95365765 Ejercicios Mec Solidos

7/30/2019 95365765 Ejercicios Mec Solidos

1/20

1.

1. L

L1 L2SOLUCION:

DCL:

R1 R2

=+= 0;0 21 RPRFxComo los apoyos son rgidos, entonces L = constante. Luego

2

11

2

2211

21 00L

LRR

AE

LR

AE

LRLL ==+=+

Reemplazando R2 en la primera ecuacin:

PL

L

RL

LL

RL

L

RL

LR

PR =

=

+

=

+= 21221

12

1

12

11

1 10

Luego:

=

L

LPR 21 (Compresin)

=L

LPR 1

2 (Traccin)

2. La barra del problema anterior es de cobre con una longitud de 1 m y una seccin transversal de

10 cm2. Si E = 1,1 x 106 kg/cm2 y = 16 x 10-6 1/C, determinar: a) Las reacciones en los extremos

cuando la temperatura aumenta 30C; b) La holgura que deberan tener los apoyos para evitar la

aparicin de tensiones.

SOLUCION:a) DCL:

R1 R2

RRRRRFx ===+= 2121 0;0

Debido a la rigidez de los apoyos, el aumento de longitud originado por el aumento de temperatura,

debe ser compensado por una compresin en los apoyos. Es decir:

kgfxxxxxTAERAE

RLTLL

T52830101,11101600

66 =====

Como el rea es de 1 cm2

, la tensin es de 528 kg/cm2

en compresin.b) La holgura necesaria para evitar las tensiones, debe ser como mnimo igual a la dilatacin. Es

decir:mmcmxxxTLh 48,0048,0301001016 6 ====

3. Considerar un tubo de acero que rodea a un cilindro macizo de aluminio, comprimido todo el

conjunto entre placas rgidas. El cilindro de Al tiene 8 cm de dimetro y el tubo de acero tiene undimetro exterior de 10 cm. Si se aplica una carga P = 25 ton, determinar las tensiones en el acero y

en el aluminio. Las propiedades de los materiales son las siguientes:

P

La barra de la figura tiene seccin transversal constante y est

sujeta rgidamente entre los muros. Determinar las reacciones

en los apoyos en funcin de A y E.

P


2/20

MATERIAL E, x 106 kg/cm2

Acero 2,1

Aluminio 0,7

SOLUCION:

DCL: PStPAl P

1 m

PLa carga total P, debe ser resistida por el cilindro de Al y el tubo de acero. Es decir:

PAl + PSt = P = 25.000

Debido a la rigidez de las placas de los extremos, los acortamientos de ambos elementos debe ser

igual.

( )

( ) ( )StSt

St

AlStAl

StSt

St

AlAl

AlStAl P

xx

xx

PAE

AEPP

EA

LP

EA

LP592,0

101,28104

107,04

8

622

6

2

=

====

Reemplazando en la primera ecuacin:

1,592PSt = 25.000 PSt = 15.697,67 kgf

( )

2

22

/19,555

8104

67,697.15cmkg

A

P

St

St

St =

==

PAl = 0,592PSt = 9.293,02 kgf2

2

/88,184

84

02,293.9cmkg

A

P

Al

AlAl ===

4. En el problema anterior, determinar las tensiones en ambos componentes si el cilindro de

aluminio es 0,3 mm ms corto que el tubo de acero.SOLUCION:

Suponiendo que la carga es suficiente para acortar los dos elementos, la primera ecuacin no

tiene variacin.

PAl + PSt = P = 25.000Sin embargo, la segunda ecuacin es diferente debido a las longitudes diferentes:

Nivel Inicial

St 0,03 cm

Al

( )( )

( ) St

Al

StAlAl

StSt

St

AlAl

Al

StAlAE

AEPAEP

EA

LP

EA

LP+==+=+

100

03,003,003,0

PAl = -10.555,75 + 0,592PStReemplazando en la primera ecuacin:

2

8 cm

10 cm


3/20

1,592PSt = 35.555,75 PSt = 22.334 kgf

( )

2

22

/9,789

8104

334.22cmkg

A

P

St

StSt =

==

PAl = 2.666 kgf

2

2 /04,538

4

666.2

cmkgA

P

Al

Al

Al ===

5. En el problema anterior, determinar la holgura mnima para que no trabaje el cilindro de aluminio.SOLUCION: En este caso la carga completa deber ser tomada por el tubo de acero, es decir:

PSt = 25.000 kgf

mmcmxx

xh St 42,0042,0

101,29

100000.256min

====

6.

2 m

A B

8.000 kgf 8.000 kgf

SOLUCION:

PSt PCu PSt

A B

8.000 kgf 8.000 kgf

CuCuSt Pxx

xxPP 875,0

102,18

101,246

6

=

=

Reemplazando en la primera ecuacin obtenemos: PCu = 5.818,18 kgf; PSt = 5.090,91 kgf

2

/73,272.14

91,090.5cmkgA

P

St

StSt === ;2

/27,7278

18,818.5cmkgA

P

Cu

CuCu ===

7. En el problema anterior, determinar las tensiones en cada varilla si la temperatura: a) Aumenta

25C; b) Disminuye 25C. (St = 11x10-6 1/C; Cu = 16x10

-6 1/C).

SOLUCION:

Del problema anterior:

Fy = 0; 2PSt + PCu 16.000 = 0

3

La barra AB es absolutamente rgida y est soportada portres varillas. Las dos varillas de los extremos son de acero

y la central es de cobre. Calcular la fuerza y la tensin en

cada barra cuando se aplican las cargas indicadas y ABpermanece horizontal.

Por simetra, las fuerzas sobre cada varilla de los extremos son

iguales, lo que tambin puede obtenerse haciendo suma de

momentos en el centro de AB.Fy = 0; 2PSt + PCu 16.000 = 0

Como AB permanece horizontal, las deformaciones de las

varillas son iguales:

CuCu

Cu

StSt

St

CuStEA

LP

EA

LP==

MATERIAL E, x 106 kg/cm2 Area A, cm2

Acero 2,1 4

Cobre 1,2 8


4/20

Como AB permanece horizontal, las deformaciones de las varillas son iguales, pero las

deformaciones totales tienen una componente de carga y otra por temperatura, esta ltima positiva

cuando la temperatura aumenta y negativa cuando disminuye.

a) ( ) ( ) CuTPStTPCuSt +=+=

CuSt

TLAE

PLTL

AE

PL

+=

+

251016102,18

251011101,24

6

6

6

6xx

xx

Pxx

xx

P CuSt +=+

PSt = 0,875PCu + 1.050

Reemplazando en la primera ecuacin se obtiene:PCu = 5.054,54 kgf; PSt = 5.472,73 kgf

2/1,684

8

73,472.5cmkg

A

P

Cu

Cu

Cu === ;2

/2,368.14

73,472.5cmkg

A

P

St

St

St ===

b) El nico cambio se produce en la ecuacin de deformaciones:

( ) ( )CuTPStTPCuSt

==

CuSt TLAE

PL

TLAE

PL

=

251016102,18

251011101,24

6

6

6

6xx

xx

Pxx

xx

P CuSt =

PSt = 0,875PCu - 1.050

Reemplazando en la primera ecuacin se obtiene:PCu = 6.581,82 kgf; PSt = 4.709,09 kgf

2/7,822

8

8,581.6cmkg

A

P

Cu

Cu

Cu === ;2

/3,177.14

1,709.4cmkg

A

P

St

StSt ===

8. Considerar un pilar cuadrado de hormign, de 30 x 30 cm de seccin y 2,5 m de altura, armadocon 8 barras verticales de acero de 4 cm2 de seccin cada una. Se aplica una fuerza axial de

compresin de 50 ton. Si los mdulos de elasticidad para el acero y el hormign, sonrespectivamente, 2,1 x 106 y 1,5 x 105 kg/cm2, determinar la tensin en cada material.SOLUCION:

ASt = 4 x 8 = 32 cm2; AH = 900 32 = 868 cm

2

PSt + PH = 50.000, o bien: 32St + 868H = 50.000; St + 27,125H = 1.562,5

Como las deformaciones deben ser iguales:

St = H HStHSt

x

L

x

L

12

1075,1101,256

==

Reemplazando se obtiene:

H = 39,94 kg/cm2; St = 479,24 kg/cm

2, ambas en compression.

9. Un tubo de acero A 37 24, vertical, de 60 cm de dimetro exterior y 58 cm de dimetro interiorest lleno de hormign. La resistencia de ruptura del hormign es de 175 kg/cm 2. Con un factor de

seguridad de 2 para el acero y de 2,5 para el hormign, determinar la mxima carga axial de

compresin que puede resistir el conjunto. ESt = 2,1 x 106 y EH = 1,5 x 10

5 kg/cm2.SOLUCION:

( ) 22 08,642.2584

cmAH ==

; ( ) ( )[ ] 222 35,18558604

cmASt ==

( ) 20 /200.12

400.2cmkg

FSStadm

===

; ( )2

/705,2

175cmkg

Hadm==

4


5/20

PSt + PH = P 185,35St + 2.642,08H = P

De las deformaciones: St = H St =12H

Si H = 70 St = 840 kg/cm2 < (adm)St

Si St = 1.200 H = 100 kg/cm2 > (adm)H

Por consiguiente: H = 70 y St = 840 kg/cm2

P =185,35 x 840 + 2.642,08 x 70 = 338.959,6 kgf

10. 2 Ton 5 Ton

2 5

75 cm 50 75

= ;0xF - RA + 4.000 - 10.000 + RD = 0 RD RA = 6.000Se ha supuesto que los intervalos AB y CD se encuentran ambos sometidos a traccin. Como las

paredes son rgidas, el alargamiento total debe ser cero.0=++ CDBCAB

AB B C

RA RA 4.000

C D

RD RD

( )0

7550000.475=++

AE

R

AE

xR

AE

R DAA

Simplificando:

3RA + 2RA 8.000 + 3RD = 0 5RA + 3RD = 8.000Resolviendo las dos ecuaciones simultneas se obtiene:

RA = - 1.250 kgf

RD = 4.750 kgf

11. Considerar la barra AB completamente rgida y horizontal antes de aplicar la carga de 10 ton.

120 60 60

10 Ton 180 cm

100

A B

BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cm

Cobre 6 1,2 16

Acero 4 2,1 11

5

A B C DLa barra AD, inicialmente recta, tiene seccin uniforme.

Determinar las fuerzas sobre cada intervalo.SOLUCION:

RA RD4.000 10.000

La varilla izquierda es de cobre y la de la derecha

es de acero. Determinar las fuerzas, tensiones yalargamientos en cada varilla.


6/20

SOLUCION:

DCL:

Ay PCu = 6Cu PSt = 4St

Ax

Cu St

10.000 kgf

== 00 xx AF000.1520240180000.101200 =+=+= StCuStCuA PPPPM

Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de

tringulos:

66102,16

100

2101,24

180

2240120

=

=

= CuSt

CuStStCu PP

De donde: PSt = 1,2963PCuReemplazando en la primera ecuacin obtenemos:

PCu = 4.175,26 kgf; PSt = 5.412,39 kgf

Las tensiones son:

2/9,695

6

26,175.4cmkg

A

PCuCu === ;

2/1,353.14

39,412.5cmkgSt ==

Alargamientos:

cmE

LCu 06,0

102,1

1009,6956

=

==

cmSt 12,0=

12. En el problema anterior, determinar las tensiones en ambas barras si se quita la carga y, encambio, se aplica una variacin de temperatura de: a) 40C; b) 40C.SOLUCION:

a) DCL: Se supondr que ambas barras quedan sometidas a traccin:


Ax

Cu St

== 00 xx AFStCuStCuStCuA PPPPPPM 20202401200 ==+=+=

StCuStCu

3

486 ==


tringulos:

6


7/20

CuSt

StCu=

=

2

240120

Pero ambas barras se alargan por la accin de la temperatura y, de acuerdo a lo supuesto, por la

accin de la aparicin de fuerzas internas.

( ) ( )CuSt

CuTPStTPTL

E

LTL

E

L

+=

+=+=+

22

TLE

LTLE

LCu

Cu

Cu

St

St

St +=+ 22

4010010162102,1

100

3

42401801011

101,2

180 66

6

6+

=+ StSt

307,94St = 48.800; St = 158,47 kg/cm2, en traccin como se supuso.

Cu = - 211,3 kg/cm2, en compresin, contrario a lo que se supuso.

De donde: PSt = 633,9 kgf (Traccin) PCu = 1.267,8 kgf (Compresin)b) Nuevamente se supondr que ambas barras trabajan a traccin, por lo que se mantiene la primera

ecuacin. Sin embargo, como ahora la temperatura disminuye, las barras se acortarn por el efecto

de la temperatura, debiendo cambiar el signo en la segunda ecuacin.( ) ( )

CuSt

CuTPStTPTL

E

LTL

E

L

=

==

22

TLE

LTL

E

LCu

Cu

Cu

St

St

St =

22

4010010162102,1

100

3

42401801011

101,2

180 66

6

6

=

StSt

307,94St = - 48.800; St = 158,47 kg/cm2, en compresin, contrario a lo que

se supuso.

Cu = 211,3 kg/cm2, en traccin, como se supuso.

De donde: PSt = 633,9 kgf (Compresin) PCu = 1.267,8 kgf (Traccin)

13.Al

20 cm2

60 cm 40

BARRA AREA, cm2

E x 106

, kg/cm2

x 10-6

, 1/CCobre 80 1,1 16

Aluminio 60 0,7 22

SOLUCION:

PCu = 80Cu PAl = 20Al

7

Cobre

A = 80 cm2

La barra compuesta de la figura est sujeta a los dosapoyos. A T = 20 C el sistema est sin tensiones. La

temperatura desciende y el apoyo derecho cede 0,4 mm.

Determinar la temperatura mnima a que puede someterseel sistema para que la tensin no exceda de 500 kg/cm 2 en

el aluminio y de 400 kg/cm2 en el cobre

Cobre

A = 80 cm2


8/20

Como el sistema permanece en equilibrio:

CuAlAlCuAlCu PP 42080 ===

Si Cu = 400 kg/cm2, se tiene que Al = 1.600 kg/cm

2 > 500. Por lo tanto:Al = 500 kg/cm

2 y Cu = 125 kg/cm2 < 400.

La disminucin de la temperatura produce un acortamiento del sistema, pero las reacciones

producen alargamientos. Por lo tanto:( ) ( ) 04,004,0 =+=+AlPTCuPTAlCu

04,0107,0

40500401022

101,1

60125601016

6

6

6

6 =

+

TT

( ) CTTT 82,626,389.756,389.35000.40200.140226016 ==+==+Como es una disminucin de temperatura sta es negativa. Por lo tanto:

CTTTTT 82,422082,622212

====

14.

1 m

10 cm

SOLUCION:El radio, para una posicin x es:

( ) ( ) ( )xxxxR +=+=+= 10020

1100

100

5

100

55

Entonces el rea en una posicin cualquiera es:

( ) ( ) 22 10020

xRxA x +==

a) Cuando la temperatura desciende la barra se acorta por temperatura y se alarga por esfuerzos de

traccin originados por una fuerza P que, por condiciones de equilibrio, debe ser constante.El alargamiento de un disco de radio Rx y longitud dx, localizado a la distancia x del extremo

izquierdo es:

TdxdxEA

Pd

x

P ==

Es decir:

( )

=

=

+

=+

= 2

11

4

100

1

200

1400

100

1400

10020

100

0

100

0

100

02

2

E

P

E

P

xE

P

x

dx

E

P

A

dx

E

P

x

kgfPdxTE

PT 8,570.72

2

101,22010111002 66100

0

====

Entonces, la tensin es mxima cuando el rea es mnima:

2

0

max/924

25

8,570.72cmkg

A

P===

, en traccin

b) Al aumentar la temperatura en 20 C, la tensin tiene la misma magnitud pero es de compresin.

8

20cm

Considerar la barra cnica de acero, inicialmente

libre de tensiones. Determinar la mxima tensin

en la barra si la temperatura: a) Desciende 20 C;b) Aumenta 20 C. E = 2,1 x 106 kg/cm2; = 11 x

10-6 1/C.


9/20

P

De donde, CT 9,90

16. En el problema anterior cunto debe disminuirse la temperatura para que toda la carga la

soporte el tubo de acero?

SOLUCION:En este caso para que toda la carga la resista el acero, la disminucin de longitud de ste originado

por la temperatura ms el acortamiento por carga debe ser mayor o igual que la contraccin del

cobre. Es decir:

( ) ( )CuTStPT

+

TLL

TL

+ 66

61016

101,220

000.301011

De donde, CT 9,142

17. La barra ABD es completamente rgida y est articulada en A y unida a las barras BC, de bronce

E30 cm 40 cm

30

A B D

40

C


Bronce 6 1 18

Acero 2 2,1 11

9

Cu

15. Un cilindro hueco de acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2; = 11

x10-6 1/C) rodea a otro macizo de cobre (E = 1,1 x106

kg/cm2; = 16 x 10-6 1/C) y el conjunto est sometido a unafuerza axial de compresin de 30.000 kgf. La seccin del

acero es de 20 cm2 mientras que la del cobre es de 60 cm2.

Determinar el aumento de temperatura necesario para

colocar toda la carga en el cobre. El conjunto tiene unalongitud de 5 m.

SOLUCION:Para que toda la carga la resista el cobre, el aumento de

longitud de ste originado por la temperatura menos el

acortamiento por carga debe ser mayor o igual que la

dilatacin del acero. Es decir:

( ) ( )StTCuPT

TLL

TL

66

61011

101,160

000.301016

y a la ED, de acero. Determinar las tensiones enambas barras si la temperatura de BC desciende 20

C mientras que la de ED aumenta 20 C.


10/20

SOLUCION: Se supone que, por efecto de las fuerzas internas que se generan por los cambios de

temperatura, la barra de acero trabaja en traccin, mientras que la barra de bronce lo hace en

compresin; pero la barra de bronce se acorta por temperatura, mientras que la barra de acero se

dilata.DCL:

Ay PBr = 6Br PSt = 2St

Ax

Br St

== 00 xx AF

StBrStBrAM 9

707023060 ==+=

Como la barra es rgida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza detringulos:

BrSt

StBr=

=

3

7

7030

De acuerdo a lo supuesto, por la accin de la aparicin de fuerzas internas.

( ) ( )BrSt

BrTPStTPTL

E

LTL

E

L

+=

+=+=+

3

7

3

7

TLE

LTL

E

LBr

Br

Br

St

St

St +=+

3

7

3

7

2040101837

101

409

7

3720301011

101,230 6

6

6

6+

=+

StSt

8,69St = 2.700 St = 310,7 kg/cm2, en traccin como se supuso.

Br = - 241,72 kg/cm2, en traccin, contrario a lo que se supuso.

18. En el problema anterior, determinar las tensiones sobre ambas barras si la temperatura delconjunto desciende 20 C.

SOLUCION: Slo cambia la ecuacin de deformaciones, quedando de la forma siguiente:

( ) ( ) BrStBrTPStTP TLEL

TLE

L

+=

=+=

3

7

3

7

TLE

LTL

E

LBr

Br

BrSt

St

St +=

3

7

3

7

204010183

7

101

409

7

3

720301011

101,2

30 66

6

6+

=

StSt

8,69St = 4.020 St = 462,72 kg/cm2, en traccin como se supuso.

Br = - 359,9 kg/cm2, en traccin, contrario a lo que se supuso.

10


11/20

19. En el problema 17, determinar las tensiones sobre ambas barras si la temperatura del conjunto

aumenta 20 C.

SOLUCION: Slo cambia la ecuacin de deformaciones, quedando de la forma siguiente:

( ) ( )BrSt

BrTPStTPTL

E

LTL

E

L

+=

==+

3

7

3

7

TLE

LTL

E

L

BrBr

Br

StSt

St =+

3

7

3

7

204010183

7

101

409

7

3

720301011

101,2

30 66

6

6

=+

StSt

8,69St = - 4.020 St = - 462,72 kg/cm2,. en compresin, contrario a lo que se

supuso.

Br = -359,9 kg/cm2, en compresin como se supuso.

20. En el problema 17, determinar las tensiones sobre ambas barras si la temperatura de la barra BC

aumenta 20 C y en ED disminuye 20 C.SOLUCION: Slo cambia la ecuacin de deformaciones, quedando de la forma siguiente:

( ) ( )BrSt

BrTPStTPTL

E

LTL

E

L

=

==

3

7

3

7

TLE

LTL

E

LBr

Br

BrSt

St

St =

3

7

3

7

204010183

7

101

409

7

3

720301011

101,2

30 66

6

6

=

StSt

8,69St = - 2.700 St = - 310,7 kg/cm2, en compresin, contrario a lo que se

supuso.

Br = 241,72 kg/cm2, en compresin, como se supuso.

21.

B C D

L

A

FAC

FAB FAD P

== ADABx FFF 0

=+= PFFF ACABy cos20P

Como se dispone de dos ecuaciones para tres incgnitas, se procede a analizar las deformaciones.

AC

11

Considerar la armadura articulada, hiperesttica, de lafigura. Antes de aplicar la carga P el sistema est libre de

tensiones. Determinar la fuerza axial que soporta cada

barra cuando se aplica la carga P. Todas las barras tienen

la misma seccin transversal y el mismo mdulo elstico.SOLUCION:

AB = ACcos

2coscoscos

ACAB

ACAB

FFAE

LF

AE

LF

==

( ) 33

cos211cos2 +==+P

FPF ACAC


12/20

AB

3

2

cos21

cos

+==

PFF ADAB

22. En el problema anterior, determinar los esfuerzos sobre cada barra y el desplazamiento vertical

del punto A, considerando: P = 10.000 kgf; A = 10 cm2; L = 40 cm; = 30; E = 2,1 x 106 kg/cm2.

SOLUCION:

( )2

33/97,43465,349.4

866,021

000.10

cos21cmkgkgf

PF ACAC ==

+=

+=

2

3

2

/2,32623,262.3cos21

coscmkgkgf

PFF ABADAB ==+

==

mmmcmE

LACAC

83083,00083,0101,2

4097,4346 ===

==

23. En el problema anterior suponer que a la carga de 10.000 kgf se superpone un cambio detemperatura. Calcular las tensiones cuando la temperatura: a) Aumenta 20 C; b) Disminuye 20 C.

SOLUCION:

a) Con el aumento de temperatura las barras se alargan por carga y por temperatura. Porconsiguiente:

( ) ( ) coscosACTPABTPACAB

+=+=

30cos20401012101,2

30cos4020

30cos

401012

101,2

30cos

40

6

6

6

6

+

=+

AC

AB

16833,128,771.25,1699,21 +== ABACACAB 000.101030cos102000.1030cos2 =+=+ ACABACAB FF

( ) 2/7,271000.116833,130cos2 cmkgABAB ==++

2/4,529 cmkgAC =

24.

L

10 15 cmSOLUCION:

DCL:

R1 R2

=+= 0;0 21 RPRFxComo los apoyos son rgidos, entonces L = constante. Luego

12

P

Una barra cuadrada de 5 cm de lado est sujeta rgidamente

entre los muros y cargada con una fuerza axial P = 20 ton..

Determinar las reacciones en los apoyos y el alargamientodel lado derecho. E = 2,1 x 106 kg/cm2..

P


13/20

3

20

15100 12

21

21

RR

AE

R

AE

R==

+

=+

Reemplazando R2 en la primera ecuacin:

==

= kgfRRR

PR 000.12000.203

50

3

21

11

1

R2= 8.000 kgf

mmmcm 23023,00023,0101,225

15000.862

====

25. Calcular las reacciones en el problema anterior si el apoyo derecho cede 0,01 mm.

SOLUCION:

000.251,21510001,01510

001,0 2121

21 =+=

+

=+ RRAE

R

AE

R

2R1 + 3R2 = 10.500De la esttica: - R 1 + R2 = 20.000 - 2R1 + 2R2 = 40.000De donde. R 2 = 10.100 kgf; R 1 = - 9.900 kgf

Comprobacin:00289,0

101,225

15100.10;00189,0

101,225

10900.96261=

==

=

cm001,021 =+=

26. En el problema 24 cunto debe ceder el apoyo derecho para que toda la carga la resista la barraizquierda?

SOLUCION:

En este caso R2 = 0, y R1 = 20.000 kgf. Por lo tanto:

cm0038,0101,225

10000.206=

=

P

FH

FH

FF

F

HH

H

FHPP

PP

EA

LP

EA

LP3478,0

1005,165610175,0369.166

=

=

== De

donde:

PF = 51.935,9 kgf; F = 79,17 kg/cm2

PH = 18.064,1 kgf; H = 13,2 kg/cm2

13

37 cm

45 cm

27. Un corto tubo de fundicin (E = 1,05 x 106 kg/cm2), deseccin cuadrada est lleno de hormign (E = 0,175 x106

kg/cm2) y el conjunto est sometido a una fuerza axial de

compresin de 70.000 kgf. El conjunto tiene una longitud de90 cm. Determinar la. tensin en cada material y el

acortamiento del conjunto.

SOLUCION:

AH = 372 = 1.369 cm2; AF = 45

2 372 = 656 cm2

PH + PF = 70.000


14/20

cm0068,010175,0

902,136=

=

60 cm 25

PBr PAlSOLUCION:Por condiciones de equilibrio esttico:

BrAlAlBrAlBr PP

3

296 ===

Se ha supuesto que ambas barras trabajan a traccin, por lo tanto:

a) ( ) ( ) 00 =+=+ AlTPBrTPAlBR

02225102,22107,0

252260107,17

1098,0

60 66

6

6=

+

AlBr

BrAlAlBr 71,12,9960574.3571,3522,61 ==+

De donde: Br = 418,4 kg/cm2 (Traccin)

Al = 278,9 kg/cm2 (Traccin)

b) En este caso:

( ) ( ) 012,0012,0 =+=+AlTPBrTPAlBR

012,02225102,22107,0252260107,17

1098,060 6

6

6

6 =+

AlBr

BrAlAlBr 71,115,660000.12574.3571,3522,61 ==+

De donde: Br = 277,76 kg/cm2 (Traccin)

Al = 184,84 kg/cm2 (Traccin)

29. En el problema anterior, cunto deberan ceder los apoyos para que no existan tensiones?SOLUCION:

( ) ( ) ( ) ( ) =+=+=+aLtbRtAlTPBrTPAlBR

cm0356,02225102,222260107,17 66 ==

30. En el problema 28 cunto deberan ceder los apoyos para que las tensiones no excedan de 200

kg/cm2 en el bronce y de 100 kg/cm2 en el aluminio?SOLUCION:

De la ecuacin de equilibrio esttico:

BrAl 3

2= , Por lo tanto, si Br = 200, entonces Al = 133,3 kg/cm2 que es > Adm.

Por consiguiente: Al = 100 kg/cm2 y Br = 150 kg/cm

2 que es < que adm.

14

Al

Bronce

28. Dos barras inicialmente rectas estn unidas entre s y

sujetas a apoyos rgidos. La de la izquierda es de bronce (E= 0,98 x 106 kg/cm2; = 17,7 x10-6 1/C; A = 6 cm2 ) y la de

la derecha es de aluminio (E = 0,7 x106

kg/cm2

; = 22,2 x10-6 1/C A = 9 cm2 ). El conjunto est libre de tensiones yentonces la temperatura desciende 22 C. Determinar la

tensin en cada barra: a) Si los apoyos no ceden; b) Si el

apoyo derecho cede 0,12 mm.


15/20

Luego: ( ) ( ) =+=+ AlTPBrTPAlBR

cm0229,02225102,22107,0

251002260107,17

1098,0

60150 66

6

6==

+

SOLUCION:

Por condiciones de equilibrio:

( ) ( ) 22222 045,1175,34

;43,44,454

cmAcmA BrSt ====

PSt + PBr = 0 BrStBrSt 493,2045,1143,4 ==Suponiendo ambos elementos en traccin:

( ) ( )BrTPStTPBrSt

+=+=

95107,171098,0

951011101,2

493,2 66

6

6+

=+

LL

LL BrBr

- 2,207Br = 636,52

/4,288 cmkgBr = , en compresinSt = 719,1 kg/cm

2 en traccin, como se supuso.

32. En el problema anterior cul puede ser el mximo aumento de temperatura si las tensiones no

deben exceder de 200 kg/cm2 en el bronce y de 600 kg/cm2 en el acero?

SOLUCION:De la ecuacin de equilibrio: BrSt 493,2=Si Br = - 200, St = 498,6 kg/cm

2 < Adm

Por lo tanto: TLL

TLL

+

=+

6

6

6

6107,17

1098,0

2001011

101,2

6,498

CTT 9,657,65,441 ==

33. Un pilar corto de hormign armado est sometido a una carga axial de compresin. Ambosextremos estn cubiertos por placas infinitamente rgidas. Si el esfuerzo en el hormign (E H = 0,175

x 106 kg/cm2) es de 65 kg/cm2, determinar la tensin en el acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2).

SOLUCION:

2

66/78012

101,210175,0cmkg

LHSt

StHStH ==

=

=

P P

15

31. Un tubo de acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2; = 11 x 10 -6

1/C), de 5 cm de dimetro exterior y 4,4 cm de dimetrointerior rodea a un cilindro macizo de bronce (E = 0,98 x10 6

kg/cm2; = 17,7 x 106 1/C) de 3,75 cm de dimetro y elconjunto est libre de tensiones. A 25 C El conjunto tiene una

longitud de 1 m. Determinar la. tensin en cada material

cuando la temperatura aumenta hasta 120 C

Bronce

Cobre

34. Una barra compuesta est constituida poruna tira de cobre (E = 0,9 x 106 kg/cm2) entre

dos placas de acero (E = 2,1 x 106 kg/cm2).

El ancho de todas las barras es de 10 cm; lasplacas de acero tienen un espesor de 0,6 cm

cada una y el espesor de la placa de cobre es

de 1,8 cm.


16/20

Determinar la mxima carga P que puede aplicarse. La tensin de rotura del acero de 5.600 kg/cm 2 yla del cobre es de 2.100 kg/cm2. Usar un factor de seguridad de 3 basado en la tensin de rotura de

cada material.

SOLUCION: ACu = 1,8 x 10 = 18 cm

2

; ASt = 2 x 0,6 x 10 = 12 cm

2

P = PSt + PCu; P = 12St + 18Cu

( ) ( ) 22 /7003

100.2;/7,866.1

3

600.5cmkgcmkg

CuadmStadm====

CuSt

CuSt

CuSt

LL

3

7

109,0101,266

=

=

=

Si Cu = 700, St = 1.633,3 kg/cm2 < (adm)St, por lo tanto:

P = 12 x 1.633,3 + 18 x 700 = 32.200 kgf

P = 25.000 kgf

( ) ( ) 22222 18,445,74

;9,1232,815

4

cmAcmA StrAl ====

AlSTStAl 8,29,565000.2518,449,123 ==+

Suponiendo ambos elementos en compresin:

( ) ( )BrTPStTPBrSt

+=++=+ 025,0025,0

3050102,22107,0

50025,030025,501011

101,2

025,50 66

6

6+

=++

AlSt

6,344343,7125,208.882,23 ==+ AlStAlSt

De donde: 5,8Al = 910,52

/157 cmkgAl = , en compresinSt = 126,4 kg/cm

2 en compresin, como se supuso.

36. En el problema anterior determinar la disminucin de temperatura necesaria para que toda la

carga la resista el acero.

SOLUCION:En este caso: PSt = 25.000 kgf; PAl = 0; St = 565,84 kg/cm

2

( ) ( )BrTStTPBrSt

=++=+ 025,0025,0

TT =++

50102,22025,0025,501011101,2

025,5084,565 666

16

35. Un tubo recto de aliminio (E = 0,7 x 10 6 kg/cm2; = 22,2 x

10-6 1/C), de 150 mm de dimetro exterior y 82 mm de

dimetro interior rodea a un cilindro macizo de acero (E = 2,1x106 kg/cm2; = 11 x 106 1/C) de 75 mm de dimetro; el

aluminio es 0,25 ms largo que el acero antes de aplicarninguna carga. El conjunto tiene una longitud de 0,5 m.

Determinar la. tensin en cada material cuando la temperatura

desciende 30 C y acta toda la carga.

SOLUCION:Por condiciones de equilibrio: PSt + PBr = 25.000

Acero

75

mm


17/20

( ) == CTT 75,68025,5011502,2212,479.38

37. Determinar las tensiones en el problema 35 si no hay cambio de temperatura.

SOLUCION:

AlST 8,29,565 =Suponiendo ambos elementos en compresin:

( ) ( ) BrPStPBrSt =++=+ 025,0025,0

66107,0

50025,0

101,2

025,50

=+

AlSt

5,049.1343,71000.2582,23 ==+ AlStAlSt

De donde:2

/5,2784,615.18,5 cmkgAlAl == , en compresin, como se supuso.

St = - 213,96; Este resultado es imposible, puesto que ninguno de los dos componentes

puede trabajar en traccin. Por lo tanto St = 0 y2

/78,2019,123

000.25cmkgAl == .

El resultado anterior se explica porque 025,00144,0107,0

5078,2016


18/20

15 cm

A B C

X

12.000 kgf

SOLUCION:

DCL:

PSt = 1,2St PBr = 3Br PCu = 1,8Cu

12.000 kgf

=+= 01508,1000.129030 CuBrA xM (a) =++= 08,13000.122,10 CuBrStyF (b)Como la barra es rgida y permanece horizontal los alargamientos de los tres cables son iguales.

( ) ( ) ( )CuTPBrTPStTPCuBrSt

+=+=+==

14201016102,1

201415107,17

1098,0

1514251011

101,2

256

66

66

6 +=+=+ CuBrSt

De la ltima ecuacin se obtiene:18,11286,113331,159,11 == BrStBrSt (c)

94,524,163067,169,11 +== CuStCuSt (d)

Resolviendo el sistema de ecuaciones b, c y d:222

/748.1;/1,951.1;/15,500.2 cmkgcmkgcmkg CuBrSt === De la ecuacin a):

,23,83000.12

748.12701,951.1270cmX =+= a la derecha de A.

40. Resolver el problema anterior considerando que la temperatura disminuye 14 C.

SOLUCION:

Se supondr que la barra ABC desciende con respecto a su posicin inicial. Por tanto:

( ) ( ) ( )CuTPBrTPStTPCuBrSt

====

14201016102,1

201415107,17

1098,0

1514251011

101,2

25 66

6

6

6

6

=

=

CuBrSt

694,878,018,11286,113331,159,11 =+=+= StBrBrStBrSt

81,37714,094,524,163067,169,11 +=== StCuCuStCuSt


Acero 1,2 2,1 11

Bronce 3 0,98 17,7

Cobre 1,8 1,2 16

18


19/20

Reemplazando en la ecuacin de suma de fuerzas verticales:222

/35,807.1;/4,924.1;/35,478.2 cmkgcmkgcmkgCuBrSt

===

,96,83000.12

35,807.12704,924.1270cmX =+=

D E

120 120

90 cm

A B C

SOLUCION:

DCL:


Ax

Cu St

== 00 xx AFCuStStCuStCuAM ==+=+= 002406120120


tringulos:

( ) ( )CuTPStTPCuSt

StCu+=+=

=

22

240120

409010162102,1

90240901011

101,2

90 66

6

6+

=+ CuSt

CuCuStCuSt =+=+= 7,764.15,3840667,1476,0De donde: Cu = - 392,2 kg/cm

2, en compresin; St = 392,1 kg/cm2, en traccin.

D E

120 120


Cobre 12 1,2 16

Acero 6 2,1 11

19

41. La barra ABC es completamente rgida einicialmente est horizontal. La barra DB es de cobre y

la CE es de acero. Determinar las tensiones en cada

barra cuando la temperatura aumenta 40 C..

42. La barra ABC es completamente rgida e

inicialmente est horizontal. El peso de ABC es de

5.000 kg. La barra DB es de cobre y la CE es de acero.Determinar las tensiones en cada barra cuando la

temperatura aumenta 40 C..


20/20

90 cm

A B C

SOLUCION:

DCL:


Ax

Cu St

5.000

== 00 xx AF33,2080240660000.5120120 =+=+= StCuStCuAM


tringulos:

( ) ( )CuTPStTPCuSt

StCu+=+=

=

22

240120

409010162102,1

90240901011101,2

90 66

6

6 +

=+

CuSt

7,764.15,3840667,1476,0 +=+= CuStCuSt

De donde: Cu = - 345,9 kg/cm2, en compresin; St = 554,2 kg/cm

2, en traccin.

43.


Cobre 12 1,2 16

Acero 6 2,1 11

20

95365765 Ejercicios Mec Solidos

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