A. Di Canto 9 luglio 2006 - giorgio.busoni.it · Esu di un nucleo bersaglio di carica Zecome...

Fisica Nucleare e Subnucleare- Appunti tratti dalle lezioni del prof. Bombaci e del prof. Viviani -∗

A. Di Canto

9 luglio 2006

∗Documento reperibile all’indirizzo http://web.tiscali.it/angelodicanto_home/

http://web.tiscali.it/angelodicanto_home/

Indice

1. Proprieta generali dei nuclei atomici 11.1. La forma geometrica dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Sezione d’urto Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Sezione d’urto di Mott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Fattore di forma nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. Spostamento isotopico delle righe K dei raggi X . . . . . . . . . . . 71.1.5. Momenti di quadrupolo elettrico nucleari . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Masse ed energie di legame dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. Modello a goccia liquida e formula semi-empirica di massa . . . . . 8

1.3. Radioattivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1. Legge del decadimento radioattivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Teoria quantistica dei decadimenti radioattivi . . . . . . . . . . . . 12

2. Interazione nucleare 152.1. Il deutone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Spin del deutone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2. Momento di quadrupolo elettrico del deutone . . . . . . . . . . . . 172.1.3. Momento magnetico del deutone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Il potenziale nucleone–nucleone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Teoria di Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Diffusione nucleone–nucleone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1. Sfasamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.2. Caso di diffusione in onda ` = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.3. Diffusione protone–protone e neutrone–neutrone . . . . . . . . . . 27

3. La struttura dei nuclei 313.1. Modello a gas di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Modello a shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1. Numeri magici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2. Autostati del potenziale nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.3. I momenti magnetici nell’ambito del modello a shell: le linee di

Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Decadimento α 394.1. Energetica del decadimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. La teoria dell’emissione α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

iii

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5. Decadimento β 455.1. Energetica del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2. Teoria di Fermi del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.1. Transizioni permesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.2. Transizioni proibite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3. La violazione della parita nel decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6. Decadimento γ 596.1. Energetica delle transizioni elettromagnetiche nei nuclei . . . . . . . . . . 596.2. Teoria dell’assorbimento e dell’emissione stimolata . . . . . . . . . . . . . 60

7. La fissione nucleare 637.1. Caratteristiche della fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.2. Fissione controllata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8. La fusione nucleare 718.1. Caratteristiche della fusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.2. Il ciclo di fusione p–p nelle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9. Fisica dei neutrini 779.1. L’elicita dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.1.1. Evidenza sperimentale della differenza tra neutrini ed antineutrini 789.2. La massa dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.3. L’oscillazione di sapore dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.4. Esempio di oscillazione tra due stati di neutrini . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.Fisica dei pioni 8510.1. Proprieta dei pioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.2. Risonanze negli urti pione–nucleone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10.2.1. Le particelle strane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.Introduzione alla fisica delle particelle elementari 9311.1. Studio dei nucleoni con urti di elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.1.1. Urti profondamente anelastici elettrone–protone . . . . . . . . . . 95

A. Appendici 99A.1. Probabilita di penetrazione di una barriera rettangolare unidimensionale . 99A.2. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo e regola d’oro di Fermi . 100

A.2.1. Applicazione della regola d’oro di Fermi ad un processo di diffu-sione elastica di un elettrone su di un nucleo . . . . . . . . . . . . 102

iv

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v

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1. Proprieta generali dei nuclei atomici

Nel seguito useremo la seguente notazione per indicare un nucleo atomicoAZX

dove:

(i) X indica il simbolo chimico dell’elemento, ad esempio H per l’idrogeno, O perl’ossigeno, etc.;

(ii) Z, detto numero atomico, e il numero di protoni del nucleo;

(iii) A, detto numero di massa, e il numero totale di nucleoni (protoni + neutroni) delnucleo.

Ricordiamo inoltre che i nuclei ad A =cost si dicono isobari, quelli a Z =cost isotopi.

1.1. La forma geometrica dei nuclei

In questo capitolo ci proponiamo di studiare le dimensioni e la forma dei nuclei. In lineadi principio tali informazioni potrebbero essere ottenute mediante esperimenti di diffu-sione di protoni o particelle α sui nuclei in esame. Questo fu quanto fecero Rutherford,Geiger e Marsden, i quali utilizzando fasci di particelle α, determinarono che il raggio deinuclei doveva essere inferiore a 10−14 m. In pratica, pero, e difficile estrarre informazioniparticolareggiate con questo tipo di esperimenti. innanzitutto perche i proiettili stessisono oggetti non puntiformi e la misura della sezione d’urto per il processo di diffusionein esame riflettera, quindi, non solo la struttura del bersaglio, ma anche quella del proi-ettile stesso. In secondo luogo a causa del fatto che l’interazione nucleare fra proiettile ebersaglio e dinamicamente molto complessa e non e completamente capita teoricamente.Per lo studio di oggetti dell’ordine del fermi e molto utilizzata la diffusione di elettroni,in quanto essi, per quanto ne sappiamo, sono particelle a tutti gli effetti puntiformi el’interazione fra elettrone e nucleo e solo di natura elettromagnetica (ben capita teorica-mente).La dimensione spaziale che e possibile investigare con un’esperimento di diffusione edell’ordine della lunghezza d’onda di de Broglie

λ =p

=c√

E2 −mce

si vede allora che per investigare dimensioni dell’ordine del fermi occorre, per uno scat-tering da elettrone, un’energia dell’ordine dei 100 MeV (cui corrisponde una velocita confattore β ≈ 0, 999986).

1


1.1.1. Sezione d’urto Rutherford

Consideriamo un processo di diffusione di una particella di carica ze ed energia cineticaE su di un nucleo bersaglio di carica Ze come mostrato in figura

Per calcolare correttamente la cinematica e la sezione d’urto della reazione occorre uti-lizzare il formalismo della meccanica quantistica relativistica. Nel caso di nuclei pesantie particelle a bassa energia, gli effetti di rinculo possono essere trascurati; in questo casoil processo di scattering puo essere considerato completamente elastico e quindi l’energiaE ed il modulo dell’impulso p della particella incidente sono uguali prima e dopo l’ur-to. La cinematica del processo puo, allora, essere calcolata con il formalismo classico1.Consideriamo il nucleo bersaglio come puntiforme, facendo riferimento alla figura

le particelle diffuse nell’intervallo (θ, θ + dθ) saranno quelle con parametro di impattocompreso tra b e b + db, quindi il numero di particelle diffuse e dato dal prodotto delnumero I di particelle incidenti per la superficie della corona circolare

dσ =2πbdbI

I = 2πbdb = 2πb(θ)∣∣∣∣dbdθ∣∣∣∣ dθ

1In appendice A.2.1 a pag. 103 e mostrata la derivazione quantistica della sezione d’urto Rutherfordcome esempio di applicazione della regola d’oro di Fermi.

2


ed essendo dΩ = 2π sin θdθ, si ha che la sezione d’urto differenziale vale

dσ

dΩ=b(θ)sin θ

∣∣∣∣dbdθ∣∣∣∣ (1.1)

Dobbiamo ora calcolare la funzione di distribuzione b(θ). Detta m la massa ridotta delsistema (dato che il nucleo bersaglio ha massa molto maggiore della particella incidentem e approssimativamente la massa della particella incidente), la lagrangiana del sistemavale

L =12m(r2 + r2ϕ2)− α

rcon α =

zZe2

4πε0Le costanti del moto sono

` =dL

dϕ= mr2ϕ =

√2mE b (1.2)

H =12mr2 + Veff (r) = E con Veff (r) =

`2

2mr2+ V (r) (1.3)

Dal (1.2) si trova

ϕ =`

mr2

e da (1.3)

r =

√2m

(E − Veff (r))

per cuidϕ

dr=

`

mr2

√2m

(E − Veff (r))

integrando si ottiene infine

ϕ(r) = `

∫ r

∞

dr

r2[2m (E − Veff (r))

]−1/2 = b

∫ r

∞

dr

r2

[1− b2

r2− V (r)

E

]−1/2

La traiettoria e un’iperbole simmetrica rispetto al raggio vettore di minima distanza dalcentro di forza; si ha allora che l’angolo di diffusione vale

θ = π − 2ϕmin

dove

ϕmin = b

∫ rmin

∞

dr

r2

[1− b2

r2− V (r)

E

]−1/2

calcolando rmin con la condizione r|r=rmin = 0 ed integrando si trova

ϕmin = arccosx√

1− x2con x =

α

2bE

3


con un po’ di conti si trova x = cotϕmin e quindi, dato che tanϕmin = cot θ2 , si ottiene

la funzione di distribuzione cercata

b(θ) =α

2Ecot

θ

2

Ricordando la definizione della costante α, dalla (1.1) si trova la sezione d’urto Ruther-ford (

dσ

dΩ

)Ruth.

=(zZe2

4πε0

)2( 14E

)2 1sin4 θ

2

(1.4)

Come si vede in figura 1.1, la (1.4) e in accordo con i dati sperimentali a basse energie.

Figura 1.1.:

1.1.2. Sezione d’urto di Mott

Finora gli spin dell’elettrone e del bersaglio non sono stati considerati. In realta, adenergie relativistiche, la sezione d’urto (1.4) di Rutherford e alterata da effetti di spin.

4


La sezione d’urto di Mott descrive la diffusione di elettroni relativistici e include glieffetti dovuti allo spin dell’elettrone; essa puo essere scritta come segue(

dσ

dΩ

)Mott

=(dσ

dΩ

)Ruth.

(1− β2 sin2 θ

2

)(1.5)

dove β = v/c. Tale espressione mostra che, ad energie relativistiche, la sezione d’urto(1.5) di Mott diminuisce piu rapidamente di quella di Rutherford al crescere dell’angolodi diffusione. Nel limite β → 1 la sezione d’urto (1.5) di Mott puo essere riscritta inmodo piu semplice come (

dσ

dΩ

)Mott

=(dσ

dΩ

)Ruth.

cos2θ

2

1.1.3. Fattore di forma nucleare

Negli esperimenti di diffusione su nuclei si vede che i valori ricavati dalla sezione d’urto(1.5) di Mott sono in accordo con le misure sperimentali solo nel limite in cui e trascur-abile l’effetto di rinculo del bersaglio, ovvero, definito l’impulso trasferito q = p−p′, nellimite in cui q → 0. Per valori piu grandi di q le sezioni d’urto sperimentali risultanoessere sistematicamente piu piccole; la ragione di cio sta nel fatto che i nuclei hannoun’estensione spaziale non nulla.Detta ρ(r) la funzione di distribuzione della carica nucleare, la trasformata di Fourierdi ρ(r)

F (q) =∫

eiq·rρ(r)d3r (1.6)

prende il nome di fattore di forma nucleare della distribuzione di carica2. Il fattore diforma (1.6) contiene tutte le informazioni riguardanti la distribuzione spaziale di caricadell’oggetto in esame.Il modulo del fattore di forma (1.6) e determinabile sperimentalmente dal rapporto frala sezione d’urto misurata e la sezione d’urto di Mott(

dσ

dΩ

)exp.

=(dσ

dΩ

)Mott

|F (q)|2 (1.7)

Il calcolo dei fattori di forma (1.6) e estremamente complicato, salvo in casi semplici:per una distribuzione a simmetria sferica, ad esempio, vale

F (q) = 4π∫ ∞

0ρ(r)

sin qrqr

r2dr (1.8)

se inoltre la distribuzione e anche uniforme

ρ(r) =

34πR3 per r 6 R

0 per r > R

2Per maggiori dettagli sul perche di tale definizione si veda l’appendice A.2.1 a pag. 103.

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integrando la (1.8) si trova

F (q) =3

(qR)3(sin qR− qR cos qR)

Distribuzione di carica dei nuclei

Dai risultati sperimentali si trovano le seguenti proprieta:

(i) I nuclei non sono sfere con una superficie definita in modo netto. Al loro internola densita di carica e praticamente costante, mentre in superficie essa si annulla inmodo graduale. La distribuzione radiale della carica elettrica puo essere descritta,in buona approssimazione, da una distribuzione di Fermi a due parametri

ρ(r) =ρ(0)

1 + e(r−R)/a

Questo e mostrato in figura 1.2, per alcuni nuclidi.

Figura 1.2.: Distribuzioni di carica radiale per alcuni nuclei.

(ii) La costante R indica la distanza radiale alla quale ρ(r) si riduce alla meta del suovalore a r = 0 e puo quindi essere considerata come il raggio medio del nucleoatomico. Per nuclei medi e pesanti il numero di nucleoni per unita di volume ecirca costante

A43πR

3≈ cost

si trova allora per il raggio nucleare

R = r0A1/3

con r0 ≈ 1.2 fm.

6

1.2. Masse ed energie di legame dei nuclei

(iii) Nel caso di nuclei con alto numero atomico la costante a, determinata sperimen-talmente vale circa a = 0.54 fm.

1.1.4. Spostamento isotopico delle righe K dei raggi X

appunti Bombaci

Atomo idrogenoide

appunti Bombaci

1.1.5. Momenti di quadrupolo elettrico nucleari

La distribuzione di carica in un nucleo e descritta dai momenti di multipolo elettrico.dato che i momenti di ordine dispari (ossia dipolo e ottupolo) devono essere identica-mente nulli a causa della conservazione della parita, il momento di quadrupolo elettricocostituisce la quantita piu direttamente accessibile alla misura per determinare di quantola distribuzione di carica, e quindi il nucleo, si scosti dalla forma sferica.La definizione classica di momento di quadrupolo e

Q =∫

(3z2 − r2)ρ(r)d3r

Una distribuzione ellissoidale con semiasse a lungo z e semiassi b nelle altre direzioni,avente densita di carica ρ(r), possiede il seguente momento di quadrupolo

Q =25Ze(a2 − b2)

Se Q > 0 abbiamo a > b ed il nucleo si dice prolato, se invece Q < 0 abbiamo a < b edil nucleo si dice oblato (vedi figura 1.3).


L’energia di legame o binding energy di un nucleo AZX e definita essere

B =[Zmp + (A− Z)mn −m(A

ZX)]c2

dove mp e la massa del protone, mn quella del neutrone, e m(AZX) la massa nucleare.

Dato che sperimentalmente e di notevole difficolta la misura delle masse nucleari, mae molto piu facile misurare le masse atomiche (con spettrometri di massa, ad esempio)risulta conveniente definire la binding energy in funzione della massa atomica, essendo

M(AZX)c2 = m(A

ZX)c2 + Zmec2 −

Z∑i=1

Bi

7


Figura 1.3.: A sinistra nucleo prolato (Q > 0), a destra nucleo oblato (Q < 0).

Nucleo 21H

42He

84Be

5626Fe

23892 U

B/A 1.1 7.07 7.06 8.15 7.57

Tabella 1.1.: Binding energy per unita di nucleone (in MeV).

dove me e la massa dell’elettrone e Be =∑Z

i=1Bi ≈ ERyd.Z12/5 (in eV) e l’energia di

legame degli elettroni, si ha

B =[Z(mp +me) + (A− Z)mn −M(A

ZX)]c2 −Be

=[ZM(11H) + (A− Z)mn −M(A

ZX)]c2 + Zbe −Be

dove be e l’energia di legame dell’elettrone nell’atomo di 11H. La differenza Zbe−Be puo

essere trascurata con buona approssimazione e quindi

B =[ZM(11H) + (A− Z)mn −M(A

ZX)]c2 (1.9)

L’andamento della misura della binding energy per nucleone in funzione del numero dimassa e mostrato in figura 1.4. In tabella 1.1 sono mostrati un po’ di valori sperimentali.

1.2.1. Modello a goccia liquida e formula semi-empirica di massa

Il fatto che l’energia di legame per nucleone e la densita della materia nucleare sonoquasi indipendenti da A, indica una certa rassomiglianza dei nuclei con goccioline diliquido, per le quali il calore di evaporazione e la densita del liquido sono indipendentidalle dimensioni della gocciolina stessa. Seguendo questa analogia si trova l’espressionecompleta per la binding energy

B(A,Z) = avA− asA2/3 − acZ(Z − 1)A−1/3 − asym(A− 2Z)2A−1 + δ (1.10)

Discutiamo il significato dei vari termini:

8


Figura 1.4.: Binding energy per nucleone.

(i) Il primo termine, quello dominante, e proporzionale alle dimensioni del nucleo(R3 ∼ A).

(ii) L’analogia con la goccia fa supporre l’esistenza di effetti (tensioni) superficiali: unnucleone vicino alla superficie del nucleo, avendo nucleoni solo da un lato, non elegato cosı fortemente come un nucleone esterno. Bisogna quindi sottrarre unaquantita proporzionale ad R2.

(iii) Tenendo conto dell’interazione coulombiana tra i protoni dobbiamo sottrarre unaquantita proporzionale al numero di coppie di protoni, supponendo la densita dicarica sferica ed uniforme si ottiene che tale quantita deve essere proporzionaleanche a 1/R.

(iv) Esaminando la figura 1.5 si vede che c’e una tendenza in natura ad una simmetriatra Z e (A− Z), almeno per i nuclei leggeri. Questo fatto ci induce ad introdurreun termine, proporzionale ad A e dipendente da (A− Z)/Z, che abbia un minimoper A = 2Z.Una semplice espressione soddisfacente tali condizioni e

asymA

(1− (A− Z)/Z1 + (A− Z)/Z

)2

= asym(A− 2Z)2

A

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Figura 1.5.: I nuclei stabili sono raffigurati in nero scuro, quelli radioattivi in grigio.

(v) Infine va aggiunto un termine che tenga conto della maggiore stabilita, osservatasperimentalmente, per i nuclei con (A−Z) e Z pari rispetto ai casi in cui (A−Z),o Z, o entrambi siano dispari:

δ =

apA

3/4 per il caso pari-pari0 per il caso pari-dispari

− apA3/4 per il caso dispari-dispari

Sperimentalmente (Myers–Swiatecki) si determinano i seguenti valori (in MeV) per lecostanti introdotte

av as ac asym ap

15.68 16.56 0.717 28.1 34

Un po’ di valori sperimentali sono mostrati in tabella 1.2.

Nucleo Bv/A Bs/A Bc/A Bsym/A δ/A Totale Sperimentale168 O 15.68 -7.36 -1.14 0 0.27 7.45 7.9823892 U 15.68 -2.99 -4.11 -1.45 0.002 7.13 7.57

Tabella 1.2.: Termini della binding energy per unita di nucleone (in MeV).

Combinando la (1.10) con la (1.9), si ottiene la formula semi-empirica di massa (dovutaa Weizsacker)

M(A,Z) = ZM(11H) + (A− Z)mn −B(A,Z)/c2 (1.11)

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1.3. Radioattivita

1.3. Radioattivita

Facciamo una panoramica dei principali canali di decadimento di un nucleo atomico cheverranno analizzati in dettaglio in seguito:

(i) Decadimento α:AZX −→ A−4

Z−2Y +42 He

(ii) Decadimento β−:AZX −→ A

Z+1Y + e− + νe

ovvero nel nucleo avviene n→ p+ e− + νe.

(iii) Decadimento β+:AZX −→ A

Z−1Y + e+ + νe

ovvero nel nucleo avviene p→ n+ e+ + νe.

(iv) Decadimento γ:AZX

? −→ AZY + γ

(v) Cattura elettronica (ε):AZX −→ A

Z−1Y + νe

ovvero p+ e− → n+ νe.

(vi) Fissione spontanea:AZX −→ A1

Z1Y +A2

Z2W + kn

con il vincolo Z = Z1 + Z2 e A = A1 +A2 + k.

1.3.1. Legge del decadimento radioattivo

Consideriamo un generico decadimento

A −→ B + b

Detta λ (costante di disintegrazione) la probabilita che il nucleo A decada in un datoistante, il numero dN di nuclei che decade nel tempo dt vale dN = −λN(t)dt, cioe

N(t) = N(0)e−λt

La vita media della sostanza radioattiva e definita come

τ =

∫∞0 t|dN/dt|dt∫∞0 |dN/dt|dt

=1λ

Il tempo di dimezzamento del numero di nuclei vale allora

t1/2 = τ ln 2 ≈ 0.693τ

Si definisce inoltre attivita la quantita

A =∣∣∣∣dNdt

∣∣∣∣ = λN(t)

storicamente A si misura in curie, 1c = 3.7 · 1010 decadimenti/sec.

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interazione τ (sec)forte 10−22 ÷ 10−23

debole 10−16 ÷ 10−18

elettromagnetica 10−8 ÷ 10−10

Tabella 1.3.: Tempi di decadimento caratteristici delle interazioni fondamentali.

1.3.2. Teoria quantistica dei decadimenti radioattivi

Come detto la costante di disintegrazione λ esprime la probabilita che il sistema nucleareabbia una transizione (decade) dallo stato iniziale |ψi〉 in un nuovo stato quantistico |ψf 〉,usando la regola d’oro di Fermi (discussa in appendice A.2) possiamo allora scrivere

λ =2π∣∣〈ψf |V ′|ψi〉

∣∣2 ρ(Ef ) (1.12)

ipotizzando l’interazione del tipo V +V ′, dove la presenza di un potenziale V ′ di deboleintensita, in aggiunta al potenziale nucleare V , e la causa del decadimento. La (1.12)tiene conto della densita degli stati energetici finali ρ(Ef ); la probabilita di transizionee infatti tanto maggiore quanto piu numerosi sono gli stati finali accessibili al sistema.La funzione d’onda dipendente dal tempo dello stato finale sara

ψf (r, t) = ψf (r, 0)e−iEf t/ (1.13)

essendo ψf (r, 0) ed Ef rispettivamente la funzione d’onda e l’energia dell’autostato finaledi V . La probabilita di trovare il sistema nello stato |ψf 〉 e |ψf |2, per essere consistentecon la legge del decadimento radioattivo deve valere

|ψf (r, t)|2 = |ψf (r, 0)|2 e−λt

Possiamo allora riscrivere la (1.13) come

ψf (r, t) = ψf (r, 0)e−iEf t/e−λt/2 (1.14)

Cosı facendo pero perdiamo la possibilita di determinare esattamente l’energia del sis-tema in quanto il nuovo stato |ψf 〉 rappresentato in (1.14) non e piu autostato dell’en-ergia. Scomponiamo ψf in autostati dell’energia

ψf (r, t) =∫dEa(E)ψE(r, t) =

∫dEa(E)ϕE(r)e−iEt/

in un intorno abbastanza piccolo di Ef , ϕE ≈ ϕEfe quindi

ψf (r, t) =∫dEa(E)ϕEf

(r)e−iEt/

imponendo ψf (r, 0) = ϕEf(r) troviamo∫dEa(E)e−iEt/ = e−iEf t/e−λt/2

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1.3. Radioattivita

Figura 1.6.: L’ampiezza della distribuzione Γ = λ e una misura dell’indeterminazionesull’energia dello stato.

da cuia(E) =

12π

1E − Ef + λ/2

La probabilita di osservare il sistema con energia E, nelle vicinanze di Ef , e allora

P (E) = |a(E)|2 =1

4π2

1(E − Ef )2 + (λ/2)2

(1.15)

In figura 1.6 e graficata la (1.15), detta formula di Breit–Wigner.

13


14

2. Interazione nucleare

2.1. Il deutone

Il deutone 21H e il piu semplice stato legato fra nucleoni. Esso risulta quindi particolar-

mente adatto per lo studio dell’interazione nucleone–nucleone. Gli esperimenti hannopermesso di determinare le seguenti proprieta, relative allo stato fondamentale:

(i) Energia di legame bassa, B = 2.225 MeV;

(ii) Spin e parita, Jπ = 1+;

(iii) Isospin, T = 0;

(iv) Momento magnetico, µ = 0.857 µN ;

(v) Momento di quadrupolo elettrico, Q = 0.00282 barn;

(vi) Raggio medio del sistema, R = 2.1 fm.

Ipotizziamo in prima approssimazione che il potenziale di interazione neutrone–protonesia semplicemente una buca rettangolare

V (r) =

− V0 per r 6 R

0 per r > R

Nel riferimento del centro di massa, detta m la massa ridotta, l’equazione di Schrodingere [

− 2

2m∇2 + V (r)

]ψ(r) = Eψ(r) (2.1)

In coordinate sferiche la (2.1), essendo ψ(r) = R`(r)Y`m(θ, ϕ), si disaccoppia in2Ylm(θ, ϕ) = 2`(`+ 1)Y`m[− 2

2md2

dr2+ V (r) +

`(`+ 1)2

2mr2

]u`(r) = Eu`(r)

dove si e introdotta la funzione radiale ridotta ul = rRl(r). Risolviamo l’equazioneradiale per lo stato fondamentale, quello in ` = 0. Distinguiamo i casi

(i) Per r 6 R bisogna risolvere (l’energia dello stato legato e E = −B)

d2

dr2u0(r) + k2u0(r) = 0 con k2 =

2m2

(V0 −B)

15


Figura 2.1.: L’energia di legame del deutone e molto vicina alla cima della buca dipotenziale

la cui soluzione eu0(r) = A1 sin kr +A2 cos kr

Imponendo u0(0) = 0 (vogliamo che R0(r) sia regolare in r = 0) si trova (A2 = 0)infine

u0(r) = A1 sin kr per r 6 R (2.2)

(ii) Per r > R bisogna risolvere

d2

dr2u0(r) + λ2u0(r) = 0 con λ2 =

2mB2

la cui soluzione, scartando l’addendo che diverge all’infinito, e

u0(r) = A2e−λr per r > R (2.3)

Da (2.2) e (2.3), imponendo la continuita di u0(r) e della sua derivata prima in r = R sitrova

A1 sin kR = A2e−λR

A1k cos kR = −A2λe−λR

=⇒ k cot kR = −λ

ovvero √V0 −B cot

[R

√

2m(V0 −B)]

= −√B

da cui si trova, per R = 2.1 fm che V0 = 35 MeV, cioe il deutone e uno stato poco legato.Si veda la figura 2.1.

16

2.1. Il deutone

2.1.1. Spin del deutone

Posto s = sp + sn, possiamo avere lo stato di singoletto di spin

s = 0 =⇒ sz = 0, cioe |s = 0, sz = 0〉 =| ↑↓〉 − | ↓↑〉√

2

oppure lo stato di tripletto

s = 1 =⇒ sz =

1 cioe |s = 1, sz = 1〉 = | ↑↑〉

0 cioe |s = 1, sz = 0〉 =| ↑↓〉+ | ↓↑〉√

2− 1 cioe |s = 0, sz = −1〉 = | ↓↓〉

Sperimentalmente risulta J = 1 e dato che J = (` + s), ..., |` − s| deve essere necessari-amente s = 1 (` = 0). In notazione spettroscopica tale stato si indica con 3S1 (con ilsignificato 2s+1`J ed ` = S, P,D, F, ...).

2.1.2. Momento di quadrupolo elettrico del deutone

Per lo stato puro in onda ` = 0, la funzione d’onda e a simmetria sferica quindi ilmomento di quadrupolo elettrico Q dovrebbe essere nullo. La misura sperimentale (Q 6=0) ci induce a pensare che il deutone e una miscela di stati in onde diverse. Dato cheogni stato del deutone deve avere gli stessi numeri quantici Jπ = 1+, si trova

|ψd〉 = a0|3S1〉+ a2|3D1〉

In altre parole c’e una di probabilita di trovare il deutone in uno stato in onda ` =2. Questo effetto di mixing puo essere spiegato mediante la componente tensorialedell’interazione nucleone–nucleone.

2.1.3. Momento magnetico del deutone

Un altro indizio del fatto che il deutone non e uno stato puro in onda ` = 0 e dato dallamisura del momento magnetico.Assumendo che il centro di massa del sistema legato del deutone e a meta strada tra ilprotone ed il neutrone, si ha che il momento magnetico del deutone deve valere (in unitaµN/)

µ = gs(p)sp + gs(n)sn +12g``

Per ` = 0 si ha allora che il momento magnetico del deutone e pari alla somma deimomenti magnetici del protone e del neutrone

µ(` = 0) =12(gs(p) + gs(n)) = µp + µn = (2.792− 1.913)µN = 0.879 µN

17


il che e in disaccordo con la misura sperimentale.Da s = sp + sn, trovo

gs(p)sp + gs(n)sn =12(gs(p) + gs(n))s +

:012(gs(p) − gs(n))(sp − sn)

dato che nello stato di tripletto di spin mediamente protone e neutrone hanno lo stessomomento angolare intrinseco. Essendo inoltre s = j − ` si ha

µ =12(gs(p) + gs(n))j +

12(1− gs(p) − gs(n))`

Dovendo prendere la proiezione lungo j si trova infine che

µ =12(gs(p) + gs(n))j +

12(1− gs(p) − gs(n))

|j|2 + |`|2 − |s|2

2|j|2j

Per l’onda ` = 2 si ha allora, essendo 〈a23D1|2|a2

3D1〉 = 6|a2|2,

µ(` = 2) =34|a2|(1− gs(p) − gs(n))

per cui il momento magnetico totale del deutone e

µ = µp + µn +34|a2|(1− gs(p) − gs(n))µN

Usando la misura sperimentale possiamo allora calcolare la percentuale di onda 3D1 nellostato del deutone, si trova

|a2|2 ≈ 0.039

2.2. Il potenziale nucleone–nucleone

Nello scrivere un’espressione generale per il potenziale nucleone–nucleone si trascurera,come fin qui fatto, la struttura interna dei nucleoni, il che significa che questo potenzialesara valido soltanto per gli stati legati nucleone–nucleone e per la diffusione fra nucleonia basse energie.Il potenziale deve verificare le seguenti proprieta:

(i) invarianza per traslazioni, ne segue che deve dipendere solo da r = r1 − r2;

(ii) invarianza per rotazioni, ne segue che V deve essere uno scalare e quindi puodipendere solo da r = |r|, r · p, r · σi;

(iii) invarianza sotto trasformazioni di Galilei1, ne segue che V deve dipendere dav = v1 − v2, o meglio da p1/m1 − p2/m2;

1Meglio sarebbe richiedere che V sia relativisticamente invariante, ma per semplicita di esposizione nontratteremo questo caso.

18

2.3. Teoria di Yukawa

(iv) invarianza per parita2 (la ammettiamo perche nei sistemi nucleone–nucleone nonsi osservano dipoli permanenti);

(v) invarianza per inversione temporale3 (si crede sia una buona simmetria per leinterazioni forti).

Il piu generale potenziale soddisfacente a queste ipotesi e:

V (r) = V1(r)+ V2(r) σ1 · σ2

+ V3(r)S12

+ V4(r) (r × p) · (σ1 + σ2)

+ V5(r) (r × p)2

+ V6(r) (r × p)2σ1 · σ2

+ V7(r) (r × p)2(σ1 + σ2)2 + ... (2.4)

Il primo e un termine puramente centrale, mentre il secondo dipende dallo spin dei duenucleoni. Il terzo termine e chiamato potenziale tensoriale e descrive una forza di tiponon centrale, con

S12 = 3(σ1 · r)(σ2 · r)

r2− σ1 · σ2

Il quarto termine scritto tiene conto dell’interazione spin–orbita.

2.3. Teoria di Yukawa

La teoria di Yukawa postula che le forze nucleari derivino da un campo mediato da pioni,vedi figura

2Ricordiamo che l’operatore di parita manda

r −→ −r, p −→ −p, σi −→ σi

3Ricordiamo che l’operatore di inversione temporale manda

r −→ r, p −→ −p, σi −→ −σi

19


Se sostituiamo l’energia E e l’impulso p che compaiono nell’equazione relativistica

E2 = p2c2 +m2c4

con gli operatori i∂/∂t e −i∇, come viene fatto nell’equazione di Schrodinger, otteni-amo l’equazione di Klein–Gordon[

∇2 − m2c2

2

]ψ(r, t) =

1c2

∂2

∂t2ψ(r, t)

Questa equazione, per una particella di massa nulla, descrive un’onda che si propaga allavelocita della luce (se sostituiamo ψ con il quadrivettore del potenziale elettromagneticosi ottiene l’equazione di d’Alembert nel vuoto). Si puo allora interpretare ψ come lafunzione d’onda del fotone.In analogia a quanto appena detto, cerchiamo ora soluzioni stazionarie in presenza disorgenti del campo mesonico[

∇2 − m2πc

2

2

]ψπ(r) = −gδ(r − r0)

Si ha

ψπ(r) =g

4πe−

mπc |r−r0|

|r − r0|(2.5)

Il potenziale di Yukawa, che descrive l’interazione mediata da pioni e allora

VY uk.(r) = gψπ(r) =g2

4πe−

mπc |r−r0|

|r − r0|

Dato che il range della forza nucleare e ∆r ≈ 1 fm, dal principio di indeterminazionesegue che la massa del pione e

mπ .c

∆rc2≈ 200 MeV/c2

Generalizzazione di Bethe

Per il pione si osserva che Jπ = 0−, quindi la funzione d’onda (2.5) non va bene percheψπ(−r) 6= −ψ(r). Sostituisco allora la forma della sorgente[

∇2 − m2πc

2

2

]ψπ(r) = −g(σ1 · ∇1)δ(r − r1)

dove il pedice indica che l’operatore agisce su r1. In questo caso si trova allora

ψπ(r) = g(σ1 · ∇1)e−

mπc |r−r1|

4π|r − r1|

20

2.4. Diffusione nucleone–nucleone

la quale come richiesto ha parita negativa. Da questa si ottiene il potenziale OPE (onepion exchange)

VOPE(r) = g2(σ2 · ∇2)(σ1 · ∇1)e−r/rπ

4πr

=g2

4π

[σ1 · σ2 +

(1 +

2rπr

+3r2πr2

)S12

]e−r/rπ

r

avendo posto r = |r1 − r2| ed rπ = /(mπc). Si ritrovano cosı i primi tre termini delpotenziale nucleone–nucleone in (2.4).


La diffusione nucleone–nucleone alle basse energie (al di sotto della soglia di produzionedel pione) e puramente elastica e puo essere descritta con la meccanica quantistica nonrelativistica. I nucleoni, in questo contesto, sono interpretati come oggetti puntiformiprivi di struttura, dotati pero di spin e isospin.

2.4.1. Sfasamenti

Consideriamo il sistema di riferimento del centro di massa. Il nucleone incidente dal-l’infinito puo essere descritto con un’onda piana, tale onda puo essere espressa medianteuna decomposizione in onde parziali con momento angolare ben definito

ψinc. = Aeikr = A

∞∑`=0

i`(2l + 1)J`(kr)P`(cos θ) (2.6)

Stima semiclassica della sezione d’urto

Se le particelle con momento p interagiscono con un parametro d’impatto b si ha che ilrelativo momento angolare (semiclassico) sara

` =pb

= kb

Le particelle con momento angolare 0 6 ` 6 interagiranno con parametro di impatto0 6 b 6 1/k, per cui la sezione d’urto sara π/k2. Analogamente particelle con 6 ` 6 2avranno una sezione d’urto pari all’area della corona circolare di raggi 1/k e 2/k, cioe3π/k2. Possiamo allora dividere l’area di interazione in zone aventi ognuna uno specificomomento angolare ` di area (2` + 1)π/k2. Dato che il massimo valore del parametrod’impatto e pari alla somma R dei raggi delle due particelle si ha che alla sezione d’urtototale e data da

σsemicl. =Rk∑`=0

π(2`+ 1)k2

= π

(R+

1k

)2

21


Calcolo quantistico

Quando le particelle sono infinitamente lontane (r →∞) possiamo espandere la funzionedi Bessel come

J`(kr) ≈ei(kr−`π/2) − e−i(kr−`π/2)

2ikrper cui la (2.6) puo scriversi come

ψinc. =A

2kr

∞∑`=0

i`+1(2l + 1)[e−i(kr−`π/2) − ei(kr−`π/2)

]P`(cos θ) (2.7)

I termini in (2.7) che contengono e−ikr rappresentano un’onda sferica che converge sulbersaglio, invece quelli con eikr l’onda sferica emergente. Lo scattering ha effetto solosull’onda emergente, la quale puo essere modificata in due modi:

(i) attraverso un cambio di fase;

(ii) attraverso un cambio in ampiezza.

Questi cambiamenti si traducono in un fattore moltiplicativo del tipo S` = η`e2iδ` , per

cui la funzione d’onda totale (onda incidente + onda diffusa) sara

ψtot =A

2kr

∞∑`=0

i`+1(2l + 1)[e−i(kr−`π/2) − S`e

i(kr−`π/2)]P`(cos θ)

Per ottenere l’onda diffusa basta allora

ψsc. = ψtot − ψinc. =A

2kr

∞∑`=0

i`+1(2l + 1)(1− S`)ei(kr−`π/2)P`(cos θ)

Notiamo che stiamo assumendo che la diffusione sia elastica in quando l’onda diffusa el’onda incidente hanno lo stesso numero d’onda k.Per ottenere la sezione d’urto

dσ

dΩ=jsc.r

2

jinc.

bisogna calcolare le densita di corrente

jsc. = − i2m(ψ∗sc.∇ψsc. − ψsc.∇ψ∗sc.

)= − i

2m

(ψ∗sc.

∂ψsc.

∂r− ψsc.

∂ψ∗sc.∂r

)= |A|2

4mkr2

∣∣∣∣∣∞∑

`=0

i(2l + 1)(1− S`)P`(cos θ)

∣∣∣∣∣2

e analogamente

jinc. = |A|2 km

22


La sezione d’urto differenziale e allora

dσ

dΩ=

14k2

∣∣∣∣∣∞∑

`=0

i(2l + 1)(1− S`)P`(cos θ)

∣∣∣∣∣2

Per ottenere la sezione d’urto totale, occorre integrare i polinomi di Legendre

∫dθdϕP`(cos θ)P`′(cos θ) sin θ =

0 se ` = `′

4π2`+ 1

se ` 6= `′

e quindi

σ =π

k2

∞∑`=0

(2`+ 1)|1− S`|2

Dato che la diffusione e elastica |S`| = η` = 1, quindi, notando che |1−e2iδ` |2 = 4 sin2 δ`,si ha

σ =4πk2

∞∑`=0

(2`+ 1) sin2 δ` (2.8)

L’angolo δ` prende il nome di sfasamento.

Calcolo degli sfasamenti per un potenziale centrale

In presenza di un potenziale centrale V (r) come centro diffusore la funzione d’onda totalepuo scriversi come sviluppo in onde parziali

ψ(r) = A

∞∑`=0

i`(2`+ 1)P`(cos θ)u`(r)r

essendo u`(r) le funzioni d’onda radiali ridotte soluzioni delle equazioni di Schrodinger[d2

dr2− `(`+ 1)

r2

]u`(r) +

2m2

[E − V (r)

]u`(r) = 0

Studiando gli sfasamenti si puo quindi risalire alla forma del potenziale.Si vede in particolare che il potenziale nucleone–nucleone a corto raggio e fortementerepulsivo (si puo addirittura assimilare ad una barriera di altezza infinita), a lungoraggio ha la forma OPE, mentre a medio raggio OBE (one boson exchange, ovvero laparticella mediatrice e un mesone piu pesante, tipo particella ρ ad esempio).

Risonanze

A certe energie la particella incidente ha una grossa penetrazione e quindi la sezioned’urto presenta una risonanza. Supponiamo che tale risonanza sia presente per un fissato

23


valore di `. Per E = Er sara δ` = π/2, mentre in un intorno di Er, sviluppando in serie4

cot δ`(E) ≈:0cot δ`(Er) + (E − Er)

∂ cot δ`∂E

∣∣∣∣Er

+:012(E − Er)2

∂2 cot δ`∂E2

∣∣∣∣Er

≈ Er − E

Γ/2

avendo posto

Γ = 2(−∂ cot δ`

∂E

)−1

= 2(∂δ`∂E

)−1

sara quindi

sin δ` =1√

1 + cot2 δ`≈ Γ/2√

(Er − E)2 + (Γ/2)2

Dalla (2.8), segue per la sezione d’urto

σ =π

k2(2`+ 1)

Γ2

(Er − E)2 + (Γ/2)2(2.9)

nota come risonanza alla Breit–Wigner. La (2.9) puo essere generalizzati in due modi.Innanzitutto bisogna tenere conto degli spin delle particelle che reagiscono, in tal caso ilcoefficiente (2`+ 1) va sostituito con

g =2J + 1

(2sa + 1)(2sX + 1)(2.10)

essendo J = sa + sX + ` il momento angolare totale della risonanza. In secondo lu-ogo bisogna tenere conto dei possibili modi di decadimento della risonanza per cui lalarghezza totale e la somma delle larghezze dei processi parziali. Se oltre al processo didiffusione elastica considerato a+X → a+X si ha anche il decadimento a+X → b+Yla sezione d’urto diventa

σ =π

k2g

Γa+XΓb+Y

(Er − E)2 + (Γ/2)2(2.11)

essendo Γ = /τ e τ la vita media della risonanza (si veda la sottosezione 1.3.2).

2.4.2. Caso di diffusione in onda ` = 0

A basse energie contano solo i primi termini dell’espansione in serie (2.8). In particolarese l’energia del nucleone incidente con parametro di impatto b (dell’ordine del raggio diinterazione della forza nucleare) e

E 2

mb2≈ 27 MeV

4Infatti

∂ cot x

∂x

˛π/2

= −1− cot2(π/2) = −1,∂2 cot x

∂x2

˛π/2

= 2 cot(π/2)`1 + cot2(π/2)

´= 0

24


il processo di diffusione avviene in onda ` = 0 e quindi la sezione d’urto totale vale

σ =4πk2

sin2 δ0

Il segno di δ0 specifica se l’interazione e attrattiva o repulsiva. Si consideri un’onda S(` = 0, la funzione d’onda e a simmetria sferica), risolvendo l’equazione di Schrodinger

d2

dr2u(r) +

2m2

[E − V (r)

]u(r) = 0

per stati ad E > 0 si trova, per una barriera rettangolare di raggio R (potenzialerepulsivo)

δ0 = −kR < 0

Questo significa che l’onda diffusa e in ritardo di fase rispetto ad un’onda non diffusa.Nel caso di potenziale attrattivo l’onda diffusa risulta, invece, in anticipo di fase e quindiδ0 > 0 (si veda figura 2.2).

Figura 2.2.: Andamento dello sfasamento nel caso di un potenziale repulsivo (a sinistra)e di uno attrattivo (a destra). Le linee tratteggiate indicano onde che nonsono state diffuse.

Sperimentalmente si trova che in un processo di diffusione nucleone–nucleone lo sfasa-mento δ0(E) presenta l’andamento in figura 2.3.In particolare δ0 cambia segno per energie E > 250 MeV. Dato che per energie maggiorisi indagano distanze minori si trova che a corto raggio l’interazione nucleare presenta unnocciolo repulsivo.

Lunghezza di scattering e raggio efficace

In un processo di diffusione consideriamo la solita buca di potenziale rettangolare, lasoluzione dell’equazione di Schrodinger radiale e

u(r) = A sin(kr + δ0) = A

(r

sin krkr

k

tan δ0+ cos kr

)sin δ0

25


Figura 2.3.: Sfasamento in funzione dell’energia per l’onda 1S0.

Nel limite di basse energie (k → 0) si ha

u(r) ≈ A(1− r

a

)sin δ0

dove si e definita la lunghezza di scattering

a = − limk→0

tan δ0k

≈ −δ0k

La lunghezza di scattering e un utile parametro che permette di determinare se esistonoo meno stati legati per il processo di diffusione considerato.Gli stati legati esistono solo per a > 0. Discutiamo la seguente casistica:

appunti Bombaci

26


Una relazione piu precisa tra la lunghezza di scattering e lo sfasamento δ0 e data dallateoria di Bethe del raggio efficace

k cot δ0 = −1a

+12r0k

2 + (k4) (2.12)

dove r0 e detto raggio efficace.Per una diffusione neutrone–protone si misurano sperimentalmente i seguenti valori

Stato singoletto triplettoa (fm) −23.715± 0.015 5.423± 0.005r0 (fm) 2.73± 0.03 1.748± 0.006

Dai quali si vede che non puo esistere lo stato di singoletto non e uno stato legato e siha ulteriore conferma che lo stato di tripletto e uno stato poco legato.Attraverso la (2.12) si puo esprimere anche la sezione d’urto totale del processo (semprein onda ` = 0)

σ =4πk2

sin2 δ0 ≈4πa2

1 + a2k2 − ar0k2

2.4.3. Diffusione protone–protone e neutrone–neutrone

Nello scattering fra nucleoni identici bisogna tenere in considerazione, tra le altre cose,che le particelle sono indistinguibili per cui le situazioni descritte in figura 2.4, per noisono indistinguibili.

Figura 2.4.: Scattering di particelle identiche nel sistema del centro di massa, le duesituazioni mostrate sono indistinguibili.

La parte spaziale della funzione d’onda dovra percio essere della forma

ψ(r) = ϕ(r, θ)± ϕ(r, π − θ)

con il segno scelto in modo tale che ψ sia simmetrica o antisimmetrica a seconda chesiamo in uno stato di singoletto o tripletto di spin.

27


La sezione d’urto per un processo di diffusione protone–protone vale

dσ

dΩ=(

e2

4πε01

4E

)2

1sin4 θ

2

+1

cos4 θ2

−cos(η ln tan2 θ

2

)sin2 θ

2 cos2 θ2

−2η

sin δ0

[cos(δ0 + η ln sin2 θ

2

)sin2 θ

2

+cos(δ0 + η ln cos2 θ

2

)cos2 θ

2

]+

4η2

sin2 δ0

(2.13)

con

η =e2

4πε0cc

v

I primi due termini della (2.13) tengono conto della sola interazione coulombiana (siriconosce la sezione d’urto Rutherford ad angolo di diffusione θ e π− θ), mentre l’ultimoe il termine puramente nucleare. Gli altri sono dovuti ad interferenza tra le interazionicoulombiana e nucleare. Si veda 2.5.

Figura 2.5.: Sezione d’urto per processi di diffusione p–p a 3.037 MeV. Il fit dei datisperimentali con la (2.13) da uno sfasamento δ0 = 50.966.

Dalle misure sperimentali mostrate in tabella

Potenziale di interazione a (fm) r0 (fm)nucleare+coulombiano −7.82± 0.01 2.79± 0.02

solo nucleare −17.1± 0.2 2.84± 0.03

28


si trova che non puo esistere un stato legato protone–protone (e cio non e dovuto prin-cipalmente alla sola interazione coulombiana). Analogamente, anche per un sistemaneutrone–neutrone

a (fm) r0 (fm)−16.6± 0.5 2.66± 0.15

non esiste uno stato legato.Si puo allora dedurre che l’interazione nucleone–nucleone e indipendente dalla carica;questa proprieta e nota come simmetria di carica. In generale l’interazione nucleare e lastessa per ogni coppia di nucleoni; tale proprieta e detta invarianza isotopica.

29


30

3. La struttura dei nuclei

3.1. Modello a gas di Fermi

I nuclei che si trovano nel loro stato fondamentale o sono solo debolmente eccitati, sonoesempi di gas di Fermi degenere. Il potenziale cui ciascun nucleone e soggetto e unasovrapposizione dei singoli potenziali prodotti dagli altri nucleoni. Si assume ora, inquesto modello, che il potenziale risultante sia assimilabile ad una buca rettangolare. Ladensita degli stati per un nucleone all’interno di un volume V e data da

g(ε) =νV

4π2

(2m2

)3/2√ε

dove ν e il grado di degenerazione del livello energetico in esame. Analogamente, postop2 = 2k2 = 2mε,

g(k) =4πνV(2π)3

k2

Quando il nucleo e nello stato fondamentale, gli stati piu bassi saranno tutti occupatifino ad un certo impulso massimo kF , che prende il nome di impulso di Fermi. Il numerodi tali stati e

4πνV(2π)3

∫ kF

0k2dk =

νV

6π2k3

F

Dato che ogni stato puo contenere al piu due fermioni della stessa specie (neutrone oprotone), si avra

N =V

3π2k3

F (n) e Z =V

3π2k3

F (p)

per il numero di neutroni e di protoni rispettivamente (si veda figura 3.1).Dato un volume

V =43πR3 =

43πr30A

ed il valore r0 = 1.2 fm e avendo, inoltre, assunto che le buche di potenziale per protoni eneutroni abbiano lo stesso raggio, per un nucleo con Z = N = A/2 si ottiene un impulsodi Fermi

pF = kF ≈ 250 MeV/c

I nucleoni, dunque, si possono muovere all’interno del nucleo con impulso abbastanzaelevato. L’energia dello stato piu alto occupato, l’energia di Fermi, e data da

εF =p2

F

2m≈ 33 MeV

31


Figura 3.1.: Diagramma dei potenziali e degli stati di protoni e neutroni nell’ambito delmodello a gas di Fermi.

dove m e la massa del nucleone.La differenza fra la sommita della buca ed il livello di Fermi e costante per la maggiorparte dei nuclei e corrisponde all’energia di legame media per nucleone B/A = 7 MeV.La profondita della buca di potenziale e l’energia di Fermi sono, in buona approssi-mazione, indipendenti dal numero di massa

V0 = εF +B/A ≈ 40 MeV

In generale si verifica che i nuclei pesanti hanno un eccesso di neutroni. Dato che il livellodi Fermi, in un nucleo stabile, e lo stesso sia per protoni che per neutroni (altrimentiil nucleo potrebbe trovare una configurazione energeticamente piu favorevole tramitedecadimenti β), la profondita della buca di potenziale per il gas di neutroni deve esseremaggiore; i protoni sono quindi in media meno legati di quanto lo siano i neutroni (questopuo essere visto come una conseguenza della repulsione coulombiana).Anche la dipendenza dell’energia di legame dall’eccesso di neutroni puo essere calcolatanell’ambito del modello a gas di Fermi. L’energia media per nucleone vale

〈E〉 =310

p2F

2m≈ 20 MeV

quindi per l’energia cinetica totale, con un po’ di conti, si trova che

E(N,Z) = N 〈En〉+ Z 〈Ep〉 =3

10m

(Np2

F (n) + Zp2F (p)

)=

310m

(r0

)2(9π4

)2/3 N5/3 + Z5/3

A2/3(3.1)

Si noti che si e ancora assunto che il raggio delle buche di potenziale per neutroni eprotoni e lo stesso. La (3.1), per A fissato, presenta un minimo per N = Z; l’energia di

32

3.2. Modello a shell

legame quindi diminuisce per N 6= Z. Se si espande il serie la (3.1) in potenze di N −Zsi ottiene

E(N,Z) =3

10m

(r0

)2(9π4

)2/3(A+

(N − Z)2

A+ ...

)Il primo fattore contribuisce al termine di volume nella formula semiempirica (1.10) e ilsecondo descrive la correzione che risulta nel termine di asimmetria.


Da indagini spettroscopiche (cosı come per il caso atomico) si vede l’esistenza di livellienergetici discreti per i nucleoni all’interno dei nuclei. Mentre gli elettroni nell’atomosono soggetti ad un potenziale coulombiano generato dal nucleo, i nucleoni, nel nucleo,si muovono all’interno di un campo di potenziale medio prodotto dagli altri nucleoni.In entrambi i casi ne risulta uno spettro energetico discreto i cui livelli sono occupatisecondo i dettami del principio di Pauli.

3.2.1. Numeri magici

Nel caso atomico gli elettroni possono essere organizzati in shell o strati, intendendo conquesto termine il fatto che numerosi livelli di energia giacciono gli uni vicini agli altriseparati in modo netto dagli altri strati. qualcosa di simile sembra accadere anche nelnucleo.Questi numeri

2, 5, 20, 28, 50, 82, 126

sono noti come numeri magici. E un dato sperimentale accertato che i nuclei con unnumero magico di protoni e/o neutroni sono praticamente stabili. Se un nucleo possiedeun numero magico di protoni (neutroni) e necessario fornire molta energia per poterestrarre un protone (neutrone) da esso, mentre se si aumenta di un’unita il numero diprotoni (neutroni) l’energia di separazione diventa molto piu piccola. Si riscontra chee anche necessaria molta energia per portare uno di questi nuclei in uno stato eccitato.Queste proprieta sono in analogia con quanto succede nel caso dei gas nobili.

3.2.2. Autostati del potenziale nucleare

La funzione d’onda delle particelle soggette al potenziale nucleare puo fattorizzarsi in

ψ(r) = Rn`(r)Y`m(θ, ϕ)

Cerchiamo gli autostati dell’energia con diversi modelli per il potenziale nucleare.

Potenziale a buca infinita

Utilizziamo dapprima il potenziale

V (r) =

0 per r 6 R

∞ per r > R

33


Figura 3.2.: Struttura a shell per un potenziale a buca infinita (a sinistra) e per unpotenziale armonico (a destra).

Per stati legati l’equazione di Schrodinger radiale e

d2

dr2Rn`(r) +

2r

d

drRn`(r) +

2m2

[E − `(`+ 1)2

2mr2

]Rn`(r) = 0

la soluzione vale

Rn`(kr) = J`(kr) =(− rk

)`(

1r

d

dr

)` sin krkr

con k2 =2m2E

Imponendo J`(kR) = 0 si ha per l’n-esimo zero ρn` di J` (esclusa l’origine)

ρ2n` =

2mεn`R

r

e si ottiene cosı la quantizzazione delle spettro. In figura 3.2 e mostrato lo spettro. Conquesto potenziale si ottengono solo i primi 3 numeri magici.

34


Potenziale armonico e potenziale di Saxon–Woods

Passiamo ora a considerare un potenziale armonico. Sappiamo che i livelli energeticisono dati da

εN = ω(N +

32

)con N = 2(n− 1)`

Gli stati con N pari hanno quindi parita positiva, quelli con N dispari parita negativa.Anche in questo caso (vedi figura 3.2) si ottengono solo i primi 3 numeri magici.Continuando a cambiare il potenziale, ad esempio,

V (r) = − V0

1 + e(r−R)/a

i risultati non migliorano (vedi figura 3.3).

Potenziale con accoppiamento spin–orbita

Aggiungiamo ad uno dei potenziali centrali precedenti un termine che tiene conto del-l’interazione spin–orbita

V (r) = V (r)c + V`s` · s2

La combinazione di ` e s permette di costruire i momenti angolari totali

j = `± 12

E quindi i valori medi su uno stato |n, `, j〉 di ` · s sono

〈` · s〉2

=j(j + 1)− `(`+ 1)− s(s+ 1)

2=

− `+ 1

2per j = `− 1

2`

2per j = `+

12

e questo comporta una separazione dei livelli energetici che cresce linearmente con `

ε`s =

− 〈V`s(r)〉

`+ 12

per j = `− 12

〈V`s(r)〉`

2per j = `+

12

=⇒ ∆ε`s =2`+ 1

2〈V`s(r)〉

Sperimentalmente si trova che V`s, a differenza del caso atomico, e negativo e quindi illivello ad energia piu bassa e quello con j = `− 1/2.Cosı facendo (vedi figura 3.3) si ottengono anche gli altri numeri magici.

3.2.3. I momenti magnetici nell’ambito del modello a shell: le linee diSchmidt

Nell’ambito del modello a shell i momenti magnetici dei nuclei si ottengono sommandosui momenti magnetici dei singoli nucleoni, avendo dapprima associato ad ognuno di

35


Figura 3.3.: A sinistra la struttura a shell per un potenziale di tipo Saxon–Woods, adestra e mostrato l’effetto dell’interazione dovuta all’accoppiamento spin–orbita che separa i livelli energetici.

Figura 3.4.: In [2], figura 6.33 a pag. 241.

36


essi l’opportuno spin e momento angolare orbitale. Ovviamente in ogni shell completai momenti angolari e gli spin si sommano con risultante nulla, quindi nel calcolo delmomento magnetico conta solo il nucleone spaiato

µ =µN

(g`` + gss) = µ` + µs

Il momento magnetico sara quindi diretto lungo j = `+s e avra modulo (in unita µN/)pari a

µ = g`` · jj

+ gss · jj

= gjj (3.2)

Dalla relazione s2 = j2 + `2 − 2` · j si trova

` · jj2

=j(j + 1) + `(`+ 1)− s(s+ 1)

2j(j + 1)

e analogamente per s · j/j. Sostituendo nella (3.2) si trova allora

gj = g`j(j + 1) + `(`+ 1)− s(s+ 1)

2j(j + 1)+ gs

j(j + 1) + s(s+ 1)− `(`+ 1)2j(j + 1)

Quindi, dato che j = `± 1/2 si ha

µ =(g` ±

gs − g`

2`+ 1

)j

Si veda figura 3.4.

n p

g` 0 1gs −3.826 5.586

Tabella 3.1.: Fattori di Lande per i nucleoni.

37


38

4. Decadimento α

Come gia detto l’emissione spontanea di una particella α e rappresentata dal seguenteprocesso

AZX −→ A−4

Z−2Y + α

Rutherford mostro che la particella α altro non e che un nucleo di 42He.

Perche i nuclei decadono α?

Il decadimento α e un effetto della repulsione coulombiana. Quest’ultima diventa sig-nificativa per nuclei pesanti in quanto mentre la forza Coulombiana cresce come Z2, laforza di legame dei nuclei cresce approssimativamente come A. Il perche della sceltadell’emissione di una particella α (e non di un p o np) sta nel fatto che l’42He e un nucleodoppiamente magico, quindi molto legato, ed il bilanciamento energetico e per questomolto favorevole.

4.1. Energetica del decadimento α

Consideriamo il nucleo iniziale X nel sistema di quiete, la conservazione dell’energiaimpone

mXc2 = mY c

2 + TY +mαc2 + Tα

essendo TY , Tα rispettivamente le energie cinetiche del nucleo Y e della particella α,ovvero

(mX −mY −mα)c2 = TY + Tα (4.1)

La quantita a sinistra dell’equazione (4.1) e l’energia netta liberata nel decadimento,chiamata valore Q della reazione

Q = (mX −mY −mα)c2

Il decadimento avviene spontaneamente se e solo se Q > 0 (si veda a tal proposito latabella 4.1).Ricordando sempre che il nucleo X e in quiete, dalla conservazione dell’impulso segueche il nucleo Y e la particella α si muovono in direzioni opposte con impulso uguale inmodulo

pα = pY (4.2)

Il decadimento α tipicamente rilascia 5 MeV di energia, cioe, sia per Y che per α,T mc2. Si puo quindi usare la cinematica non relativistica ponendo T = p2/2m, da

39

4. Decadimento α

Particella emessa Q (MeV) Particella emessa Q (MeV)n −7.26 4He +5.41

1H −6.12 5He −2.592H −10.7 6He −6.193H −10.24 6Li −3.793He −9.92 7Li −1.94

Tabella 4.1.: Valore Q per diversi modi di decadimento di 232U .

(4.1) e da (4.2) segue allora

Tα =Q

1 + mαmY

Dato che il rapporto tra le masse e piccolo rispetto ad 1, si ha in modo abbastanzaaccurato che

mα

mY∼ 4A− 4

per cui, per A 4, si trova

Tα = Q

(1− 4

A

)∼ Q

Tipicamente la particella α porta via il 98% del valore Q mentre il restante 2% vieneportato via dal nucleo Y . Questa energia di rinculo non e tuttavia trascurabile: perun valore tipico di Q = 5 MeV, il nucleo Y ha energia dell’ordine dei 100 keV; questaenergia e di gran lunga maggiore dell’energia che lega gli atomi nei solidi.L’energia cinetica della particella α puo essere misurata direttamente con uno spet-trometro magnetico, in tal modo il valore Q puo essere determinato.

La relazione di Geiger–Nuttall

Sperimentalmente, come mostrato in figura 4.1, si vede che i nuclei che decadono α congrandi energie di disintegrazione Q hanno vite di dimezzamento piccole e viceversa

Q ∼ 1t1/2

quest’ultima prende il nome di relazione di Geiger–Nuttall.

4.2. La teoria dell’emissione α

Supponiamo che la particella α sia preformata all’interno del nucleo radioattivo X. Infigura 4.2 e mostrata la forma del potenziale di interazione tra il nucleo Y e la particellaα in funzione della distanza relativa r.In tale modello teorico il decadimento avviene quando, per effetto tunnel, la particella

40


Figura 4.1.: Misure sperimentali che confermano la regola di Geiger–Nuttall per nucleidispari–dispari.

Figura 4.2.: La linea orizzontale indica l’energia di disintegrazione (il valore Q); il raggioa puo esser preso come la somma dei raggi del nucleo Y e della particella α.

41

4. Decadimento α

α penetra la barriera di potenziale coulombiano. La costante di disintegrazione deldecadimento si puo esprimere allora come

λ = fP

dove f e la frequenza con cui la particella α si presenta alla barriera (ad r = a) e P e laprobabilita di trasmissione attraverso la barriera.La quantita f e dell’ordine di v/a dove v e la velocita relativa tra la particella α ed ilnucleo Y . Possiamo trovare v dall’energia cinetica della particella α per r < a, stimandoV0 ≈ 35 MeV per una tipica buca si trova f ≈ 6 · 1021 Hz per Q = 5 MeV.Una stima della probabilita di penetrazione della barriera di potenziale puo ottenersiconsiderando il problema unidimensionale discusso in appendice A.1. Il risultato, (A.1)dipende dalla larghezza e dall’altezza della barriera nonche dall’energia della particella.La barriera coulombiana che vede la particella al di sopra della sua energia Q puo essereschematizzata come rettangolare di altezza (B−Q)/2 e larghezza (b−a)/2 essendo, vedifigura 4.2,

B =1

4πε02(Z − 2)e2

a

Il fattore k2 in (A.1) diventa allora√

(2m/2)(B −Q)/2. Per un tipico nucleo pesante(Z = 90, a = 7.5 fm) si ha B ≈ 24 MeV cosı che k2 ≈ 1.6 fm−1. Il raggio b a cui laparticella α lascia lascia la barriera vale

b =1

4πε02(Z − 2)e2

Q

che per Q ≈ 6 MeV vale circa 42 fm. Ne segue k2(b − a)/2 1 e quindi possiamoapprossimare la (A.1) come

P ≈ e−k2(b−a) ∼ 10−25 MeV

per cui λ ∼ 10−3 Hz e t1/2 ∼ 700 sec. Una cambiamento di Q a 6 MeV porta P ∼ 10−30

e t1/2 ∼ 108 sec. Si vede allora come una stima cosı rozza riesce comunque a spiegarel’andamento in figura 4.1.Il calcolo esatto puo esser fatto pensando la barriera coulombiana come formata dainfinitesime barriere rettangolari di altezza

V (r) =1

4πε02(Z − 2)e2

r

e larghezza dr. La probabilita di penetrare ognuna di tali barriere, che si estendono dar ed r + dr, e

dP = exp

−2dr

√2m[V (r)−Q

]la probabilita di penetrare l’intera barriera e allora

P = e−2G

42


t1/2 (sec)A Q (MeV) misurato calcolato

220 8.95 10−5 3.3 · 10−7

222 8.13 2.8 · 10−3 6.3 · 10−5

224 7.31 1.04 3.3 · 10−2

226 6.45 1854 60228 5.52 6 · 107 2.4 · 106

230 4.77 2.5 · 1012 1011

232 4.08 4.4 · 1017 2.6 · 1016

Tabella 4.2.: Vite di dimezzamento degli isotopi del Th.

dove si e introdotto il fattore di Gamow

G =

√2m2

∫ b

adr√V (r)−Q

che puo essere valutato come

G =√

2mQ2

2(Z − 2)e2

4πε0

[arccos

√x−

√x(1− x)

](4.3)

dove x = a/b = Q/B. Per x 1, come avviene nella maggior parte dei casi, la quantitain parentesi quadra vale π/2− 2

√2. In questo caso la vita di dimezzamento vale

t1/2 = 0.693a

c

√mc2

2(V0 +Q)exp

2

√2mc2

(c)2Q2(Z − 2)e2

4πε0

[π

2− 2

Q

B

]

Il risultato di questo calcolo per gli isotopi pari del Th e mostrato in tabella 4.2. Anche sel’accordo con i valori sperimentali non e esatto1 si riesce a riprodurre il trend osservato.

1Notiamo che in tale modello tra le altre cose non si sono considerate le funzioni d’onda iniziale e finaledello stato nel calcolo della probabilita di transizione (si sarebbe dovuta usare la regola d’oro diFermi), non si e considerato il momento angolare portato dalla particella α e si e ipotizzato il nucleoa simmetria sferica con un raggio medio di 1.25A1/3 fm.

43

4. Decadimento α

44

5. Decadimento β

I processi di decadimento β base sono

n −→ p+ e− + νe decadimento β−

p −→ n+ e+ + νe decadimento β+

p+ e− −→ n+ νe cattura elettronica ε

Gli ultimi due accadono solo per protoni legati nei nuclei; essi sono energeticamentevietati per i protoni liberi o per i protoni negli atomi di idrogeno.

Figura 5.1.: Distribuzione delle energie degli elettroni emessi nel decadimento β del210Bi.

La presenza dei neutrini (non osservati direttamente) nel decadimento β fu ipotizzatada Pauli ne 1931 in base alle seguenti osservazioni:

(i) l’energia delle particelle β non aveva una quantita fissata e ben definita dalle con-dizioni iniziali, come nel caso di un decadimento a due corpi (ad esempio comeaccade nel decadimento α), ma presentava una distribuzione continua come infigura 5.1, quindi senza il neutrino si sarebbe violata la conservazione dell’energia;

(ii) guardando ai numeri quantici dello stato iniziale e finale si vede che senza il neutrinonon si conserva neanche lo spin

sn =126= sp + se = 1

45

5. Decadimento β

Perche i nuclei decadono β?

Nel caso A costante, dalla formula semiempirica di massa (1.11), si ha che la relazionetra massa di un nucleo ed il numero atomico e quadratica in Z:

M(Z) = aZ2 + bZ + c− δ

Il nucleo che piu si avvicina al minimo di tale parabola e l’isotopo stabile. Il decadimentoβ e il modo piu conveniente per un nucleo instabile di discendere la parabola di massaad A costante ed avvicinarsi all’isotopo piu stabile.

Figura 5.2.: 12853 I puo decadere in due direzioni; notiamo inoltre che e energeticamentepossibile per 128

52 Te decadere direttamente in 12854 Xe attraverso un doppio

decadimento β, essendo pero quest’ultimo processo altamente improbabilesi dice che il nucleo 128

52 Te e metastabile.

Considerando ora il caso A pari (δ 6= 0) si deduce, vedi figura 5.2, che i nuclei conN = (A − Z) dispari e Z dispari dovrebbero essere tutti instabili; in natura, infatti,esistono solo 5 di tali nuclei che sono stabili:

21H,

63Li,

105 B,

147 N e 50

23V

5.1. Energetica del decadimento β

Partiamo dal decadimento β del neutrone libero (vita di dimezzamento t1/2 ≈ 10 min)

n −→ p+ e− + νe

46

5.1. Energetica del decadimento β

il valore Q e definito essere

Q = (mn −mp −me −mν)c2

e quindi per neutroni in quiete

Q = Tp + Te + Tν

trascurando l’energia di rinculo del protone Tp ≈ 0.3 keV, l’energia in gioco si divide trail neutrino e l’elettrone. L’elettrone ha energia massima quando (Te)max = Q. L’energiamassima misurata e 0.782±0.001 MeV, usando i valori misurati delle masse dell’elettrone,del protone e del neutrone si trova

Q = (939.573− 938.280− 0.511) MeV−mνc2 = 0.782 MeV−mνc

2

quindi l’antineutrino ha massa nulla a meno della precisione sperimentale

mν < 1 keV/c2

Considerando mν = 0, abbiamo che il neutrino si muove alla velocita della luce e quindila sua energia totale relativistica Eν e uguale alla sua energia cinetica. Per l’elettronel’energia totale sara invece Ee = Te + mec

2. Le energie di decadimento tipiche sonodell’ordine del MeV, e quindi necessario usare la cinematica relativistica. Il rinculo delnucleo puo invece essere trattato non relativisticamente.Consideriamo dapprima il decadimento β−

AZX −→ A

Z+1Y + e− + νe

per il qualeQβ− =

[m(A

ZX)−m(AZ+1Y )−me

]c2 (5.1)

dove si sono considerate le masse nucleari. Per convertire queste ultime in masseatomiche M si usa

M(AZX)c2 = m(A

ZX)c2 + Zmec2 −

Z∑i=1

Bi

essendo Bi l’energia di legame dell’i–esimo elettrone. La (5.1) si riscrive come

Qβ− =[M(A

ZX)− Zme

]−[m(A

Z+1Y )− (Z + 1)me

]−me

c2 +

Z∑

i=1

Bi −Z+1∑i=1

Bi

da cui trascurando la differenza nelle energie di legame si trova

Qβ− =[M(A

ZX)−M(AZ+1Y )

]c2

Nel caso del decadimento β+

AZX −→ A

Z−1Y + e+ + νe

47

5. Decadimento β

un calcolo simile porta a

Qβ+ =[M(A

ZX)−M(AZ−1Y )− 2me

]c2

Infine per la cattura elettronica ε

AZX + e− −→ (A

Z−1Y )∗ + νe

il calcolo del valore Q deve tenere conto del fatto che il nucleo Y e in uno stato eccitato

Qε =[M(A

ZX)−M(AZ−1Y )

]c2 −Bn

dove Bn e l’energia di legame dell’elettrone catturato dall’n–esima shell (tipicamenten = K,L, ...).

Decadimento Q (MeV) t1/223Ne → 23Na+ e− + νe 4.38 38 sec99Tc → 99Ru+ e− + νe 0.29 2.1 · 105 y25Al → 25Mg + e+ + νe 3.26 7.2 sec124I → 124Te+ e+ + νe 2.14 4.2 d15O + e− → 15N + νe 2.75 1.22 sec41Ca+ e− → 41K + νe 0.43 105 y

Tabella 5.1.: Tipici decadimenti β.

5.2. Teoria di Fermi del decadimento β

Nel 1934 Fermi sviluppo una teoria del decadimento β basandosi sull’ipotesi di Paulidell’esistenza del neutrino. Suppose l’esistenza di un’interazione debole come causa dellatransizione

H = H0 + Vweak, H0 = T + Vnuclear + VCoulomb

Il termine perturbativo e scritto come Vweak = V + V † con

V =A∑

i=1

GF τ+(i) (1iΓ0 + CAσi · Γ) δ(ri − re) δ(ri − rν)

notiamo che:

(i) τ+ e l’operatore di salita dell’isospin; ne segue che V e responsabile del decadimentoβ−, mentre V †1 e responsabile del decadimento β+.

(ii) la presenza delle due funzioni δ ci dice che l’interazione e puntuale, ovvero i dueleptoni sono creati nel punto esatto in cui si trova il nucleone quando decade

1Ricordiamo che τ †+ = τ−.

48


Nella teoria moderna, l’interazione e mediata dal bosone vettore W−

quindi, dal principio di indeterminazione, la particella mediatrice percorre un tratto

∆r =c

MW c2≈ 200 MeV fm

80000 MeV≈ 0.002 fm

(iii) O = 1iΓ0 +CAσi ·Γ e un operatore che descrive la dipendenza di V dagli operatoridi spin ed impulso del nucleone iniziale i e dei due leptoni; 1i e l’operatore identita,CA e una costante adimensionale2, σi sono le matrici di Pauli, Γ0,Γ sono operatoriche agiscono sulla funzione d’onda dei due leptoni e dipendono dallo stato di spined impulso3. La loro funzione principale e di creare i leptoni, cioe avranno unelemento di matrice

〈ψeψν |Γ0|0〉 6= 0

essendo ψe/ν le funzioni d’onda dei leptoni nello stato finale (|0〉 indica che nellostato iniziale non ci sono leptoni).In generale O contiene termini ulteriori dipendenti dall’impulso del nucleone i deltipo

∝ Cppi · Γ′

mc+ ...

dove Cp e un’altra costante adimensionale; poiche nel nucleo |pi| mc questitermini in genere si trascurano.Da notare che O e uno scalare per rotazioni spaziali.

2Il valore di tale costante dipende dalla struttura dei nucleoni in termini di quarks. Se i nucleoni fosseropuntiformi sarebbe CA = −1.

3La forma di tali operatori e ben conosciuta nell’ambito della teoria di unificazione elettrodebole diGlashow–Weinberg–Salam.

49

5. Decadimento β

Limitandoci al primo ordine perturbativo, dalla regola d’oro di Fermi (1.12), la proba-bilita di transizione vale

dλ =2π|〈f |V |i〉|2 δ(Ei − Ef )

Ωd3pe

(2π)3Ωd3pν

(2π)3(5.2)

essendo lo stato iniziale

|i〉 = ψX(1, ..., A)|0〉

e quello finale

|f〉 = ψY (1, ..., A)eipe·re/√

Ω|χσe〉

eipν ·rν/√

Ω|χσν 〉F (pe, ZY )

dove ψX/Y sono le funzioni d’onda dei nuclei X ed Y (ricordiamo che approssimandoi nuclei come molti pensanti stiamo trascurando il rinculo), |χσe/ν

〉 gli stati di spin deileptoni ed F (pe, ZY ) una funzione, detta funzione di Fermi, dipendente dall’impulso del-l’elettrone emesso e dal numero atomico del nucleo figlio, che tiene conto dell’interazionecoulombiana tra l’elettrone emesso ed il nucleo Y 4.

5.2.1. Transizioni permesse

Studiamo

〈f |V |i〉 =1Ω

∫d3r1 · · · d3rAd

3red3rνψ

∗Y e

−i(pe·re+pν ·rν)/F ∗(pe, ZY )〈χσeχσν |V ψX |0〉

=1Ω

∫d3r1 · · · d3rAd

3red3rνψ

∗Y e

−i(pe·re+pν ·rν)/F ∗(pe, ZY )

〈χσeχσν |A∑

j=1

GF τ+(j)(Γ0 + CAσj · Γj)δ(rj − re)δ(rj − rν)ψX |0〉

=GF

Ω

∫d3r1 · · · d3rA

A∑j=1

ψ∗Y e−i(pe+pν)·rj/τ+(j)F ∗(pe, ZY )

〈χσeχσν |Γ0 + CAσj · Γj |0〉ψX (5.3)

Notiamo che rj . R, dove R e il raggio del nucleo X o Y , in quanto ψX/Y essendofunzioni d’onda di uno stato legato vanno a zero per ri R.Inoltre pec 6 pe(max)c, dove

Te(max) =√

(pe(max)c)2 +m2c4 −mec2 ≈ Q

4L’effetto di F (pe, ZY ) e importante solo per piccoli valori di Te, in quanto l’elettrone muovendosi piulentamente risente maggiormente del campo coulombiano del nucleo figlio.

50


poiche tipicamente Q ≈ 1 MeV e mec2 ≈ 0.5 MeV, si trova pe(max)c ≈ 1 MeV. Ripetendo

lo stesso discorso per pνc, si trova∣∣∣∣(pe + pν) · rj

∣∣∣∣ . pe(max)cR

c≈ 1 MeV 10 fm

200 MeV fm=

120

quindi l’espressione all’esponente e sempre molto piccola. Definendo

q =pe + pν

e sviluppando in serie

e−iq·rj = 1− iq · rj +12(−iq · rj)2 + ...

possiamo approssimare all’ordine zero (approssimazione delle transizioni permesse).

Regole di selezione per transizioni permesse

Nell’approssimazione delle transizioni permesse dato che approssimiamo le funzioni d’on-da dell’elettrone e del neutrino con il loro valore in r = 0, si ha che il momento angolareorbitale ` = 0.Ne segue subito che la parita iniziale e finale del sistema deve essere la stessa, dato cheπf = πi(−1)`.Il contributo dei leptoni al momento angolare totale j e allora dato solo dalla compo-sizione degli spin; distinguiamo i casi:

(i) spin antiparalleli, si parla di decadimento di Fermi, si ha allora jX = jY , ad esempio0+ → 0+, 1+ → 1+, ...

(ii) spin paralleli, decadimento di Gamow–Teller, si ha allora |jX − jY | 6 1 (escluso ilcaso jX = jY = 0 che rientra nei decadimenti di Fermi), ad esempio 0+ → 1+, ...

Quanto detto puo essere formalizzato introducendo gli elementi di matrice di Fermi e diGamow–Teller

MF =∫d3r1 · · · d3rAψ

∗Y

A∑i=1

τ+(i)ψX

MGT =∫d3r1 · · · d3rAψ

∗Y

A∑i=1

τ+(i)σiψX

Quando MF 6= 0 si ha il decadimento di Fermi, quando MGT 6= 0 quello di Gamow–Teller. Se entrambi gli elementi di matrice sono non nulli si ha un mix delle dei duedecadimenti; la percentuale dei due tipi di decadimenti nella transizione mixata puoessere valutata attraverso l’elemento di matrice (5.3) che, con le nuove definizioni, puoriscriversi come

〈f |V |i〉 =GF

Ω(〈χσeχσν |Γ0|0〉MF + 〈χσeχσν |Γ|0〉 ·MGT

)F ∗(pe, ZY ) (5.4)

Riassumendo le regole di selezione per le transizioni permesse sono

∆j = 0, 1, ∆π = 0

51

5. Decadimento β

Spazio delle fasi per transizioni permesse

Nel seguito considereremo per semplicita di esposizione solo le transizioni 0+ → 0+.Essendo MGT = 0 dalla (5.4) si ha

〈f |V |i〉 =GF

Ω〈χσeχσν |Γ0|0〉MFF

∗(pe, ZY )

sostituendo nella (5.2) si trova la probabilita di transizione

dλ(pe,pν , σe, σν) =2πG2

F

|〈χσeχσν |Γ0|0〉|2 |MF |2 |F (pe, ZY )|2 δ(Q− Te − pνc)

d3ped3pν

(2π)6(5.5)

avendo assunto, per Q, mν = 0 ed avendo trascurato il rinculo del nucleo figlio.La (5.5) da la probabilita nell’unita di tempo che il nucleo X decada emettendo unelettrone, di impulso pe e proiezione di spin σe, ed un neutrino, di impulso pν e proiezionedi spin σν . Sommando su σe, σν ed integrando su pν e pe = pe/|pe| si ottiene il numerodi elettroni N(pe) emessi con impulso in modulo pari a pe. Dalla teoria dell’interazionedebole si ha ∑

σe,σν

|〈χσeχσν |Γ0|0〉|2 = 1 +pe · pν

EeEν

Inoltre, dato che |MF |2 non dipende dagli impulsi, integrando∫dpνdpe

(1 +

pe · pν

EeEν

)= (4π)2

si ottiene (vedi figura 5.3)

N(pe) =2πG2

F

(4π)2

(2π)6|MF |2 |F (pe, ZY )|2 p2

e

∫dpνp

2νδ(Q− Te − pνc)

=2πG2

F

(4π)2

(2π)6|MF |2 |F (pe, ZY )|2 (Q− Te)2p2

e

c3(5.6)

Dalla (5.6), troviamo che

K =

√N(pe)

p2e|F (pe, ZY )|2

∝ (Q− Te)

Graficando K in funzione di Ee si trova una relazione lineare che, come mostrato infigura 5.4 per il 66Ga, e confermata dai dati sperimentali per le transizioni 0+ → 0+.Se integriamo la (5.6) in dpe otteniamo la costante di disintegrazione

λ =2πG2

F

(4π)2

(2π)6|MF |2

(mec2)5

c6f(ZY , Q)

dove si e introdotto l’integrale di Fermi (il cui valore e tabulato)

f(Z,Q) =1

(mec)3(mec2)2

∫ pe(max)

0dpep

2e|F (pe, Z)|2(Q− Te)2

52


Figura 5.3.: Le distribuzioni N(pe) ed N(Te) per il decadimento del 64Cu.

Figura 5.4.: Plot di Kurie per 66Ga.

53

5. Decadimento β

Essendo λ = 0.693/t1/2 si ha

ft1/2 ∝1

|MF |2(5.7)

La quantita a sinistra della (5.7), nota come vita di dimezzamento comparativa o ftvalue, essendo proporzionale all’elemento di matrice della transizione, ci da la possibilitadi comparare le probabilita di decadimento β in nuclei diversi. I decadimenti con l’ftvalue minimo (log ft ≈ 3 ÷ 4) sono noti come transizioni superpermesse. Esempio ditransizioni superpermesse sono 0+ → 0+ per le quali |MF | = 1.Dal prodotto ft per tali transizioni si puo anche dedurre il valore della costante Gdell’interazione debole5

G =GFmpc

2

(c)3≈ 10−5

5.2.2. Transizioni proibite

Regole di selezione per transizioni proibite

Cosa succede se MF = MGT = 0? In questo caso l’approssimazione delle transizionipermesse non e piu sufficiente e bisogna considerare nello sviluppo in serie i terminisuccessivi

e−iq·ri =∑`,m

4π(−i)`Y`m(q)Y ∗`m(ri)J`(qri)

Come abbiamo gia detto qri 1, possiamo allora approssimare

J`(qri) ≈(qri)`

(2`+ 1)!!(5.8)

quindi i termini con ` > 0 danno contributi soppressi di un fattore ∼ (qR)`; in questocaso il contributo piu importante viene dal primo termine non nullo. Si parla allora di

(i) primo decadimento proibito, se il primo termine non nullo e quello in ` = 1.Innanzitutto la parita cambia, poi abbiamo ancora la distinzione in

(a) decadimento di Fermi (spin antiparalleli), si ha allora |jX − jY | 6 1 (escluso ilcaso 0 → 0);

(b) decadimento di Gamow–Teller (spin paralleli), si ha allora |jX − jY | 6 2.

Riassumendo le regole di selezione sono

∆j = 0, 1, 2, πf 6= πi

5Tale costante esprime l’intensita dell’interazione, la quale e appunto chiamata debole perche piccolase confrontata con le costanti delle altre interazioni

α =e2

4πε0c=

1

137interazione elettromagnetica

g

c≈ 10 interazione forte

54


(ii) secondo decadimento proibito, ` = 2. Stavolta la parita non cambia; ragionandocome prima ed escludendo i decadimenti che ricadono nelle transizioni permesse sihanno le seguenti regole di selezione

∆j = 2, 3 ∆π = 0

(iii) terzo decadimento proibito, ` = 3, le regole di selezione sono

∆j = 3, 4 πf 6= πi

(iv) quarto decadimento proibito, ` = 4, le regole di selezione sono

∆j = 4, 5 ∆π = 0

(v) etc.

Per incorporare nella teoria i decadimenti proibiti, l’elemento di matrice (5.4) puo esserscritto come

〈f |V |i〉 =GF

Ω

∑`,m

√4π(−i)`Y`m(q)

M

(`m)F 〈χσeχσν |Γ0|0〉

+M(`m)GT · 〈χσeχσν |Γ|0〉

F ∗(pe, ZY ) (5.9)

con M

(`m)F =

√4π∫d3r1 · · · d3rAψ

∗Y

∑`,i

Y ∗`m(ri)J`(qri)τ+(i)

ψX

M(`m)GT =

√4π∫d3r1 · · · d3rAψ

∗Y

[∑i

Y ∗`m(ri)J`(qri)τ+(i)σi

]ψX

(5.10)

Spazio delle fasi per transizioni proibite

Consideriamo un `0-esimo decadimento proibito e, per fissare le idee, consideriamo unatransizione di Fermi, ossia

M `mF = 0 per ` < `0

M `mGT = 0 per ` 6 `0

L’elemento di matrice (5.9) e allora ben approssimato dal solo termine di `0

〈f |V |i〉 ≈ GF

Ω

∑m

√4π(−i)`0Y`0m(q)M (`0m)

F 〈χσeχσν |Γ0|0〉F ∗(pe, ZY )

55

5. Decadimento β

quindi la (5.2) diventa

dλ(pe,pν , σe, σν) =2π

4πG2F

∑m,m′

Y`0m(q)M (`0m)F Y ∗

`0m′(q)(M

(`0m)F

)∗|〈χσeχσν |Γ0|0〉|2 |F (pe, ZY )|2 δ(Q− Te − pνc)

d3ped3pν

(2π)6

Prima di procedere notiamo cheM (`0m)F dipende da q per `0 6= 0, dalla (5.10) sviluppando

J`0 come in (5.8) possiamo ridefinire

M(`0m)F = q`0M

(`0m)F

con

M(`0m)F =

√4π∫d3r1 · · · d3rAψ

∗Y

[∑i

Y ∗`0m(ri)

r`0i

(2`0 + 1)!!τ+(i)

]ψX

in modo da esplicitare la dipendenza da q. Definendo infine

(4π)2S`0mm′(pe, pν) = (4π)

∫dpedpνY`0m(q)Y ∗

`0m′(q)q2`0

(1 +

pe · pν

EeEν

)troviamo allora

N(pe) =2πG2

F

(4π)2

(2π)6∑m,m′

M(`0m)F

(M

(`0m′)F

)∗S`0

mm′(pe, pν) |F (pe, ZY )|2 (Q− Te)2p2e

c3

che per S`0mm′ = 1 si riduce al caso precedente. In figura 5.5 e mostrato il plot di Kurie.

5.3. La violazione della parita nel decadimento β

Nel 1956 T. D. Lee e C. N. Yang ipotizzarono (in analogia con il decadimento dei mesoniK) che il decadimento β non fosse invariante per parita P . Quest’ipotesi teorica fupresto verificata sperimentalmente dal gruppo di C. S. Wu studiando il decadimento del60Co.L’esperimento consisteva nell’allineare lo spin dei nuclei di 60Co grazie ad un campomagnetico e verificare se le particelle β erano effettivamente emesse in numero ugualelungo ed in direzione opposta al campo (vedi figura 5.7). L’apparato sperimentale eramantenuto a temperature (T ∼ 0.01 K) abbastanza basse da non permettere all’agi-tazione termica di distruggere la polarizzazione dei nuclei.In figura 5.6 sono mostrati i dati dell’esperimento di Wu i quali confermano abbastanzachiaramente l’ipotesi di violazione della parita nel decadimento β avanzata da Lee eYang; circa il 70% delle particelle erano emesse in direzione opposta allo spin del 60Co.Sperimentalmente si verifica che il decadimento β viola oltre alla simmetria P anche lasimmetria C (coniugazione di carica), cio pero non accade per la simmetria CP (vedifigura 5.7), la quale e invece conservata.

56

5.3. La violazione della parita nel decadimento β

Figura 5.5.: Decadimento β di 91Y : la linearita del plot di Kurie e ristabilita quandoviene considerato il fattore S`0

mm′(pe, pν).

57

5. Decadimento β

Figura 5.6.: I dati dell’esperimento di Wu sul decadimento β del 60Co mostrano chiara-mente una asimmetria nelle curve ottenute per direzioni lungo ed oppostaallo spin nucleare (la scomparsa dell’asimmetria a circa 8 min e dovuta algraduale riscaldamento della sorgente e quindi alla conseguente perdita dellapolarizzazione dei nuclei di 60Co).

Figura 5.7.: Il decadimento β del 60Co negli specchi P , C e CP .

58

6. Decadimento γ

La maggior parte dei decadimenti α e β, ed inoltre molte reazioni nucleari, lasciano ilnucleo finale in uno stato eccitato. Questi stati eccitati decadono rapidamente a quellofondamentale attraverso l’emissione di uno o piu raggi γ, i quali sono fotoni di energiatipicamente nel range tra gli 0.1 ed i 10 MeV (o in termini di lunghezza d’onda tra i 104

ed i 100 fm).

6.1. Energetica delle transizioni elettromagnetiche nei nuclei

Consideriamo il decadimento γ di un nucleo di massa a riposo M da uno stato inizialeeccitato di energia Ei ad uno stato finale Ef . La conservazione dell’energia e dell’impulsoimpongono

Ei = Ef + Eγ + TR

0 = pR + pγ

dove pR e TR = p2R/2M sono rispettivamente impulso ed energia del nucleo che rincula

(assumiamo energie non relativistiche), mentre pγ ed Eγ = cpγ sono rispettivamenteimpulso ed energia del raggio emesso. Segue allora, posto ∆E = Ei − Ef , che

∆E = Eγ +E2

γ

2Mc2(6.1)

che ha come soluzione

Eγ = Mc2

(−1±

√1 + 2

∆EMc2

)(6.2)

La differenza di energia e tipicamente ∆E ≈ 1 MeV, mentre l’energia a riposo Mc2 ≈A ·103 MeV, dove A e il numero di massa. Ne segue che ∆E Mc2, quindi espandendoin serie la (6.2) si trova (con una precisione dell’ordine del 10−4 ÷ 10−5)

Eγ ≈ ∆E − (∆E)2

2Mc2

(la stessa equazione segue dalla (6.1) approssimando ∆E ≈ Eγ).Il processo inverso dell’emissione γ e l’assorbimento, ragionando come prima si trova

∆E = Eγ −E2

γ

2Mc2

avendo assunto il nucleo inizialmente a riposo.

59

6. Decadimento γ

La larghezza di riga naturale e quella dovuta all’effetto Doppler

Notiamo che, a causa dell’energia ER = (∆E)2/2Mc portata via dal rinculo, un raggioγ emesso da un nucleo non ha energia sufficiente per essere assorbito da un altro nucleodella stessa specie.Se facciamo impattare un fascio di fotoni su di un bersaglio di nuclei la sezione d’urtodel processo di assorbimento avra la forma di Breit–Wigner (vedi equazione (2.9))

σ(Eγ) = σ0(Γ/2)2

[Eγ − (∆E + ER)]2 + (Γ/2)2(6.3)

Per un tipico stato nucleare di vita media τ ≈ 10−12÷10−15 sec si ha Γ ≈ 10−6÷10−3 eV,per cui l’indeterminazione sull’energia non e sufficiente a compensare ER ≈ 0.46 eV.In realta la larghezza di riga spettrale osservata e diversa da quella naturale a causadell’effetto Doppler; i nuclei bersaglio sono infatti in agitazione termica. L’energia dei γassorbiti varia allora come E′

γ = Eγ(1±v/c) essendo v la componente della velocita lungola direzione del fotone. La distribuzione (6.3) si allarga allora di un fattore ∆ ≈ 2Eγv/c.

Effetto Mossbauer

L’assorbimento e invece possibile quando il nucleo e legato in un reticolo cristallino. Permaggiori chiarimenti si veda [1] pag. 361.

6.2. Teoria dell’assorbimento e dell’emissione stimolata

Consideriamo un sistema nucleare in un campo elettromagnetico. l’hamiltoniana vale

H =A∑

j=1

12m

(pj −

qjc

A(rj , t))2

+ V (rj) (6.4)

dove V racchiude il potenziale nucleare e coulombiano, qj e la carica del nucleone j-esimoed A e un campo di radiazione classico descritto dall’onda piana monocromatica

A(r, t) = A0ε[ei(k·r−ωt) + e−i(k·r−ωt)

](6.5)

essendo ε la polarizzazione e k il vettore d’onda. Poiche k · ε = 0, si ha che la (6.5)soddisfa la gauge

∇ ·A = 0

Da quest’ultima, ricordando che p = −i∇, segue che(p− e

cA)2ψ = |p|2ψ +

:0ie

c(∇ ·A)ψ − 2

e

c(A · p)ψ +

e2

c2|A|2ψ

trascurando il termine in |A|2 la (6.4) puo allora scriversi come

H =A∑

j=1

p2j

2m+ V (rj)−

e

mc

Z∑j=1

A(rj , t) · pj = H0 +H1

60

6.2. Teoria dell’assorbimento e dell’emissione stimolata

Possiamo considerare il termine H1 come la perturbazione che causa la transizione tra ilivelli energetici. Notiamo che dalla (6.5) segue

H1 = Vperteiωt + V ∗

perte−iωt

essendo

Vpert = − e

mc

Z∑j=1

A0e−ik·rj ε · pj

si ha allora che Vpert causa l’assorbimento mentre V ∗pert l’emissione stimolata.

Probabilita di transizione in approssimazione di dipolo elettrico

Usando la teoria delle perturbazioni al primo ordine sviluppata in appendice A.2, laprobabilita assorbimento (ovvero transizione tra dallo stato fondamentale al livello n-esimo) vale

P (0 → n) =2π|〈n|Vpert|0〉|2 δ(En − E0 − ω) (6.6)

Per valori tipici delle energie dei γ assorbiti ω ≈ 1 MeV, detto R ≈ 10 fm il raggionucleare, si ha

|k · rj | 6 krj 6ωcR ≈ 1 MeV 10 fm

200 MeV fm=

120 1

per cui vale l’approssimazione di dipolo elettrico

e−ik·rj ≈ 1

In tale ipotesi, ricordando la regola di commutazione

[x,H0] =impx

l’elemento di matrice in (6.6) si calcola facendo la sommatoria sui termini

〈n|e−ik·rj ε · pj |0〉 ≈ 〈n|ε · pj |0〉 = −im〈n|ε [rj ,H0] |0〉

= −im〈n|(E0 − En)〈n|ε · rj |0〉 = −im

(−ω)ε · rj |0〉

= iωmε · 〈n|rj |0〉

In modo analogo si procede per l’emissione stimolata.

Regole di selezione per le transizioni di dipolo elettrico

Un multipolo elettrico di ordine E` trasferisce un momento angolare ` per fotone (permaggiori chiarimenti si veda [1] pag. 333 oppure [4] pag. 240). Nell’approssimazione didipolo elettrico E1 si ha allora la seguente regola di selezione per il momento angolare

∆j = 0,±1 escluso il caso 0 → 0

61

6. Decadimento γ

in quanto quest’ultima e una transizione di monopolo (e non esistono fotoni con ` = 0).A questa regola di selezione si aggiunge quella per la parita

πf 6= πi

in quanto per le transizioni di dipolo elettrico πf = (−1)`=1πi.

62

7. La fissione nucleare

Dopo la scoperta del neutrone (Chadwick, 1932) Enrico Fermi ed i suoi collaboratoriiniziarono a studiare la radioattivita indotta. Scoprirono che molti nuclei decadono β−

in seguito alla cattura di un neutrone (Fermi vinse il nobel nel 1938 per questi studi). Ilrisultato era un nucleo con numero atomico Z maggiore di una unita, si potevano cosıprodurre i primi elementi transuranici. La tecnica dell’irradiazione di uranio con neutroniporto pero a risultati inaspettati e confusi, infatti venne prodotto un elemento concaratteristiche chimiche molto simili al bario. Nel 1939 Hahn e Strassmann mostraronoche nei fatti si trattava proprio di bario. Ulteriori studi rivelarono molti altri nucleidi masse intermedie prodotti in seguito al bombardamento neutronico dell’uranio, nel1939 Meitner e Frisch proposero l’ipotesi che l’uranio in seguito alla cattura del neutronediventasse talmente instabile da spaccarsi a meta, fu cosı scoperta la fissione.

Perche i nuclei fissionano?

Il perche i nuclei fissionano si comprende facilmente osservando l’andamento della bind-ing energy per nucleone in figura 1.4. Consideriamo ad esempio la reazione

23892 U −→ 2 119

46 Pd

La binding energy per nucleone dell’238U e di circa 7.6 MeV mentre quella del 119Pd dicirca 8.5 MeV, si ha allora che attraverso la fissione il sistema passa ad uno stato piulegato

Ei = −238× 7.6 = −1809 MeV −→ Ef = −2× 119× 8.5 = −2033 MeV

La restante energia ∆E = 214 MeV e liberata sotto varie forme (emissione di neutroni,decadimenti β e γ dei frammenti finali), la principale delle quali (∼ 80%) e l’energiacinetica dei frammenti.

7.1. Caratteristiche della fissione

Barriera di potenziale coulombiano

La fissione spontanea spesso non e abbastanza probabile da poter competere con ildecadimento α (la vita di dimezzamento dell’238U per decadimento α e di 4.5 · 109 ymentre quella per fissione di circa 1016 y), ma diviene un processo importante solo pernuclei di numero di massa superiore a 250. Cio puo spiegarsi con un modello analogo a

63


quello usato per il decadimento α: pensiamo l’238U come preformato dai due frammentidi 119Pd, la barriera coulombiana da superare quando questi ultimi si toccano e circa

V =1

4πε0Z1Z2e

2

R≈ (1.44 MeV · fm)

(46)2

12.2 fm≈ 250 MeV

essendo R = 2RPd = 2 ·1.25 · (119)1/3 ≈ 12.2 fm, mentre la loro energia di soli 214 MeV,la probabilita di decadimento e piccola perche la barriera non puo essere penetrata. Infigura 7.1 e mostrato l’andamento dell’energia di attivazione (l’energia necessaria persuperare la barriera di potenziale) in funzione del numero di massa.

Figura 7.1.: Energia di attivazione della fissione.

Quando la fissione spontanea e poco probabile si puo avere fissione indotta fornendodall’esterno l’energia sufficiente al nucleo per superare la barriera di potenziale. Tipiciprocessi di fissione indotta si ottengono con l’assorbimento da parte del nucleo di neutronio fotoni.Una stima piu accurata dell’energia di attivazione del processo di fissione puo ottenersidal modello a goccia liquida del nucleo. Consideriamo gli effetti sulla binding energy diun nucleo inizialmente sferico che viene gradualmente stirato in modo da mantenere ilvolume costante

figura K-13-5

Rappresentiamo il nucleo stirato come un’ellissoide di rotazione di semiasse maggiore esemiasse minore rispettivamente

a = R(1 + ε) e b = R(1 + ε)−1/2

essendo 0 6 ε 6 1 l’eccentricita. Quando la sfera viene distorta in un ellissoide lasua superficie diventa S = 4πR2

(1 + 2

5ε2 + ...

). Il termine di superficie nella formula

64

7.1. Caratteristiche della fissione

semiempirica (1.10) varia di conseguenza, mentre il termine coulombiano si modifica diun fattore

(1− 1

5ε2 + ...

). Si ha allora una differenza di energia di legame

∆E = B(ε)−B(ε = 0)

= −asA2/3

(1 +

25ε2 + ...

)− acZ

2A−1/3

(1− 1

5ε2 + ...

)+ asA

2/3 + acZ2A−1/3

≈(−2

5asA

2/3 +15acZ

2A−1/3

)ε2

Affinche possa avvenire fissione spontanea dovra essere ∆E > 0, ovvero

25asA

2/3 <15acZ

2A−1/3

usando i valori di as ed ac si trova che deve valere

Z2

A> 47

Questa stima puo essere migliorata ulteriormente tenendo conto, ad esempio, della prob-abilita di penetrazione della barriera e del fatto che nuclei come l’uranio all’equilibrionon sono sferici ma hanno una deformazione ellissoidale permanente. Ciononostantequesta stima e in buon accordo con i dati sperimentali (e ad esempio consistente conquelli mostrati in figura 7.1 un nucleo con A = 300 e Z/A = 0.4 ha Z2/A = 48 e quindil’energia di attivazione e nulla).

Distribuzione di massa dei frammenti

Una tipica reazione di fissione indotta e

235U + n −→ 93Rb+140 Cs+ 2n

che e possibile per neutroni termici. I prodotti della fissione non sono determinati inmodo univoco, bensı c’e una distribuzione delle masse dei prodotti di fissione comemostrato in figura 7.2.Notiamo che fissionare in frammenti uguali, o circa uguali (A1 ≈ A2), e circa 600 voltemeno probabile rispetto al caso dei frammenti con A1 ≈ 95 e A2 ≈ 140. In contrastocon cio la fissione indotta da particelle molto energetiche mostra una distribuzione dellemasse che favorisce i frammenti con stesso numero di massa.

Numero di neutroni emessi

I frammenti della fissione nelle vicinanze di A = 95 e A = 140 devono dividersi 92protoni. Se facessero questo in proporzione alle rispettive masse i nuclei che si formanosarebbero 95

37Rb e 14055 Cs. Questi nuclei sono estremamente ricchi di neutroni, infatti

l’isobaro stabile con A = 95 ha Z = 42, mentre quello con A = 140 ha Z = 58. Allafissione segue allora l’emissione istantanea (in un tempo di 10−16 sec) dei neutroni in

65


Figura 7.2.: Distribuzione delle masse dei frammenti della fissione indotta da neutronitermici dell’235U .

eccesso, noti per questo come neutroni pronti. Il numero di neutroni pronti emessi e unacaratteristica del particolare processo di fissione, ad esempio per l’233U vengono emessiin media 2.48 neutroni per fissione, per l’235U 2.42 e per il 239Pu 2.86.In aggiunta ai neutroni pronti altri neutroni, detti neutroni ritardati, vengono emessi inseguito ai successivi decadimenti β dei frammenti della fissione1.

Sezione d’urto

Dalla figura 7.3 si vede che per l’235U la sezione d’urto dovuta a neutroni termici e circa3 volte piu grande di quella dovuta a neutroni veloci. Per l’238U si ha invece l’inverso:praticamente esiste solo fissione indotta da neutroni molto energetici.Il perche si puo capire analizzando l’energetica della fissione.

Energetica

In seguito alla cattura neutronica l’235U diventa uno stato eccitato 236U∗; se assumiamoneutroni termici l’energia cinetica di questi ultimi puo trascurarsi e quindi

m(236U∗) = m(235U) +mn ≈ 236.053 u.m.a

L’energia di eccitazione e allora

Eex =[m(236U∗)−m(235U)

]c2 ≈ 6.5 MeV

L’energia di attivazione dell’235U e calcolata essere 6.2 MeV, questo significa che perla fissione indotta dell’235U bastano neutroni di energia nulla. Un calcolo simile perl’238U da Eex = 4.8 MeV contro un’energia di attivazione di 6.6 MeV. Tutto questo econsistente con quanto osservato in figura 7.3.

1Si tratta di β–delayed nucleon, per dettagli consultare [1] sezione 9.8.

66

7.2. Fissione controllata

Figura 7.3.: Sezione d’urto di fissione indotta da neutroni per l’235U e l’238U .

Figura 7.4.: Effetto del termine di accoppiamento sull’energia di eccitazione: mentrenel caso dell’235U δ contribuisce ad aumentare Eex, nel caso dell’238U δcontribuisce a diminuire Eex.

Questa differenza puo spiegarsi, come mostrato in figura 7.4, come una conseguenze deltermine di accoppiamento δ nella formula semiempirica (1.10).


Consideriamo una massa di uranio naturale (la cui composizione isotopica e 0.72% di235U e 99.28% di 238U). Un singolo evento di fissione produce in media circa ν = 2.5neutroni, ognuno di questi neutroni di ”seconda generazione” puo essere capace di pro-durre un altro evento di fissione, si ha cosı quella che e chiamata una reazione a catena.Se vogliamo estrarre la maggior quantita possibile di energia da questo processo dobbi-amo concentrarci sulla fissione indotta da neutroni lenti dell’235U . I neutroni prodottida un evento di fissione devono quindi essere moderati ad energie termiche. I neutroniperdono energia nelle collisioni elastiche con i nuclei, una popolare scelta per un mod-eratore e il carbonio in forma di grafite. Un reticolo di blocchi di uranio alternati con

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blocchi di grafite e chiamato pila a reazione a catena, la prima pila di questo tipo fucostruita da Fermi all’Universita di Chicago nel 1942.E utile definire il neutron reproduction factor k∞ (per una massa infinita di uranio, as-sumiamo cioe di trascurare le perdite superficiali di neutroni). Tale fattore esprime ilcambiamento nel numero di neutroni termici da una generazione all’altra. Affinche lareazione a catena continui deve essere k∞ > 1. Se il fattore di riproduzione (per una pilafinita) e esattamente k = 1 il reattore e detto critico, se k < 1 subcritico, se k > 1 super-critico. Per ottenere un rilascio di energia costante la pila deve essere esattamente critica.

Assumiamo di avere N neutroni termici nella prima generazione, analizziamo un ciclodel reattore:

(i) La probabilita di produrre un evento di fissione per ogni neutrone e

σf

σf + σa

essendo σf la sezione d’urto per fissione e σa quella per ogni altro tipo di assor-bimento. Se in media in ogni fissione vengono prodotti ν = 2.5 neutroni, dopo ilprimo ciclo di fissione avremo a disposizione

ηN = νσf

σf + σaN

neutroni veloci. Dato che per l’235U , σf = 584 b e σa = 97 b, e che per l’238U ,σf = 0 b (non esiste fissione da neutroni termici) e σa = 2.75 b, per l’uranionaturale

σf =(0.72σf (235U) + 99.28σf (235U)

)· 10−2 = 4.2 b

σa =(0.72σa(235U) + 99.28σa(235U)

)· 10−2 = 3.43 b

e quindi η = 1.33 (essendo molto vicino ad 1, per un reattore critico spesso si usauranio arricchito in cui la percentuale di 235U e aumentata sino al 3%, si ottienecosı η = 1.84).

(ii) A questo punto parte degli ηN neutroni possono causare fissione incontrando nucleidi 238U , il numero di neutroni veloci diventa allora ηεN dove ε, detto fast fissionfactor, per l’uranio naturale vale 1.03.

(iii) Dobbiamo ora moderare ad energie termiche tali neutroni. Per termalizzare unneutrone di 1 MeV occorrono circa 100 collisioni con i nuclei di carbonio; in questoprocesso i neutroni attraversano l’intervallo di energie 10 ÷ 100 eV per il quale lasezione d’urto dell’238U presenta molti picchi di risonanza (di circa 1000 b, moltomaggiore della sezione d’urto per fissione). Se un neutrone non ancora termalizzatoincontra un nucleo di 238U viene allora da quest’ultimo catturato. Teniamo contodi questo effetto con il fattore p, resonance escape probability, che ha un valoretipico di 0.9. A questo punto abbiamo allora ηεpN neutroni termici.

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Figura 7.5.: Rappresentazione schematica dei processi che avvengono durante unasingola generazione di neutroni.

(iv) Parte di questi possono inoltre essere catturati dal moderatore (si usa la grafiteproprio perche ha una sezione d’urto da neutroni termici di soli 0.0034 b), per talemotivo si introduce il thermal utilization factor f , tipicamente f = 0.9. Infine ilnumero di neutroni disponibili e ηεpfN .

Il fattore di riproduzione e allorak∞ = ηεpf

questa e nota, per ragioni ovvie, come four–factor formula. Per l’uranio naturale si hak∞ = 1.11.Per un reattore reale (quindi di dimensioni finite) bisogna tenere conto della perditadi neutroni sulla superficie; questa puo avvenire sia per i neutroni veloci che per quellitermalizzati. Introducendo i parametri `f ed `t che tengono conto di questi effetti, ilfattore di riproduzione diventa

k = ηεpf(1− `f )(1− `t)

In figura 7.5 e riassunto il ciclo del reattore.Consideriamo infine l’andamento temporale dei numero di neutroni termici a dispo-sizione. Se τ e il periodo di un ciclo di reazione e ci sono N neutroni al tempo t, avremoin media kN neutroni al tempo t + τ , k2N al tempo t + 2τ e cosı via. In un intervallodt l’aumento di neutroni sara

dN = (kN −N)dt

τ

per cuiN(t) = N0e

(k−1)t/τ

Se il reattore e critico allora N e costante, se e subcritico il numero di neutroni de-cresce esponenzialmente, se invece e supercritico cresce esponenzialmente. Nella pratica

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si preferisce controllare il numero di neutroni inserendo nella pila materiali ad alto as-sorbimento di neutroni termici (come ad esempio il cadmio); di solito si hanno sottocontrollo meccanico dei cilindri di cadmio che vengono rimossi lentamente o inseriti ve-locemente a seconda delle necessita. Per permettere queste operazioni (della durata diqualche secondo) la pila viene disegnata in modo da essere leggermente subcritica perneutroni pronti, il piccolo numero di neutroni ritardati vengono allora usati per operarein regime critico; manipolando i cilindri di cadmio si riesce ad avere un rate costantedella reazione.

70

8. La fusione nucleare

Osservando la figura 1.4 si nota un modo alternativo alla fissione per estrarre energiada un nucleo: possiamo infatti scalare la curva della binding energy per nucleone versonuclei piu stabili facendo fondere tra loro nuclei leggeri piuttosto che fissionando nucleipesanti.La reazione di fusione piu semplice, p+ p → 2He, non avviene a causa dell’instabilitadell’2He. Altri semplici esempi di fusioni nucleari sono:

(i) reazioni D–D (deuterio–deuterio)

2H +2 H −→ 3He+ n (Q = 3.3 MeV)2H +2 H −→ 3He+ p (Q = 4 MeV)2H +2 H −→ 4He+ γ (Q = 23.8 MeV)

(ii) reazione D–T (deuterio–trizio)

2H +3 H −→ 4He+ n (Q = 17.6 MeV)

Quest’ultima fornisce un neutrone monoenergetico di 14.1 MeV, ed e quindi usata spessocome sorgente di neutroni veloci.Notiamo inoltre che piu stabile e lo stato finale maggiore e l’energia rilasciata nellareazione.

8.1. Caratteristiche della fusione

Energetica

Tipicamente le particelle che reagiscono hanno energie di 1÷10 keV trascurabili rispettoal valore Q che e dell’ordine del MeV. L’energia liberata, e l’energia finale delle particelleprodotte (b ed Y ), sara quindi uguale al valore Q della reazione

12mbv

2b +

12mY v

2Y ≈ Q

Ignorando il moto iniziale, gli impulsi finali sono uguali ed opposti

mbvb = mY vY

71


ne segue 12mbv

2b ≈

Q

1 +mb/mY

12mY v

2Y ≈

Q

1 +mY /mb

Si vede allora che tra le particelle prodotte, quelle piu leggere prendono maggiore energia,infatti

12mbv

2b

12mY v2

Y

=mY

mb

Quindi nel caso di una reazione D–T il neutrone prodotto prende circa 80% dell’energiain gioco, mentre in una reazione D–D il neutrone (o il protone) prodotto prende solo il75%.

Barriera di potenziale coulombiano

Se Ra ed RX sono i raggi delle particelle reagenti, la barriera di potenziale coulombianoquando le particelle si toccano sulle loro superfici e

Vc =e2

4πε0ZaZX

Ra +RX

La barriera e piu bassa per gli isotopi dell’idrogeno, in particolare il valor minimo equello della reazione D–T (Vc = 0.4 MeV).L’effetto della barriera coulombiana sulla fusione e simile a quello che avviene nel decadi-mento α, quindi la probabilita di fusione decresce esponenzialmente con ZaZX .

Sezione d’urto

Per particelle reagenti ad energie termiche la sezione d’urto della fusione e

σ ∝ 1v2

e−2G (8.1)

dove G e il fattore di Gamow dato in (4.3) (sostituendo Q con l’energia del centro dimassa E delle particelle interagenti) e v e la velocita relativa. Dato che E B possiamoapprossimare

G ≈ e2

4πε0πZaZX

vIl fattore di proporzionalita in (8.1) e dato da elementi di matrici nucleari e fattoristatistici dipendenti dagli spin delle particelle.

Rate della reazione

Il rate di una reazione nucleare dipende dal prodotto σv. In una reazione termonuclearele velocita possono essere descritte dalla distribuzione di Maxwell–Boltzmann

n(v) ∝ e−mv2/2kT

72

8.2. Il ciclo di fusione p–p nelle stelle

Figura 8.1.: Finestra di Gamow al variare della temperatura.

mediando su tutte le velocita si trova

〈σv〉 ∝∫ ∞

0

1ve−2Ge−mv2/2kT v2dv

o equivalentemente

〈σv〉 ∝∫ ∞

0e−2Ge−E/kTdE

Come mostrato in figura 8.1 si ha che solo un intervallo di energie, detto finestra diGamow, contribuisce all’integrale, in quanto a basse o alte energie il prodotto e soppressoda uno dei due fattori.


Il ciclo base che permette al sole (ed a molte altre stelle) di bruciare e il ciclo di fusionedell’idrogeno in elio.Notiamo che tutte le reazioni in ogni passo del ciclo di fusione sono reazioni a due corpiperche che la collisione simultanea di tre particelle e talmente improbabile da essereirrilevante.Il primo passo del ciclo e

p+ p −→ 2H + e+ + νe (Q = 1.44 MeV) (F.1)

Il neutrino nello stato finale segnala un processo dovuto all’interazione debole (conver-sione di un protone in un neutrone). Questo e il passo del ciclo di fusione meno probabile(dato che la sezione d’urto dei processi deboli e piccola) e piu lento (il rate di reazione e,nonostante le alte densita del nucleo del sole, circa 125 g/cm3 o 7.5 · 1025 protoni/cm3,di soli circa 5 · 10−18 Hz per protone). Quello che permette al sole di irradiare sonol’enorme numero di protoni reagenti (∼ 1056), in tal modo il rate totale e dell’ordine di

73


Figura 8.2.: Ciclo p–p.

1038 Hz.A questo punto del ciclo e altamente improbabile avere una reazione D–D dato che ilnumero di 2H presenti e circa 1018 volte inferiore al numero di protoni; alla formazionedel 2H segue, invece, quasi immediatamente

p+2 H −→ 3He+ γ (Q = 5.49 MeV) (F.2)

La reazione di 3He con un protone non esiste come stato legato

p+3 He −→ 4Li −→ p+3 He

ed e troppo improbabile per l’3He reagire con 2H (dato che quest’ultimi vengono con-vertiti in 3He molto rapidamente), il passo successivo e allora

3He+3 He −→ 4He+ 2p+ γ (Q = 12.86 MeV) (F.3)

Il ciclo completo, noto come ciclo protone–protone, e mostrato in figura 8.2. Il valore Qtotale del ciclo e di 26.7 MeV, l’energia convertita in radiazione solare e pero leggermentepiu bassa (≈ 25 MeV) dato che i neutrini emergono direttamente dal nucleo senzacontribuire al riscaldamento della fotosfera.Un destino alternativo alla (F.3) per l’3He e di incontrare una particella α

3He+4 He −→ 7Be+ γ (FA.3)

reazione seguita da7Be+ e− −→ 7Li+ νe

7Li+ p −→ 2 4He(FA4.1)

oppure da7Be+ p −→ 8B + γ8B −→ 8Be+ e+ + νe

8Be −→ 2 4He

(FA4.2)

74


La reazione totale, e quindi il valore Q totale, sono gli stessi per tutti e tre i processipossibili. Quale dei tre e effettivamente scelto dipende dalla composizione della stella edalla sua temperatura.La radiazione solare media che raggiunge la Terra e di circa 1.4·103 W/m2, il che significa(se distribuita uniformemente nello spazio) che il sole eroga una potenza di circa 4 · 1026

W. Ogni reazione di fusione produce circa 25 MeV e quindi bisogna avere circa 1038 ciclicompleti al secondo. Procedendo con questo ritmo (sono consumati circa 4 ·1038 protonial secondo) ci si aspetta che il sole continuera a bruciare il suo combustibile di idrogenoper altri 1010 y.

75


76

9. Fisica dei neutrini

9.1. L’elicita dei neutrini

Definiamo l’elicita λ, per le particelle di spin 1/2, come la proiezione dello spin lungo ladirezione dell’impulso

λ =σ · p|p|

E facile convincersi del fatto che λ per particelle di massa nulla e un invariante di Lorentz.

Decadimento β

Si osserva sperimentalmente che i neutrini emessi nel decadimento β hanno sempre lostesso valore dell’elicita:

decadimento β+ λνe = −1decadimento β− λνe = +1

Cattura K del nucleo di 15263 Eu

Consideriamo la cattura da parte del nucleo di 15263 Eu dell’elettrone della K–shell

15263 Eu(0

−) + e− −→ 15262 Sm

∗(1−) + νe −→[

15262 Sm(0+) + γ

]+ νe

L’elettrone e catturato in onda ` = 0, quindi lo stato iniziale ha momento angolare totalepari allo spin dell’elettrone.Selezioniamo gli eventi in cui il γ viene emesso nella stessa direzione in cui si muove ilnucleo 152Sm∗ che per noi sara la direzione positiva dell’asse z1

Misurando la polarizzazione del campo elettromagnetico si trova che tutti i fotoni sonoemessi con spin sz(γ) = −1; dato che sz deve conservarsi

sz(γ) + sz(ν) = sz(e) =⇒ −1 +12

= −12

si ha quindi che tutti i neutrini hanno elicita λ = −1.1Per fare cio basta notare che tali γ subiscono il massimo effetto Doppler per cui basta selezionare i

raggi piu energetici.

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Decadimento del π

Un altro esempio e dato dai decadimenti

π+ −→ µ+ + νµ

π− −→ µ− + νµ

Se il pione decade da fermo (sz(π) = 0), definito il verso positivo dell’asse z lungo ladirezione del muone uscente,

nel primo caso si ha λµ+ = −1 e quindi λνµ = −1 e nel secondo λµ− = +1 e quindiλνµ = +1.

9.1.1. Evidenza sperimentale della differenza tra neutrini ed antineutrini

Come visto l’elicita sembra essere una proprieta intrinseca dei neutrini, ed proprio quellaproprieta che ci permette di distinguere tra neutrini (λ = −1) ed antineutrini (λ = +1).Questa ipotesi fu inizialmente fatta da Dirac, il quale da qui dedusse la legge di con-servazione del numero leptonico (in una reazione il numero di leptoni meno il numerodi antileptoni si conserva). Sperimentalmente non si e mai osservata una violazione diquesta legge di conservazione.Un esempio e dato dal doppio decadimento β: se ν e ν fossero particelle identiche allorail processo

AZX −→ A

Z+2X′′ + 2e−

sarebbe possibile. Possiamo schematizzare il processo come segue: un primo decadimentoβ porta il sistema in uno stato intermedio virtuale (energeticamente non accessibile)

AZX −→ A

Z+1X′ + e− + νe

a questo punto l’antineutrino cambia elicita e diventa neutrino dando

νe +AZ X −→ A

Z+2X′′ + e−

Non sono mai stati osservati doppi decadimenti β senza neutrini.

9.2. La massa dei neutrini

Limite astrofisico sulla massa dei neutrini

Partiamo da un’osservazione sperimentale: tutti i neutrini emessi dalla supernova 1987aavevano energie comprese tra i 7.5 ed i 35 MeV e sono arrivati ad intervalli temporaliminori di ∆Tmis = 12 min 4 sec.

78

9.3. L’oscillazione di sapore dei neutrini

Il tempo impiegato da un neutrino di massa mν ed energia E mν per arrivare dallastella e T = l/v dove

v =pc2

E= c

√1− m2

νc4

E2≈ c

(1− m2

νc4

2E2

)per cui

T ≈ l

c

(1 +

m2νc

4

2E2

)Se due neutrini hanno energie E1 ed E2 allora arriveranno con un intervallo temporale

∆T ≈ l

cm2

νc42(

1E1

− 1E2

). ∆Tmis

per cui possiamo porre un limite superiore alla massa del neutrino

mνc2 6

√2cl

∆TmisE2

1E22

E21 − E2

2

nel caso considerato l = 50 kps= 163 ly= 150 · 1016 km, per cui

mν . 17 eV/c2

Un discorso analogo puo farsi ad esempio per stimare la massa del fotone, se consideriamoonde radio (E1 = 4 · 10−7 eV) e luce visibile (E2 = 1 eV) arrivano in fase dalla pulsardel Granchio (l = 6 · 106 km) quindi (l’intervallo temporale e circa due volte il periododi oscillazione ∆T ≈ 1 min)

mγ . 10−13 eV/c2

Misurazione della massa dei neutrini dallo studio del decadimento β del 3H

Misurazione della massa del neutrino dallo studio dello spettro energetico degli elettroniemessi con energia massima; il caso del decadimento del trizio; calcolo del Q in questocaso; cenni sul limite ottenuto dagli esperimenti effettuati sinora. K pag 286

9.3. L’oscillazione di sapore dei neutrini

Il problema che affronteremo ora porta all’evidenza dell’esistenza di tre diversi tipi dineutrino νe, νµ e νtau ed al fatto che ogni specie (sapore) di neutrino puo trasformarsiin una delle altre.

79


Il problema dei neutrini solari

Secondo i modelli solari oggi piu accreditati il flusso di neutrini elettronici che dovrebbearrivare dal sole e

Φ(νe) = (5± 1) · 106 Hz/cm2 (9.1)

in pratica si misuraΦ(νe) = (1.8± 0.1) · 106 Hz/cm2

Si misura inoltre un flusso di neutrini degli altri sapori

Φ(νµ + ντ ) = (3.4± 0.6) · 106 Hz/cm2

Il flusso totale di neutrini e allora

Φ(νe + νµ + ντ ) = (5.2± 0.6) · 106 Hz/cm2

Quest’ultimo risultato e in accordo con la previsione teorica (9.1) se si ipotizza l’oscil-lazione di sapore dei neutrini per la quale avviene

νe ↔ νµ, νe ↔ ντ , ντ ↔ νµ

Elenchiamo una serie di esperimenti che sembrano confermare questa ipotesi

(i) Homestake (1965): la reazione osservata era (l’energia di soglia > 1 MeV)

νe +37 Cl −→ 37Ar + e−

il rate atteso era di 6 SNU2, mentre quello osservato di circa 2 SNU.

(ii) Gran Sasso (1990): (energia di soglia < 1 MeV)

νe +71 Ga −→ 71Ge+ e−

il rate atteso era di 122 SNU, quello misurato 50÷ 60 SNU.

(iii) SuperKamiokande (1998): si studiava il processo elastico

νe + e− −→ νe + e−

dal rinculo dell’elettrone si determinavano energia, direzione e tempo di arrivo delneutrino. Il rapporto tra il rate misurato e quello osservato e stato 0.465± 0.05.

2Si definisce

1 SNU = 1036 eventi

atomo di Cl · sec

80

9.4. Esempio di oscillazione tra due stati di neutrini

(iv) Sudbury Neutrino Observatory o SNO (2002): si studiano le correnti cariche

νe + d −→ p+ p+ e−

e le correnti neutre

νx + d −→ p+ n+ νx

νx + e− −→ νx + e−

per le prime il rapporto tra rate misurato e quello aspettato e stato di 0.34, perle seconde circa 1 (dato che alle correnti neutre contribuiscono tutti i sapori dineutrini, questo dato si spiega solo con l’oscillazione).

Il problema dei neutrini atmosferici

I raggi cosmici urtando con l’atmosfera creano pioni i quali decadono

π± −→ µ± + νµ/νµ −→[e± + νe/νe + νµ/νµ

]+ νµ/νµ

producendo una gran quantita di neutrini muonici. Essendo la radiazione cosmicaisotropa, un rivelatore posto sulla superficie terrestre dovrebbe vedere tanti neutriniche provengono dall’alto quanti dal basso. A SuperKamiokande si e invece misurato

Φup(νµ)Φdown(νµ)

= 0.54± 0.04

cio puo spiegarsi notando che i neutrini provenienti dal basso, avendo dovuto attraversarela Terra (circa 13000 km) si possono esser trasformati in neutrini di diverso sapore.

Il problema degli antineutrini emessi dai reattori a fissione

Un altro esperimento, noto come KamLand, sfrutta gli antineutrini provenienti daldecadimento β dei prodotti dei reattori a fissione. Anche in questo caso si trova cheil rapporto tra il flusso di neutrini osservato e quello previsto teoricamente e minore di1, in particolare vale 0.61± 0.08.


Trattiamo l’oscillazione να ↔ νβ, con α, β che indicano un coppia di sapori leptonici.Nulla ci vieta di pensare che |να〉 e |νβ〉 non sono autostati dell’energia; supponiamoallora che gli autostati di H siano

|ν1〉 = cos θ|να〉 − sin θ|νβ〉|ν2〉 = sin θ|να〉+ cos θ|νβ〉

81


dove θ e un certo parametro. Le rispettive energie saranno

Ei =√p2c2 +m2

i c4 per i = 1, 2

Supponiamo che a t = 0 il sistema sia composto di soli neutrini α

|ψ(t = 0)〉 = |να〉 = cos θ|ν1〉+ sin θ|ν2〉

al variare di t si avra

|ψ(t)〉 = e−iHt/|ψ(0)〉 = e−iHt/ (cos θ|ν1〉+ sin θ|ν2〉)= cos θe−iE1t/|ν1〉+ sin θe−iE2t/|ν2〉= cos θe−iE1t/(cos θ|να〉 − sin θ|νβ〉) + sin θe−iE2t/(sin θ|να〉+ cos θ|νβ〉)

=(cos2 θe−iE1t/ + sin2 θe−iE2t/

)|να〉+ cos θ sin θ

(e−iE1t/ − e−iE2t/

)|νβ〉

Ovvero per t > 0 nel fascio di neutrini appaiono sia neutrini α che neutrini β. Laprobabilita di trovare νβ e

P (να → νβ) = |〈νβ|ψ(t)〉|2 = sin2 2θ sin2

[(E1 − E2)t

2

]In approssimazione ultrarelativistica (mi ≈ 0) vale

E1 − E2 =√p2c2 +m2

1c4 −

√p2c2 +m2

2c4

≈ 1 +12m2

1c4

pc−(

1 +12m2

1c4

pc

)=

(m21 −m2

2)c4

2pc≈ ∆m2c4

2E

per cui, se L e la distanza coperta dal fascio in un tempo t alla velocita v ≈ c, si ha

P (να → νβ) = sin2 2θ sin2

(14

∆m2c4

EL

c

)Si vede allora che dopo una distanza

L0 = 2πEc

∆m2c4(9.2)

il fascio avra il massimo numero di νβ, inoltre se sin 2θ = 1 saranno presenti solo questiultimi.Ovviamente, come si verifica anche per calcolo diretto,

P (να → να) = 1− sin2 2θ sin2

[(E1 − E2)t

2

]= 1− sin2 2θ sin2

(π

2L

L0

)

82


Stima delle differenze di massa tra diversi sapori di neutrini

Notiamo che l’oscillazione di sapore e possibile solo se esiste una differenza tra le massedei neutrini. Usiamo allora i dati sperimentali ed i risultati teorici trovati per stimare ledifferenze tra le masse dei neutrini.Dalla (9.2) sı trova che

L0

km= 2πc

E/GeV∆m2c4/(eV)2

GeVkm(eV)2

= 1.24E/GeV

∆m2c4/(eV)2(9.3)

Iniziamo con i neutrini da reattori: supponiamo sin2 2θ = 1 si trova allora

P (νe → νe) = 1− sin2

(π

2L

L0

)≈ 0.6

e quindi L ≈ 0.43 L0. A KamLand la distanza tra il reattore ed il rivelatore era L ≈ 180km e quindi L0 ≈ 400 km, gli antineutrini hanno energie E ≈ 1 MeV, quindi dalla (9.3)si trova

∆m2c4 ≈ 3 · 10−6 (eV)2

Risultato analogo per i neutrini solari.Per i neutrini atmosferici, invece, dato che provengono da varie distanze, bisogna pren-dere un valor medio

〈P (νµ → νµ)〉 =1

4L0

∫ 4L0

0dL

[1− sin2 2θ sin2

(π

2L

L0

)]≈ 0.5

Posto x = πL/2L0 si trova

〈P (νµ → νµ)〉 = 1− sin2 2θ2π

∫ 2π

0dxsin2x = 1− 1

2sin2 2θ ≈ 0.5

percio sin2 2θ ≈ 1. Dato che L0 ≈ 103 km, e che i neutrini hanno energie E ≈ 1 GeV sitrova

∆m2c4 ≈ 10−3 (eV)2

Una possibile spiegazione a queste differenze puo darsi ipotizzando

per cui i neutrini atmosferici possono vedersi come oscillazioni νµ ↔ ντ , mentre quellida reattori e quelli solari come νe ↔ νµ.

83


84

10. Fisica dei pioni

10.1. Proprieta dei pioni

Carica elettrica ed isospin

Esistono tre tipi di pione π−, π0, π+ con carica rispettivamente +1, 0, −1. Essendocitre pioni, la molteplicita dell’isospin 2T + 1 necessita T = 1; per le proiezioni

π− π0 π+

T3 -1 0 1

Massa

La massa del π− e determinata con grande precisione dalle energie dei raggi X emessiquando un π− viene catturato in un’orbita atomica e poi cade sul nucleo. La misura piuprecisa e

mπ− = 139.5675± 0.0009 MeV/c2

Il metodo dei raggi X non e applicabile per gli altri due pioni, per il π+ si usa ildecadimento π+ → µ+ + νµ, si trova

mπ+ = 139.5658± 0.0018 MeV/c2

consistentemente col teorema CPT per cui particelle ed antiparticelle devono avere masseuguali.Per il π0 possiamo usare il decadimento π0 → 2γ, si trova

mπ0 = 134.9745± 0.0016 MeV/c2

Spin e parita

Si studia la reazionep+ p −→ d+ π+

e la sua inversa. Se la natura e simmetrica per inversione temporale la sezione d’urtodei due processi deve essere identica (ad eccezione per i fattori statistici e cinematici),questo e usualmente noto come principio del bilancio dettagliato. Abbiamo che σ ∝ g,essendo g il fattore dipendente dallo spin dato in (2.10), per cui

σ(pp→ dπ)σ(dπ → pp)

∝ g(pp→ dπ)g(dπ → pp)

=(2sπ + 1)(2sd + 1)

12(2sp + 1)2

=32

(2sπ + 1)

85


dato che il deutone ha spin sd = 1 ed il protone sp = 1/2. Notare che il fattore 1/2al denominatore e dovuto al principio di Pauli che dimezza i possibili stati iniziali pp.Dallo studio delle sezioni d’urto si trova allora

sπ = 0

Per la parita si studia la reazione

π− + d −→ n+ n

usando pioni di energia abbastanza bassa da avere solo l’onda in ` = 0 per cui la paritadello stato iniziale vale (come visto πd = 1)

πi = πππd(−1)`i=0 = ππ

La conservazione della parita da parte delle interazioni forti richiede per la parita dellostato finale

πf = πnπn(−1)`f = (−1)`f = ππ

Il momento angolare totale dello stato iniziale e

Ji = sπ + sd + `i

per quanto detto si ha allora Ji = 1. Il momento angolare dello stato finale e invece

Jf = sn(1) + sn(2) + `f

i neutroni possono essere in stato di singoletto o in stato di tripletto di spin. Peril principio di Pauli la funzione d’onda dello stato finale ψ = ϕ(r)χ(s) deve essereantisimmetrica, possiamo quindi avere

χ ϕ sn(1) + sn(2) `fantisimmetrica simmetrica 1 dispari

simmetrica antisimmetrica 0 pari

L’unica combinazione possibile per cui sia Jf = Ji = 1 e sn(1) + sn(2) = 1, `f = 1. Si haallora

ππ = −1

Modi di decadimento

Innanzitutto notiamo che essendo il pione e il mesone piu leggero non puo decaderetramite interazione forte.Il π0, come anticipato, decade elettromagneticamente in

π0 −→ 2γ 98.8%−→ γ + e+ + e− 1.2%

86

10.1. Proprieta dei pioni

con una vita media τ ≈ 0.82 · 10−16 sec1.I pioni carichi, invece, decadono debole

π± −→ µ± + νµ/νµ ≈ 100%

−→ µ± + νµ/νµ + γ 1.24 · 10−4

−→ e± + νe/νe 1.23 · 10−4

−→ e± + νe/νe + γ 5.6 · 10−8

−→ e± + νe/νe + π0 1.03 · 10−8

con una vita media τ ≈ 2.6 · 10−8 sec.Questa enorme differenza di probabilita dei pioni carichi di decadere in muoni o elettronie dovuta alla differenza degli stati finali nei due processi e all’elicita. Se ipotizziamo il π+

inizialmente in quiete, detto p il modulo dell’impulso del leptone carico, la probabilitadi decadimento

λ ∝ |Mfi|2δ(mπc

2 − Ef

) p2dp

dEf(10.1)

essendo l’energia dello stato finale (m e la massa del leptone carico)

Ef =√m2c4 + p2c2 + pc

Il termine dipendente dall’elicita e invece contenuto in |Mfi|.Eseguendo un po’ di conti si trova

p2dp

dEf=

(m2π +m2)(m2

π −m2)2

8m4πc

(10.2)

Come sappiamo il neutrino ha elicita definita λν = −1, la conservazione dello spinrichiede allora per il leptone carico λ = +1, la teoria elettrodebole prevede che laprobabilita per un leptone di avere tale elicita e

P (λ = +1) = 1− v

c

Dalla cinematica si trova

1− v

c=

2m2

m2π +m2

(10.3)

Combinando i risultati (10.2) e (10.3) nella (10.1) si trova

λ ∝ m2(m2π −m2)2

m4π

per cuiλ(π → eν)λ(π → µν)

=m2

e(m2π −m2

e)2

m2µ(m2

π −m2µ)2

≈ 1.28 · 10−4

in accordo il il risultato sperimentale.1Per misurare una vita media cosı piccola si usa la fotoproduzione

γ +AZ X −→ π0 +A

Z X

per maggiori dettagli consultare [1] pag. 665.

87


Produzione

I pioni sono principalmente prodotti da collisioni di protoni su nuclei; le reazioni piusemplici sono

p+ p −→ p+ p+ π0

−→ p+ n+ π+

p+ n −→ p+ p+ π−

−→ p+ n+ π0

per le quali e necessaria un’energia di soglia di 290 MeV.

10.2. Risonanze negli urti pione–nucleone

Lo studio sperimentale dei processi di diffusione pione–nucleone riserva molte sorprese.La piu importante e la prima ad essere osservata sperimentalmente fra la fine deglianni ’40 l’inizio degli anni ’50 (primo tra tutti da Fermi e collaboratori a Chicago) ful’andamento della sezione d’urto in funzione dell’energia del processo elastico

π+ + p −→ π+ + p

mostrato in figura 10.1. I picchi di risonanza furono interpretati come stati eccitati

Figura 10.1.: Risonanza ∆++.

metastabili, ovvero, in sostanza, come nuove particelle. Per il caso esaminato

π+ + p −→ ∆++ −→ π+ + p

88


La particella ∆++ ha massa a riposo pari all’energia della risonanza

m∆ = 1232 MeV

vita media data dal principio di indeterminazione

τ =Γ≈ 0.6 · 10−23 sec

essendo Γ ≈ 115 MeV la larghezza della risonanza, e spin calcolabile con la formula(2.11) di Breit–Wigner per la sezione d’urto

σ =2πk2

(2s∆ + 1) = 200 mb =⇒ s∆ =32

essendo 1/k2 = 2c2/E2π = 7 mb e l’energia del pione nel sistema del centro di massa

Eπ = pc = 230 MeV. Dalla conservazione del momento angolare totale segue infine cheil processo avviene in onda ` = 1 e quindi la ∆++ ha parita

π∆ = +1

Nei processi

π+ + n −→ ∆+ −→ π+ + n

π− + p −→ ∆0 −→ π− + p

π− + n −→ ∆− −→ π− + n

sono state trovate risonanze alla stessa energia, si e concluso che la particella ∆ ha isospin3/2 e puo presentarsi nei seguenti stati di proiezione dell’isospin

∆++ ∆+ ∆0 ∆−

T3 3/2 1/2 −1/2 −3/2

Con processi anelastici si riescono a produrre anche risonanze mesoniche, come adesempio

π+ + p −→ ρ+ + p −→[π+ + π0

]+ p

In tabella 10.1 sono mostrate le principali risonanze nucleoniche e mesoniche.

10.2.1. Le particelle strane

Lo studio degli urti pione–nucleone porto alla creazione di particelle con proprieta deltutto particolari. Il primo storico esempio sono i kaoni (T = 1/2)

K0 K+

T3 -1/2 +1/2

89


Risonanze nucleoniche

m (MeV) Jπ T Γ (MeV)N(939) 939 1/2+ 1/2 —N(1440) 1440 1/2+ 1/2 200N(1520) 1520 3/2− 1/2 125N(1535) 1535 1/2− 1/2 150N(1650) 1650 1/2− 1/2 150N(1675) 1675 5/2− 1/2 155N(1680) 1680 5/2+ 1/2 125N(1720) 1720 3/2+ 1/2 200N(2190) 2190 7/2− 1/2 350N(2220) 2220 9/2+ 1/2 400N(2250) 2250 9/2− 1/2 300

∆(1232) 1232 3/2+ 3/2 150∆(1620) 1620 1/2− 3/2 140∆(1700) 1700 3/2− 3/2 250∆(1905) 1905 5/2+ 3/2 300∆(1910) 1910 1/2+ 3/2 220∆(1950) 1950 7/2+ 3/2 240∆(2420) 2420 11/2+ 3/2 300

Risonanze mesoniche

m (MeV) Jπ T Γ (MeV) decadimentiη 549 0− 0 0.00083 2γ (39%)

3π0 (32%)π−π0π+ (24%)π−π+γ (5%)

ρ 769 1− 1 154 2πω 783 1− 0 9.9 π−π0π+ (90%)

π0γ (9%)π−π+ (1%)

η′ 958 0− 0 0.29 ηγγ (65%)ρ0γ (30%)ωγ (3%)2γ (2%)

f 1270 2+ 0 178 2π (84%)π−π−π+π+ (3%)KK (3%)

Tabella 10.1.: Risonanze.

90


I kaoni sono prodotti dalla reazione

π− + p −→ n+K+ +K− (10.4)

la cui sezione d’urto e dell’ordine del mb, grandezza tipica di un processo mediatodall’interazione forte. La loro vita media

τ ≈ 1.24 · 10−8

fa pero pensare che i processi di decadimento dei kaoni sia mediato dall’interazionedebole, sperimentalmente si trova

K −→ µ+ + νµ 63%

−→ π+ + π0 21%

il che sembra confermare questa ipotesi. Un’altra caratteristiche di queste particelle,soprannominate strane, e la produzione associata per cui sono prodotte sempre in sets(un esempio tipico e la reazione (10.4)).Per spiegare questo comportamento venne introdotto un nuovo numero quantico S de-nominato stranezza e si postulo che la stranezza e conservata dalle interazioni forte edelettromagnetica e violata dall’interazione debole. Da questa regola e dalla (10.4) si poseallora per i kaoni S = 1.In tabella 10.2 sono elencate le principali particelle strane.

91


Mesoni stranim (MeV) Jπ T S decadimenti

K+ 493.67 0− 1/2 1 µ+νµ (63%)π+π0 (21%)

K0S 497.72 0− 1/2 1 π+π− (68.6%)

2π0 (31.4%)K0

L 497.72 0− 1/2 1 eνeπ (38.7%)µνµπ (27.1%)π+π−π0 (12.4%)3π0 (21.5%)

K∗ 892 1− 1/2 1 Kπ

Barioni strani (iperioni)m (MeV) Jπ T, T3 S decadimenti

Λ0 1116 1/2+ 0,0 -1 pπ− (64%)nπ0 (36%)

Σ+ 1189 1/2+ 1,+1 -1 pπ0 (52%)nπ+ (48%)

Σ0 1192 1/2+ 1,0 -1 ΛγΣ− 1197 1/2+ 1,-1 -1 nπ−

Ξ0 1315 1/2+ 1/2,+1/2 -2 Λπ0

Ξ− 1321 1/2+ 1/2,-1/2 -2 Λπ−

Σ∗ 1382 3/2+ 1,(-1,0,1) -1 Λπ (80%)Σπ (12%)

Ξ∗ 1533 3/2+ 1/2,(-1/2,+1/2) -2 ΞπΩ− 1673 3/2+ 0,0 -3 ΛK− (69%)

Ξπ (31%)

Tabella 10.2.: Particelle strane.

92

11. Introduzione alla fisica delle particelleelementari

Le particelle elementari si suddividono in due classi in base al tipo di interazione cuisono soggette:

Leptoni Particelle non soggette all’interazione forte, sono

carica massa spin vita media decadimenti(in unita di e) (MeV/c2) (sec)

e− -1 0.511 1/2 — —νe 0 < 3 eV/c2 1/2 — —µ− -1 105.659 1/2 2.2 · 10−6 eνeνµ

νµ 0 < 0.19 1/2 — —τ− -1 1784 1/2 3.4 · 10−13 ρντ (22%),

µνµντ (18%)eνeντ (17%)πντ (10%)

ντ 0 < 18 1/2 — —

Quarks Particelle soggette all’interazione forte, sono

carica massa spin(in unita di e) (MeV/c2)

d -1/3 4÷ 8 1/2u +2/3 1.5÷ 4 1/2s -1/3 80÷ 130 1/2c +2/3 1150÷ 1350 1/2b -1/3 4100÷ 4900 1/2t +2/3 174300 1/2

I quark non esistono liberi, ma solo in stati legati, gli adroni i quali si suddividonoulteriormente in

mesoni di spin intero, sono stati |qq〉;

barioni di spin semi–intero, sono stati |qqq〉.

93

11. Introduzione alla fisica delle particelle elementari

11.1. Studio dei nucleoni con urti di elettroni

Consideriamo urti tra elettroni di energia E ed impulso p e un sistema di particelle(sistema atomico, nucleare o un adrone) inizialmente nello stato fondamentale |0〉.Siano |0〉, |1〉, ..., |n〉, ... gli autostati del sistema (notiamo che molti di tali stati sarannostati del continuo), indichiamo con Mi la massa dello stato |i〉 nel sistema di riferimentodel centro di massa (notiamo che, siccome gli stati sono ordinati, si ha M0 < M1 < ... <Mn < ...).Siano q = p−p′ l’impulso trasferito e ν = E−E′ l’energia trasferita (ovvero quella persadall’elettrone). Se lo stato |0〉 era in quiete prima dell’urto, dalle leggi di conservazionesegue

pn = q

ν +M0c2 =

√M2

nc4 + q2c2

Consideriamo urti anelastici. Si rivela solo l’elettrone diffuso e si misurano E′ e p′, nonsi misura niente dello stato finale del sistema. La sezione d’urto

dσ ∝∑

n

|Tfi|2δ(ν +M0c

2 −√M2

nc4 + q2c2

)d2p′

Si usano elettroni a velocita relativistiche quindi possiamo approssimare E ≈ pc e quindi

d2σ

dνdΩ∝∑

n

|Tfi|2δ(ν +M0c

2 −√M2

nc4 + q2c2

)come mostrato in figura 11.1.

Figura 11.1.: La prima e una delta perche corrisponde al caso di urto elastico in cui noncambia lo stato, gli altri picchi hanno invece una larghezza Γ = /τ doveτ e la vita media della risonanza, ad energie maggiori si hanno stati delcontinuo.

94


11.1.1. Urti profondamente anelastici elettrone–protone

La discussione che faremo e valida non solo per i protoni ma per qualunque particellabersaglio di spin 1/2. La sezione d’urto doppiamente differenziale in questo caso vale(k = p)

d2σ

dνdΩ=

α2

4k2 sin4 θ2

[2W1(q, ν) sin2 θ

2+W2(q, ν) cos2

θ

2

]E evidente l’analogia con la (1.7); in questo caso pero i fattori di forma W1 e W2

dipendono non solo da q ma anche da ν, per questa ragione vengono detti funzionidi struttura. L’andamento delle funzioni di struttura con q e ν e, a priori, ancor menocalcolabile di quello dei fattori di forma. Tuttavia in una regione cinematica estrema, idati sperimentali diventano inaspettatamente semplice. Tale regione e quella per

q →∞ν →∞

in modo che x =Q2

2M0c2ν2sia finito, essendo Q2 = q2c2 − ν2

Si parla di urti profondamente anelastici (deep inelastic scattering). La caratteristicapiu importante di questi processi e lo scaling delle funzioni di struttura per il quale W1

e W2 diventano funzioni della sola variabile xM0c

2W1(q, ν) → F1(x)νW1(q, ν) → F2(x)

Lo scaling fu predetto da Bjorken nel 1969 e ben verificato sperimentalmente comemostrano i dati in figura 11.2.

Il modello a partoni

L’interpretazione del fenomeno dello scaling di Bjorken fu proposta da Feynman im-mediatamente dopo la pubblicazione dei primi dati sperimentali. Essa si basava su unmodello estremamente semplice della struttura del nucleone.Come detto le funzioni di struttura sono l’estensione al caso anelastico dei fattori diforma: ora il fattore di forma di una carica puntiforme e evidentemente una costante,indipendente da q. Allora se assumiamo le funzioni di struttura nella regione profonda-mente anelastica a dei fattori di forma basicamente equivalenti a quelli elastici, la lorosostanziale indipendenza da q indica che per quel tipo di processi le cose vanno come sel’elettrone fosse diffuso elasticamente da costituenti puntiformi contenuti nel protone.Il protone si immagina dunque costituito da partoni, costituenti puntiformi legati fra loroma nondimeno capaci di comportarsi come particelle libere quando urtati (possibilitaquesta che puo spiegarsi attraverso l’identificazione partone–quark).Consideriamo l’urto l’elastico elettrone–partone (il partone ha massa xM0 ed e inizial-mente fermo), dalla conservazione ell’energia segue

ν + xM0c2 =

√x2M2

0 c4 + q2c2

95


Figura 11.2.: Scaling di Bjorken: (a) la funzione di struttura νW2 plottata in funzione dix per differenti valori di Q2 e (b) plottata in funzione di Q2 per x = 0.25.

96


Figura 11.3.: Funzione di struttura per l’urto quasi–elastico e−–d. La larghezza dellarisonanza e dovuta al fatto che il partone inizialmente non e fermo.

da cui

x =Q2

2M0c2ν

e quindid2σ

dνdΩ∝ |Tfi|2δ

(x− Q2

2M0c2ν

)= F (x)

In figura 11.2 (a) e mostrata la funzione di struttura per l’urto elettrone–protone checome ci si aspetta ha un picco in x ≈ 1/3. Un altro esempio e dato in figura 11.3 perl’urto elettrone–deutone (x ≈ 1/2).Nel primo caso il picco non e molto pronunciato, questo perche in conseguenza dell’urtoall’interno del protone si creano coppie quark–antiquark per cui

p = |uud〉+ |uudqq〉+ |uudqqq′q′〉+ ...+ |uudg〉+ |uudgg〉+ ...+ |uudqqg〉+ ...

Se ad esempio immaginiamo che al mare di quark prendano parte solo quark u, d, s,poiche la sezione d’urto e proporzionale alla carica elettrica al quadrato, deve essere

νW p2 (q, ν) → F p

2 (x) = x

[49

(up(x)− up(x)) +19(dp(x)− dp(x)

)+

19

(sp(x)− sp(x))]

essendo up(x) la probabilita per l’elettrone di urtare all’interno del protone un quark udi massa xM0 e cosı via. Analogamente per un urto elettrone neutrone

νWn2 (q, ν) → Fn

2 (x) = x

[49

(un(x)− un(x)) +19(dn(x)− dn(x)

)+

19

(sn(x)− sn(x))]

97


tendo conto che p = |uud〉 ed n = |ddu〉 posso porreup(x) ≈ dn(x) = u(x)dp(x) ≈ un(x) = d(x)up(x) ≈ dp(x) ≈ sp(x) ≈ sp(x) ≈ un(x) ≈ dn(x) ≈ sn(x) ≈ sn(x) = s(x)

e scrivere F p

2 (x) ≈ x

[49u(x) +

19d(x) +

79s(x)

]Fn

2 (x) ≈ x

[49d(x) +

19u(x) +

79s(x)

]da cui

Fn2 − F p

2 ≈x

3[u(x)− d(x)]

come mostrato in figura 11.4.

Figura 11.4.: Il massimo e proprio ad x ≈ 1/3.

98

A. Appendici

A.1. Probabilita di penetrazione di una barriera rettangolareunidimensionale

Consideriamo una barriera di potenziale rettangolare

V (x) =

0 per x < 0 (I) o x > a (III)V0 per 0 6 x 6 a (II)

Risolviamo l’equazione di Schrodinger per una particella incidente da −∞ con energia0 < E < V0.Nella regione (I) la funzione d’onda vale chiaramente

ψI(x) = Aeik1x +Be−ik1x

con

k1 =

√2mE2

e analogamente nella regione (III)

ψIII(x) = Feik1x +Ge−ik1x

Dato che abbiamo assunto che la particella incide da −∞ si puo porre G = 0. Nellaregione (II) si ha invece

ψII(x) = Cek2x +De−k2x

con

k2 =

√2m(V0 − E)

2

Imponendo le condizioni (continuita della funzione d’onda e della sua derivata prima) alcontorno in x = 0 ed in x = a si trova facilmente che il coefficiente di trasmissione vale

T =|F |2

|A|2=[1 +

V 20

4E(V0 − E)sinh2 k2a

]−1

(A.1)

99

A. Appendici

A.2. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo e regolad’oro di Fermi

Consideriamo un sistema la cui hamiltoniana puo scriversi come

H = H0 + V (t)

dove H0 non dipende esplicitamente dal tempo. Ipotizziamo di aver risolto il problemaper H0

H0|n〉 = En|n〉

Vogliamo risolvere il problema per H, ovvero, se al tempo t0 = 0 il sistema si trova nellostato |α, t0〉, vogliamo conoscere lo stato |α, t0; t〉 in cui e evoluto il sistema al tempot > t0.Per fare cio passiamo alla rappresentazione di Dirac

|α, t〉D = eiH0t/|α, t0; t〉 (A.2)

In tale rappresentazione l’operatore associato ad un’osservabile A del sistema assume laforma

AD = eiH0t/Ae−iH0t/

in particolare per V (t) si ha

VD = eiH0t/V e−iH0t/

Derivando rispetto al tempo la (A.2) si trova

i∂

∂t|α, t0; t〉D = −H0e

iH0t/|α, t0; t〉+ ieiH0t/ ∂

∂t|α, t0; t〉

= −H0eiH0t/|α, t0; t〉+ eiH0t/(H0 + V )|α, t0; t〉

= eiH0t/V e−iH0t/eiH0t/|α, t0; t〉

ovvero

i∂

∂t|α, t0; t〉D = VD|α, t0; t〉D (A.3)

Introducendo l’operatore di evoluzione temporale UD(t, t0), definito come

|α, t0; t〉D = UD(t, t0)|α, t0; t0〉D

la (A.3) si traduce in i∂

∂tUD(t, t0) = VD(t)UD(t, t0)

UD(t0, t0) = 1

100

A.2. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo e regola d’oro di Fermi

Per integrazioni successive riusciamo allora ad ottenere la soluzione del problema (seriedi Dyson)

UD(t, t0) = 1+1i

∫ t

t0

dt′VD(t′) +(

1i

)2 ∫ t

t0

dt′∫ t′

t0

dt′′VD(t′)VD(t′′) + ...

+(

1i

)n ∫ t

t0

dt′∫ t′

t0

dt′′ · · ·∫ t(n−1)

t0

dt(n)VD(t′)VD(t′′) · · ·VD(t(n)) + ...

(A.4)

Una volta conosciuto UD(t, t0) e possibile sapere come evolve il sistema dato lo statoiniziale. Se, ad esempio, lo stato iniziale e l’i-esimo autostato di H0

|α, t0〉 = |i〉

al tempo t il sistema sara nello stato

|i, t0; t〉 = UD(t, t0)|i〉 =∑

n

|n〉〈n|UD(t, t0)|i〉

Limitandosi al primo ordine della (A.4), l’elemento di matrice di UD(t, t0) puo scriversicome

〈n|UD(t, t0)|i〉 =1i

∫ t

t0

dt′〈n|VD(t′)|i〉 =1i

∫ t

t0

dt′〈n|eiH0t′/V (t′)e−iH0t′/|i〉

=1i

∫ t

t0

dt′ei(En−Ei)t′/〈n|V (t′)|i〉

Se prendiamo V (t) della forma, ω > 0,

V (t) = V1eiωt + V2e

−iωt

e facciamo tendere all’infinito gli estremi di integrazione, troviamo

〈n|UD(t, t0)|i〉 =1i

∫ ∞

−∞dt′[ei(En−Ei+ω)t′/〈n|V1|i〉+ ei(En−Ei−ω)t′/〈n|V2|i〉

]=

2πi2

[δ(En − Ei + ω)〈n|V1|i〉+ δ(En − Ei − ω)〈n|V2|i〉

]cioe il sistema ha transizioni solo se En − Ei = ω (assorbimento di energia) oppure seEn − Ei = −ω (emissione di energia), come mostrato in figura A.1.Supponiamo ora V1 = 0, la probabilita di transizione dall’autostato |i〉 all’autostato |n〉con emissione di energia ω, in unita di durata temporale, e data

P (i→ n) = limT→∞

1T|〈n|UD(t, t0)|i〉|2

= limT→∞

1T

∫ T

−Tdt

∫ T

−Tdt′ei(En−Ei−ω)(t−t′)/ |〈n|V2|i〉|2

= |〈n|V2|i〉|2∫ ∞

−∞dτei(En−Ei−ω)τ/

101

A. Appendici

Figura A.1.: (i) Emissione stimolata: il sistema quantistico cede a V l’energia ω (questoe possibile solo se lo stato iniziale e eccitato); (ii) Assorbimento: il sistemaassorbe l’energia ω da V e passa ad un livello eccitato.

si ottiene cosı la regola d’oro di Fermi

P (i→ n) =2πδ(En − Ei − ω) |〈n|V2|i〉|2

Quest’ultima deve essere integrata sugli stati finali e quindi, nel caso piu generale,bisogna moltiplicare per la densita ρ(E) degli stati finali.

A.2.1. Applicazione della regola d’oro di Fermi ad un processo di diffusioneelastica di un elettrone su di un nucleo

Consideriamo il processo di diffusione elastica di un elettrone con impulso p su di unnucleo di carica Ze. Detto p′ l’impulso dell’elettrone diffuso, si ha allora p = p′.Per normalizzare le funzioni d’onda consideriamo di essere in una scatola cubica divolume Ω, per cui la densita degli stati finali e

ρ(p′) =Ωd3p′

(2π)3

Le funzioni d’onda iniziale e finale saranno rispettivamente

ψi =eip·r/√

Ωe ψf =

eip′·r/√

Ω

Applicando la regola d’oro di Fermi si ha che la probabilita della transizione per l’elet-trone dallo stato iniziale a quello finale vale

P (i→ f) =2πδ(En − Ei) |〈ψf |V |φi〉|2

Ωd3p′

(2π)3

dove V e il potenziale di interazione tra l’elettrone ed il nucleo diffusore.

102

A.2. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo e regola d’oro di Fermi

Caso di un nucleo puntiforme e la sezione d’urto di Rutherford

In questo caso

P (i→ f) =2πδ(En − Ei)

∣∣∣∣∣∫d3r

(− Ze2

4πε0r

)ei(p−p′)·r/

Ω

∣∣∣∣∣2

Ωd3p′

(2π)3

=2πδ

(2k2 − 2k′2

2m

)(Ze2

ε0

)2 1q2

Ωd3k′

(2π)3

avendo introdotto l’impulso trasferito q = (p − p′)/ = k − k′. La sezione d’urto edefinita essere

dσ =P (i→ f)

flusso incidente=P (i→ f)k/mΩ

Svolgendo i conti si ottiene cosı la sezione d’urto di Rutherford(dσ

dΩ

)Ruth.

=1

4π2

(Ze2

ε0

)2m2

(q)4

=(Ze2

4πε01E

)2 116 sin4 θ

2

dove E e l’energia cinetica dell’elettrone incidente e si sono usate le relazioni

q = |k − k′| = 2k sinθ

2, k = k′

essendo θ l’angolo di diffusione.

Caso di distribuzione di carica estesa ed il fattore di forma nucleare

Detta ρ(r) la densita di carica, si avra

V (r) = − Ze2

4πε0

∫d3r′

ρ(r′)|r − r′|

L’elemento di matrice vale allora (posto x = r − r′)

〈ψf |V |ψi〉 = − Ze2

4πε0

∫d3r

∫d3r′

ρ(r′)|r − r′|

eiq·r = − Ze2

4πε0

∫d3r′ρ(r′)eiq·r

′∫d3x

eiq·x

x

= − Ze2

4πε04πq2

∫d3r′ρ(r′)eiq·r

′

per cui definito il fattore di forma nucleare

F (q) =∫

eiq·rρ(r)d3r

la sezione d’urto saradσ

dΩ=(dσ

dΩ

)Ruth.

|F (q)|2

103

A. Appendici

104

Bibliografia

[1] K. S. Krane, Introductory Nuclear Physics, Wiley & Sons

[2] E. Segre, Nuclei e Particelle, Zanichelli

[3] B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche, Particelle e Nuclei, Un’introduzioneai concetti fisici, Bollati Boringhieri

[4] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley

[5] http://pdg.lbl.gov/

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http://pdg.lbl.gov/

A. Di Canto 9 luglio 2006 - giorgio.busoni.it · Esu di un nucleo bersaglio di carica Zecome...

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