97 06. Forme Biliniare. Forme Patratice

Capitolul 6

FORME BILINIARE. FORMEPATRATICE

6.1 Forme biliniare

Definitia 6.1 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar. O functieg : XXKse numeste forma (functie, aplicatie) biliniara pe spatiul liniar (X,+, ,K) daca

a)(u, v, w) X3,(, ) K2:g(u+ v, w) = g(u,w) + g(v, w) (6.1)

b)(u, v, w) X3,(, ) K2:g(u, v + w) = g(u, v) + g(u,w) (6.2)Definitia 6.2 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar. O forma biliniara

g : XXKse numeste forma biliniara simetrica (antisimetrica) daca(u, v) X2 : g(u, v) = g(v, u) respectiv g(u, v) = g(v, u).

Observatii.1. Functia biliniara este o functie de doua variabile, liniara n ambele variabile.2. Produsul scalar definit pe un spatiu liniar real este o forma biliniara.3. Produsul scalar definit pe un spatiu liniar complex nu este o forma biliniara deoarece

nu este omogen n a doua variabila.

Notam:B(X,K) multimea tuturor formelor biliniare definite pe spatiul liniar (X,+, ,K) cu valori

n campul K,Bs(X,K) multimea tuturor formelor biliniare simetrice definite pe spatiul liniar (X,+, ,K)

cu valori n campul K,Ba(X,K) multimea tuturor formelor biliniare antisimetrice definite pe spatiul liniar

(X,+, ,K) cu valori n campul K.109

110 CAPITOLUL 6. FORME BILINIARE. FORME PATRATICE

Teorema 6.1 1. Suma a doua forme biliniare (simetrice respectiv antisimetrice), definitaprin:

(g1, g2) B(X,K)2 : (g1 + g2)(u, v) = g1(u, v) + g2(u, v),(u, v) X2este o forma biliniara (simetrica respectiv antisimetrica).

2. Produsul dintre un scalar K si o forma biliniara (simetrica respectiv antisimet-rica), definit prin:

(, g) KB(X,K) : (g)(u, v) = g(u, v), (u, v) X2este o forma biliniara (simetrica respectiv antisimetrica).

3. Multimea (B(X,K),+, ,K), ((Bs(X,K),+, ,K)),((Ba(X,K),+, ,K)) a formelor biliniare(simetrice respectiv antisimetrice) are structura de spatiu liniar.

6.2 Matricea formei biliniare

Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar, dimK

X=n. Fie S = (ei)i=1,n o baza n X si

(u, v) X2, (1, . . . , n) Kn : u=(1, . . . , n) e1...

en

,(1, . . . , n) Kn : v = (1, . . . , n)

e1...en

. Avem:g(u, v) = g(

ni=1

iei,nj=1

jej) =ni=1

nj=1

ijg(ei, ej). (6.3)

Relatia (6.3) se numeste ecuatia formei biliniare g n raport cu baza S.

Daca notam gij = g(ei, ej) obtinem g(u, v) =ni=1

nj=1

ijgij ceea ce arata ca forma

biliniara g este unic determinata daca se cunosc n2 valori ale ei, g(ei, ej), i, j = 1, n, pentrutoate perechile de vectorii ai bazei S = (ei)i=1,n. Matricea G = (gij)i,j=1,n = (g)S, undegij = g(ei, ej), i, j = 1, n, se numeste matricea coordonatelor formei biliniare g nraport cu baza S = (ei)i=1,n. Daca tinem seama de descompunerea vectorilor u si v nraport cu baza S,atunci expresia matriceala a formei biliniare g n raport cu bazaS este

g(u, v) = (1 . . . n)G

1...n

. (6.4)unde t(1 . . . n),t (1 . . . n) Mn1(K) au drept componente coordonatele lui u si v nraport cu baza S.

6.2. MATRICEA FORMEI BILINIARE 111

Teorema 6.2 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar, dimK

X=n. AtunciB(X,K) 'Mn(K).Demonstratie.Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar, dimK

X=n. Fie S = (ei)i=1,n o baza n X. Definimaplicatia care asociaza fiecarei forme biliniare g matricea ei n raport cu baza S = (ei)i=1,ndin X:

H : B(X,K)Mn(K)g B(X,K) :H(g) = (g)S = G,

unde G = (gij)i,j=1,n, gij = g(ei, ej), i = 1, n, j = 1, n.Demonstram ca aceasta aplicatie este un izomorfism ntre spatiul B(X,K) si spatiul

Mn(K). Pentru aceasta demonstram ca H este o functie liniara bijectiva. Liniaritatearezulta din egalitatile:

(, f, g) KB(X,K)2 : H(f + g) = (f + g)S = ((f + g)(ei, ej))i,j=1,n == ((f)(ei, ej))i,j=1,n + (g(ei, ej))i,j=1,n = (f(ei, ej))i,j=1,n + (g(ei, ej))i,j=1,n == H(f) +H(g).

Demonstram injectivitatea functiei liniare H utilizand Teorema 3.6. Fie H(g) = Mn(K).Rezulta gij = 0, i, j = 1, n g(u, v) = 0, (u, v) X2, g este o forma biliniara nulaker(H) =

{B(X,K)

} H injectiva.Demonstram surjectivitatea. Fie A = (aij)i,j=1,n Mn(K). Atunci (u, v) X2,

(1, . . . , n) Kn : u=(1, . . . , n) e1...

en

si (1, . . . , n) Kn :v = (1, . . . , n)

e1...en

, definim g(u, v) = ni=1

nj=1

aijij si avem H(g) = A.


X=n. AtuncidimK

B(X,K) = dimK

Mn(K) =n2.Demonstratie.Demonstratia rezulta utilizand Teorema 3.12, b) si Exercitiul 2.25.

In continuare studiem cum se schimba matricea G = (g)S a coordonatelor formeibiliniare g n raport cu baza S la o schimabare de baze n X.


X=n, S = (ei)i=1,n si S = (ei)i=1,ndoua baze n X. Daca C Mn(K) este matricea de trecere de la baza S = (ei)i=1,n labaza S = (ei)i=1,n, S

C S, iar g B(X,K),G = (g)S si G = (g)S sunt matricele formeibiliniare g n cele doua baze, atunci

G = CtGC. (6.5)


Demonstratie.

(u, v) X2 avem u=(1, . . . , n) e1...

en

, v = (1, . . . , n) e1...

en

si G = (g)S, iar nbaza S = (ei)i=1,n avem u=(1, . . . , n)

e1...en

, v = (1, . . . , n) e1...

en

si G = (g)S .Expresia matriceala a formei biliniare g n raport cu baza S = (ei)i=1,n este

g(u, v) = (1, . . . , n)G

1...n

, (6.6)iar n baza S

g(u, v) = (1, . . . , n)G

1...n

. (6.7)Pe de alta parte, S C S si deci

12...n

= C

12...n

(6.8)si respectiv

12...n

= C

12...n

. (6.9)Inlocuind relatiile (6.8) si (6.9) n (6.10) obtinem:

g(u, v) =

C

12...n

t

GC

12...n

= (1, . . . , n)CtGC

12...n

. (6.10)Comparand aceasta ultima relatie (6.10) cu (6.7) si tinand sema ca ea are loc pentru

orice vectori (u, v) X2, obtinem ca G = CtGC.

6.2. MATRICEA FORMEI BILINIARE 113

Observatia 6.1 Deoarece matricea C este nesingulara, din (6.7) rezulta ca rangul matriceiG nu se modifica la o schimbare de baza (Seminarul nr.5, Exercitiul 17,b)). Acest faptpermite definirea rangului formei biliniare g.

Definitia 6.3 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar,dimK

X=n si g B(X,K). Se numeste ran-gul formei biliniare g rangul matricei sale ntr-o baza oarecare a spatiului liniar X.

Definitia 6.4 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar, dimK

X=n, g B(X,K). Daca rangG = natunci forma biliniara g se numeste nedegenerata. In caz contrar se numeste degen-erata.


X=n, g B(X,K). O forma biliniarag este simetrica (antisimetrica) daca si numai daca exista o baza S a spatiului X n raportcu care matricea formei este simetrica (antisimetrica).

Demonstratie.Necesitatea. Presupunem ca g este simetrica. Fie S = (ei)i=1,n o baza n X si fie

G = (g)S matricea functiei biliniare g n raport cu baza S. Avemgij = g(ei, ej) = g(ej, ei) = gji G = Gt.Suficienta. Presupunem ca exista o baza S = (ei)i=1,n a spatiului X astfel ncat matricea

functiei g sa fie simetrica. Atunci

(u, v) X2, (1, . . . , n) Kn : u=(1, . . . , n) e1...

en

, (1, . . . , n) Kn :v = (1, . . . , n)

e1...en

, g(u, v) = (1, . . . , n)G 1...

n

=(1, . . . , n)G

1...n

t

= (1, . . . , n)Gt

12...n

= g(v, u)de unde rezulta simetria formei biliniare g.

Cazul n care g este o forma biliniara antisimetrica se demonstreaza analog.


X=n. AtunciBs(X,K) 'Msn(K),Ba(X,K) 'Man(K).Demonstratie.Rezulta din Teoream 6.5.



X=n. AtuncidimK

Bs(X,K) =dimK

Msn(K) =n(n+1)2 ,dimK

Ba(X,K) =dimK

Man(K) =n(n1)2 .Demonstratie.Relatiile rezulta din Teorema 6.6 si Teorema 3.12,b).

Teorema 6.8 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar, caracteristica K 6=2, dimK

X=n. AtunciB(X,K) =Bs(X,K)Ba(X,K).Demonstratie.Demonstratia rezulta din relatia evidenta

g B(X,K),g(u, v) = g(u, v) + g(v, u)2

+g(u, v) g(v, u)

2,(u, v) X2.

6.3 Forme patratice

Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar, undeK este un camp de caracteristica diferita de 2 (1+1 6= 0sau, cum mai convenim sa scriem, 2 6= 0, deci exista 21, element pe care l vom nota 12),dimK

X=n,g Bs(X,K).Definitia 6.5 O aplicatie

h : XKse numeste forma patratica asociata formei biliniare simetrice g daca

h(u) = g(u, u), u X. (6.11)Notam cu P(X) multimea formelor patratice definite pe X.

Exemplul 6.1 Forma patratica asociata produsului scalar standard real (care este o formabiliniara simetrica) este patratul normei euclidiene:

h(u) = u, u = u2 , u X,(X,+, ,R) un spatiu liniar.Definitia 6.6 Forma biliniara simetrica g se numeste forma polara a formei patraticeh.

Teorema 6.9 Daca h P(X) atunci forma biliniara simetrica g care verifica relatia (6.10)este unic determinata.

Demonstratie.(u, v) X2 : h(u + v) = g(u + v, u + v) = g(u, u) + g(u, v) + g(v, u) + g(v, v) =

g(u, u) + 2g(u, v) + g(v, v),de unde rezulta ca

g(u, v) =12{h(u+ v) h(u) h(v)}

ceea ce ne arata ca g este unic determinata.

6.4. EXPRESIA MATRICEALA A FORMEI PATRATICE 115


X=n.1. Suma a doua forme patratice definite pe X este o forma patratica definita pe X,(h1, h2) P(X)2 : h1 + h2 P(X).2. Produsul dintre un scalar K si o forma patratica definita pe X este o forma

patratica definita pe X,(, h) KP(X) : h P(X).3. (P(X),+, ,K) este spatiu liniar.4.

Bs(X,K) ' P(X), (6.12)de unde rezulta ca

dimK

P(X) =dimK

Msn(K) =n(n+ 1)2 . (6.13)

Demonstratie.Demonstram 4. Definim aplicatiaH : Bs(X,K) P(X),g Bs(X,K) :H(g) = h, h P(X).Din Teorema 6.9 rezulta injectivitatea, iar din Definitia 6.5 rezulta surjectivitatea, deci

H este bijectiva. Demonstram liniaritatea lui H.(g1, g2) Bs(X,K)2,v X : (g1 + g2)(v, v) = g1(v, v) + g2(v, v) = h1(v) + h2(v)

H(g1 + g2) = h1 + h2 = H(g1) +H(g2),(, g) KBs(X,K),v X : (g)(v, v) = g(v, v) = h(v) H(g) = h = H(g).Relatia (6.13) rezulta din relatia (6.12) si Teorema 3.12,b).

6.4 Expresia matriceala a formei patratice

Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar cu dimK

X=n si o baza S = (ei )i=1,n. Pentru orice u X,

(1, . . . , n) Kn : u=(1, . . . , n) e1...

en

= ni=1

iei si folosind rezultatul de la formele

biliniare,

h(u) = g(u, u) = g(ni=1

iei,nj=1

jej) =ni=1

nj=1

ijg(ei, ej) =ni=1

nj=1

ijgij unde

gij = g(ei, ej).De aici deducem ca

h(u) = (1, . . . , n)G

1...n

(6.14)


iar G se numeste matricea asociata formei patratice h n raport cu baza S. Relatia (6.14)este numita expresia matriceala a lui h n raport cu baza S.


X=n. Definimmatricea lui h P(X)n raport cu baza S ca fiind (h)S = G = (g)S, unde g este forma polara a lui h. De asemeneadefinim rangul lui h ca fiind rangul lui g si spunem ca h este nedegenerata daca rang h = n.

Exemplul 6.2 Fie forma patraticah : R3 R3, h(x) = x21 + x22 x23 + 2x1x2 4x1x3 + 6x2x3, x = (x1, x2, x3) R3.Polara g formei patratice h, obtinuta prin dedublare, esteg(x, y) = x1y1 + x2y2 x3y3 + x1y2 + x2y1 2x1y3 2x3y1 + 3x2y3 + 3x3y2, x =

(x1, x2, x3) R3, y = (y1, y2, y3) R3.Matricea formei patratice h n raport cu baza canonica din R3 este

G =

1 1 21 1 32 3 1

,gasim det(G) = 25, deci rang(G) = 3, adica forma patratica h este nedegenerata.

6.5 Aducerea la forma canonica a formelor patratice

Problema: sa se gaseasca o baza n care forma patratica h sa aiba o expresie cat mai simpla.


X=n, h P(X). Se spune ca formapatratica h este redusa la forma canonica daca s-a ales o baza S = (ei )i=1,n n raport cucare expresia lui h este de forma

h(u) =ni=1

i2i , i K,i = 1, n, undeu=ni=1

iei. (6.15)

Expresia (6.15) numeste forma canonica a formei patratice h, iar baza S se numestebaza canonica pentru h.

Problema: daca exista baze canonice pentru h P(X). Raspunsul la aceasta problemaeste dat de urmatoarea teorema:

Teorema 6.11 (Teorema lui Gauss)Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar, unde K este un camp de caracteristica diferita de doi.

Atunci pentru orice h P(X) exista cel putin o baza n S = (ei )i=1,n si corespunzator eiscalarii (1, . . . , n) K n n raport cu care expresia lui h are forma canonica (6.15).

6.5. ADUCEREA LA FORMA CANONICA A FORMELOR PATRATICE 117

Demonstratie.Daca h = P(X) forma patratica este identic nula si teorema este adevarata. Presupunem

ca h 6= P(X) si demonstram teorema prin inductie dupa n = dimKX.Pentru n = 1, rezulta ca pentru orice baza S = (e1) avem h(x) = g1121 , g11 6= 0, adica

h are forma canonica.Presupunem ca teorema este adevarata pentru orice forma patratica definita pe un

spatiu liniar de dimensiune n 1.Pentru dimK

X=n demonstram teorema n urmatoarele cazuri:a) exista un indice i {1, 2, . . . , n} astfel ncat gii 6= 0;b) i {1, 2, . . . , n} : gii = 0.Cazul a). Fara a micsora generalitatea, putem presupune ca g11 6= 0 astfel ncat putem

scrie

h(x) =

[g11x21 + 2

nj=2

g1jx1xj

]+

ni,j 6=1

gijxixj. (6.16)

Deoarece g11 6= 0 exista g111 si atunci putem scrie (6.16) sub formah(x) = g111 (g211x21 + 2

nj=2

g11g1jx1xj) +n

i,j=2

gijxixj.

Adunam si scadem n paranteza termenii potriviti pentru a obtine patratul expresieig11x1 + g12x2 + . . .+ g1nxn, adica

h(x) = g11(g11x1 +nj=2

g1jxj)2 + h1(x). (6.17)

Este evident ca h1 nu contine termeni n x1 si de aceea poate fi considerata ca o formapatratica pe un spatiu n 1 dimensional generat de vectorii (e2, e3, . . . , en) .

Consideram transformarea liniara y1 = g11x1 +nj=2

g1jxj

yj = xj, j = 2, n

(6.18)

(6.17) este o schimbare de coordonate deoarece matricea

C1 =

g11 g12 g1n0 1 0 . . . 0 0 1

Mn(K)este inversabila (det(C1) = g11 6= 0). Putem considera baza S = (ei)i=1,n,

118 CAPITOLUL 6. FORME BILINIARE. FORME PATRATICE e1...en

= C11 e1...

en

.In raport cu aceasta baza pentru x =

ni=1

yiei = y1e1 + y avem

h(x) = g11y21 + h1(y).Deoarece h1 este o forma patratica pe un spatiu n1, rezulta ca poate fi adusa la forma

canonica, conform presupunerii inductive.Cazul b). Presupunem ca exista gij 6= 0 pentru i 6= j (n caz contrar, forma patratica

ar fi identic nula). Consideram n acest caz transformarea de coordonate xi = yi + yjxj = yi yjxk = yk, k 6= i, j . yi =

12 (xi + xj)

yj = 12 (xi xj)yk = xk, k 6= i, j

Faptul ca aceasta este o schimbare de coordonate rezulta din faptul ca matricea

i j

C2 =

1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 12 12 0 0 0 12 12 0 0 0 0 0 1

i

j

Mn(K)

este inversabila (det(C2) = 1). In noul sistem de coordonate avem h(x) = giiy2i gjjy2j + si suntem n cazul a).

Observatia 6.2 Demonstratia Teoremei lui Gauss ne ofera si algoritmul practic de reduc-ere la forma canonica a unei forme patratice h si modul de determinare efectiva a bazei nraport cu care forma patratica h are forma canonica.

O alta metoda de a obtine forma canonica, n conditii mai restrictive, este metodaJacobi.

Teorema 6.12 (Teorema lui Jacobi)Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar, dimK

X=n si h P(X), rang h = n o forma patratica,S = (ei)i=1,n o baza n X si G = (h)S. Daca determinantii

1= g11,

2= g11 g12g21 g22 ,


...n=det (G)

sunt nenuli, atunci exista o baza S = (ei)i=1,n, n X numita baza Jacobi, n raport cu careforma canonica este

h(x ) =ni=1

i1i

y2i

unde (y1, . . . , yn) sunt coordonatele lui x n baza S = (ei)i=1,n si 0 = 1.

Demonstratie.Construim vectorii (ei)i=1,n de formae1 = c11e1e2 = c21e1 + c22e2 en = cn1e1 + cn2e2 + + cnnen

si determinam cij, i, j = 1, n, i j asfet ncat sa aiba loc relatiileg(ei, ej) = ij, i, j = 1, n, i j

unde g este forma biliniara(polara) corespunzatoare formei patratice. Scrise dezvoltat acesteconditii devin:

g(ei, e1) = g(ci1e1 + + ciiei, e1) = ci1g11 + + ciigi1 = 0g(ei, e2) = g(ci1e1 + + ciiei, e2) = ci1g12 + + ciigi2 = 0 g(ei, ei1) = g(ci1e1 + + ciiei, ei1) = ci1g1i1 + + ciigi,i1 = 0g(ei, ei) = g(ci1e1 + + ciiei, ei) = ci1g1i + + ciigii = 1.Acest sistem are solutie unica deoarece prin ipoteza determinantul sau i 6= 0. Conform

regulei lui Cramer avem:

cii =

g11 g1i1 0 gi1 gi,i1 1

i=

i1i

astfel ncat vectorii (ei)i=1,n sunt unic determinati. Aratam ca sistemul de vectori (ei)i=1,neste liniar independent. Va rezulta ca S = (ei)i=1,n este o baza n X. Este suficient saaratam ca matricea de trecere de la baza S la baza S este nesingulara. Dar aceasta estematricea

C =

c11 0 . . . 0c21 c22 . . . 0...

......

cn1 cn2 . . . cnn

si avem det(C) = c11c22 . . . cnn =

01

12

n1n

=0n

6= 0.


Sa gasim expresia formei patratice n aceasta baza. Matricea lui h n baza S = (ei)i=1,neste D = (dij)i,j=1,n unde

dij = g(ei, ej) = g(ei, cj1e1 + + cjjej) = cj1g(ei, e1) + + cjjg(ei, ej)Tinand semam de relatia g(ei, ej) = ij, i, j = 1, n, , i j, deci dij = 0 pentru i > j. Din

proprietatea de simetrie a formei biliniare g rezulta dij = 0 pentru i < j.Daca i = j atuncidii = g(ei, ei) = g(ei, ci1e1 + + ciiei) == ci1g(ei, e1) + + ciig(ei, ei) = cii = i1i , i = 1, n.

n baza S = (ei)i=1,n avem h(x) =ni=1

nj=1

dijyiyj =ni=1

i1i

y2i ,0 = 1.

In cazul formelor patratice definite pe spatii liniare reale aducerea formei patratice laforma canonica este echivalenta cu diagonalizarea unei matrici simetrice G.

Teorema 6.13 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar, dimK

X=n si h P(X) o forma patraticasi g Bs(X,R) polara formei patratice h. Atunci exista o baza n X n care matricea lui hare forma diagonala.

Demonstratie.Fie S = (ei)i=1,n o baza n X, G Mn(R),G = (h)S = (g)S matricea reala simetrica

a formei patratice n raport cu baza S = (ei)i=1,n. Conform Teoremei 4.18, matricea Geste ortogonal asemenea cu o matrice diagonala D = diag [1, . . . , n], deci exista o matriceortogonala C Mn(R) astfel ncat D = CtGC, unde 1, . . . , n sunt valorile proprii alematricei G, fiecare scrisa de atatea ori cat este ordinul ei de multiplicitate. Efectuand n Xschimbarea de baze S C S definita de matricea ortogonala C, determinam baza S . Observatia 6.3 Metoda este usor aplicabila decat n situatia n care valorile proprii suntntregi sau rationale.

Exemplul 6.3 Fie forma patratica h : R3R definita prinh(x) = x21 + x

22 + 4x1x2 + 2x1x3 2x2x3

si se cere sa se obtina formele canonice ale lui h folosind:a) metoda valorilor si a vectorilor proprii(metoda transformarilor ortogonale),b) metoda lui Gauss,c) metoda lui Jacobi.

a) Matricea formei patratice n baza canonica este

G =

1 2 12 1 11 1 0

, P () = ( 1)( 3)(+ 2)


Forma canonica esteh(x) = y21 + 3y

22 2y23,

unde (y1, y2, y3) reprezinta coordonatele vectorului x n noua baza (n care forma patraticaare forma canonica). Determinam baza ortonormata n care forma patratica are formacanonica si tot odata matricea P, matrice modala, cu ajutorul careia se face diagonalizarea.

Pentru = 1 v1 = (1,1, 2)t, = 3 v2 = (1, 1, 0)t, = 2 v3 = (1, 1, 1)t.Vectorii ortogonali sunt: w1 = (1/

6,1/6, 2/6)t, w2 = (1/2, 1/2, 0)t, v3 =

(1/3, 1/3, 1/3)t,

P =

1/6 1/2 1/31/6 1/2 1/32/6 0 1/

3

Transformarea ortogonala cu ajutorul careia se trece la forma canonica este

x1 = 16y1 +12y2 12y3

x2 = 16y1 + 12y2 12y3x3 = 26y1 12y3

b) Metoda lui Gauss. Grupam termenii care-l contin pe x1 si formam un patrat perfect(urmarim demonstratia Teoremei lui Gauss):

h(x) = (x21 + 4x1x2 + 2x1x3) + x22 2x2x3 = (x1 + 2x2 + x3)2 3x22 x23 6x2x3

Facem prima schimbare de coordonate y1 = x1 + 2x2 + x3y2 = x2y3 = x3 x1 = y1 2y2 y3x2 = y2x3 = y3

si decih(x) = y21 3y22 y23 6y2y3,

C1 =

1 2 10 1 00 0 1

Observatie: baza n care avem asceasta forma a lui h este e

1 = e1e2 = 2e1 + e2e3 = e1 + e3

Grupa n continuare termenii care-l contin pe y2h(x) = y21 (3y22 + 6y2y3) y23 = y21 3(y22 + 2y2y3 + y23) + 2y23 = y21 3(y2 + y3)2 + 2y23.Facem schimbarea de coordonate

122 CAPITOLUL 6. FORME BILINIARE. FORME PATRATICE z1 = y1z2 = y2 + y3z3 = y3 y1 = z1y2 = z2 z3y3 = z3

C2 =

1 0 00 1 10 0 1

si decih(x) = z21 3z22 + 2z23 .Observatie : baza n care avem asceasta forma a lui h este e

1 = e

1 = e1

e2 = e2 = 2e1 + e2e3 = e2 + e3 = e1 e2 + e3

Matricea de trecere este

C = C1C2 =

1 2 10 1 00 0 1

1 0 00 1 10 0 1

= 1 2 10 1 10 0 1

c) Metoda Jacobi.

G =

1 2 12 1 11 1 0

0 = 11 = 12 = 33 = 6i 6= 0, i = 1, 2, 3 h(x) = y21 13y22 + 2y23Determinam baza:e1 = c11e1e2 = c21e1 + c22e2e3 = c31e1 + c32e2 + c33e3g(e1, e1) = c11g11 = c11 = 1g(e2, e1) = c21g11 + c22g21 = c21 + 2c22 = 0g(e2, e2) = c21g12 + c22g22 = 2c21 + c22 = 1

rezultac21 = 23 , c22 = 13g(e3, e1) = c31g11 + c32g21 + c33g31 = c31 + 2c32 = 0g(e3, e2) = c31g12 + c32g22 + c33g32 = 2c31 + c32 c33 = 0g(e3, e3) = c31g13 + c32g23 + c33g33 = c31 c32 = 1rezulta c31 = 23 , c32 = 13 , c33 = 1

6.6. TEOREMA LUI SYLVESTER. CLASIFICAREA FORMELOR PATRATICE. 123

e1 = e1e2 = 23e1 13e2e3 = 23e1 13e2 + e3

6.6 Teorema lui Sylvester. Clasificarea formelor patratice.

Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar, dimR

X= n.

Definitia 6.9 Fie h(x) =ni=1

aix2i forma canonica a unei forma patratice h : XR n carep coeficienti sunt strict pozitivi, q sunt strict negativi iar d = n (p+q) sunt nuli. Tripletul(p, q, d) se numeste signatura formei patratice h (sau forma patratica h are signatura(p, q, d).)

Teorema 6.14 (Teorema lui Sylvester sau teorema inertiei)Toate formele canonice ale unei forme patratice reale sunt de acelasi tip (au aceeasi

signatura).

Demonstratie.Fie S = (ei)i=1,n si S = (ei)i=1,n doua baze n X, dimRX=n, fata de care forma patratica

h : XR are expresiile canoniceh(x) =

ni=1

aix2i , x =ni=1

xiei

si

h(x) =ni=1

bi(xi)2, x =ni=1

xiei.

Presupunem (eventual printr-o renumerotare a termenilor) ca primii p trmeni sunt poz-itivi, urmatorii q sunt negativi, iar restul de d sunt nuli, adica oricare ar fi x X, formacanonica a lui h n baza S = (ei)i=1,n este

h(x) =pi=1

ixi2 p+qi=p+1

2ixi2 (6.19)

iar n baza S = (ei)i=1,n este

h(x) =p

i=1

2i (xi)2

p+qi=p+1

2i (xi)2 (6.20)

Signaturile corwespunzatoare sunt (p, q, d) si respectiv (p, q, d). Sa aratam ca p = p siq = q. Deoarece rangul lui h este invariant la schimbari de baza, daca G = (h)S, G = (h)S ,rezulta ca rangG = rangG, p+ p = q + q d = d.


Demonstram ca p = p prin reducere la absurd. Presupunem ca p 6= p si anume cap > p.

FieU subspatiul generat de vectorii (ei)i=1,p siU subspatiul generat de vectorii (ei)i=p+1,n.Deci dimR

U =p, dimR

U=n p. Ipoteza p > p implicadimR

U+dimR

U = p+ n p = n+ p p > n,Demonstram ca U U 6= {X

} . Fie x0 U U, x0 6= X. Atunci deoarece x0 U U, x0 =

pi=1

xiei =n

j=p+1xjej si din (6.19) avem h(x0) =

pi=1

2ix2i > 0 si din (6.20)

avem h(x0) = p+qi=p+1

2i (xi)2 < 0.

Din cele doua relatii contradctorii, rezulta ca ipoteza p > p este falsa. Deci p p.Analog se arata ca p p si deci p = p.La fel se arata ca q = q.

Definitia 6.10 Fie Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar, h P(X). Forma patratica h senumeste

a) pozitiv definita daca h(x) > 0,x X\ {X

} ;b) negativ definita daca h(x) < 0, x X\ {X

} ;c) pozitiv semidefinita daca h(x) 0 , x X si exista x0 6= X astfel ncat

h(x0) = 0;d) negativ semidefinita daca h(x) 0,x X si exista x0 6= X astfel ncat h(x0) = 0;c) nedefinita daca exista x1 si x2 stfel ncat h(x1) > 0 si h(x) < 0.

Teorema 6.15 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar, dimK

X=n si h P(X), rang h = r n.Daca forma patratica h are signatura (p, q, d) atunci h este

a) pozitiv definita daca si numai daca p = r = n;b) negativ definita daca si numai daca q = r = n;c) pozitiv semidefinita daca si numai daca 0 < p = r < n si q = 0;d) negativ semidefinita daca si numai daca 0 < q = r < n si p = 0);e) nedefinita daca si numai daca pq 6= 0.Demonstratie.Demonstram a).Necesitatea. Presupunem ca h este pozitiv definita. Fie S = (ei)i=1,n o baza n X. Daca

presupunem ca p < r. Deoarece rang h = p+ q observam ca nu putem avea q 6= 0 deoareceluand x = ep+1(care exista deoarece p + 1 r n) avem h(x) < 0, contrazicand astfelipoteza. Avem deci q = 0 rang h = p.

p = r h(x) =pi=1

a2ix2i .

Daca p < n luand x = ep+1 avem h(x) = 0 desi ep+1 6= X, el fiind continut n baza Scontrazicand astfel ipoteza. Rezulta ca p = r = n.

6.6. TEOREMA LUI SYLVESTER. CLASIFICAREA FORMELOR PATRATICE. 125

Suficienta. Presupunem ca p = r = n. Atunci h(x) =pi=1

a2ix2i x 6= : h(x) > 0.

Demonstratia afirmatiei b) este analoga cu demonstratia afirmatiei a).Demonstram afirmatia c).Necesitatea. Presupunem ca h este pozitiv semidefinita. Daca q 6= 0, luand x = ep+1(care

exista deoarece p + 1 n) avem h(x) < 0, contrazicand astfel ipoteza. Avem deci q = 0.Avem deci rang h = p n. Daca ar avea loc egalitatea p = n, conorm afirmatiei a)ar rezulta ca h este pozitiv definita, contrazicand ipoteza. Am aratat deci ca q = 0 sirang h = r = p < n.

Suficienta. Daca q = 0 si rang h = r = p < n atunci h(x) =pi=1

a2ix2i si deoarece p < n

luand x = ep+1 avem h(x) = 0 desi ep+1 6= X.Demonstratia afirmatiei d) este analoga cu demonstratia afirmatiei c).Demonstram afirmatia e).Necesitatea. Presupunem ca h este nedefinita si demonstram ca pq 6= 0. Presupunem

prin absurd ca pq = 0. Rezulta sau q = 0 si atunci p n implica h pozitiv definita saupozitiv semidefinita, sau p = 0 si atunci q n implica h negativ definita sau negativsemidefinita, ceea ce contrazice ipoteza.

Suficienta. Daca pq 6= 0 h(x) =pi=1

2i (xi)2

p+qi=p+1

2i (xi)2 pentru x = e1 6= X :

h(x) > 0 iar pentru x = ep+1 6= X : h(x) < 0, adica h este nedefinita.Teorema 6.16 (Criteriul lui Sylvester)

Forma paratica h : XR este pozitiv definita daca si numai daca i > 0, i = 1, n sieste negativ definita daca si numai daca (1)ii > 0, i = 1, n .

Demonstratie.Necesitatea. Fie forma paratica h : XR este pozitiv definita. Demonstram ca i 6=

0,i = 1, n . Admitem prin absurd ca exista un p, 0 < p n astfel ncat p = 0; aceastansemna ca una din liniile lui p este o combinatie liniara de celelalte, adica exista numerelereale k1, . . . , kp, nu toate nule, astfel ncat

k1g1i + k2g2i + + kpgpi = 0, i = 1, p,adica, tinand seama de semnificatia elementelor gji,

k1g(e1, ei) + k2g(e2, ei) + + kpg(ep, ei) = 0, i = 1, p,sau

g(k1e1 + k2e2 + + kpep, ei) = 0, i = 1, p (6.21)unde g este forma biliniara simetrica corespunzatoare lui h. Amplificam (6.21) respectiv cuk1, . . . , kp si adunam relatiile obtinute

k1g(pi=1

kiei, e1) + k2g(pi=1

kiei, e2) + + kpg(pi=1

kiei, ep) = 0


sau

g(pi=1

kiei,pi=1

kiei) = 0 h(pi=1

kiei) = 0pi=1

kiei = X

deoarece am presupus ca forma patratica este pozitiv definita. Cum ki nu sunt toti nuli,rezulta ca e1, e2, . . . , ep sunt liniar dependenti, ceea ce cotrazice ipoteza ca e1, e2, . . . , ep suntliniar independenti (Teorema1.7, a)) Deci p 6= 0p N. Mai mult, conform Teoremei luiJacobi, exista o baza n X n care

h(x) =ni=1

i1i

(xi)2

si cum h este pozitiv definita, rezultai1i

> 0,i = 1, n i > 0, i = 1, n.Suficienta. Daca i > 0, i = 1, n i1i > 0, i = 1, n si deci deoarece h(x) =

ni=1

i1i

(xi)2 h(x) > 0.Daca h este negativ definita, rezulta ca forma patratica h este pozitiv definita si

rationamentul se repeta ca mai sus avand n vedere ca matricea lui h este G.

97 06. Forme Biliniare. Forme Patratice

Documents

Transcript of 97 06. Forme Biliniare. Forme Patratice