22

11

22

11

222

2

111

1

21

0

0

0

dx

dff

dx

dff

dx

dgg

dx

dgg

gfdx

dFF

gfdx

dFF

xxgd

dFF

),(

     warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek:

tworzony jest Hessian:

F F F 1 2 0

021

22221

11211

gg

gff

gff

H

a minory są postaci:

HH

gg

gff

gff

H

gg

gfH

n

,...,

0

00

21

22221

11211

2

21

1

1111

     Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne były równe zero.

     Warunek dostateczny jest spełniony wtedy, gdy minory Hessiana:

dla maksimum - zmieniają znaki na przemian „-”, „+”, „-”,...

dla minimum - wszystkie minory są dodatnie

H H1 2, ,...

Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2,...,xn) oraz jednym

warunku dodatkowym g(x1,x2,..,xn.)=0

Dla funkcji n-zmiennych postaci y=f(x1,x2,...,xn) o własnościach

analogicznych jak dla dwóch zmiennych oraz jednym warunku dodatkowym w postaci funkcji liniowej g(x1,x2,...,xn)=0

tworzymy funkcję Lagrange’a: F(x1,x2,...,xn,)=f(x1,x2,...,xn)+g(x1,x2,...,xn)

    warunkiem koniecznym istnienia ekstremum tej funkcji jest by pierwsze pochodne cząstkowe były równe zero:

0),...,(

0

.............................................................

;;0

1

11

1111

1

n

nnn

xxgF

gfx

F

dx

dgg

dx

dffgf

x

F

     warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum dla:maksimum jest by znaki głównych minorów Hessiana zmieniały się na przemian „-”, „+”, „-”, „+”,...minimum - wszystkie minory powinny być dodatnie

Wyznacznik Hessiana ma postać:

0...

...

.....

...

...

21

21

222221

111211

n

nnnnn

n

n

ggg

gfff

gfff

gfff

H

Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2,...,xn) oraz wieloma

warunkami dodatkowymi liniowymi gj(x1,x2,..,xn.)=cj

  Dla funkcji n-zmiennych y=f(x1,x2,...,xn) oraz j-ograniczeniach

dodatkowych (liniowych) gj(x1,x2,...,xn)=cj

gdzie m<n; j=1,2,...,m funkcja Lagrange’a ma postać:

j

nj

jn xxgcxxfF )],...,([),...,( 11

a Hessian obrzeżony:

0...0...

......

0...0...

....

......

......

1

111

11

111111

mn

m

n

mnnnn

mn

gg

gg

ggff

ggff

H

gdzie:fin - drugie pochodne cząstkowe funkcji Y,

- pierwsze pochodne cząstkowe funkcji gj po zmiennych ig ij

1  Warunki Kuhn-Tucker,a wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. Dla funkcji f(x) w przypadku, gdy jest ona

ciągła, różniczkowalna w przedziale i wypukła, warunkiem istnienia ekstremum lokalnego w punkcie x1 jest:

0)(00)( 1111 xfxxxf

Dla funkcji n-zmiennych warunek ten ma postać:

gdzie: fj - pierwsze pochodne funkcji,

xjfj - warunek komplementarności.

jjjjj

j

x

ffgdziefxf

njdlax

00

,...,2,10

Przy wprowadzaniu m-ograniczeń nieliniowych, problem optymalizacji funkcji n-zmiennych przyjmie postać:

njdlax

midlaxxg

j

ni

,...,2,10

,...,2,10),...,( 1

f x xn( ,..., )1

a funkcja Lagrange’a jest postaci:

),...,(),...,(

),...,,,...,(

11

11

ni

iin

mn

xxgxxf

xxF

Dla istnienia ekstremum musza być spełnione warunki Kuhn-Tucker’a:

0

0

0

0

0

0

1

1

ii

j

m

i

ijij

i

j

i

i

m

i

ijii

j

g

xgf

x

gF

gfx

F

gdzie: i=1,2,...,m j=1,2,...,n Dwa pierwsze równania są podobne do

warunków koniecznych, w przypadku warunków ubocznych w formie równań. Różnica jest taka, że te pochodne cząstkowe niekoniecznie muszą być równe zero, a jedynie są niedodatnie w pierwszym równaniu, i nieujemne w drugim.

Dwa następne warunki gwarantują nieujemność wszystkich zmiennych, w tym i mnożników Lagrange’a.

Kolejne dwa równania są warunkami komplementarności.

Dla wypukłych f(x1,...,xn) i gi(x1,...,xn) gdzie

i=1,2,...,m warunki Kuhn-Tucker'a są wystarczające dla istnienia maksimum globalnego.

Przy minimalizacji wystarczy zmodyfikować te warunki, jeżeli wszystkie funkcje są wklęsłe, bądź wystarczy maksymalizować funkcję ze znakiem ujemnym.

W przypadku maksymalizacji funkcji f(x1,...,xn) przy i-warunkach dodatkowych

(i=1,2,...,m):

gi(x1,...,xn)

xj

funkcja Lagrange’a ma postać:

ir

0

)],...,([),...,( 11 ni

iiin xxgrxxfF

Warunki Kuhn-Tucker’a są następującej postaci:

0

0

0

0

0

01

ii

jj

i

j

ii

i

m

i

ijii

j

x

Z

x

Zx

x

grF

gfx

Z

Mnożniki Lagrange’a przy warunkach ubocznych w formie nierówności mierzą stopę wzrostu wartości optymalnej funkcji celu przy jednostkowych zmianach w warunkach ubocznych, o ile są zdefiniowane odpowiednie pochodne cząstkowe.

Dla problemu produkcji, interpretacja jest następująca:

fj - wartość graniczna produktu,

- cena korzyści czynnika i („cena cieniowa”), - ilość użytego czynnika i do produkcji jednostki

marginalnej dobra j , - marginalne koszty zastosowania czynnika i w

produkcji dobra j . - agregaty marginalnych kosztów produkcji

dobra j .

j

g ji

i jig

i ji

i

g