I

FACULDADE DE FILOSOFIA, CINCIAS E LETRAS DE PRESIDENTE VENCESLAU SP. (FAFIPREVE)

DEJANIR DE OLIVEIRA

A GEOMETRIA FRACTAL NO ENSINO FUNDAMENTAL E MDIO.

PRESIDENTE VENCESLAU

2008

II

DEJANIR DE OLIVEIRA

A GEOMETRIA FRACTAIS NO ENSINO FUNDAMENTAL E MDIO

Monografia apresentada Banca examinadora para a obteno do titulo de Licenciatura Plena em Matemtica, da Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras de Presidente Venceslau FAFIPREVE.

ORIENTADOR Prof. Ms. Roberto Cavali

CO-ORIENTADORA

Prof. Ms. Sara Coelho da Silva

PRESIDENTE VENCESLAU - SP

2008

III

Dedico este trabalho primeiramente a Deus; a

minha esposa Marlene Silva de Oliveira, pelo

incentivo e apoio; ao meu pai Ccero de Oliveira

(in memoriam) e minha me Terezinha Maria de

Oliveira, meus filhos: Thiago, Willian, Jonathan,

Amanda, Junior e Luana, por compreenderem a

minha ausncia, durante a realizao deste

trabalho.

IV

AGRADECIMENTOS

Aos professores, especialmente Professora Sara Coelho da Silva e ao Professor

Roberto Cavali, pela contribuio na orientao, e dentro de suas reas, para o

desenvolvimento dessa monografia, e, principalmente pela dedicao e

empenho que demonstraram no decorrer de suas atividades durante o curso.

As amigas e estudantes do curso de matemtica, da FAFIPREV, Sandra Ap.

Costa, Gisela e Graziela Carrinho Garcia, pelo empenho e auxlio, em

momentos difceis e decisivos, j que sem a valorosa ajuda seria difcil at

mesmo terminar o curso.

A todos aqueles que, direta ou indiretamente, colaboraram para que este

trabalho consiga atingir aos objetivos propostos.

V

"Os analfabetos do prximo sculo no so aqueles que no sabem ler ou escrever, mas aqueles que se recusam a aprender, reaprender e voltar a aprender"

(Alvin Toffler)

VI

RESUMO

At a dcada de setenta a geometria Euclidiana era vista de uma maneira nica e

absoluta, era tida como a melhor maneira de se descrever o mundo, at que surgiram os

primeiros estudos sobre a geometria Fractal, quando estes estudos passaram a ser

reconhecidos cientificamente a humanidade passou a ver o mundo com outros olhos. Assim

sendo, o presente trabalho teve como objetivo principal fazer um levantamento sobre esta

nova Geometria procurando destacar: o ambiente dos fractais (onde podem ser encontrados);

a sua ligao com a teoria do Caos; as possveis aplicaes dos fractais nas vrias reas do

conhecimento e da cincia e; a importncia de trabalhar com os fractais nas salas de aula de

ensino fundamental e mdio.

Palavras - chave: Fractal, Teoria do Caos, Sala de Aula

VII

SUMRIO

INTRODUO......................................................................................................................... 1

CAPTULO 1............................................................................................................................. 4

1.1. DEFINIO DE FRACTAL.................................................................................... 4

1.2. BENOIT MANDELBROT........................................................................................ 7

1.3 A GEOMETRIA FRACTAL...................................................................................... 8

CAPTULO 2........................................................................................................................... 10

2.1. TEORIA DO CAOS................................................................................................ 10

2.2. EXEMPLOS DE CAOS.......................................................................................... 12

2.3. JOGO DO CAOS..................................................................................................... 14

CAPTULO 3........................................................................................................................... 17

3.1. FRACTAIS NA NATUREZA................................................................................. 17

3.2. FRACTAIS NA MEDICINA.................................................................................. 24

3.3. FRACTAIS NA ARTE............................................................................................ 27

CAPTULO 4........................................................................................................................... 29

4.1. FRACTAIS GEOMTRICOS................................................................................ 29

4.2. FRACTAIS ALEATRIOS.................................................................................... 30

4.3. CONJUNTO DE MANDELBROT......................................................................... 31

4.4. CONJUNTO DE CANTOR.................................................................................... 32

4.5. CURVA DE KOCH................................................................................................. 33

4.6. FLOCO DE NEVE DE KOCH............................................................................... 34

4.7. TRIANGULO DE SIERPINSKI............................................................................. 35

4.8. CURVA DE PEANO............................................................................................... 36

CAPTULO 5........................................................................................................................... 38

5.1. ATIVIDADES PRTICAS..................................................................................... 38

5.1.1. CARTO FRACTAL........................................................................................... 39

5.2. SOFTWARE PARA A CONSTRUO DE FRACTAL...................................... 44

5.2.1. SOFTWARE FRACTAL FORGE....................................................................... 44

5.2.2. SOFTWARE SUPER LOGO............................................................................... 45

VIII

5.3. ENSINANDO A TARTARUGA............................................................................ 50

CAPTULO 6........................................................................................................................... 51

6.1. CONSIDERAES FINAIS.................................................................................. 51

6. 2. CONCLUSES...................................................................................................... 53

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS..................................................................................... 54

IX

LISTA DE ILUSTRAES

EQUAES

Equao 1 Equao geral da Dimenso Fractal de uma linha litornea qualquer................... 22

Equao 2. Equao hipottica da Dimenso Fractal de uma linha litornea qualquer........... 23

FIGURAS

Figura 1 Semente Inicial.......................................................................................................... 15

Figura 2 Jogo do Caos aps 1.000 jogadas.............................................................................. 15

Figura 3 Jogo do Caos aps 5.000 jogadas.............................................................................. 15

Figura 4 Jogo do Caos aps 10.000 jogadas............................................................................ 15

Figura 5 Incio da construo do triangulo de Sierpinski........................................................ 16

Figura 6 Metade da construo do triangulo de Sierpinski...................................................... 16

Figura 7 Triangula de Sierpinski pronto.................................................................................. 16

Figura 8 Linha Costeira Ampliada........................................................................................... 21

Figura 9 Representao de uma linha Costeira qualquer......................................................... 23

Figura 10 Seqncia de DNA.................................................................................................. 24

Figura 11 Vasos Sangneos do Corao................................................................................. 25

Figura 12 Ramificaes Pulmonares........................................................................................ 25

Figura 13 Tringulo de Sierpinski........................................................................................... 29

Figura 14 Esponja de Menger.................................................................................................. 29

Figura 15 Conjunto de Cantor.................................................................................................. 32

Figura 16 Curva de Koch......................................................................................................... 33

Figura 17 Floco de Neve de Koch........................................................................................... 34

Figura 18 Construo do tringulo de Sierpinski..................................................................... 35

Figura 19 Construo do tringulo de Sierpinski a partir do Triangulo de Pascal.................. 35

Figura 20 Inicia da Construo Curva de Peano...................................................................... 36

X

Figura 21 Segundo passo da Construo Curva de Peano....................................................... 36

Figura 22 Terceiro passo da Construo Curva de Peano....................................................... 36

Figura 23 Quarto passo da Construo Curva de Peano.......................................................... 37

Figura 24 Segundo passo da construo do carto Fractal...................................................... 39

Figura 25 Terceiro passo da construo do carto Fractal....................................................... 40

Figura 26 Quarto passo da construo do carto Fractal......................................................... 40

Figura 27 Quinto passo da construo do carto Fractal......................................................... 40

Figura 28 Sexto passo da construo do carto Fractal........................................................... 41

Figura 29 Stimo passo da construo do carto Fractal......................................................... 41

Figura 30 Oitavo passo da construo do carto Fractal......................................................... 42

Figura 31 Nono passo da construo do carto Fractal........................................................... 42

Figura 32 rvore Fractal no logo tamanho 100....................................................................... 45

Figura 33 Tringulo de Sierpinski construdo no Logo........................................................... 46

Figura 34 Samambaia construda no logo................................................................................ 47

Figura 35 Floco de Neve de Koch construdo no Logo........................................................... 48

IMAGENS

Imagem 1 Benoit Mandelbrot.................................................................................................... 7

Imagem 2 Comparao dos brcolis e o feto........................................................................... 18

Imagem 3 As Samambaias e os fetos....................................................................................... 19

Imagem 3 Ciclone.................................................................................................................... 20

Imagem 4 Relmpagos............................................................................................................. 20

Imagem 5 Quadro Fractal Artstico Inspiration de Nicholas Rougeux.................................... 27

Imagem 7 Quadro Fractal Artstico Thrive de Nicholas Rougeux.......................................... 28

Imagem 7 Fractal Gerado por Computador............................................................................. 30

Imagem 8 Ampliaes do conjunto de Mandelbrot................................................................. 31

Imagem 9 Ampliaes de outras reas do Conjunto de Mandelbrot....................................... 31

Imagem 10 seqncias de aproximaes no Fractal Forge...................................................... 44

XI

TABELAS

Tabela 1 Mostra o numero de iteraes realizadas e os paraleleppedos que se formaram..... 43

1

INTRODUO

O interesse em realizar este trabalho de concluso de curso surgiu um dia enquanto

fazia uma pesquisa na internet sobre a geometria Euclidiana para um trabalho da faculdade

quando deparei- me com uma imagem que chamou- me a ateno, era uma figura diferente de

tudo o que eu j tinha visto muito bela e intrigante era imagem de um fractal aleatrio. Aps

terminar meu trabalho e movido pela curiosidade a pesquisa sobre a geometria Fractal

continuou, procurando descobrir quem,quando, e por que esta nova geometria surgiu, e quem

foi seu inventor, e os matemticos que o precederam nesse trabalho, eu ainda no sabia, mas o

tema da minha monografia acabava de ser escolhida e era apenas uma questo de tempo.

Durante conversas com meus colegas de sala e com outros amigos da faculdade descobri que

muitos deles se quer tinham ouvido falar da geometria fractal e no tinha a menor idia do que

se tratava de volta pesquisa descobri varias aplicaes da geometria fractal e foi s ento

que decidi fazer minha monografia em cima desse tema.

A partir do surgimento da Teoria do Caos como uma nova cincia tornou possvel

aos estudiosos das cincias, atingirem novos horizontes nas diversas reas do conhecimento,

novas abordagens, a realidade e sua evoluo se apresentam em uma nova perspectiva e agora

podemos ver o mundo com outros olhos. Esta nova postura na pesquisa cientifica, tenta

explicar acontecimentos que fogem aos padres estabelecidos e que j estvamos

acostumados na Geometria Euclidiana, e que at hoje so desconhecidos. Poderamos

considerar que a noo de caos nos leva a pensar que os acontecimentos no tm uma lgica,

ou seja, as coisas no teriam uma ordem definida, o que no verdade.

Conforme GLEICK, (s/d, p. 23) apud SILVA (2007) dentre as expresses

matemticas que constituem a Teoria do Caos, preciso que se conhea pelo menos trs

conceitos bsicos. Que so eles:

O primeiro foi apresentado no final do sculo passado pelo precursor da Teoria do Caos, o matemtico francs Jules Henri Poincar (1845-1912), [...] veio dele a noo de que uma pequena causa pode levar a grandes efeitos. Com o tempo, o enunciado ficou conhecido [...], como O Efeito, Borboleta. [...] Outro princpio geral, o da sensibilidade s condies iniciais, foi formulada pelo meteorologista americano Edward Lorenz, nos anos 60. Ao fazer simulaes em computador sobre o deslocamento das nuvens, ele descobriu que o resultado final variava sutilmente, de acordo com a quantidade de nmeros colocados depois da vrgula. [...] Outro suporte da Teoria do Caos so as repeties de um mesmo tipo de estrutura, as bifurcaes ou ramificaes [...]. (p.3)

2

O princpio da Teoria do Caos nos d em um primeiro momento a idia que a soluo

para alguns sistemas no existe, e que tudo no passa de uma enorme baguna. A Teoria do

Caos, ao contrrio do que o nome possa sugerir, vem no seguimento da busca de um padro

em todos os comportamentos irregulares. Um dos estudiosos que muito fez uso da Teoria do

Caos para criar uma nova Geometria foi Benoit Mandelbrot que definiu novos conceitos na

sua busca por definir as variaes de certas formas e fenmenos matemticos, e naturais

chegando s concluses, que mais tarde o levou a desenvolver a Geometria fractal baseada

nas fraes, criando o termo fractal.

Dentre os diversos campos do conhecimento cientifico escolhemos nos concentrar na

pesquisa na rea da educao mais precisamente no Ensino Fundamental e Mdio com o foco

voltado para a sala de aula por sua grande importncia na construo do conhecimento dos

jovens.

Nos tempos modernos onde a velocidade da informao esta a cada dia mais rpido, e

com computadores mais e mais velozes e capacidade de calculo esta aumentando dia a dia e

se multiplicando sendo que as futuras tecnologias podem ainda nos revelar muito do mundo

em que vivemos e acreditamos que a Geometria Fractal tem muito contribuir com estas

novas descobertas que nos propomos a desenvolver desta pesquisa.

A pesquisa baseia-se numa viso geral do universo da Teoria do Caos e

especificamente dos Fractais, sendo orientada na busca de uma nova abordagem dentro da

concepo do estudo da Geometria e do mundo em que vivemos, a partir destas concepes

tericas, buscamos definir o que um Fractal, onde podem ser encontrados, quais os tipos,

como podemos constru-los usando materiais simples e de fcil acesso ou fazendo uso das

salas de informticas das escolas que muitas vezes existem, mas no so usadas buscando

despertar nos alunos o fascnio por este admirvel mundo novo.

Para esta tarefa procuramos demonstrar ao longo do trabalho as mais variadas

aplicaes da Geometria Fractal: No Capitulo 1 Apresentamos vrios conceitos tais como a

definio de fractal que nos trs o Dicionrio Aurlio e as mais aceitas pelos autores

consultados, trazemos ainda um breve histrico de quem foi Benoit Mandelbrot Pai da

Geometria Fractal, sua carreira, onde nasceu, mostramos aos leitores o que vem a ser a

Geometria Fractal algumas de suas caractersticas e a dimenso Fractal. No Capitulo 2

falamos sobre o Caos e cincia da Teoria do Caos e os fenmenos caticos ligados a esta

cincia que busca dar um padro a sistemas aparentemente catico buscando demonstr-los

3

atravs de exemplos dentre eles podemos citar o chamado "Efeito Borboleta", que diz se "uma

borboleta bate asas na China pode causa um furaco na Amrica". Continuamos nossa

explorao a respeito da matria falamos a respeito do jogo do caos fazendo uma ligao entre

a Teoria do Caos e os Fractais. No Capitulo 3 exploramos onde encontrar os fractais buscando

dar exemplos para facilitar a compreenso para o leitor; iniciamos falando a respeito dos

fractais na natureza passando pelos fractais na Medicina chegando at os Fractais na arte. No

Capitulo 4 falamos a respeito dos tipos de fractais, entre a enorme variedade de fractais

citamos os geomtricos e os aleatrios, apresentamos alguns fractais como o conjunto de

Mandelbrot que foi o pai da geometria Fractal explorando a sua auto similaridade e outras

formas que pode ser encontradas dentro deste mesmo conjunto, na seqncia apresentamos os

fractais precursores que antecederam os fractais atuais e foi onde todo comeou, continuamos

apresentando o Conjunto de Cantor, a Curva e o Floco de Neve de Koch, o triangulo de

Sierpinski, a Curva de Peano e as suas respectivas construes. No Capitulo 5 Trabalho

Fractais procuramos demonstrar a construo de fractais de uma maneira didtica que pode

ser facilmente trabalhado em sala de aula como os Cartes Fractais e softwares

computacionais como o super logo e o Fractal Forge, e no Capitulo 6 fizemos as

consideraes finais e a concluso do trabalho.

4

CAPTULO 1: Apresentado conceitos

1.1. DEFINIO DE FRACTAL

No Dicionrio Aurlio, temos a definio de fractal, que uma Forma Geomtrica, de

aspecto irregular ou fragmentado, que pode ser subdividida indefinidamente em partes, as

quais, de certo modo, so cpias reduzidas do todo.

Os fractais surgiram de uma idia de revolucionar a tradicional geometria euclidiana.

Atravs dos conceitos da geometria euclidiana podemos modelar objetos artificiais e

elementos do mundo real com caractersticas macroscpicas. Nesta geometria os objetos so

definidos como possuindo uma, duas ou trs dimenses, como os pontos, as retas, os planos

ou os slidos.

Objetos naturais tais como nuvens, montanhas, arbustos e plantas possuem uma

caracterstica de irregularidade que dificilmente descrita pela geometria euclidiana; alm

disso, no mundo real, um mesmo objeto pode ser visto de duas formas diferentes: viso

macroscpica ou microscpica (diferentes pontos de vista conforme a proximidade).

O matemtico Benoit Mandelbrot foi quem criou a chamada geometria fractal. Esta

geometria permite a representao de certos elementos naturais que possuem caractersticas

irregulares. Com a geometria fractal torna-se possvel a criao de modelos mais prximos da

realidade.

Segundo Barbosa (2005, p. 09) a palavra fractais, baseia-se no latim, do adjetivo

fractus, do verbo frangere, correspondente significa quebrar: criar fragmentos irregulares,

fragmentar

Siqueira (2005) nos traz a idia de fractal estruturada com parte das cincias, e

apresenta estruturas geomtricas complexas e grande beleza, vinculadas s formas da

natureza, e ao desenvolvimento da vida como a conhecemos e mesmo a compreenso do

universo. Os objetos abstratos possuem caractersticas infinitamente multiplicadas dentro de

cada parte, escapando assim, da compreenso em sua totalidade pela mente humana.

Essa geometria, somente h poucos anos vem se consolidando com o desenvolvimento

da tecnologia computacional e com auxlio de novas teorias nas reas da fsica, biologia,

astronomia e matemtica. O termo "fractal" foi criado em 1975 pelo pesquisador Benoit

Mandelbrot, que ficou conhecido como o "pai dos fractais".

5

A definio mais simples que Fractais so objetos gerados pela repetio de um

mesmo processo peridico, apresentando auto-semelhana e complexidade infinita.

Os fractais apresentam uma infinidade de formas diferentes, aparentemente no

existindo uma igual outra.

Existem duas caractersticas freqentes na Geometria Fractal que segundo Siqueira

(2005) so: Complexidade Infinita: uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos represent-los completamente, pois a quantidade de detalhes infinita. Sempre existiro reentrncias e salincias cada vez menores. Auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cpias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedao similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.

Por ser uma dimenso fracionria (uma dimenso no inteira), que permite dar um

maior grau de detalhes, a que mais se aproxima das formas da natureza, de outro modo,

permaneceriam sem dimenso precisa. O grau de irregularidade ou tortuosidade de um objeto,

ou uma linha costeira sinuosa, por exemplo, impossibilita a sua medio em termos de

comprimento, por que possui um grau determinado de irregularidade e quanto menor a

medida a ser usada maior ser o grau de preciso.

Para ampliar o sentido de sua definio, Batanete et all (2005) assim determinam:

Fractal acima de tudo significa auto-semelhante. Mandelbrot classificou desta forma os seus objectos de estudo, pois estes possuam dimenso friccionaria. As dimenses no inteiras tornaram-se, ento, uma forma de quantificar qualidades que, de outro modo, permaneceriam inquantificaveis: o grau de irregularidade ou tortuosidade de um objecto. Se repararmos, todas as formas geomtricas ortodoxas degeneram quando so ampliadas ou diminudas. Um crculo numa escala muito maior no nada mais do que uma recta. Basta ter em mente que h apenas 500 anos pensava-se que a Terra era plana. Isto, porque a escala humana no vemos mais do que uma linha recta no horizonte. No entanto, a maior parte dos objectos com que lidamos no nosso dia-a-dia no so rectas, nem esferas, nem cones. Olhando, por exemplo, para um tronco de uma rvore, verificamos que e extremamente rugoso e irregular. Se observarmos um pequeno pedao desse tronco ao microscpio observamos novas rugosidades e irregularidades que antes no tnhamos observado. No entanto esta imagem assemelha-se bastante a anterior. E esta irregularidade regular que caracteriza um fractal. (p.14)

Neste sentido, possvel afirmar que fractais so formas geomtricas que se

caracterizam por repetir um determinado padro, com constantes variaes. Os fractais podem

ser identificados na natureza: na forma dos brcolis, em rvores, raios, a forma de algumas

razes, a linha da costa martima, as nuvens, ou gerados por computador com belas imagens

de alta complexidade matemtica. Os fractais so imagens abstratas que possuem o carter de

onipresena, por terem as caractersticas de infinita multiplicao dentro de cada partcula, e

6

em qualquer estrutura cujas ramificaes sejam variaes de uma mesma forma bsica um

fractal se mostra similar como um todo, pois apresentam estruturas geomtricas de muito

complexas e de beleza infinita, ligadas s formas da natureza.

A cincia nos revela novos mistrios a cada dia, e a cada descoberta novos e

inesperados horizontes se abrem diante dos nossos olhos, gerando mais e mais interrogaes.

Os fractais deram origem a um novo ramo da matemtica, muitas vezes designado como a

geometria da natureza.

Para Mandelbrot apud Lopes; Pantaleo (2000) Nuvens no so esferas, montanhas

no so cones, o litoral no um crculo e tampouco um relmpago viaja em linha reta pelo

ar.

Visando compreender a geometria fractal, a seguir, sero apresentados aspectos da

vida e obra de Mandelbrot que tido como O pai da geometria Fractal.

7

1.2. BENOIT MANDELBROT: o criador da geometria fractal

Segundo Barbosa (2005, p.10) Benoit Mandelbrot nasceu na Polnia em 1924, de

famlia judia, da Litunia. Em 1936 sua famlia mudou-se para Paris, onde iniciou sua

carreira acadmica, sua carreira como matemtica dividiu-se principalmente entre a Frana e

os EUA. Trabalhou na IBM em Nova Iorque. Com a ajuda dos potentes computadores da

IBM ele criou e desenvolveu a geometria fractal.

Imagem 1 Benoit Mandelbrot

Mandelbrot, este prodigioso e ilustre matemtico contemporneo conhecido

mundialmente como sendo o nico responsvel pelo enorme interesse nos chamados objetos

fractais. Hoje em dia a sua geometria conhecida atravs de bonitas gravuras coloridas que,

enriqueceram tanto a matemtica moderna como a arte.

Com a introduo da coleo de figuras de Mandelbrot, em 1980, ele mostrou que

to complexos fenmenos podiam ser criados e descritos por simples regras repetidas.

A Geometria Fractal elaborada a partir de seus estudos ser apresentada a seguir.

8

1.3 A GEOMETRIA FRACTAL

Somente fractais gerados por processos atravs de programas de computador so

verdadeiros objetos fractais. Por outro lado, aqueles gerados por processos finitos podem no

apresentar mudanas aps algum estgio, ento estes so aproximaes do que seria o ideal.

Os fractais so utilizados para representar terrenos, plantas, nuvens, montanhas, raios e

arbustos.

Batanete et all (2005) nos remete a fazer uma reflexo a Matemtica e a geometria

fractal, consignando a definio intuitiva de um fractal como sendo um objeto gerado atravs

de uma formula matemtica a partir de funes reais ou complexas, muitas vezes simples,

mas quando aplicadas de forma iterativa, produzem formas geomtricas abstratas, com

padres complexos que se repetem infinitamente.

Os fractais constituram certamente uma surpresa e at mesmo um abalo para muitos

matemticos, que de repente, viram-se confrontados com tcnicas e imagens que, se por um

lado eram altamente sugestivas, por outro, no conseguiam ser justificadas nem englobadas

em situaes anteriormente conhecidas.

Na revista Super Interessante (1994), encontra-se a seguinte citao:

Dizem que uma imagem pode substituir mil palavras. No caso, um nico fractal pode ocupar o espao de 100 000 palavras na memria do computador. E o objetivo dos pesquisadores de que ele sirva por outras 100 000 palavras para mostrar ao pblico leigo aquilo que passa na cabea de um matemtico. Muitas vezes, os matemticos perdem anos tentando encontrar ou decifrar uma frmula sem finalidade prtica alguma ao menos imediata diz Rossetti Baptista. Fazem isso porque a matemtica ldica, com suas idias abstratas. E um pouco desse lado ldico que as pessoas podem experimentar ao ver uma obra cuja base uma equao. Na opinio do professor Jos Teixeira Coelho Neto, da Escola de Comunicao da USP, a linguagem dos fractais tem tudo a ver com o presente. H muito tempo existe uma discusso na Arquitetura entre modernos e ps-modernos, exemplifica. Segundo ele, os modernos encaram os ngulos retos, a geometria clean1 como algo mais evoludo, enquanto os ps-modernos brigam contra esse conceito. Assim, a geometria dos fractais vem como um reforo para o ps-modernismo (Edio 85 Pg.22-27).

Algumas caractersticas dos fractais so muito particulares: a sua auto-semelhana, a

dimenso e a sua complexidade infinita. A auto-semelhana de um fractal baseia-se no fato de

o conjunto ser constitudo por pequenas cpias de si mesmo. Assim, pode dizer-se que se

1 Geometria limpa (traduo nossa).

9

distinguem dois tipos de auto-semelhana: a exata e a aproximada, a auto-semelhana exata

uma abstrao, j a aproximada aproxima-se de objetos naturais no possuem auto-

similaridade perfeita.

A dimenso fractal relaciona-se com o grau de irregularidade ou tortuosidade de um

fractal e representa o seu grau de ocupao no espao e a Complexidade Infinita: uma

propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos represent-los

completamente, pois a quantidade de detalhes infinita. Sempre existiro reentrncias e

salincias cada vez menores a serem exploradas.

De acordo com Santos & Oliveira (2004) A geometria fractal est intimamente ligada

Teoria do Caos. So as estruturas quebradas, complexas, estranhas e belas desta geometria,

que conferem certa ordem ao caos. J para Fernandes (2007), a Teoria do Caos pode ser

considerada como a teoria que deu origem ao estudo de objetos e formas complexas, at ento

no estudadas e que eram consideradas desorganizadas, mas que na verdade possuam

seqncias de detalhes em comum. Estas formas e objetos so atualmente chamados de

fractais.

Neste sentido, Secco & Rocha (2004) definem que a Teoria do Caos pode ser vista

como um universo com sistemas, ou um conjunto de objetos que se inter-relacionam,

extremamente sensveis s condies iniciais, uma simples alterao poder levar a uma

mudana no resultado, gerando sistemas caticos e indeterminados, ou seja, seus resultados

no so possveis de serem previstos e seu comportamento no peridico, caracterizada

como sendo a linguagem do caos.

Aps a apresentao do conceito de fractal e da geometria fractal, e pelos fractais

estarem intimamente ligados teoria do caos, iremos agora explorar um pouco dessa cincia

que tem ligao com o tema abordado neste trabalho de concluso de curso.

10

CAPTULO 2: Caos

2.1. A TEORIA DO CAOS

Segundo o Dicionrio Aurlio Caos, vem do latim [chaos < gr. chos.] 2 e um

substantivo masculino que significa grande confuso ou desordem, e na Fsica um

comportamento praticamente imprevisvel exibido em sistemas regidos por leis deterministas,

e que se deve ao fato de as equaes no-lineares que regem a evoluo desses sistemas serem

extremamente sensveis a variaes, em suas condies iniciais. Assim, uma pequena

alterao no valor de um parmetro pode gerar grandes mudanas no estado do sistema,

medida que este tem uma evoluo temporal.

Antes do surgimento da teoria do caos muitos fenmenos no podiam ser previstos por

leis matemticas. Os fenmenos ditos "caticos" so aqueles onde no h previsibilidade.

Para Secco & Rocha apud Fernandes (2007), a Teoria do Caos pode ser vista como um

universo com sistemas, ou um conjunto de objetos que se inter-relacionam, extremamente

sensveis s condies iniciais, e uma simples alterao poder levar a uma mudana no

resultado. Sistemas caticos so indeterminsticos, ou seja, seus resultados no so possveis

de serem previstos e seu comportamento no peridico.

Atualmente, com o desenvolvimento da Matemtica e das outras cincias, a Teoria do

Caos surgiu com o objetivo de compreender e dar resposta s flutuaes irregulares que se

encontram na Natureza.

Em uma anlise sobre a teoria do caos, Almeida (2006) afirma:

A Teoria do Caos vem no seguimento da busca de um padro em todo o comportamento irregular. A palavra caos formada a partir de um grafo, de origem indo- europia, cujo sentido poderia ser o abismo, de princpio e falta de organizao. O Caos um estado muito complexo, caracterizado pela aparente imprevisibilidade de comportamento e por grande sensibilidade a pequenas mudanas na variao do sistema ou nas condies iniciais. O mundo segue a tendncia de se tornar mais e mais catico. A teoria do caos abriu caminho para que se percebessem padres em eventos desprovidos de padres, tais como o trnsito de uma grande cidade, as variaes da bolsa de valores, ou fenmenos meteorolgicos, pois so excessivamente dependentes das condies iniciais, gerando o chamado efeito borboleta. (pg. 121 e 122)

2 Verso eletrnica do Novo Dicionrio Aurlio (2005) Verso 5.0.40 Br. Disponvel em: CD ROM

11

Para Batanete et al. (2005) A Teoria do Caos baseia-se em demonstraes matemticas

e teorias que tentam descrever processos em movimento, ou seja, sistemas matemticos que se

modificam com o tempo. A palavra tambm alude ao estado de matria sem forma e espao

infinito, que existia antes do Universo ordenado, suposto por vises cosmolgicas e

religiosas. O sentido mais comum para caos desordem e confuso; o desenvolvimento do

estudo do Caos cresceu explosivamente, nos ltimos anos, devido o uso dos computadores

que permitiram representar graficamente os padres como o caso dos fractais.

A teoria do caos no uma teoria de desordem, mas busca no aparente acaso uma

ordem intrnseca determinada por leis precisas.

A geometria fractal constitui, portanto, em uma parte da teoria do caos e, ao

estudarmos os fractais, estamos buscando dar uma ordem ao caos.

12

2.2. EXEMPLOS DE CAOS

Podemos citar vrios exemplos de situaes que aparentemente so apenas fenmenos

aleatrios sem qualquer relao com a geometria fractal e o caos, como quando colocamos

fogo em um pedao de madeira: o fogo por si s j um exemplo de caos, pois ali est

envolvida uma srie de fatores que menor alterao, produz uma enorme diferena como a

direo ou a intensidade do vento, nesse mesmo ato observa se a fumaa que at mesmo a

menor das brisas altera consideravelmente seu formato nos dois exemplos est presente um

sistema catico e so estes sistemas que a Teoria do Caos e a Geometria Fractal procuram dar

um padro.

Outro exemplo bem simples pode ser visto em Teoria do Caos, conforme encontrado

na (Wikipdia3):

Um exemplo claro seria uma pedra atirada numa piscina, s ondas geradas na queda da pedra se propagam at as margens, refletem e retornam, cruzando-se entre si e, portanto, interagindo. Continuando novamente as ondas vo s margens, porm, j distorcidas devido s reflexes anteriores e s iteraes4 ocasionadas pelos cruzamentos entre si. Neste momento comeam j a ocorrer alguns movimentos aparentemente caticos, porm ainda previsveis, pois so padres cclicos das ondas. Mas se comearmos a jogar pedras aleatoriamente na mesma piscina, quanto mais jogarmos, mais catico ser o padro das ondas na superfcie. Imaginemos agora, porm, que no fundo desta piscina exista areia finssima, apesar dos movimentos aleatrios na superfcie, no fundo haver determinados padres na areia, caticos sim, mas seguiro a um padro de ondas de diversas formas, tamanhos, alturas, estas mudaro medida que o enrugamento da superfcie muda, porm apesar de todo o caos dos movimentos, reconhecido um padro cclico.

Da mesma maneira vamos supor que tenhamos algumas bolinhas de gude e

resolvamos atir-las no cho. Ao fazer isso, observamos que depois de algum tempo as

bolinhas param nas suas posies. Agora juntemos as bolinhas e repitamos a experincia.

Ser que as bolinhas iro posicionar se exatamente como na vez anterior? Acreditamos que

no. Mesmo que tentemos atir-las da mesma posio no conseguiremos ter preciso

suficiente para posicion-las corretamente.

Ainda segundo Teoria do Caos (Wikipdia) O trnsito outro exemplo. J observou

que h dias em que o congestionamento maior. bem provvel que o transtorno tenha sido 3 Disponvel em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_do_caos 4 Vem de Iterao [Do lat. iteratione.] Substantivo feminino. 1.Ato de iterar; repetio.2.lg. Inform. Processo de resoluo (de uma equao, de um problema) mediante uma seqncia finita de operaes em que o objeto de cada uma o resultado da que a precede. Disponvel em: Novo Dicionrio Aurlio eletrnico 2005 V 5.0.40 Br em CD ROM

13

causado por um carro acidentado, ou uma empresa dispensou os seus funcionrios mais cedo

e houve um fluxo maior num cruzamento e outros azares semelhantes. Mesmo assim, o

nmero de variveis grande e o comportamento do sistema depende muito das condies

iniciais. Nunca se sabe quando o trnsito est bom ou mau.

Um exemplo tradicional o "Efeito Borboleta", que diz essencialmente: "uma

borboleta bate asas na China e causa um furaco na Amrica" , por mais absurdo que parea,

a realidade, os fenmenos climticos so de comportamento catico e de difcil

previsibilidade por estarem presentes, fenmenos que dependem sensivelmente um do outro.

Como se v nas experincias formuladas por Lorenz apud Batanete et al. (2005):

Num trabalho de previso do futuro, precisamente o clima, o matemtico norte-americano Edward Lorenz percebeu a ordem na aparente desordem dando o pontap inicial na Teoria do Caos. Lorenz descobriu que um pequeno acontecimento agora pode significar uma imensa catstrofe mais tarde. Ocorre um fenmeno denominado tecnicamente de "dependncia sensvel das condies iniciais", mais conhecido como "Efeito Borboleta" e sugere que o vo de uma borboleta deste lado do mundo pode causar uma grande tempestade daqui a um ms do outro lado do planeta. A descoberta foi possvel porque, numa simulao, Lorenz digitou nmeros com seis casas decimais, por exemplo: 0, 506127, noutra com trs: 0, 506, isto e, uma nfima diferena. Mas comparando os dois grficos resultantes, depois de processados os dados as diferenas eram enormes nos grficos de um e de outro. Uma nfima mudana agora pode resultar numa grande diferena depois. (pg. 58)

Como se pode ver at mesmo uma nfima variao em uma frmula pode causar uma

enorme diferena no grfico obtido assim tambm as variaes da natureza podem causar

estragos de propores gigantescas bastando para isso uma variao mnima na intensidade e

direo dos ventos ou um terremoto no fundo mar a milhares de quilmetros da costa podem

causam muitas tragdias na costa como a tsunami ocorrida na Indonsia.

14

2.3. JOGO DO CAOS

Neste tpico iremos demonstrar que do caos surge a ordem e para isso faremos uso do jogo do

caos, o que na verdade no o que entendemos usualmente por jogo, ou seja, empregado

simplesmente como procedimento para a construo de fractais que tem caractersticas de auto-

similaridade, gerando Ordem na aparente Desordem, Regularidade na Irregularidade, j que os

sorteios dos pontos so aleatrios o que num primeiro momento poderiamos imaginar que o resultado

seria algo sem uma forma definida.

Buscamos, em nossa pesquisa, o estabelecimento do jogo, no sentido ldico usual, e

principalmente como recurso pedaggico para o ensino fundamental ou mdio, capaz de desenvolver

ou fixar conceitos de Fractal e Caos. Para tanto, buscamos em Barbosa (2005) e Bublitz & Nunes

(2007), os conceitos tericos para esse desenvolvimento.

Para iniciarmos o Jogo do Caos devemos marcar trs pontos nos vrtices de um

tringulo eqiltero, e atribuindo a um vrtice a cor vermelha, ao outro o azul, e ao terceiro

verde. necessrio tambm um dado com duas faces na cor vermelha, correspondentes aos

lados 1 e 4, duas faces na cor azul correspondentes aos lados 2 e 5, e duas faces na cor verde

correspondentes aos lados 3 e 6 do dado, para que fiquem em lados opostos do dado. Em

seguida, marcamos um ponto em qualquer lugar no tringulo, mas que esteja fora do

baricentro. Esse ponto ser a Semente inicial do jogo.

Joga-se ento o dado, e dependendo da cor que cair, move-se a semente exatamente

para a metade da distncia do ponto inicial em direo ao vrtice com a cor correspondente;

isto , se cair o lado vermelho do dado, move-se a semente para a metade da distncia entre o

ponto inicial e o vrtice vermelho. Por exemplo, se a distancia entre o ponto inicial e o vrtice

vermelho for de 5 cm, move-se a semente 2,5 cm na direo desse vrtice.

Jogamos novamente o dado e agora, move-se a semente a partir do ponto onde parou

na jogada anterior at a metade da distncia entre ponto e o vrtice cuja cor apareceu no dado.

E assim por diante, conforme indica a figura abaixo:

15

Figura 1 Semente Inicial

As figuras seguintes mostram, progressivamente os resultados da evoluo do Jogo do

Caos, e aps 1.000, 5.000 e 10.000 jogadas.

Os pontos esto dispostos em tres regies triangulares independente da posio da

semente inicial, e no existem pontos no triangulo central, s nos tres dos cantos.

Figura 2 Jogo do Caos aps 1.000 jogadas

Figura 3 Jogo do Caos aps 5.000 jogadas

Figura 4 Jogo do Caos aps 10.000 jogadas

Se aplicarmos o mesmo processo nos tringulos dos cantos, e repetirmos novamente

nos tringulos que obtivermos e assim sucessivamente nos tringulos eqilteros dos cantos,

por mais pontos que marcarmos e repetirmos o processo no ter pontos nos tringulos

centrais.

As imagens formadas a partir das repeties infinitas vezes, ser o que se chama de

tringulo de Sierpinski.

Semente

16

Figura 5 Incio da construo do triangulo de Sierpinski.

Figura 6 Metade da construo do triangulo de Sierpinski.

Figura 7 Triangula de Sierpinski pronto.

Acreditamos que esta construo ilustra muito bem a relao ntima que a Teoria do

Caos mantm com a Teoria dos Fractais, pois apesar da aparente desordem do inicio do jogo,

o final nos revela uma imagem fractal perfeitamente simtrica e mesmo com as repeties

tendendo ao infinito as imagens permaneceram inalteradas, sem nenhum ponto nos tringulos

internos. Esta construo poder ainda ser empregada em aulas prticas em sala de aula para

despertar o interesse dos alunos pela matria.

Agora que j vimos o que Fractal e qual a sua ligao com a Teoria do Caos, e como

os fractais podem levar a Ordem ao Caos, no prximo captulo passaremos a ver alguns

fractais na natureza, e nas mais diferentes reas do conhecimento humano.

17

CAPTULO 3: Onde Encontrar Fractais

3.1. FRACTAIS NA NATUREZA

Verificaremos nesse tpico que a geometria fractal reflete a nossa percepo da

natureza, preocupando-se em tornar objetivas as nossas intuies espaciais. A geometria

clssica, ou euclidiana, fornece uma primeira aproximao para a estrutura dos objetos fsicos.

Nesse sentido, os objetos so descritos atravs dos elementos bsicos: o ponto, a reta, o plano,

ou uma combinao destes.

Conforme Lopes & Pantaleo (2000), muitos padres naturais exibem irregularidades

e complexidades to grandes que no podem ser adequadamente descritos com a geometria

euclidiana clssica. Para objetos destas classes foram criadas geometrias alternativas, que

utilizam outras estruturas descritivas como a Geometria Fractal que uma extenso da

geometria clssica, fornecendo mtodos para avaliar e modelar objetos de extrema

complexidade. Na verdade, a geometria fractal coloca em xeque a noo de complexidade,

um convite a olhar a natureza sob outra tica.

Para Stewart apud Fernandes (2007), formas encontradas nos animais e plantas

chamam a ateno dos matemticos, por exemplo, muitas conchas formam espirais, as estrelas

do mar possuem um conjunto simtrico de braos, alguns vrus adotam formas geomtricas

regulares. Mas alm dos padres de forma, existem os padres de movimento, como o andar

humano, onde os ps tocam o solo num ritmo regular, esquerdo-direito, ou a SideWinder, uma

cobra do deserto que se move como a espiral de uma mola helicoidal, jogando seu corpo para

frente em forma de curvas tentando minimizar seu contato com a areia quente. Mas a simetria

da natureza tambm muitas vezes imperfeita, existindo outra categoria de padres naturais,

padres que existem onde pensvamos que tudo era aleatrio e sem forma, estes padres so

chamados de fractais.

De acordo com Santos & Oliveira (2004) Os fractais podem ser encontrados em todo

o universo natural e em toda a cincia, desde o aspecto das nuvens, montanhas, rvores e

relmpagos, at a distribuio das galxias, assim como na arte e na matemtica. Os fractais

naturais esto nossa volta, basta observarmos as nuvens, as montanhas, os rios e seus

afluentes, os sistemas de vasos sanguneos, etc. Estes objetos foram realmente estudados a

18

fundo no sculo XX. Segundo a Universidade de Lisboa (2006a), considera-se que alguns

objetos da natureza, como montanhas, rvores e plantas, tm propriedades fractais. Na figura

a seguir podemos observar em diferentes ampliaes, a complexidade desta planta, que

apresenta a propriedade de auto-semelhana, caracterstica dos fractais. Estas propriedades

sugerem uma ligao entre os fractais e a natureza.

Batanete et all (2005) nos traz alguns exemplos de fractais na natureza como segue:

dois dos exemplos mais comuns, os brcolis e seu feto5.

Se cortarmos uma parte da flor dos brcolis (como mostra a figura) verificamos a sua

semelhana com o restante da flor. Este possui um nmero infinito de pequenas cpias

(aproximada) de si prprio.

Imagem 2 Comparao dos brcolis e o feto.

5 Feto uma pequena parte de algo maior que conserva as mesmas semelhanas do todo (auto semelhana).

19

Outro exemplo o feto que exibe, melhor ainda, a auto-semelhana, caracterstica dos

fractais.

Imagem 3 As Samambaias e os fetos.

Isto , o ramo e o feto tm propriedades fractais. Contudo, os objectos da Natureza no

so verdadeiramente fractais, pois eles no so infinitamente complexos, ou seja, no

possuem auto-semelhana exata.

J o ciclone um exemplo de fractal que est mais ligado teoria do caos e sua forma,

sentido, intensidade e direo dependem das variaes da temperatura, intensidade e direo

dos ventos, rea de presso de circulao, com ventos convergentes e circulares, no centro da

qual h um mnimo de presso relativa. Por este motivo um ciclone jamais ser igual ao outro,

assim como tambm se fizermos qualquer alterao na equao inicial que gera um fractal,

por menores que sejam estas alteraes o grfico do fractal gerado ira se alterando at no ter

a menor semelhana com o grfico da frao inicial.

20

Os relmpagos so exemplos de fractais na natureza que so conhecidos como fractais

aleatrios, pois sua forma indeterminada e devemos ainda lembrar que estes tipos

especficos de fractais no so verdadeiros por seu tamanho limitado.

Imagem 5 Relmpagos

Imagem 4 Ciclone

21

A linha costeira de um pas um exemplo de um fractal que ocorre na Natureza, os

mapas de linhas costeiras, desenhados em escalas diferentes, resultam em tamanhos diferentes

quanto menor for dimenso, mais exata ser a medio dessa linha costeira.

Um exemplo dessa teoria encontra- se em Batanete et all (2005), que considera um

pedao de linha costeira em uma regio acidentada, e tenta determinar qual o seu

comprimento efetivo, evidente que essa linha no mnimo, igual distncia em linha reta

entre as duas extremidades da linha costeira que consideramos. Assim, se a costa fosse direta,

no teria problema e estaria resolvido neste primeiro passo. Mas uma verdadeira costa natural

extremamente sinuosa e, conseqentemente, muito mais longa que a distncia em linha reta.

Uma frase que ficou famosa a indagao que Mandelbrot costuma usar em suas

palestras e que Barbosa (2005) nos trs para uma reflexo mais profunda:

Que extenso tem o litoral da Gr-Bretanha?. A resposta possvel variar conforme a escala de medio. Baias e pennsulas aparecero ou no, dependendo da escala adotada. Sabe-se, por exemplo, que em documentos dos dois pases vizinhos, a fronteira da Espanha com Portugal difere em cerca de 20%, o mesmo acontecendo, por exemplo, com a fronteira da Holanda e da Blgica. Claro que ao efetuar as medidas cada pas empregou instrumentos com unidades de escala diferentes (p.12)

A linha costeira em geral calculada a partir de fotografias de satlite, mas se as

fotografias fossem tiradas de um avio, as irregularidades seriam mais visveis e seria obtido

outro valor e se em vez de fotografia fossem medidas diretamente todas as salincias e

reentrncias, seria obtido um valor muito maior. Se, fosse usada uma rgua de um decmetro e

repetindo a tarefa, seria obtida uma maior preciso nas medidas dos contornos rochosos,

comeando a ter em conta a irregularidade das pedras, e o comprimento final obtido seria

ainda maior.

Figura 8 Linha Costeira Ampliada.

22

Na figura ampliada 80 vezes visualizamos uma parte de uma linha costeira, que se

repetisse esta tarefa indefinidamente, mas sempre reduzindo a escala de medio da costa, o

seu comprimento iria aumentar e tenderia ao infinito, j quanto menor a unidade medida

maior o comprimento da costa, isso em escala microscpica.

Conclui-se que o comprimento da costa de um pas tende para o infinito, embora a

rea que a limita seja finita.

Qual o comprimento de uma determinada linha costeira?

A dimenso de uma curva fractal o nmero que caracteriza a maneira na qual a

medida do comprimento est entre dois pontos e ela aumenta medida que a escala diminui.

Podemos defini-la de um modo um pouco diferente, mas conveniente para estudar uma linha

costeira, e assim verificamos que quanto menor for unidade de medida maior ser a medida

da linha costeira.

E assim segundo Batanete et all (2005) temos:

Equao 1 Equao geral da Dimenso Fractal de uma linha litornea qualquer.

Onde L1 e L2 so as quantidades de unidades de medida das curvas (em unidades) e

S1 e S2 so os tamanhos das unidades (ou seja, as escalas) usadas na medio.

A figura seguinte representa a linha costeira de uma regio, onde foram utilizadas

unidades de medida de tamanhos diferentes (S) para estimar o comprimento (L) do litoral.

23

Figura 9 Representao de uma linha Costeira qualquer.

Neste litoral, as medidas de S=1 e S=0.5 resultam nos comprimentos L=7 e, L=20

respectivamente. Ento:

Equao 2. Equao hipottica da Dimenso Fractal de uma linha litornea qualquer.

De modo anlogo, a transio de S=1 para S=2 leva-nos menor

estimativa aproximada de d1,22 e de S=2 para S=3, d1,13.

Em vez de ter somente uma dimenso (como uma linha num mapa) tem uma dimenso

fractal que varia entre 1 e 2, com as unidades de medida escolhidas (uma aproximao que

fizemos).

24

3.2. FRACTAIS NA MEDICINA

Na medicina um dos exemplos mais clssico a seqncia do DNA que apresenta uma

auto-similaridade que se repete infimamente demonstrando a sua estrutura fractal.

Figura 10 Seqncia de DNA

O sistema arterial do corao, e os pulmes fazem parte do sistema respiratrio e so

outros exemplos da rea de estudo dos fractais e como estas ramificaes se comportam.

nesse sentido que Batanete et all (2005) nos traz a luz que no final da dcada de

oitenta, estudos revelaram que um corao saudvel bate a um ritmo fractal e que um

batimento cardaco quase peridico, um sintoma de insuficincia cardaca, ou seja, se um

corao deixa de ter um ritmo fractal a pessoa passa a ter arritmia cardaca.

Os vasos sangneos, da aorta aos capilares, tm tambm propriedades fractais.

Ramificam-se, dividem-se e voltam a ramificar-se ate se tornarem to finos que as clulas

sanguneas so forcadas a passar em fila indiana. A natureza dessa ramificao fractal. A

natureza da estrutura fractal operou com tal eficincia que, em muito tecidos, nenhuma clula

se encontra a mais de trs ou quatro clulas de distncia de um vaso sanguneo.

25

Figura 11 Vasos Sangneos do Corao.

De acordo com Ferrara e Prado, apud Silva (2007):

O corpo humano um dos exemplos mais surpreendentes da realidade fractal. Na maioria dos tecidos, nenhuma clula est a uma distncia de mais de trs ou quatro clulas de um vaso sangneo. Mesmo assim, vasos e sangue ocupam pouco espao, no indo alm de 5% do corpo. O aparelho digestivo revela ondulaes de tecidos. Os alvolos do pulmo so admiravelmente fractais: concentram uma superfcie maior do que uma quadra de tnis. (p.6)

. Figura 12 Ramificaes Pulmonares.

26

Ainda no corpo humano encontramos estruturas fractais complexas como o crebro

que formado por trilhes de ligaes entre os neurnios que se ramificam aparentando uma

estrutura catica, mas que se ramificam de maneira fractal.

Na Revista Veja on-line de 20 de maro de 1996 encontramos a seguinte reportagem:

Em 1 quilo e 500 gramas de crebro, a massa enceflica de um adulto, 100 bilhes de clulas nervosas esto em atividade. Cada uma liga-se a milhares de outras em mais de 100 trilhes de conexes. A trama precisa e delicada. Graas a ela, o homem pensa, raciocina, lembra. Enxerga, ouve, aprende. Emociona-se6.

Podemos notar que o corpo humano est repleto de estruturas fractais e seu estudo

pode ainda nos revelar muitos mistrios.

6Disponvelem:. Acesso em 25 jul. 08

27

3.3. FRACTAIS NA ARTE

O artista americano Nicholas Rougeux tem apenas 26 anos, e cresceu frente de

computadores. web designer e membro do deviant Art7 onde tem merecido diversos

destaques. Apesar da sua juventude, j realizou algumas exposies e tem trabalhos

publicados. Fractais a sua especialidade, e ele exmio conhecedor da arte digital, que

transforma em psteres e calendrios originais.

As obras Inspiration e Thrive8 do artista Nicholas Rougeux so alguns dos exemplos

dos fractais na arte

Imagem 6 Quadro Fractal Artstico Inspiration de Nicholas Rougeux.

7 Galeria de Arte virtual disponvel em: http://translate.google.com/translate?hl=pt- R&sl=en&u=http://www.deviantart.com/&sa=X&oi=translate&resnum=1&ct=result&prev=/search%3Fq%3Ddeviant%2BArt%26hl%3Dpt-BR%26rls%3Dcom.microsoft:pt-br:IE-SearchBox%26rlz%3D1I7ADBF%26pwst%3D1 8 Disponvel em:< http://blog.uncovering.org/archives/2008/04/fractais_de_nic.html>. Acesso em: 25 jul. 08.

28

Imagem 7 Quadro Fractal Artstico Thrive de Nicholas Rougeux.

Existem ainda diversas outras aplicaes dos fractais, e como exemplo, podemos citar

os existentes na: Biologia, Fsica, Qumica, Geografia, sendo que alguns deles j foram vistos.

Neste Captulo observamos onde podemos encontrar os fractais e verificamos que eles

tm as mais variadas formas, e podem ser encontrados nos lugares onde jamais poderamos

imaginar.

No captulo seguinte iremos ver quais so os tipos de fractais, sendo que entre os

vrios que podem ser encontrados vamos nos ater a apenas dois.

29

CAPTULO 4: Apresentando Fractais

4.1. FRACTAIS GEOMTRICOS

Existe uma enorme variedade de Fractais divididos em vrios grupos com as mais

diferentes formas sendo que um totalmente diferente do outro sem qualquer semelhana

entre eles e aparentam ser de tipos diferentes, mas na verdade se subdividem em dois tipos

bem distintos: um obtido da geometria tradicional mais precisamente a euclidiana com

princpios Fractais, e o outro que so os gerados por computador que so os que apresentam

os chamados Fractais aleatrios ou abstratos.

Segundo Batanete et all (2005) As imagens fractais podem subdividir-se em diversos

de tipos. Mas, no entanto, destacam-se duas categorias: - Fractal geomtrico que tem suas

origens na geometria tradicional atravs de funes iterativas a partir de uma figura inicial

como, por exemplo, o tringulo de Sierpinski, ou a esponja de Menger.

Figura 13 Tringulo de Sierpinski.

Figura 14 Esponja de Menger.

30

4.2. FRACTAIS ALEATRIOS

O outro tipo que tem suas caractersticas bem peculiares so os aleatrios gerados por

computadores, que so o resultado de iteraes, operadas num sistema no linear, de forma

recursiva.

Imagem 8 Fractal Gerado por Computador.

Os Fractais gerados por computador permitem aos seus observadores visualizar

imagens belssimas e impressionantes, como um vasto leque de aplicaes artsticas que vai

desde a indstria cinematogrfica a msica.

Neste captulo vimos os tipos de Fractais sem, no entanto no falamos dos fractais na

natureza os quais j tratamos anteriormente.

Veremos a seguir a construo de alguns fractais que tambm podem ser facilmente

aplicados em sala de aula que tambm so conhecidos como Fractais precursores.

31

4.3. CONJUNTO DE MANDELBROT

O famoso conjunto de Mandelbrot que segundo Batanete et all (2005), tambm

conhecido como o homem do gengibre por se assemelhar com um corpo gordo e uma

cabea redonda

O conjunto de Mandelbrot tem uma forma muito particular de auto-semelhana aproximada existe uma repetio infinita do conjunto, mas tambm uma infinita variedade de formas rodeando esse conjunto, se o ampliarmos suficientemente. Excetuando diversas ampliaes podemos encontrar formas fascinantes que nos fazem lembrar botes de flor, cavalos-marinhos, arabescos9, vrtices, torres, cactos a deitar rebentos, espirais, cobras finas, ondas ou plantas exticas encontramos um numero infinito de copias do prprio conjunto numa diversidade impressionante de escalas. E a auto-semelhanca levada ao seu extremo mais belo, como se pode observar pelas sucessivas ampliaes do conjunto de Mandelbrot. (p. 50 e 51)

Imagem 9 Ampliaes do conjunto de Mandelbrot.

Imagem 10 Ampliaes de outras reas do Conjunto de Mandelbrot.

9 Ornato de origem rabe, no qual se entrelaam linhas, ramagens, grinaldas, flores, frutos, etc. 2.Rabisco, garatuja. Disponvel em: Verso eletrnica do Novo Dicionrio Aurlio (2005) Verso 5.0.40 Br. Em CD ROM

32

4.4. CONJUNTO DE CANTOR

No final do sculo XIX e incio do sculo XX, os processos recursivos e iterativos

para obteno de conjuntos chamaram a ateno de matemticos como George Cantor, Helge

Von Koch, Waclav Sierpinski, Giusepe Peano. Barbosa (2005) afirma que o estudo desses

matemticos foi fundamental para o desenvolvimento dessa nova geometria e seus conjuntos

so conhecidos como fractais clssicos ou precursores.

O conjunto de Cantor, criado pelo matemtico alemo George Cantor em 1883,

construdo da seguinte maneira: tomamos um segmento de reta (primeiro seguimento inteiro

que vai se 0 a 1) e o partimos em trs segmentos iguais (que vai de 1 a 1/3, de 1/3 a 2/3 e de

2/3 a 1). Em seguida, o pedao intermedirio retirado (retire o pedao que vai de 1/3 a 2/3).

Os dois segmentos restantes so de novo repartidos em trs segmentos iguais e os segmentos

intermedirios so retirados (o seguimento que vai de 0 a 1/3 dividido e fica de 0 a 1/9 de

1/9 a 2/9 e de 2/9 a 1/3, e o seguimento que vai de 2/3 a 1 dividido e fica de 2/3 a 7/9, de 7/9

a 8/9 e de 8/9 a 1, os seguimentos que vo respectivamente de 1/9 a 2/9 e de 7/9 a 8/9 so

retirados).

O processo de repartir os segmentos e de retirar o pedao intermedirio prossegue

sucessivamente e indefinidamente.

Figura 15 Conjunto de Cantor.

33

4.5. CURVA DE KOCH

O conjunto conhecido como Curva de Koch e o Floco de Neve de Koch foram criados

pelo matemtico sueco Helge Von Koch em 1904. A construo da curva de Koch comea

com um simples seguimento de reta que chamada de iniciador, e este seguimento dividido

em trs partes iguais onde a parte do meio trocada por um tringulo eqiltero sem o

segmento da base.

A construo obtida ser chamada de conjunto gerador. O processo repetido vrias

vezes, ou seja, pegamos cada um dos quatro novos seguimentos obtidos dividimos cada um

em trs novas partes e retiramos o seguimento central e trocamos por um tringulo eqiltero

sem a base, esta construo se repete infinitamente. Na figura abaixo podemos ver passo a

passo esta construo.

Figura 16 Curva de Koch.

34

4.6. FLOCO DE NEVE DE KOCH

A construo do Floco de Neve de Koch obtida a partir da mesma construo bsica

da curva de Koch s que no iniciarmos a construo a partir de um seguimento de reta, mas

por um tringulo eqiltero, e seguiremos os mesmos passos da construo da curva de Koch,

isso devera ser feito para cada lado do tringulo os mesmos passos que foram feitos na

construo anterior, dividimos cada aresta do triangulo em trs seguimentos de retas todos

como o mesmo tamanho, retiramos o seguimento central e trocamos por um triangulo

eqiltero sem a parte de baixo; e assim sucessivamente. Nesse tipo de construo quanto

mais ns dividir - mos a figura e efetuar as alteraes necessrias maior ser o seu permetro e

menor o seguimento de reta que iremos utilizar.

Figura 17 Floco de Neve de Koch.

35

4.7. TRIANGULO DE SIERPINSKI

O conjunto conhecido como Tringulo de Sierpinski foi criado pelo matemtico

polons Waclav Sierpinski em 1916 e possui, alm de caractersticas e propriedades fractais,

que se relacionam com o Jogo do Caos como j vimos. No momento vamos nos ater na

construo bsica.

A construo do tringulo de Sierpinski comea com o desenho de um tringulo

eqiltero. Depois marcamos os pontos mdios dos trs lados do triangulo e ser

formado um quarto triangulo que tem os vrtices nesses pontos, este quatro tringulos

com lados iguais a metade do tringulo anterior e, o tringulo central deve ser

eliminado, removido ou pintado com uma cor diferente. Repetir em cada um dos

tringulos no eliminados as mesmas construes anteriores sucessivamente.

Figura 18 Construo do tringulo de Sierpinski.

Outra maneira de se obter o triangula Sierpinski atravs to Triangulo de Pascal, pois

se retirarmos os nmeros pares e colorirmos de preto os nmeros impares obtemos a seguinte

imagem, ou seja, o tringulo de Pascal "transforma-se" assim no tringulo de Sierpinski10.

Figura 19 Construo do tringulo de Sierpinski a partir do Triangulo de Pascal.

10 Disponvel em: acessado em 17 Nov. 2008

36

4.7. CURVA DE PEANO

Giusepe Peano, italiano nasceu em Cuneo (1858) e faleceu em Turim (1932) em 1890

publicou a sua famosa curva, proposta como cobrindo totalmente uma superficie plana

quadrada.

A construo bastante simples e iniciamos com um segmento de reta .

______________________Figura 20 Inicia da Construo Curva de Peano.

Substitumos este segmento por uma curva de nove segmentos em uma escala de 1/3.

Figura 21 Segundo passo da Construo Curva de Peano.

Substitumos cada segmento anterios pela curva de nove segmentos, e assim

sucessivamente.

Figura 22 Terceiro passo da Construo Curva de Peano.

37

Nesta iterao procedemos da mesma maneira que as anteriores e assim infinitamente,

em qualquer parte da curva que olharmos iremos observar o mesmo padro, ou seja, a curva

de nove seguimentos e escala de reduo ser sempre de 1/3.

Figura 23 Quarto passo da Construo Curva de Peano.

Neste captulos apresentamos algumas das curvas mais famosas que influenciaram

Benoit Mandelbrot em suas pesquisas e devem ter contribudo para a criao dos Fractais por

apresentarem estas caracteristicas, mas ainda tinham sido estudados com esta nova viso

geomtrica.

No captulo seguinte iremos apresentar como alguns fractais podem ser facilmente

trabalhados em sala de aula por alunos do Ensino Fundamental com materiais pedaggicos.

38

CAPTULO 5: Trabalhando Fractais.

5.1. ATIVIDADES PRTICAS

Iremos apresentar agora algumas maneiras de tornar o ensino e a aprendizagem da

geometria fractal um prazer e dispertar nos alunos o interesse por esta geometria artstica de

uma beleza incomparvel.

Isto posto, nos traz a lembrana uma frase dita por Barbosa (2005):

O despertar e desenvolver do senso esttico pode muito bem ser cuidado e aproveitado com o tema fractais,quer apreciando o belo irradiante, quer observando a regularidade harmoniosa nas suas prprias irregularidades. Cremos, no entanto, que os fractais, em especial para a geometria fractal, faz-se necessrio ao educador conseguir captar o educando com o transparecer de sua prpria vibrao e talvez evidenciando o xtase na contemplao da beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazer pelas informaes e conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais. (p.12)

Os Fractais como vimos no texto de Barbosa tem muito a oferecer aos alunos e cabe

aos professores dispertar este interce em seus educandos, o que se torna uma tarefa mais facil

para o educador se contar com uma ferramenta de trabalho que possa prender a ateno do

aluno e nada mais chamativo do que imagens de uma beleza e complexidade rara, e que os

estudantes possam construir.

39

5.1.1. CARTO FRACTAL

Iremos trabalhar basicamente com dois tipos de construes uma utilizando

tesoura, e cartolina e a outra ser utilizando softwares matemticos para efetuar estas

construes.

Uma atividade prtica que pode ser bastante prazerosa em sala de aula, e ao

mesmo tempo em que instrui desperta o lado ldico no aluno a construo de um carto

fractal que bem simples, segundo Batanete et al. (2005 p. 67-68): A partir desta atividade

os alunos chegaro a concluses mais simples, mas que, para efeito de pesquisa, so vlidos

para anlise do nvel de abstrao conseguido e da capacidade de adequao dos

conhecimentos adquiridos a novas situaes.

Os materiais a serem utilizados so tesoura e cartolina cortada do tamanho da uma

folha de papel A4.

Construo:

1. Primeiro passo para a primeira gerao pegue uma folha de cartolina j

cortada.

2. Passo 2 dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura, como mostra a figura.

Figura 24 Segundo passo da construo do carto Fractal.

3. Passo 3 com a folha dobrada ao meio faa dois cortes verticais simtricos a

uma distncia 4x das extremidades da folha, de altura

2a , como mostra a

figura 25. Note que 24

2 xxa == .

x

40

Figura 25 Terceiro passo da construo do carto Fractal.

4. Passo 4 dobre o retngulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra.

Figura 26 Quarto passo da construo do carto Fractal.

5. Passo 5 volte o retngulo dobrado para a posio inicial e puxe o centro da

figura em relevo. Podemos dizer que esta a primeira gerao do carto

fractal.

Figura 27 Quinto passo da construo do carto Fractal.

a

a/2

x/4

41

6. Passo 6 dobre a folha novamente, conforme passo 3, pois as geraes seguintes

sero obtidas seguindo os mesmos passos de 3 a 5, porm em uma escala

menor, apenas na regio dobrada. A segunda gerao do carto fractal obtida

com o corte mostrado na figura seguinte.

Figura 28 Sexto passo da construo do carto Fractal.

7. Passo 7 dobre o retngulo para cima, fazendo um vinco na dobra.

Figura 29 Stimo passo da construo do carto Fractal.

8. Passo 8 volte o retngulo dobrado para a posio inicial e puxe a figura em

relevo. Neste momento, temos a primeira e a segunda gerao do carto

fractal.

a

a/4

a/2

42

Figura 30 Oitavo passo da construo do carto Fractal.

9. Para obter mais geraes, repita esse processo enquanto for possvel realizar os

cortes e as dobraduras no papel, sempre usando a regra de corte estabelecida

no passo 3. Por fim, desdobre todos os recortes e puxe as figuras em relevo. A

figura a baixa mostra um carto de quatro geraes obtido pelo processo

descrito.

Figura 31 Nono passo da construo do carto Fractal.

Podemos observar que este ltimo carto possui estruturas auto-similares. Com o

carto pronto, observamos que as formas geomtricas resultantes dos cortes e dobraduras so

paraleleppedos.

A partir desta construo que nos traz o autor supracitado podemos chegar a

algumas concluses ao analisarmos as figuras geradas, percebemos durante a construo que,

a cada novo corte e dobradura vai obtendo novos paraleleppedos.

Se chamarmos de iterao zero, a primeira gerao do carto, quantos

paraleleppedos novos surgiro a cada iterao?

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Podemos explorar a construo do carto construindo a tabela 1, que nos mostra o

numero de novos paraleleppedos a cada nova iterao, o que nos leva concluso que para as

n iteraes teremos e se continussemos as iteraes a construo tenderia para o infinito, mantendo a sua auto-similaridade.

Iterao Nmero de paraleleppedos novos 0 = 1 1 = 2 2 = 4 3 = 8 4 = 16 ... ... n

Tabela 1 Mostra o numero de iteraes realizadas e os paraleleppedos que se formaram.

Obsevamos um exemplo de como tralhar a geometria fractal utilizando os mais

simples possveis e que podem muito bem ser desenvolvidos com os alunos do ensino

fundamental, mesmo aqueles das sries iniciais de qualquer escola j que no requer qualquer

tipo de tecnologia que possa vir a tornar impossvel a realizao dessa atividade, mas como

muitas das escolas pblicas j contam com computadores e queremos crer que em um futuro

prximo todas as escolas vo ter uma sala de informtica, o que ir facilitar e incentivar

alunos e professores a descobrir a magia dos fractais.

E por este motivo que passamos agora a apresentar alguns dos softwares para se

trabalhar com a geometria fractal.

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5.2 SOFTWARE PARA A CONSTRUO DE FRACTAL

5.2.1. SOFTWARE FRACTAL FORGE11

Neste topico iremos apresentar dois dos varios softwares para a construo e a

esplorao de Fractas que so eles: o Fractal Forge e o superlogo.

Iremos inicir apresentando o Fractal Forge que um software que tras vrios

imagens de fractais j prontas para serem exploradas, podemos escolher uma imagem

qualquer entre as varias disponiveis e efetuar varias ampliaes onde os alunos podem

verificar que quando aproximamos a imagem de um determinado ponto que seja uma

semelhante da imagem inicial ele mantem a semelhante com esta imagem, este um

programa muito interativo sendo que o aluno poser ir alterando as formulas e perceber o que

ocorre com a figura, ele tambm poder alterar a cor e potencia e ir descobrindo toda a

potencialidade do software como por exemplo: esta seo com trs imagens apliadas de uma

mesma figura. A segunda imagem uma aproximao da primeira e a terceira uma

aproximao da segunda e assim sucessivamente.

Este programa podera ser usado em sala de aula para que o aluno perceba o carater

de auto-similaridade dos Frctais.

Imagem 11 seqncias de aproximaes no Fractal Forge.

11 Disponvel para Download em: http://www.fractovia.org/uberto/download.html

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5.2.2. SOFTWARE SUPER LOGO12

O super logo um software gratuito distribudo pela NIED da UNICAMP de

Campinas, com ele podemos desenhar varia estruturas Fractais, entre elas esto os fractais

conhecido como rvore e o Tringulo de Sierpinski, como o descrito por SALVADOR

(2001) aprenda arvore :x se :x

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Passamos agora a construo do Triangulo de Sierpinski seguindo os passos

abaixo, como podemos ver trata-se de uma construo muito simples, mas de grande

complexidade pelo numero reduzido de passos para se chegar ao resultado obtido. aprenda tri :x se :x Acessado em 29 out. 2008.

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fim de respeitar e preservar a construo original do autor optamos por no fazer qualquer

tipo de alterao na formula, mas esclarecemos que foi usado como varivel a palavra tam,

mas poderia ser X, Y ou Z que no faria a menor diferena no resultado final.

Figura 34 Samambaia construda no logo.

J o Fractal que iremos demostrar a seguir trabalhado no superlogo e tem uma

construo um pouco mais complicada, mas ainda assim pode ser trabalhado em sala de aula,

sem maiores transtornos j que segundo FREITAS & SANTOS (2005) este Floco de Neve

Koch foi resultado de um Trabalhado experimental realizado por alunos da 7 srie do Ensino

Fundamental e apresenta a seguinte construo:

aprenda figura :x ul pf :x pe 60 pf :x pd 120 pf :x pe 60 pf :x fim aprenda triangulo :x ul figura :x pe 60 figura :x pd 120 figura :x pe 60 figura :x fim aprenda triangulo2 :x ul triangulo :x pe 60 triangulo :x pd 120 triangulo :x pe 60 triangulo :x fim aprenda triangulo3 :x ul triangulo2 :x pe 60 espere 3 triangulo2 :x pd 120 espere 3 triangulo2 :x pe 60 espere 3 triangulo2 :x espere 3

48

fim aprenda triangulo4 :x ul triangulo3 :x pd 120 triangulo3 :x pd 120 triangulo3 :x pd 120 fim

Figura 35 Floco de Neve de Koch construdo no Logo.

Costruimos este Fractal no Logo assim como construimos os demias, mas um fato

bem intersante nos chamou a ateno j que seguimos todos os passos descritos pelo autor

sem fazer qualquer alterao e depois de todos os comandos inceridos no software tentamos

por varias vezes dar o comando para a construo do Floco de Neve e nada acontecia; assim

fizemos nos demais, digitando a palavra cheve que a que vem logo apos a palavra aprenda

da primeira linha de cada construo alterando apenas a variavel pelo tamanho desejado e

dando o comando de executar no logo, mas no entanto era apenas construida o chamado

cojunto gerador da Curva de Koch como vimos no Capitulo anterior, por este motivos e j

que o autor coloca no texto apenas os passos para a construo mas no diz qual o comando

digitar para que o Logo construa o Floco de Neve, passamos varis dias tentando fazer

modificae na formula para tentar corrigir o erro e depois de muitas tentativas

descobrimos que o comando a ser digitado para construo era o da ultima figura que era dada

para o Logo aprender ou seja triangulo4 :x e desta forma finalmente tivemos xito em

construir este Floco de Neve que uma estrutura considerada muito complexa e construda

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por um software que considerado por muitos como uma tartaruguinha para criana brincar

de construir quadrados.

Os autores FREITAS & SANTOS (2005) nos traz varias razoes para o

desenvolvimento desta experincia em sala de aula alem de explanar de onde surgiu esta

idia: A idia de utilizar a Geometria Fractal partiu da necessidade de se explorar uma geometria que se aproxima das formas expostas na natureza e a partir da conseguir subsdios para motivar e embasar vrios estudos importantes dentro da Matemtica. Oferecer recursos para que os estudantes possam explorar e descobrir novas estratgias para o estudo faz parte das necessidades exigidas para o professor atual. Os Parmetros Curriculares Nacionais para a rea de Matemtica, no Ensino Fundamental, que esto pautados por princpios decorrentes de estudos, pesquisas, prticas e debates desenvolvidos nos ltimos anos, enfocam a abordagem de novas metodologias e prticas visando uma aprendizagem significativa buscando as competncias mnimas necessrias para a formao bsica. Entre eles destacam-se:

a Matemtica componente importante na construo da cidadania; a Matemtica precisa estar ao alcance de todos; a atividade matemtica escolar no olhar para coisas prontas e

definitivas; a aprendizagem em Matemtica est ligada compreenso, isto ,

apreenso do significado; recursos didticos como jogos, livros, vdeos, calculadoras,

computadores e outros materiais tm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem.

A busca desta abordagem diferenciada a partir da percepo das formas irregulares da natureza e a possibilidade de utilizar um recurso informatizado para a melhoria da aprendizagem nos levaram a estudar as formas fractais fugindo um pouco do estudo tradicional de geometria encontrada nos livros didticos e praticada nas escolas. Este desafio de fugir do tradicional foi o mesmo aceito pelos primeiros estudiosos deste tipo de geometria. (p.2)

No texto encontramos varias justificativas para a realizao este trabalho com os

alunos destacando o empenhou dos alunos para construir os Fractais, e que resultados

diversos fontes de pesquisa como livros, Internet, revistas, entre outros, e que mais importante

do que o produto que poderiam chegar, era a criao, o processo da construo no s dos

Fractais mas do prprio conhecimento e eles se surpreenderam com os resultados obtidos

superando as suas expectativas, e o material produzido pelos alunos foi utilizado para que

pudessem entender os conceitos matemticos e trabalhar a simetria, a semelhana, a

proporcionalidade, alem do trabalho com a lgebra, seqncias e funes.

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5.3 ENSINANDO A TARTARUGA.

Estes procedimentos fazem parte do Tutorial14 do super logo que ensina como

trabalhar com o Logo, iremos descrever a seguir os passos para gerar as Figuras Fractais,

vamos iniciar com o comando APRENDA!

O comando APRENDA vai ensinar a tartaruga uma funo qualquer. Ao ser

digitado APRENDA, abre-se uma caixa de texto onde voc deve escrever as instrues das

tarefas que voc esta ensinando para a tartaruga atravs destes comandos que a tartaruga

sabe se para ir para a direita ou para esquerda e quanto de v ir 1, 5, 10 ou quantos

centmetros ou se para frente ou para traz, quando terminamos inserir todos os dados digite

FIM para saber que inseriu todos os comandos que quer que ele desempenhe.

A alternativa que acreditamos ser a mais rpida e simples ir direto ao menu

Procedimento e escolher a opo NOVO, ira abrir uma planilha para editar textos, onde

podemos copiar os procedimentos para criar os Fractais descritos acima e colar direto na nova

planilha, aps, os dados serem inseridos v ao menu rea de Trabalho e escolha a opo

atualizar rea de trabalho, para ver o resultado do programa, na janela de comando digite o

nome da figura que acabou de configurar seguido pelo numero que deseja substituir na

varivel e ver o resultado note que para inserir um parmetro no seu programa e necessrio

usar (:) e tambm sempre que voc use este parmetro dentro do programa j que a varivel

que tiver diante dos dois pontos que ser substituda pelo novo valor.

14 Disponvel em:< http://www.inf.ufsc.br/~rfag/Materias/ProgFuncional/PFTutorialSLogo.pdf> acessado em 31 out. 2008.

51

CAPTULO 6: Consideraes Finais e Concluses

6.1. CONSIDERAES FINAIS.

Vrias lembranas me vm cabea quando recordo o caminho percorrido para

realizar este trabalho bem como o que li e o que aprendi o que experimentei e o que descobri.

Quando tento organizar toda a informao que adquiri at agora sobre os fractais, algumas

idias ainda no fazem sentido para mim, mas no deixam de ter a sua devida importncia e

mesmo aps a concluso deste trabalho pretendo continuar tentando entender a Natureza da

Geometria Fractal, no por uma necessidade de apresentar um trabalho, mas sim por uma

necessidade pessoal que a de entender melhor a natureza dos Fractais.

O trabalho foi antes de tudo muito gratificante para mim, porque me levou a

descobrir um tema do qual eu no tinha conhecimento, e mesmo depois do trabalho terminado

tenho apenas uma vaga noo da Geometria Fractal (vaga porque tenho ainda que aprender

muito). Este tema despertado em mim muito interesse, e medida que fui compreendendo os

conceitos nele envolvidos fui tentando ao mximo apresent-los, a minha curiosidade sobre os

Fractais cresceu amplamente. Para isso tambm muito contribuiu a constatao que a

geometria fractal est presente em tantos lugares (sobretudo em objetos e na natureza) e que

formas to complexas, e por vezes to bonitas podem ser criadas, ou simuladas, por processos

matemticos muito simples.

meu ver o estudo dos Fractais, e o campo onde eles podem ser aplicados muito

vasto e em reas diversas, desde as cincias naturais passando pela medicina, artes e

principalmente na rea de tecnologia.

A sensao que tenho que estou vendo apenas a ponta de um enorme iceberg e

que a maior parte dele ainda est escondido. Creio que a Geometria Fractal tem ainda muito

para ser descoberto, e apesar de ter dado muito de mim para este trabalho ser uma realidade

ainda muito pouco diante de toda a potencialidade da Geometria Fractal.

Para cada porta que se abre leva a outra que se abre para outra, e ainda mais outras,

e assim sucessivamente de tal maneira que nunca acaba tornando o todo cada vez mais

complexo e mais bonito.

52

Vale pena continuar a estudar o conceito de Fractal, as suas aplicabilidades e a

formalizar meios de apresentar esta idia matemtica aos alunos e ajud-los a descobrir este

admirvel mundo novo levando a Geometria Fractal para o Ensino Fundamental e Mdio.

.

53

6. 2. CONCLUSES.

Com este estudo concluiu-se que os fractais e sua geometria so um ramo da

Matemtica ainda pouco estudado, mas que embora tenha grande importncia voltada

principalmente para a Biologia e Medicina tem muito ainda a ser estudado e descoberto, alm

disso, os fractais tm uma vasta aplicao artstica e topogrfica o que pode incentivar e

despertar o interesse e a curiosidade dos alunos em sala de aula de uma maneira ldica ou

atravs do uso de softwares especficos que demonstram toda esta beleza.

Conclui-se ainda que a Geometria Fractal possa ser perfeitamente trabalhada em

sala de aula, ou em sala de informtica sem o emprego de grandes recursos e com softwares

de domnio publicou ou mesmo com rgua, papel e tesoura, cabe a nos como professores de

matemtica que estamos saindo da Faculdade para ingressar no mercado de trabalho levar at

nossos alunos conceito da Geometria Fractal se no como uma matria, mas como outra

maneira de ensinar matemtica, ou at mesmo apresentar aos alunos os Fractais para no

cheguem ao ensino superior sem ter noo do que isso vem a ser.

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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ALMEIDA, Arlete Aparecida Oliveira. Os fractais na Formao Docente e sua Prtica em Sala de Aula. Dissertao apresentada Banca Examinadora da PUC de So Paulo Para obteno do ttulo de MESTRE EM ENSINO DE MATEMTICA ano 2006. BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. ed. Autentica: Tendncias em Educao Matemtica, 2005, 156 p. BARROS, Kleber Napoleo Nunes de O; SILVA, Cleibson Jos; GOMES, Jacqueline Oliveira de Melo. ABORDAGEM ALGBRICA, GEOMTRICA E COMPUTACIONAL DA CONSTRUO DOS FRACTAIS. BATANETE, Ana et al. Natureza-Caos ou Ordem? UNIVERSIDADE DE COIMBRA Faculdade de Cincias e Tecnologia, Departamento de Matemtica Fundamentos e Ensino da lgebra, 2005, 80 p. BUBLITZ, Aline Natana; NUNES, Jssica Reis. A Magia Dos Fractais. XXIII FEIRA REGIONAL DE MATEMTICA Pomerode Sc. 2007. FERNANDES, Jaqueline Aparecida. FRACTAIS: UMA NOVA VISO DA MATEMTICA Monografia apresentada ao Centro Universitrio de Lavras UNILAVRAS LAVRAS MG 2007, disponvel em: . Acesso em 20 abr. 2008. FREITAS, Rony Cludio de Oliveira; SANTOS, Carmen Faria. Trabalhando Fractais no Logo: uma experincia no ensino Fundamental Centro de Ensino Superior Ansio Teixeira (CESAT). XXV Congresso da sociedade Brasileira de Computao, ano 2005. IBARRA. Gustavo Bestetti; CASTRO. Leticia; FAGUNDES. Rodrigues. Tutorial do SuperLogo. Disponivel em: acessado em 31 out. 2008 LOPES, Cssio; PANTALEO, Carlos Henrique Z. Anlise de Imagens utilizando Fractais- Viso Computacional (2000). Disponvel em: . Acesso em 21 jun. 2008. MANDELBROT, Benoit. Biografia de Matemticos. Disponvel em: . Acesso em 23 abr. 2008. REVISTA Superinteressante, Lcia Helena de Oliveira Outubro 1994 - Edio 85 - Pg.22-27, disponvel em: . Acesso em 15 mar. 2008.

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