������/

0��/ =/ :������ ���� � ������� ��� ��+ �� �� �� ������/

�- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9 &=!"

Page 12: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

$ ����������

2� ������ ���������� �� � ���������������� �������� ����� ������������ ���� ��������� ��� ����� ��/ � �������� �� �� ������� � �� ������� �� ������ �������� �� �� ��*���� ���������������� ���������@� ��� �� � ������ ��� ��+ �� ��*���) �� ��������� �) ����)��� �� ������ ������� �����/ 1� ����+� ��� � ������ ��� ��+ �� ��*���) ���� �� � ������ ������ ��� ��� ��� ������ ����� ������������������ �� ������� �� ������/

0��/ ?/ :������ ���� � ������� ���� ������ ��� �� �� ������/

0��/ 8/ :������ ���� � ������� ���� ������ ��� �� �� ������/

&=!C �- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9

Page 13: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

��%��&�� �������

2� ������ ��������) � 6��+����� �� ������� � �� K������� K������ � ��� � 0��������� � :���/

'���������

:�������6������ J/�/� !$;;/ � ����������� ������ ����������� ��) ����) �� �������� ��� �����/ � �� '� / 8!� "">C$/

F������ '/�/� '������ �/�/� !$$=/ 2+������ ���������� �� �� ��������� � �� ������ �� ������ �� ����� ����������� ��)/ ��'3

#/ ����/ '� / ?&� 8>!&/

0��/ ;/ :������ ���� � ������� ��� ��� ������ ����� �� �� �� ������/

0��/ $/ :������ ���� � ������� ��� ��� ������ ����� �� �� �� ������/

�- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9 &=!=

Page 14: A solution of the elliptic piezoelectric inclusion problem under uniform heat flux

'������ �/�/� <���� </� !$$8/ 3�� ��������� ����)��� � � �������� ��� ������� �� �����������)/ 1��/ #/ ������ ��� ���� �/ "C� "C(!>

"C!C/

'������� �/J/� :������ 5/4/� !$=(/ 2���������� ������ ������ � )������ �� �� ������ � ������� ������� ����/ ��'3 #/ ����/ '� /

!8� &?=>&?;/

2�������� 5/0/� !$8!/ L� �� ��������� �.������� � �������� ��������� ��)/ 1��/ #/ 3����/ � �/ $� =;8>?(C/

&=!? �- /���� 0-*�- ���� 1 2������� ��� ������ �� (� ��( ���������� 34 5,##"6 ,7#38,7"9