9.8 串联电路的谐振谐振 (resonance) 是正弦电路在特定条件下所产生的一

种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。

含有 R 、 L 、 C 的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。1. 谐振的定义

R,L,C电路U

I

RZIU

发生谐振

XR

XXRωCωLRZ CL

j

)(j)1(j

I R

j L+

_Cωj

1

U

2. 串联谐振的条件

谐振角频率 (resonant angular frequency)LC

ω 10

谐振频率 (resonant frequency) LCf

π21

0

时，电路发生谐振。当 1 0 0

0 CLωX

谐振条件

仅与电路参数有关

串联电路实现谐振的方式：（ 1 ） L C 不变，改变 。

（ 2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C ) 。

0 由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的 0 , 当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。

3. RLC 串联电路谐振时的特点. ).1(

同相与

IU

入端阻抗 Z为纯电阻，即 Z=R 。电路中阻抗值 |Z| 最小。电流 I达到最大值 I0=U/R (U 一定 ) 。

X( )

|Z( )| XL( )

XC( )

R 0

Z ( )

O

I R

j L

+

_ Cωj1

U

+ +

+

_

_

_

RU

LU

CU

相当于短路。LCUU CL ,0

(2) LC 上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即

UU R 上，电源电压全部加在电阻

LU

CU

RU

I

UjQRU

LjILjUL

UjQRU

LjCI

jUC

QUUU CL

RCL

RRL

Q

1 0

特性阻抗品质因数

当 ＝ 0L=1/(0C )>>R 时， UL= UC >>U

例 某收音机 L=0.3mH ， R=10 ，为收到中央电台 560kHz信号，求（ 1 ）调谐电容 C 值；（ 2 ）如输入电压为 1.5V求谐振电流和此时的电容电压。

ARU

I 15.010

5.1 )2( 0

pFLf

C 269) 2(

1 )1( 2

+

_

L

C

R

u解

VVXIU CC 5.1 5.1580

UR

LQUUo 0

Cr

(3) 谐振时的功率P=UIcos ＝ UI ＝ RI0

2=U2/R ，电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。

0sin CL QQUIQ

200

20

0

200

1 , LIICω

QLIωQ CL

电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。

+

_ P

Q

L C

R

(4) 谐振时的能量关系

tLICuw CC cos21

21

022

m2

tICLt

CIuC 0m

o0

0

m cos)90 sin(

tLILiwL sin21

21

022

m2

tUu 0m sin设 tItRU

i 0m0m sin sin 则

电场能量磁场能量

（ 1 ）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm 。 L 、 C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。

表明

（ 2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。22

m2m 2

121 LICULIwww CCL 总

电感、电容储能的总值与品质因数的关系：

耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的π

π

2

20

20

20

20

20

00

TRI

LIRILI

RLQ

Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小， 振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高 Q 值。

4. RLC 串联谐振电路的谐振曲线和选择性

（ 1） 阻抗的频率特性

RX

RXX

RωC

ωLω CL 111 tgtg

1tg) (

)(|)(|)1(j ωφωZCωLωRZ

222222 )()1(|)(| XRXXRCLRωZ CL

谐振曲线 物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。幅频特性

相频特性

2. 电流谐振曲线幅值关系：

I() 与 |Y()| 相似。

UωY

CωLωR

UωI |)(|)1(

)(22

( )

0 O

–/2

/2

阻抗相频特性

X( )

|Z( )| XL( )

XC( )

R 0

Z ( )

O

阻抗幅频特性

0 O

|Y( )|

I( )

I( )U/R

从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 偏离 0 时，电流从最大值 U/R 降下来。即，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出 ( 表现为电流最大 ) ，而对远离谐振频率的信号加以抑制 ( 电流小 )。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。

选择性 (selectivity)

电流谐振曲线

为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以 0 和 I(0) ，即

000

)()()()( ,

IηI

ωIωIωIη

ωωω

通用谐振曲线

2220 )1(1

1

)1(/

||/)()(

RCωRLω

CωLωR

RRUZU

ωIωI

20

0

20

00

0 )(1

1

)1(1

1

ωω

Qωω

Qωω

RCωωω

RLω

220 )1(1

1)(

ηηQ

IηI

Q 越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此， Q 是反映谐振电路性质的一个重要指标。

Q=10

Q=1

Q=0.5

1 21

0

)(IηI

0.707

0 '

通用谐振曲线

. ,,707.02/1/21

0ηη

II和对应横坐标分别为交于两点

与每一谐振曲线处作一水平线在

. , , 120

22

0

11 ωω

ωω

ηωω

η

12 ωω 称为通频带 BW (Band Width)

可以证明： .1 12

0

12 ωωω

ηηQ

I/I0=0.707 以分贝 (dB) 表示：20log10I/I0=20lg0.707= –3 dB.所以， 1 ， 2 称为 3 分贝频率。

Q=1

0 21

I0.707I0

0

根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。

例 +

_ L

C

Ru

10

一信号源与 R 、 L 、 C 电路串联，要求 f0=104Hz ，△ f=100Hz ， R=15，请设计一个线性电路。解 100

10010

400

ffω

Q

mHRQ

L 8.3910215100 4

0

pFL

63601C 2 0

例 一接收器的电路参数为：L=250H, R=20C=150pF( 调好 ), U1=U2= U3 =10V, 0=5.5106 rad/s, f0=820 kHz.

+

_+_+

L

C

Ru1

u2

u3_

f (kHz)北京台 中央台 北京经济台

L820 640 1026

X1290 –1660 1034

0 – 660 577

1290 1000 1611

I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (A)

ωC1

I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (A)

%04.30

1 II 小得多

∴ 收到北京台 820kHz 的节目。

820640 1200

I(f )

f (kHz)0

%46.30

2 II

（ 3 ） UL() 与 UC() 的频率特性

2222

22

)1(

)1()(

ηQηQU

CωLωRCω

UCωIωUC

22

22

22

)11(1

)1(||)(

ηQ

η

QUCLR

LUZU

LLIωU L

U

UC(Cm)QU

Cm Lm 0

UL( )

UC( )

U( )

1UL() ：当 =0 ， UL()=0 ； 0<<0 ， UL() 增大； =0 ，

UL()=QU ； >0 ，电流开始减小，但速度不快， XL 继续增大， UL 仍有增大的趋势，但在某个下 UL

() 达到最大值，然后减小。 ， XL ， UL()=U 。类似可讨论 UC() 。

根据数学分析，当 =Cm 时， UC() 获最大值；当 =Lm 时，UL() 获最大值。且 UC(Cm)=UL(Lm) 。 )2/1 ( Q条件是

Q 越高， Lm 和 Cm 越靠近 0

Lm•Cm =0

020m 211 ωQ

ωωc 02

2

0m 122

ωQ

QωωL

QU

Q

QUωUωU LLcC

2

mm

411

)()(

例 一接收器的电路参数为： U=10V =5103 rad/s, 调 C 使电路中的电流最大， Imax=200mA ，测得电容电压为 600V ，求 R 、 L 、 C 及 Q

+

_ L

C

Ru

V 解

5010200

103

0IUR

6010600

UU

QQUU CC

mHRQ

L 601056050 3

0

FL

67.61C 2 0

1. G 、 C 、 L 并联电路

对偶： R L C 串联 G C L 并联

LCω 1

0

)1(jωC

ωLRZ )1(jωL

ωCGY

9.9 并联电路的谐振

+

_S

I G C L

U

LCω 1

0 谐振角频率

R L C 串联 G C L 并联|Z|

R

0 O

I( )U/R

0 O

U( )IS/G

LU

CU

UUR

I

CI

LI

SG II

U

|Y|

G

R L C 串联 G C L 并联电压谐振 电流谐振

UL(0)=UC

(0)=QUIL(0) =IC(0) =QIS

LC

GGLωGCω

Q 110

0 CL

RRCωRLω

Q 110

0

推导过程如下：由定义得

LR

GCω

0

0

2

2

21

π2GUT

CUQ

Cm

GCf0π2

2. 电感线圈与电容器的并联谐振 实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图：

BG j

LωRCωY j

1j

))(

(j)( 2222 LωR

LωCωLωR

R

谐振时 B=0 ，即 0)( 2

02

00

LωRLω

Cω

20 )(1

LR

LCω

CL

R

（ 1）谐振条件

此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足可以发生谐振时即 , ,0)(1 2

CL

RLR

LC

一般线圈电阻 R<<L ，则等效导纳为：

LCω

10

)1(j)(

))(

(j)( 22222 L

CLR

LRLC

LRRY

等效电路

谐振角频率

Ge C LRL

GR

ee

20 )(1

(b) 电流一定时，总电压达最大值：RCL

IZIU 000

(c) 支路电流是总电流的 Q 倍，设 R<<L

CI

LI

0I

U

CUL

UII CL 0

0

QR

LRCLRCU

LUII

II CL 0

0

0

00

1)//(

/

00 IQIII CL

(a) 电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：

RCL

RLω

RLωR

RωZ

2

02

02

00)()()(

（ 2）谐振特点

例 如图 R=10的线圈其 QL=100 ，与电容接成并联谐振电路，如再并联上一个 100k的电阻，求电路的Q.解

CL

R100k

RL

QL0 100

RRQL L 10000等效电路

CL

Re

100k

kRL

Re 1001010)( 62

0

kReq 50100//100

501000

1050 3

0

L

RQ eq

例 如图 RS=50k， US=100V ， 0=106 ， Q=100 ，谐振时线圈获取最大功率，求 L 、 C 、 R 及谐振时 I0 、 U 和 P 。

解 1000 R

LQL

CL

R50k

－＋

－

＋

uS

i0

u

kRRL

R Se 50)( 20

LC1

0

FCmHL

R

002.05.0

5

mAR

UI

S

S 110502

1002 30

VU

U S 5020

WIUP 05.000

讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：3. 串并联电路的谐振

(a)

L1

L3

C2

(b)

L1 C2

C3

上述电路既可以发生串联谐振 (Z=0) ，又可以发生并联谐振 (Z=) 。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。

对 (a) 电路， L1 、 C2 并联，在低频时呈感性。随着频率增加，在某一角频率 1 下发生并联谐振。 >1 时，并联部分呈容性，在某一角频率 2 下可与 L3 发生串联谐振。

对 (b) 电路 L1 、 C2 并联，在低频时呈感性。在某一角频率 1 下可与 C3 发生串联谐振。 >1 时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率 2 下发生并联谐振。定量分析：

(a)

1)( j

1 j

j1j

)j

1(jj)(

212

312313

212

13

21

21

3

CLωLLωCLLω

CLωL

ωL

ωCωL

ωCωL

ωLωZ

当 Z( )=0 ，即分子为零，有：0)( 312231

32 LLωCLLω (a)

L1

L3

C2

可解得： )( 02 舍去ω

)( 231

312 串联谐振

CLLLL

ω

当 Y( )=0 ，即分母为零，有：0121

21 CLω

)(

1

211

并联谐振CL

ω

可见， 1<2 。

(a)

L1

L3

C2

1

X( )

O 2

Z ( )=jX( )

阻抗的频率特性

21 ωω

)1()(1

j

1 j

j1

j1 j

j1 j

j1)(

212

3

3212

212

1

3

21

21

31

CLωωCCCLω

CLωωL

ωCωC

ωL

ωCωL

ωCωZ

(b)

分别令分子、分母为零，可得：串联谐振

)(1

3211 CCL

ω

并联谐振21

21CL

ω

(b)

L1 C2

C3

1

X( )

O 2

阻抗的频率特性

例 激励 u1(t) ，包含两个频率 1 、 2 分量 (1<2) ：

要求响应 u2(t) 只含有 1 频率电压。如何实现？u1(t) =u11(1)+u12(2)

LC 串并联电路的应用：可构成各种无源滤波电路 (passive filter) 。

+

_u1(t) u2(t)

设计下列滤波电路实现：解

212

1CL

ω

)(1

3211 CCL

ω

并联谐振，开路串联谐振，短路

1 信号短路直接加到负载上。该电路 2 >1 ，滤去高频，得到低频。

C RC2

C3L1

+

_u1(t)

+

_u2(t)