1

A Lissajous - görbékről

Ez valószínűleg az a téma, amit sokan nem szeretnek, fizika - tanulmányaikból.

Azonban találkoztunk egy előállítási móddal, mely talán javíthat ezen a megítélésen.

Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra – forrása: [ 1 ]

Készítsük el – gondolatban vagy valóságosan ( nem mintha a gondolat nem lenne valósá -

gos! ) – a következő szemléltető eszközt – v.ö.: [ 1 ]!

Átlátszó fóliából kivágott, L hosszúságú szalagra rajzoljunk szinusz - vonalat, amely p

periódust tartalmaz. Ha a szalag két végét hengerként összeragasztjuk az 1. ábra szerint,

akkor a szinuszgörbe adott pontjának merőleges vetítéssel kapott P képe az

𝑥 = 𝑎 ∙ cos𝜑 , 𝑎 =𝐿

2∙𝜋 ; ( 1 / 1 )

𝑦 = 𝑏 ∙ sin 𝑝 ∙ 𝜑 ( 1 / 2 )

kordinátákkal adható meg.

Most nézzük a 2. ábrát!

2. ábra – forrása: [ 2 ]

2

Itt is arról van szó, hogy az

𝑥 = 𝑎 ∙ sin 𝜔 ∙ 𝑡 , 𝑦 = 𝑏 ∙ sin 𝑝

𝑞∙ 𝜔 ∙ 𝑡 + 𝜑 , 𝑧 = 𝑎 ∙ cos 𝜔 ∙ 𝑡 ( 2 )

paraméteres egyenletrendszerű térgörbe egy

𝑥2 + 𝑧2 = 𝑎2 ( 3 )

egyenletű körhenger palástjára írt szinuszvonal, melynek az xy síkra vett vetületét ( 2 )

első két egyenlete írja le.

Most visszatérünk ( 1 ) - hez. Az ábrázoláshoz adatok:

L = 10*π ( cm ) a = L /( 2*π ) = 5 cm; b = 4 cm; p = 3 . ( A )

A 3. ábra ( 1 / 2 ) és ( A ) - val készült.

3. ábra

Így egyenlete:

𝑦 𝜑 = 4 cm ∙ sin 3 ∙ 𝜑 . ( 1* / 2 )

3

Majd ( 1 / 1 ) és ( A ) - val:

𝑥 𝜑 = 5 ( cm ) ∙ cos𝜑 . ( 1* / 1 )

Ezekhez vegyük hozzá a térgörbe 3. koordinátáját is! Így:

𝑧(𝜑) = 𝑎 ∙ sin𝜑 . ( 1 / 3 )

Most ( 1 / 3 ) és ( A ) - val:

𝑧(𝜑) = 5 ( cm ) ∙ sin𝜑 . ( 1* / 3 )

Az ( 1* / 1 ) és az ( 1 * / 3 ) egyenletek által leírt kört a 4. ábra mutatja.

4. ábra

A további ábrázolási egyenletek összegyűjtve:

𝑥 𝜑 = 5 ( cm ) ∙ cos𝜑 , ( 1* / 1 )

𝑧(𝜑) = 5 ( cm ) ∙ sin𝜑 ; ( 1* / 2 )

𝑦 𝜑 = 4 cm ∙ sin 3 ∙ 𝜑 . ( 1 * / 3 )

Most elkészítjük a példabeli görbe y = f( x ) függvényének grafikonját( 1 * / 1 ) és

( 1* / 3 ) alapján – 5. ábra. Ez a feladatbeli konkrét Lissajous - görbe.

Létrehozása paraméteres megadás esetén egyszerű a Graph - fal.

Az axonometrikus ábrázoláshoz ettől eltérünk, a [ 3 ] - beli k. r. - hez igazodva:

𝑥𝑎 𝜑 = 5 ( cm ) ∙ cos𝜑 , ( 1** / 1 )

𝑦𝑎(𝜑) = 5 ( cm ) ∙ sin𝜑 , ( 1** / 2 )

𝑧𝑎 𝜑 = 4 cm ∙ sin 3 ∙ 𝜑 . ( 1** / 3 )

4

5. ábra

Az ( 1 ** ) egyenletek alapján készült a 6. ábra.

6. ábra

A 6. ábra az ( 1** ) paraméteres egyenletrendszerrel adott térgörbe axonometrikus képe.

5

Megjegyzések:

M1. Már sok könyvben találtunk sajtóhibát, de [ 2 ] - ben még nem. Most már ez is meg -

van: ( 3 ) ottani megfelelőjében „ – ” előjel szerepel, ami a 2. ábrán jól látszik is. Ez nyíl -

ván téves / sajtóhiba.

M2. Egyáltalán nem egyszerű egy a 6. ábrához hasonló ábra elkészítése. Találtunk egy

hasonlót [ 4 ] - ben – 7. ábra.

7. ábra – forrása: [ 4 ]

Itt p = 5.

M3. Az 5. ábrához hasonló y = f ( x ) alakú egyenlet előállítása – ha erre szükség van – az

alábbiak szerinti lehet. Kiindulunk ( 1 ) és ( A ) - ból:

𝑥(𝜑) = 5 ∙ cos𝜑 , ( a )

𝑦(𝜑) = 4 ∙ sin 3 ∙ 𝜑 . ( b )

Most azonossággal – ld. pl.: [ 5 / 2 ]! – :

sin 3 ∙ 𝜑 = 3 ∙ sin𝜑 − 4 ∙ sin3 𝜑 ; ( c )

ezután ( a ) - ból: 𝑥

5= cos𝜑 ; ( d )

ismét trigonometriai azonossággal:

sin𝜑 = ± 1 − cos2 𝜑 . ( e )

6

Most ( d ) és ( e ) - vel:

sin𝜑 = ± 1 − 𝑥

5

2 ; ( f )

majd ( c ) és ( f ) - fel:

sin 3 ∙ 𝜑 = ±3 ∙ 1 − 𝑥

5

2− 4 ∙ ± 1 −

𝑥

5

2

3

=

= ± 3 ∙ 1 − 𝑥

5

2

1/2

− 4 ∙ 1 − 𝑥

5

2

3/2

; ( g )

ezután ( b ) és ( g ) - vel:

𝑦1,2 𝑥 = ±4 ∙ 3 ∙ 1 − 𝑥

5

2

1

2

− 4 ∙ 1 − 𝑥

5

2

3

2

( cm ). ( h )

A ( h ) függvény grafikonját a 8. ábrán mutatjuk meg.

8. ábra

A piros vonal a „+”, a kék a „–” előjelű ágnak felel meg, amint az a 8. ábra jobb felső

7

sarkából is kiolvasható ( ha kell, nagyítás után ). Az 5. ábra szürke görbéjét teljesen és

pontosan lefedi az utóbbi két vonal, vagyis az ( a ) és ( b ) szerinti megadással egyenértékű

a ( h ) szerinti megadás.

M4. Javasoljuk az érdeklődő Olvasónak, hogy állítsa elő ( 1* ) - ból az y = g( z ) görbét,

pl. a fentiek szerint, azaz ellenőrzéssel.

M5. Más egész p értékek esetén is eljárhatunk a ( c ) - hez hasonló kifejtést alkalmazva.

Az elvégzendő munka p növekedésével együtt nő. A szükséges képleteket megtalálhatjuk

[ 5 ] - ben.

M6. Nagyon nem jellemző rá, de találtunk egy sajtóhibát [ 5 / 1 ] - ben.

A hibajegyzékében sem szólnak róla. Szerencsére [ 5 / 2 ] - ben már kijavították. Ez pedig:

sin 3 ∙ 𝜑 = 3 ∙ sin𝜑 − 4 ∙ sin2 𝜑 𝑗𝑎𝑣 .! sin 3 ∙ 𝜑 = 3 ∙ sin𝜑 − 4 ∙ sin3 𝜑 . ( i )

A helyes eredmény könnyen levezethető.

Fura, de [ 5 / 2 ] - ben pedig az elsőként megjelölt szerző nevét tévesztették el: J. - t írtak

I. helyett. Hogy mik vannak…

M7. Itt csak egy kicsit bepillantottunk a Lissajous - görbék világába, korántsem kimerítve

a témát. A komolyabban érdeklődőknek ajánljuk [ 6 ] tanulmányozását is. A [ 7 ] műben

ezt olvashatjuk:

Azokat a görbéket, melyeket egymásra merőleges rezgések összetevéséből kapunk,

LISSAJOU - görbéknek nevezzük, annak a francia tudósnak a nevéről, aki elsőnek

tanulmányozta ezeket.

( A nevet hiányosan írták le – sajtóhiba itt is. )

M8. A Lissajous - görbék tanulmányozását itt egy körhengerre írt szinuszgörbe ( 1 ) para -

méteres egyenletrendszere alapján kezdtük el. Láttuk, mennyivel könnyebben boldogulunk

az ábrázolással, ha a görbék paraméteres egyenletrendszerét használjuk, nem pedig

y = f( x ), esetleg y = g( z ) alakú egyenleteit. Ehhez, persze, szükségünk van olyan rajzoló

programra, mint pl. az általunk is használt, ingyenesen letölthető Graph. Oszcilloszkóp is jó

lehet – 8 / 1. ábra; bár ott megeshet, hogy a kép akkor is mozog, amikor nem kellene – [ 6 ].

M9. Szép animációk találhatók az interneten, folyamatosan rajzolva a mozgó pont eredő

pályáját; ilyen pl. [ 9 ] is.

8

8 / 1. ábra – forrása: [ 8 ]

M10. A [ 10 ] munkában egy másfajta „kiküszöbölést” láthatunk, mint amit fentebb alkal -

maztunk. A merőleges rezgések paraméteres egyenletei ott:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 ∙ sin 𝜔𝑥 ∙ 𝑡 + 𝜙 , ( j )

𝑦 𝑡 = 𝐴𝑦 ∙ sin 𝜔𝑦 ∙ 𝑡 + 𝜙 + 𝛿 . ( k )

Most ( j ) - ből kiküszöbölve a t ( idő - )paramétert:

arcsin 𝑥

𝐴𝑥 = 𝜔𝑥 ∙ 𝑡 + 𝜙 → 𝑡(𝑥) =

1

𝜔𝑥∙ arcsin

𝑥

𝐴𝑥 − 𝜙 , ( l )

majd ( l ) - et ( k ) - ba helyettesítve:

𝑦 𝑥 = 𝐴𝑦 ∙ sin 𝜔𝑦

𝜔𝑥∙ arcsin

𝑥

𝐴𝑥 − 𝜙 + 𝜙 + 𝛿 , 𝑥 ≤ 𝐴𝑥 . ( m )

Úgy tűnik, hogy az ( m ) egyenlet egy kényelmes megadási módja az y = f ( x ) függvény -

kapcsolatnak. Most a fentihez hasonló átalakításokat alkalmazva ( 1 ) ( „egy”) - re:

𝑥 = 𝑎 ∙ cos𝜑 → cos𝜑 =𝑥

𝑎 ; ( n )

ámde – ld. pl.: [ 5 ]! – :

cos𝜑 = sin 𝜋

2∓ 𝜑 ; ( o )

most ( n ) és ( o ) - val:

sin 𝜋

2∓ 𝜑 =

𝑥

𝑎 ; ( p )

innen:

𝜋

2∓ 𝜑 = arcsin

𝑥

𝑎 → ±𝜑 =

𝜋

2− arcsin

𝑥

𝑎 → 𝜑1,2 = ±

𝜋

2− arcsin

𝑥

𝑎 ; ( q )

9

folytatva:

𝑦 = 𝑏 ∙ sin 𝑝 ∙ 𝜑 = 𝑏 ∙ sin ±𝑝 ∙ 𝜋

2− arcsin

𝑥

𝑎 = ±𝑏 ∙ sin 𝑝 ∙

𝜋

2− arcsin

𝑥

𝑎 ,

tehát:

𝑦1,2 𝑥 = ±𝑏 ∙ sin 𝑝 ∙ 𝜋

2− arcsin

𝑥

𝑎 , 𝑥 ≤ 𝑎 . ( r )

Ábrázoljuk az ( r ) függvényt, ( A ) - val is – 9. ábra! Ezt összevetve a 8. ábrával megálla -

pítható a teljes egyezés. Ezek szerint találtunk egy a korábbinál kényelmesebb y = f ( x )

alakban történő előállítási módot. Igaz, ez is két függvénnyel adandó meg, a „±” miatt.

9. ábra

Megemlítjük, hogy más, ( r ) - rel egyenértékű trigonometriai függvényalakok is lehet -

ségesek.

M11. Eddig nem hoztuk szóba, de végül „muszáj”: ha a merőleges rezgések frekvenciái -

nak aránya nem racionális szám, tehát nem p / q alakú – ahol p és q relatív prímszámok – ,

akkor az eredő mozgás pályája nem zárt görbe, és a mozgás nem is periodikus – [ 6 ] .

Egy példát mutatnak ilyen rezgés pályájára az alábbi ábrák. Induljunk ki az

𝑥 𝑡 = 3 ∗ cos 1 ∗ 𝑡 , 𝑦 𝑡 = 2 ∗ sin 1 ∙ 𝑡 , 𝜔𝑥 = 𝜔𝑦 = 1 1

𝑠 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 ∙ 𝜋 𝑠

( I / 1 )

10

egyenletű ellipszisből – 10 / 1. ábra!

Folytassuk egy kicsit módosított frekvencia - arányú rezgéssel – 10 / 2. ábra!

𝑥 𝑡 = 3 ∗ cos 1 ∗ 𝑡 , 𝑦 𝑡 = 2 ∗ sin 2 ∙ 𝑡 ,

𝜔𝑥 = 1 1

𝑠 , 𝜔𝑦 = 2

1

𝑠 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 ∙ 𝜋 𝑠 . ( I / 2 )

Most növeljük a rezgés lefolyásának idejét, kettőzött lépésekben!

~ 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝑠 , 10 / 3 . ábra;

~ 0 ≤ 𝑡 ≤ 4 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝑠 , 10 / 4. ábra;

~ 0 ≤ 𝑡 ≤ 8 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝑠 , 10 / 5. ábra;

~ 0 ≤ 𝑡 ≤ 16 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝑠 , 10 / 6. ábra;

10 / 1. ábra;

10 / 2. ábra

11

10 / 3. ábra

10 / 4. ábra

10 / 5. ábra

12

10 / 6. ábra

~ 0 ≤ 𝑡 ≤ 32 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝑠 , 10 / 7. ábra;

~ 0 ≤ 𝑡 ≤ 64 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝑠 , 10 / 8. ábra;

~ 0 ≤ 𝑡 ≤ 128 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝑠 , 10 / 9. ábra;

10 / 7. ábra

10 / 8. ábra

13

10 / 9. ábra

~ 0 ≤ 𝑡 ≤ 256 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝑠 , 10 / 10. ábra.

10 / 10. ábra

A 10. ábra grafikonjairól leolvasható a tény, hogy az elliptikushoz képest kicsit módosí -

tott, de már nem racionális frekvenciaviszonyú rezgést végző pont a 2a , 2b oldalhosszú -

ságú befoglaló téglalap bármely pontját megközelítheti, az idő múlásával.

Ezen tapasztalatok után fontos tudatosítani, miszerint – ld.:[ 6 ]! – :

Az egymásra merőleges irányú harmonikus rezgések összetevésénél kapott, a frekvenciák

különbözősége esetén is zárt – tehát periodikus, vagyis az 𝜔2

𝜔1=

𝑞

𝑝 feltételt kielégítő – sík -

görbéket összefoglalóan Lissajous - féle görbéknek nevezzük.

Ezt azért tartottuk fontosnak idézni, mert ezek szerint a 10. ábra görbéi már nem tartoznak

a Lissajous - görbék közé. Ez pontosítja a 7. megjegyzésben közölt idézetet.

M12. Nem lenne meglepő, ha most valaki elbizonytalanodna, arra vonatkozóan, hogy

14

melyek is a Lissajous - féle görbék, és melyek nem azok. Bár az irodalmi forrásmunkákat

– szinte mindet, szinte bizonyosan – fizikusok / fizikatanárok írták, illetve fordították,

mégis meglehet, hogy volt / van köztük ( nézet - , tudás - , vélemény - )különbség e kér -

dést illetően. Mi a [ 6 ] műben olvasottakat tartjuk mértékadónak.

Források:

[ 1 ] – Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Általános fizika I. 1. kötet

Mechanika I.

Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, 2004.

[ 2 ] – H. Geiger ~ K. Scheel: Handbuch der Physik, Band VIII., Akustik

Verlag von Julius Springer, Berlin, 1927.

[ 3 ] – http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/parcur/

[ 4 ] – Dieter Rüdiger ~ Alfred Kneschke: Technische Mechanik

Band 3.: Kinematik und Kinetik

B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1964.

[ 5 / 1 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv

2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.

[ 5 / 2 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv

6. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.

[ 6 ] – Hoffmann Pál: Kábelipari kézikönyv I / 1.

Prodinform Műszaki Tanácsadó Vállalat, Budapest, 1983.

[ 7 ] – N. D. Papalekszi: Fizika, I. rész

Tankönyvkiadó, Budapest, 1951.

[ 8 ] – https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve#/media/File:Lissajous-

Figur_1_zu_3_(Oszilloskop).jpg

[ 9 ] – https://www.intmath.com/math-art-code/animated-lissajous-figures.php

[ 10 ] – http://www.tedpavlic.com/teaching/osu/ece209/lab1_intro/lab1_intro_lissajous.pdf

http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/parcur/https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve#/media/File:Lissajous-Figur_1_zu_3_(Oszilloskop).jpghttps://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve#/media/File:Lissajous-Figur_1_zu_3_(Oszilloskop).jpghttps://www.intmath.com/math-art-code/animated-lissajous-figures.phphttp://www.tedpavlic.com/teaching/osu/ece209/lab1_intro/lab1_intro_lissajous.pdf

15

Összeállította: Galgóczi Gyula

ny. mérnöktanár

Sződliget, 2020. 01. 01.