ก ˘ 1 · ก ˘ 1 ขอ คำตอบ ขอ คำตอบ 1 291 16 9 2 217 17 20 3 24 18...

�� ก�� 1

ขอ คำตอบ ขอ คำตอบ 1 291 16 9 2 217 17 20 3 24 18 963 4 384 19 32 5 8 20 4 6 16 21 1 หรอ 3 หรอ 7 7 30 22 7 8 225 23 35 9 75 24 48 10 36 25 32 11 24 26 82 12 110 27 3 13 16 28 70 14 15 29 7 15 16 30 314

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 1 All Star Intelligent Contest

1. พจารณาหลกรอย จะเหนวา c = 1 ตอไปพจารณา หลกสบ ถาไมมการทดจากหลกหนวย จะไดวา b + b = 10 + b นนคอ b = 10 ซงไมใชเลขโดด ดงนน จะตองมการทดจากหลกหนวย และ b + b + 1 = 10 + b นนคอ b = 9 พจารณาหลกหนวย จะไดวา b + a = 10 + c นนคอ 9 + a = 10 + 1 � a = 2 ดงนน 100a + 10b + c = 291

2. 199 x 111 … 111 = (200 – 1) x 111 … 111 199 หลก = 222 … 22,200 – 111 … 111 201 หลก 199 หลก

= 221 … 11,089 196 หลก ดงนน ผลบวกของเลขโดดเทากบ 2 + 2 + 1 x 196 + 0 + 8 + 9 = 217

3. ใหนำเกลอชนด A มความเขมขน A% และนำเกลอ

ชนด B มความเขมขน B% ถาผสมนำเกลอชนด A

ปรมาณ 3 สวน กบนำเกลอชนด B ปรมาณ 1 สวน จะไดนำเกลอ 20.5% ปรมาณ 4 สวน นนคอ

3 x A% + 1 x B% = 4 x 20.5% � 3A + B = 82

ถาผสมนำเกลอชนด A ปรมาณ 1 สวน กบนำเกลอ

ชนด B ปรมาณ 3 สวน จะไดนำเกลอ 13.5% ปรมาณ 4 สวน นนคอ

1 x A% + 3 x B% = 4 x 13.5% � A + 3B = 54

8A = 3 x (3A + B) − (A + 3B) = 3 x 82 − 54 = 192

� A = 24

4. ลกบาศกมทงหมด 8 x 9 x 10 = 720 ลก ลกบาศกทไมมหนาทาสไวเลย มทงหมด 6 x 7 x 8 = 336 ลก ลกบาศกทมหนาบางหนาทาสไว มทงหมด 720 – 336 = 384 ลก 5. แสดงจดตดระหวางกราฟทงสอง ซงจดตดนน มพกด x เปนจำนวนเตม ไดดงรป พกด x เหลานนจงมผลบวกเปน – 8 – 4 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 8 6. พจารณาจำนวนนบตงแต 30 ถง 99 จำนวนทเปนพหคณของ 5 ไดแก 30, 35, ..., 95 ซงมอย 14 จำนวน ในบรรดา 14 จำนวนน ม 50 กบ 75 ซงหารดวย 25 ลงตว n = 14 + 2 = 16

7. นกกฬาทปนรอบลวงกลม A จะใชเวลารอบละ 300 ÷ 25 = 12 วนาท จงปนผานจด c ทเวลา 6, 18, 30, 42, 54, ... วนาท

นกกฬาทปนรอบลวงกลม B จะใชเวลารอบละ 500 ÷ 50 = 10 วนาท จงปนผานจด b ทเวลา 10, 20, 30, 40, 50, ... วนาท ดงนน นกกฬาทงสองจะปนผานจด c และ b พรอมกนเปนครงแรกทเวลา 30 วนาท


8. ลากเสนจากจด A ไปยงจด C, D, E, F, G จะแบงรป 8 เหลยมออกเปนรปสามเหลยม 6 รป

ฉะนน มมภายในแตละมมของรป 8 เหลยมดานเทา มมเทามขนาด (6 x 180o) ÷ 8 = 135o

2 x ๙HNG = 180o – ๙NHG = 180o – (135o – 60o) = 105o

2 x ๙ANG = 2 x (๙ANH + ๙HNG) = 2 x 60o + 105o = 225o

9. จากรป ๙PQS = 30o

และ ๙QPR = 45o A = 30o + 45o = 75o

10. ทกครงทใชระนาบตดมมของลกบาศก จะทำใหเกดเสนขอบเพมขนมา 3 เสน ดงรป

ลกบาศกมเสนขอบ 12 เสน และมมม 8 มม รปทรงทไดจากการตดมมจะมเสนขอบ 12 + 8 x 3 = 36 เสน

11. 797 = 32 x 25 – 3 7997 = 32 x 250 – 3 799999997 = 25000000 – 3

�

77 + 797 + 7997 + … + 799999997 = 77 + 32 x (25 + 250 + … + 25000000) – 3 x 7 = 32 x (25 + 250 + … + 25000000) + 56 = 32 x (25 + 250 + … + 25000000) + 32 + 24

77 + 797 + 7997 + 79997 + … + 799999997 หารดวย 32 จงเหลอเศษ 24

12. ให □ แทนจำนวนนกเรยนทเขารวมกจกรรมครงน

จากขอมลในโจทย □ – 2 เปนตวคณรวมของ

3, 4, 6 นนคอ □ – 2 เปนพหคณของ 12

□ = 14, 26, 38, ..., 98, 110, 122, ...

� □ = 110 13. เมอวางกระดาษ n แผน จะมสวนททบซอนกนอย n – 1 สวน กระดาษแตละแผนมพนท 16 ตารางเซนตเมตร สวนททบซอนกนจงมพนทสวนละ 4 ตารางเซนตเมตร ฉะนน สวนของกระดาษทไมถกปดทบ มพนท ทงหมด 16n – 4(n – 1) = 12n + 4 ตารางเซนตเมตร a = 12, b = 4 � a + b = 12 + 4 = 16

�

. . .


14. นกเรยนทไดอยางนอย 5 คะแนน มอย

30 x 40100 = 12 คน

จากตาราง 5 + y + 3 = 12 � y = 4 นกเรยนททำถกเพยง 2 ขอ จะไดคะแนน 3, 5 หรอ 6 คะแนน จงมอย 6 + 5 + 4 = 15 คน 15. ในเวลา 1 นาท ทงสองคนปนไดระยะทางรวมกน

13 +

12 =

56 รอบ จงพบกนทก ๆ 6

5 นาท

เนองจาก 20 ÷ 65 =

1006 = 16 2

3

ดงนน ในเวลา 20 นาท ทงสองคนจะพบกน 16 ครง 16. ใหจจสอบไปแลว n ครง โดยมผลรวมของ

คะแนนสอบเปน □ คะแนน

จากโจทย จะไดวา + 96+ 1

�

n = 85

และ � + 66+ 1n

= 82

ดงนน (□ + 96) – (□ + 66) = 85(n + 1) – 82(n + 1) � 30 = 3(n + 1) � n = 9

17. จำนวนนบจะหารดวย 9 ลงตว กตอเมอ ผลรวมของเลขโดดทกหลกหารดวย 9 ลงตว นอกจากน ผลบวกของจำนวนบนบตรตวเลข 3 ใบ มคาไมเกน 3 + 4 + 5 = 12

• กรณจำนวนค ABC0 � A + B + C = 9

� {A, B, C} = {1, 3, 5} หรอ {2, 3, 4}


� {A, B, C} = {0, 3, 4}


� {A, B, C} = {0, 2, 3} เมอพจารณาการนำเลขโดดมาสรางจำนวน จะพบวา {1, 3, 5} 135, 153, 315, 351, 513, 531 และ {2, 3, 4} 234, 243, 324, 342, 423, 432 แต {0, 3, 4} 304, 340, 403, 430 และ {0, 2, 3} 203, 230, 302, 320 ดงนน มจำนวนทตองการทงหมด 6 + 6 + 4 + 4 = 20 จำนวน 18. เนองจาก 7 = 11 – 4 สถานการณทกำหนดให ในโจทยจงสมมลกบประชากรชายเพมขน 11% จากปทแลว และประชากรทงหมดลดลง 4% จากปทแลว

ดงนน 35 = 11100 x (จำนวนประชากรชายปทแลว)

– 4

100 x 1,600

จงไดวา จำนวนประชากรชายปทแลว

= (35 + 64) x 10011 = 900 คน

ดงนน ปนมประชากร

900 + 900 x 7

100 = 900 + 63 = 963 คน


19. ใหมรปสามเหลยม n รป จะมรปสเหลยม 50 – n รป ถาสรางรปสามเหลยมเพมขน จะใชไมขดไฟเพมขน รปละ 2 กาน และถาสรางรปสเหลยมเพมขน จะใชไมขดไฟเพมขนรปละ 3 กาน ดงนน (1 + 2 x n) + (1 + 3 x (50 – n)) = 120 � n = 32 20.

ดงนน โรเบรตปนไดระยะทางมากกวาแดเนยล 36 – 32 = 4 กโลเมตร 21. (x � y) � z = 1 – (1 – (x � y)) x (1 – z) = 1 – (1 – x)(1 – y)(1 – z) และใหสงเกตวา (x � y) � z = (y � z) � x = (z � x) � y ดงนน 3 x {1 – (1 – x)(1 – y)(1 – z)} = 9 � (1 – x)(1 – y)(1 – z) = – 2 โดยไมเสยนยทวไป สมมตวา 1 – x 1 – y 1 – z จงไดวา (1 – x, 1 – y, 1 – z) = (– 1, 1, 2), (– 2, 1, 1), (– 2, – 1, – 1) นนคอ (x, y, z) = (2, 0, – 1), (3, 0, 0), (3, 2,2) � x + y + z = 1, 3, 7

22. p = 2 � p + 16 = 18 ไมเปนจำนวนเฉพาะ p = 3 � p + 36 = 39 ไมเปนจำนวนเฉพาะ p = 5 � p + 16 = 21 ไมเปนจำนวนเฉพาะ p = 7 � 23, 43, 53, 73, 83, 103 ลวนเปน จำนวนเฉพาะ 23. ถาตอบถกทง 30 ขอ จะไดคะแนน 150 คะแนน และในแตละขอ ถาเปลยนจากตอบถกเปนตอบผด จะทำใหคะแนนลดลงขอละ 6 คะแนน ฉะนน แอนนาตอบถก 25 ขอ และชาลตอบถก 20 ขอ � x มคามากทสดเปน 20 ตวอยางสถานการณท x มคานอยทสด เชน แอนนาตอบขอ 1 – 25 ถก สวนชาลตอบขอ 11 – 30 ถก เปนตน ซงจะทำให x มคานอยทสด เปน 25 + 20 – 30 = 15 ดงนน x ทนอยสด กบ x ทมากสด จงมผลบวก เปน 15 + 20 = 35 24. แบงกระดาษขนาด 10 x 8 ใหเปนกระดาษขนาด 5 x 4 ทงหมด 4 สวน ดงรป

เมอลากเสนทแยงมม 2 เสน จะเหนวามชองท เสนทแยงมมไมไดลากผานอย 12 x 4 = 48 ชอง

เวลา (นาฬกา) รวม ระยะทาง (กโลเมตร)

13 – 14 14 – 15 15 – 16 16 – 17

ระยะทาง (กโลเมตร)

โรเบรต 8 6 12 10 36 แดเนยล 6 10 8 8 32


25. สะทอนสวนทแรเงาในครงซายไปรวมกบสวนท แรเงาในครงขวา จะไดสวนทแรเงาเปนครงวงกลม รศม 4 เซนตเมตร ดงนน สวนทแรเงามพนทคดเปน

x 100% = 32%

26. พจารณาจำนวนนบทอยบนแนวเสนทแยงมม เดยวกนจากทางลางซายไปทางขวาบน ตำแหนง (x, y) ของจำนวนนบบนแนวเสนทแยงมมเดยวกน จะมผลบวกเทากนเสมอ ดงนน ตำแหนง (10, 4) อยบนแนวเสนทแยงมม เดยวกบตำแหนง (13, 1) จำนวนนบกอนตำแหนง (13, 1) มอย 1 + 2 + 3 + ... + 12 = 78 จำนวน ดงนน จำนวนนบในตำแหนง (13, 1) คอ 79 และจำนวนนบในตำแหนง (10, 4) คอ 82

27. รป n เหลยมดานเทามมเทาทสามารถนำมาวาง เรยงตอกนเปนเทสเซลเลชนปกตได ขนาดของมมภายในแตละมมตองหาร 360o ลงตว มมภายในของรป n เหลยมมขนาดรวมกน (n – 2) x 180o รป n เหลยมดานเทามมเทาจงมขนาดของ

มมภายในแตละมมเปน o( 2) x 180n-

n

ซงจะวางเรยงตอกนเปนเทสเซลเลชนปกตได

เมอ 360o x ( 2) x 180 n

n- เปนจำนวนเตม

นนคอ 22

n

n-= 2 +

42n-

เปนจำนวนเตม

จงไดวา n = 3, 4, 6 ซงมเพยง 3 คาเทานน

28. การไมไดทนประกนคนเตมจำนวน เกดจากการท ผทำประกนเสยชวตทงคกอน 30 ป

โอกาสทผทำประกนชายหญงเสยชวตทงค กอน 30 ป จงเทากบ 60% x 50% = 30% ดงนน โอกาสทผทำประกนอยางนอยหนงคน จะมชวตอยไดอก 30 ป จงเทากบ

100% − 30% = 70% = 710

ซงกคอโอกาสทจะไดทนประกนคนเตมจำนวน b = 7, a = 10 � a x b = 7 x 10 = 70

29. ให [□ABCD] = 24 ตารางหนวย

� [�DEF] = 1 ตารางหนวย

จะไดวา [�EDC] = DEDA

x [�ADC]

= 23 x

1 x 242

= 8 ตารางหนวย

CFDF

= [ ][ ]�

�

EFC

EDF =

8 11-

= 7

30. ระยะทางทจด N เคลอนทไปเทากบ ผลบวกของ

ความยาวสวนโคง NN´ กบ N´ N´´

= x BN + x A´N´ = x (BN + NA)

= x BA ซงเทากบ 3.14 x 100 = 314 มลลเมตร

โอกาสทจะอยไดอก 30 ป

โอกาสทจะเสยชวต กอน 30 ป

ผชาย 40% 100% − 40% = 60%

ผหญง 50% 100% − 50% = 50% x x 42

x 52

o

ก ˘ 1 · ก ˘ 1 ขอ คำตอบ ขอ คำตอบ 1 291 16 9 2 217 17 20 3 24 18...

Documents

Transcript of ก ˘ 1 · ก ˘ 1 ขอ คำตอบ ขอ คำตอบ 1 291 16 9 2 217 17 20 3 24 18...