A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)
description
Transcript of A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)
![Page 1: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/1.jpg)
Continuum and Digital Computer
(An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)
Discrete and Continuous: Two sides of the same?
László Lovász Microsoft Research, One Microsoft Way, Redmond, WA 98052
![Page 2: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/2.jpg)
Continuum and Digital Computer
(An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből:
A matematikai problémák fő külső forrása a tudomány. A hagyományos szemlélet szerint a tér és az idő folytonos.A matematikai analízis a tudomány kemény magja.
![Page 3: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/3.jpg)
Continuum and Digital Computer
(An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből:
Van-e értelme az elemi események közötti időpontnak?Lehetséges, hogy a világnak folytonos vagy (óriási) diszkrét rendszer-ként valóleírása egyenértékű?
![Page 4: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/4.jpg)
Continuum and Digital Computer
(An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből:
A számítógépek világa diszkrét.Azt hiszem, hogy a problémák valódi megértése a diszkrét és a foly-tonos szintézisét igényli.
![Page 5: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/5.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A számítógépet használó épí-tész számára a folytonos és a diszkrét leírás különbözősége markánsan jelentkezik pl. a folytonos görbék raszter kép-ernyőn való megjelenítése során.
![Page 6: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/6.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A digitális számítógépek diszkrét jellegének alpvető kö-vetkezménye, hogy velük tulajdonképpeni valós számok nem fejezhetők ki. Nevezetesen bármely két valós szám között vannak további valós számok, a véges hoszszú-ságú regiszterekben történő számábrázolás esetén azon-ban ez nem valósulhat meg:
“fixpontos számok”
“lebegőpontos számok”
. . .“véges regiszterek”
![Page 7: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/7.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Kiséreljük meg valamely két-méretű kontinuum egy véges részének és az ezen értelmez-hető görbéknek egy kombi-nált, diszkrét-folytonos vizs-gálatát. Tekintsük a pi,j disz-krét elemek egy kétméretű vé-ges elrendezését. A diszkrét e-lemek mindegyike feleljen meg a véges síkrész egy-egy egység-négyzetének, „pixelé-nek”.
.1 ,1 jyjixi
![Page 8: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/8.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Diszkrét görbe diszkrét elemek sorszámozással ellátott olyan sorozata, ahol az egymást követő elemek szomszédosak:
Két diszkrét elem szom-szédos ha csak az egyik indexük különbözik, s a különbség 1. Más szóval, két pixel szomszédos, ha egy oldaluk közös.
.1 és
vagy, és 1
,
11
11
,1, 11
kkkk
kkkk
jikjik
jjii
jjii
pfpfkkkk
. ,..., , ,..., , 110 rkk fffff
![Page 9: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/9.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Diszkrét görbe megadható a hozzátartozó pixelek felsoro-lásával. Célszerűbb csak a
Egy diszkrét görbe repre-zentálja mindazokat a foly-tonos görbéket, amelyeket le-fed. Bármely folytonos gör-bének megfelel egy diszkrét görbe, amely éppen lefedi.
kezdőpixelt megadni és a bejárás lépéseit felsorolni:i 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10,11,11,11,12,13,14,14,...j: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,14,14,15,14,14,14,14,13,...(1,4),+y, y,+x, y, x, y, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, x, x, y, –y, x, x, x, y,...
![Page 10: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/10.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A diszkrét görbéket az oszlopa-ik első pixeleivel is jellemez-hetjük. Ha a diszkrét görbének van(nak) nem monoton oszlo-pa(i), akkor a teljes jellemzés-hez még ezek határoló pixe-le(i) is hozzáértendő(k).
A zölddel jelölt (i’,j’) és (i,j) pixelek különbsége az interval-lum-aritmetika szabályai szerint a következő négy pixel együttese: (i’-i, j’-j), (i’-i+1, j’-j), (i’-i, j’-j+1), (i’-i+1, j’-j+1). (Zölddel keretezve.)
![Page 11: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/11.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A diszkrét elemek kü-lönbségnek képzésére be-mutatott „négypixeles” szabály a diszkrét elemek körében maradva is iga-zolható a diszkrét elrende-zések (képek) finomításá-val és a kivonás és a fino-mítás felcserélhetőségé-nek megkövetelésvel.
![Page 12: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/12.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A diszkrét elemek különbségnek képzésénél, ha i > i’ vagy j > j’ (vagy mindkettő), szükség van a diszkrét elrendezések ki-terjesztésére.
![Page 13: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/13.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A függvényoszlopok különbsége pixeleik kü-lönbségeinek összes-sége. Az oszlopkülönbségek kifejezésére „vonaljele-ket” is használhatunk, amelyek a kivonandó oszlopában megjelölik a különbség sorait. E jelö-lés akkor egyértelmű, ha hozzátesszük az id=i’-i értéket.
![Page 14: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/14.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Az oszlopkülönségeket az id értékek szerint differen-cia-osztályokba sorolva vonaljeleikkel jellemezhetjük.
![Page 15: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/15.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Az oszlopkülönbségek helyett elegendő az oszlopjel-lemző pixelek különbségeit tekinteni, ebből az előb-biek rekonstruálhatók. Valamennyi id differenciaosz-tályhoz tartozó ilyen elrendezés együttesen az
oszlopokhoz rendezett differenciál.
![Page 16: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/16.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Az oszlopkülönbsé-gek vonaljeleit a ki-vonandó oszlopjel-lemző pixel sorában is elhelyezhetjük, azon képoszlopokat jelölve meg, amelyekkel azo-nos sorszámú sorokat foglalja el az illető oszlopkülönbség.
![Page 17: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/17.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
Az oszlopjellemző pixelek különbsé-geinek vonaljeleit szintén áthelyez-hetjük a képsorok-ba. Ez a
sorokhoz rendezett
differenciál.
![Page 18: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/18.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A diszkrét görbék néhány alaptípusa.
1. Az állandó
Állandó az a diszkrét görbe, amelyben a négy lehetséges lépés-irány közül csak az egyik fordul elő, más-szóval valamennyi lépésirány azonos.
![Page 19: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/19.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A diszkrét görbék néhány alaptípusa.
2. Az egyenes
Egyenes az a diszkrét görbe, amelynél a dif-ferenciál minden osz-tályában van a különb-ségi vonaljelekre il-leszkedő állandó.
![Page 20: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/20.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A diszkrét görbék néhány alaptípusa.
3. A parabola
Parabola az a diszkrét görbe, amelynél az oszlopokhoz rendezett differenciál minden osztályában van a különbségi vonaljelekre illeszkedő (pixel-)egyenes.
4. Az exponenciális diszkrét görbe
Exponenciális diszkrét görbe esetén a sorokhoz rendezett differenciál minden osztályában van a különbségi vonaljelekre illeszkedő egyenes.
![Page 21: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/21.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A bemutatott diszkrét görbék elemi összefüggése a megfelelő folytonos függvénnyel.
Az y = ax + b egyenes esetén ( y’ = C )dy = a(x + dx) + b - (ax + b) = a.dx .
Az y = ax2 + bx + c parabola esetén ( y’ = A.x + B )dy = a(x + dx) 2 + b(x + dx) + c - (ax2 + bx + c ) =
= 2.a.dx.x + b.dx.
Az y = ax exponenciális függvény esetén ( y’ = C.y )
dy = ax+dx - ax= ax.adx - ax = ax (adx -1) = (adx-1).y .
![Page 22: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/22.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A diszkrét differenciálok bemutatott rendszerét vessük egybe egy példán a folytonos függvényekkel kapcso-latban használatos véges differencia módszerrel.
Az y = ax exponenciális függvényt meghatározó diffe-renciálegyenlet y’ = C.y . Az ezt (az x temgely vala-mely n.dx hosszúságú szakaszán) közelíteni kívánó legegyszerűbb differenciaegyenlet-rendszer az alábbi:
( yi+1 - yi ) / dx = C. yi ( i = 0, 1, ... n-1).A diszkrét differenciálok segítségével ezt a differencia-egyenlet-rendszert mintegy „minden lehetséges” dx ér-tékre szimultán vizsgáljuk. Így az eredmény bizonyos értelemben „pontos”.
![Page 23: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/23.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A diszkrét differenciálok és a korábban publikált V&AA rend-szerben szereplő additív algoritmusok kapcsolatát az összeren-dezett sorozatpárok adják. Monoton diszkrét görbék bejárása-kor az x ill. y lépések ugyanúgy következnek, ahogyan az e-gyesített sorozatban a két részsorozatból származó tagok.
U1, U2, ... Uk , ... egyesített monoton sorozat
I1, I2, ... I, ... az x lépések monoton sorozata
J1, J2, ... J, ... az y lépések monoton sorozata
![Page 24: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/24.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A V&AA rendszer egy R értéknek az i,j egész számpárok-hoz való hozzárendelésén alapul, a monoton diszkrét gör-bét azon pixelek alkotják amelyeknek a négy sarkában kü-lönböző előjelű R értékek találhatók. Az R az összerende-zett sorozatpár alapján számítható:
R = R0 +(I1 + I2 + ... +Ii ) - (J1 + J2 + ... +Jj ).
Az összerendezett sorozatpárok például: - egyenest állítanak elő, ha mindkét részsorozat számtani, - parabolát, ha az egyik első, a másik másodrendű számtani, - n-ed rendű parabolát, ha az egyik első, a másik n-ed rendű
számtani, - exponenciális diszkrét görbét, ha az egyik számtani, a másik mér- tani, stb. (Ez utóbbi megállapítás gyakorlati haszna korlátozott.)
![Page 25: A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062309/56815185550346895dbfbc8a/html5/thumbnails/25.jpg)
Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.
A V&AA rendszerrel készült ábrán két forgásfelület áthatása látható. Mindkét meridiángör-be egyenlete
c1x3 + c2x2y + c3xy2 + c4y3 ++ c5x2 + c6xy + c7y2 ++ c8x + c9y + c10 = 0
típusú. Az ábra teljes egészé-ben egész számok összeadásán alpuló diszkrét módszerekkel készült, igy minden részletében „garantált pontosságú”.