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UNIDAD III.-TEORIA DE LA DUALIDAD Y ANALISIS DE LA SENSIBILIDAD

HORA:8 A 9 PM

INVESTIGACION DE OPERACIONES

FECHA:28/ABRIL/2012

3.1 FORMULACION DEL PROBLEMA DUAL

A cada problema de programación lineal (Primal), existe otro problema también lineal llamado Dual. Entre estos dos problemas existen relaciones muy útiles en el llamado análisis de sensibilidad, dado que todos los parámetros de ambos modelos son meras estimaciones o representar decisiones gerenciales de sus verdaderos valores.

La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.

Formulación del problema Dual a partir del primal

En consecuencia; con el problema de maximización, el problema dual está conformado por minimización. Aun más, el problema dual usa los mismos parámetros que el problema primal; pero en diferentes lugares, tal como se resume a continuación.

1) Los coeficientes de la función objetivo del problema primal son los lados derechos de las restricciones funcionales del problema dual.

La dualidad parte dependiendo de su origen:

1.- El objeto de un problema debe ser opuesto al otro.

2.- El problema de Maximización. Debe contar con todas sus restricciones ≤ y el de Min ≥.

3.- Las variables de ambos problemas deben ser no negativas.

4.-Cadarestricción en un problema tiene asociada una variable en el otro y viceversa.

5.- El vector de recursos (transporte) de un problema se convierte en el vector de coeficientes objetivo del otro y viceversa.

6.- La matriz de coeficientes tecnológicos de un problema es la transpuesta de la matriz de coeficientes tecnológicos de otros.

EJEMPLO:

Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. Y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones diferentes (O1 y O2).

La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y 1000 hrs. Mensuales de la operación O2.

El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se da en la siguiente tabla.

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.

OBJETIVO: Maximizar el ingreso total

RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones

VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir

X1 = número de máquinas de escribir manuales

X2 = número de máquinas de escribir eléctricas

3.2 Relación primal-dual

Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado (sombra) es llamado el problema PRIMO. Los dos juntos son llamados problemas duales ya que ambos están formados por el mismo conjunto de datos. La solución básica factible óptima de estos problemas es tal que una puede fácilmente ser usada para la solución de la otra. La dimensión del problema de programación lineal influencia la elección del cálculo del primo o del dual.

Si el primo tiene más ecuaciones que variables, es frecuentemente más fácil obtener la solución del dual ya que menor número de iteraciones son requeridas. Además si el primo tiene solución, el dual tendrá solución. Una vez que el problema dual es formulado, el procedimiento de solución es

exactamente el mismo que para cualquier problema de programación lineal.

El valor óptimo en el primo, es siempre igual al valor óptimo del dual. Los valores absolutos de las variables del Dual (w`s) se encontraran en la tabla final (Optima) del primo en la fila Zj-Cj bajo las columnas de las variables que originalmente aportaron las columnas para formar la matriz identidad. De manera similar el valor absoluto de las variables del primo (xis) se encontrará en la tabla Optima del Dual en la fila Zj-Cj bajo las columnas de las variables que originalmente aportaron las columnas para formar la matriz identidad

Relación Primo - Dual

Considere la forma canónica de dualidad y sea xo y wo soluciones factibles a los problemas del Primo y del Dual respectivamente. Entonces Axo ³ b; x ³ 0; wo

A£ C; y wo ³ O. Multiplicando Axo ³ b en la izquierda por wo ³ O y a wo

A£ C en el derecho por xo ³ O obtenemos:

Cxo ³ wo Axo ³ wo b O

MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD)

Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado (sombra) es llamado el problema PRIMO. Los dos juntos son llamados problemas duales ya que ambos están formados por el mismo conjunto de datos. La solución básica factible óptima de estos problemas es tal que una puede fácilmente ser usada para la solución de la otra. La dimensión del problema de programación lineal influencia la elección del cálculo del primo o del dual.

Si el primo tiene más ecuaciones que variables, es frecuentemente más fácil obtener la solución del dual ya que menor número de iteraciones son requeridas. Además si el primo tiene solución, el dual tendrá solución. Una vez que el problema dual es formulado, el procedimiento de solución es exactamente el mismo que para cualquier problema de programación lineal.

3.3 I n t e r p r e t a c i ó n e c o n ó m i c a de la

d u a l i d a d

Se basa de manera directa en la interpretación más frecuente del problema primal (problema de programación lineal en nuestra forma estándar).

Interpretación del problema dual.

Para ver la forma en que esta interpretación del problema primal conduce a una interpretación económica del problema dual.

La primera interpretación económica de los problemas lineales duales fue formulada por el economista y matemático L. Kantorovich en 1939, antes incluso de que Dantzig formulara el primer algoritmo para la resolución de tales problemas.

Consideremos el Problema: Primal:

Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Sujeto a: a11x1 + a12x2 +... + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2

...

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm

x1≥0, x2≥0... xn≥0

Supongamos que es un problema de producción donde:

bi (i=1,2,...,m): denota la disponibilidad del recurso i-ésimo

cj (j=1,2,...,n): denota el margen de beneficio unitario del producto j-ésimo

aij: denota la cantidad del recurso i-ésimo necesaria para obtener una unidad del producto jésimo

xj: denota el nivel de producción del producto j-ésimo

Como consecuencia:

cjxj: denota el beneficio total por las xj unidades del producto j-ésimo

Por tanto, la función objetivo es el margen de beneficio total y queremos determinar los niveles de producción que la maximizan.

aijxj: denota lo que se necesita del recurso i-ésimo para producir la cantidad xj del producto jésimo.

Por tanto, la restricción k-ésima se traduce en que la cantidad del recurso k-ésimo que se necesita para elaborar todos los productos ha de ser menor o igual que la disponibilidad del recurso késimo

El Problema Dual del anterior será:

Min w = b1y1 + b2y2 + ... + bmym

Sujeto a: a11y1 + a21y2 +... + am1ym ≥c1

a12y1 + a22y2 +... + am2ym ≥ c2

...

a1ny1 + a2ny2 +... + amnym ≥cn

y1≥0, y2≥0,..., ym≥0

sea (x1, x2,..xn) la solución optima del problema primal y (y1, y2,..ym) la solución optima del problema dual. Llamemos z* al valor de la función objetivo en el optimo. Sabemos que:

Z*=c1x*1+c2x*2+…+cnx*n=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m= W*

La variación marginal que se experimenta en el óptimo cuando varía ligeramente (infinitesimalmente) la constante de i-esima restricción del problema primal viene dada por:

∂z*/∂bi= Y*i

Asi pues, ¿Qué interpretación tiene el valor óptimo de la variable dual i-esima? Lo que varia la función objetivo en el optimo por unidad en que varia la constante de la restricción primal i-esima.

Por tanto el valor optimo de la variable dual i-esima (y*i) se interpreta en términos económicos como el precio marginal (sombra o ficticio, no de mercado) que en el optimo la empresa esta dispuesta a pagar por un incremento del recurso disponible; no se pagará nunca mas de ese “precio” por una cantidad suplementaria del recurso disponible ya que, en caso contrario, la empresa obtendrá por el uso de esa cantidad una mejora en el valor de la función objetivo menor que lo que se ha pagado por el recurso que permite obtenerla.

Observemos ahora las restricciones duales:

ajiyj: denota lo que vale al cantidad de recurso j-ésimo que se necesita para producir una unidad de producto i-ésimo

Por tanto, la restricción i-ésima del dual se interpreta como que el valor total de los recursos necesarios para producir una unidad del producto i-ésimo es mayor o igual que el beneficio por unidad del producto i-ésimo.

Resumiendo, podemos considerar el Problema Dual como el de determinar un sistema de precios marginales no negativos de forma que se minimice el precio total de los recursos disponibles y tal que el coste imputado a cada unidad de producto sea mayor o igual al margen de beneficio unitario de dicho producto, para cada producto.

Como aplicación al problema de producción que estamos tratando veamos las siguientes conclusiones, razonadas primero por lógica y luego su equivalente con las Condiciones de Holgura Complementaria (CHC):

a) Consideremos la restricción j del dual, con su variable de holgura:

a1j y1 + a2jy2 + ... + amjym – ym+j = cj

A

Si la variable de holgura asociada a la restricción j-ésima del dual, es positiva nos indicará que A>cj, es decir, que los recursos utilizados en producir una unidad del

producto j-ésimo valen más que el margen de beneficio unitario del producto j-ésimo. Por tanto, no sería lógico producir dicho producto, es decir, *j x =0.

Nótese que esto es equivalente, por las CHC, a que, si *

m+ j y >0 entonces *j x =0.

Por tanto, sólo se producirá de aquellos productos para los cuales el valor de los recursos utilizados en su producción coincide con su margen de beneficio. Es decir, si *j x >0 entonces *m+ j y =0

b) Para la solución óptima del problema, unas restricciones están saturadas (variables de holgura nulas) y otras no. Consideremos la restricción k-ésima del Primal con su variable de holgura:

ak1 x1 + ak2x2 + ... + aknxn + xn+k = bk

B

Si la restricción k-ésima del Primal no está saturada (es decir, B<bk, o lo que es lo mismo, *n+k x >0), disponemos de más recurso k-ésimo del que necesitamos para llevar a cabo el proceso productivo, y una variación marginal de dicho recurso no variará el valor de la función objetivo en el óptimo, porque, aunque nos den más, ya teníamos de sobra y no lo habíamos utilizado.

Nótese que esto es equivalente, por las CHC, a que, si * x n+k >0 entonces y*k =0 (recordar que la interpretación de y k es ∂ z/ ∂ bk ** )

c) Por la CHC sabemos que si y*k >0 (∂ z/ ∂ bk >0) entonces x n+k =0 (la restricción k-ésima del primal se satura). La interpretación económica es:

Si la variable dual k-ésima es positiva entonces el recurso k-ésimo se utiliza en su totalidad. Además un incremento (disminución) marginal del recurso k-ésimo aumentará (disminuirá) el valor de la función objetivo.

3.4 Condiciones de Kuhn-Tucker

Historia

Las condiciones necesarias que deben satisfacer los óptimos de problemas de optimización no lineal con restricciones de desigualdad fueron publicadas por primera vez (1939) en la tesis de Maestría de William Karush (1917-1997) (en aquel entonces estudiante de matemáticas de la Universidad de Chicago) (W. Karush (1939): Mínima of Functions of Several Variables with Inequalities as Side Constraints. M.Sc. Dissertation.

Dept. of Mathematics, Univ. of Chicago, Chicago, Illinois.), aunque fueron renombradas tras un artículo en una conferencia de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker en 1951. (H. W. Kuhn, Tucker, A. W.: Nonlinear programming (Proceedings of 2nd Berkeley Symposium, University of California Press, 1951, Berkeley.) Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) son una generalización del método de los multiplicadores de Lagrange para restricciones de desigualdad.

Formulación

las tablas para minimización y para maximización son idénticas salvo que los valores de los multiplicadores están cambiados de signo. Por tanto, la estrategia conveniente para optimizar una función sujeta a restricciones de desigualdad por el método de las condiciones de KKT será:

1. Plantear el problema como si se tratara solo de minimización y resolver el sistema de ecuaciones correspondientes.

2. Eliminar aquellos puntos encontrados que no satisfacen las restricciones gi ≤ 0.

3. Eliminar aquellos puntos que tienen a la vez multiplicadores positivos y negativos.

4. Para minimización: escoger dentro de aquellos puntos que tienen multiplicadores no negativos aquel que tienen la menor evaluación de la función objetivo.

5. Para maximización: escoger dentro de aquellos puntos que tienen multiplicadores no positivos aquel que

6. tienen la mayor evaluación de la función objetivo.

Ejemplo

3.5 Dual Simplex

Como sabemos, el método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalidad.

Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que como contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la solución óptima.

El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex.

A continuación se presenta su estructura y un ejemplo para ilustrar su aplicación Algoritmo Dual-Simplex para un modelo de maximización

Introducción

Primero se debe expresar el modelo en formato estándar, agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran.Enseguida, en las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes de restricciones de tipo >), se debe multiplicar por (-1) en ambos lados, para hacer positivo el coeficiente de la variable de exceso, y formar así un vector unitario que nos permita tomar esta variable de exceso como una variable básica inicial. Sin necesidad de agregar una variable artificial en esa restricción.

Al hacer lo anterior se logra que debajo de las variables básicas aparezca una matriz identidad, que es la que el simplex siempre toma como base inicial.

Obtendremos que los términos del lado derecho de las ecuaciones multiplicadas por (-1) quedan con signo negativo, lo cual hace que la solución inicial sea infactible.

Es importante destacar que este proceso es muy útil ya que en muchos modelos evita la inclusión de variables artificiales en el momento de transformar un modelo a formato estándar.

El algoritmo para resolver un modelo de maximización es el siguiente:

Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable

Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso como variables básicas iníciales

Paso 2: Prueba de factibilidad

Si todas las variables básicas son no negativas, la actual solución es la óptima.

Si hay al menos una variable básica negativa, seleccionar como variable de salida, (llamémosla (XB) s), a aquella con el valor más negativo. Los empates se pueden romper arbitrariamente.

Paso 3: Prueba de inmejorabilidad

Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB) s todos los coeficientes de reemplazo con las variables no básicas son no negativos, la solución del modelo es óptima ¡limitada. Se termina el proceso.

Si en el renglón de la variable básica de salida (XB) s, hay al menos un coeficiente de intercambio negativo, se efectúan los cocientes entre el efecto neto de cada variable no básicas y su correspondiente coeficiente de intercambio negativo.

Es decir, siendo (XB)s la variable de salida se calculan todos los cocientes

Se toma como variable de entrada (llamémosla Xe) a aquella que corresponda al mínimo de los cocientes del anterior conjunto

Si la variable de entrada es Xe el elemento pivote será el elemento (Se)s

El empate se puede romper arbitrariamente.

Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla, en la cual aparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s

Repetir el algoritmo a partir del paso 2.

3.6 cambio en vector costos cj

3.7 CAMBIO EN Bi de las restricciones

3.8 VARIACIÓN EN LOS COEFICIENTES TÉCNICOS DE LASRESTRICCIONES, aij

Los cambios o modificaciones en los coeficientes técnicos de las restricciones pueden afectar tanto a la condición de factibilidad como a la de optimalidad, según se trate de un coeficiente asociado a una variable no básica o a una variable básica.

Los coeficientes técnicos forman parte de los vectores asociados a las diferentes variables, vectores Pi .Como la repercusión según se trate de una variable básica o no básica, puede ser muy distinta, estudiaremos los dos

Casos por separado.

Cuando Xi no es Básica

Aquí se efectúa el cambio sobre el coeficiente tecnológico de las variables, para muchos problemas éste coeficiente tecnológico aij

Es el valor inverso de la productividad, concepto éste de vital importancia para el tomador de decisiones.

Productividad P= Q/t

Coef. Tecnológico aij= t/Q

Q= unidades

t= Tiempo

Para éste cambio y los siguientes, de nuevo se aplica el principio de que el coeficiente de la variable de holgura de la ecuación donde ocurre el cambio, nos indica el número de veces que cada ecuación ha sido sumada ó restada de las demás ecuaciones ó sea el número de veces que ocurre el cambio, siendo el cambio la diferencia entre el nuevo y el actual valor de aij

Se propone hacer el cambio en la segunda restricción de la siguienteforma: 3X1+ 2X2< 18 por

X1+ 2X2< 18; El a2, 1

Ha cambiado de 3 a 1 y es el coeficiente de X1

Que en el óptimo es variable NO básica.

El cambio ocurre en la ecuación (2), que tiene la variable de holgura X4

Que inició con coeficiente (1), luego su coeficiente en cada ecuación indica el número de veces que ocurre el cambio en cada ecuación. Matemáticamente:

Cuando Xi es Básica

Como el cambio se efectúa sobre el coeficiente de una variable que en el óptimo es Básica, ello hará que aparezca dicha variable con coeficiente diferente de cero (0) en la función objetivo, teniendo que ser eliminada. Éste proceso ocasionará cambios en los Zj - Cj de las variables NO – básicas que en caso de tomar valores menores que cero (0), no mantienen la optimalidad y habrá que iterar empleando el método simplex; También pueden ocurrir cambios en los bi convirtiendo la solución en NO factible, en cuyo caso debe emplearse el método Dual – Simplex

Se propone cambiar el a22 de 2 a 4, coeficiente de X2 en la segunda restricción, variable que en el óptimo actual es variable básica.

3X1 + 2X2 < 18 cambiar por 3X 1 + 4X 2 < 18

La ecuación en donde ocurre el cambio es la segunda, y en ella la variable que empezó con coeficiente uno (1) es X4, luego los coeficientes de X4 en cada ecuación indican las veces que ocurre al cambio en cada ecuación, matemáticamente:

3.9 ADICION DE UNA NUEVA VARIABLE

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

El análisis de sensibilidad consiste en ver las variaciones que se pueden producir en

La solución óptima al variar alguna de las condiciones iníciales del problema. Como pueden

Ser:

a) Coeficientes de las variables.

b) Introducción de nuevas variables.

c) Adición de nuevas restricciones.

d) Etc.

Supongamos el problema del fabricante de patatas.

F.O.: Max 4 X1 + 5 X2 + 9 X3 + 11 X4

S.a.: X1 + X2 + X3 + X4≤ 15

7 X1 + 5 X2 + 3 X3 + 2 X4≤ 120

3 X1 + 5 X2 + 10 X3 + 13 X4 ≤100

Cuya tabla final queda:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 bi

LO 0 3/7 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7

L1 1 5/7 0 -5/7 10/7 0 -1/7 50/7

L2 0 -6/7 0 13/7 -61/7 1 4/7 325/7

L3 0 2/7 1 12/7 -3/7 0 1/7 55/7

Calculamos su dual:

F.O.: Min 15 Y1 + 120 Y2 + 100 Y3

S.a.: Y1 + 7 Y2 + 3 Y3≥ 4

Y1 + 5 Y2 + 5 Y3≥ 5

Y1 + 3 Y2 + 10 Y3≥ 9

Y1 + 2 Y2 + 13 Y3≥ 11

Cuya solución es:

Y1 = 13/7

Y2 = 0

Y3 = 5/7

Y4 = 0

Y5 = 3/7

Y6 = 0

Y7 = 11/7

VARIACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.

1) En las variables no básicas:

Veamos la variación, por ejemplo, del coeficiente de la variable no básica X2.

Queremos saber qué valor, P2, podemos incrementar al coeficiente para que nuestra

Solución continúe siendo factible.

La restricción del dual correspondiente será:

Y1 + 5 Y2 + 5 Y3 ≥ 5 + P2

Sustituyendo los valores:

P2 ≤ 3/7

Por tanto, mientras esta condición se cumpla, nuestra solución seguirá siendo

Factible.

Para P2 ≥ 3/7 la solución deja de ser factible.

2) En las variables básicas:

Tomando por ejemplo, la variable básica X1 y sustituyendo los valores en la

Restricción correspondiente en el dual tenemos:

13/7 + 0 + 3 * 5/7 ≥ 4 + P1

13 + 15 – 28 ≥ 7 P1

P1 ≤ 0 que no nos indica nada.

Nota: si hubiésemos tomado otra variable básica (por ejemplo X3) habríamos obtenido el mismo resultado.

INTRODUCCIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE.

La introducción de una nueva variable en el primal va a suponer incluir una

Restricción en el dual. Mientras esta restricción se cumpla en el dual, la variable nueva no entrará en la base.

Supongamos que en nuestro problema, don Francisco y doña Remedios, su mujer, deciden producir además patatas congeladas para ensaladilla.

Supongamos también que para cada kg fabricado necesita 3 horas y dos kg de materia prima. Además desea venderlo a 3ptas. /kg.

En estas condiciones nuestro modelo quedaría modificado de la siguiente manera:

F.O.: Max 4 X1 + 5 X2 + 9 X3 + 11 X4 + 3 X8

S.a.: X1 + X2 + X3 + X4 + X8 ≤ 15

7 X1 + 5 X2 + 3 X3 + 2 X4 + 2 X8 ≤ 120

3 X1 + 5 X2 + 10 X3 + 13 X4 + 3 X8 ≤ 100

Siendo la nueva restricción en el dual la siguiente:

Y1 + 2 Y2 + 3 Y3 ≥ 3

Sustituyendo valores nos queda:

28/7 ≥ 3

Por tanto se cumple esta restricción y la variable que hemos introducido se queda

Fuera de la base.

Si don Francisco desea fabricar este producto, tendrá que obtener un beneficio unitario superior a 28/7 (provocando que la nueva variable introducida X8 entrase en la base). Supongamos que decide que este valor sea 10. Esto quiere decir que la restricción del dual, correspondiente a la nueva variable introducida en el primal, es no factible y por lo tanto, la solución de ambos se modificará.

Para poder continuar aplicando el método iterativo simplex – dual necesitamos conocer los valores de la columna, en la tabla, de la nueva variable.

El coeficiente de la LO (en el primal) sabemos que es el valor de la variable de holgura del dual, correspondiente a su restricción. Y este valor será:

13/7 + 3 * 5/7 – Y8 = 10

Y8 = -6

Los nuevos coeficientes de la variable Y8 para las líneas L1, L2 y L3 serán:

a18 a15 a16 a17 a18

a28 = a25 a26 a27 * a28

a38 a35 a36 a37 a38

Donde

a15 a16 a17

A = a25 a26 a27

a35 a36 a37

A es la matriz de los coeficientes transformados de las variables de holgura y a18, a28

Y a38, son los nuevos coeficientes que la nueva variable tiene en cada una de las restricciones.

En estas condiciones obtenemos que:

a18

= 1 * 10/7 + 2 * 0 + 3 * (-1/7) =1

a28

= 1 * (-61/7) + 2 * 1 + 3 * (4/7) = - 5

a38

= 1 * (-3/7) + 2 * 0 + 3 * (1/7) = 0

Los coeficientes serán por tanto:

X8

LO -6

L1 1

L2 -5

L3 0

Por tanto, podemos aplicar el criterio1 del simplex – dual para proseguir las iteraciones.

3.10 Adición de una nueva restricción

La adición de una nueva restricción a un modelo existente puede llevar a uno de los dos casos siguientes:

1. La nueva restricción es redundante, lo que quiere decir que se satisface con la solución optima actual y por consiguiente, se puede eliminar por completo del modelo.

2. La solución actual viola la nueva restricción, y en este caso se puede aplicar el método simplex dual para recuperar la factibilidad

Ejemplo:

Suponga que TOYCO cambia el diseño de los juguetes, y que para el cambio se requerirá agregar una cuarta operación en las líneas de ensamble. La capacidad diaria de la nueva operación es 500 minutos, y los tiempos por unidad, para los tres productos en esta operación son 3, 1 y 1 minutos, respectivamente. La restricción resultante se forma, por consiguiente, como sigue:

3X1 + X2 + X3 <500

Esta restricción es redundante, porque queda satisfecha con la solución optima actual X1= 0, X2= 100 y X3 =230. Eso quiere decir que la solución óptima actual permanece sin cambio.

Ahora suponga que los tiempos por unidad, en TOYCO, para la cuarta operación son 3, 3 y 1 minutos, respectivamente. Todos los datos restantes del modelo permanecen igual. En este caso la cuarta restricción:

3X1 + 3X2 + X3 <500

No queda satisfecha por la solución optima actual. En consecuencia, debemos aumentar la nueva restricción a la tabla óptima actual, como sigue (X7 es una holgura):

Básica X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Solución

Z 4 0 0 1 2 0 0 1350

X2 -1/4 1 0 ½ -1/4 0 0 100

X3 3/2 0 1 0 ½ 0 0 230

X6 2 0 0 -2 1 1 0 20

X7 3 3 1 0 0 0 1 500

Como las variables X2 y X3 son básicas se deben sustituir y eliminar sus coeficientes de restricción en el renglón X7, lo que se puede hacer con la siguiente operación:

Nuevo renglón X7 = Renglón anterior X7 – [3 * (Renglón X2) + 1 * (Renglón X3)]

La nueva tabla es la siguiente

Básica X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Solución

Z 4 0 0 1 2 0 0 1350

X2 - ¼ 1 0 ½ - 1/4 0 0 100

X3 3/2 0 1 0 ½ 0 0 230

X6 2 0 0 -2 1 1 0 20

X7 9/4 0 0 - 3/2 ¼ 0 1 -30

Otro ejemplo de este caso, suponga que se introduce la nueva restricción, al modelo dado en la tabla: Z = - 4X1 - 5X2

Básica X1 X2 X3 X4 X5 Solución

Z 9/2 0 0 0 5/2 45

X3 1 0 1 0 0 4

X2 13/2 1 0 0 ½ 9

X4 -3 0 0 1 -1 6

Solución Óptima: X1 = 0, X2 =9

La solución óptima anterior viola la nueva restricción 2X1 + 3X2 <24

Básica X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

Z 9/2 0 0 0 5/2 0 45

X3 1 0 1 0 0 0 4

X2 3/2 1 0 0 1/2 0 9

X4 -3 0 0 1 -1 0 6

X6 2 3 0 0 0 1 24

Básica X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

Z 9/2 0 0 0 5/2 0 45

X3 1 0 1 0 0 0 4

X2 3/2 1 0 0 1/2 0 9

X4 -3 0 0 1 -1 0 6

X6 -5/2 0 0 0 -3/2 1 -3